与有序分拆的分部量1相关的恒等式及组合证明

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.001

与有序分拆的分部量1相关的恒等式及组合证明

郭育红^,^,

河西学院数学与统计学院，甘肃张掖 734000

Several identities and combinatorial proofs for compositions related to the part of size 1

GUO Yuhong^,^,

School of Mathematics and Statistics，Hexi University，Zhangye 734000，Gansu Province，China

收稿日期: 2021-12-13

基金资助:

国家自然科学基金资助项目.  11461020
甘肃省自然科学基金资助项目.  21JR7RA552
甘肃省高等学校创新能力提升项目.  2020B-215
河西学院校长基金创新团队项目.  CXTD2022010

Received: 2021-12-13

作者简介 About authors

郭育红（1970—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-1403-2033，硕士，教授，主要从事整数分拆理论研究，E-mail：gyh7001@163.com. , E-mail：gyh7001@163.com

摘要

研究了正整数的分部量1在首、末两端的有序分拆，给出了此类有序分拆数与Fibonacci数之间的关系式。利用熟知的与Fibonacci数相关的有序分拆恒等式，得到几个新的分拆恒等式，并给出了组合双射证明。

关键词： 有序分拆 ; 分部量1 ; Fibonacci 数 ; 恒等式 ; 组合证明

Abstract

The compositions with part of size 1 at the left or the right of positive integers are studied, and the relation between these compositions and the Fibonacci numbers is obtained. And then using the well-known composition identities related to Fibonacci numbers, several new identities are obtained, The combinational bijective proofs are provided.

Keywords： compositions ; part of size 1 ; Fibonacci numbers ; identity ; combinatorial proof

PDF (609KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

郭育红. 与有序分拆的分部量1相关的恒等式及组合证明. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(3): 261-265 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.001

GUO Yuhong. Several identities and combinatorial proofs for compositions related to the part of size 1. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(3): 261-265 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.001

0　引言

在整数分拆理论中，MACMAHON^［1］首次定义了正整数的有序分拆，即把正整数 $n$ 表示成正整数的有序和，分拆中的各项称为分部量。如果不考虑分部量的顺序，则为无序分拆。例如，4的有序分拆有8个，即4，3+1，1+3，2+2，1+1+2，1+2+1，2+1+1，1+1+1+1，也可表示为（4）（3，1）（1，3）（2，2）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（1，1，1，1），无序分拆有5个，即（4）（3，1）（2，2）（2，1，1）（1，1，1，1）。有序分拆的反分拆是将分部量的顺序倒置产生的分拆。例如，（1，1，2）的反分拆为（2，1，1），二者互为反分拆。

有序分拆的图表示Zig-Zag图^［1］，类似于无序分拆的Ferrers图，即将有序分拆的每个分部量 $λ_{i}$ 依次用含有 $λ_{i}$ 个点的行来表示，但要求下一行的第一个点与上一行的最后一个点对齐。例如，14的有序分拆（6，3，1，2，2）的Zig-Zag图如图1所示。

图1

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图1 14的有序分拆（6，3，1，2，2）的Zig-Zag 图

Fig.1 Zig-Zag graph of compositions for 14

利用有序分拆的Zig-Zag图可得到有序分拆的共轭分拆，将Zig-Zag图从左向右按列读取的分拆即为原分拆的共轭分拆。例如，图1按列读取的有序分拆（1，1，1，1，1，2，1，3，2，1）为（6，3，1，2，2）的共轭分拆。有序分拆 $α$ 的共轭分拆用 $\bar{α}$ 表示，反分拆用 $α^{'}$ 表示。

在经典的分拆理论中，分拆恒等式一直是研究热点^［1-3］，并取得了丰富的成果^［4-9］。如关于带约束的有序分拆的恒等式^［10-15］。

文献［6］给出了关于正整数的分部量带约束的一些有序分拆与Fibonacci数之间的关系式。Fibonacci数满足

F_{1} = 1, F_{2} = 1, F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}, n > 2

。

定理1^［6］设正整数 $n$ 的分部量为1或2的有序分拆数为 $C_{1 - 2} (n)$ ，则

C_{1 - 2} (n) = F_{n + 1},

n > 0

，

其中， $F_{n}$ 为第 $n$ 个Fibonacci数。

定理2^［6］设正整数 $n$ 的分部量是奇数的有序分拆数为 $C_{o d d} (n)$ ，则

C_{o d d} (n) = F_{n},

n > 0

。

定理3^［6］设正整数 $n$ 的分部量大于1的有序分拆数为 $C_{> 1} (n)$ ，则

C_{> 1} (n) = F_{n - 1},

n > 1

。

通常，将正整数 $n$ 的分部量为1或2的有序分拆记为1-2有序分拆；将正整数 $n$ 的分部量为奇数的有序分拆记为奇有序分拆。

借助正整数的带约束的有序分拆数与特殊数列的关系，可产生一些有趣的分拆恒等式。如正整数 $n$ 的1-2有序分拆数等于正整数 $n + 1$ 的奇有序分拆数。寻找分拆恒等式一直是整数分拆理论研究中重要且有趣的内容，但是获得分拆恒等式或给出分拆恒等式的组合双射证明仍较为困难。

定义1 正整数 $n$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆是指分部量1出现且只出现在首端或末端。

定义2 正整数 $n$ 的分部量2在首、末两端的1-2有序分拆是指在 $n$ 的1-2有序分拆中，首端或末端出现分部量2。

例1 设 $n = 7$ ，则7的分部量1在首、末两端的有序分拆有13个，即为（1，6），（1，5，1），（1，4，2），（1，2，2，2），（1，2，4），（1，3，3），（1，2，3，1），（3，3，1），（4，2，1），（2，2，2，1），（2，4，1），（6，1），（1，3，2，1）。

设 $n = 5$ ，则5的分部量2在首、末两端的1-2有序分拆有5个，即为（2，2，1），（2，1，2），（1，2，2），（2，1，1，1），（1，1，1，2）。

首先，考察正整数的分部量1在首、末两端的有序分拆，给出此类有序分拆数与Fibonacci数之间的关系式。然后，利用与Fibonacci数相关的有序分拆恒等式，得到新的分拆恒等式，并给出组合双射证明。

1　主要结果

定理4 设 $C^{1} (n)$ 表示正整数 $n$ 的分部量在首、末两端的有序分拆数，则

C^{1} (n) = F_{n},

n \geq 1

。

证明由于分部量1只能出现在首、末两端，故可分3种情形：（1）首端分部量为1，其余分部量均大于1；（2）末端分部量为1，其余分部量均大于1；（3）首、末端分部量均为1，其余分部量均大于1。

情形（1）和（2）中的分拆数等于n $-$ 1的分部量大于1的有序分拆数，而情形（3）中的分拆数等于 $n - 2$ 的分部量大于1的有序分拆数，从而由定理3，得

C^{1} (n) = 2 F_{n - 2} + F_{n - 3} = F_{n}

。

证毕！

下面通过构造组合双射来证明。

证明对于正整数 $n$ 的分部量1在末端的任意有序分拆 $α = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k - 1}, 1),$ 若 $b_{1} = 2$ ，则用 $b_{1} - 1$ 替换 $b_{1}$ ，且删掉末端的分部量1，得到分拆 $β = (1, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{k - 1})$ ，则分拆 $β$ 为 $n - 2$ 的末端分部量大于1的相应分拆；若 $b_{1} > 2$ ，则用 $b_{1} - 2$ 替换 $b_{1}$ ，可得 $n - 2$ 的末端分部量为1的相应分拆。

反之，对于 $n - 2$ 的分部量1在首、末两端的任意有序分拆 $δ = (r_{1}, r_{2}, \dots ， r_{t})$ ，若 $r_{t} > 1$ ，则 $r_{1} = 1$ ，用 $r_{1} + 1 = 2$ 替换 $r_{1}$ ，并在末端添加分部量1，得到分拆 $σ = (2, r_{2}, r_{3}, \dots ， r_{t}, 1)$ ，那么分拆 $σ$ 是 $n$ 的首端分部量为2、末端分部量为1的有序分拆；若 $r_{t} = 1$ ，则用 $r_{1} + 2$ 替换 $r_{1}$ ，得到 $n$ 的首端分部量大于2、末端分部量为1的有序分拆。因此证明了正整数 $n$ 的分部量1在末端的有序分拆与 $n - 2$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆之间是一一对应的。

对于正整数 $n$ 的首端分部量为1的任意有序分拆 $ζ = (1, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k})$ ，若 $a_{k} = 1$ ，则删掉首端分部量1，得到分拆 $θ = (a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k})$ ，θ为 $n - 1$ 的首端分部量大于1的相应分拆；若 $a_{k} > 1$ ，则用 $a_{k} - 1$ 替换 $a_{k}$ ，得到 $n - 1$ 的首端分部量为1的相应分拆。

反之，对于 $n - 1$ 的分部量1在首、末两端的任意有序分拆 $π = (s_{1}, s_{2}, \dots, s_{l})$ ，若 $s_{1} = 1$ ，则用 $s_{l} + 1$ 替换 $s_{l}$ ，得到分拆 $ρ = (1, s_{2}, s_{3}, \dots, s_{l} + 1)$ ， $ρ$ 为 $n$ 的末端分部量大于1的相应有序分拆；若 $s_{1} > 1$ ，则 $s_{l} = 1$ ，在分拆 $π$ 的首端添加分部量1，得到分拆 $ν = (1, s_{1}, s_{2} \dots, s_{l})$ ，其为 $n$ 的末端分部量为1的相应有序分拆。因此证明了正整数 $n$ 的分部量1在首端的有序分拆与 $n - 1$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆是一一对应的。

因为

C^{1} (n) = C^{1} (n - 1) + C^{1} (n - 2)

，

且 $C^{1} (1) = 1$ ， $C^{1} (2) = 1$ ，所以

C^{1} (n) = F_{n}

，

n \geq 1

。

证毕！

定理5 正整数 $n$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆数等于正整数 $n$ 的奇有序分拆数。

证明对于正整数 $n$ 的首端分部量大于1的任意奇有序分拆 $α = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k})$ ，先从右向左考察分拆 $α$ 。若 $a_{k} \neq 1$ ，则将 $a_{k}$ 分拆为（ $a_{k} - 1,1$ ）；若 $a_{k} = 1$ ，则保留 $a_{k}$ 。再考察 $a_{k - 1}$ ，若 $a_{k - 1} \neq 1$ ，则保留 $a_{k - 1}$ ；若 $a_{k - 1} = 1$ ，则向左找到不等于1的分部量 $a_{s}$ ，将 $a_{s}$ 分拆为（ $a_{s} - 1,1$ ），记 $a_{s} - 1 = d_{s}$ ，则 $d_{s}$ 为偶数。然后将 $d_{s}$ 的右边所有相邻的分部量1合并，产生的和作为新的分部量。合并时应注意，若 $a_{k} = 1$ ，则保留 $a_{k}$ 。重复上述过程，考察 $α$ 的所有分部量，从而得到 $n$ 的分部量1只在末端的有序分拆。

例如，由9的奇分拆（5，1，3）和（3，1，1，1，1，1，1）产生分部量1只在末端的分拆（4，2，2，1）和（2，6，1）的过程，分别为 $(5,1, 3) \to (5,1, 2,1) \to (4,1, 1,$ $2,1) \to$ $(4,2, 2,1),$ $(3,1, 1,1, 1,1, 1) \to (2,1, 1,1, 1,$ $1,1, 1) \to (2,6, 1) 。$

反之，对于 $n$ 的分部量1在末端的任意有序分拆 $β = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{t - 1}, 1)$ ，先从左向右考察分拆 $β$ 的分部量，若 $b_{1}$ 为奇数，则保留 $b_{1}$ 。若 $b_{1}$ 为偶数，则再考察 $b_{2}$ ，若 $b_{2} = 1$ ，则将 $b_{1}$ 与 $b_{2}$ 相加，得到一个奇分部量；若 $b_{2} > 1$ ，则将 $b_{2}$ 分拆为 $b_{2}$ 个1，并将 $b_{1}$ 与其右边相邻的1合并，得到一个奇分部量。重复上述步骤，考察 $β$ 的所有分部量，从而得到 $n$ 的首端分部量大于1的奇有序分拆。

例如，由9的分部量1在末端的分拆（3，2，3，1）和（2，2，2，2，1）产生奇分拆（3，3，1，1，1）和（3，1，3，1，1）的过程，分别为 $(3,2, 3,1) \to (3,2, 1,1, 1,$ $1) \to (3,3, 1,1, 1),$ $(2,2, 2,2, 1) \to (2,1, 1,2, 2,$ $1) \to (3,1, 2,2, 1) \to (3,1, 2,1, 1,1) \to (3,1, 3,1, 1) 。$

对于正整数 $n$ 的首端分部量为1的任意奇有序分拆 $π = (1, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{s})$ ，从左向右考察分拆 $π$ ，若 $c_{2} > 1$ ，则保留 $c_{2}$ ；若 $c_{2} = 1$ ，则将 $c_{2}$ 与其右边相邻的分部量合并，得到新的分部量。重复上述过程，考察 $π$ 的所有分部量，从而得到 $n$ 的分部量1在首端的有序分拆。

反之，对于 $n$ 的分部量1在首端的任意有序分拆 $δ = (1, r_{2}, r_{3}, \dots, r_{l})$ ，从左向右考察分拆 $δ$ 的分部量，若 $r_{2}$ 为奇数，则保留 $r_{2}$ ；若 $r_{2}$ 为偶数，则将 $r_{2}$ 分拆为（ $1, r_{2} - 1$ ）。重复上述步骤，考察 $δ$ 的所有分部量，从而得到 $n$ 的首端分部量为1的奇有序分拆。

证毕！

例2 设 $n = 8$ ，则8的奇有序分拆与8的分部量1在首、末两端的有序分拆的对应关系为

(1,7) \leftrightarrow (1,7),

(1,3, 4) \leftrightarrow (1,3, 1,3),

(1,4, 3) \leftrightarrow (1,1, 3,3),

(1,2, 5) \leftrightarrow (1,1, 1,5),

(1,5, 2) \leftrightarrow (1,5, 1,1),

(1,6, 1) \leftrightarrow (1,1, 5,1),

(1,2, 2,3) \leftrightarrow (1,1, 1,1, 1,3),

(1,2, 3,2) \leftrightarrow (1,1, 1,3, 1,1),

(1,3, 2,2) \leftrightarrow (1,3, 1,1, 1,1),

(1,2, 2,2, 1) \leftrightarrow (1,1, 1,1, 1,1, 1,1),

(1,2, 4,1) \leftrightarrow (1,1, 1,1, 3,1),

(5,2, 1) \leftrightarrow (5,3),

(1,4, 2,1) \leftrightarrow (1,1, 3,1, 1,1),

(4,3, 1) \leftrightarrow (5,1, 1,1),

(7,1) \leftrightarrow (7,1),

(3,4, 1) \leftrightarrow (3,5),

(3,2, 2,1) \leftrightarrow (3,3, 1,1),

(2,2, 3,1) \leftrightarrow (3,1, 3,1),

(2,5, 1) \leftrightarrow (3,1, 1,1, 1,1),

(1,3, 3,1) \leftrightarrow (1,3, 3,1),

(2,3, 2,1) \leftrightarrow (3,1, 1,3) 。

定理6 正整数 $n$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆数等于正整数 $n + 1$ 的分部量大于1的有序分拆数。

证明将正整数 $n$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆分为2类：

（i）首端分部量为1的分拆；

（ii）首端分部量不为1的分拆。

对于（i）中的任意分拆 $α = (1, b_{2}, b_{3} \dots, b_{k})$ ，首先在 $α$ 的末端添加分部量1，并将首端的分部量1移至末端，得到分拆 $β = (b_{2}, b_{3} \dots, b_{k}, 1,1)$ 。然后，合并分拆 $β$ 的末端所有相邻的分部量1，产生的和作为末端新的分部量，得到分拆 $γ = (b_{2}, b_{3} \dots, b_{s})$ ，其中，末端分部量 $b_{s} (1 < b_{s} \leq 3)$ 是 $n + 1$ 的分部量大于1、末端分部量不超过3的分拆。例如，由7的分拆（1，2，3，1）产生8的分拆（2，3，3）的过程为 $(1,2, 3,1) \to$ $(1,2, 3,1, 1) \to (2,3, 1,1, 1)$ $\to (2,3, 3) 。$ 反之，对于 $n + 1$ 的分部量大于1、末端分部量不超过3的任意分拆 $π = (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{t})$ ，其中， $c_{i} > 1, i = 1,2, \dots, t - 1,$ $1 < c_{t} \leq 3$ ，首先，用 $d_{t} = c_{t} - 1$ 替换分部量 $c_{t}$ ，得到分拆 $ρ = (c_{1}, c_{2}, \dots, d_{t})$ 。然后，对于分拆 $ρ$ ，将末端分部量 $d_{t}$ 分拆出一个1作为首端分部量， $d_{t} - 1$ 仍为末端分部量。如果 $d_{t} = 1$ ，则直接将 $d_{t}$ 移至首端，得到 $n$ 的首端分部量为1的有序分拆。例如，由8的分拆（2，3，3）产生7的分拆（1，2，3，1）的过程为 $(2,3, 3) \to (2,3, 2) \to (1,2, 3,1);$ 而由8的分拆（4，2，2）产生7 的分拆（1，4，2）的过程为 $(4,2, 2) \to (4,2, 1) \to (1,4, 2) 。$

对于（ii）中的任意分拆 $ς = (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{t - 1}, 1)$ ， $r_{1} \neq 1$ ，首先，在 $ς$ 的末端添加分部量1，得到分拆 $η = (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{t - 1}, 1 ， 1)$ 。然后，在分拆 $η$ 中，将末端的3个分部量 $r_{t - 1}, 1,1$ 相加，将其和作为末端新的分部量，得到分拆 $θ = (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{t - 1} + 2)$ ，其为 $n + 1$ 的分部量大于1且末端分部量大于3的分拆。例如，由7的分拆（2，2，2，1）产生8的分拆（2，2，4）的过程为 $(2,2, 2,1) \to (2,2, 2,1, 1) \to (2,2, 4)$ 。反之，对于 $n + 1$ 的分部量大于1、末端分部量大于3的任意分拆 $σ = (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{s})$ ， $c_{i} > 1, i = 1,2, \dots, s - 1 ，$ $c_{s} > 3 ，$ 首先，用 $d_{s} = c_{s} - 1$ 替换分部量 $c_{s}$ ，得到分拆 $τ = (c_{1}, c_{2}, \dots, d_{s}) ， d_{s} > 2$ 。然后，在分拆 $τ$ 中，将末端分部量 $d_{s}$ 分拆为 $（ d_{s} - 1,1 ）$ ，从而得到 $n$ 的首端分部量不为1、末端分部量为1的分拆。例如，由8的分拆（3，5）产生7的分拆（3，3，1）的过程为 $(3,5) \to (3,4) \to (3,3, 1)$ 。

证毕！

例3 设 $n = 7$ ，则7的分部量1在首、末两端的有序分拆与8的分部量大于1的有序分拆之间的对应关系为

(6,1) \leftrightarrow (8),

(2,4, 1) \leftrightarrow (2,6),

(4,2, 1) \leftrightarrow (4,4),

(2,2, 2,1) \leftrightarrow (1,2, 4),

(3,3, 1) \leftrightarrow (3,5),

(1,6) \leftrightarrow (6,2),

(1,3, 3) \leftrightarrow (3,3, 2),

(1 ， 2 ， 4) \leftrightarrow (2 ， 4 ， 2),

(1,4, 2) \leftrightarrow (4,2, 2),

(1,2, 2,2) \leftrightarrow (2,2, 2,2),

(1,5, 1) \leftrightarrow (5,3),

(1,2, 3,1) \leftrightarrow (2,3, 3),

(1,3, 2,1) \leftrightarrow (3,2, 3) 。

定理7 正整数 $n$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆数等于正整数 $n - 1$ 的1-2有序分拆数。

证明将正整数 $n$ 的分部量1在首、末两端有序分拆分为2类：

（i）首端分部量不为1的分拆；

（ii）首端分部量为1的分拆。

对于（i）中的任意分拆 $α = (r_{1}, r_{2}, \dots, r_{k})$ ， $r_{k} = 1$ ，首先，用 $r_{1} - 1$ 替换 $r_{1}$ ，得到分拆 $β = (r_{1} - 1, r_{2}, r_{3}, \dots, r_{k})$ 。然后，求分拆 $β$ 的共轭分拆 $\bar{β}$ ， $\bar{β}$ 为 $n - 1$ 的末端分部量为2的1-2有序分拆。反之，对于 $n - 1$ 的末端分部量为2的任意1-2有序分拆 $θ = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{t - 1}, 2)$ ， $1 \leq a_{i} \leq 2, i = 1,2, \dots, t - 1$ ，首先，求分拆 $θ$ 的共轭分拆 $\bar{θ}$ ， $\bar{θ}$ 为 $n - 1$ 的末端分部量为1的分拆。然后，将分拆 $\bar{θ}$ 的首端分部量加1，得到 $n$ 的首端分部量不为1的分拆。

例如，由8的分拆（3，2，2，1）产生7的分拆（1，2，2，2）的过程为 $(3,2, 2,1) \to (2,2, 2,1) \to$ $(1,2, 2,2)$ ，而由7的分拆（1，4，2）产生8的分拆（3，1，1，2，1）的过程为 $(1,4, 2) \to (2,1, 1,2, 1) \to$ $(3,1, 1,2, 1)$ 。

对于（ii）中的任意分拆 $ς = (1, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{k})$ ，首先，若 $c_{k} \neq 1$ ，则删掉 $ς$ 的首端分部量1，得到分拆 $η = (c_{2}, c_{3}, \dots, c_{k})$ 。然后，求分拆 $η$ 的共轭分拆 $\bar{η}$ ， $\bar{η}$ 为 $n - 1$ 的首、末两端分部量均为1的1-2有序分拆。若 $c_{k} = 1$ ，则删掉 $η$ 的末端分部量 $c_{k} = 1$ ，得到分拆 $ρ = (1, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{k - 1})$ 。最后，求分拆 $ρ$ 的共轭分拆 $\bar{ρ}$ ， $\bar{ρ}$ 为 $n - 1$ 的首端分部量为2、末端分部量为1的1-2有序分拆。反之，对于 $n - 1$ 的末端分部量为1的任意1-2有序分拆 $σ = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s - 1}, 1)$ ，其中， $b_{i} = 1,2 ， i = 1,2, \dots, s - 1 。$ 若 $b_{1} = 1$ ，则先求分拆 $σ$ 的共轭分拆 $\bar{σ}$ ，则 $\bar{σ}$ 为 $n - 1$ 的分部量大于1的有序分拆，再在分拆 $\bar{σ}$ 的首端添加分部量1，得到 $n$ 的首端分部量1为的有序分拆；若 $b_{1} = 2$ ，则先求分拆 $σ$ 的共轭分拆 $\bar{σ}$ ， $\bar{σ}$ 为 $n - 1$ 的首端分部量为1、其余分部量大于1的分拆，再在分拆 $\bar{σ}$ 的末端添加分部量1，得到 $n$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆。

证毕！

例4 设 $n = 7$ ，则7的分部量1在首、末两端的有序分拆与6的1-2有序分拆之间的对应关系为

(6,1) \leftrightarrow (1,1, 1,1, 2),

(2,4, 1) \leftrightarrow (2,1, 1,2),

(4,2, 1) \leftrightarrow (1,1, 2,2),

(2,2, 2,1) \leftrightarrow (1,2, 1,1, 1),

(3,3, 1) \leftrightarrow (1,2, 1,2),

(1,6) \leftrightarrow (1,1, 1,1, 1,1),

(1,3, 3) \leftrightarrow (1,1, 2,1, 1),

(1 ， 2 ， 4) \leftrightarrow (1,2, 1,1, 1),

(1,4, 2) \leftrightarrow (1,1, 1,2, 1),

(1,2, 2,2) \leftrightarrow (1,2, 2,1),

(1,5, 1) \leftrightarrow (1,2, 1,1, 1),

(1,2, 3,1) \leftrightarrow (2,2, 1,1),

(1,3, 2,1) \leftrightarrow (2,1, 2,1) 。

推论1 正整数 $n$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆数等于正整数 $n$ 的分部量2在首、末两端的1-2 有序分拆数。

证明先求有序分拆的共轭分拆，再利用2个分拆之间是一一对应的结论来证明，此证略。

例5 设 $n = 6$ ，则6的分部量1在首、末两端的有序分拆为（1，2，2，1），（1，4，1），（1，2，3），（3，2，1），（5，1），（1，5），（1，3，2），（2，3，1）。6的首、末两端的分部量为2的1-2 有序分拆为（2，2，2），（2，1，1，2），（2，2，1，1），（1，1，2，2），（1，1，1，1，2），（2，1，1，1，1），（2，1，2，1），（1，2，1，2）。

推论2 正整数 $n$ 的首端分部量为1的1-2有序分拆数等于正整数 $n$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆数。

证明对于 $n$ 的分部量1在首、末两端的任意有序分拆 $γ = (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{s})$ ，当 $c_{s} \neq 1$ 时，按照从左向右的顺序，将大于2的分部量分拆为（ $1,1, \dots, 1,2$ ）的形式，得到 $n$ 的首端分部量为1、末端分部量为2的1-2有序分拆；当 $c_{s} = 1$ 时，按照从左向右的顺序分2种情形：（1）若 $c_{1} = 1$ ，将大于2的分部量分拆为（ $2,1, \dots, 1$ ）的形式；（2）若 $c_{1} \neq 1$ ，将 $c_{1}$ 分拆为（ $1,1, \dots, 1$ ），并将大于2的分部量分拆为（ $2,1, \dots, 1$ ）的形式，从而得到 $n$ 的首端分部量为1、末端分部量为1的1-2有序分拆。

反之，对于 $n$ 的分部量1在首端的任意1-2有序分拆 $δ = (1, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k})$ ，当 $a_{k} = 2$ 时，保留首端分部量1，按照从右向左的顺序，将分部量 $2,1, \dots, 1$ 相加，将其和作为新的分部量，得到 $n$ 的末端分部量大于1、首端分部量为1的有序分拆；当 $a_{k} = 1$ 时，保留 $a_{k} = 1$ ，按照从右向左合并分部量 $1,1, \dots, 1,2$ ，将其和作为新的分部量，从而得到 $n$ 的末端分部量为1的有序分拆。

证毕！

例6 设 $n = 6$ ，则6的分部量1在首、末两端的有序分拆为（1，2，2，1），（1，4，1），（1，2，3），（3，2，1），（5，1），（1，5），（1，3，2），（2，3，1）。6的首端分部量为1的1-2有序分拆为（1，2，2，1），（1，2，1，1，1），（1，2，1，2），（1，1，1，2，1），（1，1，1，1，1，1），（1，1，1，1，2），（1，1，2，2），（1，1，2，1，1）。

推论3 正整数 $n$ 的末端分部量为1的1-2有序分拆数等于正整数 $n$ 的分部量1在首、末两端的有序分拆数。

证明取推论2中1-2有序分拆的反分拆，即得推论3的相应分拆，此证略。

例7 设 $n = 7$ ，则7的分部量1在首、末两端的有序分拆为（6，1），（2，4，1），（4，2，1），（2，2，2，1），（3，3，1），（1，6），（1，3，3），（1，2，4），（1，4，2），（1，2，2，2），（1，5，1），（1，2，3，1），（1，3，2，1）。7的末端分部量为1的1-2有序分拆为（1，1，1，1，1，1，1），（1，1，2，1，1，1），（1，1，1，1，2，1），（1，1，1，2，1，1），（1，1，2，2，1），（1，1，1，1，1，2），（1，1，2，1，2），（1，2，1，1，2），（1，1，1，2，2），（1，2，2，2），（1，2，1，1，1，1），（1，2，2，1，1），（1，2，1，2，1）。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.001

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

MACMAHON

P A

. Combinatory Analysis， Vol Ⅰ［M］. Cambridge： Cambridge University Press， 1995.

[本文引用: 3]

[2]

ANDREWS

G E

. The Theory of Partitions［M］. Cambridge： Cambridge University Press， 1984.

[3]

ANDREWS

G E

， HIRSCHHORN

M D

， SELLERS

J A

Arithmetic properties of partitions with even parts distinct

［J］. The Ramanujan Journal， 2010， 23（1-3）： 169-181. DOI：10.1007/s11139-009-9158-0

[本文引用: 1]

[4]

CHEN

S C

On the number of partitions with distinct even parts

［J］. Discrete Mathematics， 2011， 311（12）： 940-943. DOI：10.1016/j.disc.2011.02.025

[本文引用: 1]

[5]

MUNAGI

A O

Euler-type Identities for integer compositions via Zig-Zag graphs

［J］. Integers， 2012 （12）： A60.

[6]

HEUBACH

， MANSOUR

. Combinatorics of Compositions and Words［M］. Boca Raton： CRC Press， 2009. DOI：10.1201/9781420072686

[本文引用: 4]

[7]

MUNAGI

A O

Primary classes of compositions of numbers

［J］. Annales Mathematicae et Informaticae， 2013， 41： 193-204.

[8]

MUNAGI

A O

Zig-Zag graphs and partition identities of A K Agarwal

［J］. Annals of Combinatorics， 2015， 19（3）： 557-566. DOI：10.1007/s00026-015-0276-7

[9]

MUNAGI

A O

， SELLERS

J A

Some inplace identities for integer compositions

［J］. Quaestiones Mathematicae， 2015， 38（4）： 535-540. DOI：10. 2989/16073606.2014.981731

[本文引用: 1]

[10]

GUO

Y H

Some notes on inplace identities for compositions

［J］. Journal of Mathematical Research with Applications， 2016， 36 （5）： 515-520. DOI：10. 3770/j.issn：2095-2651.2016.05.002

[本文引用: 1]

[11]

郭育红

与正整数不含分部量2的有序分拆的一些恒等式

［J］. 大连理工大学学报， 2018， 58（4）： 437-440. DOI：10.7511/dllgxb201804015

GUO

Y H

Some identities related to compositions of positive integers without 2's

［J］. Journal of Dalian University of Technology， 2018， 58（4）： 437-440. DOI：10.7511/dllgxb201804015

[12]

郭育红，王汝军.

关于正整数不含分部量2的有序分拆的几个组合双射

［J］. 浙江大学学报（理学版）， 2017， 44 （3）： 261-265. DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.002

GUO

Y H

， WANG

R J

Several combinatorial bijections about compositions without 2's of positive integers

［J］. Journal of Zhejiang University （Science Edition）， 2017， 44（3）： 261-265. DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.002

[13]

GUO

Y H

Several identities for inverse-conjugate compositions

［J］. Journal of Mathematical Research with Applications， 2018， 38（5）： 441-448. DOI：10. 3770/j.issn：2095-2651.2018.05.001

[14]

GUO

Y H

Short proofs of Euler-type identities for compositions

［J］. Integers， 2019， 19： A23.

[15]

GUO

Y H

The inverse-conjugate compositions without 2's

［J］. Ars Combinatoria， 2019， 146： 123-133.

[本文引用: 1]

1995

... 在整数分拆理论中，MACMAHON^［1］首次定义了正整数的有序分拆，即把正整数

n

表示成正整数的有序和，分拆中的各项称为分部量.如果不考虑分部量的顺序，则为无序分拆.例如，4的有序分拆有8个，即4，3+1，1+3，2+2，1+1+2，1+2+1，2+1+1，1+1+1+1，也可表示为（4）（3，1）（1，3）（2，2）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（1，1，1，1），无序分拆有5个，即（4）（3，1）（2，2）（2，1，1）（1，1，1，1）.有序分拆的反分拆是将分部量的顺序倒置产生的分拆.例如，（1，1，2）的反分拆为（2，1，1），二者互为反分拆. ...

... 有序分拆的图表示Zig-Zag图^［1］，类似于无序分拆的Ferrers图，即将有序分拆的每个分部量

λ_{i}

依次用含有

λ_{i}

个点的行来表示，但要求下一行的第一个点与上一行的最后一个点对齐.例如，14的有序分拆（6，3，1，2，2）的Zig-Zag图如图1所示. ...

... 在经典的分拆理论中，分拆恒等式一直是研究热点^［1-3］，并取得了丰富的成果^［4-9］.如关于带约束的有序分拆的恒等式^［10-15］. ...

1984

Arithmetic properties of partitions with even parts distinct

2010

... 在经典的分拆理论中，分拆恒等式一直是研究热点^［1-3］，并取得了丰富的成果^［4-9］.如关于带约束的有序分拆的恒等式^［10-15］. ...

On the number of partitions with distinct even parts

2011

... 在经典的分拆理论中，分拆恒等式一直是研究热点^［1-3］，并取得了丰富的成果^［4-9］.如关于带约束的有序分拆的恒等式^［10-15］. ...

Euler-type Identities for integer compositions via Zig-Zag graphs

2009

... 在经典的分拆理论中，分拆恒等式一直是研究热点^［1-3］，并取得了丰富的成果^［4-9］.如关于带约束的有序分拆的恒等式^［10-15］.

文献［<xref ref-type="bibr" rid="R6">6</xref>］给出了关于正整数的分部量带约束的一些有序分拆与Fibonacci数之间的关系式.Fibonacci数满足

F_{1} = 1, F_{2} = 1, F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}, n > 2

定理1^［6］设正整数 $n$ 的分部量为1或2的有序分拆数为 $C_{1 - 2} (n)$ ，则 ...

... 定理1^［6］设正整数

n

的分部量为1或2的有序分拆数为

C_{1 - 2} (n)

，则 ...

... 定理2^［6］设正整数

n

的分部量是奇数的有序分拆数为

C_{o d d} (n)

，则 ...

... 定理3^［6］设正整数

n

的分部量大于1的有序分拆数为

C_{> 1} (n)

，则 ...

Primary classes of compositions of numbers

2013

Zig-Zag graphs and partition identities of A K Agarwal

2015

Some inplace identities for integer compositions

2015

... 在经典的分拆理论中，分拆恒等式一直是研究热点^［1-3］，并取得了丰富的成果^［4-9］.如关于带约束的有序分拆的恒等式^［10-15］. ...

Some notes on inplace identities for compositions

2016

... 在经典的分拆理论中，分拆恒等式一直是研究热点^［1-3］，并取得了丰富的成果^［4-9］.如关于带约束的有序分拆的恒等式^［10-15］. ...

与正整数不含分部量2的有序分拆的一些恒等式

2018

与正整数不含分部量2的有序分拆的一些恒等式

2018

关于正整数不含分部量2的有序分拆的几个组合双射

2017

关于正整数不含分部量2的有序分拆的几个组合双射

2017

Several identities for inverse-conjugate compositions

2018

Short proofs of Euler-type identities for compositions

2019

The inverse-conjugate compositions without 2's

2019

... 在经典的分拆理论中，分拆恒等式一直是研究热点^［1-3］，并取得了丰富的成果^［4-9］.如关于带约束的有序分拆的恒等式^［10-15］. ...

〈

〉