稳态Q-tensor液晶流的Liouville定理

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.04.004

稳态Q-tensor液晶流的Liouville定理

赖宁安^,¹, 吴家彦^,^,²

1.浙江师范大学数学与计算机科学学院，浙江金华 321004

2.浙江大学数学科学学院，浙江杭州 310027

Liouville theorem for steady Q-tensor system of liquid crystal

LAI Ningan^,¹, WU Jiayan^,^,²

1.College of Mathematics and Computer Science，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，Zhejiang Province，China

2.School of Mathematical Sciences，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-2882-9163，E-mail：jiayanwu@zju.edu.cn.

收稿日期: 2020-05-14

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 201300001

Received: 2020-05-14

作者简介 About authors

赖宁安（1985—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-6835-8576，男，博士，教授，主要从事非线性偏微分方程解的性态研究. 。

摘要

研究了三维空间中稳态Q-tensor液晶流模型，并用试探函数方法证明了当速度场 $u \in L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3}) ⋂ \overset{\cdot}{H^{1}} (R^{3})$ ，液晶的张量型序参量 $Q \in H^{2} (R^{3})$ 时，该稳态系统只有零平凡解。

关键词： 液晶流 ; Liouville定理 ; Q-tensor

Abstract

We study the Liouville theorem for steady Q-tensor system of liquid crystal in R³. Assuming that $u \in L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3}) ⋂ \overset{\cdot}{H^{1}} (R^{3})$ and $Q \in H^{2} (R^{3})$ , we show that the steady system admits only trivial solution u=0, Q =0.

Keywords： liquid crystal ; Liouville theorem ; Q-tensor

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本文引用格式

赖宁安, 吴家彦. 稳态Q-tensor液晶流的Liouville定理. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(4): 418-421 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.04.004

LAI Ningan, WU Jiayan. Liouville theorem for steady Q-tensor system of liquid crystal. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(4): 418-421 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.04.004

稳态 $Q$ -tensor液晶流模型为

$u ⋅ ∇ u - μ Δ u + ∇ P = - ∇ ⋅ (∇ Q ⊙ ∇ Q) - λ ∇ ⋅ (| Q | H) + ∇ ⋅ (Q Δ Q - Δ Q Q), ∇ ⋅ u = 0, u ⋅ ∇ Q + Q Ω - Ω Q - λ | Q | D = Γ H ，$ （1）

其中， $u$ ， $P$ 分别表示速度和压力； $Q$ 表示液晶的张量型序参量，是一个迹零 $3 \times 3$ 阶对称矩阵； $μ > 0$ ， $Γ^{- 1} > 0$ ， $λ \in R$ 分别表示黏性系数、旋转黏度和向列取向参数； $H = Δ Q - a Q + b [Q^{2} - \frac{t r (Q^{2})}{3} I_{3 \times 3}] - c Q t r (Q^{2})$ ，常数 $a, b \in R$ 且 $c > 0$ ； ${(\nabla Q ⊙ \nabla Q)}_{i j} = \partial_{x_{i}} Q : \partial_{x_{j}} Q$ ； $D = \frac{1}{2} (\nabla u + \nabla u^{T})$ ； $Ω = \frac{1}{2} (\nabla u - \nabla u^{T})$ ， ${(\nabla u)}_{i j} = \partial_{x_{j}} u_{i}, i, j = 1,2, 3$ 。近年来，稳态 $Q$ -tensor液晶流模型备受关注，特别是其弱解和强解的全局存在性^［1-8］。

流体力学中的Liouville定理来自稳态N-S系统：

$- Δ u + u ⋅ ∇ u = - ∇ p, x ∈ R 3, ∇ ⋅ u = 0, u (x) → 0, | x | → ∞$ （2）

的解。易知， $u = 0, p = C$ 是式（2）的平凡解。Liouville定理的主要目标是研究在假设条件 $\int_{R^{3}} | \nabla u |^{2} d x < \infty$ 下式（2）是否存在非平凡解。GALDI^［9］证明了如果 $u \in L^{\frac{9}{2}} (R^{3})$ ，那么 $u \equiv 0$ 。CHAE^［10］在假设条件 $Δ u \in L^{\frac{6}{5}} (R^{3})$ 下证明了相同的结论。此后，CHAE等^［11］将假设条件改进为对数加权 $L^{\frac{9}{2}} (R^{3})$ ；KOZONO等^［12］进一步将假设条件推广至 $L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})$ 。其他保证只有平凡解的条件可参见文献［13-18］。

本文在假设 $u \in L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3}) ⋂ \overset{\cdot}{H^{1}} (R^{3})$ ， $Q \in H^{2} (R^{3})$ 和 $b^{2} - 24 a c \leq 0$ 下，利用Lorentz空间的一些性质，证明式（1）只存在零平凡解，即 $u = 0, Q = 0$ 。这是对GONG等^［19］的研究结果的改进。

定理1　设 $(u, Q)$ 是式（1）的弱解。假设 $u \in L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3}) ⋂ \overset{\cdot}{H^{1}} (R^{3})$ ， $Q \in H^{2} (R^{3})$ 和 $b^{2} - 24 a c \leq 0$ ，那么 $u = 0, Q = 0$ 。

注1　易知函数 $f (x) = | x |^{- \frac{2}{3}}$ $\in L^{p, \infty} (R^{3})$ ，但 $\notin L^{p} (R^{3})$ ，因此空间 $L^{p} (R^{3})$ 严格包含于空间 $L^{p, \infty} (R^{3})$ 。

1　预备知识

用试验函数法，采用与文献［20］中研究可压缩N-S方程的Liouville定理类似的方法重新估计文献［19］中的所有项。对于 $μ$ 可测函数，其重排定义为

f^{*} (t) = i n f {σ ： m (σ, f) \leq t}

，

其中， $m (σ, f) = μ ({x : | f (x) | > σ}),$

则Lorentz空间范数定义为

| | f | |_{L^{p, r}} = \{\begin{array}{l} {\{\int_{0}^{\infty} {[t^{\frac{1}{p}} f^{*} (t)]}^{r} \frac{d t}{t}\}}^{\frac{1}{r}}, \begin{matrix} 1 \leq r < \infty, \end{matrix} \\ \underset{t}{s u p} t^{\frac{1}{p}} f^{*} (t) < \infty, \begin{matrix} r = \infty 。 \end{matrix} \end{array}

有关Lorentz空间的详细介绍可参见文献［21］。

引理1^［20］　令 $1 < q < \infty, 1 \leq r \leq \infty$ ，且 $q, r$ 满足 $\frac{1}{q'} + \frac{1}{q} = 1, \frac{1}{r'} + \frac{1}{r} = 1 ，$ 则下列算子 $T$ 是有界双线性算子：

（1） $T : L^{q, r} (R^{3}) \times L^{\infty} (R^{3}) \to L^{q, r} (R^{3})$ ；

（2） $T : L^{q, r} (R^{3}) \times L^{q', r'} (R^{3}) \to L^{1} (R^{3})$ ；

（3） $T : L^{q_{1}, r_{1}} (R^{3}) \times L^{q_{2}, r_{2}} (R^{3}) \to L^{q, r} (R^{3}),$ $1 < q_{1}, q_{2} < \infty$ ， $1 < r_{1}, r_{2} < \infty$ ，满足 $\frac{1}{q_{1}} + \frac{1}{q_{2}} = \frac{1}{q}$ 且 $r = m i n {r_{1}, r_{2}} 。$

详细证明可参见文献［22-23］。

引理2^［20］　令 $1 \leq q < \infty, 1 \leq r \leq \infty$ ， $f \in L^{q, r} (R^{3})$ 。对于任意的 $R > 0$ ，设 $f_{R} (x) = f (\frac{x}{R})$ ，则有 $| | f_{R} | |_{L^{q, r}} = R^{\frac{3}{q}} | | f | |_{L^{q, r}}$ 。

引理3　若线性算子 $T_{j k}$ 定义为

T_{j k} f = \partial_{j} \partial_{k} {(- Δ)}^{- 1} f

，

则 $T_{j k} : L^{p, \infty} \to L^{p, \infty}$ $（ 1 < p < \infty ）$ 为有界算子。

证明　注意到，当 $p = q$ 时， $L^{p, p} (R^{3}) = L^{p} (R^{3})$ 。

$T_{j k}$ 可写为

T_{j k} = R_{j} R_{k}

，

其中， $R_{j}$ 表示Riesz算子。应用Riesz算子在 $L^{p} (R^{3})$ 中的有界性和广义的Marcinkiewicz插值定理（文献［21］定理5.3.2），便可得到相应的结果。

引理4^［24］　令 $β (Q) = 1 - 6 \frac{[t r (Q^{3} {)]}^{2}}{| Q |^{6}}$ ，假设 $Q \in S_{0}^{3}$ ， $S_{0}^{3} = {Q \in M^{3 \times 3} : Q_{i j} = Q_{j i}, t r (Q) = 0 ，$ $i, j = 1,2, 3}$ ，则有 $0 \leq β (Q) \leq 1$ 。

2　定理1的证明

引入一个具有紧支撑的光滑函数 $ψ \in C_{c}^{\infty} (R^{n})$ ：

ψ (y) = \{\begin{array}{l} 1, \begin{matrix} | y | < 1, \end{matrix} \\ 0, \begin{matrix} | y | \geq 2, \end{matrix} \end{array}

且当 $1 \leq | y | \leq 2$ 时， $0 \leq ψ \leq 1$ 。对于任意的 $R > 0$ ，令 $ϕ_{R} (x) = ψ (\frac{| x |}{R})$ ， $x \in R^{3}$ 。类似于文献［19］的方法，将 $u_{R} (x) = u (x) ϕ_{R} (x)$ 和 $H_{R} (x) = - H (x) ϕ_{R} (x)$ 作为试验函数，可得

\begin{array}{l} μ \int_{R^{3}} | \nabla u |^{2} ϕ_{R} d x + Γ \int_{R^{3}} | H |^{2} ϕ_{R} d x = \\ \int_{R^{3}} u \cdot \nabla Q : \nabla Q ϕ_{R} d x - \\ \int_{R^{3}} u \cdot \nabla Q : \{a Q - b [Q^{2} - \frac{t r (Q^{2})}{3} I_{3 \times 3}] + c Q | Q |^{2}\} ϕ_{R} d x - \int_{R^{3}} (Ω Q - Q Ω) : Δ Q ϕ_{R} d x + \\ \int_{R^{3}} (Ω Q - Q Ω) ： \{a Q - b [Q^{2} - \frac{t r (Q^{2})}{3} I_{3 \times 3}] + c Q | Q |^{2}\} ϕ_{R} d x - λ \int_{R^{3}} | Q | D : H ϕ_{R} d x - \\ \int_{R^{3}} \nabla \cdot (\nabla Q ⊙ \nabla Q) \cdot u ϕ_{R} d x + \\ λ \int_{R^{3}} | Q | H : \nabla (u ϕ_{R}) d x - \\ λ \int_{R^{3}} (Q Δ Q - Δ Q Q) : \nabla (u ϕ_{R}) d x + \\ \int_{R^{3}} \frac{1}{2} | u |^{2} u \cdot \nabla ϕ_{R} d x + \\ \int_{R^{3}} (P u \cdot \nabla ϕ_{R} + \frac{1}{2} | u |^{2} Δ ϕ_{R}) d x = \sum_{i = 1}^{10} I_{i} 。 \end{array}

（3）

由引理1~引理3，估计 $I_{1} ~ I_{10}$ 。

对于 $I_{1}$ 和 $I_{6}$ ，分部积分后得到

\begin{array}{l} | I_{1} + I_{6} | = |\int_{R^{3}} u \cdot \nabla Q : \nabla Q ϕ_{R} d x| - \\ \int_{R^{3}} \nabla \cdot (\nabla Q ⊙ \nabla Q) u ϕ_{R} d x = \\ |\int_{R^{3}} \frac{1}{2} | \nabla Q |^{2} u \cdot \nabla ϕ_{R} d x| \leq \\ C | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | | \nabla Q |^{2} \nabla ϕ_{R} | |_{L^{\frac{9}{7}, 1} (R^{3})} \leq \\ C | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | | \nabla Q |^{2} | |_{L^{2, \infty} (R^{3})} | | \nabla ϕ_{R} | |_{L^{\frac{18}{5}, 1} (R^{3})} \leq \\ C R^{- \frac{1}{6}} | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | | \nabla Q |^{2} | |_{L^{2, \infty} (R^{3})} | | \nabla ϕ | |_{L^{\frac{18}{5}, 1} (R^{3})} ， \end{array}

当 $R \to \infty$ 时，易知 $I_{1} + I_{6} \to 0$ 。

类似地，有

\begin{array}{l} | I_{2} | = |\int_{R^{3}} u \cdot \nabla Q : \{a Q - b [Q^{2} - \frac{t r (Q^{2})}{3} I_{3 \times 3}] + c Q | Q |^{2}\} ϕ_{R} d x| = |\int_{R^{3}} [\frac{a}{2} | Q |^{2} - \frac{b}{3} t r (Q^{3}) + \frac{c}{4} | Q |^{4}] u \cdot \nabla ϕ_{R} d x| \leq \\ C [1 + | | Q | |_{L^{\infty} (R^{3})} + | | Q | |_{L^{\infty} (R^{3})}^{2}] | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} \times \\ | | | Q |^{2} | |_{L^{2, \infty} (R^{3})} | | \nabla ϕ_{R} | |_{L^{\frac{18}{5}, \infty} (R^{3})} \leq C [1 + | | Q | |_{L^{\infty} (R^{3})} + \\ | | Q | |_{L^{\infty} (R^{3})}^{2}] | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | Q | |_{L^{4, \infty} (R^{3})}^{2} | | \nabla ϕ_{R} | |_{L^{\frac{18}{5}, \infty} (R^{3})} \leq \\ C R^{- \frac{1}{6}} [1 + | | Q | |_{L^{\infty} (R^{3})} + \\ | | Q | |_{L^{\infty} (R^{3})}^{2}] | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty}} | | Q | |_{L^{4} (R^{3})}^{2} 。 \end{array}

对于 $I_{3}$ 和 $I_{8}$ ，分部积分后得到

\begin{array}{l} | I_{3} + I_{8} | = |- \int_{R^{3}} (Ω Q - Q Ω) : Δ Q ϕ_{R} d x - \int_{R^{3}} (Q Δ Q - Δ Q Q) : \nabla (u ϕ_{R}) d x| = \\ |- \int_{R^{3}} (Q Δ Q - Δ Q Q) : u \otimes \nabla ϕ_{R} d x| \leq \\ C | | \nabla^{2} Q | |_{L^{2} (R^{3})} | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | Q | |_{L^{\infty}} | | \nabla ϕ_{R} | |_{L^{\frac{18}{5}, 1} (R^{3})} \leq \\ C R^{- \frac{1}{6}} | | \nabla^{2} Q | |_{L^{2} (R^{3})} | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | Q | |_{L^{\infty}} 。 \end{array}

对于 $I_{5}$ 和 $I_{7}$ ，有

\begin{array}{l} | I_{5} + I_{7} | = |- λ \int_{R^{3}} | Q | D : H ϕ_{R} d x + \\ λ \int_{R^{3}} | Q | H : \nabla (u ϕ_{R}) d x| = \\ λ |\int_{R^{3}} | Q | H : u \otimes \nabla ϕ_{R} d x| \leq \\ C | | Q H u | |_{L^{\frac{18}{13}, \infty} (R^{3})} | | \nabla ϕ_{R} | |_{L^{\frac{18}{5}, 1} (R^{3})} \leq \\ C | | Q H | |_{L^{2, \infty} (R^{3})} | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | \nabla ϕ_{R} | |_{L^{\frac{18}{5}, 1} (R^{3})} \leq \\ C R^{- \frac{1}{6}} [1 + | | Q | |_{L^{\infty} (R^{3})}]^{2} | | Q | |_{H^{2} (R^{3})}^{2} \times \\ | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | \nabla ϕ | |_{L^{\frac{18}{5}, 1} (R^{3})} 。 \end{array}

对于 $I_{9}$ ，有

\begin{array}{l} I_{9} = \int_{R^{3}} \frac{1}{2} | u |^{2} u \cdot \nabla ϕ_{R} d x \leq C \int_{R \leq | x | \leq 2 R} | u |^{3} | \nabla ϕ_{R} | d x \leq \\ C | | | u |^{3} | |_{L^{\frac{3}{2}, \infty} (R \leq | x | \leq 2 R)} | | \nabla ϕ_{R} | |_{L^{3,1} (R \leq | x | \leq 2 R)} \leq \\ C | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R \leq | x | \leq 2 R)}^{3} 。 \end{array}

对于 $I_{10}$ ，类似于文献［19］的方法，对式（1）的第1个方程取散度，可得

\begin{array}{l} Δ P = - d i v d i v (u \otimes u + \nabla Q ⊙ \nabla Q + λ | Q | H + \\ Q Δ Q - Δ Q Q) 。 \end{array}

令 $P = P_{1} + P_{2}$ ，使得 $Δ P_{1} = - d i v d i v (f_{1})$ 且 $Δ P_{2} = - d i v d i v (f_{2})$ ，其中， $f_{1} = u \otimes u \in L^{\frac{9}{4}} (R^{3})$ 且

f_{2} = \nabla Q ⊙ \nabla Q + λ | Q | H + Q Δ Q - Δ Q Q \in L^{2} (R^{3})

，

那么，由引理3可得

P_{1} = T_{j k} f_{1} \in L^{\frac{9}{4}, \infty} (R^{3}),

P_{2} = T_{j k} f_{2} \in L^{2, \infty} (R^{3}),

因此，

\begin{array}{l} I_{10} = \int_{R^{3}} (P u \cdot \nabla ϕ_{R} + \frac{1}{2} | u |^{2} Δ ϕ_{R}) d x = \\ \int_{R^{3}} P_{1} u \cdot \nabla ϕ_{R} d x + \int_{R^{3}} P_{2} u \cdot \nabla ϕ_{R} d x + \int_{R^{3}} \frac{1}{2} | u |^{2} Δ ϕ_{R} d x = J_{1} + J_{2} + J_{3} \end{array}

，

其中，

\begin{array}{l} J_{1} \leq \int_{R^{3}} | P_{1} u \cdot \nabla ϕ_{R} | d x \leq \\ C | | P_{1} | |_{L^{\frac{9}{4}} (R \leq | x | \leq 2 R)} | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R \leq | x | \leq 2 R)} | | \nabla ϕ_{R} | |_{L^{3,1} (R \leq | x | \leq 2 R)} \leq \\ C | | P_{1} | |_{L^{\frac{9}{4}} (R \leq | x | \leq 2 R)} | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R \leq | x | \leq 2 R)}, \end{array}

\begin{array}{l} J_{2} \leq \int_{R^{3}} | P_{2} u \cdot \nabla ϕ_{R} | d x \leq C | | P_{2} | |_{L^{2} (R^{3})} | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | \nabla ϕ_{R} | |_{L^{\frac{18}{5}, 1} (R^{3})} \leq \\ C R^{- \frac{1}{6}} | | P_{2} | |_{L^{2} (R^{3})} | | u | |_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})} | | \nabla ϕ | |_{L^{\frac{18}{5}, 1} (R^{3})} ， \end{array}

\begin{array}{l} J_{3} \leq \int_{R^{3}} | \frac{1}{2} | u |^{2} Δ ϕ_{R} | d x \leq C | | | u |^{2} | |_{L^{\frac{9}{4}, \infty} (R^{3})} | | Δ ϕ_{R} | |_{L^{\frac{9}{5}, 1} (R^{3})} \leq \\ C R^{- \frac{1}{6}} | | u | |_{_{L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})}}^{2} 。 \end{array}

因为 $Q$ 是对称的且 $Ω$ 是反对称的，易得 $I_{4} = 0$ 。综上可知，当 $R \to \infty$ 时，有 $I_{1} \sim I_{10} \to 0$ 。式（2）中令 $R \to \infty$ ，由控制收敛定理，可得

μ \int_{R^{3}} | \nabla u |^{2} d x + Γ \int_{R^{3}} | H |^{2} d x = 0

。

又因 $u \in L^{6} (R^{3})$ 且 $H \in L^{2} (R^{3})$ ，所以 $u = 0$ 且 $H = 0$ 。再由 $H$ 的表达式，可知

- Δ Q = - a Q + b [Q^{2} - \frac{t r (Q^{2})}{3} I_{3 \times 3}] - c Q t r (Q^{2}) 。

对该椭圆方程与 $Q ϕ_{R}$ 做 $L^{2}$ 内积，再由引理4，有

\begin{array}{l} \int_{R^{3}} | \nabla Q |^{2} ϕ_{R} d x = \int_{R^{3}} | Q |^{2} Δ ϕ_{R} d x - \\ \int_{R^{3}} [a | Q |^{2} - b t r {(Q)}^{3} + c | Q |^{4}] ϕ_{R} d x \leq \\ \frac{| | Δ ψ | |_{L^{\infty}}}{R^{2}} \int_{R^{3}} | Q |^{2} d x + \int_{R^{3}} \frac{b^{2} - 24 a c}{24 c} | Q |^{2} d x \leq \\ \frac{| | Δ ψ | |_{L^{\infty}}}{R^{2}} \int_{R^{3}} | Q |^{2} d x 。 \end{array}

由 $| | Q | |_{L^{2} (R^{3})} < \infty$ ，最终可得 $Q = 0$ 。

证毕！

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.04.001

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[本文引用: 1]

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The Liouville theorem for the steady-state Navier-Stokes problem for axially symmetric 3D solutions in absence of swirl

［J］. Journal of Mathematical Fluid Mechanics， 2015， 17（2）： 287-293. DOI：10.1007/s00021-015-0202-0

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Liouville type theorem for stationary Navier-Stokes equations

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[本文引用: 1]

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[本文引用: 4]

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［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2018， 41（13）： 5091-5095. doi:10.1002/mma.5055

[本文引用: 3]

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[本文引用: 2]

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Uniqueness criterion of weak solutions to the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains

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Equilibrium order parameters of nematic liquid crystals in the Landau-de Gennes theory

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[本文引用: 1]

Global existence and regularity for the full coupled Navier-Stokes and Q-tensor system

2011

... 其中，

u

，

P

分别表示速度和压力；

Q

表示液晶的张量型序参量，是一个迹零

3 \times 3

阶对称矩阵；

μ > 0

，

Γ^{- 1} > 0

，

λ \in R

分别表示黏性系数、旋转黏度和向列取向参数；

H = Δ Q - a Q + b [Q^{2} - \frac{t r (Q^{2})}{3} I_{3 \times 3}] - c Q t r (Q^{2})

，常数

a, b \in R

且

c > 0

；

{(\nabla Q ⊙ \nabla Q)}_{i j} = \partial_{x_{i}} Q : \partial_{x_{j}} Q

；

D = \frac{1}{2} (\nabla u + \nabla u^{T})

；

Ω = \frac{1}{2} (\nabla u - \nabla u^{T})

，

{(\nabla u)}_{i j} = \partial_{x_{j}} u_{i}, i, j = 1,2, 3

.近年来，稳态

Q

-tensor液晶流模型备受关注，特别是其弱解和强解的全局存在性^［1-8］. ...

Global well-posedness for the dynamical Q-tensor model of liquid crystals

2015

Evolution of non-isothermal Landau-de Gennes nematic liquid crystals flows with singular potential

2014

Nematic liquid crystals： From maier-saupe to a continuum theory

2010

Global existence and regularity of solutions for active liquid crystals

2017

Global strong solution to the three-dimensional liquid crystal flows of Q-tensor model

2017

Well-posedness of a fully coupled Navier-Stokes/Q-tensor system with inhomogeneous boundary data

2014

Remarks on uniaxial solutions in the Landau-de Gennes theory

2018

... 其中，

u

，

P

分别表示速度和压力；

Q

表示液晶的张量型序参量，是一个迹零

3 \times 3

阶对称矩阵；

μ > 0

，

Γ^{- 1} > 0

，

λ \in R

分别表示黏性系数、旋转黏度和向列取向参数；

H = Δ Q - a Q + b [Q^{2} - \frac{t r (Q^{2})}{3} I_{3 \times 3}] - c Q t r (Q^{2})

，常数

a, b \in R

且

c > 0

；

{(\nabla Q ⊙ \nabla Q)}_{i j} = \partial_{x_{i}} Q : \partial_{x_{j}} Q

；

D = \frac{1}{2} (\nabla u + \nabla u^{T})

；

Ω = \frac{1}{2} (\nabla u - \nabla u^{T})

，

{(\nabla u)}_{i j} = \partial_{x_{j}} u_{i}, i, j = 1,2, 3

.近年来，稳态

Q

-tensor液晶流模型备受关注，特别是其弱解和强解的全局存在性^［1-8］. ...

2011

... 的解.易知，

u = 0, p = C

是式（2）的平凡解.Liouville定理的主要目标是研究在假设条件

\int_{R^{3}} | \nabla u |^{2} d x < \infty

下式（2）是否存在非平凡解.GALDI^［9］证明了如果

u \in L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

，那么

u \equiv 0

.CHAE^［10］在假设条件

Δ u \in L^{\frac{6}{5}} (R^{3})

下证明了相同的结论.此后，CHAE等^［11］将假设条件改进为对数加权

L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

；KOZONO等^［12］进一步将假设条件推广至

L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})

.其他保证只有平凡解的条件可参见文献［13-18］. ...

Liouville-type theorems for the forced Euler equations and the Navier-Stokes equations

2014

... 的解.易知，

u = 0, p = C

是式（2）的平凡解.Liouville定理的主要目标是研究在假设条件

\int_{R^{3}} | \nabla u |^{2} d x < \infty

下式（2）是否存在非平凡解.GALDI^［9］证明了如果

u \in L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

，那么

u \equiv 0

.CHAE^［10］在假设条件

Δ u \in L^{\frac{6}{5}} (R^{3})

下证明了相同的结论.此后，CHAE等^［11］将假设条件改进为对数加权

L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

；KOZONO等^［12］进一步将假设条件推广至

L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})

.其他保证只有平凡解的条件可参见文献［13-18］. ...

On Liouville type theorems for the steady Navier-Stokes equations in

R 3

2016

... 的解.易知，

u = 0, p = C

是式（2）的平凡解.Liouville定理的主要目标是研究在假设条件

\int_{R^{3}} | \nabla u |^{2} d x < \infty

下式（2）是否存在非平凡解.GALDI^［9］证明了如果

u \in L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

，那么

u \equiv 0

.CHAE^［10］在假设条件

Δ u \in L^{\frac{6}{5}} (R^{3})

下证明了相同的结论.此后，CHAE等^［11］将假设条件改进为对数加权

L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

；KOZONO等^［12］进一步将假设条件推广至

L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})

.其他保证只有平凡解的条件可参见文献［13-18］. ...

A remark on Liouville-type theorems for the stationary Navier-Stokes equations in three space dimensions

2017

... 的解.易知，

u = 0, p = C

是式（2）的平凡解.Liouville定理的主要目标是研究在假设条件

\int_{R^{3}} | \nabla u |^{2} d x < \infty

下式（2）是否存在非平凡解.GALDI^［9］证明了如果

u \in L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

，那么

u \equiv 0

.CHAE^［10］在假设条件

Δ u \in L^{\frac{6}{5}} (R^{3})

下证明了相同的结论.此后，CHAE等^［11］将假设条件改进为对数加权

L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

；KOZONO等^［12］进一步将假设条件推广至

L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})

.其他保证只有平凡解的条件可参见文献［13-18］. ...

On the Liouville theorem for the stationary Navier-Stokes equations in a critical space

2013

... 的解.易知，

u = 0, p = C

是式（2）的平凡解.Liouville定理的主要目标是研究在假设条件

\int_{R^{3}} | \nabla u |^{2} d x < \infty

下式（2）是否存在非平凡解.GALDI^［9］证明了如果

u \in L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

，那么

u \equiv 0

.CHAE^［10］在假设条件

Δ u \in L^{\frac{6}{5}} (R^{3})

下证明了相同的结论.此后，CHAE等^［11］将假设条件改进为对数加权

L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

；KOZONO等^［12］进一步将假设条件推广至

L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})

.其他保证只有平凡解的条件可参见文献［13-18］. ...

On Liouville type theorem for the stationary Navier-Stokes equations

2019

Liouville theorems for the Navier-Stokes equations and applications

2009

The Liouville theorem for the steady-state Navier-Stokes problem for axially symmetric 3D solutions in absence of swirl

2015

Liouville type theorem for stationary Navier-Stokes equations

2016

A Liouville theorem for the axially-symmetric Navier-Stokes equations

2010

... 的解.易知，

u = 0, p = C

是式（2）的平凡解.Liouville定理的主要目标是研究在假设条件

\int_{R^{3}} | \nabla u |^{2} d x < \infty

下式（2）是否存在非平凡解.GALDI^［9］证明了如果

u \in L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

，那么

u \equiv 0

.CHAE^［10］在假设条件

Δ u \in L^{\frac{6}{5}} (R^{3})

下证明了相同的结论.此后，CHAE等^［11］将假设条件改进为对数加权

L^{\frac{9}{2}} (R^{3})

；KOZONO等^［12］进一步将假设条件推广至

L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3})

.其他保证只有平凡解的条件可参见文献［13-18］. ...

Liouville theorem for the steady-state solutions of Q-tensor system of liquid crystal

2018

... 本文在假设

u \in L^{\frac{9}{2}, \infty} (R^{3}) ⋂ \overset{\cdot}{H^{1}} (R^{3})

，

Q \in H^{2} (R^{3})

和

b^{2} - 24 a c \leq 0

下，利用Lorentz空间的一些性质，证明式（1）只存在零平凡解，即

u = 0, Q = 0

.这是对GONG等^［19］的研究结果的改进. ...

... 用试验函数法，采用与文献［20］中研究可压缩N-S方程的Liouville定理类似的方法重新估计文献［19］中的所有项.对于

μ

可测函数，其重排定义为 ...

... 且当

1 \leq | y | \leq 2

时，

0 \leq ψ \leq 1

.对于任意的

R > 0

，令

ϕ_{R} (x) = ψ (\frac{| x |}{R})

，

x \in R^{3}

.类似于文献［19］的方法，将

u_{R} (x) = u (x) ϕ_{R} (x)

和

H_{R} (x) = - H (x) ϕ_{R} (x)

作为试验函数，可得 ...

... 对于

I_{10}

，类似于文献［19］的方法，对式（1）的第1个方程取散度，可得 ...

A Liouville theorem for the compressible Navier-Stokes equations

2018

... 用试验函数法，采用与文献［20］中研究可压缩N-S方程的Liouville定理类似的方法重新估计文献［19］中的所有项.对于

μ

可测函数，其重排定义为 ...

... 引理1^［20］　令

1 < q < \infty, 1 \leq r \leq \infty

，且

q, r

满足

\frac{1}{q'} + \frac{1}{q} = 1, \frac{1}{r'} + \frac{1}{r} = 1 ，

则下列算子

T

是有界双线性算子： ...

... 引理2^［20］　令

1 \leq q < \infty, 1 \leq r \leq \infty

，

f \in L^{q, r} (R^{3})

.对于任意的

R > 0

，设

f_{R} (x) = f (\frac{x}{R})

，则有

| | f_{R} | |_{L^{q, r}} = R^{\frac{3}{q}} | | f | |_{L^{q, r}}

. ...

1976

... 有关Lorentz空间的详细介绍可参见文献［21］. ...

... 其中，

R_{j}

表示Riesz算子.应用Riesz算子在

L^{p} (R^{3})

中的有界性和广义的Marcinkiewicz插值定理（文献［21］定理5.3.2），便可得到相应的结果. ...

Uniqueness criterion of weak solutions to the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains

1999

... 详细证明可参见文献［22-23］. ...

2002

... 详细证明可参见文献［22-23］. ...

Equilibrium order parameters of nematic liquid crystals in the Landau-de Gennes theory

2010

... 引理4^［24］　令

β (Q) = 1 - 6 \frac{[t r (Q^{3} {)]}^{2}}{| Q |^{6}}

，假设

Q \in S_{0}^{3}

，

S_{0}^{3} = {Q \in M^{3 \times 3} : Q_{i j} = Q_{j i}, t r (Q) = 0 ，

i, j = 1,2, 3}

，则有

0 \leq β (Q) \leq 1

. ...

〈

〉