Bernoulli泛函空间中广义计数算子的表示

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.008

Bernoulli泛函空间中广义计数算子的表示

周玉兰^,^,, 陈嘉, 孔华芳, 薛蕊, 程秀强

西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070

The representation of generalized number operator acting on the Bernoulli functionals space

ZHOU Yulan^,^,, CHEN Jia, KONG Huafang, XUE Rui, CHENG Xiuqiang

College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China

收稿日期: 2020-12-23

基金资助:

国家自然科学基金地区科学基金项目. 11861057

Received: 2020-12-23

作者简介 About authors

周玉兰（1978—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-4831-7149，女，博士，副教授，主要从事随机分析研究，E-mail：zhouylw123@163.com , E-mail：zhouylw123@163.com

摘要

得到离散时间正规鞅平方可积泛函空间 $L^{2} (M)$ 中广义计数算子 $N_{h}$ 的5种表示：（1）量子Bernoulli噪声（quantum Bernoulli noises，QBN） ${\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}$ 的加权表示；（2） $N_{h}$ 的谱表示，广义计数算子 $N_{h}$ 以 $h$ -计数测度 $#_{h}$ 的值域为其点谱；（3） $N_{h}$ 的“对角化”表示， $N_{h}$ 可表示为 $L^{2} (M)$ 的标准正交基 ${Z_{σ}; σ \in Γ}$ 所生成的一维对角化正交投影算子的加权极限；（4）广义Skorohod积分-广义随机梯度表示， $N_{h}$ 可表示为互共轭算子 $δ_{h}$ 和 $\nabla_{h}$ 的复合算子；（5）对 $N$ 上的任意非负函数 $h$ ，可构造一列有界广义计数算子， $N_{h}$ 恰为该有界广义计数算子的强极限，当 $h$ 可和时， $N_{h}$ 为该有界广义计数算子的一致极限。

关键词： 算子谱 ; 广义计数算子 ; 对角化算子 ; 广义Skorohod积分 ; 广义随机梯度

Abstract

This paper presents five representations for the generalized number operator $N_{h}$ defined in $L^{2} (M)$ , the space of square integrable functionals in terms of the discrete-time normal martingale, (1) The weighted representation of the quantum Bernoulli noises (QBN) ${\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}$ ; (2) The spectrum representation, the spectrum of $N_{h}$ is just the range of the $h$ -counting measure $#_{h}$ on $Γ$ ; (3) The "diagonalization" representation, i.e., $N_{h}$ can be expressed as the weighted limit of the one-dimensional diagonalized orthogonal projection operators generated by the QNB ${Z_{σ}; σ \in Γ}$ ; (4) The representation in terms of the generalized Skorohod integral-generalized stochastic gradient, specifically, $N_{h}$ is the composition of the generalized Skorohod $δ_{h}$ and its adjoint $\nabla_{h}$ , the generalized stochastic gradient; (5) For many nonnegative function $h$ on $N$ , a bounded generalized number operators are constructed, which is convergent strongly to $N_{h}$ and if $h$ is summable, the sequence is convergent uniformly to $N_{h}$ .

Keywords： spectrum of operator ; generalized number operator ; diagonalization operator ; generalized Skorohod integral ; generalized stochastic gradient

PDF (513KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

周玉兰, 陈嘉, 孔华芳, 薛蕊, 程秀强. Bernoulli泛函空间中广义计数算子的表示. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(3): 316-323 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.008

ZHOU Yulan, CHEN Jia, KONG Huafang, XUE Rui, CHENG Xiuqiang. The representation of generalized number operator acting on the Bernoulli functionals space. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(3): 316-323 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.008

0　引言

在量子物理研究中，具有增生、湮灭等性质的物理系统广泛存在，这类系统的演化过程可用Fock空间中的量子随机微分方程描述，其中以增生算子、湮灭算子和保守（计数）算子作为基本过程。量子随机积分实际上是Fock空间中适当的适应量子过程关于基本过程的积分，这是经典It $\hat{o}$ 随机积分理论在算子领域的非交换扩张，将随机分析理论提升至算子水平，在不同的分析框架下有不同的扩张形式^［1-5］。ATTAL等^［6］提出了连续时间Guichardet-Fock空间中的量子随机积分，这为Fock空间中的量子随机积分提供了统一的理论框架，并扩大了量子随机积分的定义域，从而脱离了指数域的限制。在经典随机分析中，半鞅、鞅、局部鞅是适应过程关于基本噪声过程（包括连续时间的Gauss噪声和离散情形的Bernoulli噪声以及带跳的Poission过程）的随机积分。作为该内容在量子理论中的推广，关于量子鞅、量子半鞅及局部量子鞅的表示是很重要的研究内容。为研究量子鞅的性质及表示，有必要对增生、湮灭和计数算子以及相应过程的性质进行深入讨论。

近年来，离散时间正规鞅噪声广受关注，WANG等^［7］给出了关于离散时间正规鞅的分析框架，提出了量子Bernoulli噪声（quantum Bernoulli noises，QBN）的概念^［8］，并讨论了其典则反交换关系等性质。QBN为 $L^{2} (M)$ 中的一列点态增生、湮灭算子，其在离散时间量子随机分析理论研究中具有重要作用，且应用广泛^［9-18］，如WANG等^［9］提出了量子Bernoulli噪声局部化的概念，并用其构造了一致连续的量子Markov半群（quantum Markov semigroups，QMS）；CHEN^［14］用QBN直接构造了QMS，并讨论了该半群不变态的存在性。计数算子 $N$ 为 $L^{2} (M)$ 中稠定自伴无界闭线性算子，与QBN ${\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}$ 共同构成了离散时间正规鞅泛函框架下量子随机分析理论的基本算子，其在量子随机积分中扮演了重要角色。基本算子性质在很大程度上影响积分算子性质。

WANG等^［15］用QBN讨论了一类加权计数算子，认为应用加权计数算子可构造一类QMS。文献［19］讨论了连续时间Guichardet-Fock空间中计数算子 $N$ 的表示问题， $N$ 可表示为修正点态广义随机梯度族及共轭族 ${\tilde{\nabla_{s}}, \tilde{\nabla_{s}^{*}}, s \in R_{+}}$ 的算子值Bochner积分，也可表示为修正随机梯度 $\tilde{\nabla}$ 及Skorohod积分复合，以及 $N$ 的特征值。周玉兰等^［20］讨论了在离散时间正规鞅平方可积泛函空间中计数算子的进一步推广，提出了广义计数算子的概念，并证明了这类算子的性质，广义计数算子 $N_{h}$ 为 $L^{2} (M)$ 中稠定自伴闭线性算子，而 $N_{h}$ 有界当且仅当 $h$ 为 $N$ 上的平方可和函数，且 $N_{h}$ 与QBN满足一定的交换关系。基于此，本文充分利用 $L^{2} (M)$ 中正交基的特点，进一步提出 $N_{h}$ 的对角表示和极限表示，讨论了 $L^{2} (M)$ 中广义计数算子的表示问题，并得到5种表示：

（1）对 $N$ 上非负函数 $h$ ，广义计数算子 $N_{h}$ 可表示为QBN的加权“强”极限：

N_{h} = \sum_{k = 0}^{\infty} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k} ，

且当 $h$ 可和时，右侧算子级数一致收敛于 $N_{h}$ 。

（2） $N_{h}$ 的谱表示。对 $N$ 上非负函数 $h$ ， $N_{h}$ 的谱集恰好是 $Γ$ 中广义计数测度 $#_{h}$ 的值域 ${a_{0} = 0, a_{1}, a_{2}, \dots}$ ，从而 $N_{h}$ 的谱可表示为

N_{h} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} P_{n} 。

若 $h$ 为常值函数 $C$ ，则 $N_{h}$ 的谱与计数算子 $N$ 的谱在模去常因子 $C$ 的情况下是相同的，且与 $N$ 有相同的特征子空间 ${ℋ_{n}; n \geq 0}$ 。

（3） $N_{h}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的对角化算子且关于 $L^{2} (M)$ 的标准正交基 ${Z_{σ}; σ \in Γ}$ 所生成的一维正交投影 ${| Z_{σ} 〉〈 Z_{σ} |; σ \in Γ}$ 可表示为

N_{h} = \sum_{σ \in Γ} #_{h} (σ) | Z_{σ} 〉 〈 Z_{σ} | 。

（4）在 $L^{2} (M)$ 的稠子集 $𝒮_{0} (M)$ 中， $N_{h}$ 可表示为广义随机梯度 $\nabla_{h}$ 和广义Skorohod积分算子 $δ_{h}$ 的复合，即

N_{h} = δ_{h^{α}} ° \nabla_{h^{1 - α}},

其中， $α \in R$ ， $𝒮_{0} (M) = s p a n {Z_{σ}; σ \in Γ}$ ，且在下列情形下成立：

（i）当 $α < \frac{1}{2}$ ；

（ii）对任意的 $α \in R$ ， $h$ 为 $N$ 上有限支撑函数；特别地，计数算子 $N$ 为Skorohod积分算子 $δ$ 和随机梯度 $\nabla$ 的复合，即 $N = δ ° \nabla$ 。

（5） $N_{h}$ 的极限表示。构造了 $L^{2} (M)$ 中一列单调递增的有界广义计数算子 ${N_{h 1_{[0, n]}}; n \geq 0}$ ，在 $D o m N_{h}$ 上强收敛于 $N_{h}$ ：

N_{h} ξ = \underset{n \to \infty}{l i m} N_{h 1_{[0, n]}} ξ, ξ \in D o m N_{h} 。

1　预备知识

设 $N$ 表示非负整数集， $Γ$ 为 $N$ 的有限幂集全体，即

Γ = {σ | σ \subset N

且

# (σ) < \infty} ，

（1）

其中， $# (σ)$ 表示集合 $σ$ 的基数，显然 $Γ$ 为可列集，对任意的 $n \geq 0$ ，令 $Γ^{(n)} = {σ \in Γ; # σ = n}$ 表示 $N$ 的 $n$ 元素子集，特别地， $Γ^{(0)} = {\emptyset}$ 为空子集，则 ${Γ^{(n)}; n \geq 0}$ 为 $Γ$ 的一个划分， $Γ = \underset{n \geq 0}{\cup} Γ^{(n)}$ 。用 $σ, τ, ω, γ$ 等符号表示 $Γ$ 中的元素，且

\begin{matrix} \lor σ = m a x {k_{i}; 1 \leq i \leq n}, \\ \land σ = m i n {k_{i}; 1 \leq i \leq n}, σ = {k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}}, \end{matrix}

$l^{2} (Γ)$ 表示 $Γ$ 上复值平方可和序列依内积 $〈f, g〉 = \sum_{σ \in Γ} f (σ) \bar{g (σ)}$ 所成的Hilbert空间。

定义1^［8］若 $M$ 满足：

（1） $E [M_{0} | ℱ_{- 1}] = 0$ 且 $E [M_{n} | ℱ_{n - 1}] = M_{n - 1}$ ，对 $n \geq 1$ ；

（2） $E [M_{0}^{2} | ℱ_{- 1}] = 1$ 且 $E [M_{n}^{2} | ℱ_{n - 1}] = M_{n - 1}^{2} + 1$ ，对 $n \geq 1$ ，

其中， $ℱ_{- 1} = {\emptyset, Ω}, ℱ_{n} = σ (M_{k}; 0 \leq k \leq n), n \in N,$

$E [\cdot | ℱ_{n}]$ 表示关于 $ℱ_{n}$ 的条件期望，则称概率空间 $(Ω, ℱ, P)$ 中的平方可积过程 $M = (M_{n})_{n \in N}$ 为离散时间正规鞅。

应用 $M = (M_{n})_{n \in N}$ 构造离散时间过程 $Z = (Z_{n})_{n \in N}$ ：

Z_{0} = M_{0}, Z_{n} = M_{n} - M_{n - 1}, n \geq 1,

易证 $Z = (Z_{n})_{n \in N}$ 满足性质：

E [Z_{n} | ℱ_{n - 1}] = 0, E [Z_{n}^{2} | ℱ_{n - 1}] = 1, n \geq 0,

因此，可将 $Z = (Z_{n})_{n \in N}$ 看作在概率空间 $(Ω, ℱ, P)$ 中的离散时间正规噪声。

方便起见，取 $ℱ = σ (\underset{n \geq 0}{\cup} ℱ_{n})$ ，则 $Ω$ 上 $ℱ$ 可测泛函是关于正规鞅 $M$ 的泛函， $L^{2} (M)$ 为关于 $M$ 的平方可积泛函全体所成的Hilbert空间，其上的内积和范数分别记为 $〈\cdot, \cdot〉$ 和 $‖\cdot‖$ 。 $L^{2} (M \times N)$ 为关于正规鞅 $M$ 的平方可积过程全体所成的Hilbert空间，其上的内积和范数分别记为 $《 \cdot, \cdot 》$ 和 $‖ \cdot ‖_{L^{2} (M \times N)}$ 。

定理1^［7］设 $Z = (Z_{n})_{n \in N}$ 为概率空间 $(Ω, ℱ, P)$ 与 $M$ 相关联的离散时间正规噪声，定义 $Z_{\emptyset} = 1$ ，且

Z_{σ} = \prod_{i \in σ} Z_{i}, σ \in Γ, σ \neq \emptyset,

（2）

则 ${Z_{σ}; σ \in Γ}$ 为 $L^{2} (M)$ 的可数标准正交基。

定理2^［7］存在唯一的等距同构 $J : l^{2} (Γ) \to$ $L^{2} (M)$ ，使得

J (f) = \sum_{σ \in Γ} f (σ) Z_{σ}, f \in l^{2} (Γ),

（3）

其中，右侧级数依 $L^{2} (M)$ 中的范数收敛。

定理2表明， $Γ$ 中平方可和序列全体与 $M$ 的平方可积泛函全体所成的Hilbert空间是等距同构的。

对任意的 $n \geq 0$ ，记 $ℋ_{n} = \bar{s p a n} {Z_{σ}; σ \in Γ^{(n)}} = J (l^{2} (Γ^{(n)}))$ ，则 ${ℋ_{n}; n \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中一列相互正交的闭子空间，且有

定理3（Wiener-It $\hat{o}$ -Segal分解）^［7］存在唯一的等距映射：

J : L^{2} (M) \to \oplus_{n = 0}^{\infty} ℋ_{n},

ξ \mapsto J (\oplus_{n = 0}^{\infty} f_{n}),

（4）

其中， $f = J^{- 1} (ξ) \in l^{2} (Γ)$ ， $f_{n} = f 1_{Γ^{(n)}} \in l^{2} (Γ^{(n)}), n \geq 0$ 。

对任意的 $f \in l^{2} (Γ), k \in N$ ，易证 $σ \mapsto f (σ ⋃$ $k) [1 - 1_{σ} (k)]$ 为 $Γ$ 中的平方可和函数，其中， $σ ⋃ k$ 表示 $σ \cup {k}$ 。同理， $σ ⋂ k, σ ∖ k$ 分别表示 $σ \cap {k}$ 和 $σ ∖ {k}$ 。

定理4^［8］设 $k \in N$ ，定义算子 $\partial_{k} : L^{2} (M) \mapsto$ $L^{2} (M)$ 为

\partial_{k} ξ = J [f (* ⋃ k) (1 - 1_{*} (k))], ξ \in L^{2} (M),

（5）

其中， $f = J^{- 1} (ξ) \in l^{2} (Γ)$ ，则 $\partial_{k}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的有界线性算子，且 $‖ \partial_{k} ‖ = 1$ ，特别地

\partial_{k} Z_{σ} = 1_{σ} (k) Z_{σ ∖ k}, σ \in Γ 。

（6）

定义2 $^{[9]}$ 设 $k \in N$ ，称 $\partial_{k}$ 为 $k$ 点处的湮灭算子，称共轭算子 $\partial_{k}^{*}$ 为 $k$ 点处的增生算子。

定理5^［8］设 $k \in N$ ，则 $\partial_{k}^{*}$ 满足运算性质：

\partial_{k}^{*} ξ = J [f (* ∖ k) 1_{*} (k)], ξ \in L^{2} (M),

（7）

其中， $f = J^{- 1} (ξ)$ ，特别地，

\partial_{k}^{*} Z_{σ} = [1 - 1_{σ} (k)] Z_{σ ⋃ k}, σ \in Γ 。

（8）

定义3^［8］称 $L^{2} (M)$ 中的有界算子序列 ${\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}$ 为QBN。

定理6^［8］^{设 $k, l \in N$ ，则}

\partial_{k} \partial_{l} = \partial_{l} \partial_{k}, \partial_{k}^{*} \partial_{l}^{*} = \partial_{l}^{*} \partial_{k}^{*}, \partial_{k}^{*} \partial_{l} = \partial_{l} \partial_{k}^{*} (l \neq k),

（9）

\partial_{k} \partial_{k} = \partial_{k}^{*} \partial_{k}^{*} = 0, \partial_{k} \partial_{k}^{*} + \partial_{k}^{*} \partial_{k} = I

，（10）

其中， $I$ 为 $L^{2} (M)$ 中的恒同算子。

定理6表明，QBN是可交换的、幂零的，且满足典则反交换关系。

定义4 $L^{2} (M)$ 中线性算子 $N$ 定义为

N (ξ) = \sum_{σ \in Γ} # (σ) 〈ξ, Z_{σ}〉 Z_{σ}, ξ \in D o m N,

（11）

若 $D o m N = \{\overset{}{\underset{}{ξ \in L^{2} (M)}}| \sum_{σ \in Γ} [# {(σ)]}^{2} {|〈ξ, Z_{σ}〉|}^{2} < + \infty\},$

则称 $N$ 为 $L^{2} (M)$ 中的计数算子。

定义5^［19］设 $h$ 为 $N$ 上的非负函数，称 $Γ$ 中函数

$#_{h} : Γ \to R_{+}$ ： $#_{h} (σ) = \sum_{k \in σ} h (k), σ \in Γ$

为 $h$ 加权计数测度，简称为 $h$ -计数测度。

定义6^［19］设 $h$ 为 $N$ 上的非负实函数，定义 $L^{2} (M)$ 中的线性算子 $N_{h}$ 为

N_{h} ξ = \sum_{σ \in Γ} #_{h} (σ) 〈ξ, Z_{σ}〉 Z_{σ},

（12）

若 D o m N_{h} = \{ξ \in L^{2} (M) | [#_{h} {(σ)]}^{2} \times {|〈ξ, Z_{σ}〉|}^{2} < + \infty\},

则称 $N_{h}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的 $h$ -广义计数算子，简称广义计数算子。

注1 若 $h (k) \equiv 1$ ， $k \in N$ ，则 $#_{h} (σ) = # (σ)$ 为 $Γ$ 中的计数测度，且 $N_{h} = N$ 为 $L^{2} (M)$ 中的计数算子。

定理7^［21］设 $h$ 为 $N$ 上的非负实函数，则对应的广义计数算子 $N_{h}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的稠定自伴闭线性算子。 $N_{h}$ 有界当且仅当 $h$ 为 $N$ 上的非负可和函数，且 $N_{h}$ 的算子范数可表示为

‖ N_{h} ‖ = \sum_{k \geq 0} h (k) 。

定义7^［20］对 $N$ 上的任意非负函数 $h$ ，称算子 $\nabla_{h} : L^{2} (M) \to L^{2} (M \times N)$ ： $\nabla_{h} ξ = (h (k) \partial_{k} {ξ)}_{k \geq 0},$

D o m \nabla_{h} = \{ξ \in L^{2} (M) | [#_{h} {(σ)]}^{2} {|〈ξ, Z_{σ}〉|}^{2} < + \infty\}

为关于 $h$ 的广义随机梯度，称 $L^{2} (M \times N)$ 中的算子

$δ_{h} : L^{2} (M \times N) \to L^{2} (M)$ ： $δ_{h} (u) = \sum_{k = 0}^{\infty} h (k) u_{k} Z_{k},$

D o m δ_{h} = {u \in L^{2} (M \times N) | δ_{h} (u) \in L^{2} (M)}

为广义Skorohod积分算子。

注2 若 $h (k) \equiv 1$ ，则 $\nabla_{h} = \nabla, δ_{h} = δ$ 分别为随机梯度和Skorohod积分。

定理8^［20］设 $h$ 为 $N$ 上的非负函数，则广义随机梯度 $\nabla_{h}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的稠定闭线性算子， $δ_{h}$ 为 $L^{2} (M \times N)$ 中的稠定闭线性算子， $\nabla_{h}$ 和 $δ_{h}$ 有界的充要条件为 $h$ 平方可和，故

‖ \nabla_{h} ‖ = {\{{\sum_{k \geq 0} [h (k)]}^{2}\}}^{\frac{1}{2}}, ‖ δ_{h} ‖ = {\{{\sum_{k \geq 0} [h (k)]}^{2}\}}^{\frac{1}{2}} 。

2　主要结果

对正规鞅平方可积泛函空间 $L^{2} (M)$ 中广义计数算子 $N_{h}$ 的表示问题进行讨论，得到5种表示方法：

（1） $N_{h}$ 为关于QBN ${\partial_{k}^{*}, \partial_{k}, k \geq 0}$ 的加权表示；

（2） $N_{h}$ 的谱表示；

（3） $N_{h}$ 为关于 $L^{2} (M)$ 的标准正交基所生成一维正交投影的“对角化”表示；

（4） $N_{h}$ 为关于广义Skorohod 积分- 广义随机梯度的复合表示；

（5） $N_{h}$ 为有界广义计数算子 ${N_{h 1_{[0, n]}}; n \geq 0}$ 的强极限，当 $h$ 可和时， $N_{h}$ 为 ${N_{h 1_{[0, n]}}; n \geq 0}$ 的一致极限。

定理9 对任意的 $ξ \in D o m N_{h}, η \in L^{2} (M)$ ，级数

\sum_{k \geq 0} h (k) 〈\partial_{k}^{*} \partial_{k} ξ, η〉

（13）

绝对收敛，且

N_{h} ξ = \underset{n \to \infty}{l i m} \sum_{k = 0}^{n} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k} ξ, ξ \in D o m N_{h} 。

特别地，若 $h$ 可和，则算子级数 $\sum_{k = 0}^{\infty} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k}$ 在 $L^{2} (M)$ 中一致收敛于 $N_{h}$ ，即

\underset{n \to \infty}{l i m} {‖N_{h} - \sum_{k = 0}^{n} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k}‖}^{2} = 0 。

（14）

证明由于 ${\partial_{k}^{*}, \partial_{k}; k \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的有界线性算子，故对任意的 $ξ \in L^{2} (M)$ ，有

\partial_{k}^{*} \partial_{k} ξ = \sum_{σ \in Γ} 〈ξ, Z_{σ}〉 1_{σ} (k) Z_{σ},

于是对任意的 $ξ \in D o m N_{h}, η \in L^{2} (M)$ ，有

\begin{array}{l} \sum_{k \geq 0} |h (k) 〈\partial_{k}^{*} \partial_{k} ξ, η〉| = \\ |h (k) \sum_{σ \in Γ} 〈ξ, Z_{σ}〉 1_{σ} (k) 〈Z_{σ}, η〉| \leq \\ \sum_{k \geq 0} \sum_{σ \in Γ} h (k) 1_{σ} (k) |〈ξ, Z_{σ}〉| |〈Z_{σ}, η〉| = \\ \sum_{σ \in Γ} #_{h} (σ) |〈ξ, Z_{σ}〉| |〈Z_{σ}, η〉| \leq \\ {\{{\sum_{σ \in Γ} (#_{h} (σ)}^{2} {|〈ξ, Z_{σ}〉|}^{2} {|〈Z_{σ}, η〉|}^{2}\}}^{\frac{1}{2}} = \\ ‖ N_{h} ξ ‖ ‖ η ‖ < + \infty ， \end{array}

故式（13）绝对收敛，且

\begin{array}{l} \sum_{k \geq 0} h (k) 〈\partial_{k}^{*} \partial_{k} ξ, η〉 = \\ \sum_{k \geq 0} \sum_{σ \in Γ} 〈ξ, Z_{σ}〉 1_{σ} (k) h (k) 〈Z_{σ}, η〉 = \\ 〈\sum_{σ \in Γ} #_{h} (σ) Z_{σ}, η〉 = 〈N_{h} ξ, η〉 ， \end{array}

即在内积意义下， $N_{h}$ 为QBN ${\partial_{k}^{*}, \partial_{k};$ $k \geq 0}$ 的加权弱极限：

N_{h} = \sum_{n = 0}^{\infty} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k} 。

又若对任意的 $σ \in Γ$ ，有

[#_{h 1_{[n + 1, \infty)}} {(σ)]}^{2} | 〈Z_{σ}, ξ〉 |^{2} \to 0, n \to \infty

，

则

{‖\sum_{k = n + 1}^{\infty} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k} ξ‖}^{2} = {\sum_{σ \in Γ} [#}_{h 1_{[n + 1, \infty)}} {(σ)]}^{2} {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} \to 0, n \to \infty,

故

N_{h} ξ = \underset{n \to \infty}{l i m} \sum_{k = 0}^{n} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k} ξ, ξ \in D o m N_{h} 。

设 $h$ 可和，则由定理7，知 $N_{h}$ 和算子列 $\{\sum_{k = 0}^{n} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k}; n \geq 0\}$ 均为 $L^{2} (M)$ 中的有界性算子，且

{‖N_{h} - \sum_{k = 0}^{n} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k}‖}^{2} = {[\sum_{k = n + 1}^{\infty} h (k)]}^{2} \to 0, n \to \infty,

即 $\{\sum_{k = 0}^{n} h (k) \partial_{k}^{*} \partial_{k}; n \geq 0\}$ 一致收敛于 $N_{h}$ 。

由定理7，对 $N$ 上的非负函数 $h$ ，对应的广义计数算子 $N_{h}$ 为 $L^{2} (M)$ 中正的稠定，自伴闭线性算子，因此 $N_{h}$ 的谱集为 $R_{+}$ 的子集。

定理10 若 $h$ 为 $N$ 上的非负函数，则广义计数算子 $N_{h}$ 的谱恰为 $h$ -计数测度 $#_{h}$ 的值域 ${a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots}$ ，与特征值 $a_{n}$ 对应的特征子空间为 $G_{n}, n \geq 0$ ，且 $N_{h}$ 的谱可表示为

N_{h} = \sum_{n \geq 0} a_{n} P_{n},

（15）

其中， $P_{n}$ 为 $L^{2} (M)$ 到 $G_{n}$ 的正交投影算子，算子级数在 $D o m N_{h}$ 上强收敛。若 $h$ 为 $N$ 上的可和函数，则式（15）在 $L^{2} (M)$ 上强收敛。

证明设 $h$ 为 $N$ 上的非负函数，对任意的 $n \geq 0$ ，有

N_{h} Z_{σ} = a_{n} Z_{σ}, σ \in \land_{n},

这说明 $a_{n}$ 为 $N_{h}$ 的特征值， $G_{n}$ 为 $a_{n}$ 的特征子空间。定义算子 $P_{n} : L^{2} (M) \to G_{n}$ ：

\begin{array}{l} P_{n} (ξ) = {\sum_{σ \in \land_{n}} 〈ξ, Z_{σ}〉 Z}_{σ}, \\ ξ = \sum_{σ \in Γ} 〈ξ, Z_{σ}〉 Z_{σ} \in L^{2} (M), \end{array}

由于 ${Z_{σ}; σ \in Γ}$ 为 $L^{2} (M)$ 的标准正交基， ${\land_{n}; n \geq 0}$ 为 $Γ$ 的一个划分，所以 ${G_{n}; n \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中一列相互正交的闭子空间，从而 ${P_{n}; n \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的一列正交投影算子。对任意的 $ξ \in D o m N_{h}$ ，有

\begin{array}{l} ‖ N_{h} ξ ‖^{2} {= \sum_{σ \in Γ} (#_{h} (σ))}^{2} {|〈ξ, Z_{σ}〉|}^{2} = \\ \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}^{2} \sum_{σ \in \land_{n}} {|〈ξ, Z_{σ}〉|}^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}^{2} ‖ P_{n} ξ ‖^{2} = \\ \sum_{n = 0}^{\infty} ‖ a_{n} P_{n} ξ ‖^{2} = {‖\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} P_{n} ξ‖}^{2} ， \end{array}

其中， ${P_{n} ξ; n \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中一列相互正交的元素，故

{‖N_{h} ξ - \sum_{k = 0}^{n} a_{k} P_{k} ξ‖}^{2} = \sum_{k = n + 1}^{\infty} a_{k}^{2} ‖ P_{k} ξ ‖^{2} \to 0, n \to \infty,

即在 $D o m N_{h}$ 上，算子级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} P_{n}$ 强收敛于 $N_{h}$ ，式（15）成立。

若 $h$ 为 $N$ 上的非负可和函数，则由定理8， $N_{h}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的有界线性算子，故式（15）在全空间 $L^{2} (M)$ 上成立。

推论1 若 $h$ 为 $N$ 上的常数函数， $C > 0$ ，则 $N_{h}$ 以 ${C n; n \geq 0}$ 为其谱集，且

ℋ_{n} = J (𝓁^{2} (Γ^{(n)}))

为相应特征值 $C n$ 的特征子空间，

N_{h} = C \sum_{n \geq 0} n J_{n},

（16）

其中，

J_{n} : L^{2} (M) \to ℋ_{n} = \bar{s p a n} {Z_{σ}; # σ = n}

为正交投影算子，算子级数在 $D o m N$ 上强收敛。特别地， $L^{2} (M)$ 中计数算子 $N$ 的谱为自然数集 $N$ 。

由于 ${Z_{σ}; σ \in Γ}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的标准正交基，所以 $L^{2} (M)$ 中的线性算子可以表示为Dirac算子序列 ${| Z_{σ}〉〈Z_{σ} |; \forall σ, τ \in Γ}$ 的线性组合强极限。

定理11 设 $h$ 为 $N$ 上的非负函数，则广义计数算子 $N_{h}$ 的“对角化”表示为

N_{h} = \sum_{σ \in Γ} #_{h} (σ) | Z_{σ}〉 〈Z_{σ} |,

（17）

其中，右侧算子级数在 $D o m N_{h}$ 上强收敛。特别地，若 $h$ 可和，则式（17）在 $L^{2} (M)$ 上强收敛。

证明由于 ${Z_{σ}; σ \in Γ}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的标准正交基，所以 ${| Z_{σ}〉〈Z_{σ} |; σ \in Γ}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的一维投影算子列，且对任意的 $σ, τ \in Γ$ ，若 $σ = τ$ ，则

| Z_{σ}〉 〈Z_{σ} | | Z_{τ}〉 〈Z_{τ} | Z_{ω} = θ, ω \in Γ,

说明 ${| Z_{σ}〉〈Z_{σ} |; σ \in Γ}$ 为 $L^{2} (M)$ 中一列相互正交的投影算子。

对任意的 $ξ \in D o m N_{h}$ ，由式（12），知

\begin{matrix} N_{h} ξ = \sum_{σ \in Γ} #_{h} (σ) < Z_{σ}, \\ ξ > Z_{σ} = \sum_{σ \in Γ} #_{h} (σ) | Z_{σ}〉 〈Z_{σ} | (ξ), \end{matrix}

\begin{array}{l} ‖ N_{h} ξ ‖^{2} = ‖ \sum_{σ \in Γ} (#_{h} (σ)) | Z_{σ}〉 〈Z_{σ} | ξ ‖^{2} = \\ {\sum_{σ \in Γ} (#_{h} (σ))}^{2} ‖ | Z_{σ}〉 〈Z_{σ} | ξ ‖^{2} < + \infty ， \end{array}

所以式（17）在 $D o m N_{h}$ 上成立。若 $h$ 可和，则由定理7，知 $N_{h}$ 有界，故式（17）在 $L^{2} (M)$ 中成立。

注3 （i）由式（17），知对 $N$ 上非零可和函数 $h$ ，即使 $h$ 为有限支撑的， $N_{h}$ 也不是紧算子：广义计数算子 $N_{h}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的紧算子 $\Leftrightarrow h \equiv 0$ 。

（ii）由于 ${\land_{n}; n \geq 0}$ 为 $Γ$ 的划分，所以 $P_{n} = \sum_{σ \in \land_{n}} | Z_{σ}〉〈Z_{σ} |$ ，从而有

N_{h} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \sum_{σ \in \land_{n}} | Z_{σ}〉 〈Z_{σ} | 。

（iii）显然，

{1_{\cup_{k = 0}^{n} \land_{k}} (σ) #_{h} (σ) | Z_{σ}〉 〈Z_{σ} |; n \geq 0}

为 $L^{2} (M)$ 中一列有界广义计数算子，由式（17），知 $N_{h}$ 为其强极限。

下面给出广义计数算子 $N_{h}$ 关于广义Skorohod积分-广义随机梯度的复合表示。令

$𝒮_{0} (M \times N) = {(u_{k})_{k \geq 0} \in L^{2} (M \times N);$ $存在 K \geq 0 ，$ 使 $u_{k} = 0,$ 对任意的 $k \geq K + 1},$

易证 $𝒮_{0} (M \times N)$ 为在 $L^{2} (M \times N)$ 的稠子空间中的元素，称为“截断过程”。显然， $𝒮_{0} (M)$ 和 $𝒮_{0} (M \times N)$ 分别为 $\nabla_{h}$ 和 $δ_{h}$ 的公共定义域，从而在 $𝒮_{0} (M)$ 上，对广义计数算子有以下广义随机梯度-广义Skorohod积分算子表示。

定理12 设 $h$ 为 $N$ 上的非负函数，对任意的 $α \in R$ ， $N_{h}$ 可表示为

N_{h} ξ = δ_{h^{α}} (\nabla_{h^{1 - α}} ξ), ξ \in 𝒮_{0} (M),

（18）

若 $h$ 可和且 $α < \frac{1}{2}$ ，则式（18）在 $L^{2} (M)$ 中成立。特别地，若 $h$ 是有限支撑的，则对任意的 $α \in R$ ，式（18）在 $L^{2} (M)$ 中成立。

证明设 $h$ 为 $N$ 上的非负函数，则对任意的 $α \in R$ ， $ξ \in 𝒮_{0} (M)$ ，显然过程

\begin{array}{l} u^{ξ} = [h {(k)}^{1 - α} \partial_{k} {ξ]}_{k \geq 0} = \\ {[h {(k)}^{1 - α} \sum_{σ \in Γ} < ξ, Z_{σ} > 1_{σ} (k) Z_{σ ∖ k}]}_{k \geq 0} \end{array}

为截断过程，则 $u^{ξ} \in D o m δ_{h^{α}}$ ，从而有

\begin{array}{l} δ_{h^{α}} (\nabla_{h^{1 - α}} ξ) = δ_{h^{α}} (u^{ξ}) = \\ {\sum_{k \geq 0} [h (k)]}^{α} u_{k}^{ξ} Z_{k} = \\ {\sum_{k \geq 0} [h (k)]}^{α} [h {(k)]}^{1 - α} (\partial_{k} ξ) Z_{k} = \\ \sum_{k \geq 0} h (k) \sum_{σ \in Γ} 1_{σ} (k) 〈ξ, Z_{σ}〉 Z_{σ} = \\ \sum_{σ \in Γ} #_{h} (σ) 〈ξ, Z_{σ}〉 Z_{σ} = N_{h} ξ, \end{array}

（19）

若 $h$ 可和，则必存在 $K \geq 0$ ，使得 $h (k) < 1, k \geq K + 1$ ，于是当 $α < \frac{1}{2}$ 时，有

\begin{array}{l} \sum_{k = 0}^{\infty} h^{2 (1 - α)} (k) = \sum_{k = 0}^{K} h^{2 (1 - α)} (k) + \sum_{k = k + 1}^{\infty} h^{2 (1 - α)} (k) \leq \\ \sum_{k = 0}^{K} h^{2 (1 - α)} (k) + \sum_{k = K + 1}^{\infty} h (k) < + \infty 。 \end{array}

由定理7和定理8，知 $N_{h}$ ， $\nabla_{h^{1 - α}}$ 是有界的，对任意的 $ξ \in L^{2} (M)$ ，有

\begin{array}{l} {‖\sum_{k = 0}^{\infty} h^{α} (k) h^{1 - α} (k) (\partial_{k} ξ) Z_{k}‖}^{2} = \\ {‖\sum_{k = 0}^{\infty} h (k) \sum_{σ \in Γ} 1_{σ} (k) 〈Z_{σ}, ξ〉 Z_{σ}‖}^{2} = \\ {\sum_{k = 0}^{\infty} [#_{h} (σ)]}^{2} {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} = \\ {\sum_{k = 0}^{\infty} [#_{h} (σ)]}^{2} {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} = \\ ‖ N_{h} ξ ‖^{2} < + \infty ， \end{array}

所以 $\nabla_{h^{1 - α}} (L^{2} (M)) \subset D o m δ_{h^{α}}$ 。与式（19）类似，可得式（18）在 $L^{2} (M)$ 中成立。

若 $h$ 是有限支撑的，则对任意的 $α \in R, h^{α}, h^{1 - α}$ 均为平方可和函数，故式（18）在 $L^{2} (M)$ 中成立。

定理13 设 $h$ 为 $N$ 上的非负实函数，则：

（i） ${N_{h 1_{[0, n]}}; n \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中单调递增的有界广义计数算子， ${N_{h 1_{[n, + \infty)}}; n \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中一列稠定单调递减的广义计数算子；

（ii）在 $D o m N_{h}$ 上， ${N_{h 1_{[0, n]}}}_{n \geq 0}$ 强收敛于 $N_{h}$ ， ${N_{h 1_{[n, + \infty)}}; n \geq 0}$ 强收敛于 $L^{2} (M)$ 中的零算子，即

N_{h} ξ = \underset{n \to \infty}{l i m} N_{h 1_{[0, n]}} ξ, l i m N_{h 1_{[0, n]}} ξ = θ, ξ \in D o m N_{h},

（20）

且 $N_{h}$ 可表示为

N_{h} ξ = N_{h 1_{[0, n]}} ξ + N_{h 1_{[n + 1, \infty]}} ξ, ξ \in D o m N_{h}, n \geq 0,

（21）

特别地，若 $h$ 可和，则 $N_{h}$ 为 ${N_{h 1_{[0, n]}}}_{n \geq 0}$ 的一致极限，而 ${N_{h 1_{[n, + \infty)}}; n \geq 0}$ 一致收敛于 $L^{2} (M)$ 中的零算子，即

\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{l i m} ‖ N_{h} - N_{h 1_{[0, n]}} ‖ = \underset{n \to \infty}{l i m} ‖ N_{h 1_{[n + 1, + \infty)}} ‖ = \\ \underset{n \to \infty}{l i m} \sum_{k = n + 1}^{\infty} h (k) = 0 。 \end{array}

证明（i）设 $h$ 为 $N$ 上的非负函数，则 ${h 1_{[0, n]};$ $n \geq 0}$ 为 $N$ 上具有有限支撑的函数列，且单调递增逐点收敛于 $h$ 。由定理7，知 ${N_{h 1_{[0, n]}}; n \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中一列有界广义计数算子。

对任意的 $n \geq 0, ξ \in L^{2} (M)$ ，有

\begin{array}{l} 〈N_{h 1_{[0, n + 1]}} ξ - N_{h 1_{[0, n]}} ξ, ξ〉 = \\ 〈\sum_{σ \in Γ} #_{h 1_{[0, n + 1]}} (σ) 〈Z_{σ}, ξ〉 Z_{σ} - \\ \sum_{σ \in Γ} #_{h 1_{[0, n]}} (σ) 〈Z_{σ}, ξ〉 Z_{σ}, ξ〉 = \\ \sum_{σ \in Γ} [#_{h 1_{[0, n + 1]}} (σ) - #_{h 1_{[0, n]}} (σ)] {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} = \\ \sum_{σ \in Γ} 1_{h 1_{{n + 1}}} (σ) {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} = \\ h (n + 1) \sum_{σ \in Γ} 1_{σ} (n + 1) {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} \geq 0, \end{array}

即 ${N_{h 1_{[0, n]}}; n \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中单调递增的有界广义计数算子。

另外，由

h (k) \geq h 1_{[n, + \infty)} (k) \geq h 1_{[n + 1, + \infty)} (k)

，

k \geq 0,

知

{\sum_{σ \in Γ} [#_{h} (σ)]}^{2} {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} \geq \sum_{σ \in Γ} [#_{h 1_{[n, + \infty)}} {(σ)]}^{2} {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} \geq \sum_{σ \in Γ} [#_{h 1_{[n + 1, + \infty)}} {(σ)]}^{2} {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2},

故

$D o m N_{h} \subset \dots \subset D o m N_{h 1_{[n, + \infty)}} \subset D o m N_{h 1_{[n + 1, + \infty)}} \dots,$ ${D o m N_{h 1_{[n, + \infty)}}; n \geq 0}$ 为以 $D o m N_{h}$ 为公共子集的一列单调递增的稠子空间，显然

D o m N_{h} = \cup_{n = 0}^{\infty} D o m N_{h 1_{[n, + \infty)}}

，

从而对任意的 $ξ \in D o m N_{h}$ ，有

〈N_{h 1_{[n, + \infty)}} ξ - N_{h 1_{[n + 1, \infty)}} ξ, ξ〉 = \sum_{σ \in Γ} h (n) 1_{σ} (n) {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} \geq 0 ，

即 ${N_{h 1_{[n, + \infty)}}; n \geq 0}$ 为 $D o m N_{h}$ 上单调递减的广义计数算子。

（ii）对任意的 $ξ \in D o m N_{h}$ ， $n \geq 0$ ，有

\begin{array}{l} ‖ N_{h} ξ - N_{h 1_{[0, n]}} ξ ‖^{2} = \\ {‖\sum_{σ \in Γ} [#_{h} (σ) - #_{h 1_{[0, n]}} (σ)] 〈ξ, Z_{σ}〉 Z_{σ}‖}^{2} = \\ {‖\sum_{σ \in Γ} \sum_{k \in σ ⋂ Γ_{[n + 1}} h (k) 〈ξ, Z_{σ}〉 Z_{σ}‖}^{2} \leq \\ {\sum_{σ \in Γ} [#_{h} (σ)]}^{2} {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} < + \infty, \end{array}

（22）

其中，

Γ_{[n + 1, \infty)} = {σ \in Γ; σ \subset {n + 1, n + 2, \dots}}

，

对任意的 $σ \in Γ$ ，有

\underset{n \to \infty}{l i m} {[\sum_{k \in σ ⋂ Γ_{n + 1}} h (k)]}^{2} {|〈Z_{σ}, ξ〉|}^{2} = 0,

由控制收敛定理及式（22），知在 $D o m N_{h}$ 上，有界广义计数算子序列 ${N_{h 1_{[0, n]}}}_{n \geq 0}$ 单调递增，且强收敛于 $N_{h}$ 。

又

‖ N_{h} ξ - N_{h 1_{[0, n]}} ξ ‖^{2} = ‖ N_{h 1_{[n + 1, \infty)}} ξ ‖^{2}

，

故 ${N_{h 1_{[n, + \infty)}}; n \geq 0}$ 单调递减，且强收敛于 $L^{2} (M)$ 中的零算子。对任意的 $ξ \in D o m N_{h}, n \geq 0,$ 有

\begin{array}{l} N_{h} ξ = \sum_{σ \in Γ} \sum_{k \in σ} h (k) 〈Z_{σ}, ξ〉 Z_{σ} = \\ \sum_{σ} [\sum_{k \in σ} h (k) 1_{[0, n]} (k) + \sum_{k \in σ} h (k) 1_{[n + 1, + \infty)} (k)] 〈Z_{σ}, ξ〉 Z_{σ} = \\ N_{h 1_{[0, n]}} ξ + N_{h 1_{[n + 1, + \infty)}} ξ ， \end{array}

即式（22）成立。

若 $h$ 可和，则 ${N_{h 1_{[n, \infty]}}, n \geq 0}$ 为 $L^{2} (M)$ 中的有界广义计数算子，有

\begin{array}{l} ‖ N_{h} - N_{h 1_{[0, n]}} ‖ = ‖ N_{h 1_{[n + 1, \infty]}} ‖ = \\ \sum_{k = n + 1}^{\infty} h (k) \to 0, n \to \infty ， \end{array}

即有界广义计数算子序列 ${N_{h 1_{[0, n]}}; n \geq 0}$ 依算子范数一致收敛于 $N_{h}$ ，而 ${N_{h 1_{[n, + \infty)}}; n \geq 0}$ 依算子范数一致收敛于 $L^{2} (M)$ 中的零算子。

注4 由定理13的证明可得，对任意的 $n \geq 0, N_{h 1_{[0, n + 1]}} - N_{h 1_{[0, n]}}$ 和 $N_{h 1_{[n, + \infty)}} - N_{h 1_{[n + 1, + \infty)}}$ 为 $D o m N_{h}$ 上的投影算子，且

N_{h 1_{[0, n + 1]}} - N_{h 1_{[0, n]}} = N_{h 1_{[n + 1, + \infty)}} - N_{h 1_{[n + 2, + \infty)}}

。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.008

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

BARNETT

， STREATER

R F

， WILDE

I F

The It $\hat{o}$ -Clifford integral

［J］. Journal of Functional Analysis， 1982， 48（2）： 172-212. DOI：10.1016/0022-1236（82）90066-0

[本文引用: 1]

[2]

BARNETT

， STREATER

R F

， WILDE

I F

Quasi-free quantum stochastic integrals for the CAR and CCR

［J］. Journal of Functional Analysis， 1983， 52（1）： 19-47. DOI：10.1016/0022-1236（83）90089-7

[3]

BIANE

， SPEICHER

Stochastic calculus with respect to free Brownian motion and analysis on Wigner space

［J］. Probability Theory and Related Fields， 1998， 112（3）： 373-409. DOI：10.1007/s004400050194

[4]

HUDSON

R L

， PARTHASARATHY

K R

Quantum It $\hat{o}$ 's formula and stochastic evolutions

［J］. Communications in Mathematical Physics， 1984， 93（3）： 301-323. DOI：10.1007/BF01258530

[5]

HUDSON

R L

， PARTHASARATHY

K R

Unification of fermion and Boson stochastic calculus

［J］. Communications in Mathematical Physics， 1986， 104（3）： 457-470. DOI：10.1007/BF01210951

[本文引用: 1]

[6]

ATTAL

， LINDSAY

J M

Quantum stochastic calculus with maximal operator domains

［J］. The Annals of Probability， 2004， 32（1A）：488-529. DOI：10.1214/aop/1078415843

[本文引用: 1]

[7]

WANG

C S

， LU

Y C

， CHAI

H F

An alternative approach to Privault's discrete-time chaotic calculus

［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2011， 373（2）： 643-654. DOI：10.1016/j.jmaa.2010. 08.021

[本文引用: 4]

[8]

WANG

C S

， CHAI

H F

， LU

Y C

Discrete-time quantum Bernoulli noises

［J］. Journal of Mathematical Physics， 2010， 51（5）： 053528. DOI：10.1063/1.3431028

[本文引用: 6]

[9]

WANG

C S

， ZHANG

J H

Localization of quantum Bernoulli noises

［J］. Journal of Mathematical Physics， 2013， 54（10）： 103502. DOI：10.1063/1. 4824130

[本文引用: 2]

[10]

WANG

C S

， YE

X J

Quantum walk in terms of quantum Bernoulli noises

［J］. Quantum Information Processing， 2016， 15（5）： 1897-1908. DOI：10.1007/s11128-016-1259-2

[11]

WANG

C S

， WANG

B P

Dirichlet forms constructed from annihilation operators on Bernoulli functionals

［J］. Advances in Mathematical Physics， 2017， 2017： 8278161. DOI：10.1155/2017/8278161

[12]

WANG

C S

， CHEN

J S

A characterization of operators on functionals of discrete-time normal martingales

［J］. Stochastic Analysis and Applications， 2017， 35（2）： 305-316. DOI：10.1080/07362994.2016.1248779

[13]

CHEN

J S

Convergence theorems for operators sequences on functionals of discrete-time normal martingales

［J］. Journal of Function Spaces， 2018， 2018： 8430975. DOI：10.1155/2018/8430975

[14]

CHEN

J S

Invariant States for a quantum Markov semigroup constructed from quantum Bernoulli noises

［J］. Open Systems and Information Dynamics， 2018， 25（4）： 1850019. DOI：10.1142/S123016 1218500191

[本文引用: 1]

[15]

WANG

C S

， TANG

Y L

， REN

S L

Weighted number operators on Bernoulli functionals and quantum exclusion semigroups

［J］. Journal of Mathematical Physics， 2019， 60（11）： 113506. DOI：10.1063/1.5120102

[本文引用: 1]

[16]

WANG

C S

， REN

S L

， TANG

Y L

A new limit theorem for quantum walk in terms of quantum Bernoulli noises

［J］. Entropy， 2020， 22（4）： 486. DOI：10.3390/e22040486

[17]

WANG

C S

， WANG

， REN

S L

， et al.

Open quantum random walk in terms of quantum Bernoulli noise

［J］. Quantum Information Processing， 2018， 17： 46. DOI：10.1007/s11128-018-1820-2

[18]

CHEN

J S

， TANG

Y L

Quantum integral equations of Volterra type in terms of discrete-time normal martingale

［J］. Turkish Journal of Mathematics， 2019， 43： 1047-1060. DOI：10.3906/mat-1805-149

[本文引用: 1]

[19]

周玉兰，李晓慧，程秀强，等.

连续时间Guichardet-Fock空间中的计数算子的表示

［J］. 山东大学学报（理学版）， 2019， 54（11）： 108-114. DOI：10.6040/j.issn. 1671-9352.0.2019.513

[本文引用: 3]

ZHOU

Y L

， LI

X H

， CHENG

X Q

， et al.

Representation of the number operator in continuous-time Guichardet-Fock space

［J］. Journal of Shandong University（Natural Science）， 2019， 54（11）： 108-114. DOI：10.6040/j.issn.1671-9352.0.2019.513

[本文引用: 3]

[20]

周玉兰，程秀强，薛蕊，等.

广义修正随机梯度与广义Skorohod积分

［J］. 吉林大学学报（理学版）， 2020， 58（3）： 479-485. DOI：10.13413/j.cnki.jdxblxb.2019300

[本文引用: 3]

ZHOU

Y L

， CHENG

X Q

， XUE

， et al.

Generalized modified stochastic gradient and generalized skorohod integral

［J］. Journal of Jilin University（Science Edition）， 2020， 58（3）： 479-485. DOI：10.13413/j.cnki.jdxblxb.2019300

[本文引用: 3]

[21]

周玉兰，薛蕊，程秀强，等.

广义计数算子的交换性质

［J］.山东大学学报（理学版），2021，56（4）： 94-101. DOI：10.6040/j.issn.1671-9352.0.2020.494

[本文引用: 1]

ZHOU

Y L

， XUE

， CHENG

X Q

， et al.

Commutative properties of generalized number operators

［J］. Journal of Shandong University（Natural Science）， 2021， 56（4）： 94-101. DOI：10.6040/j.issn.1671-9352.0. 2020.494

[本文引用: 1]

The It

o ?

-Clifford integral

1982

... 在量子物理研究中，具有增生、湮灭等性质的物理系统广泛存在，这类系统的演化过程可用Fock空间中的量子随机微分方程描述，其中以增生算子、湮灭算子和保守（计数）算子作为基本过程.量子随机积分实际上是Fock空间中适当的适应量子过程关于基本过程的积分，这是经典It

\hat{o}

随机积分理论在算子领域的非交换扩张，将随机分析理论提升至算子水平，在不同的分析框架下有不同的扩张形式^［1-5］.ATTAL等^［6］提出了连续时间Guichardet-Fock空间中的量子随机积分，这为Fock空间中的量子随机积分提供了统一的理论框架，并扩大了量子随机积分的定义域，从而脱离了指数域的限制.在经典随机分析中，半鞅、鞅、局部鞅是适应过程关于基本噪声过程（包括连续时间的Gauss噪声和离散情形的Bernoulli噪声以及带跳的Poission过程）的随机积分.作为该内容在量子理论中的推广，关于量子鞅、量子半鞅及局部量子鞅的表示是很重要的研究内容.为研究量子鞅的性质及表示，有必要对增生、湮灭和计数算子以及相应过程的性质进行深入讨论. ...

Quasi-free quantum stochastic integrals for the CAR and CCR

1983

Stochastic calculus with respect to free Brownian motion and analysis on Wigner space

1998

Quantum It

o ?

's formula and stochastic evolutions

1984

Unification of fermion and Boson stochastic calculus

1986

\hat{o}

Quantum stochastic calculus with maximal operator domains

2004

\hat{o}

An alternative approach to Privault's discrete-time chaotic calculus

2011

... 近年来，离散时间正规鞅噪声广受关注，WANG等^［7］给出了关于离散时间正规鞅的分析框架，提出了量子Bernoulli噪声（quantum Bernoulli noises，QBN）的概念^［8］，并讨论了其典则反交换关系等性质.QBN为

L^{2} (M)

中的一列点态增生、湮灭算子，其在离散时间量子随机分析理论研究中具有重要作用，且应用广泛^［9-18］，如WANG等^［9］提出了量子Bernoulli噪声局部化的概念，并用其构造了一致连续的量子Markov半群（quantum Markov semigroups，QMS）；CHEN^［14］用QBN直接构造了QMS，并讨论了该半群不变态的存在性.计数算子

N

为

L^{2} (M)

中稠定自伴无界闭线性算子，与QBN

{\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}

共同构成了离散时间正规鞅泛函框架下量子随机分析理论的基本算子，其在量子随机积分中扮演了重要角色.基本算子性质在很大程度上影响积分算子性质. ...

... 定理1^［7］设

Z = (Z_{n})_{n \in N}

为概率空间

(Ω, ℱ, P)

与

M

相关联的离散时间正规噪声，定义

Z_{\emptyset} = 1

，且 ...

... 定理2^［7］存在唯一的等距同构

J : l^{2} (Γ) \to

L^{2} (M)

，使得 ...

... 定理3（Wiener-It

\hat{o}

-Segal分解）^［7］存在唯一的等距映射： ...

Discrete-time quantum Bernoulli noises

2010

L^{2} (M)

N

为

L^{2} (M)

中稠定自伴无界闭线性算子，与QBN

{\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}

... 定义1^［8］若

M

满足： ...

... 定理4^［8］设

k \in N

，定义算子

\partial_{k} : L^{2} (M) \mapsto

L^{2} (M)

为 ...

... 定理5^［8］设

k \in N

，则

\partial_{k}^{*}

满足运算性质： ...

... 定义3^［8］称

L^{2} (M)

中的有界算子序列

{\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}

为QBN. ...

... 定理6^［8］^{设 $k, l \in N$ ，则 ...}

Localization of quantum Bernoulli noises

2013

L^{2} (M)

N

为

L^{2} (M)

中稠定自伴无界闭线性算子，与QBN

{\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}

... ［9］提出了量子Bernoulli噪声局部化的概念，并用其构造了一致连续的量子Markov半群（quantum Markov semigroups，QMS）；CHEN^［14］用QBN直接构造了QMS，并讨论了该半群不变态的存在性.计数算子

N

为

L^{2} (M)

中稠定自伴无界闭线性算子，与QBN

{\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}

Quantum walk in terms of quantum Bernoulli noises

2016

Dirichlet forms constructed from annihilation operators on Bernoulli functionals

2017

A characterization of operators on functionals of discrete-time normal martingales

2017

Convergence theorems for operators sequences on functionals of discrete-time normal martingales

2018

Invariant States for a quantum Markov semigroup constructed from quantum Bernoulli noises

2018

L^{2} (M)

N

为

L^{2} (M)

中稠定自伴无界闭线性算子，与QBN

{\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}

Weighted number operators on Bernoulli functionals and quantum exclusion semigroups

2019

... WANG等^［15］用QBN讨论了一类加权计数算子，认为应用加权计数算子可构造一类QMS.文献［19］讨论了连续时间Guichardet-Fock空间中计数算子

N

的表示问题，

N

可表示为修正点态广义随机梯度族及共轭族

{\tilde{\nabla_{s}}, \tilde{\nabla_{s}^{*}}, s \in R_{+}}

的算子值Bochner积分，也可表示为修正随机梯度

\tilde{\nabla}

及Skorohod积分复合，以及

N

的特征值.周玉兰等^［20］讨论了在离散时间正规鞅平方可积泛函空间中计数算子的进一步推广，提出了广义计数算子的概念，并证明了这类算子的性质，广义计数算子

N_{h}

为

L^{2} (M)

中稠定自伴闭线性算子，而

N_{h}

有界当且仅当

h

为

N

上的平方可和函数，且

N_{h}

与QBN满足一定的交换关系.基于此，本文充分利用

L^{2} (M)

中正交基的特点，进一步提出

N_{h}

的对角表示和极限表示，讨论了

L^{2} (M)

中广义计数算子的表示问题，并得到5种表示： ...

A new limit theorem for quantum walk in terms of quantum Bernoulli noises

2020

Open quantum random walk in terms of quantum Bernoulli noise

2018

Quantum integral equations of Volterra type in terms of discrete-time normal martingale

2019

L^{2} (M)

N

为

L^{2} (M)

中稠定自伴无界闭线性算子，与QBN

{\partial_{k}, \partial_{k}^{*}; k \geq 0}

连续时间Guichardet-Fock空间中的计数算子的表示

2019

... WANG等^［15］用QBN讨论了一类加权计数算子，认为应用加权计数算子可构造一类QMS.文献［19］讨论了连续时间Guichardet-Fock空间中计数算子

N

的表示问题，

N

可表示为修正点态广义随机梯度族及共轭族

{\tilde{\nabla_{s}}, \tilde{\nabla_{s}^{*}}, s \in R_{+}}

的算子值Bochner积分，也可表示为修正随机梯度

\tilde{\nabla}

及Skorohod积分复合，以及

N

N_{h}

为

L^{2} (M)

中稠定自伴闭线性算子，而

N_{h}

有界当且仅当

h

为

N

上的平方可和函数，且

N_{h}

与QBN满足一定的交换关系.基于此，本文充分利用

L^{2} (M)

中正交基的特点，进一步提出

N_{h}

的对角表示和极限表示，讨论了

L^{2} (M)

中广义计数算子的表示问题，并得到5种表示： ...

... 定义5^［19］设

h

为

N

上的非负函数，称

Γ

中函数 ...

... 定义6^［19］设

h

为

N

上的非负实函数，定义

L^{2} (M)

中的线性算子

N_{h}

为 ...

连续时间Guichardet-Fock空间中的计数算子的表示

2019

... WANG等^［15］用QBN讨论了一类加权计数算子，认为应用加权计数算子可构造一类QMS.文献［19］讨论了连续时间Guichardet-Fock空间中计数算子

N

的表示问题，

N

可表示为修正点态广义随机梯度族及共轭族

{\tilde{\nabla_{s}}, \tilde{\nabla_{s}^{*}}, s \in R_{+}}

的算子值Bochner积分，也可表示为修正随机梯度

\tilde{\nabla}

及Skorohod积分复合，以及

N

N_{h}

为

L^{2} (M)

中稠定自伴闭线性算子，而

N_{h}

有界当且仅当

h

为

N

上的平方可和函数，且

N_{h}

与QBN满足一定的交换关系.基于此，本文充分利用

L^{2} (M)

中正交基的特点，进一步提出

N_{h}

的对角表示和极限表示，讨论了

L^{2} (M)

中广义计数算子的表示问题，并得到5种表示： ...

... 定义5^［19］设

h

为

N

上的非负函数，称

Γ

中函数 ...

... 定义6^［19］设

h

为

N

上的非负实函数，定义

L^{2} (M)

中的线性算子

N_{h}

为 ...

广义修正随机梯度与广义Skorohod积分

2020

... WANG等^［15］用QBN讨论了一类加权计数算子，认为应用加权计数算子可构造一类QMS.文献［19］讨论了连续时间Guichardet-Fock空间中计数算子

N

的表示问题，

N

可表示为修正点态广义随机梯度族及共轭族

{\tilde{\nabla_{s}}, \tilde{\nabla_{s}^{*}}, s \in R_{+}}

的算子值Bochner积分，也可表示为修正随机梯度

\tilde{\nabla}

及Skorohod积分复合，以及

N

N_{h}

为

L^{2} (M)

中稠定自伴闭线性算子，而

N_{h}

有界当且仅当

h

为

N

上的平方可和函数，且

N_{h}

与QBN满足一定的交换关系.基于此，本文充分利用

L^{2} (M)

中正交基的特点，进一步提出

N_{h}

的对角表示和极限表示，讨论了

L^{2} (M)

中广义计数算子的表示问题，并得到5种表示： ...

... 定义7^［20］对

N

上的任意非负函数

h

，称算子

\nabla_{h} : L^{2} (M) \to L^{2} (M \times N)

：

\nabla_{h} ξ = (h (k) \partial_{k} {ξ)}_{k \geq 0},

...

... 定理8^［20］设

h

为

N

上的非负函数，则广义随机梯度

\nabla_{h}

为

L^{2} (M)

中的稠定闭线性算子，

δ_{h}

为

L^{2} (M \times N)

中的稠定闭线性算子，

\nabla_{h}

和

δ_{h}

有界的充要条件为

h

平方可和，故 ...

广义修正随机梯度与广义Skorohod积分

2020

... WANG等^［15］用QBN讨论了一类加权计数算子，认为应用加权计数算子可构造一类QMS.文献［19］讨论了连续时间Guichardet-Fock空间中计数算子

N

的表示问题，

N

可表示为修正点态广义随机梯度族及共轭族

{\tilde{\nabla_{s}}, \tilde{\nabla_{s}^{*}}, s \in R_{+}}

的算子值Bochner积分，也可表示为修正随机梯度

\tilde{\nabla}

及Skorohod积分复合，以及

N

N_{h}

为

L^{2} (M)

中稠定自伴闭线性算子，而

N_{h}

有界当且仅当

h

为

N

上的平方可和函数，且

N_{h}

与QBN满足一定的交换关系.基于此，本文充分利用

L^{2} (M)

中正交基的特点，进一步提出

N_{h}

的对角表示和极限表示，讨论了

L^{2} (M)

中广义计数算子的表示问题，并得到5种表示： ...

... 定义7^［20］对

N

上的任意非负函数

h

，称算子

\nabla_{h} : L^{2} (M) \to L^{2} (M \times N)

：

\nabla_{h} ξ = (h (k) \partial_{k} {ξ)}_{k \geq 0},

...

... 定理8^［20］设

h

为

N

上的非负函数，则广义随机梯度

\nabla_{h}

为

L^{2} (M)

中的稠定闭线性算子，

δ_{h}

为

L^{2} (M \times N)

中的稠定闭线性算子，

\nabla_{h}

和

δ_{h}

有界的充要条件为

h

平方可和，故 ...

广义计数算子的交换性质

2021

... 定理7^［21］设

h

为

N

上的非负实函数，则对应的广义计数算子

N_{h}

为

L^{2} (M)

中的稠定自伴闭线性算子.

N_{h}

有界当且仅当

h

为

N

上的非负可和函数，且

N_{h}

的算子范数可表示为 ...

广义计数算子的交换性质

2021

... 定理7^［21］设

h

为

N

上的非负实函数，则对应的广义计数算子

N_{h}

为

L^{2} (M)

中的稠定自伴闭线性算子.

N_{h}

有界当且仅当

h

为

N

上的非负可和函数，且

N_{h}

的算子范数可表示为 ...

〈

〉