区传递Steiner <inline-formula><math xmlns:mml=

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.03.002

浙江大学学报（理学版）

2024, Vol. 51

Issue (3): 265-272 DOI: 10.3785/j.issn.1008-9497.2024.03.002

数学与计算机科学

区传递Steiner

t

-设计与散在单群

庞璇,詹小秦(

)

华东交通大学理学院，江西南昌 330013

Block-transitive Steiner

t

-designs and sporadic simple groups

Xuan PANG,Xiaoqin ZHAN(

)

School of Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China

全文: PDF(487 KB)

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摘要：

研究具有某种高度对称性的 $t$ -设计及其自同构群的分类问题是代数组合学的重要课题之一。目前关于旗传递Steiner $t$ -设计的分类问题已被Huber解决。然而当设计的自同构群的旗传递性减弱为区传递时，研究结果更加丰富，工作也更加困难。利用有限单群分类定理及2-传递置换群的分类结果，解决了自同构群为散在单群的区传递Steiner $t$ -设计的分类问题，并证明了：设 $D = (P, E)$ 为非平凡Steiner $t$ -设计且 $G ≤ A u t (D)$ 为点本原群，若 $G$ 的基柱 $S o c (G)$ 为散在单群，则 $G$ 区传递作用在 $D$ 上当且仅当 $G$ 旗传递作用在 $D$ 上，且 $D$ 为已知的5种旗传递Steiner $t$ -设计之一。

关键词：

t

-设计')" href="#">Steiner

t

-设计; 区传递; 点本原; 散在单群

Abstract:

The study of $t$ -designs with certain highly symmetric properties and the classification of their automorphism groups is one of the important topics of algebraic combinatorics. Hitherto the classification of flag-transitive Steiner $t$ -designs has been completely settled by Huber. Nevertheless, it is interesting that the results of $t$ -designs will get richer when $G$ -flag-transitivity are weakened to $G$ -block-transitivity and the research work becomes more challenging as well. Depending on the classification of finite simple groups and 2-transitive permutation groups, we show the classification of block-transitive Steiner $t$ -designs admitting a block-transitive automorphism group with sporadic socle, and draw a conclusion as follows: Let $D = (P, E)$ be a non-trivial Steiner $t$ -design and $G ≤ A u t (D)$ be point-primitive. If the socle of $G$ is a sporadic simple group, then $G$ acts block-transitively on $D$ if and only if $G$ acts flag-transitively on $D$ , and $D$ is one of the five known flag-transitive Steiner $t$ -designs.

Key words:

t

-designs')" href="#">Steiner

t

-designs block-transitive point-primitive sporadic simple group

收稿日期: 2022-07-29 出版日期: 2024-05-07

CLC:

O 152.1

基金资助: 国家自然科学基金资助项目(12361004);江西省自然科学基金资助项目(20224BAB211005)

通讯作者: 詹小秦 E-mail: zhanxiaoqinshuai@126.com

作者简介: 庞璇（1999—），ORCID： https：//orcid.org/0000-0003-2500-9741，女，硕士，主要从事置换群与组合设计研究.

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引用本文:

庞璇,詹小秦. 区传递Steiner $t$ -设计与散在单群[J]. 浙江大学学报（理学版）, 2024, 51(3): 265-272.

Xuan PANG,Xiaoqin ZHAN. Block-transitive Steiner $t$ -designs and sporadic simple groups. Journal of Zhejiang University (Science Edition), 2024, 51(3): 265-272.

链接本文:

https://www.zjujournals.com/sci/CN/10.3785/j.issn.1008-9497.2024.03.002 或 https://www.zjujournals.com/sci/CN/Y2024/V51/I3/265

情形	$G$	$G α$	参数 $(v, b, r, k)$	是否为设计	参考
1	$M 22$	$L 3 (4)$	（22， 385， 70， 4）	否	引理5
2			（22， 77， 21， 6）	是（ $D 1$ ）	引理8
3			（22， 44， 14， 7）	否	引理5
4	$M 22$ ：2	$L 3 (4)$ ：2₂	（22， 385， 70， 4）	否	引理5
5			（22， 77， 21， 6）	是（ $D 2 (= D 1)$ ）	引理8
6			（22， 44， 14， 7）	否	引理6

表1 可能存在的3-(v,k,1)设计及自同构群

情形	$G$	$G α$	$(v, b, r, k)$	是否为设计	参考
1	$M 11$	$M 10 = A 6 . 23$	（11，66，30，5）	是（ $D 3$ ）	引理10
2			（11，22，12，6）	否	引理9
3	$M 23$	$M 22$	（23，1771，385，5）	否	引理9
4			（23，253，77，7）	是（ $D 4$ ）	引理10

表2 可能存在的4-(v,k,1)设计及自同构群

情形	$G$	$G α$	$(v, b, r, k)$	是否为设计	参考
1	$M 11$	$L 2 (11)$	（12，132，66，6）	否	引理11
2	$M 12$	$M 11$	（12，132，666）	是（ $D 5$ ）	引理12
3		$M 11$	（12，132，66，6）	是（ $D 6 (? D 5)$ ）	引理12
4	$M 24$	$M 23$	（24，7 084，1 771，6）	否	引理11
5			（24，759，253，8）	是（ $D 7$ ）	引理12

表3 可能存在的5-(v,k,1)设计及自同构群

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