基于参数化多体动力学模型的内齿式回转支承动态优化设计

doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.129

基于参数化多体动力学模型的内齿式回转支承动态优化设计

曹望城^,, 韩佳轩, 姚廷强^,^,

昆明理工大学机电工程学院，云南昆明 650500

Dynamic optimization design of internal toothed toothed slewing bearing based on parametric multi-body dynamic model

CAO Wangcheng^,, HAN Jiaxuan, YAO Tingqiang^,^,

School of Mechanical and Electrical Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, China

通讯作者: 姚廷强（1979—），男，四川资阳人，副教授，硕士生导师，博士，从事多体系统动力学研究与应用、数字化设计与制造等研究，E-mail: yaotingqiang@163.com，https://orcid.org/0000-0003-3727-7049

收稿日期: 2023-03-08 修回日期: 2023-05-04

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 12162016

Received: 2023-03-08 Revised: 2023-05-04

作者简介 About authors

曹望城（1997—），男，江西上饶人，硕士生，从事数字化设计与制造研究,E-mail:caowangchengkust@163.com , E-mail：caowangchengkust@163.com

摘要

内齿式回转支承兼有滚动轴承的回转支承特点和齿轮啮合传动特点，在联合载荷作用下其动态性能的影响因素众多，容易出现轮齿磨损或断齿、套圈滚道磨损和运行精度变差等问题。综合考虑钢球与内外套圈滚道、保持架兜孔的动态接触作用及内齿圈轮齿间的啮合传动作用，建立了内齿式回转支承参数化多体接触动力学模型。分析了沟道曲率半径、保持架兜孔孔径、初始接触角和轮齿变位系数等关键设计参数对回转支承齿轮啮合力、1号钢球与N1滚道的接触力、内齿圈质心轴向和径向振动位移的影响规律。在此基础上，采用试验设计（design of experiment，DOE）方法，对内齿式回转支承的关键设计参数进行全因子试验设计及计算，获得了多参数影响下回转支承的动态性能。结合线性加权法，运用统一量纲法和权系数法构造新的多目标优化函数，提出了回转支承动态性能的多变量多目标优化设计方法，得到回转支承的轮齿啮合力下降了49.27%，1号钢球与N1滚道的接触力下降了29.6%，内齿圈质心轴向振动位移减小了5.41%，内齿圈质心径向位移减小了15.88%，回转支承的性能得到了优化。研究结果为回转支承的动态设计提供了参考。

关键词： 回转支承 ; 多体动力学 ; 试验设计 ; 动态优化设计 ; 多目标优化

Abstract

The internal toothed slewing bearing has both the slewing bearing characteristics of rolling bearing and the gear meshing transmission characteristics. Under the action of combined load, its dynamic performance is affected by many factors, and it is easy to suffer from tooth wear or broken teeth, ring raceway wear and poor running accuracy. Considering the dynamic contact between the steel ball and the inner and outer ring raceway, the cage pocket hole and the meshing transmission between the inner ring teeth, the parametric multi-body contact dynamic model of an internal toothed slewing bearing was established. The influence of key design parameters such as radius of curvature of groove, hole diameter of cage pocket, initial contact angle and tooth displacement coefficient on the gear meshing force of slewing ring, contact force between No.1 steel ball and N1 raceway, and the axial and radial vibration displacement of the center of mass of the inner ring were analyzed. On this basis, the design of experiments (DOE) method was used to design and calculate the key design parameters of the toothed slewing bearing, and the dynamic performance of slewing bearing under the influence of multiple parameters was obtained. Combined with linear weighting method, a new multi-objective optimization function was constructed and solved by using unified dimension method and weight coefficient method, and a multivariate multi-objective optimization design method for the dynamic performance of slewing bearings was proposed, which provides a reference for the dynamic design of slewing bearings.The gear meshing force of slewing ring decreased by 49.27%, the contact force between No. 1 steel ball and N1 raceway decreased by 29.6%, the axial vibration displacement of the center of mass of the inner ring decreased by 5.41%, the radial vibration displacement of the center of mass of the inner ring decreased by 15.88%. The performance of the rotary bearing was optimized. The research results provide a reference for the dynamic design of slewing bearing.

Keywords： slewing bearing ; multi-body dynamics ; experimental design ; dynamic optimization design ; multi-objective optimization

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本文引用格式

曹望城, 韩佳轩, 姚廷强. 基于参数化多体动力学模型的内齿式回转支承动态优化设计[J]. 工程设计学报, 2024, 31(2): 168-177 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.129

CAO Wangcheng, HAN Jiaxuan, YAO Tingqiang. Dynamic optimization design of internal toothed toothed slewing bearing based on parametric multi-body dynamic model[J]. Chinese Journal of Engineering Design, 2024, 31(2): 168-177 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.129

回转支承是兼有滚动轴承的回转支承特点和齿轮啮合传动特点的关键基础部件，能够同时承受径向、轴向负荷和倾覆力矩等联合载荷作用，具有复杂的动力学特性，且影响因素众多。回转支承作为关键的支承传动部件，具有结构紧凑、运动平稳、精度高及承载能力强等特点，在大型风电装备、工业机器人、工程机械和军事装备中得到广泛应用^[1]。回转支承的动态特性对高端装备系统的运行稳定性和可靠性有着重要的影响。回转支承的静、动力学研究还处于初级阶段，尤其是多因素影响下内齿式回转支承的多体接触动力学问题亟待深入研究。进一步开展基于动力学分析的多变量多目标优化设计研究对高性能回转支承的产品研发具有重要意义，同时为考虑回转支承动态性能的高端装备系统动力学研究奠定基础^[2]。

内齿式回转支承由钢球、内外套圈（齿圈）和驱动齿轮等构成，其静、动态力学特性研究已取得一定进展。国内外学者对回转支承动态特性进行了一定的理论分析和实验研究。基于Hertz接触理论，Glodelž等^[3]提出了一种计算回转支承接触载荷和静承载力的计算方法，Amasorrain等^[4]推导了四点接触回转支承外加载荷与最大接触应力之间的关系；原思聪等^[5]基于多体系统学理论，建立了回转支承动力学模型，分析了回转过程中各位置角处的变形量与接触力的关系；王燕霜等^[6]建立双排四点球轴承接触载荷分布计算模型，分析了沟道曲率半径系数对双排四点接触球轴承对承载能力的影响；罗丫等^[7]采用非线性弹簧、阻尼单元模拟保持架与滚动体之间的碰撞，并考虑碰撞接触及兜孔间隙，建立滚动轴承动力学分析模型，研究了保持架与钢球接触力以及载荷的影响关系；邱明等^[8]建立了单个钢球-滚道接触模型，分析了初始接触角及沟道曲率半径对支承承载能力的影响；Zupan等^[9]开发了单排四点接触球转盘滚道接触压力分布求解模型，考虑了沟道曲率中心偏移量、接触角、游隙等影响因素，分析了回转支承接触点和结构弹性变形的影响规律；姚廷强^[10]等考虑钢球、套圈和保持架的三维动态接触关系，建立了角接触球轴承多体接触动力学模型，分析了在变载荷下的球轴承动力学特性和保持架的运动稳定性。王明凯等^[11]建立了精密轴承拟静力学分析模型，分析了接触角与接触力的关系，揭示了复杂联合载荷作用下回转支承动态特性演变的规律。张文虎等^[12]基于滚动轴承动力学理论，建立了高速圆柱滚子轴承动力学模型，分析了保持架对回转支承振动特性的影响。李芃等^[13]应用ANSYS/LS-DYNA软件建立了回转支承的多体接触有限元模型，采用显示动力学有限元算法，得出了回转支承运转过程中滚动体与滚道动力学响应特征；张义民等^[14]采用显示动力学的方法，分析了轮齿变位系数对齿轮啮合特性的影响。贾平^[15]建立了偏航、变桨轴承力学模型，分析了接触角、游隙、沟道曲率半径等结构参数对回转支承的力学性能的影响，并对结构参数进行了优化；Rao^[16]考虑节圆直径、钢球直径和数目、沟道曲率半径，提出了一种基于遗传算法的非线性滚动轴承优化方法。

由于内齿式回转支承内部相互作用关系复杂，影响因素较多，其动态特性研究还处于探索阶段，尤其是有关动态优化设计的研究还未见报道。作者考虑到钢球、4条套圈滚道与保持架的动态接触作用和小齿轮与内齿圈的动态啮合传动作用，建立了内齿式单排球式回转支承的参数化动力学模型，探讨关键设计参数对回转支承的动态特性影响，研究多变量多目标优化设计方法，为回转支承的动态设计与研发提供参考。

1 回转支承参数化多体动力学模型

为了研究回转支承的动力学特性和动态优化设计，编制ADAMS参数化建模的宏命令程序，建立包含关键设计参数和力学参数的齿式回转支承参数化动力学模型。选取型号为013.25.400的回转支承，其内外圈、虚拟滚道及钢球的材料均为GCR15，保持架材料为黄铜。其主要结构参数如表1所示。对小齿轮及内齿圈的齿数、模数、齿宽和轮齿啮合接触力学参数进行参数化描述，建立小齿轮与内齿轮啮合接触的参数化动力学模型。同时，对内外圈4条滚道的沟道直径，沟道曲率，钢球直径和个数，保持架内外径直径和兜孔孔径，钢球与套圈滚道、保持架兜孔的动态接触力学参数进行参数化建模，构建钢球与内外圈滚道和保持架动态接触的参数化动力学模型。所构建的回转支承参数化多体接触动力学模型如图1所示。

表1 回转支承的主要结构参数

Table 1 Main structural parameters of slewing bearing

参数	数值
滚道中心圆直径 $D_{l}$ /mm	400
钢球直径 $D_{w}$ /mm	25
公称外径 $D$ /mm	493
公称内径 $d$ /mm	307
总高 $H$ /mm	70
内外圈高 $H_{1}$ /mm	60
小齿轮齿数 $z_{1}$ /个	23
套端面高度 $h$ /mm	10
外圈内径 $d_{1}$ /mm	399
内圈外径 $D_{1}$ /mm	401
齿圈齿数 $Z$ /个	48
模数 $m$ /mm	6
齿宽 $b$ /mm	50
钢球数 $n$ /个	28

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图1

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图1 回转支承参数化多体接触动力学模型

Fig.1 Dynamic model of parametric multi-body contact for slewing bearing

回转支承钢球与N1、N2、W1、W2这4条套圈滚道相互作用，形成了典型的四点交叉接触力学特征，4条套圈滚道如图2所示。在各构件上添加相应的约束，并定义各构件的运动关系，采用冲击函数法来计算钢球与4条套圈滚道之间的动态接触力，则：

F_{n} = K δ^{e} + C v

式中： $F_{n}$ 为法向接触力， $K$ 为接触刚度， $δ$ 为接触点法向穿透深度， $e$ 为刚性力指数， $C$ 为阻尼系数，v为接触点法向相对速度。

图2

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图2 N1、N2、W1、W2套圈滚道示意图

Fig.2 Schematic diagram of N1，N2，W1，W2 ring raceways

基于Hertz接触理论及钢球与内外圈滚道的接触刚度参数^[17]，采用ADAMS多体动力学仿真软件自带的step函数计算摩擦因数。钢球与滚道接触模型的参数如表2所示。

表2 钢球与滚道多体接触模型的参数

Table 2 Parameters of multi-body contact model between steal ball and raceway

参数	钢球—内圈	钢球—外圈
接触刚度 $K / (N \cdot m m^{- 1.5})$	$1.46 \times 10^{6}$	$1.48 \times 10^{6}$
阻尼系数C	10	10
刚性力指数e	1.5	1.5
接触点法向穿透深度 $δ / m m$	0.1	0.1
静摩擦速度 $v_{s} / (m m \cdot s^{- 1})$	1 000	1 000
动摩擦速度 $v_{d} / (m m \cdot s^{- 1})$	100	100
静摩擦因数 $μ_{s}$	0.011	0.011
动摩擦因数 $μ_{d}$	0.011	0.011

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采用ADAMS软件，编制宏命令程序，对回转支承各零部件的关键结构参数、约束类型、接触模型参数进行参数化设计，从而建立考虑钢球与4条套圈滚道、保持架兜孔的动态接触关系，小齿轮与内齿圈动态啮合关系的回转支承参数化多体接触动力学仿真模型。

沟道曲率半径会影响回转支承的承载能力，进而影响回转支承的使用寿命；在回转支承运转过程中，钢球与保持架的频繁碰撞与摩擦会导致保持架失效，因此合理选取保持架兜孔孔径能有效减弱保持架振动；初始接触角对钢球与套圈滚道间接触力的影响较大，合理的初始接触角能有效减小钢球与套圈滚道间的接触力；轮齿变位系数会影响齿轮与内齿圈的啮合特性，合理的轮齿变位系数能有效减小齿轮啮合力。由上可知，沟道曲率半径、保持架兜孔孔径、初始接触角和轮齿变位系数等设计参数对滚动轴承的回转支承力学特性和轮齿啮合传动特性有着重要影响，因此选取以上4个设计参数为设计变量，分别记为D₁、D₂、D₃和D₄。同时，在联合载荷作用下，钢球与套圈滚道的接触力、轮齿啮合力、运动齿圈的振动特性等是静动态力学性能、承载能力磨损和运动稳定性等高性能齿式回转支承的产品研发目标，故将目标函数 $f_{1} (x)$ 设为小齿轮与内齿圈的啮合力， $f_{2} (x)$ 为1号钢球与内滚道的接触力， $f_{3} (x)$ 为内齿圈质心轴向振动位移， $f_{4} (x)$ 为内齿圈质心径向振动位移。基于回转支承参数化多体接触动力学模型，对回转支承多变量多目标的动态优化进行研究。

2 不同参数对回转支承动态特性的影响

2.1　模型验证

采用静力学平衡分析方法验证回转支承参数化多体接触动力学模型的准确性。在静力学仿真中，仅考虑钢球与套圈滚道之间发生接触变形，且转速为零，无轴向、径向间隙，其他均为刚体。采用静力学平衡理论时，作如下假设：1）忽略回转支承所有变形的影响，包括结构弹性变形和接触弹性变形；2）不考虑回转支承内部接触作用，仅考虑静力学平衡。不同载荷下钢球与套圈滚道间的受力如图3所示。

图3

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图3 不同载荷下钢球与套圈滚道间的受力示意图

Fig.3 Schematic diagram of force between steel ball and ring raceway under different loads

P_{1} = \frac{F_{a}}{n \cdot s i n α}

(2)

P_{2} = \frac{4.37 M}{n D_{L} s i n α}

(3)

P_{1} = \frac{F_{a}}{n \cdot s i n α} + \frac{4.37 M}{n D_{L} s i n α}

(4)

式中： $P_{1}$ 为轴向载荷作用下钢球与套圈滚道间的受力， $P_{2}$ 为倾覆力矩作用下钢球与套圈滚道间的受力， $P_{3}$ 为联合载荷作用下钢球与套圈滚道间的受力， $F_{a}$ 为轴向载荷， $α$ 为理论初始接触角， $M$ 为倾覆力矩。

设置 $F_{a}$ =6 000 N， $M$ = $1 \times 10^{6} N \cdot m m$ ，仿真时间t=0.5 s，步长为1 000，进行仿真计算。

为了便于后续分析，对滚动体钢球进行编号，如图4所示。1号钢球与N1滚道的接触力的仿真结果如图5所示。由图4可知，在初始阶段回转支承受载荷作用瞬间，受到的冲击较大，使得接触力有较大波动，然后接触力快速稳定在一个静力学平衡下的常数值。

图4

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图4 滚动体钢球编号

Fig.4 Number of steel ball of rolling element

图5

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图5 1号钢球与N1滚道的接触力仿真结果

Fig.5 Simulation results of contact force between No.1 steel ball and N1 raceway

将稳定后的仿真值与通过式(2)至式(4)算得的理论值及实际值进行对比，结果如表3所示。由表3可知，在不同载荷作用下，套圈滚道接触力仿真值、理论值、实际值之间存在一定的误差。由于理论计算是采用回转支承的整体静力学平衡计算公式， $α$ 为理论初始接触角，并未考虑在运行过程中实际工作的接触角会变化，且忽略了载荷的相互影响及载荷对回转支承内部接触的影响。参照文献[17]，在倾覆力矩或联合载荷作用下，回转支承钢球与滚道之间的实际工作接触角通常在5°左右变化。理论值通常采用初始接触角来计算，计算结果偏大，在实际工程中能获得相对较大的安全系数。由此可知，所提出的回转支承参数化多体接触动力学模型具有较好的可靠性，相对误差在合理范围内，验证了模型的准确性，这为后续探讨关键设计参数对回转支承动态特性及动态优化设计奠定了基础。

表3 1号钢球与N1滚道接触力仿真值、理论值、实际值的对比

Table 3 Comparison of simulated, theoretical, and actual values of contact force between No.1 steel ball and N1 raceway

载荷工况	仿真值/N	理论值/N	实际值/N	理论相对误差/%	实际相对误差/%
轴向载荷	312	303	303	2.97	2.97
倾覆力矩	515	551	509.3	6.53	1.12
联合载荷	721	854	789.03	15.57	8.62

注：1. 理论值指采用初始接触角计算的接触力， $α$ =45°，理论相对误差指理论值与仿真值的相对误差。2.实际值指采用工作接触角 $α$ ₁计算的接触力， $α$ ₁=50°，实际相对误差指实际值与仿真值的相对误差。

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2.2　单因素对回转支承多目标优化的影响

基于齿式回转支承参数化动力学模型，开展回转支承关键设计参数的单变量多目标优化分析，这是回转支承多变量多目标动态优化设计的重要环节。载荷条件不变，对回转支承施加驱动转速，以上述4个关键设计参数为变量，以回转支承动态性能参数为多目标函数，分析设计参数单变量变化对回转支承动态性能的影响规律。

1）沟道曲率半径D₁影响着钢球与套圈滚道的密合程度及接触点处的应力与接触变形，对钢球与滚道接触力影响较大^[18]。本文选取D₁=12.875~13.250 mm，分析时在该范围内均匀取4个值。D₁对回转支承动动态性能的影响如图6所示。由图6可知，随着D₁增大， $f_{1} (x)$ 逐渐减小， $f_{2} (x)$ 逐渐增大。这是因为随着D₁增大，钢球与滚道间的接触面积减小，在载荷不变的情况下， $f_{2} (x)$ 增大。当D₁=12.875 mm时， $f_{3} (x)$ 、 $f_{4} (x)$ 最小，即内齿圈质心偏移量最小。故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₁=12.875 mm。

图6

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图6 D₁ 对回转支承动态性能的影响

Fig.6 Influence of D₁ on dynamic performance of slewing bearing

2）保持架将钢球分离，使得每个钢球与套圈始终保持在一起，引导钢球在滚道上运动，它对回转支承的稳定性有着重大影响。保持架的选型和结构设计还未有统一的参考标准。本文结合文献[12]的研究结果，选取保持架兜孔孔径D₂=25.2～25.8 mm，分析时在该范围内均匀取4个值。D₂对回转支承动态性能的影响如图7所示。由图7可知，随着D₂增大， $f_{1} (x)$ 、 $f_{3} (x)$ 、 $f_{4} (x)$ 都逐渐增大；在D₂>25.6 mm后， $f_{1} (x)$ 、 $f_{3} (x)$ 、 $f_{4} (x)$ 增速增大，这是因为D₂过大导致滚动体在滚道运动的空间增大，加剧了内齿圈与保持架的冲击，使回转支承动态性能变差；当D₂=225.4 mm时， $f_{2} (x)$ 最小，即内齿圈质心偏移量最小。故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₂=25.2～25.4 mm。

图7

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图7 D₂ 对回转支承动态性能的影响

Fig.7 Influence of D₂ on dynamic performance of slewing bearing

3）初始接触角D₃直接影响回转支承的变形、受力和寿命等，是回转支承设计的重要参数。通过研究可知^[20]，当D₃=40°~60°时，钢球与滚道接触力会发生显著变化。结合设计实际，选取D₃=40°~55°，分析时在该范围内均匀取4个值。D₃对回转支承动态性能的影响如图8所示。由图8可知，随着D₃增大， $f_{1} (x)$ 、 $f_{2} (x)$ 、 $f_{3} (x)$ 均逐渐减小，当D₃=55°时达到最小。说明当载荷条件不变时，增大D₃可以显著提高回转支承的承载能力并降低轮齿啮合力，同时使内齿圈轴向偏移量变小；随着D₃增大，钢球与滚道接触的椭圆区域趋向滚道边缘，加剧了内齿圈径向振动，使内齿圈径向位移增大。故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₃=55°。

图8

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图8 D₃ 对回转支承动态性能的影响

Fig.8 Influence of D₃ on dynamic performance of slewing bearing

4）轮齿变位系数表征了轮齿的抗弯、抗断裂能力，对回转支承中齿轮的影响较大，进而影响回转支承的寿命。结合文献[14]的研究结果，选取D₄=0~0.6，分析时在该范围内均匀取4个值。D₄对回转支承动态性能的影响如图9所示。由图9可知，随着D₄增大， $f_{1} (x)$ 、 $f_{2} (x)$ 先缓慢增大，当D₄=0.2时达到峰值，后迅速降低，在0.6时为最低点，说明在D₄=0.2之后增大D₄，可显著提高回转支承的承载能力和降低齿轮啮合力； $f_{3} (x)$ 先增大后减小再增大，其波动较少； $f_{4} (x)$ 逐渐减小，当D₄=0.6时达到最小，说明振动位移最小。故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₄=0.6。

图9

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图9 D₄ 对回转支承动态性能的影响

Fig.9 Influence of D₄ on dynamic performance of slewing bearing

3 回转支承多目标优化

D₁、D₂、D₃、D₄的初始设计值分别为13.0 mm，25.2 mm，45°，0。在上文单因素分析中，对每个单因素仅取4个值进行分析，其他3个参数则为初始设计值，这样得到的单因素最优的多参数组合不是最优组合。因此，需开展多因素对回转支承动态特性的影响分析。

试验设计（design of experiment, DOE）方法可以用来分析多个设计变量同时变化时对目标函数的影响规律。综合考虑D₁、D₂、D₃、D₄共同作用对回转支承动态特性的影响，在其取值范围内各均匀取4个值，得到256个组合。运用ADAMS的DOE模块对优化模型进行全因子试验设计，进行动态优化，得到最优的参数组合。基于全因子试验设计的全部仿真结果，得到各子目标函数取最优值时的设计变量组合，如表4所示。

表4 各子目标函数取最优值时的设计变量组合

Table 4 Design variable combination when taking optimal value of each sub objective function

最优子目标函数	D₁/mm	D₂/mm	D₃/ (°)	D₄
$f_{1} (x)$	13.125	25.8	55	0.6
$f_{2} (x)$	13.000	25.6	55	0.6
$f_{3} (x)$	12.875	25.8	55	0.4
$f_{4} (x)$	13.000	25.2	40	0.6

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3.1　多目标优化模型的构建与求解

多目标优化模型为：

\{\begin{array}{l} T (X) = m i n {[f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{i} (x)]}^{T} \\ s . t . X \in S \end{array}

(5)

式中： $f_{i} (x)$ 为子目标函数，i=1, 2, …, 4； $S$ 为设计变量离散集。

采用线性加权法来求解多目标优化模型。线性加权法是将 $f_{i}' (x)$ 赋予一个非负权系数 $w_{i}$ ，将所有子目标之和构建出一个新的目标函数，即：

F (X) = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} f_{i}' (x)

(6)

式中： $f_{i}' (x)$ 为 $f_{i} (x)$ 经过统一量纲处理后的无量纲子目标函数， $w_{i}$ 为 ${f_{i}}^{'} (x)$ 的权系数。

3.2　统一量纲处理

在回转支承多目标优化中，各子目标函数的量纲不同。在构建新目标函数前，需对子目标函数值进行统一量纲处理。通过均值化处理，能够消除量纲和数量级的影响，不受某个异常目标函数值的波动而发生改变，保证了各子目标函数值的准确性；极小值化处理法能够体现各子目标函数值差异程度，可体现量纲后的各子目标函数对回转支承的重要程度影响。

1）均值化处理：

{f_{i}}^{'} (x) = \frac{f_{i} (x_{j})}{{\bar{f}}_{i} (x)}

(7)

式中： ${\bar{f}}_{i} (x)$ 为 ${f_{i}}^{'} (x)$ 的平均值，j为设计变量的组合数，j=1, 2, …, 256。

2）极小值化处理法：

{f_{i}}^{'} (x) = \frac{f_{i} (x_{j})}{m i n f_{i} (x)}

(8)

通过均值化和极小值化等统一量纲处理后，分别得到各子目标函数最优时其余子目标函数的无量纲数值，如表5所示。

表5 统一量纲法处理后的各子目标函数值

Table 5 Sub objective functions values processed by unified dimension method

处理方法	最优子目标函数	${f_{1}}^{'} (x)$	${f_{2}}^{'} (x)$	${f_{3}}^{'} (x)$	${f_{4}}^{'} (x)$
均值化	$f_{1} (x)$	0.598	0.749	0.733	0.899
	$f_{2} (x)$	0.601	0.748	0.729	0.893
	$f_{3} (x)$	0.926	0.992	0.527	1.245
	$f_{4} (x)$	0.732	0.796	1.678	0.530
极小值化	$f_{1} (x)$	1.000	1.000	1.392	1.698
	$f_{2} (x)$	1.004	1.000	1.385	1.685
	$f_{3} (x)$	1.548	1.325	1.000	2.349
	$f_{4} (x)$	1.223	1.063	3.186	1.000

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3.3　权系数的选取

权系数选取的合理性与准确性会直接影响评价结果的可靠性。根据第 $i$ 个无量纲子目标函数的极小点，引入离差和均差，通过离差和均差来确定各无量纲子目标的权重。本文采用排序法求解各子目标函数的权系数^[21]。优化模型为： $m i n$ ${f_{i}}^{'} (x); (i = 1, 2, 3, 4)$

最优解集为：

{f_{i}}^{'} (x_{i}) = f_{i i}'

(9)

离差为：

δ_{i}^{l} = {f_{i l}}^{'} - {f_{i i}}^{'} (l = 1, 2, \dots, 4)

(10)

式中： ${f_{i l}}^{'}$ 为 ${f_{i}}^{'} (x)$ 在 $x_{l}$ 处的函数值极小值。

此时均差m_i 和权系数 $w_{i}$ 分别为：

m_{i} = \frac{1}{4} δ_{i l}

(11)

w_{i} = \frac{m_{i}}{\sum_{i = 1}^{4} m_{i}}

(12)

求得 $m_{i}$ 、 $w_{i}$ 后，对 $m_{i}$ 进行排序，假设 $m_{1} > m_{2} > m_{3} > m_{4}$ ，则 $w_{1} > w_{2} > w_{3} > w_{4}$ ，即获得所需的权系数 $w_{i}$ 。由于无量纲子目标函数值在不同统一量纲处理方法下所得的权系数会有偏差，在构造新目标函数时，将均差大的无量纲子目标函数值乘以较小的权系数，则所构造的新的多目标优化模型为：

F (x) = w_{1} f_{4}^{'} (x) + w_{2} f_{3}^{'} (x) + w_{3} f_{2}^{'} (x) + w_{4} f_{1}^{'} (x)

(13)

结合表5中的数据，通过式(9)至式(13)计算可得均值化、极小值化处理法下各子目标函数的权系数分别为：

\begin{array}{l} w_{1} = 0.520 19, w_{2} = 0.077 36, w_{3} = 0.414 73, \\ w_{4} = 0.384 66 \end{array}

\begin{array}{l} w_{1}^{'} = 0.113 03, w_{2}^{'} = 0.056 70, w_{3}^{'} = 0.431 97, \\ w_{4}^{'} = 0.398 30 \end{array}

。

将权系数进行排序，可得： $w_{3} > w_{4} > w_{1} > w_{2}$ 和 $w_{3}^{'} > w_{4}^{'} > w_{1}^{'} > w_{2}^{'}$ 。因此，结合表5中的无量纲函数值，则各目标子函数值均值化和极小值化后所构建的新的目标函数模型如式13所示。

3.4　优化结果的分析

通过上述对各子目标函数值采用不同方法进行统一量纲处理，运用排序法求解权系数，构建了多组新目标函数。对所构建的新目标函数进行相应的计算，得到回转支承最优设计变量组合，如表6所示。

表6 新目标优化函数下的最优设计变量组合

Table.6 Optimal design variable combination under new objective optimization function

求权方法	统一量纲处理方法	D₁ /mm	D₂ /mm	D₃ / (°)	D₄
排序法	均值化	12.875	25.2	55	0.6
排序法	极小值化	12.875	25.2	55	0.6

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由表6可知，采用不同方法进行统一量纲处理后，得到的最优参数均为：12.875 mm，25.2 mm，55°，0.6。将设计参数优化后各子目标函数值与各子目标函数初始值进行对比，并引入优化率，来评估优化效果^[22]，结果如表7所示。

优化 率 = \frac{原始 值 - 优化 值}{原始 值} \times 100 %

(14)

表7 优化前后的各子目标函数值对比

Table.7 Comparison of sub objective function values before and after optimization

对比项	优化前	优化后	优化率/%
$f_{1} (x)$	11 708.4	5 940.22	49.27
$f_{2} (x)$	1 323.41	931.621	29.60
$f_{3} (x)$	0.002 59	0.002 45	5.41

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将优化后的设计参数值赋予回转支承参数化多体接触动力学模型，求解回转支承动态性能。优化前后回转支承动态性能的对比如图10所示。由图10可知，优化后各子目标函数值都有不同程度的减小，尤其是 $f_{1} (x)$ 和 $f_{2} (x)$ 的幅值大幅度降低，优化效果极为明显。

图10

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图10 优化前后回转支承的动态特性曲线

Fig.10 Dynamic characteristic curves of slewing bearing before and after optimization

4 结论

本文提出了基于参数化多体动力学分析的齿式回转支承多变量多目标优化设计方法。采用该方法，可以提高回转支承的动态性能，为回转支承动态优化设计提供参考。

1）通过建立回转支承参数化多体接触动力学模型，分析了沟道曲率半径、保持架兜孔孔径、初始接触角及轮齿变位系数对回转支承动态性能的影响。发现适当减小沟道曲率半径和保持架兜孔孔径，增大始接触角和轮齿变位系数，可增强套圈滚道的承载能力和减小齿轮啮合力，从而改善回转支承动态性能。

2）选取齿轮啮合力、1号钢球与内滚道的接触力及内齿圈质心轴向/径向振动位移最小作为优化设计目标，采用DOE方法，对关键设计参数进行全因子试验计算，结合线性加权法，构建并求解了多变量多目标优化模型，得到最优设计变量的参数组合，为高性能齿式回转支承的产品研发提供了参考数据。

3）根据多变量多目标优化结果，进行回转支承动力学分析。结果表明，回转支承内齿圈质心振动幅值和偏移量减小，齿轮啮合力和滚道接触力的振动幅值大幅度降低，内齿圈质心振动幅值和偏移量都减小，其动态性能得到明显改善。

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转盘轴承材料及其承载能力研究

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内齿式回转支承参数化分析与动态设计

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Computational model for calculation of static capacity and lifetime of large slewing bearing's raceway

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... 内齿式回转支承由钢球、内外套圈（齿圈）和驱动齿轮等构成，其静、动态力学特性研究已取得一定进展.国内外学者对回转支承动态特性进行了一定的理论分析和实验研究.基于Hertz接触理论，Glodelž等^[3]提出了一种计算回转支承接触载荷和静承载力的计算方法，Amasorrain等^[4]推导了四点接触回转支承外加载荷与最大接触应力之间的关系；原思聪等^[5]基于多体系统学理论，建立了回转支承动力学模型，分析了回转过程中各位置角处的变形量与接触力的关系；王燕霜等^[6]建立双排四点球轴承接触载荷分布计算模型，分析了沟道曲率半径系数对双排四点接触球轴承对承载能力的影响；罗丫等^[7]采用非线性弹簧、阻尼单元模拟保持架与滚动体之间的碰撞，并考虑碰撞接触及兜孔间隙，建立滚动轴承动力学分析模型，研究了保持架与钢球接触力以及载荷的影响关系；邱明等^[8]建立了单个钢球-滚道接触模型，分析了初始接触角及沟道曲率半径对支承承载能力的影响；Zupan等^[9]开发了单排四点接触球转盘滚道接触压力分布求解模型，考虑了沟道曲率中心偏移量、接触角、游隙等影响因素，分析了回转支承接触点和结构弹性变形的影响规律；姚廷强^[10]等考虑钢球、套圈和保持架的三维动态接触关系，建立了角接触球轴承多体接触动力学模型，分析了在变载荷下的球轴承动力学特性和保持架的运动稳定性.王明凯等^[11]建立了精密轴承拟静力学分析模型，分析了接触角与接触力的关系，揭示了复杂联合载荷作用下回转支承动态特性演变的规律.张文虎等^[12]基于滚动轴承动力学理论，建立了高速圆柱滚子轴承动力学模型，分析了保持架对回转支承振动特性的影响.李芃等^[13]应用ANSYS/LS-DYNA软件建立了回转支承的多体接触有限元模型，采用显示动力学有限元算法，得出了回转支承运转过程中滚动体与滚道动力学响应特征；张义民等^[14]采用显示动力学的方法，分析了轮齿变位系数对齿轮啮合特性的影响.贾平^[15]建立了偏航、变桨轴承力学模型，分析了接触角、游隙、沟道曲率半径等结构参数对回转支承的力学性能的影响，并对结构参数进行了优化；Rao^[16]考虑节圆直径、钢球直径和数目、沟道曲率半径，提出了一种基于遗传算法的非线性滚动轴承优化方法. ...

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异形高耸塔机回转支承的接触动力学分析

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负游隙对特大型双排四点接触球轴承载荷分布的影响

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滚动轴承保持架-滚动体接触动力学建模与接触特性

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四点接触球转盘轴承载荷分布的影响因素分析

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变工况下角接触球轴承保持架稳定性分析

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高速圆柱滚子轴承保持架振动特性研究

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... 2）保持架将钢球分离，使得每个钢球与套圈始终保持在一起，引导钢球在滚道上运动，它对回转支承的稳定性有着重大影响.保持架的选型和结构设计还未有统一的参考标准.本文结合文献[12]的研究结果，选取保持架兜孔孔径D₂=25.2～25.8 mm，分析时在该范围内均匀取4个值.D₂对回转支承动态性能的影响如图7所示.由图7可知，随着D₂增大，

f_{1} (x)

、

f_{3} (x)

、

f_{4} (x)

都逐渐增大；在D₂>25.6 mm后，

f_{1} (x)

、

f_{3} (x)

、

f_{4} (x)

增速增大，这是因为D₂过大导致滚动体在滚道运动的空间增大，加剧了内齿圈与保持架的冲击，使回转支承动态性能变差；当D₂=225.4 mm时，

f_{2} (x)

最小，即内齿圈质心偏移量最小.故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₂=25.2～25.4 mm. ...

高速圆柱滚子轴承保持架振动特性研究

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f_{1} (x)

、

f_{3} (x)

、

f_{4} (x)

都逐渐增大；在D₂>25.6 mm后，

f_{1} (x)

、

f_{3} (x)

、

f_{4} (x)

增速增大，这是因为D₂过大导致滚动体在滚道运动的空间增大，加剧了内齿圈与保持架的冲击，使回转支承动态性能变差；当D₂=225.4 mm时，

f_{2} (x)

最小，即内齿圈质心偏移量最小.故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₂=25.2～25.4 mm. ...

单排球式回转支承动态力学性能的研究

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单排球式回转支承动态力学性能的研究

2013

考虑变位系数的直齿轮啮合特性分析

2013

... 4）轮齿变位系数表征了轮齿的抗弯、抗断裂能力，对回转支承中齿轮的影响较大，进而影响回转支承的寿命.结合文献[14]的研究结果，选取D₄=0~0.6，分析时在该范围内均匀取4个值.D₄对回转支承动态性能的影响如图9所示.由图9可知，随着D₄增大，

f_{1} (x)

、

f_{2} (x)

先缓慢增大，当D₄=0.2时达到峰值，后迅速降低，在0.6时为最低点，说明在D₄=0.2之后增大D₄，可显著提高回转支承的承载能力和降低齿轮啮合力；

f_{3} (x)

先增大后减小再增大，其波动较少；

f_{4} (x)

逐渐减小，当D₄=0.6时达到最小，说明振动位移最小.故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₄=0.6. ...

考虑变位系数的直齿轮啮合特性分析

2013

f_{1} (x)

、

f_{2} (x)

先缓慢增大，当D₄=0.2时达到峰值，后迅速降低，在0.6时为最低点，说明在D₄=0.2之后增大D₄，可显著提高回转支承的承载能力和降低齿轮啮合力；

f_{3} (x)

先增大后减小再增大，其波动较少；

f_{4} (x)

逐渐减小，当D₄=0.6时达到最小，说明振动位移最小.故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₄=0.6. ...

偏航变桨轴承力学特性分析及结构优化设计

2012

偏航变桨轴承力学特性分析及结构优化设计

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Optimum design of rolling element bearings using genetic algorithms

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风力发电机变桨轴承的力学性能分析

2015

... 基于Hertz接触理论及钢球与内外圈滚道的接触刚度参数^[17]，采用ADAMS多体动力学仿真软件自带的step函数计算摩擦因数.钢球与滚道接触模型的参数如表2所示. ...

... 将稳定后的仿真值与通过式(2)至式(4)算得的理论值及实际值进行对比，结果如表3所示.由表3可知，在不同载荷作用下，套圈滚道接触力仿真值、理论值、实际值之间存在一定的误差.由于理论计算是采用回转支承的整体静力学平衡计算公式，

α

为理论初始接触角，并未考虑在运行过程中实际工作的接触角会变化，且忽略了载荷的相互影响及载荷对回转支承内部接触的影响.参照文献[17]，在倾覆力矩或联合载荷作用下，回转支承钢球与滚道之间的实际工作接触角通常在5°左右变化.理论值通常采用初始接触角来计算，计算结果偏大，在实际工程中能获得相对较大的安全系数.由此可知，所提出的回转支承参数化多体接触动力学模型具有较好的可靠性，相对误差在合理范围内，验证了模型的准确性，这为后续探讨关键设计参数对回转支承动态特性及动态优化设计奠定了基础. ...

风力发电机变桨轴承的力学性能分析

2015

α

薄壁四点接触球转盘轴承的性能分析

2013

... 1）沟道曲率半径D₁影响着钢球与套圈滚道的密合程度及接触点处的应力与接触变形，对钢球与滚道接触力影响较大^[18].本文选取D₁=12.875~13.250 mm，分析时在该范围内均匀取4个值.D₁对回转支承动动态性能的影响如图6所示.由图6可知，随着D₁增大，

f_{1} (x)

逐渐减小，

f_{2} (x)

逐渐增大.这是因为随着D₁增大，钢球与滚道间的接触面积减小，在载荷不变的情况下，

f_{2} (x)

增大.当D₁=12.875 mm时，

f_{3} (x)

、

f_{4} (x)

最小，即内齿圈质心偏移量最小.故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₁=12.875 mm. ...

薄壁四点接触球转盘轴承的性能分析

2013

f_{1} (x)

逐渐减小，

f_{2} (x)

逐渐增大.这是因为随着D₁增大，钢球与滚道间的接触面积减小，在载荷不变的情况下，

f_{2} (x)

增大.当D₁=12.875 mm时，

f_{3} (x)

、

f_{4} (x)

最小，即内齿圈质心偏移量最小.故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₁=12.875 mm. ...

保持架间隙对角接触球轴承振动特性的影响

2019

保持架间隙对角接触球轴承振动特性的影响

2019

风力发电机变桨轴承的力学性能分析

2015

... 3）初始接触角D₃直接影响回转支承的变形、受力和寿命等，是回转支承设计的重要参数.通过研究可知^[20]，当D₃=40°~60°时，钢球与滚道接触力会发生显著变化.结合设计实际，选取D₃=40°~55°，分析时在该范围内均匀取4个值.D₃对回转支承动态性能的影响如图8所示.由图8可知，随着D₃增大，

f_{1} (x)

、

f_{2} (x)

、

f_{3} (x)

均逐渐减小，当D₃=55°时达到最小.说明当载荷条件不变时，增大D₃可以显著提高回转支承的承载能力并降低轮齿啮合力，同时使内齿圈轴向偏移量变小；随着D₃增大，钢球与滚道接触的椭圆区域趋向滚道边缘，加剧了内齿圈径向振动，使内齿圈径向位移增大.故考虑单因素对回转支承性能影响时，取D₃=55°. ...

风力发电机变桨轴承的力学性能分析

2015

f_{1} (x)

、

f_{2} (x)

、

f_{3} (x)

水资源系统多目标综合评估模型与方法

2009

... 权系数选取的合理性与准确性会直接影响评价结果的可靠性.根据第

i

个无量纲子目标函数的极小点，引入离差和均差，通过离差和均差来确定各无量纲子目标的权重.本文采用排序法求解各子目标函数的权系数^[21].优化模型为：

m i n

{f_{i}}^{'} (x); (i = 1, 2, 3, 4)

...

水资源系统多目标综合评估模型与方法

2009

... 权系数选取的合理性与准确性会直接影响评价结果的可靠性.根据第

i

m i n

{f_{i}}^{'} (x); (i = 1, 2, 3, 4)

...

基于Pareto最优的悬架参数多目标优化

2010

... 由表6可知，采用不同方法进行统一量纲处理后，得到的最优参数均为：12.875 mm，25.2 mm，55°，0.6.将设计参数优化后各子目标函数值与各子目标函数初始值进行对比，并引入优化率，来评估优化效果^[22]，结果如表7所示. ...

基于Pareto最优的悬架参数多目标优化

2010

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