有界线性算子及其函数的（R）性质

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.005

有界线性算子及其函数的（R）性质

赵小鹏^,^,¹, 戴磊^,^,¹, 曹小红²

1.渭南师范学院数学与统计学院，陕西渭南 714099

2.陕西师范大学数学与统计学院，陕西西安 710119

Property (R) for bounded linear operator and its functions

ZHAO Xiaopeng^,^,¹, DAI Lei^,^,¹, CAO Xiaohong²

1.School of Mathematics and Statistics，Weinan Normal University，Weinan 714099，Shaanxi Province，China

2.School of Mathematics and Statistics，Shaanxi Normal University，Xi'an 710119，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-3830-6980，E-mail：leidai@yeah.net.

收稿日期: 2021-01-19

基金资助:

陕西省自然科学基金资助项目. 2021JM-519
渭南师范学院人才项目. 2021RC02

Received: 2021-01-19

作者简介 About authors

赵小鹏（1968—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-3962-7006，男，硕士，副教授，主要从事算子理论与算子代数研究，E-mail：zxp@wnu.edu.cn. , E-mail：zxp@wnu.edu.cn

摘要

设 $H$ 为无限维复可分的Hilbert空间， $B (H)$ 为 $H$ 中有界线性算子的全体。若 $σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T) \subseteq π_{00} (T)$ ，则称 $T \in B (H)$ 满足 $(R_{1})$ 性质，其中 $σ_{a} (T)$ 和 $σ_{a b} (T)$ 分别表示算子 $T$ 的逼近点谱和Browder本质逼近点谱， $π_{00} (T) = {λ \in i s o σ (T) : 0 < d i m N (T - λ I) < \infty}$ ；若 $σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T) = π_{00} (T)$ ，则称 $T$ 满足 $(R)$ 性质。给出了有界线性算子满足 $(R_{1})$ 性质或 $(R)$ 性质的充要条件，研究了算子函数满足 $(R_{1})$ 性质或 $(R)$ 性质的判定方法，并讨论了完全*-paranormal算子及其函数的 $(R_{1})$ 性质或 $(R)$ 性质。

关键词： $(R 1)$ 性质 ; $(R)$ 性质 ; 谱

Abstract

Let H be an infinite dimensional complex separable Hilbert space and $B (H)$ be the algebra of all bounded linear operators on H. $T \in B (H)$ is said to satisfy property $(R_{1})$ if $σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T) \subseteq π_{00} (T)$ , where $σ_{a} (T)$ and $σ_{a b} (T)$ denote the approximate point spectrum and the Browder essential approximate point spectrum of $T$ respectively, and $π_{00} (T) = {λ \in i s o σ (T) : 0 < d i m N (T - λ I) < \infty}$ . If $σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T) = π_{00} (T)$ , $T$ is said to satisfy property $(R)$ . In this paper, we give the necessary and sufficient conditions for which the property $(R_{1})$ or property $(R)$ holds for bounded linear operators. In addition, we characterize the judgements for operator functions satisfying property $(R_{1})$ or property $(R)$ and explored the property $(R_{1})$ or property $(R)$ for totally *-paranormal operators.

Keywords： property $(R 1)$ ; property $(R)$ ; spectrum

PDF (435KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

赵小鹏, 戴磊, 曹小红. 有界线性算子及其函数的（R）性质. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(3): 294-299 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.005

ZHAO Xiaopeng, DAI Lei, CAO Xiaohong. Property (R) for bounded linear operator and its functions. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(3): 294-299 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.005

0　引言

1909年，WEYL^［1］发现Hilbert空间中自伴算子的Weyl谱恰等于该算子的谱集除去有限重的孤立特征值，即Weyl定理。之后，出现了许多Weyl定理的变形和推广^［2-4］。其中 $(R)$ 性质是Weyl定理的一种变形，近年来备受关注^［5-7］。本文继续讨论有界线性算子的 $(R)$ 性质。

文中， $H$ 表示无限维复可分的Hilbert空间， $B (H)$ 为 $H$ 中有界线性算子的全体。 $n (T)$ 和 $d (T)$ 分别表示算子 $T$ 的零空间 $N (T)$ 的维数和值域 $R (T)$ 的余维数，即 $n (T) = d i m N (T)$ ， $d (T) = d i m H / R (T) = c o d i m R (T)$ 。算子 $T$ 的升标和降标分别定义为 $a s c (T) = i n f {n \in Z^{+} : N (T^{n}) = N (T^{n + 1})}$ ， $d e s c (T) = i n f {n \in Z^{+} : R (T^{n}) = R (T^{n + 1})}$ （ $Z^{+}$ 表示非负整数集），若这样的下确界不存在，则记 $a s c (T) = + \infty$ （或 $d e s c (T) = + \infty$ ）。若 $R (T)$ 为闭的且 $n (T)$ 有限，则称 $T$ 为上半Fredholm算子，若 $T$ 为上半Fredholm算子且 $n (T) = 0$ ，则称 $T$ 为下有界算子；若 $d (T)$ 有限，则称 $T$ 为下半Fredholm算子。若 $T$ 既是上半Fredholm算子又是下半Fredholm算子，则称 $T$ 为Fredholm算子。若 $T$ 为上（下）半Fredholm算子，则 $T$ 的指标定义为 $i n d (T) = n (T) - d (T)$ ，指标为0的称为Weyl算子，含有限升降标的称为Browder算子。可以证明， $T$ 为Browder算子当且仅当 $T$ 为Weyl算子且 $a s c (T) < \infty$ （或 $d e s c (T) < \infty$ ）。同理， $T$ 为Browder算子当且仅当 $T$ 为半Fredholm算子，存在 $ε > 0$ ，当 $0 < | λ | < ε$ 时， $T - λ I$ 可逆。因此，可定义有界线性算子的谱集、逼近点谱集、Weyl谱集和Browder谱集分别为 $σ (T) = {λ \in C : T - λ I 为不可逆算子}$ （ $C$ 为复数集）， $σ_{a} (T) = {λ \in C : T - λ I 不是下有界算子}$ ， $σ_{w} (T) = {λ \in C : T - λ I$ $不是 W e y l 算子}$ ， $σ_{b} (T) = {λ \in C : T - λ I 不是 B r o w d e r$ $算子}$ 。 $σ (T) ， σ_{a} (T) ， σ_{w} (T) ，$ $σ_{b} (T)$ 的余集分别为 $ρ (T) = C \ σ (T)$ ， $ρ_{a} (T) = C \ σ_{a} (T)$ ， $ρ_{w} (T) = C \ σ_{w} (T)$ ， $ρ_{b} (T) = C \ σ_{b} (T)$ 。

记 $σ_{c} (T) = {λ \in C : R (T - λ I) 不闭}$ ，令 $ρ_{c} (T) =$ $C \ σ_{c} (T)$ 。另记 $σ_{0} (T)$ 为算子 $T$ 的所有正规特征值的集合，即 $σ_{0} (T) = σ (T) \ σ_{b} (T)$ 。若集合 $E$ 为复数集 $C$ 的子集，则 $i s o E$ ， $a c c E$ ， $\partial E$ 分别表示集合 $E$ 的孤立点的全体、聚点的全体和边界点的全体， $i n t E$ 表示 $E$ 内点的全体。

令 $ρ_{a b} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 为上半Fredholm算子且 $a s c (T - λ I) 有限}$ 。用 $σ_{a b} (T) = C \ ρ_{a b} (T)$ 表示算子 $T$ 的Browder本质逼近点谱。易证 $λ \notin σ_{a b} (T)$ 当且仅当 $T - λ I$ 为半Fredholm且 $λ \in [i s o σ_{a} (T) ⋃ ρ_{a} (T)]$ 。

对 $T \in B (H)$ ，若

σ_{a} (T) ∖ σ_{a b} (T) = π_{00} (T)

，

则称 $T$ 满足 $(R)$ 性质，其中，

π_{00} (T) = {λ \in i s o σ (T) : 0 < d i m N (T - λ I) < \infty}

。

若

σ_{a} (T) ∖ σ_{a b} (T) \subseteq π_{00} (T)

，

则称 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。显然， $(R_{1})$ 性质是 $(R)$ 性质成立的前提。

本文利用Weyl谱的一种变形，首先，给出有界线性算子满足 $(R_{1})$ 或 $(R)$ 性质的充要条件；然后，利用该谱集，得到算子函数满足 $(R_{1})$ 性质或 $(R)$ 性质的判定方法；最后，作为应用，研究完全*-paranormal算子及其函数的 $(R_{1})$ 性质或 $(R)$ 性质。

1　算子及其函数的 $(R)$ 性质的判定

令 $ρ_{v w} (T) = {λ \in C : n (T - λ I) < \infty$ 且存在 $ε > 0$ ，使得当 $0 < | μ - λ | < ε$ 时， $T - μ I$ 为Weyl算子 $}$ ，设 $σ_{v w} (T) = C \ ρ_{v w} (T)$ 。显然 $ρ_{w} (T) \subseteq$ $ρ_{b} (T) \subseteq ρ_{v w} (T)$ 。

定理1 设 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质 $\Leftrightarrow$ $a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

证明充分性。由 $[σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)] ⋂ [σ_{v w} (T)$ $⋂ σ_{c} (T)] = \emptyset$ ， $[σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)] ⋂ a c c σ_{a} (T) = \emptyset$ ， $[σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)] ⋂ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] = \emptyset$ ， $[σ_{a} (T) \$ $σ_{a b} (T)] ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} = \emptyset$ ，得到 $[σ_{a} (T) \$ $σ_{a b} (T)] ⋂ a c c σ (T) = \emptyset$ ，所以 $[σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)] \subseteq$ $i s o σ (T)$ ，即 $[σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)] \subseteq$ $π_{00} (T)$ ， $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。

必要性。设 $λ_{0} \notin [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃$ $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ，不妨设 $λ_{0} \in σ (T)$ ，于是由 $λ_{0} \notin [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ ，知 $λ_{0} \in σ_{a} (T)$ ，则 $n (T - λ_{0} I) < \infty$ ，且存在 $ε > 0$ ，使得当 $0 < | λ - λ_{0} | < ε$ 时， $T - λ I$ 下有界。

若 $λ_{0} \notin σ_{v w} (T)$ ，即 $λ_{0} \in ρ_{v w} (T)$ ，由 $ρ_{v w} (T)$ 的定义，知存在 $ε^{'} < ε$ ，使得当 $0 < | λ - λ_{0} | < ε^{'}$ 时， $T - λ I$ 为Weyl算子。又由于 $T - λ I$ 下有界，所以 $T - λ I$ 可逆，于是 $λ_{0} \in i s o σ (T)$ ，从而有 $λ_{0} \notin a c c σ (T)$ 。

若 $λ_{0} \notin σ_{c} (T)$ ，即 $R (T - λ_{0} I)$ 为闭的且 $n (T - λ_{0} I) < \infty$ ，则 $T - λ_{0} I$ 为上半Fredholm算子。又由于 $λ_{0} \notin a c c σ_{a} (T)$ ，于是 $λ_{0} \in [ρ_{a} (T) ⋃ i s o σ_{a} (T)]$ ，从而 $λ_{0} \in ρ_{a} (T) \cup [σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)]$ 。由于 $λ_{0} \in σ_{a} (T)$ ，因此 $λ_{0} \in σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)$ 。由 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质，知 $λ_{0} \in π_{00} (T)$ ，再次证明了 $λ_{0} \notin a c c σ (T)$ 。

注1 （1）若 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质，则 $a c c σ (T)$ 为包含于 $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)]$ ， $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ ， $a c c σ_{a} (T)$ ， ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 四部分的并集，且缺一不可。

例1 设 $A, B \in B (𝓁^{2})$ 的定义分别为：

A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots)

，

B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \dots)

，

令

T = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})

，

则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。经计算， $a c c σ (T) = {λ \in C : | λ | \leq 1}$ ，且 $a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)] ⋃$ ${λ \in C$ $: n (T - λ I) = \infty} = {λ \in C : 0 < | λ | \leq 1}$ ，故 $a c c σ (T)$ 不包含于 $a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)] ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty} = {λ \in C : 0 < | λ | \leq 1}$ ，即不可缺少 $[σ_{v w} (T) ⋂$ $σ_{c} (T)]$ 。

例2 设 $T \in B (𝓁^{2})$ 的定义为

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)

，

则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。经计算， $a c c σ (T)$ 不包含于 $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C :$ $n (T - λ I) = \infty}$ ，即不可缺少 $a c c σ_{a} (T)$ 。

例3 设 $T \in B (𝓁^{2})$ 的定义为

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, \dots)

，

则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。经计算， $a c c σ (T)$ 不包含于 $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) =$ $\infty}$ ，即不可缺少 $ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)$ 。

例4 设 $A, B \in B (𝓁^{2})$ 的定义分别为：

A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots)

，

B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{1}, 0,0, \dots)

，

令

T = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})

，

则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。经计算， $a c c σ (T) = {λ \in C : | λ | \leq 1}$ ， $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃$ $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] = {λ \in C : 0 < | λ | \leq 1}$ ，故 $a c c σ (T)$ 不包含于 $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)]$ ，即不可缺少 ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

（2） $T \in B (H)$ 满足 $(R_{1})$ 性质 $\Leftrightarrow i n t σ (T) \subseteq$ $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in$ $C : n (T - λ I) = \infty}$ $\Leftrightarrow i n t σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃$ $i n t σ_{a} (T) ⋃$ $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

证明同定理1。

（3） $T \in B (H)$ 满足 $(R_{1})$ 性质 $\Leftrightarrow a c c σ (T) \subseteq$ $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ i n t σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in$ $C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

事实上，对充分性，由 $i n t σ_{a} (T) \subseteq a c c σ_{a} (T)$ 及定理1可知， $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。反之，设 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质，则 $a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃$ $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。因为 $a c c σ_{a} (T) \subseteq i n t σ_{a} (T) ⋃ [\partial σ_{a} (T) ⋂ a c c σ_{a} (T)]$ ，且 $[\partial σ_{a} (T) ⋂ a c c σ_{a} (T)] \subseteq σ_{v w} (T)$ ，故 $[\partial σ_{a} (T) ⋂$ $a c c σ_{a} (T)] \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ [σ_{v w} (T) ⋂ ρ_{c} (T)]$ 。又 $σ_{v w} (T) ⋂ ρ_{c} (T) \subseteq {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ {λ \in$ $\partial σ_{a} (T) ⋃ a c c σ_{a} (T) : λ \in σ_{v w} (T) ⋂ ρ_{c} (T)$ ，且 $n (T -$ $λ I) < \infty}$ ，由 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质，知 ${λ \in \partial σ_{a} (T) ⋃$ $a c c σ_{a} (T) : λ \in σ_{v w} (T) ⋂ ρ_{c} (T)$ 且 $n (T - λ I) < \infty} \subseteq$ $ρ_{a} (T) ⋃ [σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)] \subseteq ρ_{a} (T) ⋃ ρ_{b} (T)$ 。由于 $[ρ_{a} (T) ⋃ ρ_{b} (T)] ⋂ [\partial σ_{a} (T) ⋂ a c c σ_{a} (T)] = \emptyset$ ， ${λ \in$ $[\partial σ_{a} (T) ⋃ a c c σ_{a} (T)] : λ \in σ_{v w} (T) ⋂ ρ_{c} (T)$ ，且 $n (T - λ I) < \infty} = \emptyset$ ， $\partial σ_{a} (T) ⋃ a c c σ_{a} (T) \subseteq$ $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。于是 $a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ i n t σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

推论1 设 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质 $\Leftrightarrow$ $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

证明必要性。由定理1，知 $a c c σ (T) \subseteq$ $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。由于 $σ_{b} (T) = a c c σ (T) ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{c} (T)$ ，因此 $σ_{b} (T) \subseteq$ $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{c} (T)$ $\subseteq a c c σ_{a} (T) ⋃$ $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ σ_{c} (T)$ 。

由于 $ρ_{a} (T) ⋂ σ (T) = {σ_{v w} (T) ⋂ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)]} ⋃ {ρ_{v w} (T) ⋂ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]}$ ，由半Fredholm算子的摄动定理，知 $ρ_{v w} (T) ⋂ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)] = \emptyset$ ，于是 $ρ_{a} (T) ⋂ σ (T) = σ_{v w} (T) ⋂ [ρ_{a} (T)$ $⋂ σ (T)] \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) = 0}]$ ，因此 $σ_{b} (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I)$ $= \infty}$ ，显然，反包含成立，故 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ {λ$ $\in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃ {λ \in C$ $: n (T - λ I) = \infty}$ 。

充分性。因 $[σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)] ⋂ {[σ_{v w} (T) ⋂$ ${λ \in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃ {λ \in$ $C : n (T - λ I) = \infty}} = \emptyset$ ，故 $[σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)] ⋂$ $σ_{b} (T) = \emptyset$ ， $[σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)] \subseteq [ρ_{b} (T) ⋂ σ (T)] \subseteq$ $π_{00} (T)$ ，即 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。

注2 （1）在推论1中，若 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质，则 $σ_{b} (T)$ 的四部分缺一不可。

例5 设 $T \in B (𝓁^{2})$ 的定义为

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots)

，

则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。经计算， $σ_{b} (T) \neq$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ，即不可缺少 $[σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) = 0}]$ 。

例6 设 $T \in B (𝓁^{2})$ 定义为

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)

，

则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。经计算， $a c c σ (T)$ 不包含于 $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = 0}]$ ，即不可缺少 $a c c σ_{a} (T)$ 。

例7 设 $T \in B (𝓁^{2})$ 定义为

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0,0, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \dots)

，

则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。经计算， $σ_{b} (T) \neq$ $[σ_{v w} (T) ⋂$ ${λ \in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C :$ $n (T - λ I) = \infty}$ ，即不可缺少 $σ_{c} (T)$ 。

例8 设 $T \in B (𝓁^{2})$ 定义为

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{2}, x_{3}, \dots)

，

则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。经计算， $σ_{b} (T) \neq [σ_{v w} (T) ⋂$ ${λ \in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T)$ ，即不可缺少 ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

（2）设 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质 $\Leftrightarrow$ $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $i n t σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} \Leftrightarrow$ $σ_{b} (T) = [a c c σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} \Leftrightarrow$ $σ_{b} (T) = [i n t σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

（3）设 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质当且仅当 $σ_{a} (T) ∖ σ_{a b} (T) \subseteq ρ_{v w} (T)$ 。

当 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质时， $σ_{a} (T) ∖ σ_{a b} (T) \subseteq$ $[ρ_{v w} (T) ⋂ σ (T)]$ 有时为真包含。例如，设 $A, B \in B (𝓁^{2})$ 的定义分别为：

A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots)

，

B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)

，

令

T = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})

，

则 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质，且 $σ_{a} (T) ∖ σ_{a b} (T) = \emptyset ，$ $ρ_{v w} (T) ⋂ σ (T) = {λ \in C : | λ | < 1}$ ，故 $σ_{a} (T) ∖ σ_{a b} (T) ⊊$ $[ρ_{v w} (T) ⋂ σ (T)]$ 。

（4）设 $T \in B (H)$ ，若 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质，则 $σ_{b} (T) = σ_{v w} (T) ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T)$ 。反之不成立。例如，设 $A, B \in B (𝓁^{2})$ 的定义分别为：

A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots)

，

B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{2}, x_{3}, \dots)

，

令

T = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})

，

虽然， $σ_{b} (T) = σ_{v w} (T) ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ σ_{c} (T)$ ，但是 $σ_{a} (T) ∖ σ_{a b} (T) = {0}$ ， $π_{00} (T) = \emptyset$ ，故 $T$ 不满足 $(R_{1})$ 性质。

下面讨论有界线性算子 $(R)$ 性质的判定。若 $i s o σ (T) \subseteq σ_{p} (T)$ ，则称 $T \in B (H)$ 为isoloid算子，其中 $σ_{p} (T)$ 表示算子 $T$ 的点谱。

定理2 设 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 满足 $(R)$ 性质且为isoloid算子当且仅当 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) =$ $\infty}$ 。

证明必要性。设 $T$ 满足 $(R)$ 性质，从而满足 $(R_{1})$ 性质，由定理1，知 $a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂$ $σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T -$ $λ I) = \infty}$ 。

因 $T$ 为isoloid算子，故 $σ_{b} (T) = a c c σ (T) ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ，于是 $σ_{b} (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂$ $σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T -$ $λ I) = \infty}$ 。显然，反包含成立，故 $σ_{b} (T) =$ $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

充分性。因 $a c c σ (T) \subseteq σ_{b} (T)$ ，故 $a c c σ (T) \subseteq$ $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。由定理1，知 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质，即 $σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T) \subseteq π_{00} (T)$ 。反之，因 $[π_{00} (T) ⋃ {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) = 0}] ⋂ [σ_{v w} (T) ⋂$ $σ_{c} (T)] = \emptyset$ ， $[π_{00} (T) ⋃ {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) =$ $0}] ⋂ a c c σ_{a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] = \emptyset$ ， $[π_{00} (T) ⋃$ ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) = 0}] ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) =$ $\infty} = \emptyset$ ，故 $[π_{00} (T) ⋃ {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) = 0}] ⋂ σ_{b} (T) = \emptyset$ 。由 $π_{00} (T) \subseteq [σ (T) ⋂$ $ρ_{b} (T)]$ ，知 $π_{00} (T) \subseteq [σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)]$ ，所以 $T$ 满足 $(R)$ 性质。

由 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) = 0} \subseteq [σ (T) ⋂$ $ρ_{b} (T)]$ ，知 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) = 0} = \emptyset$ ，则 $T$ 为isoloid算子。

注3 （1）由注1可知，当 $T$ 满足 $(R)$ 性质且为isoloid算子时，定理2中 $σ_{b} (T)$ 的四部分缺一不可。

（2）在定理2中，条件“ $T$ 为isoloid算子”不能丢掉。例如，设 $T \in B (𝓁^{2})$ 的定义为

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \dots)

，

$T$ 满足 $(R)$ 性质，但 $T$ 不为isoloid算子，由于 $σ_{b} (T) = {0}$ ， $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃$ $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} = \emptyset$ ，那么定理2不成立。

推论2 设 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 满足 $(R)$ 性质当且仅当 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in$ $σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

接下来，借助 $σ_{v w} (T)$ 讨论算子函数的 $(R)$ 性质。

定理3 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足 $(R)$ 性质当且仅当：

（1） $T$ 满足 $(R)$ 性质；

（2）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂$

$σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

证明必要性。（1）显然成立。

设 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $σ_{a} (T) = σ (T)$ 。事实上，取 $λ_{1} \in σ_{0} (T)$ ， $λ_{2} \in [σ (T) \ σ_{a} (T)]$ ，令多项式 $p (x) = (x - λ_{1}) (x - λ_{2})$ ，于是 $0 \in σ_{a} (p (T)) \$ $σ_{a b} (p (T))$ 。因为 $p (T)$ 满足 $(R)$ 性质，所以 $p (T)$ 为Browder算子，从而 $T - λ_{2} I$ 为Browder算子，与 $λ_{2} \in [σ (T) \ σ_{a} (T)]$ 矛盾。

设 $λ_{2} \notin [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C$ $: n (T - λ I) = \infty}$ ，于是 $n (T - λ_{2} I) < \infty$ ，且由 $λ_{2} \notin$ $a c c σ_{a} (T)$ 及 $σ_{a} (T) = σ (T)$ ，知 $λ_{2} \in [ρ (T) ⋃$ $i s o σ (T)]$ 。不妨设 $λ_{2} \in i s o σ (T)$ ，取 $λ_{1} \in σ_{0} (T)$ ，令

p (T) = (T - λ_{1} I) (T - λ_{2} I)

，

从而 $T$ 可分解为

T = (\begin{matrix} T_{1} \\ T_{2} \\ A \end{matrix})

，

其中， $σ (T_{i}) = {λ_{i}}, i = 1,2 ， σ (A) = σ (T) ∖$ ${λ_{1}, λ_{2}}$ ^［8］，于是

p (T) = (\begin{matrix} p (T_{1}) \\ p (T_{2}) \\ p (A) \end{matrix})

，

其中， $σ (p (T_{i})) = p (σ (T_{i})) = {0}$ ， $i = 1,2$ ， $σ (p (A)) = p (σ (A))$ 。因 $λ_{i} \notin σ (A)$ ，故 $0 \notin p (σ (A))$ ，于是 $0 \in i s o σ (p (T))$ 。又因为 $0 < n (p (T)) < \infty$ ，所以 $0 \in π_{00} (p (T))$ 。由 $p (T)$ 满足 $(R)$ 性质，知 $p (T)$ 是Browder算子，从而 $T - λ_{2} I$ 是Browder算子，故 $λ_{2} \notin σ_{b} (T)$ 。

充分性。当 $σ_{0} (T) = \emptyset$ 时，由 $T$ 满足 $(R)$ 性质，知 $π_{00} (T) = \emptyset$ ，且 $σ_{a} (T) = σ_{a b} (T)$ 。由于逼近点谱和Browder本质逼近点谱均满足谱映射定理，因此 $σ_{a} (p (T)) = p (σ_{a} (T)) = p (σ_{a b} (T)) = σ_{a b} (p (T))$ ， $σ_{a} (p (T)) ∖ σ_{a b} (p (T)) = \emptyset$ 。又由于 $π_{00} (T) = \emptyset$ ，因此 $π_{00} (p (T)) = \emptyset$ ， $σ_{a} (p (T)) ∖$ $σ_{a b} (p (T)) =$ $π_{00} (p (T))$ ，即 $p (T)$ 满足 $(R)$ 性质。

当 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ 时，由条件知 $σ (T) = σ_{a} (T)$ 且 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty} \subseteq ρ_{b} (T)$ 。

一方面，对任意的 $μ_{0} \in [σ_{a} (p (T)) ∖$ $σ_{a b} (p (T))]$ ，令 $p (x) - μ_{0} = a (x - λ_{1})^{n_{1}} (x - λ_{2})^{n_{2}} \dots (x - λ_{k})^{n_{k}}$ ， $λ_{i} \neq λ_{j}, i, j = 1,2, \dots, k$ ，则 $p (T) - μ_{0} I = a (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}}$ $(T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{k} {I)}^{n_{k}}$ 。因为 $μ_{0} \in ρ_{a b} (p (T))$ ，因此 $λ_{i} \in ρ_{a b} (T)$ ，于是 $λ_{i} \in ρ_{a} (T)$ 或 $λ_{i} \in σ_{a} (T) \$ $σ_{a b} (T)$ 。因 $σ_{a} (T) =$ $σ (T)$ 且 $T$ 满足 $(R)$ 性质，故 $T - λ_{i} I$ 均为Browder算子，从而 $p (T) - μ_{0} I$ 为Browder算子，于是 $μ_{0} \in π_{00} (p (T))$ 。

另一方面，对任意的 $μ_{0} \in π_{00} (p (T))$ ，令 $p (x) -$ $μ_{0} = a (x - λ_{1})^{n_{1}} (x - λ_{2})^{n_{2}} \dots (x - λ_{k})^{n_{k}},$ $μ_{0} = p (λ_{i}),$ $i = 1,2 ， \dots, k$ ，则 $p (T) - μ_{0} I = a (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}}$ $(T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{k} {I)}^{n_{k}}$ ，所以 $λ_{i} \in ρ (T) ⋃ i s o σ (T)$ 且 $n (T - λ_{i} I) < \infty$ 。由 ${λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \infty}$ $\subseteq ρ_{b} (T)$ ，知 $T - λ_{i} I$ 均为Browder算子，从而 $p (T) - μ_{0} I$ 为Browder算子，即 $μ_{0} \in [σ_{a} (p (T)) ∖$ $σ_{a b} (p (T))]$ 。

于是，对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R)$ 性质。

综上，当 $σ_{0} (T) = \emptyset$ 时，对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R)$ 性质当且仅当 $T$ 满足 $(R)$ 性质。当 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 时， $T$ 满足 $(R)$ 性质，于是有

推论3 设 $T \in B (H)$ ，若 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂$ $σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R)$ 性质。

可以发现，推论3的逆命题不成立，例如，将 $T \in B (𝓁^{2})$ 定义为 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2},$ $x_{3}, \dots)$ ，由定理3，对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R)$ 性质，但 $σ_{b} (T) \neq [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

由定理3以及推论3，可得

推论4 设 $T \in B (H)$ ，若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R)$ 性质当且仅当 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C :$ $n (T - λ I) = \infty}$ 。

在定理3中，将 $a c c σ_{a} (T)$ 改为 $i n t σ_{a} (T)$ ，可得：

推论5 若 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R)$ 性质当且仅当：

（1） $T$ 满足 $(R)$ 性质；

（2）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $T$ 为isoloid算子且 $a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C :$ $n (T - λ I) = \infty}$ 。

也可证明下列事实：设 $T \in B (H)$ ，若 $σ_{b} (T) =$ $[σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ i n t σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) =$ $\infty}$ ，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R)$ 性质。

对于算子函数的 $(R_{1})$ 性质，可得下列结论：

定理4 若 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R_{1})$ 性质当且仅当：

（1） $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质；

（2）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂$ $σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

推论6 设 $T \in B (H)$ ，若 $a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T)$ $⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R_{1})$ 性质。

由定理4及推论6，可得：

推论7 设 $T \in B (H)$ ，若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R_{1})$ 性质当且仅当 $a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C :$ $n (T - λ I) = \infty}$ 。

同样，若 $σ_{0} (T) = \emptyset$ ，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R_{1})$ 性质当且仅当 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。

可以证明： $a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 当且仅当 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in σ_{a} (T) : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $σ_{c} (T) ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 且 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。

事实上，对于必要性。由推论4，可知 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质。下证 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in σ_{a} (T) :$ $n (T - λ I) = 0}] ⋃ σ_{c} (T) ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C :$ $n (T - λ I) = \infty}$ 。对任意的 $λ_{0} \notin [σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in$ $σ_{a} (T) : n (T - λ I) = 0}] ⋃ σ_{c} (T) ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ，有 $λ_{0} \in ρ_{a b} (T)$ ，于是 $λ_{0} \notin [σ_{v w} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C :$ $n (T - λ I) = \infty}$ ，从而 $λ_{0} \notin a c c σ (T)$ ，所以 $λ_{0} \notin σ_{b} (T)$ 。反包含显然成立。

反之，对任意的 $λ_{0} \notin [σ_{1} (T) ⋂ σ_{c} (T)] ⋃$ $a c c σ_{a} (T) ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ，有 $λ_{0} \in ρ_{a} (T) ⋃$ $i s o σ_{a} (T)$ 且 $n (T - λ_{0} I) < \infty$ 。若 $λ_{0} \in ρ_{v w} (T)$ ，则 $λ_{0} \notin$ $a c c σ (T)$ 。若 $λ_{0} \in ρ_{c} (T)$ ，则 $λ_{0} \in ρ_{a b} (T)$ 。若 $λ_{0} \in σ_{a} (T)$ ，由 $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质， $T - λ_{0} I$ 为Browder算子，则 $λ_{0} \notin a c c σ (T)$ 。若 $0 \in ρ_{a} (T)$ ，则 $λ_{0} \notin [σ_{1} (T) ⋂ {λ \in σ_{a} (T) : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $σ_{c} (T) ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ，从而 $λ_{0} \notin$ $σ_{b} (T)$ ，所以 $λ_{0} \notin a c c σ (T)$ 。

由定理4，可得：

推论8 若 $T \in B (H)$ ，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R_{1})$ 性质当且仅当：

（1） $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质；

（2）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in$ $σ_{a} (T) : n (T - λ I) = 0}] ⋃ σ_{c} (T) ⋃ a c c σ_{a} (T) ⋃ {λ \in$ $C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

作为应用，下文讨论完全*-paranormal算子的 $(R_{1})$ 性质和 $(R)$ 性质。

若对任意的 $x \in H$ ，有

‖ T^{*} x ‖ \leq ‖ T^{2} x ‖ ‖ x ‖

，

则称 $T \in B (H)$ 为 $*$ -paranormal算子。若对任意的 $λ \in C, T - λ I$ 为 $*$ -paranormal算子，则称 $T$ 为完全 $*$ -paranormal算子。

关于完全*-paranormal算子 $T$ ，有：

（1）对任意的 $λ \in C$ ， $a s c (T - λ I) < \infty$ 。事实上，对任意的 $λ \in C$ ，设 $x \in N [{(T - λ I)}^{2}]$ ，由定义，知 $‖ {(T - λ I)}^{*} (T - λ I) x ‖ \leq ‖ {(T - λ I)}^{3} x ‖ = 0$ ，于是 ${(T - λ I)}^{*} (T - λ I) x = 0$ 。又由于 $‖ (T - λ I) x ‖^{2} =$ $〈(T - λ I) x, (T - λ I) x〉 = 〈{(T - λ I)}^{*} (T - λ I) x, x〉 =$ 0，故 $(T - λ I) x = 0$ ，即 $N [{(T - λ I)}^{2}] =$ $N (T - λ I)$ ，因此， $T - λ I$ 有有限的升标。

（2）谱集的孤立点为算子 $T$ 的极点，即当 $λ \in i s o σ (T)$ 时， $a s c (T - λ I) = d e s c (T - λ I) < \infty$ 。

对完全 $*$ -paranormal算子的 $(R_{1})$ 性质和 $(R)$ 性质，有：

定理5 设 $T \in B (H)$ 为完全*-paranormal算子，则：

（1） $T$ 满足 $(R_{1})$ 性质 $\Leftrightarrow a c c σ (T) \subseteq [σ_{v w} (T) ⋂$ $σ_{c} (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] \Leftrightarrow$ $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂ {λ \in C : n (T - λ I) = 0}] ⋃$ $σ_{c} (T) ⋃$ ${λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ ；

（2） $T$ 满足 $(R)$ 性质 $\Leftrightarrow σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂$ $σ_{c} (T)]$ $⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ 。

定理6 若 $T \in B (H)$ 为完全*-paranormal算子，则对任意的多项式 $p, p (T)$ 满足 $(R)$ 性质当且仅当：

（1） $T$ 满足 $(R)$ 性质；

（2）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $σ_{b} (T) = [σ_{v w} (T) ⋂$

σ_{c} (T)] ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}

。

2 结果

将Weyl谱变形，定义了一个新的谱集。利用该新谱集，讨论了有界线性算子及其函数的（R）性质，给出了有界线性算子及其函数满足（R）性质的充要条件。从所得结果中可看出（R）性质与算子谱结构之间的关系，并将结果应用于研究完全*-paranormal算子及其函数满足（R）性质的判定方法。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.005

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

WEYL

H V

Über beschränkte quadratische formen， deren differenz vollstetig ist

［J］. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo， 1909， 27： 373-392. DOI：10.1007/BF03019655

[本文引用: 1]

[2]

HARTE

， LEE

W Y

Another note on Weyl's theorem

［J］. Transactions of the American Mathematical Society， 1997， 349（5）： 2115-2124. DOI：10.1090/S0002-9947-97-01881-3

[本文引用: 1]

[3]

RAKOČEVIĆ

Operators obeying a-Weyl's theorem

［J］. Revue Roumaine des Mathematiques Pures et Appliquees， 1989， 34（10）： 915-919.

[4]

RAKOČEVIĆ

On a class of operators

［J］. Matematicki Vesnik， 1985， 37（92）： 423-426.

[本文引用: 1]

[5]

AIENA

， GUILLÉN

J R

， PEÑA

Property $(R)$ for bounded linear operators

［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2011， 8（4）： 491-508. DOI：10.1007/s00009-011-0113-0

[本文引用: 1]

[6]

AIENA

， APONTE

， GUILLÉN

J R

， et al.

Property $(R)$ under perturbations

［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2013， 10（1）： 367-382. DOI：10.1007/s00009-012-0174-8

[7]

JIA

B T

， FENG

Y L

Property $(R)$ under compact perturbations

［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2020， 17（2）： 491-508. DOI：10. 1007/s00009-020-01506-6

[本文引用: 1]

[8]

RADJAVI

， ROSENTHAL

. Invariant Subspaces［M］. Mineola： Dover Publications， 2003.

[本文引用: 1]

über beschr?nkte quadratische formen， deren differenz vollstetig ist

1909

... 1909年，WEYL^［1］发现Hilbert空间中自伴算子的Weyl谱恰等于该算子的谱集除去有限重的孤立特征值，即Weyl定理.之后，出现了许多Weyl定理的变形和推广^［2-4］.其中

(R)

性质是Weyl定理的一种变形，近年来备受关注^［5-7］.本文继续讨论有界线性算子的

(R)

性质. ...

Another note on Weyl's theorem

1997

(R)

性质是Weyl定理的一种变形，近年来备受关注^［5-7］.本文继续讨论有界线性算子的

(R)

性质. ...

Operators obeying a-Weyl's theorem

1989

On a class of operators

1985

(R)

性质是Weyl定理的一种变形，近年来备受关注^［5-7］.本文继续讨论有界线性算子的

(R)

性质. ...

Property

(R)

for bounded linear operators

2011

(R)

性质是Weyl定理的一种变形，近年来备受关注^［5-7］.本文继续讨论有界线性算子的

(R)

性质. ...

Property

(R)

under perturbations

2013

Property

(R)

under compact perturbations

2020

(R)

性质是Weyl定理的一种变形，近年来备受关注^［5-7］.本文继续讨论有界线性算子的

(R)

性质. ...

2003

... 其中，

σ (T_{i}) = {λ_{i}}, i = 1,2 ， σ (A) = σ (T) ∖

{λ_{1}, λ_{2}}

^［8］，于是 ...

〈

〉