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图1 线簧孔式接触件结构示意

Fig.1 Schematic diagram of wire spring hole contact structure

线簧插孔由前套、后套、内套以及线簧丝四部分组成。多根线簧丝按照单叶回转双曲面的直母线排列方式，均匀地分布在内套上并与内套的中心线形成一定角度，如图2所示；前套和后套起固定线簧丝的作用，并分别与内套压接配合。

图2

图2 插针和线簧插孔内部接触示意

Fig.2 Schematic diagram of internal contact between pin and wire spring socket

图3所示为线簧丝包络面示意，其中线簧丝与内套中心线的夹角 $θ$ 即为线簧丝倾角， $λ$ 为喉圆半径。由图3可知，线簧丝倾角改变会使喉圆半径发生变化，而喉圆半径决定了线簧丝的形变量，从而影响线簧丝与插针之间的接触压力。

图3

图3 线簧丝包络面示意

Fig.3 Schematic diagram of wire spring envelope surface

1.2　线簧丝倾角改变时的失效机理分析

在贮存环境下，线簧孔式电连接器的接触失效机理主要为接触件基底材料铜的氧化腐蚀^[11-12]。接触件的表面通常会进行镀金处理，由于镀层较薄且往往存在孔隙，使得部分基底材料铜暴露在空气中；同时，基底材料中的Cu⁺也会通过快速扩散通道（如晶体缺陷等）扩散至镀层表面^[13]，而Cu⁺对空气中的氧有强烈的亲和力，易发生反应，生成腐蚀物Cu₂O，且Cu₂O的增长速度与Cu⁺的扩散速率有关。随着Cu⁺的不断扩散，Cu₂O的厚度逐渐增大，接触件的接触电阻随之增大，直至超过失效阈值而发生接触失效。

从微观层面来看，Cu⁺的扩散需要克服能量势垒，克服能量势垒所消耗的能量即为离子间的扩散激活能 $Δ E$ 。接触件插合时所产生的接触压力会在其接触表面形成一个挤压应力J，该应力的存在会使克服能量势垒所消耗的能量增大^[14]。根据空位扩散机制，可认为单个Cu⁺在挤压应力 $J$ 下的受力面积为d²，单次扩散的位移为d，则Cu⁺进行一次扩散所做的功为Jd³，因此在挤压应力J下的扩散激活能为 $Δ E - J d^{3}$ （ $J$ 为负值）^[15]。由上文分析可知，线簧丝倾角增大会导致线簧丝与插针之间的接触压力增大，故Cu⁺单次扩散时所做的功Jd³也将增大，使得扩散激活能增大，导致单位时间内扩散至表面的Cu⁺数量减少，腐蚀物Cu₂O的增长速度减慢，从而延长了线簧孔式接触件的贮存寿命。

1.3　贮存可靠性统计模型

1）性能退化模型。

接触件电阻r由体电阻r_v和接触电阻r_t（包括收缩电阻r_c和膜层电阻r_f）组成。由电接触理论^[16]可得，单根线簧丝与插针接触产生的收缩电阻r_c0和膜层电阻r_f0分别为：

\{\begin{array}{l} r_{c 0} = \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{4} \sqrt[]{\frac{π H}{F}} \\ r_{f 0} = \frac{ρ_{m} H}{F} \end{array}

(1)

式中： $ρ_{1}$ 、 $ρ_{2}$ 分别为插针、线簧丝的电阻率； $H$ 为材料硬度； $F$ 为接触压力； $ρ_{m}$ 为膜层电阻率。

在1对线簧孔式接触件中，每根线簧丝均按单叶回转双曲面的直母线方式排列，且线簧丝之间相互独立，可认为每根线簧丝与插针的接触情况相同，即收缩电阻与膜层电阻分别相同；电信号通过多根线簧丝传递至插针，因此多根线簧丝与插针之间的接触电阻为并联关系。现将线簧孔式接触件中所有线簧丝与插针接触产生的收缩电阻和膜层电阻分别看成一个整体，则接触件电阻可表示为：

r = r_{v} + \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{4 n} \sqrt[]{\frac{π H}{F}} + \frac{ρ_{m} H}{n F}

(2)

式中： $n$ 为线簧孔式接触件中的线簧丝数量。

结合文献[10]，膜层电阻率 $ρ_{m}$ 可表示为：

ρ_{m} = A e x p (- \frac{Δ E β}{k T_{0}}) t^{β}

(3)

式中： $A$ 为与接触件材料结构参数、加工工艺参数和反应系数相关的参数； $β$ 为与接触件材料有关的待定系数； $k$ 为玻尔兹曼常数； $T_{0}$ 为热力学温度；t为时间。

由失效机理分析可知，存在外部挤压应力时的扩散激活能为 $Δ E - J d^{3}$ ，则式(3)可以修正为：

ρ_{m} = A e x p (- \frac{(Δ E - J d^{3}) β}{k T_{0}}) t^{β}

(4)

由此可得，线簧孔式接触件的性能退化模型可表示为：

r = r_{v} + \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{4 n} \sqrt[]{\frac{π H}{F}} + \frac{H A e x p (- \frac{(Δ E - J d^{3}) β}{k T_{0}}) t^{β}}{n F}

(5)

2）寿命分布模型。

对式(5)进行简化，可得：

r = r_{0} + α t^{β}

(6)

其中：

r_{0} = r_{v} + \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{4 n} \sqrt[]{\frac{π H}{F}}

α = \frac{H A e x p (- \frac{(Δ E - J d^{3}) β}{k T_{0}})}{n F}

式中：r₀为体电阻与收缩电阻之和； $α$ 为膜层电阻退化率。

记 $A_{1} = H A / n F$ ， $Q = (Δ E - J d^{3}) β$ ，对 $α$ 作对数处理，可得：

l n α = l n A_{1} - \frac{Q}{k T_{0}}

(7)

当温度一定时， $Q / k T_{0}$ 为常数； $A_{1}$ 为线簧孔式接触件的材料结构参数、加工工艺参数和反应系数等随机变量的组合。由中心极限定理可知， $l n A_{1}$ 服从正态分布，则 $l n α$ 也服从正态分布，即 $l n α ~ N (μ_{l n α}, σ_{l n α}^{2})$ ，其中 $μ_{l n α}$ 和 $σ_{l n α}$ 分别为膜层电阻退化率 $α$ 的对数均值和对数标准差。根据统计学相关知识，可得膜层电阻退化率的对数均值：

μ_{l n α} = μ_{l n A_{1}} - \frac{Q}{k T_{0}} = z_{1} + z_{2} \frac{1 000}{T + 273.15}

(8)

其中：

z_{1} = μ_{l n A_{1}}

z_{2} = - \frac{Q}{1 000 k}

式中： $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 为与接触件材料相关的参数； $T$ 为摄氏温度。

记 $t$ 时刻线簧孔式接触件的电阻为 $r (t)$ ，其失效阈值为 $D$ ，则接触件电阻达到失效阈值的时间t_e（即寿命）可表示为：

t_{e} = i n f \{t : r (t) \geq D; t \geq 0\}

(9)

由于膜层电阻退化率 $α$ 服从对数正态分布，则线簧孔式接触件的失效分布函数 $G (t)$ 可表示为：

G (t) = P (t_{e} \leq t) = Φ (\frac{l n t - [l n (D - r_{0}) - μ_{l n α}] / β}{σ_{l n α} / β})

(10)

式中： $Φ (\cdot)$ 为标准正态分布函数。

电连接器中单对接触件发生失效即可能会导致电信号传递失败，因此电连接器的整体寿命取决于最先发生失效的单对接触件的寿命。从功能上来看，电连接器是由一系列接触件组成的串联系统，其寿命分布为最小极值问题^[2]。因此，在同一线簧丝倾角下，具有 $g$ 对接触件的线簧孔式电连接器的贮存可靠度函数 $R (t)$ 可表示为：

\begin{array}{l} R (t) = {(1 - G (t))}^{g} = \\ {\{1 - Φ (\frac{l n t - [l n (D - r_{0}) - μ_{l n α}] / β}{σ_{l n α} / β})\}}^{g} \end{array}

(11)

1.4　贮存寿命与线簧丝倾角的数学模型

由式(11)可得，线簧孔式电连接器的贮存寿命 $t_{r}$ 为：

t_{r} = e x p (\frac{Φ^{- 1} (1 - R^{1 / g}) σ_{l n α}}{β}) {(D - r_{0})}^{\frac{1}{β}} e x p (- \frac{μ_{l n α}}{β})

(12)

在线簧孔式电连接器的加工制造过程中，误差不可避免，因此其材料硬度 $H$ 和接触压力 $F$ 均为随机变量，对式(7)取均值，可得：

μ_{l n α} = μ_{l n A} + μ_{l n H} - μ_{l n n F} - \frac{Q}{k T_{0}}

(13)

联立式(12)和式(13)并化简可得：

\begin{array}{l} t_{r} = e x p (\frac{Φ^{- 1} (1 - R^{1 / g}) σ_{l n α} - μ_{l n H} - μ_{l n A}}{β}) \\ {(D - r_{0})}^{\frac{1}{β}} e x p (\frac{μ_{l n n F}}{β}) e x p (\frac{Q}{β k T_{0}}) \end{array}

(14)

由失效机理分析可知，同一线簧丝倾角下的挤压应力 $J$ 可视为常量。挤压应力 $J$ 由线簧丝形变产生，记单根线簧丝与插针之间的接触压力均值为 $μ_{F}$ ，接触面积均值为 $μ_{S}$ ，则挤压应力可以表示为 $J = μ_{F} / μ_{S}$ ，由此可得：

Q = (Δ E - \frac{μ_{F} d^{3}}{μ_{S}}) β

(15)

根据统计学知识，可得：

μ_{l n n F} = \frac{\sum_{i = 1}^{m} l n n F_{i}}{m}

（16）

其中：

F_{i} = μ_{F} + x_{i}

式中：m为线簧孔式电连接器中线簧丝的总数量；F_i 为第 $i$ 根线簧丝与插针之间的接触压力；x_i 为由加工制造误差导致的接触压力F_i 与接触压力均值 $μ_{F}$ 的差值。

由此可得：

e x p (\frac{μ_{l n n F}}{β}) = {[\prod_{i = 1}^{m} (μ_{F} + x_{i})]}^{\frac{1}{m β}} n^{\frac{1}{β}}

(17)

联立式(14)、式(15)和式(17)可得：

\begin{array}{l} t_{r} = e x p (\frac{Φ^{- 1} (1 - R^{1 / g}) σ_{l n α} - μ_{l n A} - μ_{l n H}}{β} + \frac{Δ E}{k T_{0}}) \\ {\{n (D - r_{0}) {[\prod_{i = 1}^{m} (μ_{F} + x_{i})]}^{\frac{1}{m}}\}}^{\frac{1}{β}} e x p (- \frac{μ_{F} d^{3}}{μ_{S} k T_{0}}) \end{array}

(18)

由文献[4, 7]可知，在工程实际应用中常用的线簧丝倾角范围（ $7 ° \sim 10 °$ ）内，在除线簧丝倾角外的其他设计参数不变的情况下，线簧孔式接触件中单根线簧丝与插针之间的接触压力随线簧丝倾角的变化规律近似服从线性变化规律，即：

μ_{F} = a θ + b

(19)

式中： $a$ 、 $b$ 为待估计参数。

将式(19)代入式(18)，则式(18)中最后一项可拆解为2项，将与线簧丝倾角无关项与式(18)中的第1项进行合并同类项，则可得：

\begin{array}{l} t_{r} = e x p (\frac{Φ^{- 1} (1 - R^{1 / g}) σ_{l n α} - μ_{l n A} - μ_{l n H}}{β} + \frac{Δ E μ_{S} - b d^{3}}{μ_{S} k T_{0}}) \\ {\{n (D - r_{0}) {[\prod_{i = 1}^{m} (a θ + b + x_{i})]}^{\frac{1}{m}}\}}^{\frac{1}{β}} e x p (- \frac{a d^{3} θ}{μ_{S} k T_{0}}) \end{array}

(20)

式(20)即为线簧孔式电连接器的贮存寿命与线簧丝倾角的数学模型。但由于指数部分引起的变化远远大于幂函数部分引起的变化，为了简化模型，将幂函数部分视为与线簧丝倾角无关的一个常数，令：

\begin{array}{l} K_{1} = e x p (\frac{Φ^{- 1} (1 - R^{1 / g}) σ_{l n α} - μ_{l n A} - μ_{l n H}}{β} + \frac{Δ E μ_{S} - b d^{3}}{μ_{S} k T_{0}}) \\ {\{n (D - r_{0}) {[\prod_{i = 1}^{m} (a θ + b + x_{i})]}^{\frac{1}{m}}\}}^{\frac{1}{β}} \end{array}

K_{2} = - \frac{a d^{3}}{μ_{S} k T_{0}}

由此可得，在工程实际应用中常用的线簧丝倾角范围（ $7 ° \sim 10 °$ ）内，线簧孔式电连接器的贮存寿命与线簧丝倾角的数学模型可表示为：

t_{r} = K_{1} e x p (K_{2} θ)

(21)

2 恒定应力加速退化试验

为了量化线簧孔式电连接器贮存寿命与线簧丝倾角之间的数学关系，并验证所构建数学模型的准确性，开展线簧孔式接触件的恒定应力加速退化试验。试验条件和方法如下。

1）线簧丝倾角水平。根据工程实际应用中线簧孔式电连接器的线簧丝倾角使用范围，选择7°，8°，9°，10°四种线簧丝倾角水平。

2）温度应力水平。以温度应力水平提高不改变线簧孔式电连接器失效机理为前提，得到线簧孔式接触件在158 ℃下未出现除接触失效外的失效情况。参考前期经验，选取4组温度应力水平，最高温度T₄=158 ℃，最低温度T₁=105 ℃；按照温度应力水平等间隔的原则^[17]，确定中间温度T₂=120 ℃，T₃=140 ℃。

3）试验样本量。为了保证试验结果的一般性，同时为了提高寿命评估结果的准确性，在温度T₁下每个线簧丝倾角水平均选取20对接触件，在温度T₂、T₃、T₄下每个线簧丝倾角水平均各选取15对接触件。

4）测试间隔和截尾时间。通过对线簧孔式接触件进行摸底试验后可知，在12 h的测试间隔下，158 ℃下线簧孔式接触件样品的接触电阻退化趋势明显。基于10 ℃法则^[18]，圆整后确定在105，120，140 ℃下的测试间隔分别为120，72，24 h。根据前期其他型号电连接器的试验数据，确定截尾时间为1 500 h。

5）失效判据。由文献[19]可知，直径为1 mm的线簧孔式接触件的电阻不得大于 $5 m Ω$ ，因此确定接触件电阻的失效阈值为 $5 m Ω$ 。

6）测量方法。由于线簧孔式接触件的电阻较小，若选择常规的电阻测量仪，则测量结果在很大程度上会受到连接导线电阻的影响。因此，本文选择采用“开尔文四端线法”作为测量方法。线簧孔式接触件电阻测量现场如图4所示。

图4

图4 线簧孔式接触件电阻测量现场

Fig.4 Resistance measurement site of wire spring hole contact

最终的线簧孔式接触件恒定应力加速退化试验方案如表1所示。

表1 线簧孔式接触件恒定应力加速退化试验方案

Table 1 Schemes for constant stress accelerated degradation test of wire spring hole contact

温度 $T$ /℃	线簧丝倾角 $θ$ /(°)	样本量/对	测试间隔/h	截尾时间/h
105	7	20	120	1 500
	8
	9
	10
120	7	15	72
	8
	9
	10
140	7	15	24
	8
	9
	10
158	7	15	12
	8
	9
	10

3 试验数据统计与分析

3.1　接触件电阻测量结果

按照表1拟定的试验方案，定时测量记录每对线簧孔式接触件的电阻，并对不同温度、不同线簧丝倾角下的线簧孔式接触件的性能退化数据求平均值。以120 ℃为例，计算得到不同线簧丝倾角下线簧孔式接触件的平均性能退化曲线，结果如图5所示。由图5可以发现，线簧孔式接触件的电阻随着试验时间的增加整体呈上升趋势，且随着线簧丝倾角的增大，接触件电阻的增大速率变小。

图5

图5 120 ℃下不同线簧丝倾角下线簧孔式接触件的平均性能退化曲线

Fig.5 Average performance degradation curves of wire spring hole contact under different wire spring inclination angles at 120 ℃

3.2　贮存可靠性统计模型检验

为了检验所构建的线簧孔式电连接器贮存可靠性统计模型的准确性，需要对膜层电阻退化率 $α$ 进行对数正态分布检验。记 $χ_{δ ε φ γ}$ 表示在第 $φ$ 个（ $φ = 1, 2, \dots, 4$ ）温度T下、第 $γ$ 组（ $γ = 1, 2, \dots, 4$ ）线簧丝倾角θ下第 $δ$ 对（ $δ = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, l_{φ γ}$ ， $l_{φ γ}$ 为第 $φ$ 个T下第 $γ$ 组θ对应的接触件数量）线簧孔式接触件的第 $ε$ 次（ $ε = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, h_{φ γ}$ ， $h_{φ γ}$ 为第 $φ$ 个T下第 $γ$ 组θ对应的总测量次数）测量的电阻值。利用式(6)，通过最小二乘法对第 $φ$ 个T下第 $γ$ 组θ对应的第 $δ$ 对接触件的膜层电阻退化率进行估计，并将数据导入Minitab软件进行对数正态分布检验，检验P值如表2所示。

表2 线簧孔式接触件膜层电阻退化率的对数正态分布检验结果

Table 2 Test results of logarithmic normal distribution of film resistance degradation rate of wire spring hole contact

温度/℃	$P_{1 φ} (7 °)$	$P_{2 φ} (8 °)$	$P_{3 φ} (9 °)$	$P_{4 φ} (10 °)$
105	0.911	0.119	0.284	0.526
120	0.935	0.916	0.546	0.508
140	0.540	0.533	0.260	0.347
158	0.353	0.253	0.280	0.786

由表2可知，不同温度和不同线簧丝倾角下线簧孔式接触件的膜层电阻退化率对数正态分布检验的P值均大于0.05，由此可认为膜层电阻退化率服从对数正态分布，即线簧孔式电连接器的贮存可靠性统计模型可用式(11)来描述。

3.3　性能退化模型的参数估计

根据上文建立的线簧孔式接触件的性能退化模型(6)，利用不同试验条件下的接触件电阻测量值，通过最小二乘法求出第 $γ$ 组线簧丝倾角下的模型参数估计初值。为了提高参数估计的精度，采用极大似然估计法对性能退化数据进行统计处理^[20]。

由于在测量过程中线簧孔式接触件的电阻与理论值之间存在随机误差 $κ_{δ ε φ γ}$ ，且 $κ_{δ ε φ γ} \sim N (0, σ_{κ_{δ ε φ γ}}^{2})$ ，又由式(6)可知， $χ_{δ ε φ γ} (t) = f (z_{1}, z_{2}, β, σ_{l n α})$ ，且接触件电阻符合独立同分布，融合所有样品的性能退化试验数据，可建立以下极大似然函数：

\begin{array}{l} L = \prod_{φ = 1}^{4} \prod_{δ = 1}^{l_{φ γ}} \prod_{ε = 1}^{h_{φ γ}} \frac{1}{\sqrt[]{2 π} σ_{κ_{δ ε φ γ}}} e x p (- \frac{{(x_{δ ε φ γ} - r_{δ ε φ γ})}^{2}}{2 σ_{κ_{δ ε φ γ}}^{2}}) \\ \frac{1}{l n α_{δ φ γ} \sqrt[]{2 π} σ_{l n α_{γ}}} e x p (- \frac{{(l n α_{δ φ γ} - μ_{l n α_{δ φ γ}})}^{2}}{2 σ_{l n α_{γ}}^{2}}) \end{array}

(22)

令 $f_{1} (z_{1}, z_{2}, β, σ_{l n α}) = - l n L$ ，将由最小二乘法拟合得到的参数估计值作为初值，调用MATLAB软件中的fmincon函数对式(22)进行最优化寻解，即可得到性能退化模型参数的极大似然估计值，计算结果如表3所示。

表3 线簧孔式接触件性能退化模型参数的极大似然估计值

Table 3 Maximum likelihood estimation of performance degradation model parameters for wire spring hole contact

线簧丝倾角/(°)	${\hat{σ}}_{l n α_{γ}}$	${\hat{z}}_{1}$	${\hat{z}}_{2}$	$\hat{β}$
7	0.329 9	1.660 7	-2.679 3	0.519 7
8	0.334 1	1.372 0	-2.541 6	0.507 3
9	0.341 8	1.335 6	-2.497 1	0.496 2
10	0.344 1	1.851 9	-2.687 7	0.497 9

3.4　贮存寿命与线簧丝倾角的数学模型求解

假设常应力下的温度为25 ℃，由加速因子不变原则^[21]可知，在失效机理不变的情况下，参数 $σ_{l n α}$ 和 $β$ 的值不随温度的变化而变化。将表3中的数据代入式(8)和式(11)，即可得到各个线簧丝倾角水平下的线簧孔式电连接器的贮存可靠度函数。利用MATLAB软件编程得到常温（25 ℃）下线簧丝倾角不同时线簧孔式电连接器的可靠度曲线，结果如图6所示。根据图6，不难发现随着线簧丝倾角的增大，同一可靠度下线簧孔式电连接器的贮存寿命增大。

图6

图6 不同线簧丝倾角下线簧孔式电连接器的可靠度曲线

Fig.6 Reliability curves of wire spring hole electrical connector under different wire spring inclination angles

将表3中的数据代入式(12)，即可得到可靠度 $R = 0.99$ 时不同线簧丝倾角下线簧孔式电连接器的贮存寿命，如表4所示。

表4 不同线簧丝倾角下线簧孔式电连接器的贮存寿命（ R=0.99）

Table 4 Storage life of wire spring hole electrical connector under different wire spring inclination angles（R=0.99）

线簧丝倾角/(°)	7	8	9	10
贮存寿命/h	502 530	537 485	608 135	720 806

根据式(21)，利用表4数据进行最小二乘拟合，结果如图7所示，可得 $K_{1} = 201 597$ ， $K_{2} = 0.125 6$ ，拟合优度为 $0.968 1$ ，具有较高的拟合精度，进一步证明了在工程实际应用中常用的线簧丝倾角范围（ $7 ° \sim 10 °$ ）内，线簧孔式电连接器的贮存寿命与线簧丝倾角之间满足指数关系。最终可得，当可靠度 $R = 0.99$ 时，线簧孔式电连接器的贮存寿命与线簧丝倾角的函数关系式为 $t_{r} = 201 597 e x p (0.125 6 θ)$ 。

图7

图7 线簧孔式电连接器贮存寿命与线簧丝倾角的拟合曲线

Fig.7 Fitting curves between storage life and wire spring inclination angle of wire spring hole electrical connector

4 结论

1）基于线簧丝倾角改变时线簧孔式接触件的失效机理，建立了线簧孔式电连接器的贮存可靠性统计模型及其贮存寿命与线簧丝倾角的数学模型。结果表明，贮存寿命与线簧丝倾角之间服从指数变化规律。

2）设计了不同线簧丝倾角下的线簧孔式接触件恒定应力加速退化试验方案，结果验证了所构建的线簧孔式电连接器贮存可靠性统计模型的准确性，且电连接器的贮存可靠性随线簧丝倾角的增大而增大。通过试验数据量化得到了线簧孔式电连接器贮存寿命与线簧丝倾角的函数关系式，其拟合精度较高，验证了所构建数学模型的准确性。

3）不同线簧丝倾角下线簧孔式电连接器的可靠性评估结果可为后续的电连接器可靠性增长设计提供一定的理论基础和参考。

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