考虑质量分布的雨蚀叶片横向振动分析与自抗扰解耦控制

doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.210

考虑质量分布的雨蚀叶片横向振动分析与自抗扰解耦控制

方春龙^,¹, 王梦君², 周鹤¹, 李松梅^,^,¹

1.青岛科技大学机电工程学院，山东青岛 266061

2.山东万通液压股份有限公司，山东日照 262399

Transverse vibration analysis and active disturbance rejection decoupling control of rain erosion blades considering mass distribution

FANG Chunlong^,¹, WANG Mengjun², ZHOU He¹, LI Songmei^,^,¹

1.College of Electromechanical Engineering, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao 266061, China

2.Shandong Wantong Hydraulic Co. , Ltd. , Rizhao 262399, China

通讯作者: 李松梅（1986—），女，山东青岛人，副教授，硕士生导师，博士，从事机器人结构学、机械设计和计算机辅助设计等研究，E-mail: lisongmei1025@163.com，https://orcid.org/0000-0002-9804-2625

收稿日期: 2023-10-23 修回日期: 2023-12-18

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 51972186
山东省自然科学基金资助项目. ZR2020ME114

Received: 2023-10-23 Revised: 2023-12-18

作者简介 About authors

方春龙（1999—），男，山东济宁人，硕士生，从事机械传动设计与方法研究，E-mail:fang_chun_long@163.com , E-mail：fang_chun_long@163.com

摘要

为提升高速耐雨蚀测试装置运行的稳定性与安全性，以其转子-雨蚀叶片系统为研究对象，开展雨蚀叶片的横向振动特性分析。首先，综合考虑雨蚀叶片振动、旋叶连接盘质量偏心及转子不平衡磁拉力的影响，建立转子-雨蚀叶片系统的四自由度横向振动模型。然后，基于Lagrange方程建立转子-雨蚀叶片系统的运动微分方程，并利用Runge-Kutta算法对方程进行数值求解，以观察转子及雨蚀叶片的轴心轨迹与振幅的分布规律。考虑到转子与雨蚀叶片的非线性强耦合关系，采用自抗扰解耦控制方法来抑制雨蚀叶片的横向振动，其中扩张状态观测器的参数采用极点配置和带宽进行调节。最后，通过搭建实验平台来分析采用自抗扰解耦控制前后雨蚀叶片的振动特性，并与数值分析结果进行对比。结果表明，在采用自抗扰解耦控制前转子-雨蚀叶片系统存在振动超标现象，而采用自抗扰解耦控制后雨蚀叶片的横向振动得到了有效抑制，验证了该控制方法的可行性和有效性。研究结果可为后续高速耐雨蚀测试装置的结构优化提供理论参考。

关键词： 转子-雨蚀叶片系统 ; 横向振动 ; 数值分析 ; 自抗扰 ; 解耦控制

Abstract

In order to improve the stability and safety of the high-speed rain erosion resistance test device, the transverse vibration characteristics of rain erosion blades were analyzed with the rotor-rain erosion blade system as the research object. Firstly, a four-degree-of-freedom transverse vibration model of rotor-rain erosion blade system was established considering the effects of rain erosion blade vibration, mass eccentricity of rotary-blade connecting disc and unbalanced magnetic pull force of rotor. Then, the motion differential equation of rotor-rain erosion blade system was established based on Lagrange equation, and the Runge-Kutta algorithm was used to solve the equation numerically, in order to observe the distribution law of axis trajectory and vibration amplitude of rotor and rain erosion blade. Considering the nonlinear strong coupling relationship between rotor and rain erosion blade, an active disturbance rejection decoupling control method was adopted to suppress the transverse vibration of rain erosion blade, and the parameters of the extended state observer were adjusted by pole assignment and bandwidth. Finally, an experimental platform was set up to analyze the vibration characteristics of the rain erosion blade before and after adopting active disturbance rejection decoupling control, and the results were compared with the numerical analysis results. The results showed that the vibration of rotor-rain erosion blade system exceeded the standard before the active disturbance rejection decoupling control was adopted, but the transverse vibration of rain erosion blade could be effectively suppressed after the active disturbance rejection decoupling control was adopted, which verified the feasibility and effectiveness of the control method. The research results can provide theoretical reference for the structural optimization of high-speed rain erosion resistance test device.

Keywords： rotor-rain erosion blade system ; transverse vibration ; numerical analysis ; active disturbance rejection ; decoupling control

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本文引用格式

方春龙, 王梦君, 周鹤, 李松梅. 考虑质量分布的雨蚀叶片横向振动分析与自抗扰解耦控制[J]. 工程设计学报, 2024, 31(4): 428-437 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.210

FANG Chunlong, WANG Mengjun, ZHOU He, LI Songmei. Transverse vibration analysis and active disturbance rejection decoupling control of rain erosion blades considering mass distribution[J]. Chinese Journal of Engineering Design, 2024, 31(4): 428-437 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.210

本文链接：https://www.zjujournals.com/gcsjxb/CN/10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.210

高速耐雨蚀测试装置可用于在实验室环境下模拟飞机在飞行过程中的雨蚀状况，从而实现对其表面涂层耐雨蚀性能的综合评估。根据耐雨蚀试验标准，当测试装置达到最大工作角速度（350 rad/s）时，雨蚀叶片的横向振幅不能超过2×10^-4 m，这是因为振幅过大会影响测试装置的稳定性和安全性。然而，在测试装置的实际工作过程中，由于旋叶连接盘质量偏心以及转子不平衡磁拉力等因素的存在，转子-雨蚀叶片系统会产生横向振动。

目前，国内外很多学者针对转子和叶片的振动问题，从多个方面展开了广泛研究。例如：杨铮鑫等^[1]、吴锦涛等^[2]、Bhamu等^[3]、吴志渊等^[4]基于有限元分析法分别建立了叶片-轮盘结构、某火箭发动机部分进气涡轮盘、汽轮机开裂叶片、转轴-轮盘-裂纹叶片耦合系统的有限元模型，并研究了各系统的振动响应特性。李书进等^[5]、代元军等^[6]、周子宣等^[7]、潘宏刚等^[8]、沈国际等^[9]、裘孙洋等^[10]研究了结构参数对风力发电机叶片、风轮、叶盘系统振动特性的影响，如叶片的扭转角、半径比、裂纹数量及包角角度等。徐涛等^[11]、姜华等^[12]、Abbas等^[13]、周震霆等^[14]、白叶飞等^[15]分析了外部激励对涡轮叶片、旋风机叶片、压气机叶片振动响应的影响规律。白杨溪等^[16]、刘一雄等^[17]、魏建宝等^[18]通过建立动力学模型分析了采煤机摇臂、风扇叶盘、万向联轴器的振动特性。为了降低振动对系统运行的影响，学者们通过采用不同的控制方法来抑制振动。常新宇等^[19]、Hashemi等^[20]、Pustina等^[21]分别利用动力吸振器、包含压电陶瓷作动器的主动控制系统和新型多层控制方法来抑制转子-叶片系统、风力机叶片的振动。上述研究可为转子、叶片的振动分析提供理论参考，但目前仍缺乏针对高速耐雨蚀测试装置中转子-雨蚀叶片系统振动分析与控制的研究。

为此，本文针对高速耐雨蚀测试装置运行过程中存在的横向振动问题，考虑雨蚀叶片振动、旋叶连接盘质量偏心及转子不平衡磁拉力的影响，对转子-雨蚀叶片系统的振动特性进行理论分析。同时，为了降低雨蚀叶片在运行过程中的振幅，采用自抗扰解耦控制方法，并基于极点配置和带宽对扩张状态观测器的参数进行调节。最后，对采用自抗扰解耦控制前、后雨蚀叶片的振动特性进行实验研究，并与数值分析结果进行对比，以验证所采用控制方法的可行性与有效性。

1 转子-雨蚀叶片系统动力学模型的建立

1.1　转子-雨蚀叶片系统的振动模型

转子-雨蚀叶片系统是高速耐雨蚀测试装置中的主要运行系统。该系统主要包括雨蚀叶片、旋叶连接盘、转子、深沟球轴承Ⅰ和深沟球轴承Ⅱ等零部件。基于集中质量法，构建转子-雨蚀叶片系统的振动模型，如图1所示。其中：坐标系O₁-X₁Y₁的原点位于转子形心处，坐标系O₂-X₂Y₂的原点位于旋叶连接盘形心处。考虑到雨蚀叶片振动、旋叶连接盘质量偏心及转子不平衡磁拉力等外部激励对转子-雨蚀叶片系统振动特性的影响较为复杂，仅考虑系统的横向振动。

图1

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图1 转子-雨蚀叶片系统振动模型

Fig.1 Vibration model of rotor-rain erosion blade system

1.2　转子-雨蚀叶片系统的动力学方程

转子-雨蚀叶片系统的总动能T包含转子动能T₁、旋叶连接盘动能T₂和雨蚀叶片动能T₃，即 $T = T_{1} + T_{2} + T_{3}$ 。由于高速耐雨蚀测试装置加工过程中存在制造误差，转子和旋叶连接盘存在质量偏心，则转子动能T₁、旋叶连接盘动能T₂的计算式如下：

\{\begin{array}{l} T_{1} = \frac{1}{2} m_{1} ({\dot{x}}_{c 1}^{2} + {\dot{y}}_{c 1}^{2}) + \frac{1}{2} (J_{1} + m_{1} e_{1}^{2}) {\dot{φ}}_{1}^{2} \\ T_{2} = \frac{1}{2} m_{2} ({\dot{x}}_{c 2}^{2} + {\dot{y}}_{c 2}^{2}) + \frac{1}{2} (J_{2} + m_{2} e_{2}^{2}) {\dot{φ}}_{2}^{2} \end{array}

(1)

式中：m₁、m₂分别为转子、旋叶连接盘的质量；(x_c1, y_c1)、(x_c2, y_c2)分别为转子、旋叶连接盘的质心坐标；J₁、J₂分别为转子、旋叶连接盘过形心的转动惯量；e₁、e₂分别为转子、旋叶连接盘的偏心距；φ₁、φ₂分别为转子、旋叶连接盘的转角，且 $φ_{1} = φ_{2} = ω t$ ，其中ω为角速度。

转子、旋叶连接盘的质心坐标可表示为：

\{\begin{array}{l} x_{c 1} = x_{1} + e_{1} c o s φ_{1}, y_{c 1} = y_{1} + e_{1} s i n φ_{1} \\ x_{c 2} = x_{2} + e_{2} c o s φ_{2}, y_{c 2} = y_{2} + e_{2} s i n φ_{2} \end{array}

(2)

式中：(x₁, y₁)、(x₂, y₂)分别为转子、旋叶连接盘的形心坐标。

将式(2)代入式(1)，可得：

\{\begin{array}{l} \begin{array}{l} T_{1} = \frac{1}{2} m_{1} ({\dot{x}}_{1}^{2} + {\dot{y}}_{1}^{2} + e_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} + 2 e_{1} {\dot{φ}}_{1} {\dot{y}}_{1} c o s φ_{1} - \\ 2 e_{1} {\dot{φ}}_{1} {\dot{x}}_{1} s i n φ_{1}) + \frac{1}{2} (J_{1} + m_{1} e_{1}^{2}) {\dot{φ}}_{1}^{2} \end{array} \\ \begin{array}{l} T_{2} = \frac{1}{2} m_{2} ({\dot{x}}_{2}^{2} + {\dot{y}}_{2}^{2} + e_{2}^{2} {\dot{φ}}_{2}^{2} + 2 e_{2} {\dot{φ}}_{2} {\dot{y}}_{2} c o s φ_{2} - \\ 2 e_{2} {\dot{φ}}_{2} {\dot{x}}_{2} s i n φ_{2}) + \frac{1}{2} (J_{2} + m_{2} e_{2}^{2}) {\dot{φ}}_{2}^{2} \end{array} \end{array}

(3)

雨蚀叶片的动能T₃为n个雨蚀叶片的动能之和。令第i个雨蚀叶片的质心坐标(x_a_i, y_a_i )为：

\{\begin{matrix} x_{a i} = x_{2} + l_{i} c o s θ_{a i} \\ y_{a i} = y_{2} + l_{i} s i n θ_{a i} \end{matrix}

(4)

式中：l_i 为第i个雨蚀叶片的质心到旋叶连接盘形心的距离；θ_a_i 为第i个雨蚀叶片的角位移， $θ_{a i} = ω t + α_{a i}$ ， $α_{a i} = 2 π (i - 1) / n$ ，其中α_a_i 为第i个雨蚀叶片的位置。

第i个雨蚀叶片的动能T_a_i 可表示为：

\begin{array}{l} T_{a i} = \frac{1}{2} m_{a i} ({\dot{x}}_{2}^{2} + {\dot{y}}_{2}^{2} + l_{i}^{2} {\dot{θ}}_{a i}^{2} + 2 l_{i} {\dot{θ}}_{a i} {\dot{y}}_{2} c o s θ_{a i} - \\ 2 l_{i} {\dot{θ}}_{a i} {\dot{x}}_{2} s i n θ_{a i}) + \frac{1}{2} J_{a i} {\dot{θ}}_{a i}^{2} \end{array}

(5)

式中：m_a_i 为第i个雨蚀叶片的质量，J_a_i 为第i个雨蚀叶片的转动惯量。

假设各雨蚀叶片完全相同，即可令m_a_i =m_a1，则n个雨蚀叶片的动能T₃为：

\begin{array}{l} T_{3} = \sum_{i = 1}^{n} T_{a i} = [\frac{1}{2} m_{a 1} ({\dot{x}}_{2}^{2} + {\dot{y}}_{2}^{2} + l_{1}^{2} ω^{2}) + \frac{1}{2} J_{a 1} ω^{2}] n + \\ m_{a 1} l_{1} ω {\dot{y}}_{2} \sum_{i = 1}^{n} c o s θ_{a 1} - m_{a 1} l_{1} ω {\dot{x}}_{2} \sum_{i = 1}^{n} s i n θ_{a 1} \end{array}

(6)

联立式(3)和式(6)，可得转子-雨蚀叶片系统的总动能T：

\begin{array}{l} T = T_{1} + T_{2} + T_{3} = \frac{1}{2} m_{1} ({\dot{x}}_{1}^{2} + {\dot{y}}_{1}^{2} + e_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} + 2 e_{1} {\dot{φ}}_{1} {\dot{y}}_{1} c o s φ_{1} - \\ 2 e_{1} {\dot{φ}}_{1} {\dot{x}}_{1} s i n φ_{1}) + \frac{1}{2} (J_{1} + m_{1} e_{1}^{2}) {\dot{φ}}_{1}^{2} + \\ \frac{1}{2} m_{2} ({\dot{x}}_{2}^{2} + {\dot{y}}_{2}^{2} + e_{2}^{2} {\dot{φ}}_{2}^{2} + 2 e_{2} {\dot{φ}}_{2} {\dot{y}}_{2} c o s φ_{2} - 2 e_{2} {\dot{φ}}_{2} {\dot{x}}_{2} s i n φ_{2}) + \frac{1}{2} (J_{2} + m_{2} e_{2}^{2}) {\dot{φ}}_{2}^{2} + \\ [\frac{1}{2} m_{a 1} ({\dot{x}}_{2}^{2} + {\dot{y}}_{2}^{2} + l_{1}^{2} ω^{2}) + \frac{1}{2} J_{a 1} ω^{2}] n + \\ m_{a 1} l_{1} ω {\dot{y}}_{2} \sum_{i = 1}^{n} c o s θ_{a 1} - m_{a 1} l_{1} ω {\dot{x}}_{2} \sum_{i = 1}^{n} s i n θ_{a 1} \end{array}

(7)

为分析转子-雨蚀叶片系统的势能，建立其二维结构示意图，如图2所示。图中：A₁、A₂分别表示深沟球轴承Ⅰ、深沟球轴承Ⅱ的形心。

图2

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图2 转子-雨蚀叶片系统二维结构示意

Fig.2 Schematic of two-dimensional structure of rotor-rain erosion blade system

令A₁O₂=a，A₁O₁=b，A₂O₁=c，则可得电机传动轴在深沟球轴承Ⅰ、深沟球轴承Ⅱ处的径向位移r₃、r₄：

\{\begin{array}{l} r_{3} = \frac{a r_{1} + b r_{2}}{a + b} \\ r_{4} = \frac{(a + b + c) r_{1} - c r_{2}}{a + b} \end{array}

(8)

式中：r₁、r₂分别为转子、雨蚀叶片的横向位移，其中 $r_{1} = \sqrt[]{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ ， $r_{2} = \sqrt[]{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}$ 。

令A₁O₁=A₂O₁=A₁O₂/2，则式(8)可转化为：

\{\begin{matrix} r_{3} = \frac{2 r_{1} + r_{2}}{3} \\ r_{4} = \frac{4 r_{1} - r_{2}}{3} \end{matrix}

(9)

忽略转子-雨蚀叶片系统运行过程中重力势能的变化，同时假设深沟球轴承各向同性且雨蚀叶片为刚性结构，则该系统的势能E可表示为：

\begin{array}{l} E = \frac{1}{2} (k_{1} r_{3}^{2} + k_{2} r_{4}^{2}) = \\ \frac{1}{2} k_{1} {(\frac{2}{3} r_{1} + \frac{1}{3} r_{2})}^{2} + \frac{1}{2} k_{2} {(\frac{4}{3} r_{1} - \frac{1}{3} r_{2})}^{2} = \\ (\frac{2}{9} k_{1} + \frac{8}{9} k_{2}) (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) + (\frac{1}{18} k_{1} + \frac{1}{18} k_{2}) \\ (x_{2}^{2} + y_{2}^{2}) + (\frac{2}{9} k_{1} - \frac{4}{9} k_{2}) \sqrt[]{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \sqrt[]{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} \end{array}

(10)

式中：k₁、k₂分别为深沟球轴承Ⅰ，Ⅱ的刚度。

假设转子-雨蚀叶片系统在X、Y方向上存在阻尼，考虑到转子不平衡磁拉力的影响，该系统沿各方向的广义力Q可表示为：

\{\begin{array}{l} Q_{x 1} = - c_{1} {\dot{x}}_{1} + F_{x, u m p} \\ Q_{y 1} = - c_{1} {\dot{y}}_{1} + F_{y, u m p} \\ Q_{x 2} = - c_{2} {\dot{x}}_{2} \\ Q_{y 2} = - c_{2} {\dot{y}}_{2} \end{array}

(11)

式中：c₁、c₂分别为转子、旋叶连接盘的阻尼系数，F_x_{, ump}、F_y_{, ump}分别为转子在X、Y方向上的不平衡磁拉力。

将转子-雨蚀叶片系统的动能、势能、广义力代入Lagrange方程，可得到该系统的运动微分方程：

\{\begin{array}{l} m_{1} {\ddot{x}}_{1} + c_{1} {\dot{x}}_{1} + \frac{1}{9} [(4 k_{1} + 16 k_{2}) + (2 k_{1} - 4 k_{2}) \frac{\sqrt[]{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}{\sqrt[]{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}}] x_{1} = m_{1} e_{1} ω^{2} c o s ω t + F_{x, u m p} \\ m_{1} {\ddot{y}}_{1} + c_{1} {\dot{y}}_{1} + \frac{1}{9} [(4 k_{1} + 16 k_{2}) + (2 k_{1} - 4 k_{2}) \frac{\sqrt[]{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}{\sqrt[]{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}}] y_{1} = m_{1} e_{1} ω^{2} s i n ω t + F_{y, u m p} \\ (m_{2} + n m_{a 1}) {\ddot{x}}_{2} + c_{2} {\dot{x}}_{2} + \frac{1}{9} [(k_{1} + k_{2}) + (2 k_{1} - 4 k_{2}) \frac{\sqrt[]{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}}{\sqrt[]{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}] x_{2} = m_{2} e_{2} ω^{2} c o s ω t + m_{a 1} l_{1} ω {\dot{y}}_{2} \sum_{i = 1}^{n} c o s θ_{a 1} \\ (m_{2} + n m_{a 1}) {\ddot{y}}_{2} + c_{2} {\dot{y}}_{2} + \frac{1}{9} [(k_{1} + k_{2}) + (2 k_{1} - 4 k_{2}) \frac{\sqrt[]{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}}{\sqrt[]{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}] y_{2} = m_{2} e_{2} ω^{2} s i n ω t + m_{a 1} l_{1} ω {\dot{x}}_{2} \sum_{i = 1}^{n} s i n θ_{a 1} \end{array}

(12)

2 转子-雨蚀叶片系统振动特性数值分析

对转子-雨蚀叶片系统开展振动特性数值分析，该系统的参数如表1所示。

表1 转子-雨蚀叶片系统参数

Table 1 Parameters of rotor-rain erosion blade system

参数	单位	数值
转子质量m₁	kg	20
旋叶连接盘质量m₂	kg	20
雨蚀叶片质量m_a1	kg	10
雨蚀叶片质心到旋叶连接盘形心的距离l₁	m	0.6
转子偏心距e₁	m	1×10^-4
旋叶连接盘偏心距e₂	m	1×10^-3
转子阻尼系数c₁	N·s/m	2×10²
旋叶连接盘阻尼系数c₂	N·s/m	2×10²
深沟球轴承Ⅰ刚度k₁	N/m	1×10⁸
深沟球轴承Ⅱ刚度k₂	N/m	1×10⁸

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为研究转子-雨蚀叶片系统的振动特性，选取最小工作角速度（ω=150 rad/s）与最大工作角速度（ω=350 rad/s）两种工况，基于表1所示参数，利用四阶Runge-Kutta算法对转子-雨蚀叶片系统的运动微分方程进行数值求解，得到转子和雨蚀叶片的轴心轨迹、振动位移时域图和Poincaré截面^[18]，分别如图3和图4所示。

图3

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图3 ω=150 rad/s时转子和雨蚀叶片的轴心轨迹、振动位移时域图和Poincaré截面

Fig.3 Axis trajectory, vibration displacement time-domain map and Poincaré section of rotor and rain erosion blade with ω=150 rad/s

图4

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图4 ω=350 rad/s时转子和雨蚀叶片的轴心轨迹、振动位移时域图和Poincaré截面

Fig.4 Axis trajectory, vibration displacement time-domain map and Poincaré section of rotor and rain erosion blade with ω=350 rad/s

由图3(a)和图3(e)可知，当ω=150 rad/s时，转子的轴心轨迹近似为圆环形，转子在X方向上的最大振幅为1.04×10^-5 m，在Y方向上的最大振幅为1.04×10^-5 m；雨蚀叶片的轴心轨迹与转子相似，皆为圆环形，但两者的振幅有所不同，雨蚀叶片在X方向上的最大振幅为6.29×10^-5 m，在Y方向上的最大振幅为6.29×10^-5 m。由图4(a)和图4(e)可知，当ω=350 rad/s时，转子的轴心轨迹也近似为圆环形，转子在X方向上的最大振幅为1.66×10^-4 m，在Y方向上的最大振幅为1.67×10^-4 m；雨蚀叶片的轴心轨迹同样为圆环形，雨蚀叶片在X方向上的最大振幅为1.40×10^-3 m，在Y方向上的最大振幅为1.40×10^-3 m。由此可知，在最小工作角速度工况下，雨蚀叶片的振幅在耐雨蚀试验标准的允许范围内，即小于2×10^-4 m；在最大工作角速度工况下，雨蚀叶片的振幅达到1.40×10^-3 m，出现了振动超标现象。由图3和图4所示的转子和雨蚀叶片的振动位移时域图和Poincaré截面可知，旋叶连接盘质量偏心、转子不平衡磁拉力等因素对转子-雨蚀叶片系统的影响逐渐体现，初始阶段转子和雨蚀叶片的振幅较大且其变化无规律，此时系统略有失稳，但失稳阶段只持续了较短时间；待系统趋于稳定后，转子、雨蚀叶片的振幅呈周期性变化。由转子和雨蚀叶片的Poincaré截面可知，若不考虑系统初始阶段的失稳过渡过程，只考虑Poincaré截面的稳态响应情况，可发现Poincaré截面呈现为多个点集构成的曲线，表明转子-雨蚀叶片系统由混沌运动状态进入拟周期运动状态。

为降低雨蚀叶片的振幅，将振幅控制在耐雨蚀试验标准所要求的允许范围内，以减轻雨蚀叶片的疲劳破坏程度，本文采用自抗扰解耦控制方法来抑制雨蚀叶片的横向振动，从而提升高速耐雨蚀测试装置运行的安全性和稳定性。

3 雨蚀叶片横向振动的自抗扰解耦控制

3.1　自抗扰控制器的设计

转子-雨蚀叶片系统的自抗扰控制结构如图5所示。对于雨蚀叶片的X、Y方向振动位移及扰动，采用扩张状态观测器（extended state observer, ESO）进行实时估计，并根据ESO反馈值与跟踪微分器（tracking differentiator, TD）输出值之间的差值来设计控制律；同时，根据实时扰动的估计值进行补偿，以达到自抗扰目的^[22]。

图5

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图5 转子-雨蚀叶片系统的自抗扰控制结构

Fig.5 Active disturbance rejection control structure for rotor-rain erosion blade system

转子-雨蚀叶片非线性系统可表示为：

\{\begin{array}{l} {\dot{z}}_{1} = z_{2} \\ {\dot{z}}_{2} = f (z_{1}, z_{2}, t, w (t)) + b u \\ p = z_{1} \end{array}

(13)

式中：z₁、z₂为系统状态， $w (t)$ 为系统所受的内外总扰动^[22]，u为控制量，b为控制器增益，p为输出量。

为简化系统方程，选用新的状态变量z₃，即：

z_{3} = f (z_{1}, z_{2}, t, w (t))

(14)

令 ${\dot{z}}_{3} = ϖ (t)$ ，则式(13)所示的非线性系统可扩张成新的线性系统：

\{\begin{array}{l} {\dot{z}}_{1} = z_{2} \\ {\dot{z}}_{2} = z_{3} + b u \\ {\dot{z}}_{3} = ϖ (t) \\ p = z_{1} \end{array}

(15)

在线性情况下，ESO可设计为：

\{\begin{array}{l} g = χ_{1} - p \\ χ_{1} = χ_{1} + h (z_{2} - η_{1} g) \\ χ_{2} = χ_{2} + h (z_{3} - η_{2} g + b u) \\ χ_{3} = χ_{3} + h (- η_{3} g) \end{array}

(16)

式中：g为误差； $h$ 为采样步长；η₁、η₂、η₃为ESO的增益； $χ_{1}$ 、 $χ_{2}$ 、 $χ_{3}$ 为控制器的状态变量，其中χ₁跟随系统输出p，χ₂跟随输出p的微分，χ₃用于观测系统总扰动。

则ESO的输入p与输出 $χ_{1}$ 、 $χ_{2}$ 、 $χ_{3}$ 之间的传递关系可表示为：

\{\begin{array}{l} χ_{1} = ϑ_{1} (s) p = \frac{η_{1} s^{2} + η_{2} s + η_{3}}{s^{3} + η_{1} s^{2} + η_{2} s + η_{3}} p \\ χ_{2} = ϑ_{2} (s) p = \frac{η_{2} s^{2} + η_{3} s}{s^{3} + η_{1} s^{2} + η_{2} s + η_{3}} p \\ χ_{3} = ϑ_{3} (s) p = \frac{η_{3} s^{2}}{s^{3} + η_{1} s^{2} + η_{2} s + η_{3}} p \end{array}

(17)

式中： $ϑ_{1} (s)$ 、 $ϑ_{2} (s)$ 、 $ϑ_{3} (s)$ 为传递函数。

根据式(17)所示的传递函数，可将系统极点配置在ESO带宽频率处，进而可得 $[η_{1} η_{2} η_{3}] = [3 w_{o} 3 w_{o}^{2} w_{o}^{3}]$ ，其中 $w_{o}$ 为ESO的带宽频率。

对于控制律，本文采用非线性PID（proportional-integral-derivative，比例-积分-微分），其具体形式为：

\begin{array}{l} u = κ_{1} f a l (g_{1}, μ_{1}, ς) + κ_{2} f a l (g_{2}, μ_{2}, ς) + \\ κ_{3} f a l (g_{3}, μ_{3}, ς) \end{array}

(18)

其中：

f a l (g, μ, ς) = \{\begin{array}{l} \frac{g}{ς^{μ - 1}}, |g| \leq ς \\ {|g|}^{μ} s i g n (g), |g| > ς \end{array}

式中： $κ_{1}$ 、 $κ_{3}$ 、 $κ_{3}$ 为误差的反馈增益，μ₁、μ₂、μ₃为0～1之间的常数， $ς$ 为影响滤波效果的常数。

式(18)中的μ₁、μ₂、μ₃、 $ς$ 可直接确定，本文取 $μ_{1} = 0.25$ ， $μ_{2} = 0.75$ ， $μ_{3} = 1.5$ 0， $ς = h$ 。鉴于ESO能够实时估计扰动并进行补偿，故可调参数仅包含各误差的反馈增益，则扰动补偿过程可表示为：

u = u_{0} - \frac{χ_{3}}{b_{0}}

(19)

3.2　自抗扰解耦振动控制方案

转子-雨蚀叶片系统各自由度之间存在非线性强耦合关系，致使被控对象输出之间存在相互影响或耦合，进而导致控制难度增加或控制性能下降。为了有效解决该问题，本文采用多个自抗扰控制器进行解耦控制，以减弱或消除输出之间的相互影响，从而提高控制系统的效率和性能。

多输入-多输出系统可表示为：

\{\begin{array}{l} {\ddot{z}}_{1} = f_{1} (z_{1}, {\dot{z}}_{1}, \dots, z_{d}, {\dot{z}}_{d}) + b_{11} u_{1} + . . . + b_{1 d} u_{d} \\ {\ddot{z}}_{2} = f_{2} (z_{1}, {\dot{z}}_{1}, \dots, z_{d}, {\dot{z}}_{d}) + b_{21} u_{1} + . . . + b_{2 d} u_{d} \\ \dots \dots \\ {\ddot{z}}_{d} = f_{d} (z_{1}, {\dot{z}}_{1}, \dots, z_{d}, {\dot{z}}_{d}) + b_{d 1} u_{1} + . . . + b_{d d} u_{d} \\ p_{1} = z_{1}, p_{2} = z_{2}, \dots, p_{d} = z_{d} \end{array}

(20)

式中： $f_{j} (z_{1}, {\dot{z}}_{1}, \dots, z_{d}, {\dot{z}}_{d})$ 为系统的动态耦合部分，即作用于第j个自由度上的扰动总和； $b_{k j}$ 为各输入量的系数； $p_{j}$ 为第 $j$ 个自由度的输出。

系统各输入量的系数用矩阵形式可表示为：

B (z, \dot{z}, t) = [\begin{array}{l} b_{11} (z, \dot{z}, t) \dots b_{1 d} (z, \dot{z}, t) \\ ⋮ ⋮ \\ b_{d 1} (z, \dot{z}, t) \dots b_{d d} (z, \dot{z}, t) \end{array}]

(21)

其中：

z = {[z_{1} z_{2} \dots z_{d}]}^{T}

令 $f = [f_{1} f_{2} \dots f_{d}]^{T}$ ， $u = [u_{1} u_{2} \dots u_{d}]^{T}$ ， U = B (z, $\dot{z}$ , t) u，则式(20)可转换为：

\{\begin{array}{l} \ddot{z} = f (z, \dot{z}, t) + U \\ p = z \end{array}

(22)

根据式(22)，可得系统在每个自由度上的状态空间表达式：

\{\begin{array}{l} {\ddot{z}}_{j} = f_{j} (z_{1}, {\dot{z}}_{1}, \dots, z_{d}, {\dot{z}}_{d}) + U_{j} \\ p_{j} = z_{j} \end{array}

(23)

式中： $U_{j}$ 为第 $j$ 自由度的输入。

由此可知，若系统每个自由度的输出能被测量且目标值明确，则在系统每个自由度上嵌入1个自抗扰控制器，即可实现对扰动的估计和补偿。转子-雨蚀叶片系统的自抗扰解耦控制过程如图6所示。

图6

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图6 转子-雨蚀叶片系统的自抗扰解耦控制过程

Fig.6 Active disturbance rejection decoupling control process of rotor-rain erosion blade system

通过解耦控制，多输入-多输出系统中每个自由度的控制量与输出量之间为单输入-单输出关系，此时系统的实际控制量 u 可由式(24)计算得到：

u = B^{- 1} (z, \dot{z}, t) U

(24)

3.3　仿真验证

取采样步长 $h = 0.01$ s，ESO带宽频率 $w_{o} = 33 H z$ ，误差反馈增益 $κ_{1} = 25$ ， $κ_{3} = 10$ ；扰动信号为转子-雨蚀叶片系统动力学方程中的偏心距和不平衡磁拉力。基于表1所示参数，对采用自抗扰解耦控制的转子-雨蚀叶片系统的振动特性进行仿真分析，以验证所采用控制方法的可行性。自抗扰解耦控制下转子-雨蚀叶片系统的振动位移如图7所示。

图7

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图7 自抗扰解耦控制下转子-雨蚀叶片系统的振动位移

Fig.7 Vibration displacement of rotor-rain erosion blade system under active disturbance rejection decoupling control

由图7可知，采用自抗扰解耦控制后，转子、雨蚀叶片的振幅均显著降低，说明该控制方法可有效抑制转子-雨蚀叶片系统的横向振动。

图8所示为自抗扰解耦控制下转子-雨蚀叶片系统的控制量与扰动估计。由图8可知，转子-雨蚀叶片系统4个自由度上的扰动值一直在变化且变化幅度不同；随着扰动量的变化，控制量同步变化，实现了对扰动的补偿，由此说明所采用的控制方法的自抗扰效果良好。

图8

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图8 自抗扰解耦控制下转子-雨蚀叶片系统的控制量和扰动估计

Fig.8 Control variables and disturbance estimation of rotor-rain erosion blade system under active disturbance rejection decoupling control

4 实验验证

为了验证上文数值分析结果的准确性以及自抗扰解耦控制方法的可行性和有效性，对采用自抗扰解耦控制前、后的转子-雨蚀叶片系统的振动特性进行实验研究。搭建实验平台，其中高速耐雨蚀测试装置的结构如图9所示。电机（ABB三相异步电机）与雨蚀叶片直接相连，加速度传感器安装在电机驱动端。根据加速度传感器测得的振动加速度，通过积分变换方法推导出雨蚀叶片的横向振动位移。开始实验时，设置电机的转动角速度为350 rad/s，高速耐雨蚀测试装置运行时间为10 s。采用自抗扰解耦控制前、后雨蚀叶片的振动位移时域图分别如图10和图11所示。

图9

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图9 高速耐雨蚀测试装置结构

Fig.9 Structure of high-speed rain erosion resistance test device

图10

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图10 采用自抗扰解耦控制前雨蚀叶片的振动位移时域图

Fig.10 Time-domain map of vibration displacement of rain erosion blade before using active disturbance rejection decoupling control

图11

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图11 采用自抗扰解耦控制后雨蚀叶片的振动位移时域图

Fig.11 Time-domain map of vibration displacement of rain erosion blade after using active disturbance rejection decoupling control

由图10可知，在采用自抗扰解耦控制前，雨蚀叶片在X方向上的最大振幅为2.47×10^-3 m，在Y方向上的最大振幅为2.43×10^-3 m，与图4的数值分析结果基本一致，由此验证了数值分析结果的准确性。由图11可知，在采用自抗扰解耦控制后，雨蚀叶片在X方向上的最大振幅为9.88×10^-5 m，在Y方向上的最大振幅为9.85×10^-5 m，振幅控制在了耐雨蚀试验标准所要求的允许范围内，即小于2×10^-4 m，与图7所示控制结果吻合，验证了自抗扰解耦控制方法的有效性。实验结果表明，自抗扰解耦控制方法可有效抑制雨蚀叶片的横向振动，从而提升高速耐雨蚀测试装置运行的安全性和稳定性。

5 结论

本文考虑雨蚀叶片振动、旋叶连接盘质量偏心和转子不平衡磁拉力对高速耐雨蚀测试装置运行的影响，对转子-雨蚀叶片系统的振动特性进行了分析。同时，为了降低高速耐雨蚀测试装置运行过程中雨蚀叶片的振幅，采用自抗扰解耦控制方法来抑制雨蚀叶片的横向振动，并对所采用控制方法的可行性和有效性进行了仿真与实验验证。所得结论如下：

1）由于受到旋叶连接盘质量偏心和转子不平衡磁拉力的影响，转子-雨蚀叶片系统存在振动现象。当最大工作角速度为150 rad/s时，雨蚀叶片的最大振幅在耐雨蚀试验标准所要求的允许范围内，而当最大工作角速度为350 rad/s时，雨蚀叶片的最大振幅达到1.40×10^-3 m，存在振动超标现象。

2）仿真与实验结果显示，自抗扰解耦控制方法可有效抑制雨蚀叶片的横向振动，在最大工作角速度工况下雨蚀叶片的最大振幅可降到2×10^-4 m以下的允许范围内，由此验证了自抗扰解耦控制方法的可行性与有效性。结果表明，自抗扰解耦控制在雨蚀叶片振动控制方面具有较强的抗干扰能力和自适应能力，可有效提升高速耐雨蚀测试装置运行的安全性和稳定性。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

杨铮鑫，卞天天，党鹏飞.

叶片质量失谐下整体叶盘的振动响应特性研究

［J］.机电工程，2022，39（8）：1138-1144.