几个-预不变凸函数的分数阶积分不等式及在数值积分中的应用

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.007

几个 $h$ -预不变凸函数的分数阶积分不等式及在数值积分中的应用

孙文兵^,^,, 谢文平

邵阳学院理学院，湖南邵阳 422000

Some fractional integrals inequalities for $h$ -preinvex functions and applications to numerical integration

SUN Wenbing^,^,, XIE Wenping

School of Science，Shaoyang University，Shaoyang 422000，Hunan Province，China

收稿日期: 2021-03-22

基金资助:

湖南省教育厅重点项目. 21A0472
湖南省自然科学基金资助项目. 2020JJ4554

湖南省普通高等学校教学改革研究项目（湘教通〔2019〕291号（787））

Received: 2021-03-22

作者简介 About authors

孙文兵（1978—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-5673-4519，男，硕士，副教授，主要从事解析不等式研究，E-mail：swb0520@163.com. , E-mail：swb0520@163.com

摘要

构造了一个带参数的Riemann-Liouville分数阶积分恒等式，得到几个关于 $h$ -预不变凸函数的带参数的分数阶积分不等式。当参数取特殊值时，分别得到了“中点型”“梯形型”和“Simpson型”积分不等式。利用构建的不等式得到了几个经典数值积分的误差估计式。

关键词： $h$ -预不变凸函数 ; Hermite-Hadamard 型不等式 ; Simpson型不等式 ; Riemann-Liouville分数阶积分 ; 误差估计

Abstract

An identity with parameters is constructed via Riemann-Liouville fractional integrals. With that, we derive some fractional integrals inequalities with parameters for $h$ -preinvex functions. The "midpoint type", "trapezoidal type" and "Simpson type" integral inequalities are obtained respectively when the parameters are given special values. Finally, the error estimates of numerical integration are proposed to illustrate the applications of the results.

Keywords： $h$ -preinvex functions ; Hermite-Hadamard type inequalities ; Simpson type inequalities ; Riemann-Liouville fractional integrals ; error estimation

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本文引用格式

孙文兵, 谢文平. 几个 $h$ -预不变凸函数的分数阶积分不等式及在数值积分中的应用. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(3): 308-315 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.007

SUN Wenbing, XIE Wenping. Some fractional integrals inequalities for $h$ -preinvex functions and applications to numerical integration. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(3): 308-315 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.007

0　引言

具有某种凸性的函数往往具备一些良好的性质，因此凸函数在工程、经济等领域应用广泛。不少著名不等式的建立或改进也与函数凸性有关，如Hermite-Hadamard积分不等式、Simpson积分不等式等。

定理1（Hermite-Hadamard积分不等式）设 $f : I \subseteq R \to R$ 为凸函数，若 $a, b \in I$ 且 $a < b$ ，则有

$f (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \frac{f (a) + f (b)}{2}$ ；

当 $f$ 为凹函数时，上式符号反向。

定理2（Simpson积分不等式）设 $f : [a, b] \to R$ 为 $(a, b)$ 上的四阶连续可微函数，且 ${‖f^{(4)}‖}_{\infty} = s u p_{x \in (a, b)} |f^{(4)}| < \infty$ ，则有

\begin{array}{l} |\frac{f (a) + f (b)}{6} + \frac{2}{3} f (\frac{a + b}{2}) - \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x| \leq \\ \frac{1}{2880} {‖f^{(4)}‖}_{\infty} {(b - a)}^{4} 。 \end{array}

长期以来，学者对Hermite-Hadamard和Simpson积分不等式进行了不断推广和改进，一是从函数凸性角度，因为实际问题中函数难以满足经典凸性的条件，但可满足某种广义凸性，因此通过推广凸函数的定义对不等式进行改进具有一定实际意义，如文献［1-6］；二是从引入参数角度，通过改变参数调整不等式，使不等式具有更广的适用性，如文献［7］。近年来，这几类不等式被推广至分数阶积分领域，如Riemann-Liouville分数阶^［8］、共形分数阶^［9-10］、局部分数阶^［11-13］等。笔者基于上述不等式改进思想，对具有 $h$ -预不变凸性^［14］的函数构建了几个带参数的Riemann-Liouville分数阶积分不等式。当参数取特殊值时，可得到“中点型”“梯形型”和“Simpson型”等特殊形式的积分不等式，利用构建的不等式还得到了几个经典数值积分的误差估计式。

1　预备知识

定义1^［15-16］对于映射 $η : K \times K \to R^{n}$ ，若对任意的 $x, y \in K$ 和 $t \in [0,1]$ ，有 $x + t η (y, x) \in K$ ，则称集合 $K \subseteq R^{n}$ 为关于 $η$ 的不变凸集。

定义2^［15-16］令 $K \subseteq R^{n}$ 为相对于 $η : K \times K \to R^{n}$ ^{的不变凸集。若对任意的 $x, y \in K$ 和 $t \in [0,1]$ ，有}

f (x + t η (y, x)) \leq (1 - t) f (x) + t f (y)

，

则函数 $f : K \to R$ 为关于 $η$ 的预不变凸函数。

注1 在定义2中，取 $η (x, y) = x - y$ ，则 $f$ 为经典凸函数。

定义3^［14］令 $h : J \to R$ 为一个函数，其中 $(0,1) \subseteq J \subseteq R$ 。并且 $K$ 为关于 $η (\cdot, \cdot)$ 的不变凸集，若对任意的 $x, y \in K$ 和 $t \in (0,1)$ ，有

f (x + t η (y, x)) \leq h (1 - t) f (x) + h (t) f (y)

，

则称 $f : K \to R$ 为关于 $η$ 的 $h$ -预不变凸函数。若不等式符号反向，则称 $f : K \to R$ 为关于 $η$ 的 $h$ -预不变凹函数。

注2 由定义3，取 $η (x, y) = x - y$ ，可得到 $h$ -凸函数；取 $h (t) = t$ ，可得到预不变凸函数；取 $h (t) = t^{s}, s \in (0,1)$ ，可得到 $s$ -预不变凸函数。

定义4 令 $f \in L^{1} [a, b]$ ，左侧和右侧 $α (\in R^{+})$ 阶Riemann-Liouville分数阶积分 $J_{a +}^{α} f$ 和 $J_{b -}^{α} f$ $(a \geq 0)$ 的定义分别为

J_{a +}^{α} f (x) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{a}^{x} {(x - t)}^{α - 1} f (t) d t, x > a

，

J_{b -}^{α} f (x) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{x}^{b} {(t - x)}^{α - 1} f (t) d t, x < b,

其中， $Γ (α)$ 为Gamma函数， $Γ (α) = \int_{0}^{\infty} e^{- u} u^{α - 1} d u,$

且 $J_{a +}^{0} f (x) = J_{b -}^{0} f (x) = f (x)$ 。

2　主要结果及证明

引理1 令 $A \subseteq R$ 为关于 $η ： A \times A \to R$ 的开的不变凸子集，且 $a, b \in A, η (b, a) > 0$ 。设 $f : A \to R$ 为在区间 $(a, a + η (b, a))$ 上的可微映射，且 $f' \in L [a, a + η (b, a)]$ ， $0 \leq λ \leq 1$ ， $α > 0$ ，则有关于Riemann-Liouville分数阶积分的恒等式：

\begin{array}{l} \frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f (a + η (b, a)) + \\ J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{1}{2^{α}} [λ （ f (a + η (b, a)) + f (a) ） + 2 (1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a))] = \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} \{\int_{0}^{\frac{1}{2}} (λ - 2^{α} t^{α}) f' (a + t η (b, a)) d t + \\ \int_{\frac{1}{2}}^{1} [{(2 - 2 t)}^{α} - λ] f' (a + t η (b, a)) d t\} 。 \end{array}

证明对等式右边部分分别进行分部积分，得到

\begin{array}{l} \frac{η (b, a)}{2^{α}} \int_{0}^{\frac{1}{2}} (λ - 2^{α} t^{α}) f' (a + t η (b, a)) d t = \\ - \frac{1}{2^{α}} [(1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a)) + λ f (a)] + \\ \frac{α}{η^{α} (b, a)} \int_{a}^{a + \frac{1}{2} η (b, a)} {（ x - a)}^{α - 1} f (x) d x = \\ - \frac{1}{2^{α}} [(1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a)) + λ f (a)] + \frac{Γ (1 + α)}{η^{α} (b, a)} J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a) \end{array}

，（2）

同理

\begin{array}{l} \frac{η (b, a)}{2^{α}} \int_{\frac{1}{2}}^{1} [{(2 - 2 t)}^{α} - λ] f' (a + t η (b, a)) d t = \\ - \frac{1}{2^{α}} [λ f (a + η (b, a)) + (1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a))] + \\ \frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f (a + η (b, a)) \end{array}

，（3）

其中用到了变量代换 $x = a + t η (b, a)$ ， $t \in [0,1]$ ，

式（2）加式（3），可得式（1）。

定理3 令 $A \subseteq R$ 为关于 $η ： A \times A \to R$ 的开的不变凸子集，且 $a, b \in A, η (b, a) > 0$ 。设 $f : A \to R$ 为在区间 $(a, a + η (b, a))$ 上的可微映射，且 $f' \in L [a, a + η (b, a)]$ ， $0 \leq λ \leq 1$ ， $α > 0$ 。若 $|f'|$ 为 $h$ -预不变凸函数，则有分数阶积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f (a + η (b, a)) + \\ J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{1}{2^{α}} [λ (f (a + η (b, a)) + f (a)) + 2 (1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a))] \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} [|f' (a)| + |f' (b)|] \times \\ \int_{0}^{\frac{1}{2}} |λ - 2^{α} t^{α}| [h (1 - t) + h (t)] d t \end{array}

。（4）

证明由引理1及模的性质，可得

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f (a + η (b, a)) + \\ J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{1}{2^{α}} [\overset{}{\underset{}{λ (f (a + η (b, a))}} + \\ f (a)) + 2 (1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a))| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} [\int_{0}^{\frac{1}{2}} |λ - 2^{α} t^{α}| |f' (a + t η (b, a))| d t + \\ \int_{\frac{1}{2}}^{1} |{(2 - 2 t)}^{α} - λ| |f' (a + t η (b, a))| d t], \end{array}

（5）

因为 $|f'|$ 为 $h$ -预不变凸函数，则有

\begin{array}{l} |f' (a + t η (b, a))| \leq \\ h (1 - t) |f' (a)| + h (t) |f' (b)| 。 \end{array}

（6）

由式（5）和式（6），计算可得式（4）。

定理3得证。

推论1 设 $λ = 0$ ，在定理3的条件下，有“中点型”分数阶积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f （ a + η (b, a) ） + J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - 2^{1 - α} f (a + \frac{1}{2} η (b, a))| \leq \\ η (b, a) [|f' (a)| + |f' (b)|] \times \\ \int_{0}^{\frac{1}{2}} t^{α} [h (1 - t) + h (t)] d t 。 \end{array}

（7）

推论2 设 $λ = 1$ ，在定理3的条件下，有“梯形型”分数阶积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f （ a + η (b, a) ） + J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{f (a + η (b, a)) + f (a)}{2^{α}}| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} [|f' (a)| + |f' (b)|] \times \\ \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - 2^{α} t^{α}) [h (1 - t) + h (t)] d t 。 \end{array}

（8）

推论3 设 $λ = \frac{1}{3}$ ，在定理3的条件下，有“Simpson型”分数阶积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f （ a + η (b, a) ） + J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{1}{2^{α}} [\frac{f (a + η (b, a)) + f (a)}{3} + \frac{4}{3} f (a + \frac{1}{2} η (b, a))] \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} [|f' (a)| + |f' (b)|] \times \\ \int_{0}^{\frac{1}{2}} |\frac{1}{3} - 2^{α} t^{α}| [h (1 - t) + h (t)] d t 。 \end{array}

（9）

定理4 令 $A \subseteq R$ 为关于 $η ： A \times A \to R$ 的开的不变凸子集，且 $a, b \in A, η (b, a) > 0$ 。设 $f : A \to R$ 为在区间 $(a, a + η (b, a))$ 上的可微映射，且 $f' \in L [a, a + η (b, a)]$ ， $0 < λ \leq 1$ ， $α > 0$ 。若 ${|f'|}^{q}$ 为 $h$ -预不变凸函数， $q \geq 1$ ，则有不等式：

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f （ a + η (b, a) ） + \\ J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{1}{2^{α}} [\overset{}{\underset{}{λ (f (a + η (b, a))}} + \\ f (a)) + 2 (1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a))]| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} {[ζ_{1} (α, λ)]}^{1 - \frac{1}{q}} \times \\ \{{[{|f' (a)|}^{q} ζ_{2} (α, λ, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{3} (α, λ, h)]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (a)|}^{q} ζ_{3} (α, λ, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{2} (α, λ, h)]}^{\frac{1}{q}}\}, \end{array}

（10）

其中，

ζ_{1} (α, λ) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} |λ - 2^{α} t^{α}| d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} |{(2 - 2 t)}^{α} - λ| d t;

\begin{array}{l} ζ_{2} (α, λ, h) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} |λ - 2^{α} t^{α}| h (1 - t) d t = \\ \int_{\frac{1}{2}}^{1} |{(2 - 2 t)}^{α} - λ| h (t) d t; \end{array}

\begin{array}{l} ζ_{3} (α, λ, h) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} |λ - 2^{α} t^{α}| h (t) d t = \\ \int_{\frac{1}{2}}^{1} |{(2 - 2 t)}^{α} - λ| h (1 - t) d t 。 \end{array}

证明对引理1的不等式两边取模，并利用幂平均不等式及 ${|f'|}^{q}$ 为 $h$ -预不变凸函数，可得

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f （ a + η (b, a) ） + \\ J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \\ \frac{1}{2^{α}} [\overset{}{\underset{}{λ （ f (a + η (b, a))}} + \\ f (a) ） + 2 (1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a))]| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} \{{(\int_{0}^{\frac{1}{2}} |λ - 2^{α} t^{α}| d t)}^{1 - \frac{1}{q}} [\overset{}{\underset{}{{|f' (a)|}^{q}}} \times \\ \int_{0}^{\frac{1}{2}} |λ - 2^{α} t^{α}| h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \times \\ {\int_{0}^{\frac{1}{2}} |λ - 2^{α} t^{α}| h (t) d t]}^{\frac{1}{q}} + {[\int_{\frac{1}{2}}^{1} |{(2 - 2 t)}^{α} - λ| d t]}^{1 - \frac{1}{q}} \times \\ [{|f' (a)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} |{(2 - 2 t)}^{α} - λ| h (1 - t) d t + \\ {|f' (b)|}^{q} {\int_{\frac{1}{2}}^{1} |{(2 - 2 t)}^{α} - λ| h (t) d t]}^{\frac{1}{q}}\} = \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} \{{[ζ_{1} (α, λ)]}^{1 - \frac{1}{q}} [{|f' (a)|}^{q} ζ_{2} (α, λ, h) + \\ {{|f' (b)|}^{q} ζ_{3} (α, λ, h)]}^{\frac{1}{q}} + {[ζ_{1} (α, λ)]}^{1 - \frac{1}{q}} \times {[{|f' (a)|}^{q} ζ_{3} (α, λ, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{2} (α, λ, h)]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

定理4得证。

推论4 设 $λ = 0$ ，在定理2的条件下，有“中点型”分数阶积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f (a + η (b, a)) + J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - 2^{1 - α} f (a + \frac{1}{2} η (b, a))| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} {[\frac{1}{2 (α + 1)}]}^{1 - \frac{1}{q}} \{[{|f' (a)|}^{q} ζ_{2} (α, 0, h) + {{|f' (b)|}^{q} ζ_{3} (α, 0, h)]}^{\frac{1}{q}} + {[{|f' (a)|}^{q} ζ_{3} (α, 0, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{2} (α, 0, h)]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（11）

进一步，当 $α = 1$ 时，令 $a + t η (b, a) = x$ ，可得“中点型”积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{1}{η (b, a)} \int_{a}^{a + η (b, a)} f (x) d x - f (a + \frac{1}{2} η (b, a))| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2} {(\frac{1}{4})}^{1 - \frac{1}{q}} \{{[{|f' (a)|}^{q} ζ_{2} (1,0, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{3} (1,0, h)]}^{\frac{1}{q}} + {[{|f' (a)|}^{q} ζ_{3} (1,0, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{2} (1,0, h)]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（12）

推论5 设 $λ = 1$ ，在定理4的条件下，有“梯形型”分数阶积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f （ a + η (b, a) ） + J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{f （ a + η （ b ， a ） ） + f (a)}{2^{α}}| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} {[\frac{α}{2 (α + 1)}]}^{1 - \frac{1}{q}} \times \{{[{|f' (a)|}^{q} ζ_{2} (α, 1, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{3} (α, 1, h)]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (a)|}^{q} ζ_{3} (α, 1, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{2} (α, 1, h)]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（13）

进一步，当 $α = 1$ 时，令 $a + t η (b, a) = x$ ，可得“梯形型”积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{1}{η (b, a)} \int_{a}^{a + η (b, a)} f (x) d x - \frac{f (a + η (b, a)) + f (a)}{2}| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2} {(\frac{1}{4})}^{1 - \frac{1}{q}} \{{[{|f' (a)|}^{q} ζ_{2} (1,1, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{3} (1,1, h)]}^{\frac{1}{q}} + {[{|f' (a)|}^{q} ζ_{3} (1,1, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{2} (1,1, h)]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（14）

推论6 设 $λ = \frac{1}{3}$ ，在定理4的条件下，有“Simpson型”分数阶积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f （ a + η (b, a) ） + J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{1}{2^{α}} [\frac{f (a + η (b, a)) + f (a)}{3} + \\ \frac{4}{3} f (a + \frac{1}{2} η (b, a)) | \leq \frac{η (b, a)}{2^{α}} {[ζ_{1} (α, \frac{1}{3})]}^{1 - \frac{1}{q}} \times \\ \{{[{|f' (a)|}^{q} ζ_{2} (α, \frac{1}{3}, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{3} (α, \frac{1}{3}, h)]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (a)|}^{q} ζ_{3} (α, \frac{1}{3}, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{2} (α, \frac{1}{3}, h)]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（15）

进一步，当 $α = 1$ 时，令 $a + t η (b, a) = x$ ，可得“Simpson型”积分不等式：

\begin{array}{l} |\frac{1}{η (b, a)} \int_{a}^{a + η (b, a)} f (x) d x - \frac{1}{6} [\overset{}{\underset{}{f (a + η (b, a))}} + \\ 4 f (a + \frac{1}{2} η (b, a)) + f (a) | \leq \\ \frac{η (b, a)}{2} {[ζ_{1} (α, \frac{1}{3})]}^{1 - \frac{1}{q}} \times \{{[{|f' (a)|}^{q} ζ_{2} (1, \frac{1}{3}, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{3} (1, \frac{1}{3}, h)]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (a)|}^{q} ζ_{3} (1, \frac{1}{3}, h) + {|f' (b)|}^{q} ζ_{2} (1, \frac{1}{3}, h)]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（16）

定理5 令 $A \subseteq R$ 为关于 $η ： A \times A \to R$ 的开的不变凸子集，且 $a, b \in A, η (b, a) > 0$ 。设 $f : A \to R$ 为在区间 $(a, a + η (b, a))$ 上的可微映射，且 $f' \in L [a, a + η (b, a)]$ ， $0 < λ \leq 1$ ， $α > 0$ 。若 ${|f'|}^{q}$ 为 $h$ -预不变凸函数， $q > 1, \frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1$ ，则有不等式：

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f （ a + η (b, a) ） + \\ J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{1}{2^{α}} [\overset{}{\underset{}{λ （ f (a + η (b, a))}} + \\ f (a) ） + 2 (1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a))]| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} {[ζ_{1} (α, λ)]}^{\frac{1}{p}} \times \\ \{{[{|f' (a)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (a)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}}\}, \end{array}

（17）

其中， $ζ_{1} (α, λ)$ 由定理3给出。

证明对引理1的不等式两边取模，利用Hölder不等式以及 ${|f'|}^{q}$ 为 $h$ -预不变凸函数，可得

\begin{array}{l} |\frac{Γ (α + 1)}{η^{α} (b, a)} [J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) +}^{α} f （ a + η (b, a) ） + \\ J_{(a + \frac{1}{2} η (b, a)) -}^{α} f (a)] - \frac{1}{2^{α}} [\overset{}{\underset{}{λ （ f (a + η (b, a)) +}} \\ f (a) ） + 2 (1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a))]| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} [{(\int_{0}^{\frac{1}{2}} {|λ - 2^{α} t^{α}|}^{p} d t)}^{\frac{1}{p}} \times \\ {\{\int_{0}^{\frac{1}{2}} [h (1 - t) {|f' (a)|}^{q} + h (t) {|f' (b)|}^{q}] d t\}}^{\frac{1}{q}} + {[\int_{\frac{1}{2}}^{1} {|{(2 - 2 t)}^{α} - λ|}^{p} d t]}^{\frac{1}{p}} \times \\ {\{\int_{\frac{1}{2}}^{1} [h (1 - t) {|f' (a)|}^{q} + h (t) {|f' (b)|}^{q}] d t\}}^{\frac{1}{q}}] = \\ \frac{η (b, a)}{2^{α}} {[ζ_{1} (α, λ)]}^{\frac{1}{p}} \times \\ \{{[{|f' (a)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (a)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

定理5得证。

推论7 当 $α = 1$ 时，在定理5的条件下，有关于 $h$ -预不变凸函数的不等式：

\begin{array}{l} |\frac{1}{η (b, a)} \int_{a}^{a + η (b, a)} f (x) d x - \frac{1}{2} [λ \overset{}{\underset{}{(f (a + η (b, a)) +}} \\ f (a) ） + 2 (1 - λ) f (a + \frac{1}{2} η (b, a))]| \leq \\ \frac{η (b, a)}{2} {(\frac{λ^{2} - 2 λ + 2}{2})}^{\frac{1}{p}} \times \\ \{{[{|f' (a)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (a)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（18）

推论8 在推论7中，取 $η (b, a) = b - a$ ，有关于 $h$ -凸函数的不等式：

\begin{array}{l} |\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x - \frac{1}{2} [\overset{}{\underset{}{λ (f (b) + f (a)) +}} \\ 2 (1 - λ) f (\frac{a + b}{2}) | \leq \frac{b - a}{2} {(\frac{λ^{2} - 2 λ + 2}{2})}^{\frac{1}{p}} \times \\ \{{[{|f' (a)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (a)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（19）

注3 在定理5、推论7和推论8中，分别令 $λ = 0,1, \frac{1}{3}$ ，可得到“中点型” “梯形型”和“Simpson型”积分不等式。

3　在数值积分中的应用

考虑在区间 $[a, b] (0 < a < b)$ 上的一个分划 $d : a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ 及数值积分：

\int_{a}^{b} f (x) d x = T (f, d) + E (f, d),

（20）

其中， $T (f, d)$ 为积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 的数值逼近公式， $E (f, d)$ 为该逼近公式的误差。

命题1 令 $h : J \to R$ 为非负函数， $f : I \to R$ 为可微映射，且 $f' \in L [a, b]$ 。若 $|f'|$ 为在区间 $(a, b)$ 上的 $h$ -凸函数，其中 $a, b \in I, a < b$ ，则对于在区间 $[a, b]$ 上的任意一个分划 $d$ ，可得中点求积公式的误差估计：

\begin{array}{l} |E (f, d)| = |\int_{a}^{b} f (x) d x - \sum_{i = 0}^{n - 1} f (\frac{x_{i} + x_{i + 1}}{2}) (x_{i + 1} - x_{i})| \leq \\ \int_{0}^{\frac{1}{2}} t （ h (1 - t) + h (t)) d t \times \\ \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_{i + 1} - x_{i})^{2} [|f' (x_{i})| + |f' (x_{i + 1})|] 。 \end{array}

（21）

证明在推论1中，取 $α = 1, η (b, a) = b - a$ ，可得关于 $h$ -凸函数的积分不等式：

\begin{array}{l} |\int_{a}^{b} f (x) d x - f (\frac{a + b}{2}) (b - a)| \leq \\ {(b - a)}^{2} [|f' (a)| + |f' (b)|] \times \\ \int_{0}^{\frac{1}{2}} t （ h (1 - t) + h (t)) d t ， \end{array}

（22）

所以

\begin{array}{l} |\int_{a}^{b} f (x) d x - f (\frac{a + b}{2}) (b - a)| = \\ |\sum_{i = 0}^{n - 1} [\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x - f (\frac{x_{i} + x_{i + 1}}{2}) (x_{i + 1} - x_{i})]| \leq \\ \int_{0}^{\frac{1}{2}} t （ h (1 - t) + h (t)) d t (x_{i + 1} - x_{i})^{2} \times \\ [|f' (x_{i})| + |f' (x_{i + 1})|] 。 \end{array}

命题1得证。

命题2 令 $h : J \to R$ 为非负函数， $f : I \to R$ 为可微映射，且 $f' \in L [a, b]$ 。若 $|f'|$ 为在区间 $(a, b)$ 上的 $h$ -凸函数，其中 $a, b \in I, a < b$ ，则对在区间 $[a, b]$ 上的任意分划 $d$ ，可得梯形求积公式的误差估计：

\begin{array}{l} |E (f, d)| = |\int_{a}^{b} f (x) d x - \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{f (x_{i + 1}) + f (x_{i})}{2} (x_{i + 1} - x_{i})| \leq \\ {(\frac{1}{4})}^{1 - \frac{1}{q}} \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{(x_{i + 1} - x_{i})^{2}}{2} \times \\ \{{[{|f' (x_{i})|}^{q} ζ_{2} (1,1, h) + {|f' (x_{i + 1})|}^{q} ζ_{3} (1,1, h)]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (x_{i})|}^{q} ζ_{3} (1,1, h) + {|f' (x_{i + 1})|}^{q} ζ_{2} (1,1, h)]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（23）

证明在推论5的不等式（14）中，取 $η (b, a) = b - a$ ，可得关于 $h$ -凸函数的积分不等式：

\begin{array}{l} |\int_{a}^{b} f (x) d x - \frac{f (b) + f (a)}{2} (b - a)| \leq \\ \frac{{(b - a)}^{2}}{2} {(\frac{1}{4})}^{1 - \frac{1}{q}} \{{}^{\begin{array}{l}  \end{array}} [{|f' (a)|}^{q} ζ_{2} (1,1, h) + \\ {{|f' (b)|}^{q} ζ_{3} (1,1, h)]}^{\frac{1}{q}} + [{|f' (a)|}^{q} ζ_{3} (1,1, h) + \\ {{|f' (b)|}^{q} ζ_{2} (1,1, h)]}^{\frac{1}{q}}\}, \end{array}

（24）

所以

\begin{array}{l} |\int_{a}^{b} f (x) d x - \frac{f (b) + f (a)}{2} (b - a)| \leq \\ \sum_{i = 0}^{n - 1} |\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x - \frac{f (x_{i + 1}) + f (x_{i})}{2} \times (x_{i + 1} - x_{i})| \leq {(\frac{1}{4})}^{1 - \frac{1}{q}} \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{(x_{i + 1} - x_{i})^{2}}{2} \times \{{[{|f' (x_{i})|}^{q} ζ_{2} (1,1, h) + {|f' (x_{i + 1})|}^{q} ζ_{3} (1,1, h)]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (x_{i})|}^{q} ζ_{3} (1,1, h) + {|f' (x_{i + 1})|}^{q} ζ_{2} (1,1, h)]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

命题2得证。

命题3 令 $h : J \to R$ 为非负函数， $f : I \to R$ 为可微映射，且 $f' \in L [a, b]$ 。若 $|f'|$ 为在区间 $(a, b)$ 上的 $h$ -凸函数，其中 $a, b \in I, a < b$ ，则对在区间 $[a, b]$ 上的任意分划 $d$ ，可得Simpson求积公式的误差估计：

\begin{array}{l} |E (f, d)| = |\int_{a}^{b} f (x) d x - \frac{1}{6} [\sum_{i = 0}^{n - 1} f (x_{i}) + \\ 4 f (\frac{x_{i} + x_{i + 1}}{2}) + f (x_{i + 1}) (x_{i + 1} - x_{i})| \leq \\ {(\frac{13}{18})}^{\frac{1}{p}} \frac{(x_{i + 1} - x_{i})^{2}}{2} \{{}^{\begin{array}{l}  \end{array}} [{|f' (x_{i})|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (1 - t) d t + \\ {{|f' (x_{i + 1})|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}} + \\ [{|f' (x_{i})|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (1 - t) d t + \\ {{|f' (x_{i + 1})|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

（25）

证明在推论8中，取 $λ = \frac{1}{3}$ ，可得关于 $h$ -凸函数的积分不等式：

\begin{array}{l} |\int_{a}^{b} f (x) d x - \frac{1}{6} [f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)] \overset{}{\underset{}{(b - a)}}| \leq \frac{{(b - a)}^{2}}{2} {(\frac{13}{18})}^{\frac{1}{p}} \times \\ \{{[{|f' (a)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (a)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (1 - t) d t + {|f' (b)|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}}\}, \end{array}

（26）

所以

\begin{array}{l} |\int_{a}^{b} f (x) d x - \frac{1}{6} [f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)] (b - a)| \leq \sum_{i = 0}^{n - 1} |\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x - \\ \frac{1}{6} [f (x_{i}) + 4 f (\frac{x_{i} + x_{i + 1}}{2}) + f (x_{i + 1})]| \times \\ (x_{i + 1} - x_{i}) \leq {(\frac{13}{18})}^{\frac{1}{p}} \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{(x_{i + 1} - x_{i})^{2}}{2} \times \\ \{[{|f' (x_{i})|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (1 - t) d t + {{|f' (x_{i + 1})|}^{q} \int_{0}^{\frac{1}{2}} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}} + \\ {[{|f' (x_{i})|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (1 - t) d t {|f' (x_{i + 1})|}^{q} \int_{\frac{1}{2}}^{1} h (t) d t]}^{\frac{1}{q}}\} 。 \end{array}

命题3得证。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.007

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

ANASTASSIOU

， KASHURI

， LIKO

Local fractional integrals involving generalized strongly m-convex mappings

［J］. Arabian Journal of Mathematics， 2019（8）： 95-107. DOI：10.1007/s40065-018-0214-8

[本文引用: 1]

[2]

KASHURI

， LIKO

Some different type integral inequalities concerning twice differentiable generalized relative semi-（r； m， h）-preinvex mappings

［J］. Tbilisi Mathematical Journal， 2018， 11（1）： 79-97. DOI：10.2478/tmj-2018-0006

[3]

LIAO

J G

， WU

S H

， DU

T S

The Sugeno integral with respect to α-preinvex functions

［J］. Fuzzy Sets and Systems， 2020（379）： 102-114. DOI：10.1016/j.fss.2018.11.008

[4]

NOOR

M A

， NOOR

K I

， RASHID

Some new classes of preinvex functions and inequalities

［J］. Mathematics. 2019， 7（1）： 1-16. DOI：10.3390/ math7010029

[5]

SUN

W B

， LIU

New Hermite-Hadamard-type inequalities for （α，m）-convex functions and applications to special means

［J］. Journal of Mathematical Inequalities， 2017， 11（2）： 383-397. DOI：10.1016/j.fss.2018.11.008

[6]

孙文兵

关于（h， m）-凸函数乘积的Hadamard-型不等式及应用（英文）

［J］. 中国科学院大学学报， 2018， 35（2）： 145-153. DOI：10.7523/j.issn.2095-6134. 2018.02.001

[本文引用: 1]

SUN

W B

Hadamard-type inequalities for products of （h， m）-convex functions and their applications

［J］. Journal of University of Chinese Academy of Sciences， 2018， 35（2）： 145-153. DOI：10. 7523/j. issn.2095-6134.2018.02.001

[本文引用: 1]

[7]

SARIKAYA

M Z

， AKTAN

On the generalization of some integral inequalities and their applications

［J］. Mathematical and Computer Modelling， 2011， 54（9/10）： 2175-2182. DOI：10.1016/j.mcm.2011. 05.026

[本文引用: 1]

[8]

孙文兵

分数次积分下关于S-凸函数的新Hermite-Hadamard型不等式

［J］. 浙江大学学报（理学版）， 2017， 44（5）： 531-537. DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2017.05.006

[本文引用: 1]

SUN

W B

New Hermite-Hadamard type inequalities for S-convex functions via fractional integrals

［J］．Journal of Zhejiang University （Science Edition）， 2017， 44（5）： 531-537. DOI：10. 3785/j.issn.1008-9497.2017.05.006

[本文引用: 1]

[9]

SET E， SARIKAYA

M Z

， GÖZPINAR

Some Hermite-Hadamard type inequalities for convex functions via conformable fractional integrals and related inequalities

［J］. Creative Mathematics and Informatics， 2017， 26（2）： 221-229. DOI：10.37193/CMI.2017.02.11

[本文引用: 1]

[10]

KASHURI

， IQBAL

， LIKO

， et al.

Integral inequalities for s-convex functions via generalized conformable fractional integral operators

［J］. Advances in Difference Equations， 2020（2020）： 217. DOI：10.1186/s13662-020-02671-4

[本文引用: 1]

[11]

SUN

W B

Some new inequalities for generalized h-convex functions involving local fractional integral operators with Mittag-Leffler kernel

［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2021， 44（6）： 4985-4998. DOI：10.1002/mma.7081

[本文引用: 1]

[12]

SUN

W B

Some local fractional integral inequalities for generalized preinvex functions and applications to numerical quadrature

［J］. Fractals， 2019， 27（5）： 1950071. DOI：10.1142/S0218348X19500713

[13]

T S

， WANG

， KHAN

M A

， et al.

Certain integral inequalities considering generalized m-convexity on fractal sets and their applications

［J］. Fractals， 2019， 27（7）： 1950117.DOI：10.1142/S0218348X19501172

[本文引用: 1]

[14]

NOOR

M A

， NOOR

K I

， AWAN

M U

， et al.

On Hermite-Hadamard inequalities for h-preinvex functions

［J］. Filomat， 2014， 28（7）： 1463-1474. DOI：10.2298/FIL1407463N

[本文引用: 2]

[15]

WEIR

， MOND

Preinvex functions in multiple objective optimization

［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1988， 136（1）： 29-38. DOI：10.1016/0022-247X（88）90113-8

[本文引用: 2]

[16]

WEIR

， JEYAKUMAR

A class of nonconvex functions and mathematical programming

［J］. Bulletin of the Australian Mathematical Society， 1988， 38： 177-189. DOI：10.1017/S0004972700027441

[本文引用: 2]

Local fractional integrals involving generalized strongly m-convex mappings

2019

... 长期以来，学者对Hermite-Hadamard和Simpson积分不等式进行了不断推广和改进，一是从函数凸性角度，因为实际问题中函数难以满足经典凸性的条件，但可满足某种广义凸性，因此通过推广凸函数的定义对不等式进行改进具有一定实际意义，如文献［1-6］；二是从引入参数角度，通过改变参数调整不等式，使不等式具有更广的适用性，如文献［7］.近年来，这几类不等式被推广至分数阶积分领域，如Riemann-Liouville分数阶^［8］、共形分数阶^［9-10］、局部分数阶^［11-13］等.笔者基于上述不等式改进思想，对具有

h

-预不变凸性^［14］的函数构建了几个带参数的Riemann-Liouville分数阶积分不等式.当参数取特殊值时，可得到“中点型”“梯形型”和“Simpson型”等特殊形式的积分不等式，利用构建的不等式还得到了几个经典数值积分的误差估计式. ...

Some different type integral inequalities concerning twice differentiable generalized relative semi-（r； m， h）-preinvex mappings

2018

The Sugeno integral with respect to α-preinvex functions

2020

Some new classes of preinvex functions and inequalities

2019

New Hermite-Hadamard-type inequalities for （α，m）-convex functions and applications to special means

2017

关于（h， m）-凸函数乘积的Hadamard-型不等式及应用（英文）

2018

h

关于（h， m）-凸函数乘积的Hadamard-型不等式及应用（英文）

2018

h

On the generalization of some integral inequalities and their applications

2011

h

分数次积分下关于S-凸函数的新Hermite-Hadamard型不等式

2017

h

分数次积分下关于S-凸函数的新Hermite-Hadamard型不等式

2017

h

Some Hermite-Hadamard type inequalities for convex functions via conformable fractional integrals and related inequalities

2017

h

Integral inequalities for s-convex functions via generalized conformable fractional integral operators

h

Some new inequalities for generalized h-convex functions involving local fractional integral operators with Mittag-Leffler kernel

2021

h

Some local fractional integral inequalities for generalized preinvex functions and applications to numerical quadrature

2019

Certain integral inequalities considering generalized m-convexity on fractal sets and their applications

2019

h

On Hermite-Hadamard inequalities for h-preinvex functions

2014

h

... 定义3^［14］令

h : J \to R

为一个函数，其中

(0,1) \subseteq J \subseteq R

.并且

K

为关于

η (\cdot, \cdot)

的不变凸集，若对任意的

x, y \in K

和

t \in (0,1)

，有 ...

Preinvex functions in multiple objective optimization

1988

... 定义1^［15-16］对于映射

η : K \times K \to R^{n}

，若对任意的

x, y \in K

和

t \in [0,1]

，有

x + t η (y, x) \in K

，则称集合

K \subseteq R^{n}

为关于

η

的不变凸集. ...

... 定义2^［15-16］令

K \subseteq R^{n}

为相对于

η : K \times K \to R^{n}

^{的不变凸集.若对任意的 $x, y \in K$ 和 $t \in [0,1]$ ，有 ...}

A class of nonconvex functions and mathematical programming

1988

... 定义1^［15-16］对于映射

η : K \times K \to R^{n}

，若对任意的

x, y \in K

和

t \in [0,1]

，有

x + t η (y, x) \in K

，则称集合

K \subseteq R^{n}

为关于

η

的不变凸集. ...

... 定义2^［15-16］令

K \subseteq R^{n}

为相对于

η : K \times K \to R^{n}

^{的不变凸集.若对任意的 $x, y \in K$ 和 $t \in [0,1]$ ，有 ...}

〈

〉

几个h-预不变凸函数的分数阶积分不等式及在数值积分中的应用

Some fractional integrals inequalities for h-preinvex functions and applications to numerical integration

0 引 言

1 预备知识

2 主要结果及证明

3 在数值积分中的应用

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几个 $h$ -预不变凸函数的分数阶积分不等式及在数值积分中的应用

Some fractional integrals inequalities for $h$ -preinvex functions and applications to numerical integration

0　引言

1　预备知识

2　主要结果及证明

3　在数值积分中的应用

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子