一类具有媒体效应和追踪隔离的SIQR时滞传染病模型

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.02.004

一类具有媒体效应和追踪隔离的SIQR时滞传染病模型

张钰倩^,^,, 张太雷^,^,, 侯雯珊, 宋学力

长安大学理学院，陕西西安 710064

A delayed SIQR epidemic model with media effect and tracking quarantine

ZHANG Yuqian^,^,, ZHANG Tailei^,^,, HOU Wenshan, SONG Xueli

School of Science，Chang'an University，Xi'an 710064，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-3753-5880，E-mail：tlzhang@chd.edu.cn．

收稿日期: 2021-06-08

基金资助:

陕西省自然科学基础研究计划项目. 2022JM-023

Received: 2021-06-08

作者简介 About authors

张钰倩（1996—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-1606-467X，女，硕士研究生，主要从事生物数学研究，E-mail：yuqianzhang2020@126.com. , E-mail：yuqianzhang2020@126.com

摘要

建立了一类具有媒体效应和追踪隔离的SIQR时滞传染病模型，给出了模型的基本再生数 $R_{0}$ ，并从稳定性、持久性和分支角度对该模型进行了理论分析和数值模拟。研究结果表明，由媒体报道产生的时滞 $τ$ 在各影响因子的临界值处出现Hopf分支。当 $τ$ 固定时，随着媒体的广泛报道，易感者对疾病信息认识的偏差程度 $δ$ 不断增加，模型由周期性振荡转为平衡；随着有效接触率最大削减作用 $β_{0}$ 和 $β_{00}$ 的不断增加，模型又由平衡状态转为周期性振荡。还研究了 $δ$ ， $β_{0}$ ， $β_{00}$ 以及被追踪隔离者相关信息的媒体报道准确率 $σ$ 对传染病发展的影响。结果表明，媒体对传染病信息的广泛报道以及提高报道信息的准确率可降低疾病传播，有利于控制传染病。

关键词： 媒体报道 ; 追踪隔离 ; SIQR时滞模型 ; 稳定性 ; Hopf分支

Abstract

In this paper, a delayed SIQR epidemic model with media effect and tracking quarantine is established, the basic reproduction number $R_{0}$ of the model is given. The model is analyzed theoretically and simulated numerically from the perspective of stability, persistence and bifurcation. The results show that Hopf bifurcations occur when the delay $τ$ generated by media reports passes through a sequence of critical values. When $τ$ is fixed, As the degree of deviation $δ$ of susceptible persons' understanding of disease information under media reports increases continuously, the model will change from periodic oscillation to equilibrium point. With the increase of $β_{0}$ and $β_{00}$ , the maximum reduction effect of media reports on the effective contact rate, the model will change from equilibrium to periodic oscillation. Finally, the influence of different $δ$ , $β_{0}$ , $β_{00}$ and $δ$ which denotes the accuracy of media reports on the relevant information of the quarantined persons on the development of infectious diseases is studied. The results suggest that it is beneficial for the media to widely report the information of infectious diseases and improve the information accuracy so as to reduce the spread of infectious diseases and effectively control the outbreak of infectious diseases.

Keywords： media coverage ; tracking isolation ; a delayed SIQR epidemic model ; stability ; Hopf bifurcation

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本文引用格式

张钰倩, 张太雷, 侯雯珊, 宋学力. 一类具有媒体效应和追踪隔离的SIQR时滞传染病模型. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(2): 159-169 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.02.004

ZHANG Yuqian, ZHANG Tailei, HOU Wenshan, SONG Xueli. A delayed SIQR epidemic model with media effect and tracking quarantine. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(2): 159-169 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.02.004

传染病严重威胁人类的生命健康，给人类带来了重大灾难。1347—1352年鼠疫在欧洲流行，致使2 500多万人死于非命，死亡人数为当时欧洲人口的近1/3^［1］。1988—2020年，全球至少出现了30种突发性传染病，如2003年的SARS、2009年的甲型H1N1、2013年的H7N9、2014年的登革热和埃博拉病毒（Ebola virus）、2019年的COVID-19。截至2022年1月19日，全球220多个国家和地区累计因COVID-19死亡超过550万，并仍在持续扩散。可见对传染病的防控一直是卫生防疫部门关注的重点之一。

研究发现，影响疾病传播的因素很多，如环境卫生状况、人口密度、媒体报道、疫苗接种、人口迁移、气候变化等。在信息化时代，大众媒体与传染病的传播和控制之间存在复杂而密切的关系。每当一种疾病暴发时，有关这种疾病的病例数和死亡人数等信息通过大众媒体、电视、报纸、网络等方式告知公众。据观察，这些信息会令个人行为发生变化，引导人们通过采取各种措施，如戴口罩、使用消毒液、保持社交距离等保护自己，从而减少传染病的传播和蔓延。近年来，学者们从不同角度建立了具有媒体报道的传染病模型^［2-6］，其中，最基本的具有媒体报道的SIR模型为

$d S (t) d t = Λ - f (S (t), I (t), M (t)) S (t) I (t), d I (t) d t = f (S (t), I (t), M (t)) S (t) I (t) - γ I (t) d R (t) d t = γ I (t) 。,$

其中， $f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}$ 为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率。CUI等^［7］取 $f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}$ ，LI等^［8］取 $f (S (t),$ $I (t), M (t)) =$ $β_{1} - β_{2} f (I)$ ，LIU等^［9］认为媒体函数不仅取决于感染人数，也取决于其变化率^［10-12］。这些模型均间接地通过媒体报道量反映个体行为改变对传染病的影响。YAN等^［13］主要用统计模型方法，直观刻画了媒体报道对个体行为的影响，并将其与传染病动力学模型耦合。随后根据COVID-19的特点建立了SEIR类型的传染病模型^［14］，用戴口罩比例函数 $e^{- k p (t)}$ 作为媒体函数嵌入感染强度，以刻画个体行为改变对COVID-19疫情的影响。考虑媒体报道量随疫情和时间不断变化，因此将其视为变量，使得到的数学模型与现实情形更接近。近年来，研究者发现媒体报道存在时间滞后现象，因此将时滞引入具有媒体报道的传染病动力学模型，研究结果不仅呈现了更加复杂的动力学现象，而且扩展了时滞微分方程的应用范围^［15-17］。

随着媒体的持续报道，公众及政府对传染病的发病周期和传染率等越来越重视。当传染病暴发时，国家卫健委迅速预判并采取严格的管控措施，对患病群体进行隔离，以控制传染源，防止传染病蔓延扩散。通过限制患病群体的活动范围，避免病毒通过患者的分泌物、排泄物、污染物及周围环境中的病原体等媒介传染给正常群体。历史上隔离措施已被广泛用于鼠疫、霍乱、麻疹、破伤风、狂犬病等人类传染病和猪瘟等动物传染病的控制，近年也用于手足口病、SARS、禽流感等疾病的控制^［18-21］，特别是此次新冠肺炎疫情暴发，隔离措施得以进一步完善，政府及时采取了精准的追踪隔离措施，有效控制了传染病的传播^［22-25］。上述研究表明，对大多数传染病而言，追踪隔离是不可忽略的一项因素。

基于以上研究，本文建立了一类受媒体报道影响且存在追踪隔离的时滞SIQR传染病模型，给出了模型的阈值——基本再生数 $R_{0}$ ，并证明了各类平衡点的存在性；证明了地方病平衡点的Hopf分支的存在性及模型的一致持久性；结合理论分析，对模型进行了数值模拟，对部分重要参数进行了敏感性分析，并给出了合理化建议。

1　模型建立

将某一区域 $t$ 时刻的总人口数 $N (t)$ 分成易感者 $S (t)$ 、感染者 $I (t)$ 、隔离者 $Q (t)$ 和恢复者 $R (t)$ 四类，建立了一类具有媒体效应和追踪隔离的SIQR时滞模型。传染病模型仓室示意图如图1所示。

图1

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图1 模型1仓室示意

Fig.1 Compartment diagram of model 1

由图1，得到时滞微分方程：

\{\begin{array}{l} \frac{d S}{d t} = Λ - (1 - α) ρ_{1} (I (t - τ)) S I - \\ α ρ_{2} (I (t - τ)) S I - μ S, \\ \frac{d I}{d t} = (1 - α) ρ_{1} (I (t - τ)) S I + \\ α [1 - m (I)] ρ_{2} (I (t - τ)) S I - \\ (η + r_{1} + ζ_{1} + μ) I, \\ \frac{d Q}{d t} = α m (I) ρ_{2} (I (t - τ)) S I + \\ η I - (r_{2} + ζ_{2} + μ) Q, \\ \frac{d R}{d t} = r_{1} I + r_{2} Q - μ R ， \end{array}

（1）

其中， $Λ$ 表示人口的常数输入， $α$ 表示去过病毒污染场所的易感者的比例， $μ$ 表示自然死亡率， $η$ 表示感染者的检测率， $r_{1}$ ， $r_{2}$ 分别表示感染者和隔离者的恢复率， $ζ_{1}$ ， $ζ_{2}$ 分别表示感染者和隔离者的因病死亡率， $τ$ 表示媒体报道所产生的时滞。据文献［26］，去过病毒污染场所的易感者的追踪隔离率函数为 $m (I) = \frac{I}{σ + I}$ ，其中 $σ > 0$ 表示媒体报道的被追踪隔离者的相关信息的准确率，准确率越高， $σ$ 越小； $ρ_{1} (I) = β_{1} - β_{0} f (I)$ ， $ρ_{2} (I) = β_{2} - β_{00} f (I)$ ，其中 $β_{1}$ ， $β_{2}$ 分别表示易感者与感染者的最大有效接触率， $β_{0} ， β_{00}$ 表示媒体报道对疾病传播的最大削减作用， $f (I)$ 表示媒体报道对传染率饱和函数的影响，满足：

（i） $f (0) = 0$ ；

（ii） $f^{'} (I) \geq 0$ ；

（iii） $\underset{I \to \infty}{l i m} f (I) = 1$ ；

$(i v) [β_{1} - β_{0} f (I)] S I, [β_{2} - β_{00} f (I)] S I$ 为式（1）的发病率，且 $\frac{\partial {[β_{1} - β_{0} f (I)] S I}}{\partial I} > 0,$

\frac{\partial {[β_{2} - β_{00} f (I)] S I}}{\partial I} > 0 。

由于式（1）中的第1和第2个方程不含 $Q$ 和 $R$ ，因此研究式（2）各平衡点的稳定性，可得式（1）各平衡点的稳定性：

\{\begin{array}{l} \frac{d S}{d t} = Λ - (1 - α) ρ_{1} （ I （ t - τ ） ） S I - \\ α ρ_{2} （ I （ t - τ ） ） S I - μ S, \\ \frac{d I}{d t} = (1 - α) ρ_{1} （ I （ t - τ ） ） S I + \\ α [1 - m (I)] ρ_{2} （ I （ t - τ ） ） S I - \\ (η + r_{1} + ζ_{1} + μ) I 。 \end{array}

（2）

假设式（2）满足初始条件：

S (θ) = φ_{1} (θ), I (θ) = φ_{2} (θ), θ = [- τ, 0] 。

（3）

$φ = （ φ_{1}, φ_{2} ）^{T} \in C$ ，其中 $C$ 表示全体从 $[- τ, 0]$ 映射到 $R_{+}^{2}$ 的函数组成的巴拿赫空间 $C ([- τ, 0], R_{+}^{2})$ 。设 $(S (t), I (t))$ 为式（2）满足初值条件式（3）的解，显然对任意的 $t \geq 0$ ，有 $S (t) \geq 0$ ， $I (t) \geq 0$ 。令 $N_{1} (t) = S (t) + I (t)$ ，由文献［27］，知式（2）的解具有非负性，并将式（2）的2个方程相加，得到

\frac{d N_{1}}{d t} = \frac{d S}{d t} + \frac{d I}{d t} \leq Λ - μ N_{1}

，

由此可得

\underset{t \to \infty}{l i m} s u p N_{1} \leq \frac{Λ}{μ}

，

取式（2）的正向不变集

Θ = \{(S, I) \in R_{+}^{2}, S \geq 0, I \geq 0,0 < S + I \leq \frac{Λ}{μ}\} 。

（4）

下文将在 $Θ$ 中研究式（2）解的动力学性质。

2　平衡点的存在性和稳定性

研究式（2）的动力学性质首先要确定平衡点，故先讨论无病平衡点和地方病平衡点的存在性。

式（2）总存在疾病消亡的无病平衡点 $E^{0} = (S^{0}, 0)$ ，其中 $S^{0} = \frac{Λ}{μ}$ ，由文献［28］时滞传染病模型基本再生数的定义方法，经计算可得式（2）的基本再生数

R_{0} = \frac{(1 - α) β_{1} Λ + α β_{2} Λ}{(η + r_{1} + ζ_{1} + μ) μ}

。

定理1 当 $R_{0} \leq 1$ 时，式（2）存在无病平衡点 $E^{0}$ ，当 $R_{0} > 1$ 时，系统除存在无病平衡点 $E^{0}$ 外，还存在唯一的地方病平衡点 $E^{*}$ 。

证明显然式（2）总存在无病平衡点 $E^{0}$ 。若式（2）存在地方病平衡点 $E^{*}$ ，则 $E^{*}$ 的坐标满足：

\{\begin{array}{l} Λ - (1 - α) ρ_{1} (I) S I - α ρ_{2} (I) S I - μ S = 0, \\ (1 - α) ρ_{1} (I) S I + α [1 - m (I)] ρ_{2} (I) S I - \\ (η + r_{1} + ζ_{1} + μ) I = 0 。 \end{array}

（5）

由式（5）的第1个方程，得

S = \frac{Λ}{(1 - α) ρ_{1} (I) I + α ρ_{2} (I) I + μ} ≜ h (I),

显然 $h (I)$ 是关于 $I$ 的严格单调递减函数。又由式（5）的第2个方程，得

S = \frac{η + r_{1} + ζ_{1} + μ}{(1 - α) ρ_{1} (I) + α [1 - m (I)] ρ_{2} (I)} ≜ g (I),

因为 $g^{'} (I) > 0$ ，所以 $g (I)$ 为严格单调递增函数。令 $F (I) = h (I) - g (I)$ ， $F (I)$ 为严格单调递减函数。当 $I = 0$ 时，因为 $R_{0} > 1$ ，所以

F (0) = \frac{Λ}{μ} - \frac{η + r_{1} + ζ_{1} + μ}{(1 - α) β_{1} + α β_{2}} > 0,

当 $I = \frac{Λ}{η + r_{1} + ζ_{1} + μ}$ 时，

F (\frac{Λ}{η + r_{1} + ζ_{1} + μ}) < 0 ，

因此 $F (I) = 0$ 存在唯一解 $I^{*}$ 。将 $I^{*}$ 代入式（5），可得

S^{*} = \frac{Λ}{(1 - α) ρ_{1} (I^{*}) I + α ρ_{2} (I^{*}) I^{*} + μ}

。

综上，当 $R_{0} > 1$ 时，存在地方病平衡点 $E^{*} = (S^{*}, I^{*})$ 。故式（2）存在无病平衡点和地方病平衡点。

定理1得证！

注1 研究无病平衡点和地方病平衡点的性态具有十分重要的意义。无病平衡点对应疾病的消亡状态，而地方病平衡点对应疾病最终在人群中长期存在，成为一种地方病的状态。因此，研究平衡点的稳定性，对了解疾病的最终发展趋势具有重要的理论意义。

定理2 当 $R_{0} < 1$ 时，对任意的 $τ \geq 0$ ，无病平衡点 $E^{0}$ 局部渐近稳定；当 $R_{0} > 1$ 时， $E^{0}$ 不稳定。

证明将式（2）线性化，可得其在 $E^{0}$ 处的特征方程为

（ λ + μ ） [λ - \frac{(1 - α) β_{1} Λ + α β_{2} Λ}{μ} + η + r_{1} + ζ_{1} + μ] = 0 。

（6）

显然，式（6）存在2个负实根 $λ_{1} = - μ$ ， $λ_{2} = \frac{(1 - α) β_{1} Λ + α β_{2} Λ}{μ} - （ η + r_{1} + ζ_{1} + μ ）$ ，所以当 $R_{0} < 1$ 时，对任意的 $τ \geq 0$ ，无病平衡点 $E^{0}$ 局部渐近稳定；当 $R_{0} > 1$ 时，存在正实部特征根 $λ_{2}$ ，故 $E^{0}$ 不稳定。

定理3 当 $R_{0} < 1$ 时，对任意的 $τ \geq 0$ ，式（2）的无病平衡点 $E^{0}$ 全局渐近稳定。

证明设 $V = \frac{I^{2}}{η + r_{1} + ζ_{1} + μ}$ ，则

\begin{array}{l} V^{'} = \frac{2 I^{2}}{η + r_{1} + ζ_{1} + μ} {(1 - α) ρ_{1} （ I (t - τ) ） + \\ α [1 - m (I)] ρ_{2} （ I (t - τ) ）} S - 2 I^{2} \leq \\ 2 \{\frac{I^{2}}{η + r_{1} + ζ_{1} + μ} [(1 - α) β_{1} \frac{Λ}{μ} + α β_{2} \frac{Λ}{μ}] - I^{2}\} = 2 I^{2} (R_{0} - 1 ） 。 \end{array}

当 $R_{0} < 1$ 时，由LaSalle不变集原理，得式（2）的无病平衡点 $E^{0}$ 全局吸引，结合定理2，可得 $E^{0}$ 全局渐近稳定。

注2 局部稳定性只能描述当初始值落在平衡点附近时疾病是灭绝还是持续存在，而全局稳定性则可将系统的初始值扩充至在更大范围内变化时，研究疾病的最终状态。

定理4 当 $R_{0} > 1$ 时，若 $τ = 0$ ，则地方病平衡点 $E^{*}$ 局部渐近稳定。

证明线性化式（2），可得其在 $E^{*}$ 处的特征方程为

|\begin{matrix} λ + a_{1} & e^{- λ τ} a_{21} + a_{22} \\ b_{1} & λ + e^{- λ τ} b_{21} + b_{22} \end{matrix}| = 0

，

即

\begin{array}{l} λ^{2} + （ a_{1} + b_{22} ） λ + a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22} + \\ （ b_{21} λ + a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} ） e^{- λ τ} = 0 。 \end{array}

（7）

其中，

\begin{matrix} a_{1} = (1 - α) ρ_{1} (I^{*}) I^{*} + α ρ_{2} (I^{*}) I^{*} + μ, \\ a_{21} = (1 - α) ρ_{1}^{'} (I^{*}) S^{*} I^{*} + α ρ_{2}^{'} (I^{*}) S^{*} I^{*}, \\ a_{22} = (1 - α) ρ_{1} (I^{*}) S^{*} + α ρ_{2} (I^{*}) S^{*}, \\ b_{1} = - (1 - α) ρ_{1} (I^{*}) I^{*} - α [1 - m (I^{*})] ρ_{2} (I^{*}) I^{*}, \\ b_{21} = - (1 - α) ρ_{1}^{'} (I^{*}) S^{*} I^{*} - α [1 - m (I^{*})] \times \\ ρ_{2}^{'} (I^{*}) S^{*} I^{*}, \\ b_{22} = - (1 - α) ρ_{1} (I^{*}) S^{*} - α [1 - m (I^{*})] ρ_{2} (I^{*}) S^{*} + \\ α m^{'} (I^{*}) ρ_{2} (I^{*}) S^{*} I^{*} + η + r_{1} + ζ_{1} + μ 。 \end{matrix}

显然 $a_{1} > 0$ ， $a_{21} < 0$ ， $a_{22} > 0$ ， $b_{1} < 0$ ， $b_{21} > 0$ 。又由式（5）第2个方程，得

\begin{array}{l} (1 - α) ρ_{1} (I^{*}) S^{*} + α [1 - m (I^{*})] ρ_{2} (I^{*}) S^{*} = \\ η + r_{1} + ζ_{1} + μ, \end{array}

所以 $b_{22} > 0$ 。

当 $τ = 0$ 时，式（7）可化简为

\begin{array}{l} λ^{2} + （ a_{1} + b_{22} + b_{21} ） λ + a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22} + \\ a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} = 0 。 \end{array}

因为 $a_{1} + b_{22} + b_{21} > 0$ ，

a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22} > 0

，

a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} > 0

，

所以式（7）的根均有负实部。故当 $τ = 0$ 时，地方病平衡点 $E^{*}$ 局部渐近稳定。

当 $τ > 0$ 时，随着 $τ$ 的不断增大，地方病平衡点失去平衡，产生Hopf分支。

3　地方病平衡点的Hopf分支

当 $τ > 0$ 时，将时滞 $τ$ 作为分支参数分析Hopf分支，此时判断地方病平衡点是否局部渐近稳定的关键性条件是式（7）是否存在一对纯虚根。假设当 $τ > 0$ 时， $λ = ω i$ $(ω > 0)$ 为式（7）的根，则

\begin{array}{l} - ω^{2} + （ a_{1} + b_{22} ） ω i + a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22} + （ b_{21} ω i + \\ a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} ） (c o s ω τ - i s i n ω τ) = 0 。 \end{array}

（8）

分离式（8）的实部与虚部，得

\{\begin{array}{l} ω^{2} - a_{1} b_{22} + b_{1} a_{22} = （ a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} ） c o s ω τ + \\ b_{21} ω s i n ω τ, \\ （ a_{1} + b_{22} ） ω = （ a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} ） s i n ω τ - \\ b_{21} ω c o s ω τ 。 \end{array}

（9）

对式（9）进行变换，得

\begin{array}{l} ω^{4} + [（ a_{1} + b_{22})^{2} - 2 (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22}) - b_{21}^{2}] ω^{2} + \\ （ a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22} ）^{2} - （ a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} ）^{2} = 0 。 \end{array}

（10）

令 $A = ω^{2} > 0$ ，则式（10）可表示为

A^{2} + p_{1} A + p_{2} = 0,

（11）

其中，

p_{1} = (a_{1} + b_{22})^{2} - 2 (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22}) - b_{21}^{2}

，

p_{2} = (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22})^{2} - (a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21})^{2}

。

（i）当 $p_{2} < 0$ ， ${p_{1}}^{2} - 4 p_{2} > 0$ 时，式（11）存在1个正实根

ω_{0} = \sqrt[]{\frac{- p_{1} + \sqrt[]{{p_{1}}^{2} - 4 p_{2}}}{2}}

。

由式（8），可求得相应的 $τ_{k}$ ，

\begin{array}{l} τ_{k} = \frac{1}{ω_{0}} a r c c o s {[（ {ω_{0}}^{2} - a_{1} b_{22} + b_{1} a_{22} ） \times \\ （ a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} ） - （ a_{1} + b_{22} ） b_{21} ω_{0}^{2}] / \\ [（ a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} ）^{2} + （ b_{21} ω_{0} ）^{2}]} + \\ \frac{2 k π}{ω_{0}} ， k = 0,1, 2 ， \dots \end{array}

。

（ii）当 $p_{1} < 0$ ， $p_{2} > 0$ ， $p_{1}^{2} - 4 p_{2} > 0$ 时，式（11）存在2个正实根：

\begin{array}{l} ω_{1} = \sqrt[]{\frac{- p_{1} + \sqrt[]{{p_{1}}^{2} - 4 p_{2}}}{2}}, \\ ω_{2} = \sqrt[]{\frac{- p_{1} - \sqrt[]{{p_{1}}^{2} - 4 p_{2}}}{2}} 。 \end{array}

（iii）当 $p_{1} < 0$ ， $p_{1}^{2} - 4 p_{2} = 0$ 时，式（11）存在2个相等的正实根：

ω_{1} = ω_{2} = \sqrt[]{\frac{- p_{1}}{2}} 。

由式（9），可求得相应的 $τ_{1_{k}}$ ， $τ_{2_{k}}$ ，

\begin{array}{l} τ_{{(1,2)}_{k}} = \frac{1}{ω_{1,2}} a r c c o s {[(ω_{1 ， 2}^{2} - a_{1} b_{22} + b_{1} a_{22}) \times \\ (a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21}) - (a_{1} + b_{22}) b_{21} ω_{1 ， 2}^{2}] / \\ [(a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21})^{2} + (b_{21} ω_{1,2})^{2}]} + \\ \frac{2 k π}{ω_{1,2}} ， k = 0,1, 2 ， \dots 。 \end{array}

为验证局部Hopf分支存在的横截条件，需确定 $R e {{(\frac{d λ}{d τ})}^{- 1}|}_{τ = τ_{j_{_{k}}}}$ 的符号。对式（7）关于 $τ$ 求导，得

\frac{d λ}{d τ} = [λ （ b_{21} λ + a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} ） e^{- λ τ}] / [2 λ + （ a_{1} + b_{22} ） + b_{21} e^{- λ τ} - τ （ b_{21} λ + a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21} ） e^{- λ τ}]

，

计算得

{(\frac{d λ}{d τ})}^{- 1} = \frac{2 λ + (a_{1} + b_{22}) + b_{21} e^{- λ τ}}{λ (b_{21} λ + a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21}) e^{- λ τ}} - \frac{τ}{λ},

由式（7）和式（9），得

\begin{array}{l} s i g n \{{R e {(\frac{d λ}{d τ})}^{- 1}|}_{_{τ = τ_{j_{_{k}}}}}\} = \\ s i g n {\{R e [\frac{2 λ + (a_{1} + b_{22}) + b_{21} e^{- λ τ}}{λ (b_{21} λ + a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21}) e^{- λ τ}} - \frac{τ}{λ}]\}}_{τ = τ_{j_{_{k}}}} = \\ s i g n {\{R e [\frac{2 λ + (a_{1} + b_{22})}{- λ (λ^{2} + (a_{1} + b_{22}) λ + a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22})}]\}}_{τ = τ_{j_{_{k}}}} + \\ s i g n {\{R e [\frac{b_{21}}{λ (b_{21} λ + a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21})}]\}}_{τ = τ_{j_{_{k}}}} - s i g n {\{R e \frac{τ}{λ}\}}_{τ = τ_{j_{_{k}}}} = \\ s i g n {\{R e [\frac{2 λ + (a_{1} + b_{22})}{- λ^{2} (a_{1} + b_{22}) - λ [λ^{2} + (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22})]}]\}}_{τ = τ_{j_{_{k}}}} + \\ s i g n {\{R e [\frac{b_{21}}{b_{21} λ^{2} + λ (a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21})}]\}}_{τ = τ_{j_{_{k}}}} - s i g n {\{\frac{τ}{λ}\}}_{τ = τ_{j_{_{k}}}} = \\ s i g n {\{R e [\frac{2 ω i + (a_{1} + b_{22})}{ω^{2} (a_{1} + b_{22}) + ω [ω^{2} - (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22})] i}]\}}_{_{λ = i ω, τ = τ_{j_{_{k}}}}} + \\ s i g n {\{R e [\frac{b_{21}}{- b_{21} ω^{2} + ω (a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21}) i}]\}}_{_{_{λ = i ω, τ = τ_{j_{_{k}}}}}} - \\ s i g n {\{\frac{τ}{ω i}\}}_{_{_{λ = i ω, τ = τ_{j_{_{k}}}}}} = \\ s i g n \{\frac{ω^{2} (a_{1} + b_{22})^{2} + 2 ω^{2} [ω^{2} - (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22})]}{ω^{4} (a_{1} + b_{22})^{2} + ω^{2} [ω^{2} {- (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22})]}^{2}}\} - \\ s i g n \{\frac{b_{21}^{2} ω^{2}}{b_{21}^{2} ω^{4} + ω^{2} {(a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21})}^{2}}\} = \\ s i g n \{\frac{(a_{1} + b_{22})^{2} + 2 [ω^{2} - (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22})]}{ω^{2} (a_{1} + b_{22})^{2} + [ω^{2} {- (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22})]}^{2}}\} - \\ s i g n \{\frac{b_{21}^{2}}{b_{21}^{2} ω^{2} + {(a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21})}^{2}}\} 。 \end{array}

（12）

因为

$\{\begin{array}{l} ω^{2} - a_{1} b_{22} + b_{1} a_{22} = (a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21}) c o s ω τ + \\ b_{21} ω s i n ω τ \\ (a_{1} + b_{22}) ω = - b_{21} ω c o s ω τ + （ a_{1} b_{21} - \\ b_{1} a_{21} ） s i n ω τ, \end{array}$ 所以

ω^{2} (a_{1} + b_{22})^{2} + [ω^{2} - (a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22} {）]}^{2} = b_{21}^{2} ω^{2} + (a_{1} b_{21} - b_{1} a_{21})^{2} 。

式（12）可化简为

s i g n \{\frac{2 ω^{2} + p_{1}}{ω^{2} （ a_{1} + b_{22} ）^{2} + [ω^{2} - （ a_{1} b_{22} - b_{1} a_{22} {）]}^{2}}\}

。

对于情形（i），有

2 ω^{2} = - p_{1} + \sqrt[]{p_{1}^{2} - 4 p_{2}},

则 $2 ω^{2} + p_{1} = \sqrt[]{p_{1}^{2} - 4 p_{2}} > 0 。$

对于情形（ii），有

2 ω^{2} = - p_{1} \pm \sqrt[]{p_{1}^{2} - 4 p_{2}},

则 $2 ω^{2} + p_{1} = \pm \sqrt[]{p_{1}^{2} - 4 p_{2}} \neq 0 。$

对于情形（iii），有

2 ω^{2} = - p_{1},

则 $2 ω^{2} + p_{1} = 0 。$

综上，可得以下定理。

定理5 当 $R_{0} > 1$ ，且式（2）满足（i），（ii）和（iii）中任一条件时，方程存在正实根，且满足（i）和（ii）中任一条件，若 $τ < τ_{0} (τ_{0} = m i n {τ_{j_{k}} | 1 \leq j \leq 2,$ $k = 1,2, 3, \dots}),$ 则地方病平衡点局部渐近稳定；若 $τ > τ_{0}$ ，则地方病平衡点不稳定；若 $τ = τ_{j_{k}}$ ，则系统满足横截条件 $R e {{(\frac{d λ}{d τ})}^{- 1}|}_{τ = τ_{j_{k}}} \neq 0$ ，在 $τ = τ_{j_{k}}$ 处产生Hopf分支。当 $R_{0} > 1$ ，且式（2）不满足条件（i）~（iii）时，方程无正实根，对任意的 $τ > 0$ ，地方病平衡点局部渐近稳定。

4　疾病的持久性

定义1^［29］若存在正数 $m_{i}$ 和 $M_{i}$ $(i = 1,2)$ ，式（3）满足

m_{1} \leq \underset{t \to \infty}{l i m} i n f S (t) \leq \underset{t \to \infty}{l i m} s u p S (t) \leq M_{1},

m_{2} \leq \underset{t \to \infty}{l i m} i n f I (t) \leq \underset{t \to \infty}{l i m} s u p I (t) \leq M_{2} 。

则式（2）是持久的。

注3 存在 $M > 0$ ，使得式（2）的任意解 $(S (t), I (t))$ 满足初始条件式（3），当 $t$ 足够大时，有 $S (t) \leq M, I (t) \leq M$ 。

定理6 当 $R_{0} > 1$ 时，若式（2）的任意解 $(S (t), I (t))$ 满足初始条件式（3）和 $I (0) > 0$ ，则式（2）是持久的。

证明由式（2）知，当 $t$ 足够大时，有

\frac{d S}{d t} \geq Λ - (1 - α) β_{1} S \frac{Λ}{μ} - α β_{2} S \frac{Λ}{μ} - μ S

，

进而可得

\underset{t \to \infty}{l i m} i n f S (t) \geq \frac{Λ}{[(1 - α) β_{1} + α β_{2}] \frac{Λ}{μ} + μ}

。

令 $m_{1} = \frac{Λ}{[(1 - α) β_{1} + α β_{2}] \frac{Λ}{μ} + μ}$ ，

现证明 $\underset{t \to \infty}{l i m} i n f I (t) \geq m_{2}$ 。

定义

X = C ([- τ, 0], R_{+}^{2})

，

X_{0} = {(φ_{1}, φ_{2}) \in X |φ_{2} (0) > 0}

，

\partial X_{0} = X \ X_{0} = {(φ_{1}, φ_{2}) \in X |φ_{2} (0) = 0}

。

记 $Φ (t) : X \to X, t \geq 0$ 为由式（2）生成的解半流，则只需证明 $Φ (t)$ 关于 $(X_{0}, \partial X_{0})$ 一致持续。

首先， $X$ 是式（2）的正向不变集。当 $I (0) > 0$ 时，由式（2）的第2式，可得 $I^{'} (t) \geq - (η + r_{1} + ζ_{1} + μ) I (t)$ ，进而对任意的 $t \geq 0$ ，有 $I (t) > 0$ 。因此 $X_{0}$ 也是 $Φ (t)$ 的正向不变集。

此外，由注 $3$ 知，存在紧致集，使得式（2）的所有解在 $X$ 中都封闭。定义

M_{\partial} = {φ \in X | Φ (t) φ \in \partial X_{0}, t \geq 0}

，

对 $\forall φ \in M_{\partial}$ ，易证 $I (t, φ) \equiv 0$ 。令

Ω = ⋃

{ω (φ) | φ \in M_{\partial}}

，

其中， $ω (φ)$ 为 $Φ (t) φ$ 的 $ω$ -极限集。将式（2）限制在 $M_{\partial}$ ，可得 $\frac{d S}{d t} = Λ - μ S$ ，显然在 $M_{\partial}$ 上只有一个平衡点 $E_{0}$ 。因此 $Ω = {E^{0}}$ 且 $E^{0}$ 是孤立和非环的（因为在 $M_{\partial}$ 上不存在将 $E^{0}$ 与自身相连的解）。

最后，证明 $E^{0}$ 关于 $X_{0}$ 是弱排斥的，即

\underset{t \to \infty}{l i m} s u p d i s t (Φ (t) φ, E^{0}) > 0, φ \in X_{0} ，

（13）

其中， $d i s t (\cdot, \cdot)$ 为函数空间 $X$ 的距离函数，

d i s t (x, y) = \underset{t \in [- τ, 0]}{m a x} | x (t) - y (t) |, x, y \in X

，

$| \cdot |$ 为 $R^{2}$ 中的欧氏距离。 $Φ (t) φ = (S_{t} (φ),$ $I_{t} (φ))$ 为当初始值为 $φ \in X_{0}$ 时式（2）的解。显然式（13）蕴含

W^{s} (E^{0}) ⋂ X_{0} = \emptyset,

（14）

其中， $W^{s} (E^{0})$ 为 $E^{0}$ 的稳定集。假设式（13）不成立，则存在 $φ \in X_{0}$ ，使得式（2）过初始函数 $φ$ 的解 $(S (t, φ), I (t, φ))$ 满足：当 $t \to \infty$ 时， $S (t) \to \frac{Λ}{μ}$ ， $I (t) \to 0$ 。当 $R_{0} > 1$ 时，选取足够小的 $ε > 0$ ，满足

\begin{array}{l} (1 - α) β_{1} (\frac{Λ}{μ} - ε) + α [1 - m (I)] β_{2} (\frac{Λ}{μ} - ε) - \\ (η + ζ_{1} + r_{1} + μ) > 0 。 \end{array}

对于 $ε$ ，存在 $t_{1} > 0$ ，使得当 $t \geq t_{1}$ 时，有

\frac{Λ}{μ} - ε < S (t) < \frac{Λ}{μ} + ε

，

0 < I (t) < ε

。

则对任意的 $t \geq t_{1}$ ，有

\frac{d I}{d t} \geq \{(1 - α) β_{1} (\frac{Λ}{μ} - ε) + α [1 - m (I)] \times β_{2} (\frac{Λ}{μ} - ε) - (η + ζ_{1} + r_{1} + μ)\} I (t) 。

进而可得

I (t) \geq I (t_{1}) (t - t_{1}) e x p \{(1 - α) β_{1} (\frac{Λ}{μ} - ε) + α [1 - m (I)] β_{2} (\frac{Λ}{μ} - ε) - (η + ζ_{1} + r_{1} + μ)\} 。

于是当 $t \to \infty$ 时， $I (t) \to \infty$ ，矛盾。所以式（13）成立。

定义连续函数 $p (φ) = φ_{2} (0), φ \in X$ 。显然 $p^{- 1} (0, \infty) \subset X_{0}$ ，且 $p$ 是关于半流 $Φ (t)$ 的广义距离函数。由文献［30］中的定理3知，上述推导蕴含存在 $m_{2} > 0$ ，使得

\underset{t \to \infty}{l i m} i n f p (Φ (t) φ) \geq m_{2}, φ \in X_{0},

故疾病是持久的。

定理6证毕！

5　数值模拟

为研究时迟和媒体报道对式（2）的影响，进行了数值模拟。由文献［31］，取函数 $f (I) = \frac{I}{δ + I}$ （ $δ$ 为媒体报道下易感者对疾病信息认识的偏差程度），对式（2）进行数值模拟。

取初始值 $(S, I) = (1.5,0.5)$ ， $θ \in [- τ, 0]$ ，参数 $Λ = 0.4$ ， $α = 0.1$ ， $β_{1} = 0.5$ ， $β_{2} = 0.9$ ， $β_{0} = 0.45$ ， $β_{00} = 0.85$ ， $δ = 0.075$ ， $μ = 0.2$ ， $η = 0.000 3$ ， $r_{1} = 0.1$ ， $ξ_{1} = 0.000 2$ ， $σ = 200$ ，计算得到基本再生数 $R_{0} = 3.594 0 > 1$ ，地方病平衡点 $E^{*} = (1.683 0,0.210 8)$ ，取 $k = 0$ ，经计算可得， $ω_{0} = 0.161 1$ ， $τ_{0} = 11.696 0$ 。因此当取 $τ = 10.5 < τ_{0}$ 时，地方病平衡点 $E^{*}$ 局部渐近稳定（图2和图3），且 $p_{1}^{2} - 4 p_{2} = 0.003 6$ ，满足式（11）条件（i）或（ii），与定理5一致。随着 $τ$ 的增大，当取 $τ = 12.5 > τ_{0}$ 时，观察到系统在地方病平衡点 $E^{*}$ 附近出现了分支周期解，如图4和图5所示。

图2

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图2 当 $τ = 10.5$ 时地方病平衡点 $E^{*} = (1.683 0,0.210 8)$ 局部渐近稳定

Fig.2 The endemic equilibrium $E^{*} = (1.683 0,0.210 8)$ is locally asymptotically stable when $τ = 10.5$

图3

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图3 当 $τ = 10.5$ 时 $E^{*}$ 局部渐近稳定的相位图

Fig.3 Phase diagram of local asymptotically stable $E^{*}$ when $τ = 10.5$

图4

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图4 当 $τ = 12.5$ 时式（2）出现分支周期解

Fig.4 The branching periodic solution of system （2） appears when $τ = 12.5$

图5

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图5 当 $τ = 12.5$ 时 $E^{*}$ 的相位图

Fig.5 Phase diagram of $E^{*}$ when $τ = 12.5$

为更清楚地观察 $τ$ 变化对式（2）的影响，绘制了易感者和感染者关于 $τ$ 的分支图（图6）。由图6可知，起初正平衡点是稳定的，当 $τ$ 大于临界值 $τ_{0}$ 时，出现了周期解，这与定理5一致，说明时滞导致地方病平衡点失稳，产生周期性振荡。

图6

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图6 式（2）中易感者和感染者相对于 $τ$ 的分支图

Fig.6 Branching diagram of susceptible $τ$ and infected persons relative to in system （2）

为研究媒体报道对系统的影响，固定 $τ = 20$ ，绘制以 $δ$ 为分支参数的分支情况（图7）。由图7可知，当 $δ$ 增大时，式（2）从周期性振荡逐渐向平衡点靠近；系统越靠近平衡点， $δ$ 越大，媒体未对传染病信息及时报道，感染者数量随 $δ$ 的增大而增多，由于总人数不变，易感者人数随 $δ$ 的增大而减少。

图7

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图7 式（2）中易感者和感染者相对于 $δ$ 的分支图

Fig.7 Branching diagram of susceptible $δ$ and infected persons relative to in system （2）

同时， $β_{0}$ 和 $β_{00}$ 表示媒体影响可达到的对有效接触率的最大抵消作用，反映媒体报道对有效接触率的影响。固定 $τ = 20$ ，绘制以 $β_{0}$ 和 $β_{00}$ 为参数的分支图，如图8所示。

图8

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图8 式（2）中易感者和感染者相对于 $β_{0}$ 和 $β_{00}$ 的分支图

Fig.8 Branching diagram of susceptible and infected persons relative to $β_{0}$ and $β_{00}$ in system （2）

由图8可知，当 $β_{0}$ 和 $β_{00}$ 增大时，式（2）由平衡状态转为周期性振荡。当系统趋于平衡状态时，随着 $β_{0}$ 和 $β_{00}$ 的增大，媒体影响因子对有效接触率的抵消作用增强，有效接触率变小，使易感者不易接触感染者，感染者数量减少。由于总人数不变，易感者数量随 $β_{0}$ 和 $β_{00}$ 的增大而增多。固定 $τ = 10.5$ ，研究媒体影响因子 $β_{0}$ ， $β_{00}$ ， $δ$ 以及追踪隔离影响因子 $σ$ 的变化对感染者数量的影响，如图9~图12所示。

图9

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图9 参数 $β_{0}$ 对 $I (t)$ 的影响

Fig.9 The influence of parameter $β_{0}$ on $I (t)$

图10

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图10 参数 $β_{00}$ 对 $I (t)$ 的影响

Fig.10 The influence of parameter $β_{00}$ on $I (t)$

图11

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图11 参数 $δ$ 对 $I (t)$ 的影响

Fig.11 The influence of parameter $δ$ on $I (t)$

图12

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图12 参数 $σ$ 对 $I (t)$ 的影响

Fig.12 The influence of parameter $σ$ on $I (t)$

由图9和图10可知，媒体报道可大大削弱疾病的传播。由图11知， $δ$ 越小感染者数量越少，说明媒体通过对传染病信息的广泛报道可减少疾病的传播，从而减少感染数量。由图12知， $σ$ 越小感染者数量越少，说明通过提高媒体报道中相关信息的准确率，可提高感染者的追踪隔离率，从而减少感染者数量，有效控制疾病的爆发。

6　结论

为研究因媒体报道的延迟所产生的时滞对疾病发展的影响，建立了一类具有媒体效应且存在追踪隔离的SIQR时滞模型，研究了式（2）各个平衡点的存在性和稳定性，讨论了Hopf分支的存在条件。数值模拟显示，当 $τ$ 较小时，地方病平衡点局部渐近稳定，随着时滞 $τ$ 的增大，式（2）出现分支周期解，与定理5一致；随着 $τ$ 的增大，模型变得不稳定，出现周期性振荡，而固定 $τ$ 、减小 $β_{0}$ 和 $β_{00}$ 、增大 $δ$ ，会使感染者数量增加。此外，对影响因子 $β_{0}$ ， $β_{00}$ ， $δ$ 和 $σ$ 进行了敏感性分析，得到采取媒体报道和追踪隔离措施可有效控制传染病的蔓延。

若对人群进行更细致的划分，模型将能更真实地反映疾病在现实复杂社会网络中的传播情况。后续工作可考虑建立复杂网络中的传染病模型。另外，媒体报道对疾病控制的影响很大，可考虑将媒体报道的信息量作为独立仓室，更严谨细致地研究媒体报道与感染者的关系，这将是很有意义的。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.02.004

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Impact of household quarantine on SARS-Cov-2 infection in mainland China： A mean-field modelling approach

［J］. Mathematical Biosciences and Engineering， 2020， 17（5）： 4500-4512. doi:10.3934/mbe.2020248

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MUBAYI

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， MARTCHEVA

A cost-based comparison of quarantine strategies for new emerging diseases

［J］. Mathematical Biosciences and Engineering， 2017， 7（3）： 687-717.

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， NAKADA

， YAMAGUCHI

， et al.

When should we intervene to control the 2009 influenza A（H1N1） pandemic

［J］. Eurosurveillance： Europe′s Journal on Infectious Disease Surveillance，Epidemiology，Prevention and Control， 2010， 15（1）：9-12. doi:10.2807/ese.15.01.19455-en

[本文引用: 1]

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王霞，唐三一，陈勇，等.

新型冠状病毒肺炎疫情下武汉及周边地区何时复工？数据驱动的网络模型分析

［J］. 中国科学：数学，2020，50（7）： 969-978. doi:10.1360/ssm-2020-0037

[本文引用: 1]

WANG

， TANG

S Y

， CHEN

， et al.

When will be the resumption of work in Wuhan and its surrounding areas during COVID-19 epidemic？ A data-driven network modeling analysis

［J］. Scientia Sinica： Mathematica， 2020， 50（7）： 969-978. doi:10.1360/ssm-2020-0037

[本文引用: 1]

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， et al.

Global dynamics of COVID-19 epidemic model with recessive infection and isolation

［J］. Mathematical Biosciences and Engineering， 2021， 18（2）： 1833-1844. doi:10.3934/mbe.2021095

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黄森忠，彭志行，靳祯.

新型冠状病毒肺炎疫情控制策略研究：效率评估及建议

［J］. 中国科学：数学，2020，50（6）： 885-898. doi:10.1360/ssm-2020-0043

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， PENG

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Studies of the strategies for controlling the COVID-19 epidemic in China： Estimation of control efficacy and suggestions for policy makers

［J］. Scientia Sinica： Mathematica， 2020， 50（6）： 885-898. doi:10.1360/ssm-2020-0043

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Current trends and future prediction of novel coronavirus disease （COVID-19） epidemic in China： A dynamical modeling analysis

［J］.Mathematical Biosciences and Engineering， 2020， 17（4）： 3052-3061. doi:10.3934/mbe.2020173

[本文引用: 1]

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具一般非线性隔离函数和接触率的染病年龄SIRS模型平衡点的存在性及稳定性

［J］. 高校应用数学学报， 2011， 26（1）： 46-54.

[本文引用: 1]

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Existence and stability of equilibria for an infection-age dependent SIRS epidemic model with general nonlinear contact rate and screening function

［J］. Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities， 2011， 26（1）： 46-54.

[本文引用: 1]

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On a nonautonomous SEIRS model in epidemiology

［J］.Bulletin of Mathematical Biology， 2007， 69（8）： 2537-2559. doi:10.1007/s11538-007-9231-z

[本文引用: 1]

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Basic reproduction ratios for periodic compartmental models with time delay

［J］. Journal of Dynamics and Differential Equations， 2017， 29： 67-82. doi:10.1007/s10884-015-9425-2

[本文引用: 1]

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The asymptotic behavior of a nonautonomous eco-epidemic model with disease in the prey

［J］. Applied Mathematical Modelling， 2011， 35（1）： 457-470. doi:10.1016/j.apm.2010.07.010

[本文引用: 1]

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Robust persistence for semidynamical systems

［J］. Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications， 2001， 47（9）：6169-6179. doi:10.1016/s0362-546x(01)00678-2

[本文引用: 1]

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白娟，贾建文.

具有媒体报道影响的SIRS模型分析

［J］. 应用数学，2018，31（1）： 135-140.

[本文引用: 1]

BAI

， JIA

J W

Analysis of an SIRS model with the impact of media

［J］. Mathematica Applicata， 2018， 31（1）： 135-140.

[本文引用: 1]

2019

... 传染病严重威胁人类的生命健康，给人类带来了重大灾难.1347—1352年鼠疫在欧洲流行，致使2 500多万人死于非命，死亡人数为当时欧洲人口的近1/3^［1］.1988—2020年，全球至少出现了30种突发性传染病，如2003年的SARS、2009年的甲型H1N1、2013年的H7N9、2014年的登革热和埃博拉病毒（Ebola virus）、2019年的COVID-19.截至2022年1月19日，全球220多个国家和地区累计因COVID-19死亡超过550万，并仍在持续扩散.可见对传染病的防控一直是卫生防疫部门关注的重点之一. ...

2019

一类受媒体报道影响的SEIS传染病模型的定性分析

2018

... 研究发现，影响疾病传播的因素很多，如环境卫生状况、人口密度、媒体报道、疫苗接种、人口迁移、气候变化等.在信息化时代，大众媒体与传染病的传播和控制之间存在复杂而密切的关系.每当一种疾病暴发时，有关这种疾病的病例数和死亡人数等信息通过大众媒体、电视、报纸、网络等方式告知公众.据观察，这些信息会令个人行为发生变化，引导人们通过采取各种措施，如戴口罩、使用消毒液、保持社交距离等保护自己，从而减少传染病的传播和蔓延.近年来，学者们从不同角度建立了具有媒体报道的传染病模型^［2-6］，其中，最基本的具有媒体报道的SIR模型为 ...

一类受媒体报道影响的SEIS传染病模型的定性分析

2018

一类考虑媒体报道影响的传染病模型分析

2018

一类考虑媒体报道影响的传染病模型分析

2018

一类受媒体影响的传染病模型的研究

2013

一类受媒体影响的传染病模型的研究

2013

Dynamics of tuberculosis with fast and slow progression and media coverage

2019

Studying on the impact of media coverage on the spread of COVID-19 in Hubei province， China

2020

The impact of media on the control of infectious diseases

2008

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

，LIU等^［9］认为媒体函数不仅取决于感染人数，也取决于其变化率^［10-12］.这些模型均间接地通过媒体报道量反映个体行为改变对传染病的影响.YAN等^［13］主要用统计模型方法，直观刻画了媒体报道对个体行为的影响，并将其与传染病动力学模型耦合.随后根据COVID-19的特点建立了SEIR类型的传染病模型^［14］，用戴口罩比例函数

e^{- k p (t)}

作为媒体函数嵌入感染强度，以刻画个体行为改变对COVID-19疫情的影响.考虑媒体报道量随疫情和时间不断变化，因此将其视为变量，使得到的数学模型与现实情形更接近.近年来，研究者发现媒体报道存在时间滞后现象，因此将时滞引入具有媒体报道的传染病动力学模型，研究结果不仅呈现了更加复杂的动力学现象，而且扩展了时滞微分方程的应用范围^［15-17］. ...

The effect of constant and pulse vaccination on SIS epidemic models incorporation media coverage

2008

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

e^{- k p (t)}

Media/psychological impact on multiple outbreaks of emerging infectious diseases

2007

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

e^{- k p (t)}

Dynamics of an infectious disease where media coverage influences transmission

2012

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

e^{- k p (t)}

Dynamic of an infectious diseases with media psycholology induced non-smooth incidence

2013

Media impact switching surface during an infectious disease outbreak

2015

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

e^{- k p (t)}

Media coverage and hospital notifications： Correlation analysis and optimal media impact duration to manage a pandemic

2016

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

e^{- k p (t)}

Impact of media reports on the early spread of COVID-19 epidemic

2020

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

e^{- k p (t)}

具有媒体饱和效应影响的时滞SIS模型研究

2017

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

e^{- k p (t)}

具有媒体饱和效应影响的时滞SIS模型研究

2017

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

e^{- k p (t)}

Role of media coverage and delay in controlling infectious diseases： A mathematical model

2018

Dynamics of vaccination in a time-delayed epidemic model with awareness

2017

... 其中，

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- α_{1} E - α_{2} I - α_{3} H}

为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率.CUI等^［7］取

f (S (t), I (t), M (t)) = β e^{- m I}

，LI等^［8］取

f (S (t),

I (t), M (t)) =

β_{1} - β_{2} f (I)

e^{- k p (t)}

Modelling and analysis of HFMD with the effects of vaccination， contaminated environments and quarantine in mainland China

2019

... 随着媒体的持续报道，公众及政府对传染病的发病周期和传染率等越来越重视.当传染病暴发时，国家卫健委迅速预判并采取严格的管控措施，对患病群体进行隔离，以控制传染源，防止传染病蔓延扩散.通过限制患病群体的活动范围，避免病毒通过患者的分泌物、排泄物、污染物及周围环境中的病原体等媒介传染给正常群体.历史上隔离措施已被广泛用于鼠疫、霍乱、麻疹、破伤风、狂犬病等人类传染病和猪瘟等动物传染病的控制，近年也用于手足口病、SARS、禽流感等疾病的控制^［18-21］，特别是此次新冠肺炎疫情暴发，隔离措施得以进一步完善，政府及时采取了精准的追踪隔离措施，有效控制了传染病的传播^［22-25］.上述研究表明，对大多数传染病而言，追踪隔离是不可忽略的一项因素. ...

Impact of household quarantine on SARS-Cov-2 infection in mainland China： A mean-field modelling approach

2020

A cost-based comparison of quarantine strategies for new emerging diseases

2017

When should we intervene to control the 2009 influenza A（H1N1） pandemic

2010

新型冠状病毒肺炎疫情下武汉及周边地区何时复工？数据驱动的网络模型分析

2020

新型冠状病毒肺炎疫情下武汉及周边地区何时复工？数据驱动的网络模型分析

2020

Global dynamics of COVID-19 epidemic model with recessive infection and isolation

2021

新型冠状病毒肺炎疫情控制策略研究：效率评估及建议

2020

新型冠状病毒肺炎疫情控制策略研究：效率评估及建议

2020

Current trends and future prediction of novel coronavirus disease （COVID-19） epidemic in China： A dynamical modeling analysis

2020

具一般非线性隔离函数和接触率的染病年龄SIRS模型平衡点的存在性及稳定性

2011

... 其中，

Λ

表示人口的常数输入，

α

表示去过病毒污染场所的易感者的比例，

μ

表示自然死亡率，

η

表示感染者的检测率，

r_{1}

，

r_{2}

分别表示感染者和隔离者的恢复率，

ζ_{1}

，

ζ_{2}

分别表示感染者和隔离者的因病死亡率，

τ

表示媒体报道所产生的时滞.据文献［26］，去过病毒污染场所的易感者的追踪隔离率函数为

m (I) = \frac{I}{σ + I}

，其中

σ > 0

表示媒体报道的被追踪隔离者的相关信息的准确率，准确率越高，

σ

越小；

ρ_{1} (I) = β_{1} - β_{0} f (I)

，

ρ_{2} (I) = β_{2} - β_{00} f (I)

，其中

β_{1}

，

β_{2}

分别表示易感者与感染者的最大有效接触率，

β_{0} ， β_{00}

表示媒体报道对疾病传播的最大削减作用，

f (I)

表示媒体报道对传染率饱和函数的影响，满足： ...

具一般非线性隔离函数和接触率的染病年龄SIRS模型平衡点的存在性及稳定性

2011

... 其中，

Λ

表示人口的常数输入，

α

表示去过病毒污染场所的易感者的比例，

μ

表示自然死亡率，

η

表示感染者的检测率，

r_{1}

，

r_{2}

分别表示感染者和隔离者的恢复率，

ζ_{1}

，

ζ_{2}

分别表示感染者和隔离者的因病死亡率，

τ

表示媒体报道所产生的时滞.据文献［26］，去过病毒污染场所的易感者的追踪隔离率函数为

m (I) = \frac{I}{σ + I}

，其中

σ > 0

表示媒体报道的被追踪隔离者的相关信息的准确率，准确率越高，

σ

越小；

ρ_{1} (I) = β_{1} - β_{0} f (I)

，

ρ_{2} (I) = β_{2} - β_{00} f (I)

，其中

β_{1}

，

β_{2}

分别表示易感者与感染者的最大有效接触率，

β_{0} ， β_{00}

表示媒体报道对疾病传播的最大削减作用，

f (I)

表示媒体报道对传染率饱和函数的影响，满足： ...

On a nonautonomous SEIRS model in epidemiology

2007

...

φ = （ φ_{1}, φ_{2} ）^{T} \in C

，其中

C

表示全体从

[- τ, 0]

映射到

R_{+}^{2}

的函数组成的巴拿赫空间

C ([- τ, 0], R_{+}^{2})

.设

(S (t), I (t))

为式（2）满足初值条件式（3）的解，显然对任意的

t \geq 0

，有

S (t) \geq 0

，

I (t) \geq 0

.令

N_{1} (t) = S (t) + I (t)

，由文献［27］，知式（2）的解具有非负性，并将式（2）的2个方程相加，得到 ...

Basic reproduction ratios for periodic compartmental models with time delay

2017

... 式（2）总存在疾病消亡的无病平衡点

E^{0} = (S^{0}, 0)

，其中

S^{0} = \frac{Λ}{μ}

，由文献［28］时滞传染病模型基本再生数的定义方法，经计算可得式（2）的基本再生数 ...

The asymptotic behavior of a nonautonomous eco-epidemic model with disease in the prey

2011

... 定义1^［29］若存在正数

m_{i}

和

M_{i}

(i = 1,2)

，式（3）满足 ...

Robust persistence for semidynamical systems

2001

... 定义连续函数

p (φ) = φ_{2} (0), φ \in X

.显然

p^{- 1} (0, \infty) \subset X_{0}

，且

p

是关于半流

Φ (t)

的广义距离函数.由文献［30］中的定理3知，上述推导蕴含存在

m_{2} > 0

，使得 ...

具有媒体报道影响的SIRS模型分析

2018

... 为研究时迟和媒体报道对式（2）的影响，进行了数值模拟.由文献［31］，取函数

f (I) = \frac{I}{δ + I}

（

δ

为媒体报道下易感者对疾病信息认识的偏差程度），对式（2）进行数值模拟. ...

具有媒体报道影响的SIRS模型分析

2018

... 为研究时迟和媒体报道对式（2）的影响，进行了数值模拟.由文献［31］，取函数

f (I) = \frac{I}{δ + I}

（

δ

为媒体报道下易感者对疾病信息认识的偏差程度），对式（2）进行数值模拟. ...

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