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图1 螺杆马达转子中心节点及其位移—时间历程曲线

Fig.1 Screw motor rotor center node and its displacement‒time history curve

螺杆马达的总效率为容积效率与机械效率的乘积。结合上文公式，即可计算得到螺杆马达在某具体负载扭矩下的总效率η：

η = η_{m} η_{v}

1.2　密封腔性能评价

一个性能优异的螺杆马达在满足理论密封^[16]的同时，还必须保证其密封腔的可靠性与稳定性。螺杆马达的密封腔及其受力情况如图2所示。由图可以看出，螺杆马达内含有多个螺旋状密封腔，相邻密封腔之间被由定、转子形成的接触带隔离开；一个完整的密封腔包含上、下2条接触带。目前应用广泛的密封接触理论^[18]认为：当一条接触带左右两端充满液体且压力分别为p₁、p₂时，只要其上、下两端的接触力F_t和F_b均大于0 N，就表明该时刻定、转子之间紧密接触，即不发生泄漏；同时，接触力不为0 N的接触带越长，密封越可靠。螺杆马达的密封腔除了要保证密封的可靠性外，还须保证密封的稳定性。在螺杆马达密封腔的推移过程中，接触力是动态变化的，接触力波动越小，说明接触越稳定，即密封腔的稳定性越好。通过仿真分析发现，在通入流体的初始阶段，由于流场紊乱，接触带的接触情况存在波动，故本文将密封腔向下推移0.15个导程时的接触力与初始时刻接触力的差值的平均值及均方差作为密封腔稳定性的量化评价指标。

图2

图2 螺杆马达密封腔及其受力示意

Fig.2 Sealing cavity of screw motor and its force diagram

2 短幅内摆线螺杆马达有限元仿真分析

2.1　短幅内摆线螺杆马达的结构参数

由于外摆线螺杆马达存在比较严重的打扣现象，很少在实际工程中使用，因此本文选择在实际工程中应用最为广泛的短幅内摆线螺杆马达为研究对象。所选择的短幅内摆线螺杆马达（7/8头螺杆马达）的流量为30.78 L/s，变幅系数为0.95，导程为914.4 mm，过盈量为0.2 mm，其二维截面参数和结构参数分别如图3和表1所示。

图3

图3 短幅内摆线螺杆马达截面参数示意

Fig.3 Schematic diagram of cross-sectional parameters of short-amplitude endocycloid screw motor

表1 短幅内摆线螺杆马达设计参数

Table 1 Design parameters of short-amplitude endocycloid screw motor

零部件	设计参数	量值
外壳	外径D_o	172 mm
	内径D_i	138 mm
	壁厚δ_S	17 mm
定子	头数N_s	8
	大径R_s	63.7 mm
	小径r_s	50.9 mm
	衬套最小厚度δ_min	5.3 mm
	导程T_s	914.4 mm
转子	头数N_r	7
	偏心距e	6.3 mm
	大径R_r	57.4 mm
	小径r_r	44.4 mm

2.2　短幅内摆线螺杆马达有限元模型及仿真结果

为分析短幅内摆线螺杆马达的工作性能，基于流固耦合方法建立其三维有限元模型^[19-22]，如图4所示。其中：转子材料采用镀铬合金，在建模过程中将其视为刚体；定子材料采用硬度为85，橡胶本构参数C₀₁=2.23 MPa、C₁₀=-0.03 MPa的丁晴橡胶。在螺杆马达实际工作过程中，转子在自转的同时绕定子中心作行星运动，故在仿真过程中，约束定子的所有自由度，约束转子的轴向自由度；将仿真时长设为0.5 s。为模拟螺杆马达在不同工况下的工作性能，在第0.18，0.26，0.34，0.42秒时分别对其施加200，400，600，800 N·m的负载扭矩。

图4

图4 短幅内摆线螺杆马达三维有限元模型

Fig.4 Three-dimensional finite element model of short-amplitude endocycloid screw motor

不同负载扭矩下短幅内摆线螺杆马达的接触力及其差值的仿真结果如图5所示。图中：S表示密封腔上方接触带，X表示密封腔下方接触带，下文同。通过采集密封腔向下推移0.15个导程的接触力数据，整理得到不同负载扭矩下密封腔接触带的接触力并与初始时刻的接触力比较，得到接触力差值。其中：用M_X表示下接触带接触力差值的平均值，用M_S表示上接触带接触力差值的平均值，用D_X表示下接触带接触力差值的均方差，用D_S表示上接触带接触力差值的均方差。

图5

图5 不同负载扭矩下短幅内摆线螺杆马达的接触力及其差值

Fig.5 Contact force and its difference of short-amplitude endocycloid screw motor under different load torques

由图5可知：对于短幅内摆线螺杆马达，随着负载扭矩的增大，其密封腔接触带的接触力峰值增大。当负载扭矩为200 N·m时，接触力峰值为65 N左右；当负载扭矩为800 N·m时，接触力峰值增大到140 N左右。由此说明，接触力峰值与负载扭矩呈正相关。在定、转子啮合过程中，接触力过大会导致定、转子的接触摩擦力增大，进而导致扭矩消耗增长，在交变载荷的影响下螺杆马达更容易磨损。此外，通过分析接触力差值的均方差发现：随着负载扭矩的增大，接触力差值的均方差在总体上呈增大趋势，表明密封腔的稳定性逐渐降低，即密封腔的失稳风险增大。因此，在实际应用中，应该合理控制负载扭矩，以防因过载而导致螺杆马达快速磨损。

不同负载扭矩下短幅内摆线螺杆马达工作性能的仿真结果如表2所示。通过分析表2仿真结果可以发现，随着负载扭矩的增大，短幅内摆线螺杆马达的实际转速并没有大幅度下降，说明该螺杆马达具有良好的转速硬特性^[22]；该螺杆马达出入口两端的压差呈现逐级递增的趋势，其容积效率相对稳定，但机械效率明显提高，总效率逐步提高，说明其具有良好的过载能力。

表2 短幅内摆线螺杆马达工作性能仿真结果

Table 2 Simulation results of working performance of short-amplitude endocycloid screw motor

负载扭矩/(N·m)	理论转速/(r/min)	实际转速/(r/min)	压降^1）/MPa	容积效率/%	机械效率/%	总效率/%
200	123.88	112.85	0.56	91.10	19.23	17.52
400		113.30	0.70	91.46	30.67	28.05
600		111.89	0.82	90.32	39.40	35.59
800		110.25	0.93	89.78	46.33	41.60

1）压降是指螺杆马达出入口两端的压差，下文同。

3 类圆弧线型螺杆马达的设计与分析

3.1　类圆弧线型螺杆马达设计

螺杆马达在井下有多种失效形式，其中最多见的是定、转子之间的磨损失效^[18-19]。过大的接触力会加剧螺杆马达定、转子之间的磨损，导致接触情况较差，而过小的接触力又可能会导致密封腔的密封性能下降。因此，在保证螺杆马达转子齿顶和齿根的良好密封性能的前提下，应尽可能减小其密封腔接触带的接触力，以提高耐磨损能力。为了兼顾螺杆马达密封腔的良好密封性能和接触可靠性，提出了一种类圆弧线型螺杆马达，其截面线型如图6所示。该截面线型是以短幅内摆线转子骨线为基准，分别用椭圆弧、圆弧代替短幅内摆线转子齿顶、齿根的等距曲线。

图6

图6 螺杆马达类圆弧线型示意

Fig.6 Schematic diagram of quasi circular-arc contour-pattern for screw motor

通过观察转子齿顶和齿根的局部放大图可以发现，相较于短幅内摆线螺杆马达，类圆弧线型螺杆马达定、转子的齿根和齿顶连接处的过渡段更加光滑，连接处曲率更小，且不会出现最大综合曲率为+∞的情况，因此其密封腔接触带的接触力也更小。

根据图6，齿根处椭圆弧的参数方程可表示为：

\{\begin{array}{l} x = a c o s t \\ y = b s i n t \end{array}

(6)

式中：a为长半轴O₃E的长度，a=2e；b为短半轴O₃D的长度，b<a。

齿根处的圆弧T₁O₂T的半径为R₂，其中点T为椭圆弧与圆弧的切点。由椭圆性质可知，只有椭圆端点的法线经过椭圆的中心。过点T作椭圆弧法线并与x轴交于点T₂，定义切点T₂处的法向角为α，方向角为β。由椭圆性质可得：

\{\begin{array}{l} t a n α = \frac{a}{b} t a n t \\ t a n β = \frac{b}{a} t a n t \end{array}

(7)

由图6所示几何关系可得：

l_{1} = \frac{a^{2} - b^{2}}{a} c o s t

(8)

l_{2} = \sqrt[]{\frac{b^{4} c o s^{2} t}{a^{2}} + b^{2} s i n^{2} t}

(9)

式中：l₁、l₂分别为线段O₃T₂、TT₂的长度。

在直角△O₂HT₂中，由勾股定理可得：

\begin{array}{l} {[(R + R_{2}) s i n θ]}^{2} + {[(R + R_{2}) c o s θ - R - \frac{a^{2} - b^{2}}{a} c o s t]}^{2} = \\ {(\sqrt[]{\frac{b^{4} c o s^{2} t}{a^{2}} + b^{2} s i n^{2} t} + R_{2})}^{2} \end{array}

(10)

在△ $O O_{2} T_{2}$ 中，根据正弦定理，可得：

∠ O O_{2} T_{2} = a r c s i n [\frac{(R + \frac{a^{2} - b^{2}}{a} c o s t) s i n t}{(R + R_{2}) \sqrt[]{\frac{b^{2}}{a^{2}} c o s^{2} t + s i n^{2} t}}]

(11)

在△ $O O_{2} T_{2}$ 中，根据三角形内外角的关系，可得：

\begin{array}{l} θ (R_{2}) = a r c t a n (\frac{a t a n t}{b}) - \\ a r c s i n [\frac{(R + \frac{a^{2} - b^{2}}{a} c o s t) s i n t}{(R + R_{2}) \sqrt[]{\frac{b^{2}}{a^{2}} c o s^{2} t + s i n^{2} t}}] \end{array}

(12)

式中：θ(R₂)为θ关于R₂的解析算子。

联立式(10)至式(12)，可得 $R_{2}$ 与椭圆几何参数之间的关系：

\begin{array}{l} {[(R + R_{2}) s i n θ (R_{2})]}^{2} + [(R + R_{2}) c o s \overset{}{θ} (R_{2}) - \\ R - \frac{a^{2} - b^{2}}{a} {c o s \overset{}{t}]}^{2} = {(\sqrt[]{\frac{b^{4} c o s^{2} t}{a^{2}} + b^{2} s i n^{2} t} + R_{2})}^{2} \end{array}

第二类椭圆积分^[22-23]的标准形式为：

E (φ, k) = \int_{0}^{φ} \sqrt[]{1 - k^{2} s i n^{2} φ} d φ

(13)

式中：k为椭圆模，且 $0 < k < 1$ 。

根据式(13)，求解齿根椭圆弧的弧长L：

L = \int_{0}^{t} \sqrt[]{a^{2} s i n^{2} t + b^{2} c o s^{2} t} t d t

(14)

令 $φ = π / 2 - t$ ，则可得：

\begin{array}{l} L = - \int_{\frac{π}{2}}^{φ} \sqrt[]{a^{2} c o s^{2} φ + b^{2} s i n^{2} φ} φ d φ = \\ a E (\frac{π}{2}, f) - a E (φ, f) \end{array}

式中：f为椭圆的离心率。

采用上述方法得到转子线型后，采用包络方法得到其共轭曲线，即可获得螺杆马达的类圆弧截面线型。以7/8头螺杆马达为例，其类圆弧线型如图7所示。

图7

图7 7/8头螺杆马达类圆弧线型

Fig.7 Quasi circular-arc contour-pattern of 7/8 head screw motor

3.2　类圆弧线型螺杆马达有限元仿真分析

为了验证所设计的类圆弧线型的合理性，对类圆弧线型螺杆马达进行有限元仿真分析。在结构参数和边界条件设置上，类圆弧线型螺杆马达三维有限元模型与短幅内摆线螺杆马达三维有限元模型相同。不同负载扭矩下类圆弧线型螺杆马达的接触力及其差值的仿真结果如图8所示。

图8

图8 不同负载扭矩下类圆弧线型螺杆马达的接触力及其差值

Fig.8 Contact force and its difference of screw motor with quasi circular-arc contour-pattern under different load torques

由图8所示的接触力曲线可知：与短幅内摆线螺杆马达一样，类圆弧线型螺杆马达的接触力峰值与负载扭矩呈正相关，但在相同负载扭矩下，其接触力峰值低于前者，说明类圆弧线型螺杆马达具有更好的接触性能，即在同等工况下具有更好的耐磨性。此外，在接触力曲线的中间位置出现了一个“驼峰”，使得接触力减缓下降。虽然短幅内摆线螺杆马达的接触力曲线中也出现了驼峰，但是其出现驼峰的接触带长度比类圆弧线型螺杆马达的要短，说明类圆弧线型减缓接触力下降的效果更好，即类圆弧线型螺杆马达具有更加优异的过载能力。

从图8所示的类圆弧线型螺杆马达密封腔上、下接触带的接触力差值可以看出，随着负载扭矩的增大，接触力差值的平均值有所增大，但其均方差并无太大波动，说明类圆弧线型螺杆马达的成腔稳定性更好，对负载表现出较好的适应性。此外，类圆弧线型螺杆马达接触力差值的均方差随负载扭矩增大的变化较小，在负载扭矩为800 N·m时，D_S与D_X值分别为8.78 N和8.50 N，而短幅内摆线螺杆马达的D_S与D_X值分别为18.29 N和7.48 N，说明前者在高负载扭矩下的成腔稳定性优于后者。

类圆弧线型螺杆马达工作性能的仿真结果如表3所示。对比表2和表3可以发现：当负载扭矩小于400 N·m时，短幅内摆线螺杆马达的效率高于类圆弧线型螺杆马达；但当负载扭矩大于400 N·m时，类圆弧线型螺杆马达的效率更高。这进一步说明类圆弧线型螺杆马达具有更高的过载能力。

表3 类圆弧线型螺杆马达工作性能仿真结果

Table 3 Simulation results of working performance of screw motor with quasi circular-arc contour-pattern

负载扭矩/(N·m)	理论转速/(r/min)	实际转速/(r/min)	压降/MPa	容积效率/%	机械效率/%	总效率/%
200	123.88	107.14	0.53	86.48	18.95	16.39
400		106.73	0.64	86.15	31.39	27.40
600		104.92	0.71	84.69	42.43	35.94
800		102.65	0.80	82.86	49.60	42.10

根据前文提出的密封可靠性评价准则，对比短幅内摆线螺杆马达和类圆弧线型螺杆马达的密封长度随负载扭矩的变化情况，结果如图9所示。由图可知，随着负载扭矩的增大，2种螺杆马达的密封长度均呈振荡下降的趋势，但在相同负载扭矩下，类圆弧线型螺杆马达的密封长度更长，说明其密封可靠性更好。

图9

图9 不同螺杆马达的密封长度对比

Fig.9 Comparison of sealing length for different screw motors

3.3　类圆弧线型螺杆马达工作性能实验验证

为了验证所设计的类圆弧线型螺杆马达的可行性，基于图10所示的实验原理，利用图11所示的实验台架对螺杆马达的工作性能进行测试。通过采集数据并整理得到类圆弧线型螺杆马达工作性能实验结果，如表4所示。

图10

图10 螺杆马达工作性能测试实验原理

1—供液箱；2—供液泵；3—旁路调节阀；4—流量计；

5—入口压力表；6—被测螺杆马达；7—出口压力表。

Fig.10 Experimental principle of working performance testing for screw motor

图11

图11 螺杆马达工作性能测试实验台架

Fig.11 Working performance testing experimental bench for screw motor

表4 类圆弧线型螺杆马达工作性能实验结果

Table 4 Experimental results of working performance of screw motor with quasi circular-arc contour-pattern

负载扭矩/(N·m)	理论转速/(r/min)	实际转速/(r/min)	压降/MPa	容积效率/%	机械效率/%	总效率/%
200	123.88	113.84	0.50	91.89	20.09	18.46
400		112.77	0.59	91.03	31.81	28.96
600		111.32	0.67	89.86	44.97	40.41
800		109.01	0.78	87.99	51.55	45.36

通过对比表3和表4的数据可以发现：1）在相同的负载扭矩下，类圆弧线型螺杆马达工作性能的仿真结果与实验结果的误差较小，验证了仿真结果的准确性；2）随着负载扭矩的增大，类圆弧线型螺杆马达的实际转速（实验值比仿真值高5%左右）未出现大幅下降的情况，即未因负载扭矩增大而发生失速现象，说明其具有较好的转速硬特性；3）对比类圆弧线型螺杆马达总效率的实验值与仿真值可以发现，总效率与负载扭矩呈正相关，且实验效率高于仿真效率，但两者的相对误差不大且在合理范围内，说明所设计的类圆弧线型是合理的。研究结果可为后续其他线型螺杆马达的设计提供参考。

4 结论

本文设计了一种类圆弧线型螺杆马达，并与短幅内摆线螺杆马达进行了对比。通过分析可以发现：1）类圆弧线型螺杆马达的实际转速较低，更符合当今低速大扭矩的钻井需要；2）在相同负载工况下，类圆弧线型螺杆马达密封腔接触带的接触力在保证良好密封前提下较小，说明该螺杆马达的接触性能及抗磨损能力较强，且工作寿命较长；3）类圆弧线型螺杆马达的密封长度更长，即密封可靠性较好；4）类圆弧线型螺杆马达密封腔接触带接触力差值的均方差较小，说明密封腔稳定性较好。

综上所述，相较于传统的短幅内摆线螺杆马达，类圆弧线型螺杆马达整体性能更加优异，更加符合当前实际工程需要。

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郑道宽

螺杆马达的流固耦合仿真

［D］.武汉：华中科技大学，2015：23-31.

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D K

Fluid-solid coupling simulation of positive displacement motor

［D］. Wuhan： Huazhong University of Science and Technology， 2015： 23-31.

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黄晓霞

螺杆马达（PDM）流-固耦合动态仿真

［D］.武汉：华中科技大学，2013：12-32.

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Fluid-structure coupling dynamic simulation of positive displacement motor （PDM）

［D］. Wuhan： Huazhong University of Science and Technology， 2013： 12-32.

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王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论［M］.北京：北京大学出版社，2000：520-559.

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