无失效威布尔情形下基于双修正多层Bayes的可靠性评估

doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.304

无失效威布尔情形下基于双修正多层Bayes的可靠性评估

龙足腾^,^,¹, 郑波^,¹^,², 甯洋¹, 罗金超¹

1.中国民用航空飞行学院航空电子电气学院，四川广汉 618307

2.核工业西南物理研究院，四川成都 610225

Reliability estimation based on double-modified hierarchical Bayes in the zero-failure Weibull case

LONG Zuteng^,^,¹, ZHENG Bo^,¹^,², NING Yang¹, LUO Jinchao¹

1.Institute of Electronic and Electrical Engineering, Civil Aviation Flight University of China, Guanghan 618307, China

2.Southwestern Institute of Physics, Chengdu 610225, China

通讯作者: 郑波（1984—），男，四川邛崃人，教授，硕士生导师，博士，从事故障诊断、剩余寿命预测和可靠性评估等研究，E-mail: bzheng@cafuc.edu.cn

收稿日期: 2023-10-28 修回日期: 2023-11-21

基金资助:

中国民用航空局民航安全能力建设资金资助项目. MHAQ2022004

Received: 2023-10-28 Revised: 2023-11-21

作者简介 About authors

龙足腾（2000—），男，四川资阳人，硕士生，从事无失效情形的可靠性评估方法研究，E-mail:ttengzulong@163.com,https://orcid.org/0009-0009-3690-7345 , E-mail：ttengzulong@163.com

摘要

利用配分布曲线法构建无失效数据的可靠性评估模型时，往往采用E-Bayes或多层Bayes来估计失效概率，但因其估计能力有限，整体可靠度点估计精度不高。针对威布尔分布数据提出了一种新的双修正多层Bayes方法，用于改善失效概率估计，并完成可靠度点估计。在多层Bayes的基础上，通过修正失效概率上下限值来减小失效概率估计误差，然后结合加权最小二乘法和威布尔分布可靠度函数确定参数估计值和可靠度曲线，从而得到可靠度点估计。利用Monte-Carlo仿真试验，发现新方法能将参数估计相对误差控制在10%以下，并且得到的可靠度值更加趋近真值。通过实例分析发现，在超参数 $c$ 取不同值的情况下，采用新方法得到的可靠度都更加接近工程实际。新方法适用性分析表明，形状参数 $β$ 是影响估计精度的关键因素，且在 $β > 2.2$ 时新方法具有明显的优势及良好的稳健性。研究结果可为其他寿命分布无失效数据的可靠性评估提供参考。

关键词： 无失效威布尔 ; 失效概率估计 ; 双修正多层Bayes ; 可靠度估计 ; 适用性分析

Abstract

Hierarchical Bayes or E-Bayes is frequently used to estimate the failure probability when building a zero-failure reliability estimation model utilizing the concept of a distribution curve. The overall accuracy of reliability point estimation is not high bacause of the limited estimation ability. A new double-modified hierarchical Bayes method was proposed for the Weibull distribution data to improve the failure probability estimation and accomplish reliability point estimation. On the basis of hierarchical Bayes, the failure probability estimation error was reduced by correcting the upper and lower limits of the failure probability. Combining weighted least squares method and Weibull distribution reliability function determined parameter estimates and reliability curves, thereby obtaining reliability point estimates. Using Monte-Carlo simulation test, the new method could control the relative error of parameter estimation below 10%, and the obtained reliability was closer to the true value. Through the example analysis, the reliability obtained by the new method was closer to the engineering reality when the hyperparameter $c$ took different values. The applicability analysis of the new method showed that the shape parameter $β$ was the key factor affecting the estimation accuracy. The new method had obvious advantages and good robustness when $β > 2.2$ . The results of the study can provide a reference for the reliability assessment of other life distribution with zero-failure data.

Keywords： zero-failure and Weibull ; failure probability evaluation ; double-modified hierarchical Bayes ; reliability evaluation ; applicability analysis

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本文引用格式

龙足腾, 郑波, 甯洋, 罗金超. 无失效威布尔情形下基于双修正多层Bayes的可靠性评估[J]. 工程设计学报, 2024, 31(1): 59-66 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.304

LONG Zuteng, ZHENG Bo, NING Yang, LUO Jinchao. Reliability estimation based on double-modified hierarchical Bayes in the zero-failure Weibull case[J]. Chinese Journal of Engineering Design, 2024, 31(1): 59-66 doi:10.3785/j.issn.1006-754X.2024.03.304

随着工业化、现代化的发展，越来越多的产品表现出高质量、高可靠性、长寿命及短期内无失效的特性。在这类产品的可靠性试验中，经常出现无失效的情形，很难通过定时或定数截尾试验获取其完全失效数据来进行可靠性分析，这不仅增加了产品研发的时间和成本，还会严重阻碍产品的后续定型及应用。因此，产品无失效情形下的可靠性评估研究具有很强的实际意义，是当下可靠性领域的研究重点。

Martz等^[1]是最早开始研究无失效数据处理的学者，提出了一种以失效概率为指标，结合Bayes理论的可靠性评估方法。随后，茹诗松等^[2]提出了配分布曲线法，通过估计无失效数据各个截尾时刻的失效概率，找到失效概率与寿命分布函数之间的关系，用最小二乘法配一条分布曲线，得到可靠度函数。由于配分布曲线法流程清晰，计算相对简便，估计效果稳定，在无失效数据的可靠性研究和实际工程中得到广泛应用。

配分布曲线法的关键是估计失效概率，相关学者就失效概率的估计进行了深入的研究，一些成熟的Bayes方法被相继提了出来，如多层Bayes^[3]和E-Bayes法^[4-5]。这些方法在试验中得到验证，证明了能够用于无失效情形的分析^[6-7]。随后，它们在处理不同寿命分布类型的无失效数据中成为主流方法，尤其在威布尔分布情形的研究中得到广泛的认可^[8-11]。一些学者和研究人员通过结合各种估计原理和算法来构造可靠性评估模型，从而解决实际工程问题^[12-14]。在实际应用中，超参数和试验分组等影响可靠性评估精度的问题被引入研究，推动了主流Bayes方法在工程问题中的应用^[15-16]。

随着研究的深入，一些学者发现基于多层Bayes和E-Bayes的估计效果较于保守，于是通过引入Bootstrap法的区间估计或融合多源信息数据来提高模型估计的精度和可信度。李海洋等^[17-18]利用E-Bayes法完成点估计，通过引入参数Bootstrap法完成区间估计并构建融合模型用于机器人轴承可靠性评估，并且在对扭转电机实际运行后的无失效数据的分析中取得了良好的估计效果；王瑞祥等^[19]利用多层Bayes完成点估计，再结合Bootstrap构建小样本无失效的可靠性评估模型；Chen等^[20]针对航空发动机压气机盘的小样本无失效数据，在Bayes估计的基础上采用了融合测试数据与模拟数据的评估思路。极少数学者旨在改进Bayes估计，如：李爽等^[21]在威布尔分布失效概率估计时，利用后验分布调整先验分布来修正失效概率的取值上界，提出了一种基于多层Bayes的改进方法，将它用于提高失效概率估计精度。

综上所述，利用配分布曲线处理无失效情形下可靠度点估计时，E-Bayes和多层Bayes是估计失效概率的主流方法，但其估计效果相对保守。为了提高失效概率的估计精度，本文通过改进多层Bayes，提出双修正多层Bayes，并结合加权最小二乘法和可靠度函数完成可靠度点估计；通过仿真试验和工程实例分析，来验证新模型的可行性和有效性；最后，讨论了双修正多层Bayes的适用性。

1 无失效数据与威布尔分布

1.1　无失效数据结构

在工业产品中，随机抽取 $n$ 个样本，将它分成 $k$ 组，进行定时截尾试验。各组样本数分为 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ ，截尾时间为 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{k} (t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k})$ 。若在试验中无一样本失效，则称该样本组数据为无失效数据，有 $n = n_{1} + n_{2} + \dots n_{k} (i = 1, 2, \dots, k)$ 。无失效数据的结构如表1所示。表中未失效数 $s_{i}$ （ $s_{i} = n_{k} + n_{k - 1} + \dots + n_{i}$ ）即试验中截尾时间 $t_{i}$ 时刻的未失效数。

表1 无失效数据结构

Table 1 Zero-failure data structure

组号 $i$	截尾时间 $t_{i}$	样本数 $n_{i}$	未失效数 $s_{i}$
$1$	$t_{1}$	$n_{1}$	$s_{1}$
$2$	$t_{2}$	$n_{2}$	$s_{2}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$k$	$t_{k}$	$n_{k}$	$s_{k}$

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1.2　威布尔分布

许多工业产品如机械零部件、电子元器件的寿命能够拟合成威布尔分布。威布尔分布的形状参数能很好地反映产品失效特性，可以根据其值大小判定产品的失效类型，因此威布尔分布对各类型的试验数据具有较强的适应能力，在可靠性研究领域有着广泛应用。

本文选取两参数参威布尔分布作为研究对象。其失效概率密度函数为：

f (t) = \frac{β}{η} {(\frac{t}{η})}^{β - 1} e^{- {(\frac{t}{η})}^{β}}

(1)

失效分布函数为：

F (t) = 1 - e^{- {(\frac{t}{η})}^{β}}

(2)

失效率函数为：

λ (t) = \frac{β}{η^{β}} t^{β - 1}

(3)

可靠度函数为：

R (t) = 1 - F (t) = e^{- {(\frac{t}{η})}^{β}}

(4)

式中： $β$ 为形状参数； $η$ 为尺度参数或特征寿命（即可靠度 $R = 0.367 9$ 时的寿命值），它决定了曲线尺寸比例的大小，能够缩放坐标尺度，并且受负载影响，负载越大， $η$ 越小。

形状参数 $β$ 对威布尔分布函数的影响如图1所示。

图1

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图1 形状参数 $β$ 对威布尔函数的影响

Fig.1 Influence of shape parameters on Weibull functions

由图1可知，当 $β = 3.0 ~ 5.0$ 时，威布尔分布函数图像与正态分布图像很相似。

2 无失效威布尔可靠度估计

2.1　失效概率 $p_{i}$ 的多层Bayes估计

无失效数据在某一时刻 $t_{i}$ 处的失效概率 $p_{i}$ 值较大的概率很小， $p_{i}$ 值较小的概率很大，因此取 $p_{i}$ 的先验分布为共轭 $B e t a$ 分布，其概率密度函数为：

\{\begin{array}{l} π (p_{i} |a, b) = \frac{p_{i}^{a - 1} (1 - p_{i})^{b - 1}}{B (a, b)} \\ B (a, b) = \int_{0}^{1} t^{a - 1} {(1 - t)}^{b - 1} d t \end{array}

(5)

式中： $0 < p_{i} < 1$ ； $B (a, b)$ 为 $B e t a$ 函数； $a$ 和 $b$ 为超参数且相互独立，一般为了保证其密度函数为减函数以及Bayes估计的稳健性；设 $0 < a \leq 1$ ， $1 < b < c$ ， $c$ 为常数，根据文献[16]， $c$ 通常为整数，在2~7中选取。

超参数 $a$ 和 $b$ 的先验分布为：

\{\begin{array}{l} π (a) = 1, 0 < a \leq 1 \\ π (b) = \frac{1}{c - 1}, 1 < b < c, c 为常 数 \end{array}

(6)

由式(5)、式(6)可得 $p_{i}$ 的多层先验分布为：

\begin{array}{l} π (p_{i}) = \int_{b} \int_{a} π (p_{i} |a, b) π (a) π (b) d a d b = \\ \frac{1}{c - 1} \int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{p_{i}^{a - 1} (1 - p_{i})^{b - 1}}{B (a, b)} d a d b \end{array}

(7)

由于所得数据是无失效数据， $p_{i}$ 的似然函数为：

L (0 |p_{i}) = (1 - p_{i})^{s_{i}}

(8)

根据Bayes定理，由式(7)、式(8)可得 $p_{i}$ 的多层后验分布密度函数为：

\begin{array}{l} h (p_{i} |s_{i}) = \frac{π (p_{i}) L (0 |p_{i})}{\int_{0}^{1} π (p_{i}) L (0 |p_{i}) d p_{i}} = \\ \frac{\int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{{p_{i}}^{a - 1} (1 - p_{i})^{b + s_{i} - 1}}{B (a, b)} d a d b}{\int_{0}^{1} \int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{{p_{i}}^{a - 1} (1 - p_{i})^{b + s_{i} - 1}}{B (a, b)} d a d b d p_{i}} \end{array}

(9)

在平方损失下，取多层后验分布的期望作为 $p_{i}$ 的多层Bayes估计，可以表示为：

\begin{array}{l} {\hat{p}}_{i_H B} = E [h (p_{i} |s_{i})] = \int_{0}^{1} p_{i} h (p_{i} |s_{i}) d p_{i} = \\ \frac{\int_{0}^{1} \int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{{p_{i}}^{a} (1 - p_{i})^{b + s_{i} - 1}}{B (a, b)} d a d b d p_{i}}{\int_{0}^{1} \int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{{p_{i}}^{a - 1} (1 - p_{i})^{b + s_{i} - 1}}{B (a, b)} d a d b d p_{i}} \end{array}

(10)

为了简化计算，根据工程建议^[19]，取 $a$ =1，则计算得 $B (1, b) = 1 / b$ ，从而得到 $p_{i}$ 多层Bayes的解析式为：

{\hat{p}}_{i_H B} = \frac{(s_{i} + 1) l n (\frac{s_{i} + c + 1}{s_{i} + 2}) - s_{i} l n (\frac{s_{i} + c}{s_{i} + 1})}{c - 1 - s_{i} l n (\frac{s_{i} + c}{s_{i} + 1})}

(11)

2.2　失效概率 $p_{i}$ 的双修正多层Bayes估计

由于在无失效场合下， $p_{i}$ 始终满足 $0 < p_{i} < 1$ ，无法取到0和1，因此考虑通过修正 $p_{i}$ 的取值范围来减小估计误差。根据Bayes修正理论^[21]，后验分布是对先验分布的修正与调整，将其用于估计 $p_{i}$ 的基本思路是：利用前一时刻 $p_{i}$ 的后验分布替代后一时刻 $p_{i}$ 的先验分布。

设 $p_{l}$ 、 $p_{u}$ 分别为 $p_{i}$ 的下限值和上限值，则 $0 < p_{l} < p_{i} < p_{u} < 1$ ，此时 $B e t a$ 分布就不能很好地描述 $p_{i}$ 的先验分布。考虑选用不完全 $B e t a$ 分布，其相较于 $B e t a$ 分布图像更加集中，这就意味着 $p_{i}$ 的取值区间变小，误差波动也变小。不完全 $B e t a$ 函数的表达式为： $B (x_{1}, x_{2}, a, b) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (t - x_{1})^{a - 1} (x_{2} {- t)}^{b - 1} d t$ ，式中： $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 分别对应 $p_{l}$ 和 $p_{u}$ 。在多层Bayes的基础上，通过改变先验分布，可以得到双修正多层Bayes的表达式，如下所示。

1）失效概率 $p_{i}$ 估计。

根据不完全 $B e t a$ 分布函数，得其先验密度函数为：

π (p_{i} |a, b) = \frac{(p_{i} - p_{l})^{a - 1} (p_{u} - p_{i})^{b - 1}}{B (a, b) (p_{u} - p_{l})^{a + b - 1}}

(12)

其似然函数为：

L (0 |p_{i}) = (1 - p_{i})^{s_{i}}

(13)

根据Bayes定理，得其后验分布密度函数为：

\begin{array}{l} h (p_{i} |s_{i}) = \frac{π (p_{i} |a, b) L (0 |p_{i})}{\int_{0}^{1} π (p_{i} |a, b) L (0 |p_{i}) d p_{i}} = \\ \frac{\frac{(p_{i} - p_{l})^{a - 1} (p_{u} - p_{i})^{b - 1} (1 - p_{i})^{s_{i}}}{B (a, b) (p_{u} - p_{l})^{a + b - 1}}}{\int_{p_{l}}^{p_{u}} \frac{(p_{i} - p_{l})^{a - 1} (p_{u} - p_{i})^{b - 1} (1 - p_{i})^{s_{i}}}{B (a, b) (p_{u} - p_{l})^{a + b - 1}} d p_{i}} \end{array}

(14)

在平方损失下，对后验分布取期望得到 $p_{i}$ 的估计为：

\begin{array}{l} {\hat{p}}_{i_M H B} = E [h (p_{i} |s_{i})] = \int_{0}^{1} p_{i} h (p_{i} |s_{i}) d p_{i} = \\ \frac{\int_{p_{l}}^{p_{u}} \int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{p_{i} (p_{i} - p_{l})^{a - 1} (p_{u} - p_{i})^{b - 1} (1 - p_{i})^{s_{i}}}{B (a, b) (p_{u} - p_{l})^{a + b - 1}} d a d b d p_{i}}{\int_{p_{l}}^{p_{u}} \int_{1}^{c} \int_{0}^{1} \frac{(p_{i} - p_{l})^{a - 1} (p_{u} - p_{i})^{b - 1} (1 - p_{i})^{s_{i}}}{B (a, b) (p_{u} - p_{l})^{a + b - 1}} d a d b d p_{i}} \end{array}

(15)

取 $a = 1$ ，简化式(15)，可得：

{\hat{p}}_{i_M H B} = \frac{\int_{p_{l}}^{p_{u}} \int_{1}^{c} \frac{b \cdot p_{i} (p_{u} - p_{i})^{b - 1} (1 - p_{i})^{s_{i}}}{(p_{u} - p_{l})^{b}} d b d p_{i}}{\int_{p_{l}}^{p_{u}} \int_{1}^{c} \frac{p_{i} (p_{u} - p_{i})^{b - 1} (1 - p_{i})^{s_{i}}}{(p_{u} - p_{l})^{b}} d b d p_{i}}

(16)

2）修正失效概率上限值 $p_{u}$ 。

根据截尾时间正序 $t_{i} (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{k})$ ，设初始时刻 $t_{1}$ 的失效概率符合 $B e t a$ 分布，即失效概率取值范围为(0, 1)。计算 $t_{1}$ 时刻失效概率上限值 $p_{u 1}$ ，将其作为下一时刻 $t_{2}$ 的失效概率下限值，然后得到 $t_{2}$ 时刻失效概率上限值 $p_{u 2}$ 并作为 $t_{3}$ 时刻失效概率下限值，依次进行至 $t_{k}$ 时刻，将得到的失效概率上限值集合 $p_{u 1}, p_{u 2}, \dots, p_{u k}$ 作为上限，对应式(16)中的 $p_{u}$ ，即：

\{\begin{array}{l} {\hat{p}}_{u} = p_{u i} = \frac{\int_{p_{u (i - 1)}}^{1} \int_{1}^{c} \frac{b \cdot p_{i} (1 - p_{i})^{b - 1 + s_{i}}}{(1 - p_{u (i - 1)})^{b}} d b d p_{i}}{\int_{p_{u (i - 1)}}^{1} \int_{1}^{c} \frac{b (1 - p_{i})^{b - 1 + s_{i}}}{(1 - p_{u (i - 1)})^{b}} d b d p_{i}} \\ p_{u 0} = 0 \end{array}

(17)

式中：p_u_i 为第i时刻的失效概率上限值。

3）修正失效概率下限值 $p_{l}$ 。

取截尾时间倒序列 ${\tilde{t}}_{i} (t_{k}, t_{k - 1}, \dots, t_{1})$ ，此时 $t_{k}$ 作为初始时刻，失效概率符合 $B e t a$ 分布，取值范围为(0, 1)。计算 $t_{k}$ 时刻失效概率下限值 $p_{l k}$ ，并将其作为下一时刻 $t_{k - 1}$ 的失效概率上限值，得到 $t_{k - 1}$ 时刻失效概率下限值 $p_{l (k - 1)}$ 并作为 $t_{k - 2}$ 时刻失效概率上限值，依次进行至 $t_{1}$ 时刻，将得到的失效概率下限值集合 $p_{u k}, p_{u (k - 1)}, \dots, p_{u 1}$ 作为下限，对应式(16)的 $p_{l}$ ，即：

\{\begin{array}{l} p_{l i} = \frac{\int_{0}^{p_{l (i + 1)}} \int_{1}^{c} \frac{b \cdot p_{i} (p_{l (i + 1)} - p_{i})^{b - 1} (1 - p_{i})^{s_{i}}}{{p_{l (i + 1)}}^{b}} d b d p_{i}}{\int_{0}^{p_{l (i + 1)}} \int_{1}^{c} \frac{b (p_{l (i + 1)} - p_{i})^{b - 1} (1 - p_{i})^{s_{i}}}{{p_{l (i + 1)}}^{b}} d b d p_{i}} \\ p_{l (k + 1)} = 1 \\ {\hat{p}}_{l} = a s c e n d [p_{l i}] \end{array}

(18)

式中： $a s c e n d [\cdot]$ 为升序排列， $p_{l i}$ 为第 $i$ 时刻的失效概率下限值。

2.3　参数估计及可靠度计算

在得到失效概率估计 ${\hat{p}}_{i_M H B}$ 后，利用加权最小二乘法可以得到形状参数的估计值β和尺度参数的估计值û，其计算式为：

\{\begin{array}{l} \hat{β} = \frac{1}{\hat{σ}}, \hat{η} = e x p \hat{μ} \\ \hat{σ} = \frac{D - A C}{B - A^{2}}, \hat{μ} = \frac{B C - A D}{B - A^{2}} \\ A = \sum_{i = 1}^{k} ω_{i} x_{i}, B = \sum_{i = 1}^{k} ω_{i} {x_{i}}^{2} \\ C = \sum_{i = 1}^{k} ω_{i} y_{i}, D = \sum_{i = 1}^{k} ω_{i} x_{i} \\ x_{i} = l n l n (\frac{1}{1 - {\hat{p}}_{i_I H B}}), y_{i} = l n t_{i} \end{array}

(19)

式中：ω_i 为权重。根据文献[16]可知，以总试验时间设计权重，估计效果最好，则： $ω_{i} = n_{i} t_{i} / \sum_{i = 1}^{k} n_{i} t_{i}$ 。

将 $\hat{β}$ 和 $\hat{η}$ 代入威布尔分布可靠度函数，可得到各时间截点的可靠度估计值，即：

\hat{R} (t) = e^{- {(\frac{t}{\hat{η}})}^{\hat{β}}}

(20)

3 验证分析

3.1　Monte-Carlo仿真数据

为了验证新方法的估计效果，需要进行大量的对比试验。利用Monte-Carlo法可以有效地仿真试验数据，便于评估分析。其详细仿真方法参考文献[19]的做法：由计算机生成700个服从威布尔分布的随机数（产生的随机数要远多于试验产品样本数，本文取产品样本数为28个），并将随机数从小到大排列，然后以每10个数据为一组，共分为70组数据，对其中前7组数据中的首个数据向下取整，可得到7组截尾时间，样本在截尾时间下均没有发生失效，各截尾时刻的样本数随组号依次递减。

通过前文分析可知，考虑到长寿命机械产品的特性，取 $β = 3$ ， $η = 2 500$ ，得到一组无失效数据，如表2所示。

表2 仿真的无失效数据

Table 2 Simulation of zero-failure data

组号 $i$	截尾时间 $t_{i} / h$	样本数 $n_{i}$	未失效数 $s_{i}$
1	273	7	28
2	558	6	21
3	709	5	15
4	851	4	10
5	936	3	6
6	1 049	2	3
7	1 141	1	1

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3.2　仿真结果对比分析

分别采用传统Bayes、E-Bayes、多层Bayes和双修正多层Bayes对表2数据进行运算，得到失效概率估计值，如表3所示。由表可知，E-Bayes和多层Bayes方法下失效概率估计值相差不大，后者略优，但两者均优于传统Bayes，而本文方法在1 049 $h$ 前最接近真值。

表3 不同方法下的失效概率估计值

Table 3 Estimation of failure probability under different methods

截尾时间 $t_{i} / h$	真值	传统Bayes	E-Bayes	多层Bayes	本文方法
273	0.000 6	0.033 3	0.031 3	0.030 9	0.007 3
558	0.011 6	0.043 5	0.040 1	0.039 4	0.014 8
709	0.023 2	0.058 8	0.052 8	0.051 8	0.024 2
851	0.034 0	0.083 3	0.071 9	0.070 1	0.038 3
936	0.048 9	0.125 0	0.101 4	0.098 1	0.063 8
1 049	0.057 2	0.200 0	0.146 9	0.141 5	0.120 7
1 141	0.070 6	0.333 3	0.211 8	0.120 7	0.279 1

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将表3数据代入式(19)，并取超参数 $c = 5$ ，得到各方法下的 $β$ 和 $η$ ，并计算其与真值之间的相对误差 $E_{m r . β}$ 和 $E_{m r . η}$ ，结果如表4所示。由表可知：E-Bayes和多层Bayes的估计误差均在40%左右；传统Bayes对 $η$ 的估计效果较好，但对 $β$ 的估计较差；本文方法对 $β$ 和 $η$ 的估计误差均较低并且较均衡，控制在6.3%左右。

表4 不同方法下的参数估计及其相对误差

Table 4 Parameter estimation and relative error under different methods

方法	$β$	$η$	$E_{m r - β}$	$E_{m r - η}$	$c$
传统Bayes	2.08	2 336.6	0.307 0	0.065 4	-
E-Bayes	1.68	3 434.9	0.439 1	0.373 9	5
多层Bayes	1.66	3 568.7	0.447 1	0.427 5	5
本文方法	2.82	2 333.9	0.061 2	0.066 5	5

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将表4数据代入式(20)，得到各方法下的可靠度，如图2所示。由图可知：采用本文方法得到的可靠度更加接近真值，且其鲁棒性更好；在1 200 $h$ 内任意时刻的可靠度均优于其他Bayes方法。

图2

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图2 不同方法下的可靠度

Fig.2 Reliability with different methods

3.3　工程实例分析

航空陀螺仪是一种非常精密的导航仪器，其中轴承是其关键的机械零部件，轴承失效会直接导致陀螺仪发生工作故障。因此，对陀螺仪的轴承进行可靠性评估是极为重要的。采用文献[16]提供的某轴承无失效数据，如表5所示，分别用传统Bayes、E-Bayes、多层Bayes和本文方法进行可靠性分析。另外，根据相关工程部门提供的信息，该轴承在1 300 $h$ 内的可靠度为100%。

表5 某轴承的无失效数据

Table 5 Zero-failure data of a certain bearing

组数 $i$	截尾时间 $t_{i} / h$	样本数 $n_{i}$	未失效数 $s_{i}$
1	135	6	21
2	280	5	15
3	370	4	10
4	665	3	6
5	1 150	2	3
6	1 300	1	1

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估计精度受超参数 $c$ 的影响，故讨论当 $c$ =4~7时各方法的估计效果和稳健性。 $c$ =4~7时轴承的可靠度如图3所示。

图3

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图3 在 $c = 4 ~ 7$ 时轴承的可靠度

Fig.3 Reliability of bearings when $c = 4 ~ 7$

由图3可知：

1）当 $c = 4 ~ 7$ 时，从总体上来看，4种方法按可靠度估计精度从大到小的排序依次是本文方法、E-Bayes、多层Bayes和传统Bayes，本文方法估计的结果更加接近实际值，且其具有良好的稳健性。

2）当 $c = 4$ 时，本文方法在1 100 $h$ 以前的可靠度估计效果好于E-Bayes和多层Bayes，1 100 $h$ 以后逐渐出现差于多层Bayes和E-Bayes的趋势。

3）在试验组数不变的情况下， $c$ 值越大，各方法的估计效果越好。

4 双修正多层Bayes的适用性分析

以上验证结果表明了本文方法的估计效果较好，但在实验过程中存在着一定的偶然性和局限性，主要体现在利用Monte-Carlo法生成呈威布尔分布的无失效数据时须提前设置 $β$ 和 $η$ ，因此仅能体现本文方法在某一特定条件下的优势。为了验证本文算法的适用性，分析当 $β = 1.4 ~ 5$ .0， $η = 1 500 ~ 13 500$ 时双修正多层Bayes结合加权最小二乘法的参数估计效能。利用Monte-Carlo仿真试验，循环10 000次，输出结果为相对误差平均值，具体试验流程如下图4所示。

图4

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图4 适用性分析的试验流程

Fig.4 Experimental process for applicability analysis

运用定量分析法讨论本文方法随威布尔双参数变化的可靠度估计能力,并与E-Bayes、多层Bayes方法进行对比。设置 $η = 2 000$ ，得到 $β$ 变化时各方法的估计效果，结果如图5所示。设置 $β = 3$ ，得到 $η$ 变化时各方法的估计效果，结果如图6所示。

图5

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图5 各方法估计 $β$ 的相对误差

Fig.5 Relative error of each method to estimate $β$

图6

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图6 各方法估计 $η$ 的相对误差

Fig.6 Relative error of each method to estimate $η$

由图5和图6可知： $β$ 会影响各Bayes的估计效果，而 $η$ 几乎不会产生影响；多层Bayes和E-Bayes的估计误差随着 $β$ 的增大而增大，在 $β = 1.5$ 左右时估计效果最好，相对误差控制在20%以下，较本文方法更有优势；本文方法在 $β > 2.2$ 时的估计效果优于E-Bayes和多层Bayes，在 $β = 3$ 左右时估计效果最好，相对误差在10%以下，在 $β > 3$ 时 $E_{m r - β}$ 出现增大的趋势，而 $E_{m r - η}$ 基本不变，总体效果仍显著优于E-Bayes和多层Bayes，且较它们具有更宽的适用区间。

5 结论

为了提高对威布尔分布无失效数据的可靠度点估计精度，本文提出了双修正多层Bayes方法来估计失效概率并完成可靠度评估，得出如下结论：

1）双修正多层Bayes方法能有效改善失效概率的估计精度，尤其在结合加权最小二乘法后，能将威布尔双参数估计的相对误差控制在10%以下。

2）以双修正多层Bayes方法为核心，结合加权最小二乘法，能够有效进行参数估计和可靠度估计，并具有较高的精度和良好的稳健性。

3）通过适用性分析发现，双修正多层Bayes的估计精度更高，且适用范围更宽，尤其对于 $β > 2.2$ 的威布尔分布数据，较主流Bayes方法有显著优势。研究结果可以为其他寿命分布无失效数据的可靠性评估提供参考。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

MARTZ

JR H F

， WALLER

R A

A Bayesian zero-failure （BAZE） reliability demonstration testing procedure

［J］. Journal Of Quality Technology， 1979， 11（3）： 128-138.

[本文引用: 1]

[2]

茆诗松，罗朝斌.

无失效数据的可靠性分析

［J］. 数理统计与应用概率， 1989， 4（4）： 489-506.

[本文引用: 1]

MAO

S S

， LUO

C B

Reliability analysis of zero-failure data

［J］. Mathematical Theory and Application Probability， 1989， 4（4）： 489-506.

[本文引用: 1]

[3]

茆诗松，夏剑峰.

无失效数据的多层贝叶斯分析

［J］. 高校应用数学学报： A辑， 1992， 7（3）： 11.

[本文引用: 1]

MAO

S S

， XIA

J F

Hierarchical bayesian analysis of zero-failure data

［J］. Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities： Series A， 1992， 7（3）： 11.

[本文引用: 1]

[4]

韩明

多层先验分布的构造及其应用

［J］. 运筹与管理， 1997， 6（3）： 10.

[本文引用: 1]

HAN

The structure of hierarchical prior distribution and it’s applications

［J］. Operations Research and Management Science， 1997， 6（3）： 10.

[本文引用: 1]

[5]

韩明

产品无失效数据的综合处理

［J］. 机械工程学报， 2003， 39（2）： 4. doi：10.3901/jme.2003.02.129

DOI:10.3901/jme.2003.02.129 [本文引用: 1]

HAN

Synthesized process for zero-failure data of the products

［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2003， 39（2）： 4.

DOI:10.3901/jme.2003.02.129 [本文引用: 1]

[6]

蔡国梁，吴来林，唐晓芬.

双超参数无失效数据的E-Bayes可靠性分析

［J］. 江苏大学学报（自然科学版）， 2010， 31（6）： 4.

[本文引用: 1]

CAI

G L

， WU

L L

， TANG

X F

E-bayes reliability analysis of double hyperparameters zero failure data

［J］. Journal of Jiangsu University（Natural Science Edition）， 2010， 31（6）： 4.

[本文引用: 1]

[7]

王璨，董玉革，黄聿锋，等.

基于无失效数据失效概率多层Bayes估计的单失效数据可靠性分析

［J］. 机械工程师， 2019（9）： 4.

[本文引用: 1]

WANG

， DONG

Y G

， HUANG

Y F

， et al.

Reliability analysis of single failure datum based on muti-layer bayes estimation

［J］. Mechanical Engineer， 2019（9）： 4.

[本文引用: 1]

[8]

YIN

Y C

， HUANG

H Z

， PENG

， et al.

An E-bayesian method for reliability analysis of exponentially distributed products with zero-failure data

［J］. Eksploatacja i Niezawodnosc - Maintenance and Reliability， 2016， 18（3）： 445-449.

[本文引用: 1]

[9]

宁江凡，鄢小清，张士峰.

液体火箭发动机无失效条件下的可靠性分析方法

［J］.国防科技大学学报， 2006， 28（5）： 4. doi：10.3969/j.issn.1001-2486.2006.05.005

DOI:10.3969/j.issn.1001-2486.2006.05.005

NING

J F

， YAN

X Q

， ZHANG

S F

Study on reliability analysis method of liquid rocket engine in the case of zero-failure

［J］. Journal of National University of Defense Technology， 2006， 28（5）： 4.

DOI:10.3969/j.issn.1001-2486.2006.05.005

[10]

ERTO

， GIORGIO

Modified ‘practical bayes-estimators’ reliability theory

［J］. IEEE Transactions on Reliability， 1996， 45（1）： 132-137.

[11]

KWON

Y I

Design of bayesian zero-failure reliability demonstration test and its application

［J］. Journal of Applied Reliability， 2013， 13（1）： 1-10.

[本文引用: 1]

[12]

刘海涛，张志华.

威布尔分布无失效数据的Bayes可靠性分析

［J］. 系统工程理论与实践， 2008， 28（11）： 6. doi：10.3321/j.issn:1000-6788.2008.11.016

DOI:10.3321/j.issn:1000-6788.2008.11.016 [本文引用: 1]

LIU

H T

， ZHANG

Z H

Bayesian reliability analysis of weibull zero failure data

［J］. Systems Engineering-Theory & Practice， 2008， 28（11）： 6.

DOI:10.3321/j.issn:1000-6788.2008.11.016 [本文引用: 1]

[13]

JIANG

， LIM

J H

， ZUO

M J

， et al.

Reliability estimation in a Weibull lifetime distribution with zero‐failure field data

［J］. Quality and Reliability Engineering International， 2010， 26（7）： 691-701.

[14]

ZHANG

C W

Weibull parameter estimation and reliability analysis with zero-failure data from high-quality products

［J］. Reliability Engineering & System Safety， 2021， 207（3）： 107321.

[本文引用: 1]

[15]

徐天群，陈跃鹏，徐天河，等.

威布尔分布场合下无失效数据的可靠性参数估计

［J］. 统计与决策， 2012（13）： 4.

[本文引用: 1]

T Q

， CHEN

Y P

， XU

T H

， et al.

Estimation of reliability parameters for zero-failure data under Weibull distribution

［J］. Statistics & Decision， 2012（13）： 4.

[本文引用: 1]

[16]

高攀东，沈雪瑾，陈晓阳，等.

无失效数据下航空轴承的可靠性分析

［J］. 航空动力学报， 2015， 30（8）： 8.

[本文引用: 4]

GAO

P D

， SHEN

X J

， CHEN

X Y

， et al.

Reliability analysis for aircraft bearing with zero-failure data

［J］. Journal of Aerospace Power， 2015， 30（8）： 8.

[本文引用: 4]

[17]

李海洋，谢里阳，刘杰，等.

无失效数据场合智能换刀机器人中轴承的可靠性评估

［J］. 机械工程学报， 2019， 55（2）： 186-194. doi：10.3901/jme.2019.02.186

DOI:10.3901/jme.2019.02.186 [本文引用: 1]

H Y

， XIE

L Y

， LIU

， et al.

Reliability evaluation of bearing in the intelligent robot for changing the hob without failure data

［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2019， 55（2）： 186-194.

DOI:10.3901/jme.2019.02.186 [本文引用: 1]

[18]

H Y

， XIE

L Y

， LI

， et al.

Reliability assessment of high-quality and long-life products based on zero-failure data

［J］. Quality and Reliability Engineering， 2019， 35（1）： 470-482.

[本文引用: 1]

[19]

王瑞祥，许凌天，陈晓阳，等.

小样本无失效寿命试验数据的轴承可靠性评估

［J］.航空动力学报， 2021， 36（11）： 2400-2409.

[本文引用: 3]

WANG

R X

， XU

L T

， CHEN

X Y

， et al.

Reliability evaluation of bearing based on small samples and zero-failure life test data

［J］. Journal of Aerospace Power， 2021， 36（11）： 2400-2409.

[本文引用: 3]

[20]

CHEN

， CHEN

， LIU

， et al.

Reliability prediction method for low-cycle fatigue life of compressor disks based on the fusion of simulation and zero-failure data

［J］. Applied Sciences， 2022， 12（9）： 4318.

[本文引用: 1]

[21]

李爽，李云飞，高海军.

威布尔分布无失效数据场合失效概率估计的改进方法

［J］. 统计与决策， 2019（24）： 4.

[本文引用: 2]

， LI

Y F

， GAO

H J

An improved method for estimation of failure probability in weibull distribution without failure date

［J］. Statistics & Decision， 2019（24）： 4.

[本文引用: 2]

A Bayesian zero-failure （BAZE） reliability demonstration testing procedure

1979

... Martz等^[1]是最早开始研究无失效数据处理的学者，提出了一种以失效概率为指标，结合Bayes理论的可靠性评估方法.随后，茹诗松等^[2]提出了配分布曲线法，通过估计无失效数据各个截尾时刻的失效概率，找到失效概率与寿命分布函数之间的关系，用最小二乘法配一条分布曲线，得到可靠度函数.由于配分布曲线法流程清晰，计算相对简便，估计效果稳定，在无失效数据的可靠性研究和实际工程中得到广泛应用. ...

无失效数据的可靠性分析

1989

无失效数据的可靠性分析

1989

无失效数据的多层贝叶斯分析

1992

... 配分布曲线法的关键是估计失效概率，相关学者就失效概率的估计进行了深入的研究，一些成熟的Bayes方法被相继提了出来，如多层Bayes^[3]和E-Bayes法^[4-5].这些方法在试验中得到验证，证明了能够用于无失效情形的分析^[6-7].随后，它们在处理不同寿命分布类型的无失效数据中成为主流方法，尤其在威布尔分布情形的研究中得到广泛的认可^[8-11].一些学者和研究人员通过结合各种估计原理和算法来构造可靠性评估模型，从而解决实际工程问题^[12-14].在实际应用中，超参数和试验分组等影响可靠性评估精度的问题被引入研究，推动了主流Bayes方法在工程问题中的应用^[15-16]. ...

无失效数据的多层贝叶斯分析

1992

多层先验分布的构造及其应用

1997

多层先验分布的构造及其应用

1997

产品无失效数据的综合处理

2003

产品无失效数据的综合处理

2003

双超参数无失效数据的E-Bayes可靠性分析

2010

双超参数无失效数据的E-Bayes可靠性分析

2010

基于无失效数据失效概率多层Bayes估计的单失效数据可靠性分析

2019

基于无失效数据失效概率多层Bayes估计的单失效数据可靠性分析

2019

An E-bayesian method for reliability analysis of exponentially distributed products with zero-failure data

2016

液体火箭发动机无失效条件下的可靠性分析方法

2006

液体火箭发动机无失效条件下的可靠性分析方法

2006

Modified ‘practical bayes-estimators’ reliability theory

1996

Design of bayesian zero-failure reliability demonstration test and its application

2013

威布尔分布无失效数据的Bayes可靠性分析

2008

威布尔分布无失效数据的Bayes可靠性分析

2008

Reliability estimation in a Weibull lifetime distribution with zero‐failure field data

2010

Weibull parameter estimation and reliability analysis with zero-failure data from high-quality products

2021

威布尔分布场合下无失效数据的可靠性参数估计

2012

威布尔分布场合下无失效数据的可靠性参数估计

2012

无失效数据下航空轴承的可靠性分析

2015

... 式中：

0 < p_{i} < 1

；

B (a, b)

为

B e t a

函数；

a

和

b

为超参数且相互独立，一般为了保证其密度函数为减函数以及Bayes估计的稳健性；设

0 < a \leq 1

，

1 < b < c

，

c

为常数，根据文献[16]，

c

通常为整数，在2~7中选取. ...

... 式中：ω_i 为权重.根据文献[16]可知，以总试验时间设计权重，估计效果最好，则：

ω_{i} = n_{i} t_{i} / \sum_{i = 1}^{k} n_{i} t_{i}

. ...

... 航空陀螺仪是一种非常精密的导航仪器，其中轴承是其关键的机械零部件，轴承失效会直接导致陀螺仪发生工作故障.因此，对陀螺仪的轴承进行可靠性评估是极为重要的.采用文献[16]提供的某轴承无失效数据，如表5所示，分别用传统Bayes、E-Bayes、多层Bayes和本文方法进行可靠性分析.另外，根据相关工程部门提供的信息，该轴承在1 300

h

内的可靠度为100%. ...

无失效数据下航空轴承的可靠性分析

2015

... 式中：

0 < p_{i} < 1

；

B (a, b)

为

B e t a

函数；

a

和

b

为超参数且相互独立，一般为了保证其密度函数为减函数以及Bayes估计的稳健性；设

0 < a \leq 1

，

1 < b < c

，

c

为常数，根据文献[16]，

c

通常为整数，在2~7中选取. ...

... 式中：ω_i 为权重.根据文献[16]可知，以总试验时间设计权重，估计效果最好，则：

ω_{i} = n_{i} t_{i} / \sum_{i = 1}^{k} n_{i} t_{i}

. ...

h

内的可靠度为100%. ...

无失效数据场合智能换刀机器人中轴承的可靠性评估

2019

... 随着研究的深入，一些学者发现基于多层Bayes和E-Bayes的估计效果较于保守，于是通过引入Bootstrap法的区间估计或融合多源信息数据来提高模型估计的精度和可信度.李海洋等^[17-18]利用E-Bayes法完成点估计，通过引入参数Bootstrap法完成区间估计并构建融合模型用于机器人轴承可靠性评估，并且在对扭转电机实际运行后的无失效数据的分析中取得了良好的估计效果；王瑞祥等^[19]利用多层Bayes完成点估计，再结合Bootstrap构建小样本无失效的可靠性评估模型；Chen等^[20]针对航空发动机压气机盘的小样本无失效数据，在Bayes估计的基础上采用了融合测试数据与模拟数据的评估思路.极少数学者旨在改进Bayes估计，如：李爽等^[21]在威布尔分布失效概率估计时，利用后验分布调整先验分布来修正失效概率的取值上界，提出了一种基于多层Bayes的改进方法，将它用于提高失效概率估计精度. ...

无失效数据场合智能换刀机器人中轴承的可靠性评估

2019

Reliability assessment of high-quality and long-life products based on zero-failure data

2019

小样本无失效寿命试验数据的轴承可靠性评估

2021

... 为了简化计算，根据工程建议^[19]，取

a

=1，则计算得

B (1, b) = 1 / b

，从而得到

p_{i}

多层Bayes的解析式为： ...

... 为了验证新方法的估计效果，需要进行大量的对比试验.利用Monte-Carlo法可以有效地仿真试验数据，便于评估分析.其详细仿真方法参考文献[19]的做法：由计算机生成700个服从威布尔分布的随机数（产生的随机数要远多于试验产品样本数，本文取产品样本数为28个），并将随机数从小到大排列，然后以每10个数据为一组，共分为70组数据，对其中前7组数据中的首个数据向下取整，可得到7组截尾时间，样本在截尾时间下均没有发生失效，各截尾时刻的样本数随组号依次递减. ...

小样本无失效寿命试验数据的轴承可靠性评估

2021

... 为了简化计算，根据工程建议^[19]，取

a

=1，则计算得

B (1, b) = 1 / b

，从而得到

p_{i}

多层Bayes的解析式为： ...

Reliability prediction method for low-cycle fatigue life of compressor disks based on the fusion of simulation and zero-failure data

2022

威布尔分布无失效数据场合失效概率估计的改进方法

2019

... 由于在无失效场合下，

p_{i}

始终满足

0 < p_{i} < 1

，无法取到0和1，因此考虑通过修正

p_{i}

的取值范围来减小估计误差.根据Bayes修正理论^[21]，后验分布是对先验分布的修正与调整，将其用于估计

p_{i}

的基本思路是：利用前一时刻

p_{i}

的后验分布替代后一时刻

p_{i}

的先验分布. ...

威布尔分布无失效数据场合失效概率估计的改进方法

2019

... 由于在无失效场合下，

p_{i}

始终满足

0 < p_{i} < 1

，无法取到0和1，因此考虑通过修正

p_{i}

的取值范围来减小估计误差.根据Bayes修正理论^[21]，后验分布是对先验分布的修正与调整，将其用于估计

p_{i}

的基本思路是：利用前一时刻

p_{i}

的后验分布替代后一时刻

p_{i}

的先验分布. ...

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