0　引言

跟踪性是动力系统中重要的概念之一，不仅与系统的稳定性和混沌密切相关^[1], 而且在计算数学领域有着广泛的应用前景，已成为一种重要的技术工具。随着动力系统的不断发展，基于理论和实际的需要，出现了各种跟踪性概念，例如周期跟踪性、极限跟踪性、渐进平均跟踪性、序列跟踪性、强跟踪性、Lipschitz跟踪性等，在离散动力系统中，这些跟踪性的理论已经非常成熟^{[2,3,4,5,6,7,8,9,10]}。赵俊玲等^[2]研究了紧致度量空间中周期伪轨跟踪性和伪轨跟踪性的关系；李明军等^[3]研究了逆极限空间中f具有序列跟踪性与移位映射σ具有序列跟踪性的关系，冀占江^[4]研究了拓扑群作用下逆极限空间中f具有强跟踪性与移位映射σ具有强跟踪性的关系。 由于非自治动力系统的研究起步较晚，其理论成果不及离散系统丰富与完善。目前，很多学者已在研究非自治动力系统的混沌、熵、稳定性等动力学性质^[11,12,13]，但有关非自治动力系统跟踪性的研究成果较有限^[14,15]。本文受文献[3,4]研究思路的启发，通过将周期跟踪性和极限跟踪性的概念引入非自治动力系统，以研究非自治动力系统中的拓扑共轭不变性，得到：(1)若F={fi}i=0∞拓扑共轭于G={gi}i=0∞，则F具有周期跟踪性当且仅当G具有周期跟踪性；(2)若F={fi}i=0∞拓扑共轭于G={gi}i=0∞，则F具有极限跟踪性当且仅当G具有极限跟踪性。另外，还在非自治动力系统中引入乘积系统定义，并证明了：若乘积系统(X×Y,F×G)具有周期跟踪性，则(X,F)和(Y,G)具有周期跟踪性。由于离散动力系统是非自治动力系统的一种特殊情况，因此,本文的结论是对离散动力系统中周期跟踪和极限跟踪性相应结果的推广，同时也丰富了非自治动力系统周期跟踪性和极限跟踪性理论，有一定的学术价值。

1　有关概念和记号

定义1　设X，Y是拓扑空间，若f:X→Y为一一映射，并且f，f-1:Y→X都是连续的,则称f为同胚映射。

定义2^[12]　设(X,d)是度量空间，fk:X→X为一列连续映射，k=1,2,⋯，f0为单位映射，记Fk=fk⋅fk-1⋅⋯⋅f1⋅f0，称F={fk}k=0∞为X上的一个时变映射族，(X,d,F)为非自治离散动力系统,简称(X,F)非自治离散动力系统。

定义3^[13]　设(X,F)为非自治离散动力系统，F={fk}k=0∞为X上的一个时变映射族，x∈X。 若存在正整数m∈N+使得Fm(x)=x，则称点x为F的周期点。F周期点组成的集合记为P(F)。

定义4^[13]　设(X,F)和(Y,G)为非自治离散动力系统，F={fk}k=0∞和G={gk}k=0∞分别为X和Y上的时变映射族。 若存在同胚映射h:X→Y使得对任意的自然数k均有gk⋅h=h⋅fk，则称F={fk}k=0∞与G={gk}k=0∞关于h拓扑共轭。

下面参照离散动力系统中周期跟踪性和极限跟踪性的定义，给出非自治动力系统中周期跟踪性和极限跟踪性的概念。

定义5　设(X,d)为度量空间，F={fk}k=0∞为X上的时变映射族，{xi}i=0∞为X中的序列。若对任意的i≥0，均有d(fi+1(xi),xi+1)<δ，则称{xi}i=0∞是F的δ-伪轨。

定义6　设(X,d)为度量空间，F={fk}k=0∞为X上的时变映射族，{xi}i=0∞为F的δ-伪轨。若存在n>0使得xkn+j=xj,k>0,0≤j<n，则称{xi}i=0∞是F的δ-周期伪轨。

定义7　设(X,d)为度量空间，F={fk}k=0∞为X上的时变映射族，y∈X，ε>0，{xi}i=0∞为X中的序列。若对任意的i≥0，均有d(Fi(y),xi)<ε，则称yε-跟踪{xi}i=0∞。

定义8　设(X,d)为度量空间，F={fk}k=0∞为X上的时变映射族，∀ε>0，∃δ>0，使得对X中F的任意δ-周期伪轨{xi}i=0∞，存在y∈P(F)，yε-跟踪{xi}i=0∞，则称F具有周期跟踪性。

定义9　设(X,d)为度量空间，F={fk}k=0∞为X上的时变映射族，{xi}i=0∞为X中的序列。若limi→∞d(fi+1(xi),xi+1)=0，则称{xi}i=0∞是F的极限伪轨。

定义10　设(X,d)为度量空间，F={fk}k=0∞为X上的时变映射族，y∈X，{xi}i=0∞为X中的序列。若limi→∞d(Fi(y),xi)=0，则称y极限跟踪{xi}i=0∞。

定义11　设(X,d)为度量空间，F={fk}k=0∞为X上的时变映射族。若对X中F的任意极限伪轨{xi}i=0∞，存在y∈X，y极限跟踪{xi}i=0∞，则称F具有极限跟踪性。

设(X,d1)和(Y,d2)为度量空间，F={fk}k=0∞和G={gk}k=0∞分别为X和Y上的时变映射族。在乘积空间X×Y定义d：

则d为乘积空间X×Y上的度量。

设f:X→X连续，g:Y→Y连续，定义映射(f×g)(x,y)=(f(x),g(x)),(x,y)∈X×Y，

则称f×g是f与g的乘积映射。记

易证(F×G)k(x1,x2)=(Fk(x1),Gk(x2))，

称F×G={fk×gk}k=0∞

为X×Y时变映射族，因此(X×Y,F×G)为非自治动力系统。

定义12　设(X,F)和(Y,G)为非自治离散动力系统，F×G={fk×gk}k=0∞如上定义，此时(X×Y,F×G)为非自治动力系统，称(X×Y,F×G)为(X,F)和(Y,G)的乘积空间。

2　相关引理

引理1　设(X,F)和(Y,G)为非自治离散动力系统，F={fk}k=0∞和G={gk}k=0∞分别为X和Y上的时变映射族，m∈N，若F={fk}k=0∞与G={gk}k=0∞关于h:X→Y拓扑共轭，则有

(1)h⋅Fm=Gm⋅h；

(2)Fm⋅h-1=h-1⋅Gm。

证明　由定义很容易得到，这里不再证明。

引理2　设(X,F)和(Y,G)为非自治离散动力系统，F={fk}k=0∞和G={gk}k=0∞分别为X和Y上的时变映射族,x∈X。 若F={fk}k=0∞与G={gk}k=0∞关于h:X→Y拓扑共轭，则

证明　设x∈P(F)，则∃m∈N+，使得

由引理1知

又hFm(x)=h(x)，故Gm(h(x))=h(x)，因此h(x)∈P(G)。

设h(x)∈P(G)，则∃n∈N+，使得

同样由引理1知

故h(Fn(x))=h(x)。又h是同胚映射，故Fn(x)=x，则x∈P(F)。

引理3　设(X,F)和(Y,G)为非自治离散动力系统,(X×Y,F×G)为(X,F)和(Y,F)的乘积空间，z=(x,y)∈X×Y，若z∈P(F×G)，则x∈P(F)，y∈P(G)。

证明　设z=(x,y)∈P(F×G)，则存在n>0使得(F×G)n(x,y)=(x,y)。 因此Fn(x)=x，Gn(y)=y，故x∈P(F)，y∈P(G)。

3　主要定理及证明

定理1　设(X,d1)和(Y,d2)为紧致度量空间，F={fk}k=0∞和G={gk}k=0∞分别为X和Y上的时变映射族。若F={fk}k=0∞与G={gk}k=0∞关于h:X→Y拓扑共轭，则F具有周期跟踪性当且仅当G具有周期跟踪性。

证明　设F具有周期跟踪性。由h:X→Y一致连续知，∀ε>0，∃0<ε1<ε，当d1(z1,z2)<ε1时，有

由F具有周期跟踪性知，对ε1>0，存在ε2>0，使得当{xi}i=0∞是X中F的任意ε2-周期伪轨时，存在x∈P(F)，xε1跟踪{xi}i=0∞。 由h-1:Y→X一致连续知，对ε2>0，∃0<ε3<ε2，当d2(z3,z4)<ε3时，有

设{yi}i=0∞是G作用下的ε3-周期伪轨，则∀i≥0，有d2(gi+1(yi),yi+1)<ε3。由式(2)知，

故　d1(fi+1(h-1(yi)),h-1(yi+1))<ε2。

又h-1是一一映射，故{h-1(yi)i=0∞是F的ε2-周期伪轨。 因此存在x∈P(F)，对∀i≥0，有

由式(1)知，

由引理1知，当i≥0时，有

由引理2知，h(x)∈P(G)。故G具有周期跟踪性。

假设G具有周期跟踪性。由h-1:Y→X一致连续知，∀η>0，∃0<η1<η，当d2(z1,z2)<η1时，有

由G具有周期跟踪性知，对η1>0，存在η2>0，使得当{yi}i=0∞是Y中G的任意η2-周期伪轨时，存在y∈P(G)，yη1跟踪{yi}i=0∞。由h:X→Y一致连续知，对η2>0，∃0<η3<η2，当d1(z3,z4)<η3时，有

设{xi}i=0∞是F作用下的η3-周期伪轨，则∀i≥0，有d1(fi+1(xi),xi+1)<η3。由式(4)知，

故　d2(gi+1(h(xi)),h(xi+1))<η2。

又因h是一一映射，故{h(xi)i=0∞是G的η2-周期伪轨。 因此，存在y∈P(G)，对∀i≥0，有

由式(3)知，

由引理1知，当i≥0时，有

由引理2知，h-1(y)∈P(F)。故F具有周期跟踪性。

定理2　设(X,d1)和(Y,d2)为紧致度量空间，F={fk}k=0∞和G={gk}k=0∞分别为X和Y上的时变映射族。若F={fk}k=0∞与G={gk}k=0∞关于h:X→Y拓扑共轭，则F具有极限跟踪性当且仅当G具有极限跟踪性。

证明　设F具有极限跟踪性，{yi}i=0∞为G作用下的极限伪轨，则limi→∞d2(gi+1(yi),yi+1)=0。 由h-1:Y→X一致连续知，∀ε>0，∃0<ε1<ε，当d2(z1,z2)<ε1时，有

对ε1>0，∃N1∈N+,当i>N1时，有

由式(5)知，

故

因此{h-1(yi)i=0∞是F的极限伪轨。由F具有极限跟踪性知，存在x∈X，有

由h:X→Y一致连续知，∃0<ε2<ε，当d1(z3,z4)<ε2时，有

对ε2>0，∃N2∈N+,当i>N2时，有

由式(6)知，

由引理1知，

因此limi→∞d2(Gi(h(x)),yi)=0，故G具有极限跟踪性。

设G具有极限跟踪性，{xi}i=0∞为F作用下的极限伪轨，则limi→∞d1(fi+1(xi),xi+1)=0。由h:X→Y一致连续知，对∀η>0，∃0<η1<η，当d1(z1,z2)<η1时，有

对η1>0，∃N3∈N+,当i>N3时，有

由式（7）知，

故

因此{h(xi)i=0∞是G的极限伪轨，由G具有极限跟踪性知，存在y∈Y，有

由h-1:Y→X一致连续知，∃0<η2<η，当d2(z3,z4)<η2时，有

对η2>0，∃N4∈N+,当i>N4时，有

由式（8）知，

由引理1知，

因此limi→∞d1(Fi(h-1(y)),xi)=0，故F具有极限跟踪性。

定理3　设(X,d1)和(Y,d2)为紧致度量空间，F={fk}k=0∞和G={gk}k=0∞分别为X和Y上的时变映射族,(X×Y,F×G)为(X,F)和(Y,F)的乘积空间。若F×G具有周期跟踪性，则F和G具有周期跟踪性。

证明　设F×G具有周期跟踪性，则对任意的ε>0，存在δ>0，使得当{ti}i=0∞为X×Y中F×G的任意δ-周期伪轨时，存在t∈P(F×G)，tε跟踪{ti}i=0∞。设{xi}i≥0为F的δ-周期伪轨，{yi}i≥0为G的δ-周期伪轨。则有

取zi=(xi,yi),i≥0，则有

故{zi}i=0∞是X×Y中的δ-伪轨。又{xi}i≥0，{yi}i≥0为周期轨道，故{zi}i=0∞也为周期轨道。因此存在z=(x,y)∈P(F×G)，当i≥0时，有

故

由引理3知，x∈P(F)，y∈P(G)，故F和G具有周期跟踪性。

4　总结

在非自治动力系统中引入了周期跟踪性和极限跟踪性的概念，利用拓扑共轭映射和乘积映射的性质，研究了周期跟踪的拓扑不变性和乘积性，以及极限跟踪的拓扑不变性，得到了较好的结果，推广和改进了离散动力系统中周期跟踪性和极限跟踪性的结果，为跟踪性在计算数学、生物数学和计算机等领域的应用提供了理论依据和科学基础。

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