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自由电磁场理论的量子规范变换和生成元判据

  • 孙为民

    机 构：南京大学 物理学院，江苏 南京 210093

    邮 箱：sunwm@nju.edu.cn.

    作者简介：孙为民（1973—），ORCID: http://orcid.org/0000-0001-6024-3803， 男，博士，副教授，主要从事场论及高能物理唯象学研究，E-mail：sunwm@nju.edu.cn.

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南京大学 物理学院，江苏 南京 210093

中图分类号: O412.3

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2019.02.006

Quantum gauge transformation in free electromagnetic field theory and its generator criterion.

School of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China

CLC: O412.3

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2019.02.006

参考文献 1
BASSS D.The spin structure of the proton [J]. Reviews of Modern Physics, 2005, 77(4):1257-1302.
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参考文献 2
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参考文献 3
CHENX S, LYU X F, SUNW M, et al.Spin and orbital angular momentum in gauge theories: Nucleon spin structure and multipole radiation revisited [J]. Physical Review Letters, 2008, 100(23): 232002.DOI:10.1103/physrevlett.100.232002
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参考文献 4
LEADERE, LORCÉC.The angular momentum controversy: What’s it all about and does it matter? [J]. Physics Reports, 2014, 541(3)：163-248.DOI:10.1016/j.physrep.2014.02.010
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参考文献 5
WAKAMATSUM.Is gauge-invariant complete decomposition of the nucleon spin possible?[J]. International Journal of Modern Physics A, 2014, 29(9): 1430012.DOI:10.1103/physrevd.83.096012
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参考文献 6
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参考文献 7
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参考文献 8
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HATTAY, JIX, ZHAOY.Gluon helicity Delta G from a universality class of operators on a lattice [J]. Physical Review D, 2014, 89(8): 085030.
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参考文献 10
SUNW. Physical angular momentum separation for QED [J]. Modern Physics Letters A, 2017, 32(11):1750063.DOI:10.1142/s0217732317500638
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目录 contents

    摘要

    研究了自由电磁场理论中从库伦规范到一类较广泛的静态规范的量子规范变换，得到了静态规范中的形式场论结构，包括对易关系、运动方程、Poincaré变换生成元，并检验了由核子自旋结构问题所提出的规范场理论动量和角动量算符分解的生成元判据，丰富和充实了相关研究结果。

    Abstract

    The implementation of quantum gauge transformation in gauge theories is a long-standing and unsolved problem in quantum field theory. A formal language and framework for such a description have been established by Strocchi and Wightman in the 1970s, but no explicit construction of such a connection exists for nontrivial cases. This is even the case for the free electromagnetic field theory. In my work， an attempt is given to seek an explicit realization of quantum gauge transformation from Coulomb gauge to a class of static gauges in free electromagnetism. By means of a general map between Coulomb gauge variable and the static gauge variable on the same Hilbert space, such a quantum gauge transformation is firmly established in a true mathematical sense. The formal field-theoretic structure of the free electromagnetic field theory in the static gauge has been obtained, including the commutation relations, the equation of motion and the construction of Poincaré generators. As an application of this new formalism, the so-called “generator criterion” for the decomposition of momentum and angular momentum operators in gauge theories, which has been posed in the study of nucleon spin structure, is explicitly checked, with some physically interesting results obtained. This construction can in principle be generalized to the case of the interacting theory of photons and charged particles, which will be undertaken in the future.

    核子自旋结构问题的研究，自20世纪80年代后期发轫以来，在实验与理论的交互推动和促进下有了骄人的发展［1］，在高能物理现象学界，形成了“高能自旋物理”独特的小型专业领域。JI［2］的原创性基础研究首次给出了核子自旋的规范不变分解方案，多年来，此方案被学界公认为最标准的分解形式，指引着自旋物理的研究方向和工作脉络。 2008 年，CHEN等［3］提出并建立了一种新的、完全QCD 意义的核子自旋分解的整体性方案，在自旋物理领域引发了一股热潮［4,5］。 此后，研究者从不同角度，改进和发展了CHEN等的方案，并提出不同的意见和看法，极大地丰富了现有的知识结构与理论体系。其中LEADER［6］独树一帜，认为CHEN等［3］坚持的“规范不变性”完全没有必要，现实规范理论中，甚至连一个物理系统的总动量、总角动量算符也并非规范不变的。 因此，他认为坚持“规范不变性”的分解原则是多余和不足取的，在构造一般意义的动量、角动量分解方案时，最基本的要求是“各部分的动量、角动量算符”是“相应的粒子场算符的平移、转动生成元”。据此提出最原始的“正则形式”的总动量和角动量分解方式才是自然和物理上唯一正确的。此后，CHEN［7］回应并指出，如果定义与考虑“物理的规范场、费米子场”算符，那么，文献［3］中的“动量、角动量算符”自然也满足这一“生成元判据”。文献［7］讨论的情形，实质上是限于所谓的“库伦规范”的 GIE （Gauge invariant extention，规范不变扩展形式），从数学角度看，这种所谓的“物理场”算符，就是通常所说的“Dirac 变量”。文献［4］认为，对于一般的 GIE （即推广的 Dirac 变量），这种“生成元判据”自然是满足的。因而，这一点似乎已经有了“定论”。

    本文将重新探讨这一问题。 事实上，“生成元判据”的检验，需用到量子化场算符的“等时对易关系”，而在规范理论中，选择不同的量子化规范，会有不同的“算符等时对易关系”，产生的 Hilbert 空间都不一样。 Dirac 变量（也就是 GIE）是规范不变的，它们之间的“等时对易关系”，也不一定就是“标准形式”。 然而，文献［4］却完全默认了这一点，自然认为这种“生成元判据”一定满足物理场。原则上，应从特定规范下的算符量子化方案出发加以检验。规范场理论对一般规范条件下的（算符）量子化形式无统一的处理方法，通常是对给定形式做特定的讨论。一般而言，任意2种不同规范下的量子理论的联系，即所谓的“量子规范变换”，是非常困难的，早在20世纪70年代，STROCCHI 等［8］就提出了基本理论框架，描述了“量子规范变换”的构造语言，其中讨论的是量子电动力学，但并未得到一般情形的显式构造。本文将针对检验规范场理论中“生成元判据”的基本问题，在最简单的“自由电磁场理论”中，选取一类较普遍的“静态规范”作为实例，采用构造性方法，建立从“库伦规范”到“静态规范”的“量子规范变换”。然后，讨论新规范下的自由电磁场量子理论，包括 Poincaré 群生成元的具体构造，并检验这种生成元判据的正确性。主要工作包括两部分：首先，建立理论构造的基础，对于电磁场的量子理论，本文所得的构造形式是新的；然后，用此理论具体分析“生成元判据”问题。本文讨论的是最简单的规范场系统，即自由电磁场，结果表明，这种“生成元判据”的成立依赖于具体的“规范条件”，即特定 GIE 场的“定义条件”。 本文工作对规范场理论以及核子自旋结构研究，均有一定的参考作用。

  • 1　量子规范变换基本形式

    本节的主要目的是建立 “量子规范变换”的构造形式。 首先，依照文献［4］的观点，即规范势Aμ的“规范不变扩展”，将某一特定“经典规范条件”下的Aμ用场强Fμν表达（往往是一个非定域形式的积分表达式），使其成为“规范不变式”，与“洛伦兹不变扩展”类似。 比如，一个相对论性粒子的“静止质量”平方满足：pμpμ=m2，从任何一个惯性参照系（假定考虑狭义相对论的平直闵可夫斯基时空）中看都是不变的。 GIE 的基本实例，即“库伦规范 GIE”。 库伦规范条件：∇iAi=0，可以唯一确定规范势Aμ（只要加上物理的边界条件：Aμ(x,t)||x|→∞=0），利用Fμν=∂μAν-∂νAμ，就可以得到库伦规范中的电磁势

    ACμ=-1∇2∂iFμi，
    （1）

    式（1）称为“库伦规范 GIE”。 在自由电磁场情形下，式（1）可化为

    ACμ=(AC0,ACi)=(0,A⊥i)，

    其中，A⊥i是矢量势Ai的横向部分。

    在核子自旋结构问题的研究中，提出了多种 GIE 形式，有 “光锥规范条件”A+=0 的 GIE，“轴规范条件”A3=0 的GIE等［9］。这些都是为特定目的设计的。 在LEADER 提出的规范场理论中，认为动量、角动量算符分解的“生成元判据”是“适用于物理的规范场和费米场算符”的，因而是正确的。 这里的“物理场”等同于数学上“推广的 Dirac 变量”，其实，就是 GIE 表达式，即“规范不变的场”。 在特定规范条件（即 GIE 的“定义条件”）下，自然回到了原有的Aμ场。本文工作中，笔者试图从根本上进行检验，则需要研究由“GIE 算符”出发的生成元算符的构造，及其之间的基本对易关系。GIE 场事实上代表了特定规范下的规范势， 因此，需要从这一类特定规范下的“量子规范理论”出发进行讨论。

    STROCCHI 等［8］所建立的理论框架为量子电动力学的“量子规范变换”提供了一种普遍性的语言，但他们并未给出任意2个“规范条件”下相应“量子电动力学理论”之间明显构造性的联系形式。 本文将在一定意义上，从标准的库伦规范到较为广泛的“静态规范”之间，针对自由的电磁场理论建立“量子规范变换”的明显构造形式，并讨论这类“静态规范”下的量子化电磁场理论，包括Poincaré 变换生成元的具体构造方式，从而明确回答了“生成元判据”是否成立这一问题。

    “静态规范”是指这一形式的“线性规范条件”：PiAi=0，其中，Pi=(P1,P2,P3)是一个三分量的常数或微分算子，不包含对时间变量的微商运算，要求Pi中不显含时间或空间坐标（从而排除了Poincaré 规范x⋅A=0这类情形），目的是保持整体理论表述形式的时空平移不变。

    特定规范下的 GIE，实质上就是此规范下的Aμ场。PiAi=0规范下的APμ场，同库伦规范∇iAi=0下的ACμ场，由于对应于同样的场强Fμν，两者之间，必然相差一个标量函数的四维梯度 ［10］：

    APμ=ACμ+∂μf，
    （2）

    其中，标量函数f(x)实质上是依赖于场位形ACμ的。 取式（2）的空间分量：APi=ACi+∂if，再由条件PiAPi=0，就有

    PiAPi=PiACi-P⋅∇f=0，
    （3）

    式（3）为决定未知函数f(x)的一个非齐次偏微分方程，可用标准的格林函数法求解，得到

    f=1P⋅∇PiACi，

    其中，逆算子1P⋅∇对应于某一种特定的“格林函数”：

    1P⋅∇F(x,t)=∫d3yG(x-y)F(y,t)。
    （4）

    具体采用哪一种格林函数，由边界条件决定。 于是，有

    APi=ACi-∇i1P⋅∇PjACj。
    （5）

    类似地，由

    ∇iAPi=∇iACi-∇2f=-∇2f，
    （6）

    得f=-1∇2∇iAPi，

    则有“逆变换关系式”：ACi=APi-∇i1∇2∇jAPj。可知ACi和APi之间以一种线性的非定域积分关系相联系。

    最后，有

    AP0=AC0+∂0f=∂0f=∂∂t1P⋅∇PiACi=-∂∂t1∇2∇iAPi，
    （7）

    即AP0不再是独立场变量，而是由空间分量ACi或APi决定。

    接下来建立“静态规范”PiAi=0下的量子场理论。规范场量子化问题的讨论，实质是独立自由度的考虑和量子场 Hilbert 空间的建立。通常在库伦规范量子化中，只有2个横场自由度被量子化，生成的 Fock 空间，只包含横极化光子态，而在洛伦兹规范量子化中，Aμ的4个分量皆被量子化，生成的量子态 Fock 空间中，包含4种极化光子，且具有不定度规。

    借助经典场意义的对映关系式（5）和（7）来构造PiAi=0规范下量子理论的基本思想。若库伦规范势ACμ中包含2个横向的物理自由度，那么，由式（5）和式（7）所构造的APμ亦如此。 既然，物理自由度数目一样，那么，可以直接在原有的“库伦规范的 Fock 空间”上，建立“新规范PiAi=0”的量子理论。下面将进行具体描述。

    取定库伦规范量子化的 Fock 空间。 此 Fock 空间有唯一的真空态和一套完整的横场算符ACi(x)的集合。理论上，任何一个物理态都可由ACi(x)场算符的多项式作用于真空态而得到。 定义一种新的量子规范势算符APi：

    APi=ACi-∇i1P⋅∇PjACj=(δij-∇iPjP⋅∇)ACj，
    （8）

    这在数学上无疑是正确和可接受的，从物理意义看，无非是从原有的库伦场出发定义了一套新的场，是在场算符的意义上而非经典场函数的意义上定义的，此过程自然保证满足“算符规范条件”：PiAPi=0。 注意，此过程没有改换 Hilbert 空间，即Hilbert 空间始终没变，只是定义了一套新的场，满足另一种“规范条件”罢了。 再定义：

    AP0=∂∂t1P⋅∇PiACi。
    （9）

    于是，一套完整的“规范势算符”APμ(x)构造成功。

    以上便是本文工作基础构造的出发点。 虽然，规范条件PiAPi=0的形式有无穷多种选择，原有的库伦规范 Fock 空间上，就有无穷多套新规范势算符APμ，但其对应的“场强算符”却完全相同，均为

    FPμν=∂μAPν-∂νAPμ=∂μACν-∂νACμ=FCμν。
    （10）

    从式（8）中可看出，ACi(x)与APi(x)算符集是相互对应的。 相对于场算符集合APi(x)，原有的 Fock 空间的真空态矢量，也是一个 cyclic vector。则式（8）和式（9）可视为从库伦规范算符ACμ到“静态规范”算符APμ的一个“映射”，这里所用的“量子场 Hilbert 空间”是原有的库伦规范的 Fock 空间，对应关系也符合 STROCCHI 等［8］提出的一般理论框架，只是未给出具体的表达式。 本文给出了“静态规范”特殊情形的数学构造，下面将在此构造下，讨论“新规范下的自由电磁场理论”。

    先看场算符之间“等时对易关系”的形式。 库伦规范量子化中，共轭场变量为(AiC,EiC)，其中电场为EiC=-A˙iC。 其间的标准等时对易子为

    [ACi(x),ACj(y)]ET=0，
    （11）
    [ECi(x),ECj(y)]ET=0，
    （12）
    [ACi(x),ECj(y)]ET=-i(δij-∇i∇j∇2)δ3(x-y)，
    （13）

    利用式（8），同时记EPi=ECi，可得

    [APi(x),APj(y)]ET=0，
    （14）
    [EPi(x),EPj(y)]ET=0，
    （15）
    [APi(x),EPj(y)]ET=-i(δij-∇iPjP⋅∇)δ3(x-y)。
    （16）

    注意到，式（16）右端不再是标准的 “三维横向 Dirac δ函数”形式，这是因为需要与“算符规范条件”PiAPi=0相一致。在一般的静态规范下，有EiP=-∇iAP0-∂∂tAPi，可算出APi(x)与A˙jP(y)之间的等时对易式。利用式（8），就可得

    [APi(x),A˙Pj(y)]ET=iδij-∇iPjP⋅∇-∇jPiP⋅∇+P2∇i∇j(P⋅∇)2δ3(x-y),
    （17）

    这里[APi(x),A˙Pj(y)]ET≠[ACi(x),A˙Cj(y)]ET。表明对应关系式：AiC(x)→AiP(x)非“幺正等价”关系，即不存在 Fock 空间上的幺正算符 U，使得UAiC(x)U-1=AiP(x)，也即变换式AiC→AiP为非“正则变换”，但AiC和AiP包含的物理自由度是相同的。

    接下来再看运动方程。 库伦规范下的ACi满足自由的达朗贝尔方程：WACi=0， 由式（8）立即可推出WAPi=0。 另外，在 “静态规范”PiAPi=0下，才满足Maxwell 方程：∂μFPμν=0。 对于库伦场算符ACi，其标准的“平面波展开”式为

    AiC(x)=∫d3k(2π)32ωk∑λ=1,2(aλ(k)ε(λ)i(k)e-ik⋅x+h.c.)，
    （18）

    其中，仅涉及横波极化和相应的自由光子态的产生湮灭算符。由式（8）可得

    AiP(x)=∫d3k(2π)32ωk∑λ=1,2(aλ(k)ε(λ)j(k)(δij-∇xiPxj(P⋅∇)x)e-ik⋅x+h.c.)，
    （19）

    式（19）为“扭曲的平面波展开”式。

    下面讨论新的量子化方案（规范条件PiAi=0决定的量子化形式）的定域性问题和微观因果性问题。 众所周知，库伦规范下电磁场的量子化理论不是“定域”的，对任意2个时空点x,y，有

    [ACi(x),ACj(y)]=i(δij-∇i∇j∇2)D(x-y)，
    （20）

    其中，D(x)=-12πε(x0)δ(x2)。 在类空间隔情形下，此对易子函数不等于零。 但规范势AiC不能直接观测，可直接观测的量是场强。 可以验证，场强算符Ei(x),Bi(x)在类空间隔的两点上是对易的。 将其代入式（8），可得

    [APi(x),APj(y)]=iδij-∇iPjP⋅∇-∇jPiP⋅∇+P2∇i∇j(P⋅∇)2D(x-y)。
    （21）

    显然，一般情形下，此“对易子函数”对于类空间隔的两点也是非零的。 因此，新规范下的理论也是非定域的。 但是，与库伦规范相同，电磁场场强算符在类空间隔两点处总是对易的，则新规范下的理论也满足“微观因果性”的要求。

    接下来，讨论 Poincaré 变换生成元。 原有的“库伦规范”量子化中，理论上 Fock 空间承载了 Poincaré 群的一个无限维幺正表示。 有 10 个守恒的 Poincaré 群的生成元算符，即能量算符（哈密顿量算符）、动量算符、角动量算符、boost 生成元算符等。 在规范场理论的动量与角动量分解问题中，笔者关心的是动量、角动量算符。 下面先构造哈密顿算符，因为，依照形式场论的观点，哈密顿算符应该是理论上的时间平移生成元。

    因物理自由度仍是2个，Hilbert 空间也没有变动，依据“规范不变性”的要求，有

    H=12∫d3x(E2C+(∇×AC)2)=12∫d3x(E2P+(∇×AP)2)，
    （22）

    此“哈密顿算符”为ACi场的时间平移生成元：

    i[H,ACi(x)]=∂∂tACi(x)。
    （23）

    由式（8），有

    i[H,APi(x)]=∂∂tAPi(x)。
    （24）

    因此，它也是APi场的时间平移生成元。 所以，先前构造的“PiAi=0 规范的量子化理论 ”具有确定的哈密顿算符与完整的等时对易关系，是一套完全自洽的自由电磁场量子理论。 类似地，在原理论的Fock 空间上，动量算符与角动量算符分别为：

    P=∫d3xECi∇ACi，
    （25）
    J=∫d3x(ECi(x×∇)ACi+EC×AC)。
    （26）

    由式（8）的变换关系，易得

    P=∫d3xEPi∇APi，
    （27）
    J=∫d3x(EPi(x×∇)APi+EP×AP)。
    （28）

    APi场算符包含的物理自由度同库伦场ACi一致，因此，实质上具有一样的能量、动量与角动量算符。 那么，这里的动量算符、角动量算符是否就是APi场的空间平移与转动生成元呢？

    本文的理论构造，实质上就是在库伦规范量子化的 Fock 空间上，复制出一套“静态规范” PiAPi=0的自由电磁场量子理论。由于规范条件PiAPi=0的形式无限多，因此相应的“理论复本”也有无限多个。比如，可取“扭曲的库伦规范”：cij∇iAj=0，其中cij是一组数值系数，满足对称性要求：cij=cji，这类“规范条件”由cij来标记。其实，如果数值系数连续变化，“规范条件”样式就是连续的流形，若允许有更多的选择，整体结构会异常丰富，而所有“规范理论的复本”都是定义在原库伦规范的 Hilbert 空间上的。因此，可讨论从一种“理论复本” P1iAP1i=0到另一种“理论复本”P2iAP2i=0之间的过渡，或曰变换。 很明显，这种两两变换的体式，形成了一个“变换群”，与前文的讨论结果一样，这种变换不是通过 Fock空间上的幺正变换来实现的。 无论从数学角度还是量子规范场论角度看，这样的研究都是有意义的。

  • 2　生成元判据

    文献［4］所言的“物理的规范场”，其实就是GIE 场。从横场算符的角度看，库伦规范场ACi是“规范不变的”，依据式（8）和式（9）的构造，新的APμ场，也是规范不变的。前文已经建立了量子化的理论要素，这里研究“自由电磁场”，因此，不存在“分解问题”（除总角动量分解为轨道和自旋部分外），需要说明的是，即便是“整体的动量、角动量算符”，也有非平凡的现象出现。

    先看“动量算符”。 在原有的库伦规范中，有

    i[P,ACi(x)]=-∇ACi(x)，
    （29）

    式（29）反映了理论空间平移不变的特点。规范条件PiAPi=0的构造式中，Pi是不显含时空坐标的，因此，此“规范条件”是空间平移不变的。利用式（8）中的构造，可得

    i[P,APi(x)]=-∇APi(x)。
    （30）

    于是，动量算符P同样也起着APi场的空间平移生成元作用。

    再分析“角动量算符”。 库伦规范中，ACi(x)是三维矢量场算符，满足“生成元关系”：

    [Ji,ACj]=(x×i∇)iACj+iεijkACk，
    （31）

    那么，对于APi场，类似的关系式满足吗？从物理学角度看，从现有的ACi场出发，由式（8）的定义，给出APi场。因此，在相同的“量子场 Hilbert 空间”上，可由式（8）得到对应的“生成元变换式”。 注意，式（31）之所以成立，是因为ACi是转动的三维矢量。若由式（8）所定义的APi场是一个三维矢量场，则同样有[Ji,APj]=(x×i∇)iAPj+iεijkAPk。否则必有[Ji,APj]≠(x×i∇)iAPj+iεijkAPk。由式（8），有APi=(δij-∇iPjP⋅∇)ACj，因此，只有当Pi=(P1,P2,P3)是一个真正意义的“三维矢量”时，才可说APi是一个真正转动的“三维矢量场”。 库伦规范条件∇iAi=0无疑是符合这一要求的，但任意构造的“静态规范”PiAi=0往往不满足此条件，如“轴规范条件”A3=0，前文所述的“扭曲的库伦规范条件”cij∇iAj=0。

    至此，可以得到结论：文献中的“角动量算符生成元判据”在 “静态规范”的自由电磁场情形下，通常是不满足规范条件的。

    那么，这一结论的物理意义是什么？前文已述，库伦规范的 Fock 空间架设了Poincaré 变换群的无限维幺正表示，所以，10个 Poincaré 群生成元算符有良好的定义， 由式（8）和式（9）的构造性定义可以指明新的APμ(x)场算符的洛伦兹变换方式：若Pi=(P1,P2,P3)非真正的三维矢量，那么规范条件PiAi=0就不是“空间转动协变”的，此情形可类比于“库伦规范”∇iAi=0 中的讨论。库伦规范条件是“空间转动不变的”，但在 boost 变换下，却非协变的，因此，在一般的 boost 变换下，可以定义标准的“boost 生成元”算符，但不再满足“标准的boost算符同真正四维矢量场的对易式”。事实上，在一般的 boost 变换下，库伦规范势ACμ“先做一次标准的 boost， 再继续上一次附加的规范变换”，以保证在新的惯性参照系中，库伦条件满足：∇'iA'i(x')=0。 同样，当规范条件PiAi=0明显非转动协变时，对易关系式[Ji,APj]的具体形式（偏离了“三矢量变换”的标准形式）恰好表明，在三维空间转动下，APi先做一次标准的“矢量转动”，再做一次“附加的规范变换”，以此，在转动后的新坐标系中，恢复“非协变的静态规范”：PiAPi=0。

    于是得到，在自由电磁场情形下，由于 GIE 条件的多样性，即便对“物理的规范场”，通常也未能满足文献中所提出的“角动量算符的生成元判据”。

  • 3　总结与展望

    针对自由电磁场理论，建立了从库伦规范到特定“静态规范”的“量子规范变换”。这种显式构造，令“静态规范”下量子理论的结果更为充分与丰富。本研究可进一步推广，如当“规范条件”PiAi=0未能“唯一确定规范”时，本文所构造的“静态规范”下的量子理论其实是不唯一的，当PiAi=0条件下无法唯一确定规范时，相应的经典场方程（3）不能唯一确定“规范变换函数”f(x)，于是，相应的量子场算符AμP(x)的构造方式就不唯一。本文只选择了一种最简单的构造形式，PiAi=0条件下的剩余规范自由度如何影响理论构造，有待进一步研究。

    关于“生成元判据”，虽然本文只检验了“自由电磁场”的情形，但其物理问题的实质是清楚的，即如果“静态规范条件”PiAi=0不是“转动不变的”，相应的“物理场”算符就不满足标准的“转动生成元关系”。 原则上，可做类似推广，但“生成元判据”成立的基础，即“规范条件”（GIE 的定义条件）的转动变换不变性，不会改变。 笔者期望在将来的工作中，这一问题有更明确的结论，包括由这一理论框架向非阿贝尔规范场情形的推广。

  • 参考文献(References)

    • 1

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  • 基本信息

    DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2019.02.006

    中图分类号: O412.3

    文献标识码: A

    引用信息

    孙为民.自由电磁场理论的量子规范变换和生成元判据[J].浙江大学学报(理学版),2019,46(02):196-201.

    Weimin SUN.Quantum gauge transformation in free electromagnetic field theory and its generator criterion.[J].Journal of Zhejiang University(Science Edition),2019,46(02):196-201.

    基金信息

    江苏省自然科学基金资助项目（BK20151376）.

    稿件历史

    纸刊出版 : 2019-03-25
    收稿日期 : 2018-06-19

    • 孙为民

    机 构：南京大学 物理学院，江苏 南京 210093

    Affiliation：School of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China

    邮 箱：sunwm@nju.edu.cn.

    作者简介：孙为民（1973—），ORCID: http://orcid.org/0000-0001-6024-3803， 男，博士，副教授，主要从事场论及高能物理唯象学研究，E-mail：sunwm@nju.edu.cn.

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