带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.005

带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解

吴沈辉^,^,, 宋明^,^,

绍兴文理学院数理信息学院, 浙江绍兴 312000

Exact nonlinear wave solutions for the modified Zakharov equation with a quantum correction

WU Shenhui^,^,, SONG Ming^,^,

School of Mathematical Information，Shaoxing University，Shaoxing 312000，Zhejiang Province，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-4176-4923，E-mail：songming12_15@163.com.

收稿日期: 2021-09-23

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 11775146

Received: 2021-09-23

作者简介 About authors

吴沈辉（1997—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-8633-0769，男，硕士研究生，主要从事微分方程非线性波解研究，E-mail：wsh56314@163.com. , E-mail：wsh56314@163.com

摘要

利用动力系统定性理论和分支方法，研究了带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解，给出了不同参数条件下的相图，沿相图中的特殊轨道进行了积分，得到量子Zakharov方程的4个孤立波解、7个奇异波解和24个周期波解共3类非线性波解。当参数取特殊值时，对部分周期波解取极限，给出了周期波解演化为相应的孤立波解和奇异波解的过程。

关键词： 分支方法 ; 修正Zakharov方程 ; 非线性波解

Abstract

The exact nonlinear wave solutions of the Zakharov equation with a quantum correction are investigated by utilizing the bifurcation method and qualitative theory of dynamical systems. The phase portraits under different parameters are given, and we integrate along the special orbits in the phase portraits. Three kinds of nonlinear wave solutions of modified Zakharov equation can be obtained, including 4 solitary wave solutions, 7 singular wave solutions and 24 periodic wave solutions. When the parameters $H$ and $k$ take special values, we take the limit of the periodic wave solutions, it is shown that the periodic wave solutions can evolve into corresponding solitary wave solutions and singular wave solutions.

Keywords： bifurcation method ; the modified Zakharov equation ; nonlinear wave solutions

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本文引用格式

吴沈辉, 宋明. 带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(1): 30-37 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.005

WU Shenhui, SONG Ming. Exact nonlinear wave solutions for the modified Zakharov equation with a quantum correction. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(1): 30-37 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.005

0　引言

1972年，ZAKHAROV^［1］提出了可用于描述高频Langmuir波和低频等离子波之间非线性相互作用的Zakharov方程，此为等离子体物理中的重要方程组。在一维情况下，经典的Zakharov方程为

\{\begin{array}{l} i E_{t} + E_{x x} = n E, \\ n_{t t} - n_{x x} = {|E|}_{x x}^{2} ， \end{array}

（1）

其中， $E (x, t)$ 为高频电场的缓变振幅， $n (x, t)$ 为离子密度的扰动量。

近年来，众多学者致力于研究经典等离子体中的物理现象。考虑量子效应，用经典模型进行描述不够精确，GARCIA等^［2］利用量子流体方法得到带有量子修正的Zakharov方程：

\{\begin{array}{l} i E_{t} + E_{x x} - H^{2} E_{x x x x} = n E, \\ n_{t t} - n_{x x} + H^{2} n_{x x x x} = {|E|}_{x x}^{2} ， \end{array}

（2）

其中， $H$ 为等离子体与电子热能的比。

游淑军等^［3］证明了当参数 $H \to 0$ 时一类扰动方程的渐近行为，并得到此类扰动方程初值问题的解 $(E^{H}, n^{H})$ 收敛于Zakharov方程初值问题的解 $(E, n)$ 。LI等^［4］利用连续引理和线性插值理论，得到式（2）全局解的存在唯一性。YANG等^［5］、王悦悦等^［6］用扩展的双曲函数法得到多种孤波解，并发现参数 $H$ 决定了孤子的存在性和解的性质。ZHENG等^［7］结合先验估计、Galerkin法和Leray-Schauder不动点定理，得到式（2）的时间周期解。FANG等^［8］采用双曲函数展开法和Jacobi椭圆函数展开法，得到式（2）的三角函数解、有理函数解和孤立波解。HAN等^［9］利用动力系统方法和F-展开法，得到式（2）的周期波解，并发现当Jacobi椭圆函数的系数H收敛于1时，周期波解收敛于相应的孤立波解。

首先，利用动力系统分支方法和定性理论^［10-20］研究量子Zakharov方程的非线性波解，讨论不同参数取值范围内行波解的存在性。其次，通过行波变换将方程转至平面系统，确定不同参数条件下奇点的类型，并借助Mathematica软件得到系统的分支相图，分别对相图中的同宿轨道、异宿轨道和周期轨道进行积分，得到对应的孤立波解、奇异波解和周期波解。最后，给出当参数取极限时周期波解演化为孤立波解和奇异波解的过程。

1　相图

采用变换：

\{\begin{array}{l} E (x, t) = ϕ (ξ) e^{i (k x - ω t)}, \\ n (x, t) = n (ξ), ξ = x - 2 k t, \end{array}

（3）

将式（2）转化为

\{\begin{array}{l} - H^{2} ϕ^{(4)} + (1 + 6 H^{2} k^{2}) ϕ^{″} + (ω - k^{2} - \\ H^{2} k^{4}) ϕ - ϕ n = 0, \\ - 4 H^{2} k ϕ^{‴} + 4 H^{2} k^{3} ϕ^{'} = 0, \\ (4 k^{2} - 1) n^{″} + H^{2} {n^{″}}^{″} - 2 (ϕ^{'})^{2} - 2 ϕ ϕ^{″} = 0 ， \end{array}

（4）

将式（4）的第2式求导后代入第1式，并对第3式积分2次，得

\{\begin{array}{l} (1 + 5 H^{2} k^{2}) ϕ^{″} + (ω - k^{2} - H^{2} k^{4}) ϕ - ϕ n = 0, \\ (4 k^{2} - 1) n + H^{2} n^{″} - ϕ^{2} - g = 0, \end{array}

（5）

其中， $g$ 为积分常数。

设

\frac{d ϕ}{d ξ} = φ,

\frac{d n}{d ξ} = p,

ϕ (ξ) = a n (ξ) + b,

（6）

将式（6）代入式（5）的第1式，得

\{\begin{array}{l} \frac{d ϕ}{d ξ} = φ, \\ \frac{d φ}{d ξ} = \frac{1}{a (1 + 5 H^{2} k^{2})} ϕ^{2} - \frac{b + a (ω - k^{2} - H^{2} k^{4})}{a (1 + 5 H^{2} k^{2})} ϕ, \end{array}

（7）

将式（6）代入式（5）的第2式，得

\{\begin{array}{l} \frac{d n}{d ξ} = p, \\ \frac{d p}{d ξ} = \frac{a^{2}}{H^{2}} n^{2} + \frac{1 + 2 a b - 4 k^{2}}{H^{2}} n + \frac{b^{2} + g}{H^{2}} 。 \end{array}

（8）

将 $ϕ = a n + b$ 代入式（7），当 $a = \pm \sqrt[]{\frac{H^{2}}{1 + 5 H^{2} k^{2}}},$ $b = \pm \sqrt[]{\frac{H^{2}}{1 + 5 H^{2} k^{2}}} [\frac{(1 + 5 H^{2} k^{2}) (4 k^{2} - 1)}{H^{2}} - (ω - k^{2} - H^{2} k^{4})], g = (1 - 4 k^{2}) [\frac{(1 + 5 H^{2} k^{2}) (4 k^{2} - 1)}{H^{2}} - (ω - k^{2} - H^{2} k^{4})] 时, 式 (7) 和式 (8) 相同，即$

\{\begin{array}{l} \frac{d ϕ}{d ξ} = φ, \\ \frac{d φ}{d ξ} = \pm \frac{1}{\sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}} ϕ^{2} + \frac{1 - 4 k^{2}}{H^{2}} ϕ 。 \end{array}

（9）

对式（9）积分，得到2个哈密顿函数：

H_{+} (ϕ, φ) = \frac{1}{2} φ^{2} - \frac{1}{3 \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}} ϕ^{3} - \frac{1 - 4 k^{2}}{2 H^{2}} ϕ^{2},

（10）

H_{-} (ϕ, φ) = \frac{1}{2} φ^{2} + \frac{1}{3 \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}} ϕ^{3} - \frac{1 - 4 k^{2}}{2 H^{2}} ϕ^{2} 。

（11）

令

f (ϕ) = \frac{1}{\sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}} ϕ^{2} + \frac{1 - 4 k^{2}}{H^{2}} ϕ,

（12）

易得方程 $f (ϕ) = 0$ 有2个实根：

ϕ_{0} = 0

，

ϕ_{1} = \frac{(4 k^{2} - 1) \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}}{H^{2}}

。

根据动力系统定性理论，利用Mathmatica软件，得到式（9）的相图（图1）。

图1

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图1 在不同参数 $k$ 下式（9）的相图

Fig.1 System （9） for phase portraits corresponding to different parameters $k$

2　非线性波解

因为 $H_{+} (ϕ, φ)$ 的相图与 $H_{-} (ϕ, φ)$ 的相图对称，故仅考虑 $H_{+} (ϕ, φ)$ 。又由于 $n (ξ) = \frac{ϕ (ξ)}{a} - \frac{b}{a}$ ，为便于表述，省略表达式 $n (x, t)$ 。对于给定的参数 $H$ ， $k$ ，有 $A = \frac{2}{3 \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}}$ ， $ξ = x - 2 k t$ 。

（1）当 $4 k^{2} - 1 < 0$ 时，在图1（a）中，存在2个同宿轨道 $Γ_{1}$ ， ${\bar{Γ}}_{1}$ ，其表达式为

φ = \pm \sqrt[]{A} ϕ \sqrt[]{ϕ - ϕ_{2}},

（13）

其中， $ϕ_{2} = \frac{3 (4 k^{2} - 1) \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}}{2 H^{2}}$ ，以及2个由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{0}, 0)$ 定义的特殊轨道 $Γ_{1}^{*}$ ， ${\bar{Γ}}_{1}^{*}$ ，其表达式也为式（13）。

将式（13）代入 $\frac{d ϕ}{d ξ} = φ$ ，并沿轨道 $Γ_{1}$ ， ${\bar{Γ}}_{1}$ 积分，分别得

\pm \int_{ϕ_{2}}^{ϕ} \frac{1}{r \sqrt[]{r - ϕ_{2}}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（14）

\pm \int_{ϕ}^{+ \infty} \frac{1}{r \sqrt[]{r - ϕ_{2}}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（15）

由式（3），得到2个孤立波解：

E_{\pm} (x, t) = \{{[\frac{2 \sqrt[]{- ϕ_{2}}}{1 + e x p (\pm \sqrt[]{- A ϕ_{2}} ξ)} - \sqrt[]{- ϕ_{2}}]}^{2} + ϕ_{2}\} e^{i (k x - ω t)},

（16）

2个奇异波解：

E_{\pm} (x, t) = \{{[\frac{2 \sqrt[]{- ϕ_{2}}}{1 - e x p （ \pm \sqrt[]{- A ϕ_{2}} ξ ）} - \sqrt[]{- ϕ_{2}}]}^{2} + ϕ_{2}\} e^{i (k x - ω t)} 。

（17）

同理，在图1（a）中，存在由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{1}, 0)$ 定义的轨道 $Γ_{2}$ ， ${\bar{Γ}}_{2}$ ，其表达式为

φ = \pm \sqrt[]{A} （ ϕ - ϕ_{1} ） \sqrt[]{ϕ - ϕ_{3}},

（18）

其中， $ϕ_{3} = \frac{(1 - 4 k^{2}) \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}}{2 H^{2}}$ 。

将式（18）代入 $\frac{d ϕ}{d ξ} = φ$ ，并沿轨道 $Γ_{2}$ ， ${\bar{Γ}}_{2}$ 积分，分别得

\pm \int_{ϕ_{3}}^{ϕ} \frac{1}{(r - ϕ_{1}) \sqrt[]{r - ϕ_{3}}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（19）

\pm \int_{ϕ}^{\infty} \frac{1}{(r - ϕ_{1}) \sqrt[]{r - ϕ_{3}}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r 。

（20）

利用式（3），得到2个周期波解：

E (x, t) = \{(ϕ_{3} - ϕ_{1}) t a n^{2} [\frac{\sqrt[]{A (ϕ_{3} - ϕ_{1})} ξ}{2}] + ϕ_{3}\} e^{i (k x - ω t)},

（21）

E (x, t) = \{(ϕ_{3} - ϕ_{1}) c o t^{2} [\frac{\sqrt[]{A (ϕ_{3} - ϕ_{1})} ξ}{2}] + ϕ_{3}\} e^{i (k x - ω t)} 。

（22）

在图1（a）中，存在由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{6}, 0)$ 定义的轨道 $Γ_{3}$ ， ${\bar{Γ}}_{3}$ 和 $Γ_{3}^{*}$ ， ${\bar{Γ}}_{3}^{*}$ ，其表达式分别为

φ = \pm \sqrt[]{A} \sqrt[]{(ϕ - ϕ_{4}) (ϕ_{5} - ϕ) (ϕ_{6} - ϕ)},

（23）

φ = \pm \sqrt[]{A} \sqrt[]{(ϕ - ϕ_{4}) (ϕ - ϕ_{5}) (ϕ - ϕ_{6})},

（24）

其中， $ϕ_{2} < ϕ_{4} < ϕ_{1}$ ， $ϕ_{5} = \frac{- β - \sqrt[]{β^{2} - 4 α γ}}{2 α}$ ， $ϕ_{6} = \frac{- β + \sqrt[]{β^{2} - 4 α γ}}{2 α}$ ， $α = \frac{1}{3 \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}}$ ， $β = \frac{1 - 4 k^{2}}{2 H^{2}} + α ϕ_{4}$ ， $γ = β ϕ_{4}$ 。

将式（23）和式（24）代入 $\frac{d ϕ}{d ξ} = φ$ ，并沿轨道 $Γ_{3}$ ， ${\bar{Γ}}_{3}$ 和 $Γ_{3}^{*}$ ， ${\bar{Γ}}_{3}^{*}$ 积分，分别得

\pm \int_{ϕ_{4}}^{ϕ} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{4}) (ϕ_{5} - r) (ϕ_{6} - r)}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（25）

\pm \int_{ϕ}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{4}) (r - ϕ_{5}) (r - ϕ_{6})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r 。

（26）

利用式（3），得到2个周期波解：

E (x, t) = [(ϕ_{5} - ϕ_{4}) s n^{2} (\frac{\sqrt[]{A (ϕ_{6} - ϕ_{4})} ξ}{2}, k_{1}) + ϕ_{4}] e^{i (k x - ω t)},

（27）

E (x, t) = [\frac{ϕ_{6} - ϕ_{4}}{s n^{2} (\frac{\sqrt[]{A (ϕ_{6} - ϕ_{4})} ξ}{2}, k_{1})} + ϕ_{4}] e^{i (k x - ω t)},

（28）

其中，sn为Jacobi椭圆函数， $k_{1} = \sqrt[]{\frac{ϕ_{5} - ϕ_{4}}{ϕ_{6} - ϕ_{4}}}$ 。

在图1（a）中，存在由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{7}, 0)$ 定义的轨道 $Γ_{4}$ ， ${\bar{Γ}}_{4}$ 和由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{8}, 0)$ 定义的轨道 $Γ_{5}$ ， ${\bar{Γ}}_{5}$ ，其表达式分别为

φ = \pm \sqrt[]{A} \sqrt[]{(ϕ - ϕ_{7}) (ϕ - c_{1}) (ϕ - {\bar{c}}_{1})},

（29）

φ = \pm \sqrt[]{A} \sqrt[]{(ϕ - ϕ_{8}) (ϕ - c_{2}) (ϕ - {\bar{c}}_{2})},

（30）

其中， $ϕ_{7} > ϕ_{3}$ ， $ϕ_{8} < ϕ_{2}$ ， $c_{1}$ ， ${\bar{c}}_{1}$ 和 $c_{2}$ ， ${\bar{c}}_{2}$ 是共轭复数。

将式（29）和式（30）代入 $\frac{d ϕ}{d ξ} = φ$ ，并沿轨道 $Γ_{4}$ ， ${\bar{Γ}}_{4}$ 和 $Γ_{5}$ ， ${\bar{Γ}}_{5}$ 积分，分别得

\pm \int_{ϕ_{7}}^{ϕ} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{7}) (r - c_{1}) (r - {\bar{c}}_{1})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（31）

\pm \int_{ϕ}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{7}) (r - c_{1}) (r - {\bar{c}}_{1})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（32）

\pm \int_{ϕ_{8}}^{ϕ} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{8}) (r - c_{2}) (r - {\bar{c}}_{2})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（33）

\pm \int_{ϕ}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{8}) (r - c_{2}) (r - {\bar{c}}_{2})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r 。

（34）

利用式（3），得到8个周期波解：

E_{\pm} (x, t) = [\frac{2 B_{1}}{1 + c n (\pm \sqrt[]{A B_{1}} ξ, k_{2})} - B_{1} + ϕ_{7}] e^{i (k x - ω t)},

（35）

E_{\pm} (x, t) = [\frac{2 B_{1}}{1 - c n (\pm \sqrt[]{A B_{1}} ξ, k_{2})} - B_{1} + ϕ_{7}] e^{i (k x - ω t)},

（36）

E_{\pm} (x, t) = [\frac{2 B_{2}}{1 + c n (\pm \sqrt[]{A B_{2}} ξ, k_{3})} - B_{2} + ϕ_{8}] e^{i (k x - ω t)},

（37）

E_{\pm} (x, t) = [\frac{2 B_{2}}{1 - c n (\pm \sqrt[]{A B_{2}} ξ, k_{3})} - B_{2} + ϕ_{8}] e^{i (k x - ω t)},

（38）

其中，cn为Jacobi椭圆函数， $B_{1} = \sqrt[]{(b_{1} - ϕ_{7})^{2} + {a_{1}}^{2}}$ ， $k_{2} = \sqrt[]{\frac{B_{1} + b_{1} - ϕ_{7}}{2 B_{1}}}$ ， $B_{2} = \sqrt[]{(b_{2} - ϕ_{8})^{2} + {a_{2}}^{2}}$ ， $k_{3} = \sqrt[]{\frac{B_{2} + b_{2} - ϕ_{8}}{2 B_{2}}}$ ， $b_{1} = \frac{c_{1} + {\bar{c}}_{1}}{2}$ ， $a_{1} = \frac{c_{1} - {\bar{c}}_{1}}{2}$ ， $b_{2} = \frac{c_{2} + {\bar{c}}_{2}}{2}$ ， $a_{2} = \frac{c_{2} - {\bar{c}}_{2}}{2}$ 。

（2）当 $4 k^{2} - 1 = 0$ 时，在图1（b）中，存在由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{0}, 0)$ 定义的特殊轨道 $Γ_{6}$ ， ${\bar{Γ}}_{6}$ ，其表达式为

φ = \pm \sqrt[]{A} ϕ^{\frac{3}{2}} 。

（39）

将式（39）代入 $\frac{d ϕ}{d ξ} = φ$ ，并沿轨道 $Γ_{6}$ ， ${\bar{Γ}}_{6}$ 积分，分别得

\pm \int_{\tilde{ϕ}}^{ϕ} r^{- \frac{3}{2}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（40）

\pm \int_{ϕ}^{+ \infty} r^{- \frac{3}{2}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（41）

其中， $\tilde{ϕ} > 0$ 是初始值。

利用式（3），得到3个奇异波解：

E_{\pm} (x, t) = {({\tilde{ϕ}}^{- \frac{1}{2}} \mp \frac{1}{2} \sqrt[]{A} ξ)}^{- 2} e^{i (k x - ω t)},

（42）

E (x, t) = \frac{4}{A ξ^{2}} e^{i (k x - ω t)} 。

（43）

（3）当 $4 k^{2} - 1 > 0$ 时，在图1（c）中，存在2个同宿轨道 $Γ_{7}$ ， ${\bar{Γ}}_{7}$ ，其表达式为

φ = \pm \sqrt[]{A} (ϕ - ϕ_{9}) \sqrt[]{ϕ - ϕ_{10}},

（44）

其中， $ϕ_{9} = \frac{(4 k^{2} - 1) \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}}{H^{2}}$ ， $ϕ_{10} = \frac{- (4 k^{2} - 1) \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}}{2 H^{2}}$ ，以及2个由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{9}, 0)$ 定义的特殊轨道 $Γ_{7}^{*}$ ， ${\bar{Γ}}_{7}^{*}$ ，其表达式也为式（44）。

将式（44）代入 $\frac{d ϕ}{d ξ} = φ$ ，并沿轨道 $Γ_{7}$ ， ${\bar{Γ}}_{7}$ 积分，分别得

\pm \int_{ϕ_{10}}^{ϕ} \frac{1}{(r - ϕ_{9}) \sqrt[]{r - ϕ_{10}}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（45）

\pm \int_{ϕ}^{+ \infty} \frac{1}{(r - ϕ_{9}) \sqrt[]{r - ϕ_{10}}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r 。

（46）

利用式（3），得到2个孤立波解：

E_{\pm} (x, t) = ({\{\frac{2 \sqrt[]{ϕ_{9} - ϕ_{10}}}{1 + e x p [\pm \sqrt[]{A (ϕ_{9} - ϕ_{10})} ξ]} - \sqrt[]{ϕ_{9} - ϕ_{10}}\}}^{2} + ϕ_{10}) e^{i (k x - ω t)},

（47）

2个奇异波解：

E_{\pm} (x, t) = ({\{\frac{2 \sqrt[]{ϕ_{9} - ϕ_{10}}}{1 + e x p [\pm \sqrt[]{A (ϕ_{9} - ϕ_{10})} ξ]} - \sqrt[]{ϕ_{9} - ϕ_{10}}\}}^{2} + ϕ_{10}) e^{i (k x - ω t)} 。

（48）

在图1（c）中，存在由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{0}, 0)$ 定义的轨道 $Γ_{8}$ ， ${\bar{Γ}}_{8}$ ，其表达式为

φ = \pm \sqrt[]{A} ϕ \sqrt[]{ϕ - ϕ_{11}},

（49）

其中， $ϕ_{11} = \frac{3 (4 k^{2} - 1) \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}}{2 H^{2}}$ 。

将式（49）代入 $\frac{d ϕ}{d ξ} = φ$ ，并沿轨道 $Γ_{8}$ ， ${\bar{Γ}}_{8}$ 积分，分别得

\pm \int_{ϕ_{11}}^{ϕ} \frac{1}{r \sqrt[]{r - ϕ_{11}}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（50）

\pm \int_{ϕ}^{\infty} \frac{1}{r \sqrt[]{r - ϕ_{11}}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r 。

（51）

利用式（3），得到2个周期波解：

E (x, t) = [ϕ_{11} t a n^{2} (\frac{\sqrt[]{A ϕ_{11}} ξ}{2}) + ϕ_{11}] e^{i (k x - ω t)},

（52）

E (x, t) = [ϕ_{11} c o t^{2} (\frac{\sqrt[]{A ϕ_{11}} ξ}{2}) + ϕ_{11}] e^{i (k x - ω t)} 。

（53）

在图1（c）中，存在由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{14}, 0)$ 定义的轨道 $Γ_{9}$ ， ${\bar{Γ}}_{9}$ 和 $Γ_{9}^{*}$ ， ${\bar{Γ}}_{9}^{*}$ ，其表达式分别为

φ = \pm \sqrt[]{A} \sqrt[]{(ϕ - ϕ_{12}) (ϕ_{13} - ϕ) (ϕ_{14} - ϕ)},

（54）

φ = \pm \sqrt[]{A} \sqrt[]{(ϕ - ϕ_{12}) (ϕ - ϕ_{13}) (ϕ - ϕ_{14})},

（55）

其中， $0 < ϕ_{12} < ϕ_{10}$ ， $ϕ_{13} = \frac{- β - \sqrt[]{β^{2} - 4 α γ}}{2 α}$ ， $ϕ_{14} = \frac{- β + \sqrt[]{β^{2} - 4 α γ}}{2 α}$ ， $α = \frac{1}{3 \sqrt[]{(1 + 5 H^{2} k^{2}) H^{2}}}$ ， $β = \frac{1 - 4 k^{2}}{2 H^{2}} + α ϕ_{12}$ ， $γ = β ϕ_{12}$ 。

将式（54）和式（55）代入 $\frac{d ϕ}{d ξ} = φ$ ，并沿轨道 $Γ_{9}$ ， ${\bar{Γ}}_{9}$ 和 $Γ_{9}^{*}$ ， ${\bar{Γ}}_{9}^{*}$ 积分，分别得

\pm \int_{ϕ_{12}}^{ϕ} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{12}) (ϕ_{13} - r) (ϕ_{14} - r)}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（56）

\pm \int_{ϕ}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{12}) (r - ϕ_{13}) (r - ϕ_{14})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r 。

（57）

利用式（3），得到2个周期波解：

E (x, t) = [(ϕ_{13} - ϕ_{12}) s n^{2} (\frac{\sqrt[]{A (ϕ_{14} - ϕ_{12})} ξ}{2}, k_{4}) + ϕ_{12}] e^{i (k x - ω t)},

（58）

E (x, t) = [\frac{ϕ_{14} - ϕ_{12}}{s n^{2} (\frac{\sqrt[]{A (ϕ_{14} - ϕ_{12})} ξ}{2}, k_{4})} + ϕ_{12}] e^{i (k x - ω t)},

（59）

其中， $k_{4} = \sqrt[]{\frac{ϕ_{13} - ϕ_{12}}{ϕ_{14} - ϕ_{12}}}$ 。

在图1（c）中，存在由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{15}, 0)$ 定义的轨道 $Γ_{10}$ ， ${\bar{Γ}}_{10}$ 和由 $H_{+} (ϕ, φ) = H_{+} (ϕ_{16}, 0)$ 定义的轨道 $Γ_{11}$ ， ${\bar{Γ}}_{11}$ ，其表达式分别为

φ = \pm \sqrt[]{A} \sqrt[]{(ϕ - ϕ_{15}) (ϕ - c_{3}) (ϕ - {\bar{c}}_{3})},

（60）

φ = \pm \sqrt[]{A} \sqrt[]{(ϕ - ϕ_{16}) (ϕ - c_{4}) (ϕ - {\bar{c}}_{4})},

（61）

其中， $ϕ_{15} > ϕ_{11}$ ， $ϕ_{16} < ϕ_{10}$ ， $c_{3}$ ， ${\bar{c}}_{3}$ 和 $c_{4}$ ， ${\bar{c}}_{4}$ 是共轭复数。

将式（60）和式（61）代入 $\frac{d ϕ}{d ξ} = φ$ ，并沿轨道 $Γ_{10}$ ， ${\bar{Γ}}_{10}$ 和 $Γ_{11}$ ， ${\bar{Γ}}_{11}$ 积分，分别得

\pm \int_{ϕ_{15}}^{ϕ} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{15}) (r - c_{3}) (r - {\bar{c}}_{3})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（62）

\pm \int_{ϕ}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{15}) (r - c_{3}) (r - {\bar{c}}_{3})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（63）

\pm \int_{ϕ_{16}}^{ϕ} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{16}) (r - c_{4}) (r - {\bar{c}}_{4})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r,

（64）

\pm \int_{ϕ}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt[]{(r - ϕ_{16}) (r - c_{4}) (r - {\bar{c}}_{4})}} d r = \sqrt[]{A} \int_{0}^{ξ} d r 。

（65）

利用式（3），得到8个周期波解：

E_{\pm} (x, t) = [\frac{2 B_{3}}{1 + c n (\pm \sqrt[]{A B_{3}} ξ, k_{5})} - B_{3} + ϕ_{15}] e^{i (k x - ω t)},

（66）

E_{\pm} (x, t) = [\frac{2 B_{3}}{1 - c n (\pm \sqrt[]{A B_{3}} ξ, k_{5})} - B_{3} + ϕ_{15}] e^{i (k x - ω t)},

（67）

E_{\pm} (x, t) = [\frac{2 B_{4}}{1 + c n (\pm \sqrt[]{A B_{4}} ξ, k_{6})} - B_{4} + ϕ_{16}] e^{i (k x - ω t)},

（68）

E_{\pm} (x, t) = [\frac{2 B_{4}}{1 - c n (\pm \sqrt[]{A B_{4}} ξ, k_{6})} - B_{4} + ϕ_{16}] e^{i (k x - ω t)},

（69）

其中， $B_{3} = \sqrt[]{(b_{3} - ϕ_{15})^{2} + {a_{3}}^{2}}$ ， $k_{5} = \sqrt[]{\frac{B_{3} + b_{3} - ϕ_{15}}{2 B_{3}}}$ ， $B_{4} = \sqrt[]{(b_{4} - ϕ_{16})^{2} + {a_{4}}^{2}}$ ， $k_{6} = \sqrt[]{\frac{B_{4} + b_{4} - ϕ_{16}}{2 B_{4}}}$ ， $b_{3} = \frac{c_{3} + {\bar{c}}_{3}}{2}$ ， $a_{3} = \frac{c_{3} - {\bar{c}}_{3}}{2}$ ， $b_{4} = \frac{c_{4} + {\bar{c}}_{4}}{2}$ ， $a_{4} = \frac{c_{4} - {\bar{c}}_{4}}{2}$ 。

3　周期波解的演化过程

当参数取特殊值时，对周期波解取极限，得到相应的孤立波解和奇异波解。

（1）取 $H = 0.3$ ， $k = 0.3$ ，令 $ϕ_{4} \to ϕ_{2}$ ，则周期波解式（27） $\to$ 孤立波解式（16），如图2所示。

图2

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图2 当 $ϕ_{4} \to ϕ_{2}$ 时，周期波解式（27） $\to$ 孤立波解式（16）

Fig.2 When $ϕ_{4}$ tends to $ϕ_{2}$ ， the periodic wave solution （27） tends to the solitary wave solution （16）

（2）取 $H = 0.3$ ， $k = 0.3$ ，令 $ϕ_{8} \to ϕ_{2}$ ，则周期波解式（37） $\to$ 孤立波解式（16），如图3所示。

图3

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图3 当 $ϕ_{8} \to ϕ_{2}$ 时，周期波解式（37） $\to$ 孤立波解式（16）

Fig.3 When $ϕ_{8}$ tends to $ϕ_{2}$ ， the periodic wave solution （37） tends to the solitary wave solution （16）

（3）取 $H = 0.3$ ， $k = 0.3$ ，令 $ϕ_{4} \to ϕ_{2}$ ，则周期波解式（28） $\to$ 奇异波解式（17），如图4所示。

图4

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图4 当 $ϕ_{4} \to ϕ_{2}$ 时，周期波解式（28） $\to$ 奇异波解式（17）

Fig.4 When $ϕ_{4}$ tends to $ϕ_{2}$ ， the periodic wave solution （28） tends to the singular wave solution （17）

（4）取 $H = 0.3$ ， $k = 0.3$ ，令 $ϕ_{8} \to ϕ_{2}$ ，则周期波解式（38） $\to$ 奇异波解式（17），如图5所示。

图5

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图5 当 $ϕ_{8} \to ϕ_{2}$ 时，周期波解式（38） $\to$ 奇异波解式（17）

Fig.5 When $ϕ_{8}$ tends to $ϕ_{2}$ ， the periodic wave solution （38） tends to the singular wave solution （17）

4　结论

利用平面系统的分支方法，得到式（9）随参数 $k$ 变化的相图分支，发现2个哈密顿函数 $H_{+} (ϕ, φ)$ 和 $H_{-} (ϕ, φ)$ 的相图对称，并求得量子Zakharov方程的各种精确非线性波解，包括孤立波解、奇异波解和周期波解。基于量子Zakharov方程解的研究，得到了更多周期波解，如式（21）（22）（35）（36）（37）（38）（52）（53）（66）（67）（68）（69），以及新的奇异波解，如式（17）（42）（43）（48）。最后，通过对部分周期波解取极限，给出其演化为孤立波解和奇异波解的过程。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.005

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收敛于Zakharov方程初值问题的解

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决定了孤子的存在性和解的性质.ZHENG等^［7］结合先验估计、Galerkin法和Leray-Schauder不动点定理，得到式（2）的时间周期解.FANG等^［8］采用双曲函数展开法和Jacobi椭圆函数展开法，得到式（2）的三角函数解、有理函数解和孤立波解.HAN等^［9］利用动力系统方法和F-展开法，得到式（2）的周期波解，并发现当Jacobi椭圆函数的系数H收敛于1时，周期波解收敛于相应的孤立波解. ...

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