非线性边界条件下拟线性瞬态方程组的Phragmén-Lindelöf型二择一结果

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.003

非线性边界条件下拟线性瞬态方程组的Phragmén-Lindelöf型二择一结果

李远飞^,¹, 肖胜中², 曾鹏¹, 欧阳柏平¹

1.广州华商学院，广东广州 511300

2.广东农工商职业技术学院, 广东广州 510507

Phragmén-Lindelöf type alternative results for quasilinear transient equations with nonlinear boundary conditions

LI Yuanfei^,¹, XIAO Shengzhong², ZENG Peng¹, OUYANG Baiping¹

1.Guangzhou Huashang College，Guangzhou 511300，China

2.Guangdong AIB College，Guangzhou 510507，China

收稿日期: 2020-04-13

基金资助:

广东省普通高校创新团队项目. 2020WCXTD008

Received: 2020-04-13

作者简介 About authors

李远飞（1982—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-9314-4104，男，博士，教授，主要从事偏微分方程研究. 。

摘要

考虑了一类定义在三维半无穷柱体上的拟线性方程组，其中假设方程的解在柱体的有限端和侧面满足非齐次条件。定义了“能量”表达式，通过限制非线性项，利用微分不等式技术，推导了一阶微分不等式，解此不等式得到二择一结果，即证明了“能量”随与有限端距离的增大要么呈指数式（多项式）增加，要么呈指数式（多项式）衰减。同时，在衰减情形下得到了全能量的上界。

关键词： 拟线性方程 ; 非线性边界条件 ; Phragmén-Lindelöf型二择一 ; 空间衰减性

Abstract

In this paper, we consider a class of quasilinear equations defined on a three-dimensional semi-infinite cylinder, in which the solutions of the equations are assumed to satisfy the nonhomogeneous conditions on both the finite end and the side of the cylinder. An expression of "energy" is defined. By limiting the nonlinear terms and making full use of the differential inequality technique, we obtain a first order differential inequality. By solving this inequality, we prove the alternative results, i.e., the "energy" increases exponentially (polynomial) or decays exponentially (polynomial) with the distance from the finite end. Finally, in the case of decay, we get the upper bound of total energy.

Keywords： quasilinear equation ; nonlinear conditions ; Phragmén-Lindelöf type alternative ; spatial decay

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本文引用格式

李远飞, 肖胜中, 曾鹏, 欧阳柏平. 非线性边界条件下拟线性瞬态方程组的Phragmén-Lindelöf型二择一结果. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(6): 662-669 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.003

LI Yuanfei, XIAO Shengzhong, ZENG Peng, OUYANG Baiping. Phragmén-Lindelöf type alternative results for quasilinear transient equations with nonlinear boundary conditions. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(6): 662-669 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.003

1856年SAINT-VENANT^［1］提出的数学和力学方程，后被称为Saint-Venant原理，广受应用数学领域研究者的关注和深入研究。其含义为“能量”随与柱体有限端距离的增大逐渐衰减为零^［2-7］。几乎所有的研究均需要方程的解在无穷远处衰减于零或趋近于瞬态层流的先验假设，且通常假设在柱体的侧面满足零边界条件。

20世纪90年代后，Phragmén-Lindelöf型二择一原理被提出，并逐步成为研究热点，不必再假设方程的解满足Saint-Venant原理，只要证明“能量”随与柱体有限端距离的增加要么无限增大要么衰减为零。Phragmén-Lindelöf型二择一原理在物理学、力学和生物学等领域具有巨大的应用前景^［8-14］。

通常的做法是先定义一个半无穷的柱体：

$R = x 1 ， x 2 ， x 3 | x 1 ， x 2 ∈ D ， x 3 > 0$ ，

其中， $D$ 为 $x_{1} O x_{2}$ 平面上的一个有界区域且具有光滑的边界 $\partial D$ 。用R_z 表示R的一个子区域：

$R z = {x 1 ， x 2 ， x 3 | x 1 ， x 2 ∈ D ， x 3$ ≥ $z > 0}$ ，

其中，z为x₃ 轴上的一个动点。用D_z 表示R在x₃=z处的横截面：

$D z = x 1 ， x 2 ， x 3 | x 1 ， x 2 ∈ D ， x 3 = z > 0$ 。

假设方程的解在柱体的有限端满足非零边界条件，在柱体的侧面满足齐次Dirichlet边界条件或齐次Neumann边界条件。用微分不等式技术证明“能量”要么呈指数式（多项式）增加，要么呈指数式（多项式）衰减。如LIN^［13］考虑了定义在 $R \times (0, \infty)$ 上的稳态拟线性方程

$(ρ (x, u, ∇ u) u, i), i = f (u)$ ，

其中，逗号表示求导，重复英文下标表示从1到3求和，如 $(ρ (x, u, \nabla u) u_{, i})_{, i} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial}{\partial x_{i}}$ $(ρ (x, u, \nabla u) \frac{\partial u}{x_{i}})$ 。在柱体的侧面，解满足齐次Dirichlet边界条件或齐次Neumann边界条件

$u = 0 或 ∂ u ∂ n = 0 ，在 ∂ D × 0 ， ∞$ 。

对非线性项做一定限制，可得到解的二择一定理。

考虑瞬态拟线性方程

$u t = (ρ (x, u, ∇ u) u, i), i - f (u), (x, t) ∈ R × 0 ， ∞$ 。（1）

在柱体侧面施加非齐次Dirichlet边界条件

$u + h (u) = 0 ，在 ∂ D × 0 ， ∞ × 0 ， ∞$ ，（2）

其中，h（u）为已知函数。在柱体的有限端，有

$u = g (x 1, x 2, t) ， (x 1, x 2, t) ∈ D × 0 ， ∞$ ，（3）

初始条件为

$u (x, 0) = 0, x ∈ R$ 。（4）

式（1）中， $\nabla = (\partial_{x_{1}}, \partial_{x_{2}}, \partial_{x_{2}})$ 表示梯度算子，f（u）为大于零的非线性函数，满足

$u f (u) ≥ k 1 u 2 q q - 1, q > 1, k 1 > 0$ 。（5）

且假设 $ρ$ 满足

0< $c 1 ≤ ρ ≤ M 1 + M 2 (ρ | ∇ u | 2) 1 q$ ，（6）

其中，c₁，M₁和M₂均为大于零的常数。

式（2）中，h（u）满足

$u h (u) ≥ k 2 | u | 2 p, p > 12, k 2 > 0$ 。（7）

式（3）中，g为大于零的给定函数且满足兼容性条件g=0，在D₀ $\times (0 ， \infty)$ 和g（x₁， x₂， 0）=0。

实际情况是研究的物理模型很难满足齐次边界条件，因此本研究更有意义。据知，目前除文献［8，11］外，很少见关注非齐次边界条件下二择一抛物问题的文献。文献［8］研究的是三维柱体上调和方程的二择一拋物问题，文献［11］则假设调和方程在柱体侧面满足不同的非零边界条件，得到解的二择一定理。本文的模型更复杂，无法直接应用文献［8，11］中的方法。

1　基本不等式

在研究二择一问题时，大多文献通常用 $\nabla w$ 的 $L^{2}$ 积分控制w的 $L^{2}$ 积分，即若 $w |_{\partial D} = 0$ ，则

λ \int_{D}^{} w^{2} d A \leq \int_{D}^{} w_{, α} w_{, α} d A

，

其中， $λ$ 为二维固定膜问题的最小特征值， $w_{, α} w_{, α}$ 表示 $\sum_{α = 1}^{2} w_{, α} w_{, α}$ 。显然此不等式在本文条件下不成立。

为证明本文的主要结果，结合文献［5，8］的方法，推导常用的微分不等式。

引理1 存在一个依赖于区域D的大于零的常数C₁，使得

\int_{D}^{} | w |^{2} d A \leq C_{1} [{(\int_{\partial D}^{} | w | d l)}^{2} + \int_{D}^{} w_{, α} w_{, α} d A]

。

证明设P为D内一点。令P₁和P₂分别表示过点P平行于x₁坐标轴的直线与 $\partial D$ 的交点，令Q₁和Q₂分别为过点P平行于坐标轴x₂的直线与 $\partial D$ 的交点。首先，注意到

w (P) = w (P_{1}) + \int_{P_{1}}^{P} \frac{\partial w}{\partial x_{1}} d x_{1} = w (P_{2}) - \int_{P}^{P_{2}} \frac{\partial w}{\partial x_{1}} d x_{1} ，

所以

| w (P) | = \frac{1}{2} [w (P_{1}) + w (P_{2})] + \int_{P_{1}}^{P_{2}} |\frac{\partial w}{\partial x_{1}}| d x_{1}

。（8）

类似地

| w (Q) | = \frac{1}{2} [w (Q_{1}) + w (Q_{2})] + \int_{Q_{1}}^{Q_{2}} |\frac{\partial w}{\partial x_{1}}| d x_{1}

。（9）

由式（8）和式（9），有

\int_{D}^{} | w |^{2} d A \leq \frac{1}{2} {[\int_{\partial D}^{} | w | d l + \int_{D}^{} w_{, α} d A]}^{2}

。

利用不等式

{(a + b)}^{2} \leq a^{2} + b^{2}, a, b > 0

及H $\ddot{o}$ lder不等式，可得

\int_{D}^{} | w |^{2} d A \leq \frac{1}{2} [{(\int_{\partial D}^{} | w | d l)}^{2} + | D | \int_{D}^{} w_{, α} w_{, α} d A]

，

其中，|D|表示区域D的面积。现取 $C_{1} = \frac{1}{2} m a x {1, | D |}$ ，引理1得证。

接下来，定义能量表达式，然后利用微分不等式技术推导关于此能量表达式的一阶微分不等式，得到解的二择一结果。

由式（1），可得恒等式

\begin{array}{l} \int_{0}^{t} \int_{z_{0}}^{z} \int_{D_{ξ}}^{} u [u_{η} - (ρ (x, u, \nabla u) u_{, i})_{, i} + \\ f (u)] d A d ξ d η = 0 \end{array}

，

其中， $z_{0} (\geq 0)$ 为坐标轴x₃上的点，分部积分，可得

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \int_{z_{0}}^{z} \int_{D_{ξ}}^{} u^{2} d A d ξ |_{η = t} + \int_{0}^{t} \int_{z_{0}}^{z} \int_{\partial D_{ξ}}^{} ρ u h (u) d l d ξ d η + \int_{0}^{t} \int_{z_{0}}^{z} \int_{D_{ξ}}^{} ρ u_{, i} u_{, i} d A d ξ d η - \\ \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u u_{, 3} d A d η + \int_{0}^{t} \int_{D_{z_{0}}}^{} ρ u u_{, 3} d A d η + \\ \int_{0}^{t} \int_{z_{0}}^{z} \int_{D_{ξ}}^{} u f (u) d A d ξ d η = 0 ， \end{array}

（10）

令

E (z, t) = \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u u_{, 3} d A d η

，（11）

由式（10），可得

\begin{array}{l} E (z, t) - E (z_{0}, t) = \frac{1}{2} \int_{z_{0}}^{z} \int_{D_{ξ}}^{} u^{2} d A d ξ |_{η = t} + \int_{0}^{t} \int_{z_{0}}^{z} \int_{D_{ξ}}^{} ρ u_{, i} u_{, i} d A d ξ d η + \int_{0}^{t} \int_{z_{0}}^{z} \int_{D_{ξ}}^{} u f (u) d A d ξ d η + \\ \int_{0}^{t} \int_{z_{0}}^{z} \int_{\partial D_{ξ}}^{} ρ u h (u) d l d ξ d η ， \end{array}

（12）

求导，可得

\frac{\partial}{\partial z} E (z, t) = \frac{1}{2} \int_{D_{z}}^{} u^{2} d A |_{η = t} + \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, i} u_{, i} d A d η + \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} u f (u) d A d η + \int_{0}^{t} \int_{\partial D_{z}}^{} ρ u h (u) d l d η 。

（13）

利用H $\ddot{o}$ lder不等式和式（6），由式（11），可得

\begin{array}{l} | E (z, t) | \leq {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} \leq \sqrt[]{M_{1}} {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} u^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} + \\ \sqrt[]{M_{2}} {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} \times {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} (ρ | \nabla u |^{2})^{\frac{1}{q}} u^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} = I_{1} + I_{2} 。 \end{array}

（14）

由引理1和Schwarz不等式，可得

\begin{array}{l} | I_{1} | \leq \sqrt[]{M_{1} C_{1}} {[{(\int_{0}^{t} \int_{\partial D_{z}}^{} | u | d l d η)}^{2} + \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} u_{, α} u_{, α} d A d η]}^{\frac{1}{2}} {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} \leq \\ \sqrt[]{M_{1} C_{1}} (\int_{0}^{t} \int_{\partial D_{z}}^{} | u | d l d η) {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} + \\ \sqrt[]{M_{1} C_{1}} {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} u_{, α} u_{, α} d A d η)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} \leq \\ \sqrt[]{M_{1} C_{1}} {(L t)}^{\frac{2 p - 1}{2 p}} {(\int_{0}^{t} \int_{\partial D_{z}}^{} | u |^{2 p} d l d η)}^{\frac{1}{2 p}} \times \\ {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} + \frac{\sqrt[]{M_{1} C_{1}}}{c_{1}} \times \\ {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, α} u_{, α} d A d η)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η)}^{\frac{1}{2}} \leq \\ \frac{\sqrt[]{M_{1} C_{1}} {(L t)}^{\frac{2 p - 1}{2 p}}}{p + 1} k_{2}^{- \frac{1}{2 p}} \times \\ {\{{(\frac{1}{c_{1}})}^{\frac{p + 1}{2 p}} {[\int_{0}^{t} \int_{\partial D_{z}}^{} ρ u h (u) d l d η]}^{\frac{p + 1}{2 p}} + p (\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η)\}}^{\frac{p + 1}{2 p}}^{} + \\ \frac{\sqrt[]{M_{1} C_{1}}}{2 c_{1}} \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, i} u_{, i} d A d η, \end{array}

（15）

\begin{array}{l} | I_{2} | \leq \frac{1}{2} \sqrt[]{M_{2}} \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} (ρ | \nabla u |^{2})^{\frac{1}{q}} u^{2} d A d η + \frac{1}{2} \sqrt[]{M_{2}} \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η \leq \frac{1}{2} \sqrt[]{M_{2}} [\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η + {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ | \nabla u |^{2} d A d η)}^{\frac{1}{q}} {(\int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} | u |^{\frac{2 q}{q - 1}} d A d η)}^{\frac{q - 1}{q}}] \leq \\ \frac{1}{2} \sqrt[]{M_{2}} \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ u_{, 3}^{2} d A d η + \\ \frac{1}{2 q} \sqrt[]{M_{2}} \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} ρ | \nabla u |^{2} d A d η + \\ \frac{q - 1}{2 k_{1} q} \sqrt[]{M_{2}} \int_{0}^{t} \int_{D_{z}}^{} u f (u) d A d η, \end{array}

（16）

其中，L为D的周长。将式（15）和式（16）代入式（14），再由式（13），可得

| E (z, t) | \leq m_{1} {[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{} + m_{2} {[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{\frac{p + 1}{2 p}}

，（17）

其中，

\begin{array}{l} m_{1} = m a x \{\frac{1}{2} \sqrt[]{M_{2}}, \frac{q - 1}{2 k_{1} q} \sqrt[]{M_{2}}, \frac{\sqrt[]{M_{1} C_{1}}}{2 c_{1}}\} ， \\ m_{2} = \frac{\sqrt[]{M_{1} C_{1}} {(L t)}^{\frac{2 p - 1}{2 p}}}{p + 1} k_{2}^{- \frac{1}{2 p}} m a x \{{(\frac{1}{c_{1}})}^{\frac{p + 1}{2 p}}, p\} 。 \end{array}

2　二择一结果

分以下3种情形分析式（17）。

（i） $\frac{1}{2} < p < 1$ 。

（A）假设存在一个 $z_{0}$ ，使得E（ $z_{0}$ ，t）>0。由于 $\frac{\partial}{\partial z} E (z, t) \geq 0$ ，所以对所有的 $z \geq z_{0} > 0$ ，有E（z，t）>0。此时对式（17）右边第1项，利用Young不等式，可得

\begin{array}{l} m_{1} {[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{} \leq m_{1} {[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{\frac{p + 1}{2 p} \times \frac{3 p - 1}{p + 1}} \times {[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{\frac{p + 1}{4 p} \times \frac{2 - 2 p}{p + 1}} \leq m_{1} \frac{3 p - 1}{p + 1} {[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{\frac{p + 1}{2 p}} + \\ m_{1} \frac{2 - 2 p}{p + 1} {[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{\frac{p + 1}{4 p}} 。 \end{array}

（18）

所以

E (z, t) \leq m_{3} {[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{\frac{p + 1}{4 p}} + m_{4} {[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{\frac{p + 1}{2 p}}

，（19）

其中， $m_{3} = m_{1} \frac{3 p - 1}{p + 1}, m_{4} = m_{2} + m_{1} \frac{3 p - 1}{p + 1}$ 。

于是由式（19），可得

E (z, t) + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}} \leq m_{4} {\{{[\frac{\partial}{\partial z} E (z, t)]}^{\frac{p + 1}{4 p}} + \frac{m_{3}^{}}{2 m_{4}}\}}^{2}

。

化简，可得

\frac{\partial E}{\partial z} \geq {[\sqrt[]{\frac{1}{m_{4}} E (z, t) + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}} - \frac{m_{3}}{2 m_{4}}]}^{\frac{4 p}{p + 1}} 。

（20）

将右边的项移到左边并从 $z_{0}$ 到 $z$ 积分，有

\begin{array}{l} m_{4} \frac{1}{{[\sqrt[]{\frac{1}{m_{4}} E (z, t) + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}} - \frac{m_{3}}{2 m_{4}}]}^{\frac{4 p}{p + 1}}} \times \\ d (\frac{1}{m_{4}} E (z, t) + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}) \geq z - z_{0} 。 \end{array}

所以

\begin{array}{l} 2 m_{4} \int_{z_{0}}^{z} {[\sqrt[]{\frac{1}{m_{4}} E (z, t) + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}} - \frac{m_{3}}{2 m_{4}}]}^{\frac{1 - 3 p}{p + 1}} \times d (\sqrt[]{\frac{1}{m_{4}} E (z, t) + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}}) + \\ m_{3} \int_{z_{0}}^{z} {[\sqrt[]{\frac{1}{m_{4}} E (z, t) + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}} - \frac{m_{3}}{2 m_{4}}]}^{\frac{- 4 p}{p + 1}} \times \\ d (\sqrt[]{\frac{1}{m_{4}} E (z, t) + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}}) \geq z - z_{0} ， \end{array}

（21）

积分并舍弃左边一些非正项，可得

\begin{array}{l} \frac{p + 1}{1 - p} m_{4} {[\sqrt[]{\frac{E (z, t)}{m_{4}} + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}} - \frac{m_{3}}{2 m_{4}}]}^{^{\frac{2 - 2 p}{p + 1}}} \geq \\ (z - z_{0}) - \frac{p + 1}{3 p - 1} \times \\ m_{3} {[\sqrt[]{\frac{E (z_{0}, t)}{m_{4}} + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}} - \frac{m_{3}}{2 m_{4}}]}^{^{\frac{1 - 3 p}{p + 1}}} 。 \end{array}

（22）

利用不等式

\sqrt[]{a + b} \leq \sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}, a, b > 0 ，

（23）

式（22）可改写为

E (z, t) \geq m_{5} {\{z - z_{0} - \frac{p + 1}{3 p - 1} \times m_{3} {[\sqrt[]{\frac{E (z_{0}, t)}{m_{4}} + \frac{m_{3}^{2}}{4 m_{4}^{2}}} - \frac{m_{3}}{2 m_{4}}]}^{^{\frac{1 - 3 p}{p + 1}}}\}}^{\frac{1 + p}{1 - p}} ，

（24）

其 中 ， m_{5} = {(\frac{1 - p}{1 + p})}^{\frac{1 + p}{1 - p}} m_{4}^{- \frac{2 p}{1 - p}} 。 显 然

\underset{z \to \infty}{l i m} [z^{- \frac{1 + p}{1 - p}} E (z, t)] \geq m_{5} ，

（25）

表明如果 $E (z, t)$ 在某点 $z_{0}$ 处大于零，那么对任意的 $z > 0 ，$ $|E (z, t)|$ 无界，且其增长速度等于或快于 $z^{- \frac{1 + p}{1 - p}}$ 。将式（24）代入式（20），可得

\underset{z \to \infty}{l i m} [z^{- \frac{2 p}{1 - p}} \frac{\partial E}{\partial z}] \geq {(\frac{m_{5}}{m_{4}})}^{\frac{2 p}{1 - p}} 。

（B）若对任意的 $z > 0$ ，有 $E (z, t)$ <0，则式（17）可改写为

- E (z, t) \leq m_{1} [\frac{\partial E}{\partial z}] + m_{2} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{2 p}} 。

（26）

对右边第2项，应用Young不等式，可得

m_{2} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{2 p}} = m_{2} {[δ \frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{3 p - 1}{2 p}} {[{(\frac{\partial E}{\partial z})}^{2} δ^{- \frac{3 p - 1}{1 - p}}]}^{\frac{1 - p}{2 p}} \leq \frac{3 p - 1}{1 - p} m_{2} δ [\frac{\partial E}{\partial z}] + \frac{1 - p}{2 p} m_{2} δ^{- \frac{3 p - 1}{1 - p}} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{2} ，

其中，δ为大于零的任意常数，代入式（26），可得

- E (z, t) \leq m_{6} [\frac{\partial E}{\partial z}] + m_{7} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{2} ，

（27）

其中， $m_{6} = m_{1} + \frac{3 p - 1}{2 p} m_{2} δ$ ， $m_{7} = \frac{1 - p}{2 p} m_{2} δ^{- \frac{3 p - 1}{1 - p}},$ 解得

\frac{\partial E}{\partial z} \geq \sqrt[]{- \frac{E (z, t)}{m_{7}} + \frac{m_{6}^{2}}{4 m_{7}^{2}}} - \frac{m_{6}}{2 m_{7}} 。

（28）

积分，可得

\begin{array}{l} \{2 m_{7} \sqrt[]{- \frac{E (z, t)}{m_{7}} + \frac{m_{6}^{2}}{4 m_{7}^{2}}} - m_{6} + \\ m_{6} l n [\sqrt[]{- \frac{E (z, t)}{m_{7}} + \frac{m_{6}^{2}}{4 m_{7}^{2}}} - \frac{m_{6}}{2 m_{7}}]\} |\begin{matrix} ^{z} \\ _{0} \end{matrix} \leq - z ， \end{array}

（29）

所以

- E (z, t) \leq m_{7} Φ^{2} (0, t) e^{- \frac{2 z}{m_{6}}} + m_{6} Φ (0, t) e^{- \frac{z}{m_{6}}} ，

（30）

其中，

Φ (0, t) = [\sqrt[]{- \frac{E (0, t)}{m_{7}} + \frac{m_{6}^{2}}{4 m_{7}^{2}}} - \frac{m_{6}}{2 m_{7}}] e^{\frac{2 m_{7}}{m_{6}} \sqrt[]{- \frac{E (0, t)}{m_{7}} + \frac{m_{6}^{2}}{4 m_{7}^{2}}}} 。

显然 $\underset{z \to \infty}{l i m} - E (z, t) = 0$ 。对式（13）从0到 $\infty$ 积分，易得

\begin{array}{l} - E (z, t) = \frac{1}{2} \int_{R_{z}} u^{2} d A d ξ |_{η = t} + \\ \int_{0}^{t} \int_{R_{z}} ρ u_{, i} u_{, i} d A d ξ d η + \\ \int_{0}^{t} \int_{R_{z}} u f (u) d A d ξ d η + \int_{0}^{t} \int_{z}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} u h (u) d l d ξ d η 。 \end{array}

（31）

将二择一结果总结为以下定理。

定理1 假设 $u$ 是式（1）~式（4）的解，且 $\frac{1}{2} < p < 1$ ，则要么

\underset{z \to \infty}{l i m} [z^{- \frac{2 p}{1 - p}} \frac{\partial E}{\partial z}] \geq {(\frac{m_{5}}{m_{4}})}^{\frac{2 p}{1 - p}}

，

要么 $- E (z, t) \leq m_{7} Φ^{2} (0, t) e^{- \frac{2 z}{m_{6}}} + m_{6} Φ (0, t) e^{- \frac{z}{m_{6}}}$ ，

$\frac{\partial E}{\partial z}$ 的定义见式（13）， $- E (z, t)$ 的定义见式（31）， $m_{i} (i = 4,5, 6,7)$ 为大于零的常数。

注1 由 $m_{6}$ 的定义，知 $m_{6}$ 和常数 $δ$ 有关，只要选择 $δ$ 足够小，衰减率 $\frac{1}{m_{6}}$ 可足够大。

（ii） $p = 1$ 。

在式（17）中，取 $p = 1$ ，并记 $m_{8} = m_{1} + m_{2}$ ，有

|E (z, t)| \leq m_{8} [\frac{\partial E}{\partial z}] 。

（A）假设存在一个 $z_{0}$ ，使得 $E (z_{0}, t) > 0 。$ 由于 $\frac{\partial E (z, t)}{\partial z} \geq 0$ ，所以对任意的 $z \geq z_{0}$ ，有 $E (z, t) > 0 。$ 所以

E (z, t) \leq m_{8} [\frac{\partial E}{\partial z}] ，

（32）

从 $z_{0}$ 到 $z$ 积分，可得

E (z, t) \geq E (z_{0}, t) e^{\frac{z - z_{0}}{m_{8}}} 。

（33）

（B）若对任意的 $z > 0, 有 E (z, t) < 0$ ，则

- E (z, t) \leq m_{8} [\frac{\partial E}{\partial z}],

（34）

从0到 $z$ 积分，可得

- E (z, t) \leq - E (0, t) e^{- \frac{z}{m_{8}}} 。

（35）

由式（13）和式（31），可得到以下定理。

定理2 假设 $u$ 是式（1）~式（4）的解，且 $p = 1$ ，则当 $z$ 沿 $x_{3}$ 轴趋近于 $\infty$ 时， $u$ 要么呈指数式增长，要么呈指数式衰减，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

（iii） $p > 1$ 。

（A）假设存在一个 $z_{0}$ ，使得 $E (z_{0}, t) > 0 。$ 由于 $\frac{\partial E (z, t)}{\partial z} \geq 0$ ，所以对所有的 $z \geq z_{0}$ ，有 $E (z, t) > 0 。$ 对式（17）右边第1项，应用Young不等式，可得

m_{2} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{2 p}} = m_{2} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p - 1}{2 p}} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{1}{p}} \leq \frac{p - 1}{p} m_{2} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{p} m_{2} [\frac{\partial E}{\partial z}]

，（36）

所以

E (z, t) \leq m_{9} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{1}{2}} + m_{10} [\frac{\partial E}{\partial z}]

，（37）

其中， $m_{9} = \frac{p - 1}{p} m_{2}, m_{10} = m_{1} + \frac{1}{p} m_{2} 。$

采用与式（18）~式（25）类似的方法，可得

E (z, t) \geq m_{11} e^{2 z} ，

（38）

其中，

\begin{array}{l} m_{11} = m_{10} [\frac{m_{9}}{m_{10}} \sqrt[]{\frac{E (z_{0}, t)}{m_{10}} + \frac{m_{9}^{2}}{4 m_{10}^{2}}} - \frac{m_{9}}{2 m_{10}}] \times \\ e^{\frac{m_{9}}{2 m_{10} \sqrt[]{- \frac{E (z_{0}, t)}{m_{10}} + \frac{m_{9}^{2}}{4 m_{10}^{2}}} - \frac{m_{9}}{2 m_{10}}} - 2 z_{0}} 。 \end{array}

（B）若对任意的 $z \geq z_{0}$ ，有 $E (z, t) < 0$ ，则式（17）可改写为

- E (z, t) \leq m_{1} [\frac{\partial E}{\partial z}] + m_{2} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{2 p}} 。

（39）

应用Young不等式，可得

m_{1} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{2 p}} = m_{1} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{p} \times \frac{p - 1}{p + 1}} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{2 p} \times \frac{2}{p + 1}} \leq \frac{p - 1}{p + 1} m_{1} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{p}} + \frac{2}{p + 1} m_{1} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{2 p}} 。

（40）

于是式（39）可写为

- E (z, t) \leq m_{12} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{2 p}} + m_{13} {[\frac{\partial E}{\partial z}]}^{\frac{p + 1}{p}} ，

（41）

其中， $m_{12} = m_{2} + \frac{2}{p + 1} m_{1}, m_{13} = \frac{p - 1}{p + 1} m_{1} 。$

采用与情形（i）和情形（ii）类似的方法，可得

- E (z, t) \leq m_{13} {[Q_{0} + \frac{p - 1}{m_{12} (p + 1)} z]}^{\frac{2 (1 + p)}{1 - p}} + m_{12} {[Q_{0} + \frac{p - 1}{m_{12} (p + 1)} z]}^{\frac{1 + p}{1 - p}} ，

（42）

不难发现

\underset{z \to \infty}{l i m} \{z^{- \frac{2 p}{1 - p}} [- E (z, t)]\} \leq {[\frac{p - 1}{(1 + p) m_{12}}]}^{\frac{1 + p}{1 - p}} = m_{14} 。

（43）

定理3 假设 $u$ 是式（1）~式（4）的解，且 $p > 1$ ，则当 $z$ 沿 $x_{3}$ 轴趋近于 $\infty$ 时， $u$ 要么呈指数式增长，要么呈指数式衰减，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

显然，在衰减情形下， $Φ (0)$ ， $Q_{0}$ 均与 $- E (0, t)$ 有关。因此，要使定理1~定理3都有意义，须证明 $- E (0, t)$ 有界。

3　全能量估计

为在衰减情形下，推导全能量 $E (0, t)$ 的上界，首先假设

u f (u) \geq α {|f (u)|}^{q_{1}}, u h (u) \geq β {|h (u)|}^{p_{1}}, α, β > 0 。

（44）

只要取 $q_{1} = \frac{2 p}{p + 1} > 1$ ， $p_{1} = \frac{2 p}{2 p - 1} > 1$ 以及 $α, β$ 足够小，此条件与式（5）和式（7）并不矛盾，在式（11）中，取 $z = 0$ ，可得

- E (0, t) = - \int_{0}^{t} \int_{D_{0}} ρ u_{, 3} u d A d η 。

（45）

类似地，在式（31）中取 $z = 0$ ，可得

- E (0, t) = \frac{1}{2} \int_{R} u^{2} d A d ξ |_{η = t} + \int_{0}^{t} \int_{R} ρ u_{, i} u_{, i} d A d ξ d η + \int_{0}^{t} \int_{R} u f (u) d A d ξ d η + \int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} u h (u) d l d ξ d η 。

（46）

引入辅助函数

S (x_{1}, x_{2}, x_{3}, t) = g (x_{1}, x_{2}, t) e^{- σ x_{3}} ，

其中， $σ$ 为大于零的任意常数。对式（45）分部积分，由式（1），有

\begin{array}{l} - E (0, t) = - \int_{0}^{t} \int_{D_{0}} ρ u_{, 3} S d A d η = \int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{D_{ξ}} (ρ u_{, 3} {S)}_{, i} d A d ξ d η = \int_{0}^{t} \int_{R} (ρ u_{, i})_{, i} S d A d ξ d η + \\ \int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} ρ S h (u) d l d ξ d η + \\ \int_{0}^{t} \int_{R} ρ u_{, i} S_{, i} d A d ξ d η = \\ \int_{R} u S d A d ξ |_{η = t} + \int_{0}^{t} \int_{R} u S_{t} d A d ξ d η + \\ \int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} ρ S h (u) d l d ξ d η + \\ \int_{0}^{t} \int_{R} f (u) S d A d ξ d η + \int_{0}^{t} \int_{R} ρ u_{, i} S_{, i} d A d ξ 。 \end{array}

（47）

利用 $H \ddot{o} d e r$ 不等式和算术几何平均不等式，可得

\begin{array}{l} \int_{R} u S d A d ξ |_{η = t} \leq \frac{1}{4} \int_{R} u^{2} d A d ξ |_{η = t} + \\ \int_{R} S^{2} d A d ξ |_{η = t} ， \end{array}

（48）

\int_{0}^{t} \int_{R} ρ u_{, i} S_{, i} d A d ξ \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{R} ρ u_{, i} u_{, i} d A d ξ + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{R} ρ S_{, i} S_{, i} d A d ξ 。

（49）

再由式（5），可得

\begin{array}{l} \int_{0}^{t} \int_{R} u S_{t} d A d ξ d η \leq {(\int_{0}^{t} \int_{R} u^{\frac{2 q}{q - 1}} d A d ξ d η)}^{\frac{q - 1}{2 q}} \times {(\int_{0}^{t} \int_{R} {S_{t}}^{\frac{2 q}{q + 1}} d A d ξ d η)}^{\frac{q + 1}{2 q}} \leq k_{1}^{- \frac{q - 1}{2 q}} {[\int_{0}^{t} \int_{R} u f (u) d A d ξ d η]}^{\frac{q - 1}{2 q}} \times {(\int_{0}^{t} \int_{R} {S_{t}}^{\frac{2 q}{q + 1}} d A d ξ d η)}^{\frac{q + 1}{2 q}} \leq \frac{q - 1}{2 q} k_{1}^{- \frac{q - 1}{2 q}} ε_{1} \int_{0}^{t} \int_{R} u f (u) d A d ξ d η + \\ \frac{q + 1}{2 q} k_{1}^{- \frac{q - 1}{2 q}} ε_{1}^{- \frac{q - 1}{q + 1}} \int_{0}^{t} \int_{R} {S_{t}}^{\frac{2 q}{q + 1}} d A d ξ d η ， \end{array}

（50）

其中， $ε_{1}$ 为大于零的任意常数。再由式（44），可得

\begin{array}{l} \int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} ρ S h (u) d l d ξ d η \leq {[\int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} {|h (u)|}^{p_{1}} d l d ξ d η]}^{\frac{1}{p_{1}}} \times {[\int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} {(ρ S)}^{\frac{p_{1}}{p_{1} - 1}} d l d ξ d η]}^{\frac{p_{1} - 1}{p_{1}}} \leq \\ β^{- \frac{1}{p_{1}}} {[\int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} u h (u) d l d ξ d η]}^{\frac{1}{p_{1}}} \times {[\int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} {(ρ S)}^{\frac{p_{1}}{p_{1} - 1}} d l d ξ d η]}^{\frac{p_{1} - 1}{p_{1}}} \leq β^{- \frac{1}{p_{1}}} \frac{1}{p_{1}} ε_{2} \int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} u f (u) d l d ξ d η + β^{- \frac{1}{p_{1}}} \frac{p_{1} - 1}{p_{1}} ε_{2}^{- \frac{1}{p_{1} - 1}} \int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} {(ρ S)}^{\frac{p_{1}}{p_{1} - 1}} d l d ξ d η ， \end{array}

（51）

其中， $ε_{2}$ 为大于零的任意常数。

类似地，可得

\int_{0}^{t} \int_{R} f (u) S d A d ξ d η \leq α^{- \frac{1}{q_{1}}} \frac{ε_{3}}{q_{1}} \int_{0}^{t} \int_{R} u f (u) d A d ξ d η + α^{- \frac{1}{q_{1}}} \frac{q_{1} - 1}{q_{1}} ε_{3}^{- \frac{1}{q_{1} - 1}} \int_{0}^{t} \int_{R} S^{\frac{q_{1}}{q_{1} - 1}} d A d ξ d η ，

（52）

其中， $ε_{3}$ 为大于零的任意常数。取适当的 $ε_{1}$ ， $ε_{2}$ 和 $ε_{3} ，$ 使得

\frac{q - 1}{2 q} k_{1}^{- \frac{q - 1}{2 q}} ε_{1} + α^{- \frac{1}{q_{1}}} \frac{1}{q_{1}} ε_{3} = \frac{1}{2}, β^{- \frac{1}{p_{1}}} \frac{1}{p_{1}} ε_{2} = \frac{1}{2} ，

将式（48）~式（52）代入式（47），再由式（46），可得

- E (0, t) \leq - \frac{1}{2} E (0, t) + F (t) ，

（53）

其中，

\begin{array}{l} F (t) = \int_{R} S^{2} d A d ξ |_{η = t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{R} ρ S_{, i} S_{, i} d A d ξ d η + \frac{q + 1}{2 q} k_{1}^{- \frac{q - 1}{2 q}} ε_{1}^{- \frac{q - 1}{q + 1}} \int_{0}^{t} \int_{R} S_{t}^{\frac{2 q}{q + 1}} d A d ξ d η + β^{- \frac{1}{p_{1}}} \frac{p_{1} - 1}{p_{1}} ε_{2}^{- \frac{1}{p_{1} - 1}} \int_{0}^{t} \int_{0}^{\infty} \int_{\partial D_{ξ}} {(ρ S)}^{\frac{p_{1}}{p_{1} - 1}} d l d ξ d η + \\ α^{- \frac{1}{q_{1}}} \frac{q_{1} - 1}{q_{1}} ε_{3}^{- \frac{1}{q_{1} - 1}} \int_{0}^{t} \int_{R} S^{\frac{q_{1}}{q_{1} - 1}} d A d ξ d η 。 \end{array}

由式（53），可得

- E (0, t) \leq 2 F (t)

。

再由 $Φ_{0}$ 和 $Q_{0}$ 的定义，易得其上界。

4　总结

首先推导了引理1，假设式（1）~式（4）在柱体侧面满足非齐次Dirichlet条件，利用引理1并运用微分不等式技术，得到了解的二择一结果。事实上，经必要的修正，本文的结论也适合非齐次Neumann边界条件。显然，本文结论是对文献［13］的推广，研究方法和结果可为进一步研究复杂模型提供借鉴。

今后，可继续进行更深层次的研究，如研究文献［16］中的模型

(h {(u))}_{t} = [({|\nabla u|}^{p} + 1) u_{, i}] + k (t) b (t) f (t) ，

以及文献［17］中变系数热量方程

u_{t} = Δ u^{m} - V (x) u^{m} + u^{p}, m, p > 1

等。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.003

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

A J C B de

SAINT-VENANT

Mémoiresur la flexion des prismes

［J］. Journal de Mathematiques Pures et Appliquees， 1856， 1（2）：89-189.

[本文引用: 1]

[2]

LIU

， LI

Y F

， LIN

Y W

， et al.

Spatial decay bounds for the channel flow of the Boussinesq equations

［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2011， 381（1）： 87-109. DOI：10.1016/j.jmaa.2011.02.066

[本文引用: 1]

[3]

LIU

， QIU

， LIN

C H

Spatial decay bounds of solutions to the Navier-Stokes equations for transient compressible viscous flow

［J］. Journal of the Korean Mathematical Society， 2011， 48 （6）： 1153-1170. DOI：10.4134/JKMS.2011.48.6.1153

[4]

Y F

， LIN

C H

Spatial decay for solutions to 2-D Boussinesq system with variable thermal diffusivity

［J］. Acta Applicandae Mathematicae， 2018， 154（1）： 111-130. DOI：10.1007/s10440-017-0136-z

[5]

AMES

K A

， PAYNE

L E

， SCHAEFER

P W

Spatial decay estimates in time-dependent Stokes flow

［J］. SIAM Journal on Mathematical Analysis，1993， 24（6）： 1395-1413. DOI：10.1137/0524081

[本文引用: 1]

[6]

KNOPS

R J

， QUINTANILLA

Spatial decay in transient heat conduction for general elongated regions

［J］.Quarterly of Applied Mathematics，2017， 76： 611-625. DOI：10.1090/qam/1497

[7]

QUINTANILLA

Some remarks on the fast spatial growth/decay in exterior regions

［J］. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik， 2019， 70： 83. DOI： 10.1007/s00033-019-1127-x

[本文引用: 1]

[8]

HORGAN

C O

， PAYNE

L E

Phragmén-Lindelöf type results for harmonic functions with nonlinear boundary conditions

［J］. Archive for Rational Mechanics & Analysis， 1993， 122： 123-144. DOI：10.1007/BF00378164

[本文引用: 5]

[9]

LIN

， PAYNE

L E

Phragmén-Lindelöf alternative for a class of quasilinear second order parabolic problems

［J］. Differential and Integral Equations，1995， 8（3）： 539-551.

[10]

LIN

， PAYNE

L E

A Phragmén-Lindelöf type results for second order quasilinear parabolic equation in R ²

［J］. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik， 1994， 45： 294-311. DOI：10.1007/BF00943507

[11]

LESEDUARTE

M C

， QUINTANILLA

Phragmén-Lindelöf alternative for the Laplace equation with dynamic boundary conditions

［J］. Journal of Applied Analysis and Computation， 2017， 7（4）：1323-1335. DOI： 10.11948/2017081

[本文引用: 3]

[12]

PAYNE

L E

， SCHAEFER

P W

Some Phragmén-Lindelöf type results for the biharmonic equation

［J］. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik， 1994， 45： 414-432. DOI：10.1007/BF00945929

[13]

LIN

C H

A Phragmén-Lindelöf alternative for a class of second order quasilinear equations in R ³

［J］. Acta Mathematica Scientia， 1996， 16（2）： 181-191. DOI：10.1016/S0252-9602（17）30793-2

[本文引用: 2]

[14]

LIU

， LIN

C H

Phragmén-Lindelöf type alternative results for the stokes flow equation

［J］. Mathematical Inequalities & Applications， 2006， 9（4）： 671-694. doi:10.7153/mia-09-60

[本文引用: 1]

[15]

李远飞

海洋动力学中二维黏性原始方程组解对热源的收敛性

［J］.应用数学和力学，2020， 41（3）： 339-352. DOI：10.21656/1000-0887.400176

Y F

Convergence results on heat source for 2D viscous primitive equations of ocean dynamics

［J］. Applied Mathematics and Mechanics， 2020， 41（3）： 339-352. DOI：10.21656/1000-0887.400176

[16]

李远飞

Robin边界条件下更一般化的非线性抛物问题全局解的存在性

［J］. 应用数学学报， 2018， 41（2）： 257-267. DOI：10.12387/C2018020

[本文引用: 1]

Y F

Blow-up and global existence of the solution to some more general nonlinear parabolic problems with Robin boundary conditions

［J］. Acta Mathematicae Applicatae Sinica， 2018， 41（2）： 257-267. DOI：10.12387/C2018020

[本文引用: 1]

[17]

YANG

C X

， ZHAO

L Z

， ZHENG

S N

The critical Fujita exponent for the fast diffusion equation with potential

［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2013， 398（2）： 879-885. DOI：10. 1016/j.jmaa.2012.09.050

[本文引用: 1]

Mémoiresur la flexion des prismes

1856

... 1856年SAINT-VENANT^［1］提出的数学和力学方程，后被称为Saint-Venant原理，广受应用数学领域研究者的关注和深入研究.其含义为“能量”随与柱体有限端距离的增大逐渐衰减为零^［2-7］.几乎所有的研究均需要方程的解在无穷远处衰减于零或趋近于瞬态层流的先验假设，且通常假设在柱体的侧面满足零边界条件. ...

Spatial decay bounds for the channel flow of the Boussinesq equations

2011

Spatial decay bounds of solutions to the Navier-Stokes equations for transient compressible viscous flow

2011

Spatial decay for solutions to 2-D Boussinesq system with variable thermal diffusivity

2018

Spatial decay estimates in time-dependent Stokes flow

1993

... 为证明本文的主要结果，结合文献［5，8］的方法，推导常用的微分不等式. ...

Spatial decay in transient heat conduction for general elongated regions

2017

Some remarks on the fast spatial growth/decay in exterior regions

2019

Phragmén-Lindel?f type results for harmonic functions with nonlinear boundary conditions

1993

... 20世纪90年代后，Phragmén-Lindelöf型二择一原理被提出，并逐步成为研究热点，不必再假设方程的解满足Saint-Venant原理，只要证明“能量”随与柱体有限端距离的增加要么无限增大要么衰减为零.Phragmén-Lindelöf型二择一原理在物理学、力学和生物学等领域具有巨大的应用前景^［8-14］. ...

... 实际情况是研究的物理模型很难满足齐次边界条件，因此本研究更有意义.据知，目前除文献［8，11］外，很少见关注非齐次边界条件下二择一抛物问题的文献.文献［8］研究的是三维柱体上调和方程的二择一拋物问题，文献［11］则假设调和方程在柱体侧面满足不同的非零边界条件，得到解的二择一定理.本文的模型更复杂，无法直接应用文献［8，11］中的方法. ...

... ］外，很少见关注非齐次边界条件下二择一抛物问题的文献.文献［8］研究的是三维柱体上调和方程的二择一拋物问题，文献［11］则假设调和方程在柱体侧面满足不同的非零边界条件，得到解的二择一定理.本文的模型更复杂，无法直接应用文献［8，11］中的方法. ...

... ］则假设调和方程在柱体侧面满足不同的非零边界条件，得到解的二择一定理.本文的模型更复杂，无法直接应用文献［8，11］中的方法. ...

... 为证明本文的主要结果，结合文献［5，8］的方法，推导常用的微分不等式. ...

Phragmén-Lindel?f alternative for a class of quasilinear second order parabolic problems

1995

A Phragmén-Lindel?f type results for second order quasilinear parabolic equation in R ²

1994

Phragmén-Lindel?f alternative for the Laplace equation with dynamic boundary conditions

2017

... ］研究的是三维柱体上调和方程的二择一拋物问题，文献［11］则假设调和方程在柱体侧面满足不同的非零边界条件，得到解的二择一定理.本文的模型更复杂，无法直接应用文献［8，11］中的方法. ...

... ，11］中的方法. ...

Some Phragmén-Lindel?f type results for the biharmonic equation

1994

A Phragmén-Lindel?f alternative for a class of second order quasilinear equations in R ³

1996

... 假设方程的解在柱体的有限端满足非零边界条件，在柱体的侧面满足齐次Dirichlet边界条件或齐次Neumann边界条件.用微分不等式技术证明“能量”要么呈指数式（多项式）增加，要么呈指数式（多项式）衰减.如LIN^［13］考虑了定义在

R \times (0, \infty)

上的稳态拟线性方程 ...

... 首先推导了引理1，假设式（1）~式（4）在柱体侧面满足非齐次Dirichlet条件，利用引理1并运用微分不等式技术，得到了解的二择一结果.事实上，经必要的修正，本文的结论也适合非齐次Neumann边界条件.显然，本文结论是对文献［13］的推广，研究方法和结果可为进一步研究复杂模型提供借鉴. ...

Phragmén-Lindel?f type alternative results for the stokes flow equation

2006

海洋动力学中二维黏性原始方程组解对热源的收敛性

2020

海洋动力学中二维黏性原始方程组解对热源的收敛性

2020

Robin边界条件下更一般化的非线性抛物问题全局解的存在性

2018

... 今后，可继续进行更深层次的研究，如研究文献［16］中的模型 ...

Robin边界条件下更一般化的非线性抛物问题全局解的存在性

2018

... 今后，可继续进行更深层次的研究，如研究文献［16］中的模型 ...

The critical Fujita exponent for the fast diffusion equation with potential

2013

... 以及文献［17］中变系数热量方程 ...

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