A-Browder定理及其摄动

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.004

A-Browder定理及其摄动

孙晨辉^,^,¹, 王宁², 曹小红²

1.渭南师范学院数学与统计学院，陕西渭南 714099

2.陕西师范大学数学与统计学院，陕西西安 710119

A-Browder's theorem and its perturbations

SUN Chenhui^,^,¹, WANG Ning², CAO Xiaohong²

1.School of Mathematics and Statistics，Weinan Normal University，Weinan 714099，Shaanxi Province，China

2.School of Mathematics and Statistics，Shaanxi Normal University，Xi'an 710119，China

收稿日期: 2020-08-25

基金资助:

陕西省教育厅2021年度一般专项科研计划项目. 21JK0637
渭南师范学院2021年人才项目. 2021RC16

Received: 2020-08-25

作者简介 About authors

孙晨辉（1986—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-9151-9494，女，博士，讲师，主要从事算子理论与算子代数研究，E-mail：sunchenhui1986@163.com. , E-mail：sunchenhui1986@163.com

摘要

运用新定义的谱集，刻画了有界线性算子满足a-Browder定理的充要条件。通过该谱集，分别研究了有界线性算子的a-Browder定理与单值延拓性质的紧摄动问题，并对二者之间的关系进行了探索。

关键词： a-Browder定理 ; 单值延拓性质 ; 谱 ; 摄动

Abstract

In this paper, by using the newly defined spectrum set, the necessary and sufficient conditions for bounded linear operators satisfying a-Browder's theorem are obtained. Moreover, by using the spectrum set, the compact perturbations of a-Browder's theorem and the single valued extension property for bounded linear operators are studied respectively, and the relationship between them is discussed.

Keywords： a-Browder's theorem ; single valued extension property ; spectrum ; perturbation

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本文引用格式

孙晨辉, 王宁, 曹小红. A-Browder定理及其摄动. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(3): 287-293 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.004

SUN Chenhui, WANG Ning, CAO Xiaohong. A-Browder's theorem and its perturbations. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(3): 287-293 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.004

20世纪初期，Weyl在检验自伴算子的Weyl谱时发现了Weyl定理。之后，Weyl定理得到进一步推广和发展。例如，HARTE等^［1］获得了Browder定理；RAKOČEVIĆ^［2］刻画了Weyl定理的另外2种变形：a-Weyl定理和a-Browder定理。这些变形被称为Weyl型定理。有界线性算子的Weyl型定理能很好地反映各类谱集的结构特征和分布情况，因此对Weyl型定理的研究是谱理论的重要课题之一。近年来，Weyl型定理备受关注，并取得了许多好的结果^［3-5］。算子的摄动理论有助于更好地了解摄动后特征值的分布规律，国内外学者对满足Weyl型定理的算子的摄动进行了有益的研究^［6-8］。本文将以半Fredholm算子特性为基础，运用文献［9］中定义的谱集对有界线性算子a-Browder定理的判定做等价刻画，不仅给出了不同于传统定义的判定方法，而且能更深刻地了解当线性算子满足a-Browder定理时各类谱集的结构特征与分布情况。另外，分别研究了线性算子a-Browder定理与SVEP的紧摄动问题，探讨了二者在紧摄动下的关系。

1　预备知识

文中， $H$ 表示无限复的Hilbert空间， $B (H) (K (H))$ 为 $H$ 上的有界线性算子（线性紧算子）的全体。令 $T \in B (H)$ ，若 $T$ 的值域 $R (T)$ 为闭集，则根据 $T$ 的零空间 $N (T)$ 的维数 $n (T)$ 与 $R (T)$ 的余维数 $d (T)$ 的有限性，定义以下3类算子：（1）若 $n (T) < \infty$ ，则称 $T$ 为上半Fredholm算子。特别地，若 $n (T) = 0$ ，则称 $T$ 为下有界算子；（2）若 $d (T)$ $< \infty$ ，则称 $T$ 为下半Fredholm算子；（3）若 $n (T)$ $< \infty$ 且 $d (T) < \infty$ ，则称 $T$ 为Fredholm算子。当算子 $T$ 为上（或下）半Fredholm时，其指标 $i n d (T) =$ $n (T) - d (T)$ 。若 $i n d (T)$ $=$ $0$ ，则称 $T$ 为Weyl算子。若Weyl算子 $T$ 的升标 $a s c (T)$ $< \infty$ 或降标 $d e s (T) < \infty$ ，则称 $T$ 为Browder算子，其中 $a s c (T) =$ $i n f {n \in N :$ $N (T^{n}) =$ $N (T^{n + 1})}$ （其中 $N$ 为非负整数集合）且 $d e s (T) =$ $i n f {n \in N :$ $R (T^{n})$ $=$ $R (T^{n + 1})}$ 。

由上述算子可知，逼近点谱 $σ_{a} (T)$ 、Weyl谱 $σ_{w} (T)$ 、Browder谱 $σ_{b} (T)$ 和半Fredholm谱 $σ_{S F} (T)$ 均为 $T$ 的谱 $σ (T)$ 的子集，其中， $σ_{a} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 为非下有界算子 $}$ （ $C$ 为复数集）， $σ_{w} (T) =$ ${λ \in C :$ $T - λ I$ 为非Weyl算子 $}$ ， $σ_{b} (T) =$ ${λ \in C : T - λ I$ 为非Browder算子 $}$ ， $σ_{S F} (T) =$ ${λ \in C : T - λ I$ 为非半Fredholm算子 $}$ ，分别将 $σ (T)$ ， $σ_{a} (T)$ ， $σ_{S F} (T)$ 的余集记作 $ρ (T) =$ $C \ σ (T)$ ， $ρ_{a} (T) =$ $C \ σ_{a} (T)$ ， $ρ_{S F} (T) =$ $C \ σ_{S F} (T)$ 。另记 $σ_{c} (T) =$ ${λ \in C :$ $R (T - λ I)$ 不闭 $}$ ， $σ_{0} (T)$ 为由算子 $T$ 的所有正规特征值组成的集合，即 $σ_{0} (T) =$ $σ (T) \ σ_{b} (T)$ 。若集合 $E$ 为复数集 $C$ 的子集，则分别定义 $i s o E$ 和 $a c c E$ 为集合 $E$ 的孤立点的全体与聚点的全体， $i n t E$ 表示 $E$ 中内点的全体， $\partial E$ 表示 $E$ 中边界点的全体。

若 $σ_{a b} (T) = σ_{e a} (T)$ ，则称 $T$ 满足a-Browder定理，其中 $σ_{e a} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 为非上半Fredholm算子或 $i n d (T - λ I) > 0}$ 且 $σ_{a b} (T) =$ ${λ$ $\in C : T - λ I$ 为非上半Fredholm算子或 $a s c (T - λ I)$ $= \infty}$ 。另外，令 $ρ_{e a} (T) = C \ σ_{e a} (T)$ 且 $ρ_{a b} (T) =$ $C \ σ_{a b} (T)$ 。以单值延拓性质为工具研究Weyl型定理是常用的一种方法。称算子 $T$ 在 $λ_{0} \in C$ 处有单值延拓性质（简称SVEP）^［10］是指，存在以 $λ_{0}$ 为中心的开圆盘 $D_{λ_{0}}$ ，使得对任意的 $λ \in D_{λ_{0}}$ ，满足方程 $(T - λ I) f (λ) = 0$ 的唯一解析函数 $f (: D_{λ_{0}} \to H)$ 为零函数。若 $T$ 在任意 $λ \in C$ 处有SVEP，则称 $T$ 有SVEP。

若 $T \in B (H)$ 满足 $N (T) \subseteq \cap_{n = 1}^{\infty} R (T^{n})$ ，则称 $T$ 为Sapher算子，记Sapher谱为 $σ_{s} (T) =$ ${λ \in C :$ $T -$ $λ I$ 为非Sapher算子 $}$ 。若 $T$ 为半Fredholm算子，则存在以0为圆心、以 $ε > 0$ 为半径的空心邻域 $B^{\circ} (0; ε)$ ，使得当 $λ \in B^{\circ} (0; ε)$ 时， $T -$ $λ I$ 为半Fredholm算子且 $N (T - λ I) \subseteq \cap_{n = 1}^{\infty} R [{(T - λ I)}^{n}]$ 。

本文主要探讨与有界线性算子a-Browder定理相关的问题，通过新的谱子集与 $σ (T)$ 的关系，给出了算子满足a-Browder定理的充要条件，并运用新谱集研究有界线性算子的a-Browder定理与单值延拓性质的稳定性，得到了一些有意义的结果。

2　A-Browder定理的判定

文献［9］用半Fredholm算子的局部特征定义集合： $ρ_{5} (T) = {λ \in C : n (T - λ I) < \infty$ 且存在 $ε > 0$ 使得当 $0 < | μ - λ | < ε$ 时， $μ \notin σ_{e a} (T) ⋃ σ_{s} (T)}$ 。

令 $σ_{5} (T) = C \ ρ_{5} (T)$ ，显然有 $σ_{5} (T) \subseteq$ $σ_{e a} (T) \subseteq$ $σ (T)$ 。文献［9］用 $σ_{5} (T)$ 对a-isoloid算子的a-Weyl定理进行了等价刻画，打破了仅用传统定义判定a-Weyl定理的局限。

下文将用 $σ_{5} (T)$ 研究有界线性算子的a-Browder定理。

定理1 若 $T \in B (H)$ ，则 $T$ 满足a-Browder定理当且仅当

σ (T) = σ_{5} (T) ⋃ {λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ σ_{0} (T) 。

证明必要性。设 $T$ 满足a-Browder定理。显然等式右边包含于 $σ (T)$ 。设 $λ_{0}$ 不属于等式右边，则 $n (T - λ_{0} I) < \infty$ 且存在 $λ_{0}$ 的空心邻域 $B^{\circ} (λ_{0})$ ，使得当 $μ \in B^{\circ} (λ_{0})$ 时， $μ \notin σ_{e a} (T)$ ，且

N (T - μ I) \subseteq \cap_{n = 1}^{\infty} R [{(T - μ I)}^{n}]

。

由 $T$ 满足a-Browder定理及文献［11］定理3.4，知 $T - μ I$ 为下有界算子，从而有 $λ_{0} \in ρ_{a} (T) ⋃ i s o σ_{a} (T)$ ，断言 $λ_{0} \notin$ $i s o σ_{a} (T)$ 。事实上，若 $λ_{0} \in i s o σ_{a} (T)$ ，则 $n (T - λ_{0} I) \geq d (T - λ_{0} I)$ ，从而有 $d (T - λ_{0} I)$ $< \infty$ ，则 $T - λ_{0} I$ 为Fredholm算子。于是 $T - λ_{0} I$ 为Weyl算子，由 $T$ 满足a-Browder定理，可得 $T - λ_{0} I$ 为Browder算子。故 $λ_{0} \in$ $σ_{0} (T) ⋃$ $ρ (T)$ 。由于 $λ_{0} \notin$ $σ_{0} (T)$ ，因此 $λ_{0} \in$ $ρ (T)$ ，矛盾。所以断言成立，于是 $λ_{0} \in ρ_{a} (T)$ ，由 $λ_{0} \notin$ $ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)$ ，知 $λ_{0} \notin$ $σ (T)$ 。

充分性。只需证明 $σ_{a b} (T) \subseteq σ_{e a} (T)$ 。设 $λ_{0} \in$ $ρ_{e a} (T)$ ，则 $λ_{0} \notin$ $σ_{5} (T)$ ，可以断言 $λ_{0} \in$ $ρ_{a} (T) ⋃$ $i s o σ_{a} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ 。事实上，若 $λ_{0} \notin$ $ρ_{a} (T) ⋃$ $i s o σ_{a} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ ，则 $λ_{0} \notin$ $σ_{5} (T) ⋃$ ${λ \in i s o σ_{a} (T) :$ $n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃$ $[ρ_{a} (T)$ $⋂ σ (T)] ⋃ σ_{0} (T) ，$ 于是 $λ_{0} \notin$ $σ (T)$ ，与 $λ_{0} \notin$ $ρ_{a} (T)$ 矛盾。因此断言成立，从而 $T - λ_{0} I$ 有有限的升标，故 $λ_{0} \in$ $ρ_{a b} (T)$ 。

注1 在定理1中，当 $T$ 满足a-Browder定理时， $σ (T)$ 的四部分缺一不可。

例1 令 $T \in B (𝓁^{2})$ ，定义 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) =$ $(x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)$ ，则 $σ_{a b} (T) = σ_{e a} (T) =$ ${λ \in C :$ $|λ| \leq 1}$ ，故 $T$ 满足a-Browder定理。经计算，知

σ (T) \neq {λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ σ_{0} (T) 。

例2 令 $T \in B (𝓁^{2})$ ，定义 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) =$ $(0, x_{1} ， \frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \dots)$ ，显然 $T$ 为拟幂零算子，故 $T$ 满足a-Browder定理。但 $σ (T) \neq σ_{5} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)] ⋃ σ_{0} (T)$ 。

例3 令 $T \in B (𝓁^{2})$ ，定义 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) =$ $(0, x_{1}, x_{2}, \dots)$ ，经计算，知 $T$ 满足a-Browder定理，但

σ (T) \neq σ_{5} (T) ⋃ {λ \in

i s o σ_{a} (T) :

n (T - λ I) <

d (T - λ I)}

⋃ σ_{0} (T)

。

例4 令 $T \in B (𝓁^{2})$ ，定义 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) =$ $(0, x_{2}, x_{3}, \dots)$ ，经计算，知 $T$ 满足a-Browder定理，但

σ (T) \neq σ_{5} (T) ⋃ {λ \in i s o σ_{a} (T) :

n (T - λ I) <

d (T -

λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]

。

注2 设 $T \in B (H)$ ，则 $σ (T) = σ_{5} (T) ⋃ σ_{c} (T)$ 当且仅当 $T$ 满足a-Browder定理且 $σ (T) = σ_{a} (T)$ ， $σ_{0} (T) = \emptyset$ 。

事实上，当 $T$ 满足a-Browder定理且 $σ (T) = σ_{a} (T)$ ， $σ_{0} (T) = \emptyset$ 时，由定理1，知

\begin{array}{l} σ (T) = σ_{5} (T) ⋃ {λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < \\ d (T - λ I)} 。 \end{array}

显然

{λ \in i s o σ (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} \subseteq σ_{c} (T) ，

若不然

{λ \in i s o σ (T) :

n (T - λ I) <

d (T -

λ I)} \subseteq σ_{0} (T)

，

矛盾。故 $σ (T) = σ_{5} (T) ⋃ σ_{c} (T)$ 。另外，若 $σ (T) = σ_{5} (T) ⋃ σ_{c} (T)$ ，则有 $σ_{0} (T)$ $= \emptyset$ ，且 $σ (T) = σ_{a} (T)$ 。又 $σ_{a b} (T) =$ $σ_{e a} (T)$ ，因此 $T$ 满足a-Browder定理。

注3 若 $σ_{5} (T)$ $= \emptyset$ 或 ${λ \in i s o σ_{a} (T) :$ $n (T - λ I) <$ $d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] = \emptyset$ ，则对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足a-Browder定理当且仅当 $T$ 满足a-Browder定理。

事实上，若 $σ_{5} (T)$ $= \emptyset$ ，则有 $ρ_{S F} (T) =$ $ρ_{e a} (T)$ ；若 ${λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃$ $[ρ_{a} (T)$ $⋂ σ (T)] = \emptyset$ ，且 $T$ 满足a-Browder定理，则上半Fredholm算子的指标一定是非负的。任取多项式 $p$ ，令 $p (T) - μ_{0} I = a (T - λ_{1} {I)}^{n_{1}} (T - λ_{2} {I)}^{n_{2}} \dots (T - λ_{k} {I)}^{n_{k}}$ ，其中 $λ_{i} \neq λ_{j} (i \neq j)$ 。则由a-Browder定理的定义及上述讨论，易得对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足a-Browder定理。

由定理1知，算子 $T$ 在满足a-Browder定理的条件下其谱结构还满足：

推论1 设 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（i） $T$ 满足a-Browder定理；

（ii） $σ (T) = σ_{5} (T) ⋃ {λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I) <$

d (T -

λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ σ_{s} (T)

；

（iii） $σ (T) = a c c σ_{5} (T) ⋃ a c c i s o σ_{a} (T) ⋃$ ${λ \in$ $i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I)$ $< d (T -$ $λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)] ⋃ σ_{0} (T) ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = \infty}$ 。

证明（i）→（ii）。由于 $σ_{0} (T) \subseteq σ_{s} (T)$ ，因此由定理1可知， $σ (T) \subseteq σ_{5} (T) ⋃$ ${λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T -$ $λ I)$ $< d (T -$ $λ I)} ⋃$ $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ σ_{s} (T)$ ，反包含显然成立，结论得证。

（ii）→（iii）。若（ii）成立，可以断言 $ρ_{5} (T) \subseteq ρ_{a} (T) ⋃ i s o σ_{a} (T)$ 。事实上，设 $λ_{0} \in$ $ρ_{5} (T)$ ，则 $n (T - λ_{0} I) < \infty$ ，且存在 $ε > 0$ ，使得当 $0 <$ $| μ - λ_{0} | < ε$ 时， $μ \in ρ_{e a} (T)$ 且 $μ \notin σ_{s} (T)$ 。显然 $μ \notin i s o σ_{a} (T)$ 。若 $μ \in ρ_{a} (T)$ ，则 $λ_{0} \in ρ_{a} (T) ⋃$ $i s o σ_{a} (T)$ 。若 $μ \notin ρ_{a} (T)$ ，则

\begin{array}{l} μ \notin σ_{5} (T) ⋃ {λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I) < \\ d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ σ_{s} (T) ， \end{array}

由（ii），知 $T - μ I$ 可逆，矛盾。

综上可得 $λ_{0} \in ρ_{a} (T) ⋃$ $i s o σ_{a} (T)$ 。

下证（iii）成立，只需证 $σ (T)$ 包含于（iii）的右边。设 $λ_{0}$ 不属于（iii）的右边，由于 $λ_{0} \notin a c c σ_{5} (T)$ ，因此存在 $ε > 0$ 使得当 $0 <$ $| μ - λ_{0} | < ε$ 时， $μ \in ρ_{5} (T)$ ，从而有 $μ \in ρ_{a} (T) ⋃$ $i s o σ_{a} (T)$ 。又由 $λ_{0} \notin a c c i s o σ_{a} (T)$ ，知 $λ_{0} \in$ $ρ_{a} (T) ⋃$ $i s o σ_{a} (T)$ 。断言 $λ_{0} \notin i s o σ_{a} (T)$ ，若不然，设 $λ_{0} \in$ $i s o σ_{a} (T)$ ，由 $λ_{0} \notin$ ${λ \in C :$ $n (T - λ I) = \infty}$ ，知 $λ_{0} \in ρ_{5} (T)$ 。由 $λ_{0} \notin$ ${λ \in i s o σ_{a} (T)$ $: n (T - λ I) <$ $d (T -$ $λ I)}$ ，知 $T - λ_{0} I$ 为Weyl算子，从而有 $λ_{0} \in$ $σ_{0} (T)$ ，矛盾。因此 $λ_{0} \in$ $ρ_{a} (T)$ ，由 $λ_{0} \notin$ $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ ，有 $λ_{0}$ $\notin σ (T)$ 。

（iii）→（i）。由 $a c c i s o σ_{a} (T) \subseteq σ_{5} (T)$ 及 ${λ \in$ $C :$ $n (T - λ I) = \infty} \subseteq σ_{5} (T)$ ，知

σ (T) \subseteq σ_{5} (T) ⋃ {λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ σ_{0} (T) ，

反包含显然成立，故由定理1，知 $T$ 满足a-Browder定理。

接下来，进一步用 $σ_{5} (T)$ 与 $a c c σ (T)$ 和 $i n t σ (T)$ 的关系判定a-Browder定理。

推论2 设 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（i） $T$ 满足a-Browder定理；

（ii） $a c c σ (T) \subseteq σ_{5} (T) ⋃ {λ \in i s o σ_{a} (T) :$ $n (T - λ I) <$ $d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ ；

（iii） $i n t σ (T) \subseteq σ_{5} (T) ⋃ {λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I) <$ $d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ ；

（iv） $i n t σ (T) \subseteq i n t σ_{5} (T) ⋃$ $a c c {λ \in$ $i s o σ_{a} (T) :$ $n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ 。

证明（i）→（ii）。由定理1，知

σ (T) = σ_{5} (T) ⋃ {λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] ⋃ σ_{0} (T),

又因 $a c c σ (T)$ $⋂ σ_{0} (T)$ $= \emptyset$ ，所以

a c c σ (T) \subseteq

σ_{5} (T) ⋃

{λ \in i s o σ_{a} (T) : n (T - λ I) <

d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂

σ (T)]

。

（ii）→（iii）。由 $i n t σ (T) \subseteq a c c σ (T)$ ，知（iii）成立。

（iii）→（iv）。由 $ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)$ 为开集，知（iv）成立。

（iv）→（i）。只需证 $σ_{a b} (T) \subseteq σ_{e a} (T)$ 。设 $λ_{0} \in$ $ρ_{e a} (T)$ ，则 $λ_{0} \notin$ $σ_{5} (T)$ 。断言 $λ_{0} \in$ $ρ_{a} (T) ⋃$ $i s o σ (T)$ ，若不然， $λ_{0} \notin i n t σ_{5} (T) ⋃ a c c$ ${λ \in i s o σ_{a} (T) :$ $n (T - λ I) < d (T - λ I)} ⋃ [ρ_{a} (T)$ $⋂ σ (T)]$ ，从而有 $λ_{0} \notin i n t σ (T)$ ，于是 $λ_{0} \in$ $ρ (T) ⋃$ $\partial σ (T)$ 。若 $λ_{0} \in ρ (T)$ ，与 $λ_{0} \notin ρ_{a} (T)$ 矛盾；若 $λ_{0} \in \partial σ (T)$ ，则 $T - λ_{0} I$ 为Browder算子，与 $λ_{0} \notin i s o σ (T)$ 矛盾。因此 $λ_{0} \in$ $ρ_{a} (T) ⋃ i s o σ (T)$ ，从而有 $a s c (T - λ_{0} I)$ $< \infty$ ，所以 $λ_{0} \notin σ_{a b} (T)$ 。

3　A-Browder定理及单值延拓性质的紧摄动

引理1 设 $σ (T) = σ_{S F} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ ，则存在紧算子 $K \in K (H)$ ，使得 $σ (T + K) = σ_{S F} (T + K)$ $⋃$ $σ_{0} (T + K)$ ，且 $i s o σ (T + K)$ $= σ_{0} (T + K)$ 。

证明令 $Γ = i s o σ (T) ⋂ σ_{S F} (T)$ 。不失一般性，假设 $Γ \neq \emptyset$ 。不妨设 $Γ = {λ_{i} : i = 1,2, \dots}$ ，由文献［12］中的引理3.2.6，知存在紧算子 $K_{1}$ ，使得

T + K_{1} = (\begin{matrix} λ_{1} I_{1} & * & \dots & * \\ 0 & λ_{2} I_{2} & \dots & * \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix} \begin{matrix} * \\ * \\ ⋮ \\ A \end{matrix}) \begin{matrix} H_{1} \\ H_{2} \\ ⋮ \\ H_{0} \end{matrix}

，

其中， $σ (T) = σ (A)$ ， $σ_{S F} (T) = σ_{S F} (A)$ ，且 $i n d (A - λ I) = i n d (T - λ I)$ ， $λ \in ρ_{S F} (T)$ 。由于 $λ_{i} \in$ $i s o σ (T)$ ，则存在 ${μ_{i, j}}_{i, j \geq 1} \subseteq ρ (T)$ ，使得 $|μ_{i, j} - λ_{i}|$ 足够小且 $μ_{i, j} \to λ_{i} (j \to \infty)$ 。令 $C_{i} = d i a g {μ_{i, 1} -$ $λ_{i}, μ_{i, 2} - λ_{i}, \dots}$ ，则 $C_{i}$ 为紧算子。令

K_{2} = (\begin{matrix} C_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & C_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) \begin{matrix} H_{1} \\ H_{2} \\ ⋮ \\ H_{0} \end{matrix}

，

显然， $K_{2} \in K (H)$ 。令 $K = K_{1} + K_{2}$ ，故 $K \in K (H)$ 且

T + K = (\begin{matrix} M & * \\ 0 & A \end{matrix}) \begin{matrix} \oplus_{i \geq 1} H_{i} \\ H_{0} \end{matrix}

，

其中， $M$ 为对角算子，且 $σ_{p} (M) = {μ_{i, j}}_{i, j \geq 1}$ （ $σ_{p} (M)$ 为 $M$ 的点谱）。可以断言 $σ (T + K) =$ $σ (T) ⋃$ ${μ_{i, j}}_{i, j \geq 1}$ 。事实上，任取 $λ_{0} \notin σ (T + K)$ ，则 $M -$ $λ_{0} I$ 为下有界算子。因此， $λ_{0} \notin {μ_{i, j}}_{i, j \geq 1}$ 。由于 $M$ 为正规算子，因此 $M - λ_{0} I$ 是可逆的，故 $T - λ_{0} I$ 可逆。反之，任取 $λ_{0} \notin σ (T) ⋃ {μ_{i, j}}_{i, j \geq 1}$ ，则 $T -$ $λ_{0} I$ 可逆且 $N (M - λ_{0} I) = {0}$ ，从而 $T + K - λ_{0} I$ 为Fredholm算子，因而 $M - λ_{0} I$ 为上半Fredholm算子。又因为 $M$ 为正规算子，且 $N (M - λ_{0} I) = {0}$ ，所以 $M - λ_{0} I$ 可逆。由 $A - λ_{0} I$ 和 $M - λ_{0} I$ 都可逆，知 $T + K - λ_{0} I$ 可逆。

下证 $σ (T + K) = σ_{S F} (T + K) ⋃ σ_{0} (T + K)$ 。显然 $σ_{S F} (T + K) ⋃ σ_{0} (T + K) \subseteq σ (T + K)$ 。任取 $λ_{0} \notin σ_{S F} (T + K) ⋃ σ_{0} (T + K)$ ，故 $T - λ_{0} I$ 为半Fredholm算子。于是由条件知， $T - λ_{0} I$ 为Browder算子，从而 $A - λ_{0} I$ 为Browder算子，且 $T + K$ $- λ_{0} I$ 为Weyl算子。因此 $M - λ_{0} I$ 为Weyl算子。又因 $M$ 为正规算子，故 $M - λ_{0} I$ 为Browder算子。

综上可得， $T + K - λ_{0} I$ 为Browder算子，但 $λ_{0} \notin$ $σ_{0} (T + K)$ ，故 $λ_{0} \notin σ (T + K)$ 。

若存在 $λ_{0} \in i s o σ (T + K) \ σ_{0} (T + K)$ ，则 $λ_{0} \in$ $σ_{S F} (T)$ 。由于 $σ (T + K) = σ (T) ⋃$ ${μ_{i, j}}_{i, j \geq 1}$ ，故 $λ_{0}$ $\in i s o σ (T) ⋂ σ_{S F} (T)$ 。不失一般性，不妨设 $λ_{0} = λ_{1}$ 。于是存在 ${μ_{1, j}}_{j \geq 1} \subseteq σ (T + K)$ ，使得 $μ_{1, j} \to λ_{0}$ $(j \to \infty)$ ，这与 $λ_{0} \in i s o σ (T + K)$ 矛盾。因此 $i s o σ (T + K) = σ_{0} (T + K)$ 。

下面研究线性算子的SVEP与a-Browder定理的紧摄动及二者之间的关系。

定理2 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的 $K \in K (H)$ ， $T + K$ 有SVEP当且仅当下列条件成立：

（i） $i n t σ_{5} (T) = \emptyset$ ；

（ii）存在 $K_{0} \in K (H)$ ，使得：（1） $T + K_{0}$ 满足a-Browder定理；（2） $σ (T + K_{0}) = σ_{a} (T + K_{0})$ ；（3）对任意的 $K \in K (H)$ ， $a c c σ (T + K) \subseteq$ $a c c σ (T + K_{0})$ 。

证明必要性。设对任意的 $K \in K (H)$ ， $T + K$ 有SVEP，则 $ρ_{S F} (T)$ 连通且 $i n t σ_{S F} (T) = \emptyset$ （文献［13］定理1.3），从而由 $ρ_{S F} (T)$ 的连通性，可得 $σ (T) =$ $σ_{S F} (T) ⋃ σ_{0} (T)$ （文献［13］推论2.5）。此时 $σ_{S F} (T) = σ_{e a} (T) =$ $σ_{w} (T)$ 。因此 $i n t σ_{5} (T) \subseteq$ $i n t σ_{e a} (T) =$ $i n t σ_{S F} (T)$ $= \emptyset$ 。另外，由引理1，知存在紧算子 $K_{0}$ ，使得 $σ (T + K_{0}) =$ $σ_{S F} (T + K_{0}) ⋃ σ_{0} (T + K_{0})$ ，且 $i s o$ $σ (T + K_{0})$ $= σ_{0} (T + K_{0})$ ，从而可证 $T + K_{0}$ 满足a-Browder定理且 $ρ_{S F} (T + K_{0}) = ρ_{w} (T + K_{0})$ ，于是 $σ (T + K_{0}) = σ_{a} (T + K_{0})$ 。

下证对任意紧算子 $K$ ，

a c c σ (T + K) \subseteq

a c c σ (T + K_{0})

。

若 $λ_{0} \notin$ $a c c σ (T + K_{0})$ ，则 $λ_{0} \in$ $i s o$ $σ (T + K_{0}) ⋃$ $ρ (T + K_{0})$ ，由 $i s o σ (T + K_{0}) = σ_{0} (T + K_{0})$ ，知 $T +$ $K_{0} - λ_{0} I$ 为Browder算子，从而 $T + K - λ_{0} I$ 为Weyl算子。又由 $T + K$ 有SVEP，知 $T + K - λ_{0} I$ 为Browder算子，故 $λ_{0} \notin a c c σ (T + K)$ 。

充分性。首先，可以断言 $ρ_{S F} (T)$ 连通。若不然，则存在 $Ω$ 为 $ρ_{S F} (T)$ 的一个连通分支，设 $Γ = \partial Ω \subseteq$ $σ_{S F} (T)$ ，从而存在紧算子 $K_{1}$ ，使得 $T + K_{1} =$ $(\begin{matrix} N_{l} & * \\ 0 & A \end{matrix})$ ，其中 $N_{l}$ 为正规算子，且 $σ (N_{l}) = \partial Ω$ （文献［13］引理4.1）。对于 $N_{l}$ ，存在紧算子 $\bar{K_{2}}$ ，使得 $σ (N + \bar{K_{2}}) = \bar{Ω}$ （文献［13］推论4.3）。令 $K_{2} = (\begin{matrix} \bar{K_{2}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ ，且 $K_{3} = K_{1} + K_{2}$ ，则

T + K_{3} =

T + K_{1} + K_{2} =

(\begin{matrix} N_{l} + \bar{K_{2}} & * \\ 0 & A \end{matrix})

。

由 $i n t σ_{5} (T) = \emptyset$ ，知对任意的 $λ \in Ω$ 均有 $i n d (T - λ I)$ $\leq 0$ ，故 $λ \in ρ_{e a} (T + K_{0})$ 。由 $T + K_{0}$ 满足 a-Browder定理，知存在 $λ_{1} \in Ω$ ，使得 $T + K_{0} - λ_{1} I$ 为下有界算子，进而为可逆算子。因此 $λ_{1} \notin a c c σ (T + K_{0})$ ，从而 $λ_{1} \notin a c c σ (T$ $+ K_{3})$ 。又因 $T + K_{3} - λ_{1} I$ 为半Fredholm算子，所以 $T + K_{3} - λ_{1} I$ 为Browder算子。从而存在 $λ_{2} \in Ω$ ，使得 $T + K_{3} -$ $λ_{2} I$ 可逆，于是 $N_{l} + \bar{K_{2}} - λ_{2} I$ 为下有界算子。由于 $σ (N_{l}) = \partial Ω$ ，因此对任意的 $λ \in Ω$ ， $N_{l} + \bar{K_{2}} - λ I$ 为Weyl算子，从而 $N_{l} + \bar{K_{2}} - λ_{2} I$ 可逆，这与 $σ (N_{l} + \bar{K_{2}})$ $= \bar{Ω}$ 矛盾。因此 $ρ_{S F} (T)$ 连通。

下证 $i n t σ_{S F} (T) = \emptyset$ 。

一方面，断言对任意的 $K \in$ $K (H)$ ，有 $i n t σ_{5} (T + K) = i n t σ_{5} (T)$ 。

事实上，设 $λ_{0} \notin i n t σ_{5} (T)$ ，则对 $λ_{0}$ 的任意空心邻域 $B^{\circ} (λ_{0})$ ，均存在 $λ \in B^{\circ} (λ_{0})$ ，使得 $λ \in ρ_{5} (T)$ ，从而存在 $B^{\circ} (λ) \subseteq$ $B^{\circ} (λ_{0})$ ，使得对任意的 $μ \in B^{\circ} (λ)$ ，均有

μ \in

ρ_{e a} (T) = ρ_{e a} (T + K) \subseteq ρ_{5} (T + K)

，

于是 $λ_{0} \notin i n t σ_{5} (T + K)$ 。因此

i n t σ_{5} (T + K) \subseteq

i n t σ_{5} (T)

。

用类似的方法可证

i n t σ_{5} (T) \subseteq

i n t σ_{5} (T + K)

。

另一方面，可以断言 $i n t σ_{S F} (T) \subseteq i n t σ_{5} (T)$ 。事实上，只需证

i n t σ_{S F} (T + K_{0})

\subseteq i n t σ_{5} (T + K_{0})

。

由条件（ii）与定理1，显然可得这一包含成立，从而 $i n t σ_{S F} (T) = \emptyset$ 。

综上，由文献［13］定理1.3，可得对任意的紧算子 $K$ ， $T + K$ ，有SVEP。

由定理2，可得：

推论3 设 $T \in B (H)$ ，则对任意的 $K \in K (H)$ ， $T + K$ 有SVEP当且仅当存在紧算子 $K_{0}$ ，满足：

（i） $σ (T + K_{0}) = σ_{5} (T + K_{0}) ⋃ σ_{0} (T + K_{0})$ ；

（ii） $a c c σ (T + K) \subseteq$ $a c c σ (T + K_{0})$ ；

（iii） $i n t σ_{5} (T + K_{0}) = \emptyset$ 。

证明设对任意的 $K \in K (H)$ ， $T + K$ 有SVEP。由定理2的证明，知存在紧算子 $K_{0}$ ，使得（i）和（iii）成立，并且

σ (T + K_{0}) = σ_{S F} (T + K_{0}) ⋃

σ_{0} (T + K_{0})

。

又因为 $ρ_{S F} (T) = ρ_{S F} (T + K_{0})$ 为连通集，故

σ_{S F} (T + K_{0}) = σ_{e a} (T + K_{0})

，

从而 $σ_{5} (T + K_{0})$ $\subseteq σ_{S F} (T + K_{0})$ 。

因此 $σ (T + K_{0}) =$ $σ_{5} (T + K_{0}) ⋃$ $σ_{0} (T + K_{0})$ 。

反之，由定理2的证明，可知 $i n t σ_{5} (T) =$ $i n t σ_{5} (T + K_{0}) = \emptyset$ 。另外，由（i）与定理1，易知 $T + K_{0}$ 满足a-Browder定理，且 $σ (T + K_{0}) =$ $σ_{a} (T + K_{0})$ ，从而由定理2，知对任意的 $K \in$ $K (H)$ ， $T + K$ 有SVEP。

推论4 令 $T \in B (H)$ ，则对任意的 $K \in K (H)$ ， $T + K$ 有SVEP当且仅当

（i） $i n t σ_{5} (T) = \emptyset$ ；

（ii）对任意的 $K \in K (H)$ ， $T + K$ 满足a-Browder定理。

证明必要性。由推论3，必要性显然成立。

反之，由条件（ii），利用类似于定理2的证明方法，可以验证 $ρ_{S F} (T)$ 连通，所以 $σ (T) = σ_{S F} (T) ⋃$ $σ_{0} (T)$ 。由定理2的必要性证明，知存在紧算子 $K_{0}$ ，使得 $σ (T + K_{0}) =$ $σ_{a} (T + K_{0})$ ，且对任意的 $K \in$ $K (H)$ ， $a c c σ (T + K) \subseteq a c c σ (T + K_{0})$ 。从而由定理2，可知充分性成立。

下面讨论a-Browder定理的紧摄动。

定理3 若 $T \in B (H)$ ，则对任意的 $K \in K (H)$ ， $T + K$ 满足a-Browder定理当且仅当存在紧算子 $K_{0}$ ，使得下列条件之一成立：

（i） $σ (T + K_{0}) = σ_{5} (T + K_{0}) ⋃ σ_{0} (T + K_{0})$ ，且对任意的 $K \in K (H)$ ， $a c c σ (T + K) \subseteq$ $a c c σ (T + K_{0})$ ；

（ii） $σ_{e a} (T + K_{0}) = σ_{a} (T + K_{0})$ ，且对任意 $K \in$ $K (H)$ ， $i n t σ_{a} (T + K) \subseteq a c c σ_{a} (T + K_{0})$ 。

证明必要性。设对任意的 $K \in K (H)$ ， $T + K$ 满足a-Browder定理。若 $ρ_{S F}^{+} (T) = \emptyset$ （其中 $ρ_{S F}^{+} (T)$ = ${λ \in C : T - λ I$ 为上半Fredholm算子且 $i n d (T - λ I) > 0}$ ），则利用类似于定理2的充分性证明方法，可以验证 $ρ_{S F} (T)$ 连通。由定理的2必要性证明，知存在紧算子 $K_{0}$ ，使得

σ (T + K_{0}) =

σ_{S F} (T + K_{0}) ⋃ σ_{0} (T + K_{0})

且 $i s o σ (T + K_{0}) =$ $σ_{0} (T + K_{0})$ 。又 $σ_{S F} (T + K_{0}) \subseteq σ_{5} (T + K_{0})$ ，因此 $σ (T + K_{0}) =$ $σ_{5} (T + K_{0}) ⋃$ $σ_{0} (T + K_{0})$ 。另外，若 $λ_{0} \notin$ $a c c σ (T + K_{0})$ ，则 $T + K_{0} - λ_{0} I$ 为Browder算子，因此 $T - λ_{0} I$ 及 $T + K - λ_{0} I$ 为Weyl算子，由 $T + K$ 满足a-Browder定理，知 $λ_{0} \notin$ $a c c σ (T + K)$ 。若 $ρ_{S F}^{+} (T) \neq \emptyset$ ，则存在紧算子 $K_{0}$ ，使得 $σ_{p} (T + K_{0}) = ρ_{S F}^{+} (T)$ （文献［13］推论2.9）。若存在 $λ$ ，使得 $λ \in ρ_{e a} (T + K_{0})$ 且 $n (T + K_{0} - λ I)$ $> 0$ ，则 $i n d (T - λ I) > 0$ ，进而 $i n d (T + K_{0} -$ $λ I)$ $> 0$ ，矛盾。因此 $σ_{e a} (T + K_{0}) =$ $σ_{a} (T + K_{0})$ 。若 $λ_{0} \notin a c c σ_{a} (T + K_{0})$ ，则 $λ_{0} \in ρ_{a} (T + K_{0}) ⋃$ $i s o$ $σ_{a} (T + K_{0})$ ，由对任意的 $K \in K (H)$ 有 $T + K$ 满足a-Browder定理，知 $i n t σ_{a} (T + K) \subseteq$ $a c c σ_{a} (T + K_{0})$ 。

充分性。假设（i）或（ii）成立。要证对任意的 $K \in K (H)$ ， $T + K$ 满足a-Browder定理，事实上只需证 $σ_{a b} (T + K) \subseteq σ_{e a} (T + K)$ 。若（i）成立，任取 $λ_{0} \in ρ_{e a} (T + K)$ ，则 $λ_{0} \notin σ_{5} (T + K_{0})$ 。又因

σ (T + K_{0}) = σ_{5} (T + K_{0}) ⋃ σ_{0} (T + K_{0})

，

知 $T + K_{0} -$ $λ_{0} I$ 为Browder算子，再结合 $a c c σ (T + K) \subseteq$ $a c c σ (T + K_{0})$ ，可得 $λ_{0} \notin σ_{a b} (T + K)$ 。若（ii）成立，设 $λ_{0} \in$ $ρ_{e a} (T + K)$ ，则由 $ρ_{e a} (T + K_{0}) =$ $ρ_{a} (T + K_{0})$ ，知 $T + K_{0} - λ_{0} I$ 为下有界算子，结合 $i n t σ_{a} (T + K) \subseteq a c c σ_{a} (T + K_{0})$ ，知 $a s c (T + K -$ $λ I) < \infty$ ，故 $T + K$ 满足a-Browder定理。

推论5 设 $i n t σ_{5} (T) = \emptyset$ ，则对任意的 $K \in$ $K (H)$ ， $T + K$ 满足a-Browder定理当且仅当下列条件之一成立：

（i）对任意的 $K \in$ $K (H)$ ， $T + K$ 有SVEP；

（ii）存在紧算子 $K_{0}$ ，使得：（1） $T + K_{0}$ 无SVEP；（2） $σ_{e a} (T + K_{0}) = σ_{a} (T + K_{0})$ ；（3）对任意的紧算子 $K$ ， $i n t σ_{a} (T + K) \subseteq$ $a c c σ_{a} (T + K_{0})$ 。

证明必要性。设对任意的 $K \in$ $K (H)$ ， $T + K$ 满足a-Browder定理。若 $ρ_{S F}^{+} (T) = \emptyset$ ，则由定理3的证明，可知 $ρ_{S F} (T)$ 连通。又因 $i n t σ_{S F} (T) \subseteq$ $i n t σ_{5} (T) = \emptyset$ ，知（i）成立。若 $ρ_{S F}^{+} (T) \neq \emptyset$ ，则存在算子 $K_{0}$ ，使得 $σ_{p} (T + K_{0}) = ρ_{S F}^{+} (T)$ ，由 $ρ_{S F}^{+} (T)$ 为开集，知 $i n t σ_{p} (T + K_{0}) \neq \emptyset$ ，因此 $T + K_{0}$ 无SVEP。另外，由定理3的证明，可知（ii）成立。

充分性。若对任意的 $K \in$ $K (H)$ ， $T + K$ 有SVEP，则由推论4，可知 $T + K$ 满足a-Browder定理。若存在紧算子 $K_{0}$ ，满足条件（ii），由定理3，可得对任意的 $K \in$ $K (H)$ ， $T + K$ 满足a-Browder定理。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.004

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... 20世纪初期，Weyl在检验自伴算子的Weyl谱时发现了Weyl定理.之后，Weyl定理得到进一步推广和发展.例如，HARTE等^［1］获得了Browder定理；RAKOČEVIĆ^［2］刻画了Weyl定理的另外2种变形：a-Weyl定理和a-Browder定理.这些变形被称为Weyl型定理.有界线性算子的Weyl型定理能很好地反映各类谱集的结构特征和分布情况，因此对Weyl型定理的研究是谱理论的重要课题之一.近年来，Weyl型定理备受关注，并取得了许多好的结果^［3-5］.算子的摄动理论有助于更好地了解摄动后特征值的分布规律，国内外学者对满足Weyl型定理的算子的摄动进行了有益的研究^［6-8］.本文将以半Fredholm算子特性为基础，运用文献［9］中定义的谱集对有界线性算子a-Browder定理的判定做等价刻画，不仅给出了不同于传统定义的判定方法，而且能更深刻地了解当线性算子满足a-Browder定理时各类谱集的结构特征与分布情况.另外，分别研究了线性算子a-Browder定理与SVEP的紧摄动问题，探讨了二者在紧摄动下的关系. ...

On a class of operators

1985

Weylness of 2×2 operator matrices

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On Weyl's theorem for functions of operators

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2020

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2016

Weyl's spectra and Weyl's theorem

2003

... 文献［9］用半Fredholm算子的局部特征定义集合：

ρ_{5} (T) = {λ \in C : n (T - λ I) < \infty

且存在

ε > 0

使得当

0 < | μ - λ | < ε

时，

μ \notin σ_{e a} (T) ⋃ σ_{s} (T)}

. ...

... 令

σ_{5} (T) = C \ ρ_{5} (T)

，显然有

σ_{5} (T) \subseteq

σ_{e a} (T) \subseteq

σ (T)

.文献［9］用

σ_{5} (T)

对a-isoloid算子的a-Weyl定理进行了等价刻画，打破了仅用传统定义判定a-Weyl定理的局限. ...

The single valued extension property on a Banach space

1975

... 若

σ_{a b} (T) = σ_{e a} (T)

，则称

T

满足a-Browder定理，其中

σ_{e a} (T) = {λ \in C : T - λ I

为非上半Fredholm算子或

i n d (T - λ I) > 0}

且

σ_{a b} (T) =

{λ

\in C : T - λ I

为非上半Fredholm算子或

a s c (T - λ I)

= \infty}

.另外，令

ρ_{e a} (T) = C \ σ_{e a} (T)

且

ρ_{a b} (T) =

C \ σ_{a b} (T)

.以单值延拓性质为工具研究Weyl型定理是常用的一种方法.称算子

T

在

λ_{0} \in C

处有单值延拓性质（简称SVEP）^［10］是指，存在以

λ_{0}

为中心的开圆盘

D_{λ_{0}}

，使得对任意的

λ \in D_{λ_{0}}

，满足方程

(T - λ I) f (λ) = 0

的唯一解析函数

f (: D_{λ_{0}} \to H)

为零函数.若

T

在任意

λ \in C

处有SVEP，则称

T

有SVEP. ...

Theorems on ascent， descent， nullity and defect of linear operators

1966

... 由

T

满足a-Browder定理及文献［11］定理3.4，知

T - μ I

为下有界算子，从而有

λ_{0} \in ρ_{a} (T) ⋃ i s o σ_{a} (T)

，断言

λ_{0} \notin

i s o σ_{a} (T)

.事实上，若

λ_{0} \in i s o σ_{a} (T)

，则

n (T - λ_{0} I) \geq d (T - λ_{0} I)

，从而有

d (T - λ_{0} I)

< \infty

，则

T - λ_{0} I

为Fredholm算子.于是

T - λ_{0} I

为Weyl算子，由

T

满足a-Browder定理，可得

T - λ_{0} I

为Browder算子.故

λ_{0} \in

σ_{0} (T) ⋃

ρ (T)

.由于

λ_{0} \notin

σ_{0} (T)

，因此

λ_{0} \in

ρ (T)

，矛盾.所以断言成立，于是

λ_{0} \in ρ_{a} (T)

，由

λ_{0} \notin

ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)

，知

λ_{0} \notin

σ (T)

. ...

2006

... 证明令

Γ = i s o σ (T) ⋂ σ_{S F} (T)

.不失一般性，假设

Γ \neq \emptyset

.不妨设

Γ = {λ_{i} : i = 1,2, \dots}

，由文献［12］中的引理3.2.6，知存在紧算子

K_{1}

，使得 ...

SVEP and compact perturbations

2011

... 证明必要性.设对任意的

K \in K (H)

，

T + K

有SVEP，则

ρ_{S F} (T)

连通且

i n t σ_{S F} (T) = \emptyset

（文献［13］定理1.3），从而由

ρ_{S F} (T)

的连通性，可得

σ (T) =

σ_{S F} (T) ⋃ σ_{0} (T)

（文献［13］推论2.5）.此时

σ_{S F} (T) = σ_{e a} (T) =

σ_{w} (T)

.因此

i n t σ_{5} (T) \subseteq

i n t σ_{e a} (T) =

i n t σ_{S F} (T)

= \emptyset

.另外，由引理1，知存在紧算子

K_{0}

，使得

σ (T + K_{0}) =

σ_{S F} (T + K_{0}) ⋃ σ_{0} (T + K_{0})

，且

i s o

σ (T + K_{0})

= σ_{0} (T + K_{0})

，从而可证

T + K_{0}

满足a-Browder定理且

ρ_{S F} (T + K_{0}) = ρ_{w} (T + K_{0})

，于是

σ (T + K_{0}) = σ_{a} (T + K_{0})

. ...

... （文献［13］推论2.5）.此时

σ_{S F} (T) = σ_{e a} (T) =

σ_{w} (T)

.因此

i n t σ_{5} (T) \subseteq

i n t σ_{e a} (T) =

i n t σ_{S F} (T)

= \emptyset

.另外，由引理1，知存在紧算子

K_{0}

，使得

σ (T + K_{0}) =

σ_{S F} (T + K_{0}) ⋃ σ_{0} (T + K_{0})

，且

i s o

σ (T + K_{0})

= σ_{0} (T + K_{0})

，从而可证

T + K_{0}

满足a-Browder定理且

ρ_{S F} (T + K_{0}) = ρ_{w} (T + K_{0})

，于是

σ (T + K_{0}) = σ_{a} (T + K_{0})

. ...

... 充分性.首先，可以断言

ρ_{S F} (T)

连通.若不然，则存在

Ω

为

ρ_{S F} (T)

的一个连通分支，设

Γ = \partial Ω \subseteq

σ_{S F} (T)

，从而存在紧算子

K_{1}

，使得

T + K_{1} =

(\begin{matrix} N_{l} & * \\ 0 & A \end{matrix})

，其中

N_{l}

为正规算子，且

σ (N_{l}) = \partial Ω

（文献［13］引理4.1）.对于

N_{l}

，存在紧算子

\bar{K_{2}}

，使得

σ (N + \bar{K_{2}}) = \bar{Ω}

（文献［13］推论4.3）.令

K_{2} = (\begin{matrix} \bar{K_{2}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

，且

K_{3} = K_{1} + K_{2}

，则 ...

... （文献［13］推论4.3）.令

K_{2} = (\begin{matrix} \bar{K_{2}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

，且

K_{3} = K_{1} + K_{2}

，则 ...

... 综上，由文献［13］定理1.3，可得对任意的紧算子

K

，

T + K

，有SVEP. ...

... 且

i s o σ (T + K_{0}) =

σ_{0} (T + K_{0})

.又

σ_{S F} (T + K_{0}) \subseteq σ_{5} (T + K_{0})

，因此

σ (T + K_{0}) =

σ_{5} (T + K_{0}) ⋃

σ_{0} (T + K_{0})

.另外，若

λ_{0} \notin

a c c σ (T + K_{0})

，则

T + K_{0} - λ_{0} I

为Browder算子，因此

T - λ_{0} I

及

T + K - λ_{0} I

为Weyl算子，由

T + K

满足a-Browder定理，知

λ_{0} \notin

a c c σ (T + K)

.若

ρ_{S F}^{+} (T) \neq \emptyset

，则存在紧算子

K_{0}

，使得

σ_{p} (T + K_{0}) = ρ_{S F}^{+} (T)

（文献［13］推论2.9）.若存在

λ

，使得

λ \in ρ_{e a} (T + K_{0})

且

n (T + K_{0} - λ I)

> 0

，则

i n d (T - λ I) > 0

，进而

i n d (T + K_{0} -

λ I)

> 0

，矛盾.因此

σ_{e a} (T + K_{0}) =

σ_{a} (T + K_{0})

.若

λ_{0} \notin a c c σ_{a} (T + K_{0})

，则

λ_{0} \in ρ_{a} (T + K_{0}) ⋃

i s o

σ_{a} (T + K_{0})

，由对任意的

K \in K (H)

有

T + K

满足a-Browder定理，知

i n t σ_{a} (T + K) \subseteq

a c c σ_{a} (T + K_{0})

. ...

〈

〉