1　三重曲线细分法

1.1　新的四点三重插值曲线细分法

给定初始控制顶点集P0=pi0∈Rd|i∈Z，设Pk=pik∈Rd|i∈Z为第k次细分后的控制顶点集。 新的四点三重插值曲线细分格式定义为

当35<θ<23时，细分格式（1）生成的极限曲线是C2连续的。

注1当θ=12+32μ时，细分格式（1）即为HASSAN等^［3］提出的四点三重插值细分格式；当θ=59时，细分格式（1）为D-D^［2］四点三重插值细分格式。

1.2　含参数的三次B-样条曲线细分法

给定初始控制顶点集P0=pi0∈Rd|i∈Z，设Pk=pik∈Rd|i∈Z为第k次细分后的控制顶点集。 含参数的三次B-样条曲线细分法定义为

当0<η<19时，细分格式（2）生成的极限曲线是C2连续的。

1.3　插值与逼近混合的三重曲线细分法

令

式（1）可改写为

式（2）可改写为

给定初始控制顶点集P0=pi0∈Rd|i∈Z，若Pk=pik∈Rd|i∈Z为第k次细分后的控制顶点集，在pik和pi+1k之间的13和23参数位置插入新点p3i+1k+12和p3i+2k+12，即为线性B-样条曲线细分法。 对p3i+1k+12和p3i+2k+12分别添加偏移量19θΔpik+19-19θΔpi+1k和19-19θΔpik+19θΔpi+1k，将其移动到新位置p¯3i+1k+1和p¯3i+2k+1，得到四点三重插值曲线细分法。 对p3i+1k+12和p3i+2k+12分别添加偏移量-ηΔpik和-ηΔpi+1k，将其移动到新位置p˜3i+1k+1和p˜3i+2k+1，且对pik添加偏移量-19-ηΔpik移动到p˜3ik+1，得到三次B-样条曲线细分法。 现对偏移量加权重，对pik，p3i+1k+12和p3i+2k+12分别添加偏移量αΔpik，βΔpik+γΔpi+1k和γΔpik+βΔpi+1k,并移到新位置p3ik+1，p3i+1k+1和p3i+2k+1，其中α=1-δ-19-η，β=δ19θ+1-δ-η，γ=δ19-19θ，则得到插值与逼近混合的三重曲线细分法：

构造示意图见图1。插值与逼近混合的三重曲线细分格式定义如下：

图1 构造混合三重曲线细分法的几何示意图

Fig.1 The geometric sketch of constructing blending ternary subdivision scheme

定义1给定初始控制顶点集pi0∈Rd|i∈Z,设pik∈Rd|i∈Z为第k次细分后的控制顶点集，插值与逼近混合的三重曲线细分格式定义为

注2当α=0时，式（7）为插值型曲线细分格式；当α≠0时，式（7）为逼近型曲线细分格式。 特别地，当α=0，β=581，γ=481时，式（7）为D-D四点三重插值格式；当α=0，β=118+16μ，γ=118−16μ时，式（7）为Hassan四点三重插值细分格式；当α=0，β=0，γ=0时，式（7）为线性B-样条细分格式；当α=−19，β=0，γ=0时，式（7）为二次B-样条细分格式；当α=−427，β=−127，γ=0时，式（7）为三次B-样条细分格式；当α=−527，β=−581，γ=−181时，式（7）为四次B-样条细分格式。

定理1插值与逼近混合的三重曲线细分法可以达到C3连续。

证明插值与逼近混合的三重曲线细分格式（7）的掩模

生成的多项式为

易知式（7）的jj=1,2,3,4阶差商格式的掩模为

当γ=α-β+19时，

当β=581+23α时，

可得

当-γ+13+α-β+γ+-α+β<1，

2-β+γ+13+2β-2γ<1时，式（7）是一致收敛的；

当2-γ+13+2α-2β<13,-β+2γ+-α+2β-γ<13时，式（7）是C1连续的；

当γ=α-β+19，-α+β-19+3α-4β+13<19，-4α+6β-13<19时，式（7）是C2连续的；

当γ=α-β+19,β=581+23α,-727<α<-427时，式（7）是C3连续的。

2　三重曲面细分法

2.1　四边形网格上的四点三重插值细分法

基于1.1节新的四点三重插值曲线细分法，本节将其推广到曲面情形，得到正则四边形网格上的1-9插值细分法。

给定初始控制网格P0，设Pk为第k次细分后得到的正则四边形网格，其上的一个4×4子网格

如图2所示，定义1-9插值细分规则如下：

图2 正则四边形网格Pk的一个4×4子网格

Fig.2 A 4×4 sub-mesh of the regular quadrilateral mesh

新顶点的生成规则为

新边点的生成规则为

生成的示意图见图3。

图3 生成新边点的示意图

Fig.3 The sketch of computing new edge vertices

新面点的生成规则为

生成的示意图见图4。其中，a=-19θ,b=59+13θ,c=59-13θ,d=-19+19θ。

图4 生成新面点的示意图

Fig.4 The sketch of computing new face vertices

从而一个四边形格子分为9个四边形格子，见图5，即为1-9插值细分法。

图5 1-9插值细分法

Fig.5 The 1-9 interpolating subdivision scheme

2.2　张量积三次B-样条细分法

基于1.2节含参数的三次B-样条曲线细分法，本节将其推广到曲面情形，得到张量积三次B-样条曲面细分法。

给定初始控制网格P0，设Pk为第k次细分后得到的正则四边形网格。

新顶点的生成规则为

生成的示意图见图6。

图6 生成新顶点的示意图

Fig.6 The sketch of computing new vertex

新边点的生成规则为

生成的示意图见7。

图7 生成新边点的示意图

Fig.7 The sketch of computing new edge vertices

新面点的生成规则为

生成的示意图见8。

图8 生成新面点的示意图

Fig.8 The sketch of computing new face vertices

其中，e=19+η,f=79-2η,g=η,h=23-2η,s=13+η。

如此得到了张量积三次B-样条细分法，见图9。

图9 张量积三次B-样条细分法

Fig.9 The tensor product cubic B-spline subdivision scheme

2.3　插值与逼近混合的三重曲面细分法

令Δipi,jk=-pi-1,jk-2pi,jk+pi+1,jk，

给定初始控制网格P0，设Pk为第k次细分后得到的正则四边形网格，插值与逼近混合的三重曲面细分规则定义如下：

新顶点的生成规则为

新边点的生成规则为

新面点的生成规则为