航空装备作为国防安全和民用航空运输的核心载体，其可靠性直接关系到飞行安全、任务执行效率及全寿命周期维护成本。目前，航空装备可靠性分析与设计主要以平均故障间隔时间（mean time between failures, MTBF）作为可靠性指标，假设故障是随机发生的、不可避免的和可接受的^[1]，但这会导致较多的非计划维修，降低了航空装备的可用性，造成航班延误等问题。同时，由于非计划维修成本通常比计划维修成本高，这也会对航空经济造成负面影响^[2]。为此，美国学者提出了无维修工作期（maintenance-free operating period, MFOP）概念^[3]。MFOP是指装备能够完成规定任务且不需要任何维修活动的时间。MFOP之后有一个维修恢复期（maintenance recovery period, MRP），即产品的停工期。在此期间，通过适当的计划性维修使系统完全恢复至可使用状态，以使其能够顺利完成下一个MFOP的工作。通常采用MFOP生存概率（MFOP survivability, MFOPS）来度量产品能够在MFOP规定时长内正常工作的概率，以此来计算MRP的时长。在制订基于MFOP的维修计划时，需要将所有的维修活动都安排在MRP内，即将之前的非计划维修改为计划维修，以降低维修费用和使用成本，为航空装备计划性维修提供参考，从而有效提升装备自身及其任务执行的可靠性。目前，F-22战斗机已采用MFOP设计，相较于MTBF设计，任务成功率提升了23%，维修成本降低了30%^[4-5]。

目前，国内外学者已开展了大量MFOP可靠性理论与工程应用的研究。在理论方面，Kumar等^[6]首次构建了MFOP理论框架，通过交替更新理论与任务可靠性方法推导了MFOPS，证明了MFOPS相较于MTBF更适用于非指数分布场景，并结合威布尔分布量化了组件老化对MFOPS的影响。Todinov^[7]针对有限时间间隔内随机故障平均数量较少的情况，假定随机事件遵循威布尔分布与泊松分布，推导相关方程来分析随机故障间隔，用于确定有限时间间隔内多个故障发生前的MFOPS。Chew等^[8]假定组件失效服从指数分布，采用MFOP对分阶段任务场景进行可靠性建模，考虑了组件故障率之间相互影响和任务放弃率等因素，并使用蒙特卡罗法（Monte Carlo method, MCM）进行了验证。在工程应用方面，Fritzsche^[9]将动态故障率引入航空备件库存模型，采用正态分布、威布尔分布、指数分布来模拟不同的组件失效节点，并基于MFOP可靠性指标构建单项、多枢纽库存策略，通过学习效应迭代优化故障率，最终使总体维护成本降低了1%。Ren等^[10]假定结构失效服从威布尔分布，从系统和部件的固有可靠性、冗余系统、可重构系统、预测和诊断五个方面建立了以MFOP为维护指标的飞机性能模型。曹国震^[11]构建了线性加权的指数分布失效模型，将MFOP应用于计算机可靠性分析，并通过应力加速试验和MCM验证了改进的MFOP设计方法。Xu等^[12]提出了基于MFOP的进化维护策略，结合威布尔分布动态调整维护间隔，实现了系统状态老化与维护成本的平衡优化，验证了MFOP在维护策略迭代更新中的指导价值。龙江^[13]和孙华荣等^[14]基于MFOP分析了由多个部件组成的串联系统的可靠性，分析中考虑了服从两参数威布尔分布的寿命参数。

上述针对MFOP可靠性的研究中，不确定因素的表征主要采用概率方式。但对于复杂的航空装备，由于测量技术的局限性，部分不确定因素很难获得充足的样本信息来构建准确的概率分布，而基于理想设定的概率分布得到的可靠性结果偏差较大。此外，现有的MFOP可靠性分析与设计假设不确定因素均服从独立分布。而影响航空装备可靠性的不确定因素往往存在相关性，例如航空装备的材料性能与运行环境温度、空气湿度、含沙量之间的相关性^[15]，以及装备着陆时的入水速度与波浪高度之间的相关性^[16]等，忽略不确定因素相关性的影响会导致可靠性计算结果不准确。

为此，本文提出了一种考虑概率-区间混合不确定因素及其相关性的航空装备MFOP可靠性分析方法。针对样本信息充足的不确定因素，采用概率变量描述；针对样本信息较少的不确定因素，采用区间变量描述。其中，对于概率变量的相关性，采用皮尔逊相关系数表征；对于区间变量的相关性，利用平行六面体模型表征。在此基础上，借助Cholesky分解与双层MCM，将混合相关变量的嵌套优化问题转化为双层采样过程，生成混合样本并搜索极值，进而统计目标量的分布区间。最后，利用极限状态函数进行失效分析，并计算MFOP区间。通过包含4个不确定参量的解析算例和包含6个不确定参量的航空装备水上降落气囊缓冲系统工程算例，验证所提出方法的有效性。本研究旨在为航空装备的MFOP可靠性分析与设计提供参考。

针对样本信息充足的不确定因素，采用概率变量表征。记概率变量为X，对应的概率密度函数表示为fX(x)，累积分布函数（cumulative distribution function, CDF）表示为FX(x)（表示随机变量X的取值小于x时的概率），其中fX(x)=dFX(x)/dx。为方便构建概率变量之间的相关性，本文只针对呈现单峰分布的随机变量进行研究。借助Box-Cox变换^[17]将概率变量转化为正态分布形式，进而获取相应的均值μ和方差σ2。

常见的概率表征如下：

1）正态分布。

式中：x为随机变量X在实数域内的任意取值，R为实数集。

2）对数正态分布。

在航空装备可靠性分析中，诸多不确定因素通过大量实验数据拟合分布，可用常见的概率分布来描述。其中：正态分布适用于描述零件加工尺寸误差、普通金属材料抗拉强度等受多个微小随机因素影响且无明显偏倚的不确定参量；对数正态分布适用于描述材料疲劳寿命、土壤重金属浓度等非负且易出现极端值的不确定参量。

针对难以精确测量或因数据不足而无法统计出准确概率分布的不确定因素，采用区间变量表征。记区间变量为Y，区间的中心值Y^c和半径Y^r可表示为：

式中：Y_U、Y_L分别为区间的上界和下界。

在航空装备领域，如环境温度、工作压力、油液空气含量、焊接残余应力和腐蚀速率等参数，因测量误差和样本数量的限制，其真实值通常难以精准获取。在这种情况下，可用区间来表示这些参数的取值范围。

以某型飞机水上降落气囊缓冲系统为例，其常见的不确定参量及表征方法如表1所示。

在航空装备系统的混合不确定性分析中，各类不确定因素并非孤立存在，若忽略其内在的相关性，则将导致可靠性评估结果偏离实际情况。因此，构建能够准确表征不确定因素间相关性的模型，是开展高置信度可靠性分析的必要前提。鉴于概率不确定性与区间不确定性在表征上的差异，本研究假设概率变量与区间变量相互独立，仅考虑概率变量与概率变量、区间变量与区间变量之间的相关性，以降低建模复杂性。

1）概率变量相关性模型。

在限定随机变量服从正态分布的基础上，采用皮尔逊相关系数来表征概率变量之间的线性相关性。具体地，对于m维概率变量向量X=(X1,X2,⋯,Xm)T，假设存在s₁组样本，可表示为：

首先，计算两两概率变量之间的皮尔逊相关系数ρXiXj：

式中：X_i 、X_j 分别为第i个和第j个概率变量，μ_i 、μ_j 分别为概率变量X_i 和X_j 的均值。

则m个概率变量的相关系数矩阵 ρ_X 可表示为：

2）区间变量相关性模型。

区间变量的相关性决定了不确定性域的形状。若忽略区间变量的相关性，而采用简单的矩形域（即假设区间变量独立），则会放大不确定性传播的累积效应，导致区间扩张，失去工程指导意义。因此，引入非概率凸模型来表征区间变量的相关性。其中，平行六面体模型常被用于描述区间变量的相关不确定性，可同时处理相关不确定性和独立不确定性，其数学模型可表示为：

其中：

式中： Y 为n维区间变量向量； Y^c为n维区间变量的中心值向量；e为元素均为1的n维向量；Yac、Yar分别为区间变量Y_a (a =1, 2, …, n)的中心值和半径； K 为控制矩阵，决定了六面体凸集的形状和大小；w_a 为区间变量Y_a 对应的相关性修正系数； R_Y 为n个区间变量的相关系数矩阵；r_ab 为两两区间变量的相关系数。

为简化上述问题，将平行六面体Ωp映射到二维空间，得到平行四边形Ωpab，用于描述区间变量Y_a 与Y_b 间的相关不确定性，其中边向量用u和v表示，则Y_a 与Y_b 的相关系数r_ab 可定义为：

式中：θ为平行四边形边向量的夹角。

由式(8)可知，有无数个平行四边形包络所有样本点，其中面积最小的平行四边形被认为是最好的。可通过画出包含s₂组区间变量样本Y(l) (l=1, 2, …, s₂)的最小平行四边形Ωpabmin来求解u和v。平行四边形的面积由边向量u和v的叉积决定。理论上，面积最小的平行四边形可通过求解以下优化问题得到：

式中：u₁、u₂为边向量 u 的x轴、y轴分量，v₁、v₂为边向量 v 的x轴、y轴分量，t1(l)、t2(l)为区间变量样本Y(l)在平行四边形内的线性组合系数。

作为平行六面体模型的补充，非概率凸模型理论中的椭球模型也可用于描述区间变量的相关不确定性。椭球模型能够更光滑且紧凑地包络相关区间变量的联合不确定性域，适用于描述区间变量间存在非线性耦合或强相关性的情形，其数学模型可表示为^[18]：

式中： G 为椭球特征矩阵，为对称正定矩阵，反映了椭球不确定性域的大小和形状，可参考文献[18]计算得到。在二维情况下，椭球模型退化为一个椭圆模型。

在实际应用中，选择平行六面体模型还是椭球模型，需根据具体问题中不确定参量的相关特性、数据分布形态及计算复杂性来决定。

设系统目标量C由m+n+p个基础变量决定。其中，m为概率变量个数，概率变量向量X=(X1,X2,⋯,Xm)T，已知各概率密度函数fXi(xi)；n为区间变量个数，区间变量向量Y=(Y1,Y2,⋯,Yn)T，已知上界向量 Y_U、下界向量 Y_L、中心值向量 Y^c、半径向量 Y^r；p为确定性变量个数，确定性变量向量Z=(Z1,Z2,⋯,Zp)T。依据具体问题的实际情况，构建目标量C的不确定性模型，表示为C=C(X,Y,Z)，其中C(⋅)表示系统性能函数。由于模型中存在区间变量，目标量C的不确定性响应不再由唯一的CDF描述，而是由CDF的下界FCL和上界FCU所包络，即C∈[FCL,FCU]。

本文采用双层MCM实现概率-区间混合不确定性的传播。通过外层循环生成概率变量的相关样本，通过内层循环搜索区间变量的极值组合，再经联合抽样与统计分析得到目标量C的不确定性分布。具体而言，外层基于Cholesky分解生成满足概率变量相关性的样本后，针对每组固定的概率变量样本，内层通过平行六面体模型确定区间变量的可行域，并先进行极值搜索，再进行统计分析，最终得到目标量C的概率密度范围。

概率变量具有明确的概率分布（如正态分布、对数正态分布），但皮尔逊相关系数在非正态分布下不具备不变性，因此需要采用标准变换并进行相关性解耦，将概率变量转换为独立空间变量。首先，将具有相关性的概率变量映射到标准正态空间：

式中：Φ-1(⋅)为标准正态分布的逆CDF，FXi(xi)为原始概率变量的CDF。

对于服从正态分布的概率变量（称为正态变量），其标准化变换为线性变换，故原始变量的皮尔逊相关系数变换后保持不变：ρX¯=ρX。通过Cholesky分解将相关系数矩阵分解为下三角矩阵 L ：

则相关标准正态变量可表示为：

式中：Ui(i=1,2,⋯,m)为独立的标准正态变量。

区间变量的取值范围由上、下界确定。为描述区间变量间的相关性，本文先将所有区间变量标准化至单位区间，再通过平行六面体模型生成相关区间变量样本。

将区间变量 Y =(Y₁, Y₂, …, Y_n )按Ya-Yac/Yar映射到单位空间[-1,1]n，并结合控制矩阵 K，将其转换为独立的标准区间变量，即：

其中：

式中：Y¯a(a=1,2,⋯,n)为独立的标准区间变量。

在外层循环中，生成满足概率变量相关性的样本集{X(1),X(2),…,X(k),…,X(NX)}，以表征随机不确定性。首先，生成NX组独立的标准正态样本U(k)=(U1(k),U2(k),⋯,Um(k))T,k=1,2,…,NX，并通过线性变换将独立样本转换为相关样本：

随后，通过逆变换映射回原始概率空间，得到原始的相关概率变量样本：

在内层循环中，针对每组概率变量样本X(k)，生成相关区间变量样本集{Y(1),Y(2),…,Y(l),…,Y(NY)}，并搜索最不利与最有利极值。首先，在单位空间中生成NY组独立的标准区间变量样本Y¯(l)∈[-1,1]n；随后，通过逆变换映射回原始区间空间，得到原始的相关区间变量样本：

将样本代入系统不确定性模型C=C(X,Y,Z)，得到目标量样本C(k,l)并搜索对应的极值：

式中：Cmin(k)、Cmax(k)分别为第k个外层概率变量样本对应的目标量的最小值和最大值，C(k,l)为第k个概率变量样本和第l个区间变量样本组合下的目标量。

在外层循环中，统计所有的Cmin(k)和Cmax(k)，得到目标量C的概率分布区间，即不确定性模型。因受区间变量极值的影响，目标量C的CDF表现为由下界和上界包络的分布区间，即C∈[FCL,FCU]。其中，下界分布FCL为Cmin(k)的概率分布，上界分布FCU为Cmax(k)的概率分布。随后，基于目标量C的概率分布区间，开展可靠性评估。

在航空装备可靠性评估领域，MTBF和MFOP的侧重点不同：MTBF侧重于装备在长时间运行过程中的平均故障间隔，并未充分考虑飞行任务的特殊性及其不确定因素；而MFOP充分考虑了飞行任务的特征，例如飞行环境和飞行强度等因素对装备可靠性的影响。在高负荷和恶劣环境下飞行时，航空装备的失效概率会显著增大，从而导致MFOP缩短。

将MFOP定义为系统可靠度不低于目标可靠度阈值时所对应的最长运行时间TMFOP（单位为年），其数学表达式如下：

式中：R(t)为根据系统失效时间分布建立的可靠度函数，表示装备在运行时间t内无故障执行任务的概率；R0为目标可靠度阈值，通常取R0>0.9。

若失效时间服从指数分布，则可靠度函数可表示为：

式中：λ为分布参数，按实际情况而定。

通过反解，可得：

若失效时间服从威布尔分布，则可靠度函数可表示为：

式中：η为尺度参数，β为形状参数，两者均按实际情况确定。

通过反解，可得：

由于存在区间变量，MFOP的求解结果不是单一确定值，而是一个区间，可表示为：

式中：TMFOPL为MFOP的下界，TMFOPU为MFOP的上界。

可靠度R(t)与失效概率Pf(t)存在如下关系：

故MFOP可表示为：

对于指数分布情况，根据式(21)和式(25)进行反解，可得：

当失效概率由区间[PfL,PfU]表示时，结合式(27)，可得基于指数型可靠度函数的MFOP区间：

对于威布尔分布情况，根据式(23)和式(27)，可得：

综上，可通过失效概率区间[PfL,PfU]和可靠度函数R(t)求解得到MFOP区间。对于失效概率区间[PfL,PfU]，可通过基于目标量C的不确定性模型建立极限状态函数进行求解。具体地，分别统计Cmin(k)和Cmax(k)超过失效阈值的样本比例，由此得到失效概率的下界和上界。

对于概率-区间混合不确定性系统，极限状态函数表示为gX,Y,Z，用于判定系统是否处于失效状态，其具体形式如下：

式中：C₀为目标量C的阈值，为常数。

当g(⋅)<0（即目标量C超过阈值C₀）时，系统处于失效状态。

为了将考虑概率-区间混合不确定性的MFOP可靠性分析方法应用于航空装备的实际维护计划制定，本节系统阐述其工程应用流程，核心环节如图1所示，旨在为工程技术人员提供一个清晰、可操作的工作指南。

考虑概率-区间混合不确定性的航空装备MFOP维护计划制定流程的具体步骤如下。

步骤1　首先，明确待分析航空装备的系统边界、功能结构和失效判据；随后，全面收集与系统可靠性相关的各类参量数据，包括历史故障数据、加速试验数据、仿真数据、环境监测数据以及专家判断信息等。

步骤2　对步骤1中收集的数据进行梳理与评估，根据样本信息的完备性，利用式(1)至式(3)对不确定因素进行分类与表征。

步骤3　基于步骤1中收集的数据，利用式(4)至式(10)，量化不同类型不确定因素之间的相关性，建立对应的相关性模型并进行验证。

步骤4　采用本文所提出的双层MCM，将步骤2中的不确定因素表征结果和步骤3中的相关性模型代入系统性能函数，进行混合不确定性传播分析，以获得系统的失效概率区间。

步骤5　基于步骤4得到的失效概率区间，结合所推导的MFOP与失效概率之间的关系，求解航空装备在给定可靠度要求下的MFOP区间。该区间为航空装备维护计划的制定提供了科学的决策空间：

1）保守策略：以MFOP区间的下界作为维修间隔，可最大限度保障飞行安全。

2）经济策略：在MFOP区间内，结合运维成本、任务规划等因素，确定最优维修间隔。

3）动态调整：随着航空装备服役过程中新数据的积累，可更新输入参数，并重新进行混合不确定性传播和MFOP区间求解，从而实现对维护计划的动态优化。

为初步验证本文方法的有效性，构造具有明确解析形式的极限状态函数进行数值验证。该算例包含2个概率变量和2个区间变量，且同类型变量具有相关性，如式(31)所示：

式中：X₁、X₂为概率变量，Y₁、Y₂为区间变量，其具体的分布参数和分布类型如表2所示。

对于概率/区间变量间的相关性，通过设定合适的相关系数来验证相关性的影响，参考文献[19]设定相关系数：ρX1X2=0.5，r12=0.4（边向量夹角为66.42°，由已知的100个区间变量样本点计算得出）。在此基础上，计算概率变量和区间变量样本点的分布情况，如图2所示。图2(a)中2个概率变量的样本点分布呈椭圆状，说明其相关性与样本点的分布形状有关。图2(b)所示为基于平行六面体模型的区间变量样本点在二维空间中的分布，样本点分布在平行四边形内，说明区间变量的相关性可通过平行四边形区域的方向、边长和夹角进行表征。

利用双层MCM进行混合不确定性分析，设NX=10⁵，NY=10⁴，计算得到目标量C的最大值和最小值分布，如图3所示。从图3中可以看出，目标量C的最大值和最小值均服从单峰分布，仅有少量样本超过阈值，这表明在多数情况下，目标量C处于阈值以内，仅少数情况会接近或超过阈值，符合目标量具有高可靠性的实际情况。根据图3，通过极限状态函数计算得到失效概率区间，为[0.089, 0.188]。

为验证概率/区间变量的相关性对失效概率的影响，分别假设只有概率变量间存在相关性和只有区间变量间存在相关性，并通过改变相关性的强弱计算对应的失效概率，分别如图4和图5所示。从图4中可以看出，在不同程度的概率变量相关性下，计算得到的失效概率不同，整体变化趋势为：概率变量的相关性越强，失效概率上界越大，失效概率下界越小。由此说明，失效概率的上下界对概率变量的相关性强度较为敏感，尤其是失效概率下界。从图5中可以看出，在不同程度的区间变量相关性下，计算得到的失效概率也不同，整体变化趋势为：随着区间变量相关性的增强，失效概率的上、下界均有所增大，但区间宽度基本保持不变，说明失效概率的上下界对区间变量相关性较为敏感。

根据计算得到的失效概率区间，求解MFOP。对于可靠度函数Rt，选取指数分布类型，取分布参数λ=0.2。为验证各类型变量的相关性对MFOP的影响，同样分别假设只有概率变量间存在相关性和只有区间变量间存在相关性，计算得到对应的MFOP，分别如图6和图7所示。从图6中可以看出，在不同程度的概率变量相关性下，计算得到的MFOP不同，其整体变化趋势基本与图4一致。进一步分析可知，概率变量的强相关性使得系统失效概率的下界急剧减小，导致MFOP下界显著减小。这表明，若忽略概率变量间的相关性，则可能会高估系统的MFOP。从图7中可以看出，在不同程度的区间变量相关性下，计算得到的MFOP也存在差异，整体变化趋势基本与图5一致。进一步分析可知，区间变量的相关性通过改变其可行域的几何形状影响失效概率的上下界，导致MFOP的上下界波动，从而影响装备维修决策。

同理，基于服从威布尔分布的可靠度函数（尺度参数η=50，形状参数β=0.5），计算解析算例的MFOP，如图8和图9所示。由图8可知，该条件下MFOP随概率变量间相关系数的变化趋势与可靠度函数服从指数分布时基本一致，但MFOP区间宽度的变化幅度相对较小。由图9可知，该条件下MFOP随区间变量间相关系数的变化趋势与可靠度函数服从指数分布时的差异较大，且MFOP区间宽度的变化幅度更明显。结果表明，在威布尔分布型可靠度函数下，MFOP对区间变量的相关性更为敏感。

为验证不确定因素表征方式和相关性建模方式对失效概率及MFOP结果的影响，对本文方法、纯概率法、独立变量法和椭球模型法的计算结果进行比较，如表3所示。从表3中可得出，纯概率法的计算结果是一个“伪精确”点，而本文方法计算得到的失效概率及MFOP区间能更好地反映因数据量不足而导致的不确定性。在实际工程决策中，明确风险的边界比单一值更有价值。对比本文方法与独立变量法，可知忽略变量相关性会使可靠性区间显著扩大，导致维修策略过于保守，造成资源浪费。本文方法通过考虑不确定因素间的相关性，缩小了失效概率及MFOP的预测区间，提升了维护决策的合理性。在二维情况下，平行六面体模型法与椭球模型法的计算结果接近，证明了本文所提出方法的有效性。

为验证本文方法在实际工程应用中的有效性，选取图10所示的航空装备水上降落气囊缓冲系统^[20]作为工程算例进行分析。缓冲气囊模型如图11所示。气囊的展开时间对缓冲系统的可靠性具有显著影响：若展开时间过长，则装备着陆时产生的冲击能量将无法及时被吸收；若展开时间过短，则气囊可能会因充气不足而导致缓冲功能失效。基于此，将气囊的展开时间作为本算例中极限状态函数的目标量C。

气囊的展开时间与气囊材料抗拉强度、充气速率、环境温度、气囊工作压力、气囊设计体积以及展开机构几何参数等不确定参量有关。针对气囊的展开时间，构建以下极限状态函数：

式中：κ为修正系数，X_r 为气囊材料抗拉强度，X_v 为充气速率，Y_T 为环境温度，Y_P 为气囊工作压力，Z_V 为气囊设计体积，Z_L 为展开机构几何参数。

气囊缓冲系统中各不确定参量的分布参数和分布类型如表4所示，其中常见的不确定参量之间的相关性如表5所示。

基于具体实验数据，利用1.3节中的方法计算各不确定参量间的相关系数。为了验证考虑相关性的重要性，假定ρX1X2=0.7，r12=0.4（边向量夹角为66.42°）^[19]，输出的概率变量（材料抗拉强度、充气速率）和区间变量（环境温度、工作压力）的样本点分布如图12所示。由图12(a)可以看出，椭圆形状相比于图2(a)略宽，说明概率变量的相关性强度会影响样本分布的形状。由图12(b)可以看出，平行四边形区域与图2(b)基本一致，说明平行六面体模型在二维情况下能够有效表征区间变量的相关性。

通过双层MCM进行混合不确定性分析，设NX=10⁵，NY=10⁴，计算得到气囊展开时间的最大值和最小值分布，如图13所示。从图13中可以看出，气囊展开时间的最大值和最小值均呈单峰分布，且中间值的频率最高，并向两侧逐渐降低，说明气囊展开时间的最小值、最大值在多数情况下集中在中间区间，极端值出现频率较低，这与概率变量主导下的单峰分布特征一致。通过极限状态函数计算得到气囊的失效概率为[0.029 7, 0.115 2]。

为验证各类型变量的相关性对气囊失效概率的影响，分别假设只有概率变量间存在相关性和只有区间变量间存在相关性，改变相关性的强弱并计算对应的气囊失效概率，分别如图14和图15所示。从图14中可以看出，当概率变量的相关系数从0.1均匀增大至0.9时，气囊失效概率上界和下界的变化幅度较大，但失效概率的区间宽度基本保持不变，说明失效概率上、下界对概率变量相关性的强度很敏感。从图15中可以看出，当区间变量的相关系数从0.1均匀增大至0.9时，失效概率的上界减小了0.098，失效概率的下界增大了0.030，失效概率区间宽度缩小了0.128，说明区间变量相关性对气囊失效概率具有显著影响。

根据气囊失效概率区间，求解对应的MFOP。选取服从指数分布的可靠度函数Rt，取分布参数λ=0.2。为验证各类型变量的相关性对气囊MFOP的影响，同样分别假设只有概率变量间存在相关性和只有区间变量间存在相关性，计算不同情况下的气囊MFOP，结果如图16和图17所示。

从图16中可以看出，气囊MFOP的上下界随概率变量相关性的变化趋势基本与图14一致，且MFOP对概率变量相关性敏感。这一结果揭示了在复杂系统中，概率变量相关性对系统可靠性的影响并非均为线性关系，必须通过详细分析才能获取其内在的变化规律。从图17中可以看出，在不同程度的区间变量相关性下，计算得到的气囊MFOP不同，其整体变化趋势基本与图15一致。进一步分析可知，相较于独立变量假设，考虑区间变量相关性的平行六面体模型能够剔除部分不符合相关关系的变量组合，从而收窄失效概率及MFOP区间。

在工程算例中，本文方法、纯概率法、独立变量法、椭球模型法的计算结果对比如表6所示。由表6可知，考虑概率/区间变量相关性后，本文方法可在保留不确定性的同时避免独立变量法中的区间过度扩张问题；本文方法与椭球模型法的计算结果接近，说明区间变量相关性的建模结果具有一致性。

1）针对样本信息充足的不确定因素，采用概率变量描述；针对缺少样本信息的不确定因素，采用区间变量描述。将概率-区间混合不确定性融入MFOP可靠性分析框架，并推导失效概率与MFOP的关系，得到MFOP区间范围，从而为航空装备维护计划的制定提供参考。相较于传统的单纯基于概率理论的MFOP可靠性分析方法，这种综合考虑多源不确定性的方法更能反映实际情况，有效提升了航空装备维护计划的科学性和有效性。

2）针对概率变量相关性和区间变量相关性，分别采用皮尔逊相关系数和平行六面体模型来表征。结合Cholesky分解与双层MCM，实现考虑相关性的混合不确定性传播分析，得到了MFOP区间范围。结果显示，概率/区间变量相关性的强度会影响MFOP的计算结果，不同类型变量的相关性对MFOP计算结果的影响不同。因此，考虑相关性的混合可靠性分析是必要的。本文所提出的方法可为考虑变量相关性的MFOP可靠性评估提供参考。

3）通过与传统纯概率法、独立变量法和椭球模型法对比，验证了本文方法的有效性和优越性。结果表明：纯概率法会忽略因数据稀缺而引起的不确定性，导致决策风险增加；忽略变量相关性会扩大可靠性指标的边界范围，导致维护策略过于保守；本文所提出的结合双层MCM和平行六面体模型的方法，能够在保证计算可行性的前提下获得更合理的可靠性指标区间，可为航空装备的维修决策提供具有指导意义的理论依据。

4）本文仅考虑了概率变量间的线性相关性，后续可在此基础上深入研究非线性相关性及多类型不确定参量耦合等复杂问题。此外，本文未考虑概率变量与区间变量之间的相关性，关于概率-区间相关性影响的研究仍有待深入。

本文链接：https：//www.zjujournals.com/gcsjxb/CN/10.3785/j.issn.1006-754X.2026.05.203