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图1 TPU材料3D打印现场

Fig.1 3D printing site of TPU material

表1 TPU材料的3D打印参数

Table 1 3D printing parameters of TPU material

参数	量值
材料硬度	83A，87A，95A
打印填充率	60%，80%，100%
喷嘴温度	215，218，220 ℃
底板温度	60 ℃
打印速度	15 mm/s
填充速度	12 mm/s
层高	0.12 mm
线宽	0.4 mm

1.2　TPU材料超弹性模型

用来描述超弹性材料力学性能的模型主要分为2种：基于应变能函数的唯象理论模型和基于分子链网络的微观统计模型。基于应变能函数的唯象理论模型又可分为2类：一类是以应变不变量表示的应变能密度函数模型，这类模型把超弹性材料的变形看作各向同性的均匀变形，从而将应变能密度函数表示成变形张量不变量的函数，如Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型等；另一类是以主伸长表示的应变能函数模型，如Ogden模型、Valanis-Landel模型等。基于分子链网络的微观统计模型按照分子链的统计特性也可分为2类：高斯链网络模型和非高斯链网络模型。其中最具代表性的分子统计学模型为Treloar模型和Arruda-Boyce的八链模型^[9-11]。

Mooney-Rivlin模型应用较广泛，其本构模型为：

U = \sum_{i + j = 1}^{N} C_{i j} {(I_{1} - 3)}^{i} {(I_{2} - 3)}^{j} + \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{D_{i}} {(J - 1)}^{2 i}

(1)

I_{1} = λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2}

(2)

I_{2} = {(λ_{1} λ_{2})}^{2} + {(λ_{2} λ_{3})}^{2} + {(λ_{3} λ_{1})}^{2}

(3)

式中：U为应变能密度；N为应变能密度函数的阶数； $C_{i j}$ 为材料参数；I₁和I₂分别为1阶和2阶应变不变量； $D_{i}$ 为材料的不可压缩常数； $J$ 为材料变形后与变形前的体积比； $λ_{1}$ 、 $λ_{2}$ 、 $λ_{3}$ 均为材料主伸长率。

对于不可压缩非线性材料，其典型的二阶三项展开式为：

U = C_{1} (I_{1} - 3) + C_{2} (I_{2} - 3) + \frac{1}{D_{i}} {(J - 1)}^{2}

(4)

Yeoh模型为多项式的特殊形式，有形式简单的优点。当式(1)中N=3时，即得到Yeoh模型的应变能密度函数：

U = \sum_{i = 1}^{3} C_{i 0} {(I_{1} - 3)}^{i} + \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{D_{i}} {(J - 1)}^{2 i}

(5)

式中： $C_{i 0}$ 为材料参数。

Ogden模型是典型的以主伸长表示的应变能函数模型，其应变能密度函数为：

U = \sum_{i + j = 1}^{N} \frac{2 μ_{i}}{α_{1}^{2}} (λ_{1}^{α_{i}} + λ_{2}^{α_{i}} + λ_{1}^{α_{i}} - 3) + \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{D_{i}} {(J - 1)}^{2 i}

(6)

式中： $μ_{i}$ 和 $α_{i}$ 均为待定的材料参数。

Arruda-Boyce模型能较为灵活、准确地处理材料大拉伸，其应变能密度函数为：

\begin{array}{l} U = μ [\frac{1}{2} (I_{1} - 3) + \frac{1}{20 λ_{m}^{2}} (I_{1}^{2} - 9) + \frac{11}{1 050 λ_{m}^{4}} (I_{1}^{3} - 27) + \\ \frac{19}{7 000 λ_{m}^{6}} (I_{1}^{4} - 81) + \frac{519}{673 750 λ_{m}^{8}} (I_{1}^{5} - 243)] + \\ \frac{1}{D_{1}} (\frac{J^{2} - 1}{2} - l n J) \end{array}

(7)

式中： $μ$ 为材料初始剪切模量； $λ_{m}$ 为有限网格的拉伸量。

2 TPU材料力学性能试验

2.1　试验设计与方法

根据GB/T 528—2009《硫化橡胶或热塑性橡胶拉伸应力应变性能的测定》的规定，采用1型哑铃状试样，试样狭窄部分厚度为（4.0±0.2）mm，宽度为（5.0±0.2）mm，长度为（25±0.2）mm；根据GB/T 7757—2009《硫化橡胶或热塑性橡胶压缩应力应变性能的测定》的规定，采用2型圆柱体试样，其直径为（12.5±0.5）mm，高度为（25.0±0.5）mm。在WD-20KE型精密微控电子式万能试验机上进行单轴拉伸和单轴压缩试验。设置加载速度为1 mm/min，采样频率为50 Hz。打印环境温度为25 ℃，采用表1所示的3D打印参数，分别将83A、87A、95A硬度的TPU材料以60%、80%和100%的打印填充率进行打印，得到9组拉伸、压缩试样，每组试样打印5个，共得到45个试样。TPU材料力学性能试验如图2所示。

图2

图2 TPU材料力学性能试验

Fig.2 Mechanical performance test of TPU material

试验完成后，首先进行单因素分析，研究TPU材料硬度和打印填充率对试样柔性的影响，对试样柔性进行量化分析；然后，在单因素试验的基础上，开展二因素三水平分析，进一步探究TPU材料硬度和打印填充率对试样柔性的影响显著性和影响主次关系。

2.2　试验结果与分析

试验后得到的TPU试样受力与变形的关系曲线如图3所示。对试验数据进行整理，得到各组TPU试样应力与应变关系曲线，如图4所示。对9组共45次单轴试验结果进行分析，采用最小二乘拟合法拟合得出TPU试样的弹性模量，如表2所示。由表可知，TPU材料硬度或打印填充率的增大都将增大试样的杨氏模量和压缩模量，导致打印件的柔性减弱。

图3

图3 TPU试样受力与变形的关系曲线

Fig.3 Relationship curves between stress and deformation of TPU specimens

图4

图4 TPU试样应力与应变关系曲线

Fig.4 Stress-strain relationship curves of TPU specimens

表2 TPU试样的弹性模量 (MPa)

Table 2 Elastic modulus of TPU specimens

TPU试样类型	1号		2号		3号		4号		5号
TPU试样类型	杨氏模量	压缩模量	杨氏模量	压缩模量	杨氏模量	压缩模量	杨氏模量	压缩模量	杨氏模量	压缩模量
83A 60%	4.71	3.30	4.81	3.77	4.84	3.31	4.86	3.42	5.17	3.79
83A 80%	4.97	4.04	4.84	3.63	5.40	3.72	4.79	3.29	4.77	3.27
83A 100%	5.98	4.86	6.02	4.70	5.80	4.16	5.97	4.09	5.89	4.07
87A 60%	5.27	4.75	5.23	4.85	5.35	4.56	5.22	4.57	5.20	4.76
87A 80%	6.84	5.10	6.97	5.61	6.99	5.48	6.78	5.61	6.86	5.86
87A 100%	6.92	6.38	7.19	6.53	8.65	5.74	7.61	5.84	10.77	5.83
95A 60%	11.47	10.39	11.42	10.21	11.21	10.06	11.64	10.26	12.17	9.76
95A 80%	12.13	11.13	13.53	11.66	13.16	11.67	13.72	12.06	13.49	12.25
95A 100%	16.77	14.16	16.69	14.31	16.99	14.58	15.99	14.41	17.68	14.78

2.2.1　单因素试验结果与分析

为了研究TPU材料硬度对试样柔性的影响，选取83A、87A、95A三种硬度材料，用100%打印填充率进行打印，得到的试样柔性如图5所示。图中柱子上方的不同字母表示组间差异显著（p<0.05, Duncan’s法）。3种TPU材料硬度下试样柔性正态性检验显著：83A硬度下， $p = 1.60 \times 10^{- 5}$ ；87A硬度下， $p = 6.27 \times 10^{- 11}$ ；95A硬度下， $p = 4.99 \times 10^{- 8}$ 。方差齐性检验显著， $p = 0.071$ 。不同TPU材料硬度下试样柔性差异显著，随着材料硬度增大，柔性显著减弱。

图5

图5 不同TPU材料硬度下试样的柔性

Fig.5 Flexibility of specimens under different TPU material hardness

为了研究打印填充率对试样柔性的影响，选择95A硬度的TPU材料，分别用60%、80%和100%的打印填充率进行打印，得到的试样柔度如图6所示。3种打印填充率下试样柔性正态性检验显著：60%填充率下， $p = 1.70 \times 10^{- 4}$ ；80%填充率下， $p = 6.37 \times 10^{- 7}$ ；100%填充率下， $p = 5.30 \times 10^{- 3}$ 。方差齐性检验显著， $p = 0.029$ 。不同打印填充率下试样柔性差异显著，随着打印填充率增大，柔性显著减弱。

图6

图6 不同打印填充率下试样的柔性

Fig.6 Flexibility of specimens under different print fill rates

2.2.2　两因素试验结果与分析

为了进一步研究TPU材料硬度与打印填充率的交互作用对试样柔性的影响，进行两因素有重复试验，并进行方差分析，结果如表3所示。由表可知，TPU材料硬度与打印填充率的交互作用对试样柔性的影响达到了极显著水平，TPU材料硬度和打印填充率主效应对试样柔性的影响也是极显著性的。TPU试样柔性的变化趋势如图7所示。由图可知，影响试样力学性能的主次因素分别为TPU材料硬度、打印填充率。选用83A硬度的TPU材料以60%的打印填充率打印，则试样的杨氏模量最小，柔性最佳。

表3 TPU试样柔性两因素试验方差分析结果

Table 3 Variance analysis results of two factor experiment on the flexibility of TPU material specimens

影响因素	自由度	离差平方和	平均离差平方和	F	p^①
TPU材料硬度	2	0.109	0.054	737.699	$0 . 000^{* *}$
打印填充率	2	0.014	0.007	97.097	$0 . 000^{* *}$
交互作用	4	0.003	0.001	11.410	$0 . 000^{* *}$
误差	36	0.003	$7.357 \times 10^{- 5}$
总和	45	1.014

①“ $* *$ ”表示极显著。

图7

图7 TPU试样柔性变化趋势

Fig.7 Variation trend of flexibility of specimens

3 TPU材料本构模型参数确定及拉伸仿真

3.1　TPU材料本构模型参数的确定

本文选取了超弹性材料模型中最具代表性的4种模型，即Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型、Ogden模型和Arruda-Boyce模型，进行TPU材料本构模型参数的确定。对TPU材料而言，采用双轴拉伸试验比较困难，因此对其进行单轴压缩试验。设圆柱体橡胶试样底面的初始圆半径为 $R_{0}$ ，初始高度为 $h_{0}$ ，试样受面力F_c作用，压缩后高度为h_x，底面半径变为R_x，而由于TPU材料的不可压缩性，压缩前后其体积保持不变。根据应力与应变的定义及TPU材料特性，其压缩应变ε_c和压缩应力σ_c分别为：

ε_{c} = \frac{h_{x}}{h_{0}}

(8)

σ_{c} = \frac{F_{c}}{π R_{0}^{2}}

(9)

其等效双轴拉伸应变ε_t为：

ε_{t} = \frac{R_{x}}{R_{0}} = \frac{\sqrt[]{R_{0}^{2} h_{0} / (h_{0} - h_{x})} - R_{0}}{R_{0}} = \sqrt[]{h_{0} / (h_{0} - h_{x})} - 1

(10)

等效双轴拉伸应力σ_t为：

σ_{t} = \frac{F_{t}}{2 π R_{0} h_{0}}

(11)

式中：F_t为径向载荷。

联立式(8)至式(11)，可得TPU材料单轴压缩与双轴拉伸的等效关系为：

σ_{c} = σ_{t} (1 + ε_{t})^{3}

(12)

ε_{c} = \frac{1}{(1 + ε_{t})^{2}} - 1

(13)

将TPU试样的单轴压缩试验数据等效为等双轴拉伸数据，结合单轴拉伸试验数据，利用ABAQUS软件来拟合4种TPU材料本构模型的材料参数。TPU材料本构模型的拟合曲线如图8所示。由图可知：Mooney-Rivlin模型对83A和87A试样的力学性能预测效果较好，对95A试样的预测效果较差；在TPU试样产生大应变的情况下，Yeoh模型的预测效果较好；Ogden模型对所列的9种TPU试样都有很好的预测效果；Arruda-Boyce模型的拟合效果不太理想，只对83A和87A试样应变为5~8时及95A试样应变为3~5时才有较好的预测效果。4种模型对相同硬度、不同打印填充率打印的试样的预测效果没有明显差别。整理后所得的各模型材料参数如表4所示。

图8

图8 TPU材料本构模型的拟合曲线

Fig.8 Fitting curve of TPU material constitutive model

表4 TPU材料本构模型的材料参数 (Pa)

Table 4 Material parameters of TPU material constitutive models

模型	材料常数^①	83A60%	83A80%	83A100%	87A60%	87A80%		87A100%	95A60%	95A80%	95A100%
Mooney-Rivlin	C₁/10⁵	4.15	5.01	5.70	5.08	6.88		7.17	11.80	13.20	14.30
Mooney-Rivlin	C₂/10⁶	1.30	0.97	1.40	1.05	1.33		1.45	1.85	2.33	3.93
Yeoh	C₁₀/10⁶	0.88	0.95	1.06	0.86	1.16		1.38	2.10	2.36	2.99
	C₂₀/10³	-1.72	-1.85	-1.51	-0.94	-1.39		-3.40	-12.80	-11.60	-9.67
	C₃₀	3.28	3.49	2.02	1.18	1.98		6.58	71.14	61.67	26.11
Ogden	$μ_{1}$ /10⁵	3.95	5.59	5.91	5.62	6.38		6.92	3.03	11.90	12.90
	$μ_{1}$ /10⁵	-1.36	-1.10	-1.15	-2.11	-1.25		-5.61	-12.50	-10.10	-10.10
	$μ_{1}$ /10⁶	2.45	2.60	2.71	2.65	2.73		3.51	5.86	6.96	8.66
	$α_{1}$	2.92	3.18	3.19	3.21	3.25		3.53	3.73	3.56	3.54
	$α_{2}$	3.29	3.58	3.61	3.60	3.64		3.61	3.61	3.49	3.48
	$α_{3}$	1.52	1.26	1.35	1.31	1.39		1.95	1.63	1.57	1.58
Arruda-Boyce	$μ$ /10⁶	1.41	1.42	1.73	1.47	2.08	2.16		3.45	4.09	4.75
Arruda-Boyce	$λ_{m}$ /10⁴	4.91	3.83	5.07	5.38	5.89	5.76		2.79	2.74	5.12

①对于超弹性材料，不可压缩参数可忽略不计。

将所得本构模型的材料参数与TPU材料硬度x、打印填充率y（定义y为打印填充率×100，如60%填充率，取y=60）进行多元线性回归拟合，得到它们之间的函数关系如下。

Mooney-Rivlin模型：

C_{1} = 4 038 x^{2} - 82.5 y^{2} - 665 900 x + 1 715 y + 187.9 x y + 27 110 000

C_{2} = 13 750 x^{2} + 716.7 y^{2} - 2 667 000 x - 471 700 y + 4 286 x y + 132 400 000

Yeoh模型：

C_{10} = 10 520 x^{2} + 137.5 y^{2} - 1 861 000 x - 135 300 y + 1 433 x y + 83 320 000

C_{20} = - 93.89 x^{2} - 0.15 y^{2} + 15 290 x - 649.7 y + 7.71 x y + 622 200

C_{30} = 0.511 4 x^{2} - 0.01 y^{2} - 78.8 x + 10.15 y - 0.100 7 x y + 2 944

Ogden模型：

μ_{1} = 684 x^{2} - 392.1 y^{2} - 231 000 x - 84 890 y + 1 795 x y + 12 460 000

μ_{2} = - 4 517 x^{2} - 330.4 y^{2} + 670 900 x - 5 686 y + 654.5 x y - 26 380 000

μ_{3} = 35 870 x^{2} + 525 y^{2} - 6 436 000 x - 528 500 y + 5 402 x y + 292 600 000

α_{1} = - 0.001 944 x^{2} + 0.000 058 y^{2} + 0.472 8 x + 0.086 67 y - 0.001 049 x y - 23.11

α_{2} = - 0.003 507 x^{2} - 0.000 092 y^{2} + 0.696 3 x + 0.092 84 y - 0.000 866 1 x y - 31.21

α_{3} = - 0.003 16 x^{2} + 0.000 375 y^{2} + 0.588 x - 0.0482 2 y - 0.000 093 75 x y - 23.68

Arruda-Boyce模型：

μ = 14 860 x^{2} - 87.5 y^{2} - 2 592 000 x - 145 400 y + 2 022 x y + 113 100 000

λ_{m} = - 445.1 x^{2} + 17.13 y^{2} + 74 560 x - 6 693 y + 47.46 x y - 2 970 000

根据实际设计情况选择相应的模型，将选定的TPU硬度和打印填充率代入对应关系式即可得到模型的材料参数，完成模型的构建。

3.2　TPU试样拉伸仿真

为了验证所得模型的准确性，对TPU材料拉伸试样建立有限元模型，进行仿真分析。TPU材料为近似不可压缩材料，不能采用常规单元进行模型的网格划分，故采用八节点C3D8RH实体交杂单元划分网格。拉伸试样的有限元模型共划分为4 960个单元、25 445个节点。同时设置载荷和固定边界条件，分析试样轴向拉伸300 mm时的应变和应力情况。仿真结果表明，由于位移的累积，试样在施加强制位移的一端变形量较大，与实际试验情况一致。在轴向拉伸300 mm的仿真中，不同本构模型下TPU试样的最大应力值如表8所示。由表可知：83A60%试样的最大应力值为10.05 MPa，采用的是Yeoh模型；其次是Ogden模型，最大应力值为9.607 MPa；采用Arruda-Boyce模型的最大应力是9.274 MPa；采用Mooney-Rivlin模型的应力值最小，其最大应力值为8.289 MPa。

表5 不同本构模型下TPU试样的最大应力值 (MPa)

Table 5 Maximum stress values of TPU specimens under different constitutive models

本构模型	83A60%	83A80%	83A100%	87A60%	87A80%	87A100%	95A60%	95A80%	95A100%
Mooney-Rivlin	8.289	8.999	10.92	9.150	12.12	13.14	19.41	22.30	27.44
Yeoh	10.050	11.195	12.90	10.722	14.13	14.73	18.86	22.84	31.10
Ogden	9.607	10.650	12.82	10.746	14.05	15.21	20.78	23.66	31.56
Arruda-Boyce	9.274	9.493	11.77	9.821	13.85	14.77	22.47	26.68	31.34

不同本构模型下TPU试样拉伸仿真结果与实验结果的对比如图9所示。由图可知：在50 mm变形以内（即应变小于2），Mooney-Rivlin和Ogden模型的仿真值与实验值较吻合，Yeoh模型的仿真值与实验值之间存在较小的差距，而Arruda-Boyce模型的差距较大，不适合于在此应变范围拟合；在变形50~175 mm（即应变范围为2~7）时，只有Mooney-Rivlin和Arruda-Boyce模型在TPU试样柔性较高的情况下拟合效果较差，其他的仿真值与实验值都吻合较好：在试样变形超过175 mm（即应变大于7）时，Mooney-Rivlin模型的拟合效果较差，Ogden和Yeoh模型的仿真值与实验值较吻合，Arruda-Boyce模型在TPU试样柔性较高的情况下拟合效果较差，随着柔性降低，其拟合效果逐渐变好。

图9

图9 不同本构模型下TPU试样拉伸仿真结果与实验结果的对比

Fig.9 Comparison of tensile simulation results and experimental results of TPU specimens under different constitutive models

由此可得，Ogden模型对各柔性程度、全应变范围的TPU材料都有比较好的拟合效果，Mooney-Rivlin模型适合于拟合应变在7以内的TPU材料；Yeoh模型与Ogden模型类似，在应变小于2时拟合效果略差于Ogden模型，应变超过2时Yeoh模型拟合效果较好；Arruda-Boyce模型仅对柔性较小的TPU材料有较好的拟合效果。

4 实验验证

为了进一步验证所得模型的有效性，以95A硬度、100%打印填充率的打印参数为例制作了柔顺结构和鳍形手指两种典型的柔顺机构样件，对其进行压缩实验，并将实验结果与4种模型的仿真结果进行对比。

柔顺机构压缩变形如图10所示，其力与变形的关系曲线如图11所示。由图11(a)可知：该柔顺结构受压变形时，力—变形的仿真值与实验值的变化趋势基本一致，其中Ogden和Mooney-rivlin模型的误差较小，Yeoh模型在该柔顺结构变形较小时仿真值与实验值比较吻合，Arruda-Boyce模型的吻合程度较差，不适合于TPU材料打印件的仿真。由图11(b)可知：在鳍形手指抓取包裹物体的过程中，力—变形曲线有所波动，这是由手指内部的铰链变化以及接触摩擦引起的，在有限元仿真中忽略了这些影响；Ogden和Mooney-rivlin模型的吻合度较好，其仿真值整体变化趋势与实验值一致。

图10

图10 柔顺机构压缩变形示意

Fig.10 Schematic diagram of compression deformation of compliant mechanism

图11

图11 柔顺机构受力与变形的关系曲线

Fig.11 Relationship curve between stress and deformation of compliant mechanism

5 结论

1）对3D打印TPU材料的力学性能进行了试验研究，分析了TPU材料硬度和打印填充率对TPU材料力学性能的影响。进行单因素和两因素试验并结合方差分析，确定了显著影响TPU材料柔性的主次因素。针对常用的超弹性本构模型，本文重点分析了具有代表性的Mooney-Rivlin、Yeoh、Ogden和Arruda-Boyce等4种模型的材料参数，结合TPU材料力学性能试验数据，对不同打印参数下的TPU试样进行分析，得到了上述4种模型的材料参数值。建立了TPU材料标准试样的有限元模型，对其进行了拉伸工况下的有限元分析和实验验证，并得到了各模型材料参数与TPU材料硬度和打印填充率的函数关系。

2）研究结果表明，3D打印件的杨氏模量与TPU材料硬度及打印填充率呈较强的正相关，TPU材料硬度和打印填充率对打印件的柔性影响极显著，其中采用83A硬度材料的打印件的柔性明显比87A和95A硬度的好，采用60%打印填充率的打印件的柔性比80%和100%的好。影响打印件柔性程度两因素的主次顺序依次为TPU材料硬度、打印填充率。在TPU材料4种常用的超弹性本构模型中，Ogden模型对于所列的9种TPU打印件都具有很好的力学性能预测效果，Yeoh模型在TPU材料发生大应变的情况下预测效果较好，Mooney-Rivlin模型在TPU83A和87A硬度下预测效果较好，对于95A硬度的TPU材料的预测效果则相对较差。Arruda-Boyce模型对于TPU的预测效果不太理想，而4种模型在相同TPU材料硬度、不同填充率下的预测效果没有明显差别。

3）得到了TPU材料较佳的3D打印参数，以及不同打印参数下TPU材料的力学性能指标。研究结果可以为TPU材料的3D打印和有限元仿真分析提供参考，为柔顺机构在设计过程中的试验、性能验证及样件制作提供可靠的技术支撑。

参考文献

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