格林函数变号时二阶离散周期边值问题正解的存在性

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.004

格林函数变号时二阶离散周期边值问题正解的存在性

胡文丰^,¹, 王晶晶^,^,²

1.宁波职业技术学院公共教学部，浙江宁波 315800

2.西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070

Existence of positive solutions for second order discrete periodic boundary value problems with sign-changing Green′s function

HU Wenfeng^,¹, WANG Jingjing^,^,²

1.Department of Public Course Teaching，Ningbo Polytechnic，Ningbo 315800，Zhejiang Province，China

2.College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China

通讯作者: ORCID： https：//orcid.org/0000-0003-0507-7368，E-mail：WJJ950712@163.com.

收稿日期: 2021-09-13

基金资助:

宁波职业技术学院校级课题. NZ22013

Received: 2021-09-13

作者简介 About authors

胡文丰（1994—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-3518-4172，男，硕士，助教，主要从事计算数学研究. 。

摘要

运用锥上的不动点指数理论，讨论了格林函数变号时的二阶离散周期边值问题 $\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (t - 1) + k^{2} u (t) = λ b (t) f (u (t)), \begin{matrix} t \in {[1, n]}_{Z}, \end{matrix} \\ u (0) = u (n), Δ u (0) = Δ u (n) 。 \end{array}$ 当 $λ b (t) \equiv 1$ 时，该问题存在正解；当 $b ： {[1 ， n]}_{Z} \to R^{+}$ 时，该问题不存在正解，其中 $f \in C (R^{+} ， R^{+})$ ， $k$ 为满足 $t a n θ = \frac{k \sqrt[]{4 - k^{2}}}{2 - k^{2}}$ 的常数， $λ$ 为参数， $θ \in (0 ， \frac{3 π}{2 n}]$ ， $R^{+} ： = [0 ， \infty)$ 。

关键词： 周期边值问题 ; 正解 ; 变号格林函数 ; 不动点指数

Abstract

In this paper, the second order discrete periodic boundary value problem $\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (t - 1) + k^{2} u (t) = λ b (t) f (u (t)), \begin{matrix} t \in {[1, n]}_{Z}, \end{matrix} \\ u (0) = u (n), Δ u (0) = Δ u (n) \end{array}$ is studied by using the fixed point index theory on the cone. Firstly,the existence of the positive solution is proved when $λ b (t) \equiv 1$ ;Secondly, we show the nonexistence of the positive solution of this problem when $b ： {[1 ， n]}_{Z} \to R^{+}$ ,where is $f \in C (R^{+} ， R^{+})$ , $k$ is a constant satisfying $t a n θ = \frac{k \sqrt[]{4 - k^{2}}}{2 - k^{2}}$ , $λ$ is a parameter and $θ \in (0 ， \frac{3 π}{2 n}]$ , $R^{+} ： = [0 ， \infty)$ .

Keywords： periodic boundary value problem ; positive solution ; sign-changing Green's function ; fixed point index

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本文引用格式

胡文丰, 王晶晶. 格林函数变号时二阶离散周期边值问题正解的存在性. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(6): 670-675 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.004

HU Wenfeng, WANG Jingjing. Existence of positive solutions for second order discrete periodic boundary value problems with sign-changing Green′s function. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(6): 670-675 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.004

0　引言

周期边值问题古老又富有生命力，近年来，二阶周期边值问题正解的存在性研究取得了丰硕的成果^［1-10］。ATICI等^［1］利用锥上的不动点定理研究了二阶离散周期边值问题

\{\begin{array}{l} - Δ [p (n - 1) Δ y (n - 1)] + q (n) y (n) = \\ f (n ， y (n)) ， n \in {[1 ， N]}_{Z} ， \\ y (0) = y (N) ， p (0) Δ y (0) = p (N) Δ y (N) \end{array}

（1）

解的存在性，其中 $p (n) > 0 ， q (n) > 0$ 且 $f ： {[1 ， N]}_{Z} \times [0 ， + \infty) \to [0 ， + \infty)$ 关于第2个变量连续， ${[1 ， N]}_{Z} = {1 ， 2 ， \dots ， N}$ 。ATICI等^［2］运用上下解方法研究了当 $p (n) \equiv 1$ 时的二阶离散周期边值问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} y (n - 1) + q (n) y (n) + f (n ， y (n)) = 0 ， \\ n \in {[1 ， N]}_{Z} ， \\ y (0) = y (N) ， Δ y (0) = Δ y (N) \end{array}

（2）

解的存在性，其中 $q ： {[1 ， N]}_{Z} \to (- \infty ， 0]$ 满足 $q (\cdot) \neq 0$ ， $f ： {[1 ， N]}_{Z} \times R \to R$ 。王丽颖等^［3］和李晓月等^［4］运用锥上的不动点定理研究了式（1）和式（2）正解的存在性和多解性。MA等^［5］运用锥上的不动点定理证明了二阶离散周期边值问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} y (n - 1) + q (n) y (n) = f (n ， y (n)) ， \\ n \in {[1 ， N]}_{Z} ， \\ y (0) = y (N) ， Δ y (0) = Δ y (N) \end{array}

（3）

正解的存在性，其中 $q ： {[1 ， N]}_{Z} \to (0 ， \infty)$ 。蒋玲芳^［6］运用锥上不动点定理研究了二阶离散周期边值问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} y (n - 1) + q (n) y (n) = λ g (n) f (y (n)) + \\ c (n), n \in {[1, N]}_{Z}, \\ y (0) = y (N), Δ y (0) = Δ y (N) \end{array}

（4）

正解的存在性和多解性。

值得注意的是，以上文献在研究周期问题时格林函数 $G (t ， s)$ 均严格为正，保证了相应的分算子为正，即可以构造一个非负锥，运用锥上的不动点定理证明其正解的存在性。一个有趣的问题是， $G (t ， s)$ 变号后式（3）是否仍存在正解？

当 $G (t ， s)$ 定号、有零点或变号时，有关连续的二阶周期边值问题正解的存在性已有不少重要结果^［7-10］，但至今未见当 $G (t ， s)$ 变号时离散的二阶周期问题式（3）正解的存在性报道。受文献［3-10］的启发，本文讨论边值问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (n - 1) + k^{2} u (n) = λ b (t) f (u (t)) ， \\ n \in {[1 ， N]}_{Z} ， \\ u (0) = u (n) ， Δ u (0) = Δ u (n) \end{array}

（5）

正解的存在性，其中， $f \in C (R^{+} ， R^{+}) ，$ $b ： {[1 ， n]}_{Z} \to R^{+}$ ， $k$ 为常数，满足 $t a n θ = \frac{k \sqrt[]{4 - k^{2}}}{2 - k^{2}} ，$ $θ \in (0 ， \frac{3 π}{2 n}]$ 。注意到当 $θ \in [\frac{π}{n}, \frac{3 π}{2 n}]$ 时，式（5）相应的 $G (t ， s)$ 变号，因此不能再定义为一般的非负锥，亦不能直接应用锥上的不动点定理。

本文将通过讨论 $G (t ， s)$ 变号后的性质，构造一个新锥，结合锥上的不动点指数理论获得式（5）正解的存在性结论，同时给出式（5）正解不存在性的结果。

1　预备知识

方便起见，先给出一些常用的记号：对任意的 $a ， b \in N$ 且 ${[a ， b]}_{Z} = {a ， a + 1 ， \dots ，$ $b}$ ；若 $m > n$ ，则 $\sum_{s = m}^{n} u (s) = 0 ； \prod_{s = m}^{n} u (s) = 1$ 。

考虑二阶离散周期边值问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (n - 1) + k^{2} u (n) = f (u (t)) ， \\ n \in {[1 ， N]}_{Z} ， \\ u (0) = u (n) ， Δ u (0) - Δ u (n) = 1 ， \end{array}

（6）

其中， $k$ 为常数，且满足

t a n θ = \frac{k \sqrt[]{4 - k^{2}}}{2 - k^{2}}

，

θ \in (0 ， \frac{3 π}{2 n}]

。

经计算，式（6）的解可表示为

$u (t) = s i n θ (t - s) + s i n θ [n - (t - s)] ， t \in {[1 ， n]}_{Z} ，$ 其中， $\frac{π}{n} \leq θ \leq \frac{3 π}{2 n}$ 。从而不难得到

\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (t - 1) + k^{2} u (t) = h (t) ， t \in {[1 ， n]}_{Z} ， \\ u (0) = u (n) ， Δ u (0) = Δ u (n) \end{array}

（7）

有唯一解

u (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) h (s) ，

其中， $G (t ， s)$ 为式（7）相应的格林函数， $\begin{array}{l} G (t, s) = \\ \{\begin{array}{l} \frac{s i n θ (t - s) + s i n θ (n - t + s)}{2 s i n θ (1 - c o s θ n)} ， 0 \leq s \leq t \leq n ， \\ \frac{s i n θ (s - t) + s i n θ (n - s + t)}{2 s i n θ (1 - c o s θ n)} ， 0 \leq t \leq s \leq n 。 \end{array} \end{array}$

计算可得

\begin{array}{l} \frac{s i n θ n}{2 s i n θ (1 - c o s θ n)} \leq G (t ， s) \leq \frac{s i n (θ n / 2)}{s i n θ (1 - c o s θ n)} = \\ \underset{t ， s \in {[1 ， n]}_{Z}}{m a x} G (t ， s) 。 \end{array}

注意到

（i）当 $0 < θ < \frac{π}{n}$ 时， $G (t ， s) > 0 ；$

（ii）当 $\frac{π}{n} \leq θ \leq \frac{3 π}{2 n}$ 时，若 $|t - s| < \frac{n}{2} - \frac{π}{2 θ} ，$ 则 $G (t ， s) < 0 ，$ 其中 $(t ， s) \in {[1 ， n]}_{Z} \times {[1 ， n]}_{Z}$ 。

对 $G (t ， s)$ 关于 $s$ 从 $1$ 到 $n$ 求和，得到

g (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) = \frac{1 + c o s θ}{2 s i n^{2} θ} ， t \in {[0 ， n + 1]}_{Z} ，

（8）

经计算，可得

\begin{array}{l} \sum_{s = 1}^{n} G^{-} (t ， s) = \frac{(1 + c o s θ) [1 - 2 s i n (θ n / 2) - c o s θ n]}{2 s i n^{2} θ (1 - c o s θ n)} ， \\ t \in {[0 ， n + 1]}_{Z} ， \end{array}

（9）

从而

\begin{array}{l} m i n \frac{\sum_{s = 1}^{n} G^{+} (t ， s)}{\sum_{s = 1}^{n} G^{-} (t ， s)} = \frac{2 [1 - c o s θ n - s i n (θ n / 2)]}{1 - c o s θ n - 2 s i n (θ n / 2)} ， \\ t \in {[1 ， n]}_{Z} ， \end{array}

（10）

其中， $G^{+} (t ， s)$ 和 $G^{-} (t ， s)$ 分别为 $G (t ， s)$ 的正部和负部。

定义

\begin{array}{l} σ = \frac{1 + c o s θ}{2 s i n^{2} θ} \times \frac{1}{\underset{t ， s \in {[1 ， n]}_{Z}}{m a x} G (t ， s)} = \\ \frac{(1 + c o s θ) (1 - c o s θ n)}{2 s i n θ s i n (θ n / 2)}, \end{array}

γ = \{\begin{array}{l} + \infty, 0 < θ < \frac{π}{n}, \\ \frac{2 [1 - c o s θ n - s i n (θ n / 2)]}{1 - c o s θ n - 2 s i n (θ n / 2)}, \frac{π}{n} \leq θ \leq \frac{3 π}{2 n} 。 \end{array}

定义函数空间

\begin{array}{l} E ： = {u : {[0 ， n + 1]}_{Z} \to R |u (0) = u (n) ， \\ Δ u (0) = Δ u (n)} ， \end{array}

则 $E$ 按范数 $‖u‖ = \underset{t ， s \in {[1 ， n]}_{Z}}{m a x} |u (t)|$ 构成Banach空间。定义锥

K = \{u \in \overset{}{\underset{}{E}}| u \geq 0, \sum_{s = 1}^{n} u (s) \geq σ ‖u‖\} 。

（11）

显然，对任意的 $r > 0$ ，有 $K_{r} = {u \in K ： ‖u‖ < r} 。$

考虑二阶离散特征值问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (t - 1) + k^{2} u (t) = λ u (t) ， t \in {[1 ， n]}_{Z} ， \\ u (0) = u (n) ， Δ u (0) = Δ u (n) ， \end{array}

（12）

不难得到式（12）有一列实特征根

λ_{i} = 2 c o s \frac{2 π i}{n} + k^{2} - 2 。

当 $θ_{1} = 0$ 时， $λ_{1} = k^{2}$ 为式（12）的主特征值且相应的特征函数为 $ϕ (t) \equiv 1 > 0$ 。

本文用到的主要引理：

引理1^［11］令 $E$ 为Banach空间， $K \subseteq E$ 为 $E$ 中的一个闭凸锥。 $L ： K \to K$ 为一个全连续算子， $i (L ， K_{r} ， K)$ 表示算子 $L$ 的不动点指数。

（i）如果对于任意的 $u \in \partial K_{r}$ 有 $μ L u \neq u$ ，那么 $i (L ， K_{r} ， K) = 1 ；$

（ii）如果对于任意的 $u \in \partial K_{r}$ 有 $\underset{u \in \partial K_{r}}{i n f} ‖L u‖ > 0$ 且 $μ L u \neq u ， μ \geq 1 ，$ 那么 $i (L ， K_{r} ， K) = 0 。$

2　存在性结果

给出当 $λ b (t) \equiv 1$ 时，式（5）正解的存在性。

假设非线性项 $f$ 满足：

（H1） $f ： R^{+} \to R^{+}$ 是连续的；

（H2） $0 \leq m = \underset{u \in [0 ， + \infty)}{i n f} f (u), M = \underset{u \in [0 ， + \infty)}{s u p} f (u) \leq$

+ \infty ；

（H3）当 $m > 0$ 时， $\frac{M}{m} \leq γ$ ，当 $m = 0$ 时， $\frac{M}{m} = + \infty$ 。

方便起见，记

f_{0} = \underset{u \to 0}{l i m} \frac{f (u)}{u} ， \begin{matrix} f_{\infty} = \underset{u \to \infty}{l i m} \end{matrix} \frac{f (u)}{u}

，

且假设 $f_{0} ， f_{\infty} \in [0 ， \infty]$ 。

定理1 假设（H1）~（H3）成立，另假设当 $γ = + \infty$ 时， $f_{0} > k^{2}$ ， $f_{\infty} < k^{2}$ ，则式（5）至少存在1个正解。

定义算子 $L ： K \to E$

L u (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) f (u (s)) ， t \in {[0 ， n + 1]}_{Z} 。

（13）

不难验证 $u \in K$ 是算子 $L$ 的一个不动点当且仅当 $u$ 为式（5）的1个正解。

引理2 假设（H1）~（H3）成立，则 $L (K) \subseteq K$ ，且 $L ： E \to E$ 全连续。

证明对任意的 $u \in K$ ，当 $γ = + \infty$ 时， $G (t ， s) > 0$ ，从而 $L u (t) \geq 0 ， t \in {[0 ， n + 1]}_{Z} 。$

当 $γ < + \infty$ 时，

\begin{array}{l} L u (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t, s) f (u (s)) = \\ \sum_{s = 1}^{n} [G^{+} (t ， s) - G^{-} (t ， s)] f (u (s)) \geq \\ \sum_{s = 1}^{n} [G^{+} (t ， s) m - G^{-} (t ， s) M] = \\ m [G^{+} (t, s) - \frac{M}{m} G^{-} (t, s)] \geq \\ m \sum_{s = 1}^{n} [G^{+} (t ， s) - γ G^{-} (t ， s)] \geq 0 。 \end{array}

对算子 $L u$ 从 $1$ 到 $n$ 求和，有

\sum_{t = 1}^{n} L u (t) = \sum_{t = 1}^{n} \sum_{s = 1}^{n} G (t, s) f (u (s)) = \sum_{s = 1}^{n} f (u (s)) \sum_{t = 1}^{n} G (t, s) \geq \frac{1 + c o s θ}{2 s i n^{2} θ} \sum_{s = 1}^{n} f (u (s)),

且对任意的 $t \in {[1 ， n]}_{Z}$ ，有

\begin{array}{l} L u (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) f (u (s)) \leq \\ \underset{t ， s \in {[1 ， n]}_{Z}}{m a x} G (t ， s) \sum_{s = 1}^{n} f (u (s)) 。 \end{array}

因此

\sum_{t = 1}^{n} L u (t) \geq σ \underset{t \in {[1 ， n]}_{Z}}{m a x} |L u (t)| 。

定理1的证明由 $f_{0} > k^{2}$ ，知存在 $ε > 0$ 和 $ζ > 0$ ，使得对任意的 $u \in [0 ， ζ]$ ，有

f (u) \geq (k^{2} + ε) u 。

令 $r \in (0, ζ)$ ，则对所有的 $u \in \partial K_{r}$ ，有

\begin{array}{l} T ‖L u‖ \geq \sum_{t = 1}^{n} L u (t) = \sum_{s = 1}^{n} f (u (s)) \sum_{t = 1}^{n} G (t, s) \geq \frac{1}{k^{2}} \sum_{s = 1}^{n} f (u (s)) \geq \frac{k^{2} + ε}{k^{2}} \sum_{s = 1}^{n} u (s) \geq \\ \frac{(k^{2} + ε) σ r}{k^{2}} > 0 。 \end{array}

因此 $\underset{u \in \partial k_{r}}{i n f} ‖L u‖ > 0 。$

假设存在 $u_{*} \in \partial K_{r} ， μ_{*} \geq 1$ ，使得 $μ_{*} L u_{*} = u_{*} ，$ 则 $u_{*} (t)$ 满足边值条件

\{\begin{array}{l} Δ u_{*} (t) + k^{2} u_{*} (t) = μ_{*} f (u_{*} (t)) ， t \in {[1 ， n]}_{Z} ， \\ u_{*} (0) = u_{*} (n) ， Δ u_{*} (0) = Δ u_{*} (n) 。 \end{array}

（14）

对式（14）两边关于 $t$ 从 $1$ 到 $n$ 求和，可得

k^{2} \sum_{t = 1}^{n} u_{*} (t) = μ_{*} \sum_{t = 1}^{n} f (u_{*} (t)) \geq (k^{2} + ε) \sum_{t = 1}^{n} u_{*} (t) 。

由于 $\sum_{t = 1}^{n} u_{*} (t) \geq σ ‖u_{*}‖ > 0 ，$ 这与 $k^{2} \geq k^{2} + ε$ 矛盾。因此由引理1，可得

i (L ， K_{r} ， K) = 0 。

（15）

又由 $f_{\infty} < k^{2} ，$ 知存在 $ε \in (0 ， k^{2})$ 和 $ζ > 0$ ，使得对任意的 $u \geq ζ$ ，有

f (u) \leq (k^{2} - ε) u 。

取 $C = \underset{0 \leq u \leq ζ}{m a x} |f (u) - (k^{2} - ε) u| + 1 ，$ 则对任意的 $u \geq 0$ ，有

f (u) \leq (k^{2} - ε) u + C 。

（16）

假设存在 $u^{*} \in K$ ， $0 < μ^{*} \leq 1$ ，使得 $μ^{*} L u^{*} = u^{*} ，$ $u^{*}$ 为式（14）的解，进而有

k^{2} {\sum_{t = 1}^{n} u^{*} (t) = μ}^{*} {\sum_{t = 1}^{n} f (u}^{*} (t)) \leq (k^{2} - ε) {\sum_{t = 1}^{n} u}^{*} (t) + C 。

因此

\frac{C}{ε} \geq \sum_{t = 1}^{n} u^{*} (t) \geq σ ‖u^{*}‖ ，

得到

‖u^{*}‖ \leq \frac{C}{σ ε} 。

令 $R > m a x \{\frac{C}{σ ε} ， ξ\} ，$ 则对任意的 $u \in \partial K_{R}$ 和 $0 < μ < 1$ ，由引理1，有

i (L ， K_{R} ， K) = 1 。

（17）

由式（15）和式（17），知

i (L ， K_{R} \ K_{r} ， K ） = i (L ， K_{R} ， K) - i (L ， K_{r} ， K) = 1 ，

故算子 $L$ 在 $K_{R} \ K_{r}$ 上存在1个不动点，即为式（5）的1个正解。

例1 令 $0 < q < 1$ 为常数，函数 $h$ 满足

h (x) = \{\begin{array}{l} 1, \begin{matrix} x \geq 0 \end{matrix}, \\ 0, \begin{matrix} x < 0 。 \end{matrix} \end{array}

令

\begin{array}{l} f (u) = 1 + h (\frac{π}{n} - θ) u^{q} + \\ [1 - h (\frac{π}{n} - θ)] \frac{2 s i n (θ n / 2)}{π [1 - s i n (θ n / 2)]} ， \end{array}

其中， $0 < θ < \frac{3 π}{2 n} ， n \geq 5$ 为给定的常数。不难得到

m = 1 ， M = \underset{u \in [0 ， \infty)}{s u p} f (u) = + \infty ， \frac{M}{m} = γ = + \infty 。

考虑二阶离散周期边值问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (t - 1) + k^{2} u (t) = f (u (t)) ， t \in {[1 ， n]}_{Z} ， \\ u (0) = u (n) ， Δ u (0) = Δ u (n) ， \end{array}

（18）

其中， $k$ 为满足 $t a n θ = \frac{k \sqrt[]{4 - k^{2}}}{2 - k^{2}}$ 的常数。易证 $f_{0} = \infty ， f_{\infty} = 0$ 。显然，定理1的条件均成立，故式（18）至少存在1个正解。

3　不存在性结果

考虑带参数的二阶离散周期边值问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (t - 1) + k^{2} u (t) = λ b (t) f (u (t)) ， \\ t \in {[1 ， n]}_{Z} ， \\ u (0) = u (n) ， Δ u (0) = Δ u (n) \end{array}

（19）

正解的不存在性。注意到当 $k$ 满足 $t a n θ = \frac{k \sqrt[]{4 - k^{2}}}{2 - k^{2}}$ 且 $θ \in [0 ， \frac{3 π}{2 n}]$ 时，线性问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (t - 1) + k^{2} u (t) = 0 ， t \in {[1 ， n]}_{Z} ， \\ u (0) = u (n) ， Δ u (0) = Δ u (n) \end{array}

（20）

只有平凡解，且 $G (t ， s)$ 会变号。

假设：

（H4） $f \in C^{2} (R^{+} ， R)$ 且 $f (0) > 0$ ；

（H5） $b ： {[1 ， n]}_{Z} \to [0 ， + \infty)$ 且存在 $t_{0} \in {[1 ， n]}_{Z}$ ，使得 $b (t_{0}) \neq 0$ 。

令

B^{0} (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) b (s) ， t \in {[1, n]}_{Z} ，

则由式（8），知

B^{0} (t) \geq 0 ， t \in {[1, n]}_{Z} 。

（21）

由式（9）和式（10），知存在 $t_{1} \in {[1 ， n]}_{Z}$ ，使得 $B^{0} （ t_{1}) = 0$ ，且 ${t \in {[1 ， n]}_{Z} |B^{0} (t) > 0} > 0$ 。此外，易知

m i n \{\sum_{t = 1}^{n} G (t ， s) b (t) |t \in {[1 ， n]}_{Z}\} = ： M^{*} > 0 。

由式（9），知

\underset{t \in {[1 ， n]}_{Z}}{m i n} \sum_{s = 1}^{n} G^{-} (t ， s) b (s) = ： m^{*} > 0 。

基于以上讨论，可得到式（19）正解不存在性的结论。

定理2 假设（H4）和（H5）成立。令 $β (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) b (s) B^{0} (s) ，$ 若 $β (t_{1}) > 0 ， f^{'} (0) < 0$ 或 $β (t_{1}) < 0 ， f^{'} (0) > 0$ ，则对于充分小的 $λ$ ，式（19）不存在正解。

证明反设当 $λ \to 0^{+}$ 充分小时， $(λ ， u_{λ})$ 是式（19）的解。令 $u_{λ} = λ W_{λ} ，$ 则由式（19），可知

\{\begin{array}{l} Δ^{2} W_{λ} (t - 1) + k^{2} W_{λ} (t) = b (t) f (λ W_{λ} (t)), \\ t \in {[1, n]}_{Z}, \\ W_{λ} (0) = W_{λ} (n), Δ W_{λ} (0) = Δ W_{λ} (n) ， \end{array}

即

W_{λ} (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) b (s) f (λ W_{λ} (s)) 。

由（H4）和Lebesgue控制收敛定理，可得当 $λ \to 0$ 时，

W_{λ} （ \cdot ） \to f (0) B^{0} （ \cdot ） 。

（22）

另，

\begin{array}{l} W_{λ} (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) b (s) f (λ W_{λ} (s)) = \\ \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) b (s) [f (0) + f^{'} (0) λ W_{λ} (s) + \\ o (W_{λ} (s))] = f (0) B^{0} (t) + \\ λ f^{'} (0) \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) b (s) W_{λ} [1 + o (1)] = \\ f (0) B^{0} (t) + λ f^{'} (0) w_{λ} (t) \end{array}

，（23）

其中，

w_{λ} (t) = \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) b (s) W_{λ} (s) [1 + o (1)] 。

（24）

由式（22），可推得

w_{λ} (t) \to \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) b (s) f (0) B^{0} (s) = f (0) β (t) 。

（25）

由式（23），可得

W_{λ} (t_{1}) = f (0) B^{0} (t_{1}) + λ f^{'} (0) w_{λ} (t_{1}) 。

利用式（21）、式（25）和定理2的条件，可得

\frac{W_{λ} (t)}{λ} \to f^{'} (0) f (0) β (t_{1}) < 0 ， λ \to 0^{+} 。

故当 $λ$ 充分小时， $u {}_{λ}(t) < 0$ ，即式（19）不存在正解。

定理3 假设（H5）成立，若 $f ： R^{+} \to R$ 连续且为凸函数，满足

i n f \{\frac{f (s)}{s} |s \in (0 ， \infty)\} = l \in (0 ， \infty] ，

则对充分大的 $λ > 0 ，$ 式（19）不存在正解。

证明反设 ${(μ_{n}, u_{n})}$ 是式（19）的一列正解序列且满足

μ_{n} \to \infty ， u_{n} > 0 ，

（26）

则

u_{n} (t) = μ_{n} \sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) b (s) f (u_{n} (s)) ， t \in {[1 ， n]}_{Z} 。

令

\bar{b} = \frac{1}{n} \sum_{s = 1}^{n} b (s) ，

进而利用詹森不等式^［12］

\frac{1}{n} f [u (t)] \geq f [\frac{1}{n} \sum_{s = 1}^{n} u (t)] ，

可得

\begin{array}{l} \sum_{t = 1}^{n} b (t) u_{n} (t) = μ_{n} \sum_{t = 1}^{n} b (t) \times \\ [\sum_{s = 1}^{n} G (t, s) b (s) f (u_{n} (s))] = \\ μ_{n} \sum_{s = 1}^{n} b (s) f (u_{n} (s)) [\sum_{t = 1}^{n} G (t, s) b (t)] \geq \\ μ_{n} M^{*} \sum_{s = 1}^{n} b (s) f (u_{n} (s)) = \\ μ_{n} M^{*} \bar{b} \frac{\sum_{s = 1}^{n} f (u_{n} (s)) b (s)}{\bar{b}} \geq \\ μ_{n} M^{*} \bar{b} n f (\frac{\frac{1}{n} \sum_{s = 1}^{n} u_{n} (s) b (s ）}{\bar{b}}) 。 \end{array}

由 $f$ 的条件，可得

μ_{n} M^{*} l \leq 1 ，

这与式（26）矛盾，即当 $λ$ 充分大时，式（19）不存在正解。

例2 讨论二阶离散周期边值问题

\{\begin{array}{l} Δ^{2} u (t - 1) + (2 - \sqrt[]{3}) u (t) = λ f (u (t)), \\ t \in {[1, 5]}_{Z}, \\ u (0) = u (5), Δ u (0) = Δ u (5) \end{array}

（27）

正解的存在性，其中 $f (u) = e^{u}$ 。

显见， $f$ 为 $[0, \infty)$ 上的凸函数且满足

i n f \{\frac{f (s)}{s}, s \in (0, \infty)\} = \infty

。

令 $k^{2} = 2 - \sqrt[]{3} ， b (t) \equiv 1$ ，则不难得到 $t a n θ = \frac{\sqrt[]{3}}{3}$ ，即 $θ = \frac{π}{6}$ 。由式（27），相应的格林函数

\begin{array}{l} G (t ， s) = \\ \{\begin{array}{l} \frac{\frac{1}{2} (t - s) + \frac{1}{2} (5 - t + s)}{1 + \frac{\sqrt[]{3}}{2}} ， 0 \leq s \leq t \leq 5 ， \\ \frac{\frac{1}{2} (s - t) + \frac{1}{2} (5 - s + t)}{1 + \frac{\sqrt[]{3}}{2}} ， 0 \leq t \leq s \leq 5 。 \end{array} \end{array}

经计算，可得

\sum_{s = 1}^{n} G (t ， s) = 2 + \sqrt[]{3} 。

故定理3的条件均成立。由定理3，对于充分大的 $λ$ ，式（27）不存在正解。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.004

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Positive periodic solutions for nonlinear difference equations with periodic coefficients

1999

... 周期边值问题古老又富有生命力，近年来，二阶周期边值问题正解的存在性研究取得了丰硕的成果^［1-10］.ATICI等^［1］利用锥上的不动点定理研究了二阶离散周期边值问题 ...

... ［1］利用锥上的不动点定理研究了二阶离散周期边值问题 ...

Existence and uniqueness results for discrete second-order periodic boundary value problems

2003

... 解的存在性，其中

p (n) > 0 ， q (n) > 0

且

f ： {[1 ， N]}_{Z} \times [0 ， + \infty) \to [0 ， + \infty)

关于第2个变量连续，

{[1 ， N]}_{Z} = {1 ， 2 ， \dots ， N}

.ATICI等^［2］运用上下解方法研究了当

p (n) \equiv 1

时的二阶离散周期边值问题 ...

二阶离散周期边值问题的正解

2007

... 解的存在性，其中

q ： {[1 ， N]}_{Z} \to (- \infty ， 0]

满足

q (\cdot) \neq 0

，

f ： {[1 ， N]}_{Z} \times R \to R

.王丽颖等^［3］和李晓月等^［4］运用锥上的不动点定理研究了式（1）和式（2）正解的存在性和多解性.MA等^［5］运用锥上的不动点定理证明了二阶离散周期边值问题 ...

... 当

G (t ， s)

定号、有零点或变号时，有关连续的二阶周期边值问题正解的存在性已有不少重要结果^［7-10］，但至今未见当

G (t ， s)

变号时离散的二阶周期问题式（3）正解的存在性报道.受文献［3-10］的启发，本文讨论边值问题 ...

二阶离散周期边值问题的正解

2007

... 解的存在性，其中

q ： {[1 ， N]}_{Z} \to (- \infty ， 0]

满足

q (\cdot) \neq 0

，

f ： {[1 ， N]}_{Z} \times R \to R

... 当

G (t ， s)

定号、有零点或变号时，有关连续的二阶周期边值问题正解的存在性已有不少重要结果^［7-10］，但至今未见当

G (t ， s)

变号时离散的二阶周期问题式（3）正解的存在性报道.受文献［3-10］的启发，本文讨论边值问题 ...

二阶离散周期边值问题的单个和多个正解

2009

... 解的存在性，其中

q ： {[1 ， N]}_{Z} \to (- \infty ， 0]

满足

q (\cdot) \neq 0

，

f ： {[1 ， N]}_{Z} \times R \to R

二阶离散周期边值问题的单个和多个正解

2009

... 解的存在性，其中

q ： {[1 ， N]}_{Z} \to (- \infty ， 0]

满足

q (\cdot) \neq 0

，

f ： {[1 ， N]}_{Z} \times R \to R

Existence of one- signed solutions of discrete second-order periodic boundary value problems

2012

... 解的存在性，其中

q ： {[1 ， N]}_{Z} \to (- \infty ， 0]

满足

q (\cdot) \neq 0

，

f ： {[1 ， N]}_{Z} \times R \to R

二阶奇异离散周期边值问题正解的存在性和多解性

2013

... 正解的存在性，其中

q ： {[1 ， N]}_{Z} \to (0 ， \infty)

.蒋玲芳^［6］运用锥上不动点定理研究了二阶离散周期边值问题 ...

二阶奇异离散周期边值问题正解的存在性和多解性

2013

... 正解的存在性，其中

q ： {[1 ， N]}_{Z} \to (0 ， \infty)

.蒋玲芳^［6］运用锥上不动点定理研究了二阶离散周期边值问题 ...

A periodic boundary value problem with vanishing Green's function

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... 当

G (t ， s)

定号、有零点或变号时，有关连续的二阶周期边值问题正解的存在性已有不少重要结果^［7-10］，但至今未见当

G (t ， s)

变号时离散的二阶周期问题式（3）正解的存在性报道.受文献［3-10］的启发，本文讨论边值问题 ...

Boundary value problems with vanishing Green's function

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... 当

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定号、有零点或变号时，有关连续的二阶周期边值问题正解的存在性已有不少重要结果^［7-10］，但至今未见当

G (t ， s)

变号时离散的二阶周期问题式（3）正解的存在性报道.受文献［3-10］的启发，本文讨论边值问题 ...

... -10］的启发，本文讨论边值问题 ...

1988

... 引理1^［11］令

E

为Banach空间，

K \subseteq E

为

E

中的一个闭凸锥.

L ： K \to K

为一个全连续算子，

i (L ， K_{r} ， K)

表示算子

L

的不动点指数. ...

詹森不等式的推广及应用

2014

... 进而利用詹森不等式^［12］ ...

詹森不等式的推广及应用

2014

... 进而利用詹森不等式^［12］ ...

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