两参数Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布图像特征的拓展分析

徐晓岭¹
机构：上海对外经贸大学统计与信息学院，上海 201620
邮箱：xlxu@suibe.edu.cn.
作者简介：徐晓岭（1965―），ORCID:http://orcid.org/0000-0002-9442-8555，男，博士，教授，主要从事应用统计研究，E-mail:xlxu@suibe.edu.cn.
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王蓉华²
机构：上海师范大学数理学院，上海 200234
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顾蓓青¹
机构：上海对外经贸大学统计与信息学院，上海 201620
角色：通讯作者
邮箱：gubeiqing@suibe.edu.cn.
作者简介：ORCID:http://orcid.org/0000-0003-1539-8747，E-mail：gubeiqing@suibe.edu.cn.
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1. 上海对外经贸大学统计与信息学院，上海 201620； 2. 上海师范大学数理学院，上海 200234

中图分类号: O 213

DOI:10. 3785/j. issn. 1008-9497. 2019. 01. 004

None

XU Xiaoling¹
Affiliation：Extended analysis about the image feature of two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution
Email：xlxu@suibe.edu.cn.
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WANG Ronghua²
Affiliation：School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 201620, China
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GU Beiqing¹
Affiliation：Extended analysis about the image feature of two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution
Role：Corresponding author
Email：gubeiqing@suibe.edu.cn.
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1. Extended analysis about the image feature of two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution； 2. School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 201620, China

CLC: O 213

DOI:10. 3785/j. issn. 1008-9497. 2019. 01. 004

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摘要

研究了两参数BS疲劳寿命分布BS(α,β)密度函数f(t)和失效率函数λ(t)顶峰点的位置以及在中位数β左右侧的图像特征，并给出了判断失效率函数图像特征的更为一般的结论.

Abstract

The image features of density function f(t) and failure rate function λ(t) at the peak and around the median β are studied for two-parameter BS fatigue life distribution. Meanwhile, a general conclusion for identifying image feature of failure rate function is proposed.

关键词

两参数Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布；密度函数；失效率函数

Keywords

two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution; density function; failure rate function

0　引言
Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中一个重要的失效分布模型，由BIRNBAUM等^[1]于1969年在研究主因裂纹扩展导致材料失效的过程中推导而来。此模型在机械产品可靠性研究中应用广泛，常用于疲劳失效研究；在电子产品性能退化失效分析中也有重要应用。
设T服从两参数Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布BS(α,β)，分布函数F(t)与密度函数f(t)分别为：
F(t)=Φ1α(tβ-βt),t>0，
f(t)=12αβ1t+βtt×φ1αtβ-βt,t>0
其中，α>0称为形状参数，β>0称为刻度参数（或称为尺度参数），φ(x),Φ(x)分别为标准正态分布的密度函数与分布函数，即
φ(x)=12πe-x22,Φ(x)=∫-∞xφ(y)dy。
由于Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布是基于疲劳过程的基本特征的，因此，较于常用的寿命分布，如威布尔分布、对数正态分布，更适合描述由疲劳引起失效的产品寿命规律。
关于两参数Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布BS(α,β)的统计分析已有很多研究^{［1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29］}。KUNDU等^［14］证明了两参数BS分布的失效率函数的形状为“倒浴盆”形，同时，针对不同形状参数α，通过数值计算得到了失效率函数达到顶峰时的t值，称此点为变点（change point），记为cα,β。cα,β的大小依赖于α的取值，变点可能分布在β的左右两侧。例如，当α=0.6时，cα,β=2.5364β；当α=0.8时，cα,β=0.9923β；当α=1时，cα,β=0.5149β等。
1　BS（α，β）分布密度函数的图像特征
定理1设非负随机变量T~BS(α,β)，其分布函数和密度函数分别记为F(t)和f(t)，则f(t)的图像具有以下特征：
（1）f(t)在t∈(0,+∞)上“先严格单调上升后严格单调下降”，呈“倒浴盆”形；
（2）f(t)在t∈(0,β)上“先严格单调上升后严格单调下降”，呈“倒浴盆”形，而在t∈[β,+∞)上“严格单调下降”。
证明由于β为刻度参数，不失一般性，设β=1，并记ε(t)=t-t-1，则
ε'(t)=12(t-1+t-3)，
ε''(t)=-14(t-3+3t-5)，
F(t)=Φε(t)α，
（1）
f(t)=ε'(t)αφε(t)α。
（2）
（ⅰ）f(t)=t-1+t-32α12π×exp-12α2(t-t-1)2，且limt→0f(t)=0，limt→+∞f(t)=0，注意到φ'(t)=-tφ(t)，
f'(t)=1αφε(t)αε″(t)-1α2ε'(t)2ε(t)=t-7/24α3φε(t)α-t3-(α2+1)t2-(3α2-1)t+1。
对t>0，令函数
g(t)=-t3-(α2+1)t2-(3α2-1)t+1，
（3）
limt→0g(t)=1,limt→+∞g(t)=-∞，
g'(t)=-3t2-2(α2+1)t-(3α2-1)；
对t>0，令函数
g1(t)=-3t2-2(α2+1)t-(3α2-1)，
（4）
limt→0g1(t)=-(3α2-1)β2,limt→+∞g(t)=-∞，
g'1(t)=-6t-2(α2+1)β<0。
若当0<α<13时，存在t1>0，有g1(t1)=0，当0<t<t1时，有g1(t)>0，g(t)单调上升；当t>t1时，g1(t)<0，g(t)单调下降。于是存在t0>0，有g(t0)=0，当0<t<t0时，g(t)>0，f(t)“严格单调上升”；当t>t0时，g(t)<0，f(t)“严格单调下降”。即f(t)在t∈(0,+∞)上呈“倒浴盆”形。
当α≥13时，g1(t)<0，g(t)单调下降。于是存在t0>0，有g(t0)=0，当0<t<t0时，g(t)>0，f(t)“严格单调上升”；当t>t0时，g(t)<0，f(t)“严格单调下降”。即f(t)在t∈(0,+∞)上呈“倒浴盆”形。
（ⅱ）类似于（ⅰ），对0<t<1，令函数
g(t)=-t3-(α2+1)t2-(3α2-1)t+1，
（5）
limt→0g(t)=1,limt→1g(t)=-4α2<0，
g'(t)=-3t2-2(α2+1)t-(3α2-1)；
对0<t<1，令函数
g1(t)=-3t2-2(α2+1)t-(3α2-1)，
（6）
limt→0g1(t)=-(3α2-1)β2，
limt→1g(t)=-5α2-4<0，
g'1(t)=-6t-2(α2+1)β<0。
若当0<α<13时，存在t1，0<t1<1，有g1(t1)=0，当0<t<t1时，g1(t)>0，g(t)单调上升；当t1<t<1时，g1(t)<0，g(t)单调下降。于是存在t0，t1<t0<1，有g(t0)=0，当0<t<t0时，g(t)>0，f(t)“严格单调上升”；当t0<t<1时，g(t)<0，f(t)“严格单调下降”。即f(t)在t∈(0,1)上呈“倒浴盆”形。
若当α≥13时，g1(t)<0，则g(t)单调下降。于是存在t0，0<t0<1，有g(t0)=0，当0<t<t0时，g(t)>0，f(t)“严格单调上升”；当t0<t<1时，g(t)<0，f(t)“严格单调下降”。即f(t)在t∈(0,1)上呈“倒浴盆”形。由此可知，f(t)在t∈[1,+∞)上也严格单调下降。
2　BS（α，β）分布失效率函数的图像特征
文献［14］主要利用了文献［30］的结论，证明失效率函数呈“倒浴盆”形。引理如下：
引理^［30］设T为非负连续型随机变量，其密度函数f(t)存在二阶导数，记η(t)=-f'(t)f(t)，有
（1）若η'(t)>0，即η(t)是“严格单调增函数”，则λ(t)“严格单调上升”。
（2）若η'(t)<0，即η(t)是“严格单调减函数”，则λ(t)“严格单调下降”。
（3）若存在t0，t0>0，η'(t0)=0，且η(t)呈“先严格单调上升后严格单调下降”，即呈“倒浴盆”形，则λ(t)有可能呈“倒浴盆”形，也有可能“严格单调下降”。
（4）若存在t0，t0>0，η'(t0)=0，且η(t)呈“先严格单调下降后严格单调上升”，即呈“浴盆”形，则λ(t)有可能呈“浴盆”形，也有可能“严格单调上升”。
用该引理考察对数正态分布失效率图像是十分有效的。值得注意的是，若η(t)本身形式复杂或单调性形式多样，则使用此引理有时并不能完全解决失效率函数的图像特征问题。
值得一提的是，在引理中要求“密度函数f(t)存在二阶导数”，其实，这一条件并不总能满足。下面例1和例2中的2个分布密度函数在t=β处二阶导数均不存在。
例1设非负随机变量T的分布函数F(t)为
F(t)=12exp1α(tβ-βt),0<t<β,Φ1α(tβ-βt),t≥β,
（7）
密度函数f（t）为
f(t)=14α1βt-12+βt-32×exp1α(tβ-βt),0<t<β,12αβ1t+βtt×φ1α(tβ-βt),t≥β,
（8）
注意到F(β)=12，f(0)=0，
limt→β-f(β)=12αβ，limt→β+f(β)=12παβ，
于是limt→β-f(t)≠limt→β+f(t)，即f(t)在t=β处不连续，进而f(t)在t=β处的二阶导数不存在。
例2设非负随机变量T的分布函数F(t)为
F(t)=Φ1αtβ-βt,0≤t<β,1-12exp-1αtβ-βt,t≥β,
（9）
其密度函数为
f(t)=12αβ1t+βtt×φ1αtβ-βt,0≤t<β,14α1βt-12+βt-32×exp-1αtβ-βt,t≥β,
（10）
注意到F(β)=12，f(0)=0，
limt→β-f(β)=12παβ，limt→β+f(β)=12αβ，
于是limt→β-f(t)≠limt→β+f(t)，即f(t)在t=β处不连续，进而f(t)在t=β的二阶导数不存在。
若在引理中，“密度函数f(t)存在二阶导数”这一条件不满足，那么，是否还有类似于引理的结论呢？定理2拓展了引理的结论，是判断失效率函数图像特征的更为一般的结论。
定理2设非负随机变量T的密度函数为f(t)=f1(t),0<t<af2(t),t≥a，其分布函数F(t)、可靠度函数R(t)以及失效率函数λ(t)为：
F(t)=∫0tf(x)dx，R(t)=1-F(t)=∫t+∞f(x)dx，λ(t)=f(t)R(t)，
当0<t<a时，记η1(t)=-f'1(t)f1(t)；
当t≥a时，记η2(t)=-f'2(t)f2(t)。
则有以下结论：
（Ⅰ）当0<t<a时，
（1）若η'1(t)>0，即η1(t)是严格单调增函数，则λ(t)有可能“严格单调上升”，有可能“严格单调下降”，也有可能呈“倒浴盆”形。
（2）若η'1(t)<0，即η1(t)是严格单调减函数，则λ(t)有可能“严格单调上升”，有可能“严格单调下降”，也有可能呈“浴盆”形。
（3）若存在t0，0<t0<a，η'1(t0)=0，且η1(t)呈“先严格单调上升后严格单调下降”，即呈“倒浴盆”形，则λ(t)有可能“严格单调上升”，有可能“严格单调下降”，有可能呈“浴盆”形，有可能呈“倒浴盆”形，也有可能“先严格单调上升再严格单调下降而后再严格单调上升”。
（4）若存在t0，0<t0<a，η'1(t0)=0，且η1(t)呈“先严格单调下降后严格单调上升”，即呈“浴盆”形，则λ(t)有可能“严格单调下降”，有可能“严格单调上升”，有可能呈“倒浴盆”形，有可能呈“浴盆”形，也有可能“先严格单调下降再严格单调上升而后再严格单调下降”。
（Ⅱ）当t≥a时，
（1）若η'2(t)>0，即η2(t)是严格单调增函数，则λ(t)“严格单调上升”。
（2）若η'2(t)<0，即η2(t)是严格单调减函数，则λ(t)“严格单调下降”。
（3）若存在t0，t0>a，η'2(t0)=0，且η2(t)呈“先严格单调上升后严格单调下降”，即呈“倒浴盆”形，则λ(t)有可能呈“倒浴盆”形，也有可能“严格单调下降”。
（4）若存在t0，t0>a，η'2(t0)=0，且η2(t)呈“先严格单调下降后严格单调上升”，即呈“浴盆”形，则λ(t)有可能呈“浴盆”形，也有可能“严格单调上升”。
证明记g(t)=1λ(t)=R(t)f(t)，η(t)=-f'(t)f(t)，
当0<t<a时，R(t)=1-∫0tf1(x)dx，
η(t)=-f'1(t)f1(t)，g(t)=R(t)f1(t)；
记η1(t)=-f'1(t)f1(t)，R1(t)=R(t)，g1(t)=R1(t)f1(t)，
当t≥a时，R(t)=∫t+∞f2(x)dx，
η(t)=-f'2(t)f2(t)，g(t)=R(t)f2(t)；
记η2(t)=-f'2(t)f2(t)，R2(t)=R(t)，g2(t)=R2(t)f2(t)。
（Ⅰ）当0<t<a时，
g'1(t)=-f12(t)-f'1(t)R1(t)f12(t)=η1(t)f1(t)R1(t)-1=η1(t)R1(t)-f1(t)f1(t)，
令函数G1(t)=η1(t)R1(t)-f1(t),0≤t<a，
G1(0)=η1(0)-f1(0)，
G1(a-)=limt→a-G1(t)=η1(a-)R1(a-)-f1(a-)，
G'1(t)=η'1(t)R1(t)-η1(t)f1(t)-f'1(t)=η'1(t)R1(t)。
（ⅰ）若η'1(t)>0，即η1(t)是严格单调增函数。此时有G'1(t)>0，进而G1(0)<G1(a-)。
（1）若G1(a-)≤0，则G1(t)<0，g'1(t)<0，进而λ(t)“严格单调上升”。
（2）若G1(0)≥0，则G1(t)>0，g'1(t)>0，进而λ(t)“严格单调下降”。
（3）存在t0，0<t0<a，G1(t0)=0，当0<t<t0时，G1(t)<0，g'1(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t0<t<a时，G1(t)>0，g'1(t)>0，λ(t)“严格单调下降”。即λ(t)呈“倒浴盆”形。
（ⅱ）若η'1(t)<0，即η1(t)是严格单调减函数。此时有G'1(t)<0，进而G1(0)>G1(a-)。
（1）若G1(0)≤0，则G1(t)<0，g'1(t)<0，进而λ(t)“严格单调上升”。
（2）若G1(a-)≥0，则G1(t)>0，g'1(t)>0，进而λ(t)“严格单调下降”。
（3）存在t0，0<t0<a，G1(t0)=0，当0<t<t0时，G1(t)>0，g'1(t)>0，λ(t)“严格单调下降”；当t0<t<a时，G1(t)<0，g'1(t)<0，λ(t)“严格单调上升”。即λ(t)呈“浴盆”形。
（ⅲ）若存在t0，0<t0<a，η'1(t0)=0，且η1(t)呈“先严格单调上升后严格单调下降”，即呈“倒浴盆”形。当0<t<t0时，η'1(t)>0，G'1(t)>0；当t>t0时，η'1(t)<0，G'1(t)<0。
（1）若G1(t)≤0，则g'1(t)≤0，进而λ(t)“严格单调上升”。
（2）若G1(t)≥0，则g'1(t)≥0，进而λ(t)“严格单调下降”。
（3）若存在t1，t0<t1<a，G1(t1)=0，且当0<t<t1时，G1(t)>0，λ(t)“严格单调下降”；当t1<t<a时，G1(t)<0，λ(t)“严格单调上升”。即λ(t)呈“浴盆”形。
（4）若存在t1，0<t1<t0，G1(t1)=0，且当0<t<t1时，G1(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t1<t<a时，G1(t)>0，λ(t)“严格单调下降”。即λ(t)呈“倒浴盆”形。
（5）若存在t1,t2，0<t1<t0<t2<a，G1(t1)=G1(t2)=0，且当0<t<t1时，G1(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t1<t<t2时，G1(t)>0，λ(t)“严格单调下降”；当t2<t<a时，G1(t)<0，λ(t)“严格单调上升”。即λ(t)“先严格单调上升再严格单调下降而后再严格单调上升”。
（ⅳ）若存在t0，0<t0<a，η'1(t0)=0，且η1(t)呈“先严格单调下降后严格单调上升”，即呈“浴盆”形。当0<t<t0时，η'1(t)<0，G'1(t)<0；当t>t0时，η'1(t)>0，G'1(t)>0。
（1）若G1(t)≥0，则g'1(t)≥0，进而λ(t)“严格单调下降”。
（2）若G1(t)≤0，则g'1(t)≤0，进而λ(t)“严格单调上升”。
（3）若存在t1，t0<t1<a，G1(t1)=0，且当0<t<t1时，G1(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t1<t<a时，G1(t)>0，λ(t)“严格单调下降”。即λ(t)呈“倒浴盆”形。
（4）若存在t1，0<t1<t0，G1(t1)=0，且当0<t<t1时，G1(t)>0，λ(t)“严格单调下降”；当t1<t<a时，G1(t)<0，λ(t)“严格单调上升”。即λ(t)呈“浴盆”形。
（5）若存在t1,t2，0<t1<t0<t2<a，G1(t1)=G1(t2)=0，且当0<t<t1时，G1(t)>0，λ(t)“严格单调下降”；当t1<t<t2时，G1(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t2<t<a时，G1(t)>0，λ(t)“严格单调下降”。即“λ(t)先严格单调下降再严格单调上升，而后再严格单调下降”。
（Ⅱ）当t≥a时，
g'2(t)=-f22(t)-f'2(t)R2(t)f22(t)=
η2(t)f2(t)R2(t)-1=η2(t)f2(t)∫t+∞f2(x)dx-1=
∫t+∞f2(x)f2(t)η2(t)-η2(x)dx+
∫t+∞f2(x)f2(t)η2(x)dx-1=
∫t+∞f2(x)f2(t)η2(t)-η2(x)dx-1f2(t)∫t+∞f'2(x)dx-1=
1f2(t)∫t+∞f2(x)η2(t)-η2(x)dx。
令函数
G2(t)=∫t+∞f2(x)η2(t)-η2(x)dx,t≥a，
G2(a+)=∫a++∞f2(x)η2(a+)-η2(x)dx=η2(a+)R2(a+)-f2(a+)limt→+∞G2(t)=limt→+∞η2(t)R2(t)，
G'2(t)=η'2(t)∫t+∞f2(x)dx=η'2(t)R2(t)。
（1）若η'2(t)>0，即η2(t)是严格单调增函数。对x≥t时，有η2(t)-η2(x)<0，则G2(t)<0，g'2(t)<0，进而λ(t)“严格单调上升”。
（2）若η'2(t)<0，即η2(t)是严格单调减函数。对x≥t，有η2(t)-η2(x)>0，则G2(t)>0，g'2(t)>0，进而λ(t)“严格单调下降”。
（3）若存在t0，t0>a，η'2(t0)=0，且η2(t)呈“先严格单调上升后严格单调下降”，即呈“倒浴盆”形。而G'2(t0)=0，当a≤t<t0时，η'2(t)>0，G'2(t)>0；当t>t0时，η'2(t)<0，G'2(t)<0。
（a）若存在y0，y0>a，有G2(y0)=0，则有y0<t0。事实上，若反设y0≥t0，
G2(y0)=∫y0+∞f2(x)η2(y0)-η2(x)dx>0，
此与G2(y0)=0矛盾。
又由于G2(t)在t=t0处取最大值，而当a≤t<y0时，G2(t)<0；当y0<t<t0时，G2(t)>0；当t>t0时，
G2(t)=∫t+∞f2(x)η2(t)-η2(x)dx>0。
于是，当a≤t<y0时，G2(t)<0，g'2(t)<0，进而λ(t)“严格单调上升”；当t>y0时，G2(t)>0，g'2(t)>0，进而λ(t)“严格单调下降”。即λ(t)呈“先严格单调上升后严格单调下降”，亦即呈“倒浴盆”形。
（b）若不存在y0，y0>a，使G2(y0)=0成立。则对t≥a，有G2(t)>0或者G2(t)<0。又当t>t0时，
G2(t)=∫t+∞f2(x)η2(t)-η2(x)dx>0，
由此可知，只能有G2(t)>0。进而g'2(t)>0，即λ(t)“严格单调下降”。
（4）若存在t0，t0>a，η'2(t0)=0，且η2(t)呈“先严格单调下降后严格单调上升”，即呈“浴盆”形。而G'2(t0)=0，当a≤t<t0时，η'2(t)<0，G'2(t)<0；当t>t0时，η'2(t)>0，G'2(t)>0。
（a）若存在y0，y0>a，有G2(y0)=0，则有y0<t0。事实上，若反设y0≥t0，
G2(y0)=∫y0+∞f2(x)η2(y0)-η2(x)dx<0，
此与G2(y0)=0矛盾。
又由于G2(t)在t=t0处取最小值，而当a≤t<y0时，G2(t)>0；当y0<t<t0时，G2(t)<0；当t>t0时，
G2(t)=∫t+∞f2(x)η2(t)-η2(x)dx<0，
于是当a≤t<y0时，G2(t)>0，g'2(t)>0，进而λ(t)“严格单调下降”；当t>y0时，G2(t)<0，g'2(t)<0，进而λ(t)“严格单调上升”。即λ(t)呈“先严格单调下降后严格单调上升”，亦即呈“浴盆”形。
（b）若不存在y0，y0>a，使G2(y0)=0成立。则对t≥a，有G2(t)>0或者G2(t)<0。又当t>t0时，
G2(t)=∫t+∞f2(x)η2(t)-η2(x)dx<0，
由此可知，只能有G2(t)<0。进而g'2(t)<0，即λ(t)“严格单调上升”。
注1如在定理2中令a=0，则可得到引理的结论。
注2在判断失效率函数λ（t）是否呈“浴盆”或“倒浴盆”形时，通常可先通过判断limt→0λ(t)=limt→+∞λ（t）=0是否成立，如成立，则排除了λ（t）严格单调上升（或下降）这一情形。
定理3给出了BS(α,β)的失效率函数λ(t)更为清晰的图像特征。
定理3设非负随机变量T~BS(α,β)，其分布函数、密度函数和失效率函数分别记为F(t)、f(t)和λ(t)，则λ(t)的图像具有以下特征：
（Ⅰ）λ(t)在t∈(0,+∞)上“先严格单调上升后严格单调下降”，呈“倒浴盆”形。
（Ⅱ）当α2≤2π时，λ(t)在t∈(0,β)上“严格单调上升”；当α2>2π时，λ(t)在t∈(0,β)上“先严格单调上升后严格单调下降”，呈“倒浴盆”形。
（Ⅲ）当α2<2π时，λ(t)在t∈[β,+∞)上“先严格单调上升后严格单调下降”，呈“倒浴盆”形；当α2≥2π时，λ(t)在t∈[β,+∞)上“严格单调下降”。
（Ⅳ）当α2=2π时，λ(t)在t=β处取极大值，即当0<t<β时，λ(t)“严格单调上升”；当t>β时，λ(t)“严格单调下降”。
证明易见失效率函数为
λ(t)=12αβ1t+βtt×φ1αtβ-βt1-Φ1αtβ-βt，
（11）
由于β为刻度参数，不失一般性，设β=1，并记ε(t)=t-t-1，则
ε'(t)=12(t-1+t-3)，
ε″(t)=-14(t-3+3t-5)，
此时，F(t)=Φε(t)α，f(t)=ε'(t)αφε(t)α，
λ(t)=ε'(t)αφε(t)α1-Φε(t)α。
（Ⅰ）关于λ(t)在t∈(0,+∞)上呈“倒浴盆”形，这一结论可由文献［14］直接得到，另外
η(t)=12t+1t(t+1)+12α2-12α2t2=t3+(α2+1)t2+(3α2-1)t-12α2t2(t+1)。
（12）
（Ⅱ）当0<t<1时，
limt→0η(t)=-∞,limt→1-1η(t)=1；
对0<t<1，令函数
G(t)=η(t)R(t)-f(t)，
（13）
limt→0G(t)=-∞,limt→1-G(t)=2πα-222πα。
当α<2π=0.797885时，即α2<2π=0.63662，limt→1-G(t)<0；当α=2π时，limt→1-G(t)=0；当α>2π时，limt→1-G(t)>0，
η'(t)=-α2t3+2(-3α2+1)t2+(-3α2+4)t+22α2t3(t+1)2。
对0<t<1，令函数
g(t)=-α2t3+2(-3α2+1)t2+(-3α2+4)t+2，
（14）
limt→0g(t)=2,limt→1g(t)=2(-5α2+4)，
（15）
g'(t)=-3α2t2+4(-3α2+1)t+(-3α2+4)；
对0<t<1，令函数
g1(t)=-3α2t2+4(-3α2+1)t+(-3α2+4)，
（16）
limt→0g1(t)=-3α2+4,limt→1g1(t)=2(-9α2+4)，
g'1(t)=2[-3α2t+2(-3α2+1)]；
对0<t<1，令函数
g2(t)=-3α2t+2(-3α2+1)，
（17）
limt→0g2(t)=2(-3α2+1)，limt→1g2(t)=-9α2+2。
（1）　当limt→1g2(t)=-9α2+2≥0时，即α2≤29，g2(t)>0，g'1(t)>0，此时，
limt→1g1(t)-limt→0g1(t)=-15α2+4≥23，
limt→0g1(t)=-3α2+4≥103，
则g1(t)>0，g'(t)>0。
又limt→1g(t)-limt→0g(t)=-10α2+6≥349，
则g(t)>0，η'(t)>0，且limt→1-G(t)<0，于是λ(t)在t∈(0,1)上“严格单调上升”。
（2）　当limt→0g2(t)=2(-3α2+1)≤0时，即α2≥13，g2(t)<0，g'1(t)<0，此时，
limt→1g1(t)-limt→0g1(t)=-15α2+4≤-1，
limt→0g1(t)=-3α2+4≥103。
（ⅰ）limt→0g1(t)≤0时，即α2≥43，
g1(t)<0，g'(at)<0。
又limt→1g(t)-limt→0g(t)=-10α2+6≤-229，
limt→1g(t)=-10α2+8≤-163，
则存在t0,0<t0<1，有g(t0)=0，当0<t<t0时，g(t)>0，η'(t)>0，G'(t)>0；当t0<t<1时，g(t)<0，η'(t)<0，G'(t)<0。
由于α≥43>2π，则limt→1-G(t)>0。于是存在t0*，0<t0*<t0，G(t0*)=0，且当0<t<t0*时，G(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t0*<t<1时，G(t)>0，λ(t)“严格单调下降”。即λ(t)在t∈(0,1)上呈“倒浴盆”形。
（ⅱ）当limt→0g1(t)>0,limt→1g1(t)<0时，即49<α2<43，存在t1，0<t1<1，有g1(t1)=0，当0<t<t1时，g1(t)>0，g'(t)>0；当t1<t<1时，g1(t)<0，g'(t)<0。
而-163<limt→1g(t)<329。
（A）当limt→1g(t)≥0时，即α2≤45，此时49<α2≤45，g(t)>0，η'(t)>0，G'(t)>0。
（a）若49<α2≤2π，limt→1-G(t)<0，则λ(t)在t∈(0,1)上“严格单调上升”。
（b）若2π<α2≤45，limt→1-G(t)>0，则λ(t)“先严格单调上升后严格单调下降”，在t∈(0,1)上呈“倒浴盆”形。
（B）当limt→1g(t)<0时，即α2>45，此时45<α2<43，存在t0，t1<t0<1，有g(t0)=0，当0<t<t0时，g(t)>0，η'(t)>0，G'(t)>0；当t0<t<1时，g(t)<0，η'(t)<0，G'(t)<0。
又limt→1-G(t)>0，于是存在t0*，0<t0*<t0，G(t0*)=0，且当0<t<t0*时，G(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t0*<t<1时，G(t)>0，λ(t)“严格单调下降”。即λ(t)在t∈(0,1)上呈“倒浴盆”形。
（ⅲ）当limt→1g1(t)≥0时，即13≤α2≤49，g1(t)>0，g'(t)>0。又
limt→1g(t)-limt→0g(t)=-10α2+6≤149，
g(t)>0，η'(t)>0，而limt→1-G(t)<0，则λ(t)在t∈(0,1)上“严格单调上升”。
（3）　当limt→0g2(t)=2(-3α2+1)>0，limt→1g2(t)=-9α2+2<0时，即29<α2<13，存在t2，0<t2<1，有g2(t2)=0，当0<t<t2时，g2(t)>0，g'1(t)>0；当t2<t<1时，g2(t)<0，g'1(t)<0。
又3<limt→0g1(t)=-3α2+4<103，
即2<limt→1g2(t)=-18α2+8<4，
则g1(t)>0，g'(t)>0。即
143<limt→1g(t)=2(-5α2+4)<529，
进而g(t)>0，η'(t)>0，又limt→1-G(t)<0，则λ(t)在t∈(0,1)上“严格单调上升”。
综上可知：当α2≤2π时，λ(t)在t∈(0,1)上“严格单调上升”；当α2>2π时，λ(t)在t∈(0,1)上呈“倒浴盆”形。
（Ⅲ）当t≥1时，
η(t)=12t+1t(t+1)+12α2-12α2t2=
t3+(α2+1)t2+(3α2-1)t-12α2t2(t+1)，
（18）
limt→1+η(t)=1,limt→+∞η(t)=12α2，
对t≥1，令函数
G(t)=η(t)R(t)-f(t)，
（19）
limt→+∞G(t)=0,limt→1+G(t)=2πα-222πα，
当α<2π=0.797885，即α2<2π=0.63662时，limt→1+G(t)<0；当α=2π时，limt→1+G(t)=0；当α>2π时，limt→1+G(t)>0。
η'(t)=-α2t3+2(-3α2+1)t2+(-3α2+4)t+22α2t3(t+1)2。
对t≥1，令函数
g(t)=-α2t3+2(-3α2+1)t2+(-3α2+4)t+2，
（20）
limt→1g(t)=2(-5α2+4),limt→+∞g(t)=-∞，
g'(t)=-3α2t2+4(-3α2+1)t+(-3α2+4)。
对t≥1，令函数
g1(t)=-3α2t2+4(-3α2+1)t+(-3α2+4)，
（21）
limt→1g1(t)=2(-9α2+4),limt→+∞g1(t)=-∞，
g'1(t)=2[-3α2t+2(-3α2+1)]。
对t≥1，令函数
g2(t)=-3α2t+2(-3α2+1)，
（22）
limt→1g2(t)=-9α2+2,limt→+∞g2(t)=-∞。
（1）　当limt→1g2(t)=-9α2+2≤0时，即α2≥29，g2(t)<0，g'1(t)<0。
（ⅰ）当limt→1g1(t)=2(-9α2+4)≤0时，即α2≥49，g1(t)<0，g'(t)<0。
（A）当limt→1g(t)=2(-5α2+4)≤0时，即α2≥45，g(t)<0，η'(t)<0，则λ(t)在t∈[1,+∞)上“严格单调下降”。
（B）当limt→1g(t)=2(-5α2+4)>0时，即49≤α2<45，存在t0，t0>1，有g(t0)=0，当1≤t<t0时，g(t)>0，η'(t)>0，G'(t)>0；当t>t0时，g(t)<0，η'(t)<0，G'(t)<0。
（a）当α2<2π时，limt→1G(t)<0，此时49≤α2<2π，存在t0*，1≤t0*<t0，G(t0*)=0，且当1≤t<t0*时，G(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t>t0*时，G(t)>0，λ(t)“严格单调下降”。即λ(t)在t∈[1,+∞)上呈“倒浴盆”形。
（b）当α2≥2π时，limt→1G(t)>0，此时2π≤α2<45，易见G(t)>0，λ(t)在t∈[1,+∞)“严格单调下降”。
（ⅱ）当limt→1g1(t)=2(-9α2+4)>0时，即29≤α2<49，存在t1，t1>1，有g1(t1)=0，当1≤t<t1时，g1(t)>0，g'(t)>0；当t>t1时，g1(t)<0，g'(t)<0。
又329<limt→1g(t)=2(-5α2+4)≤529，
存在t0，t0>t1，有g(t0)=0，当1≤t<t0时，g(t)>0，η'(t)>0，G(t)>0；当t>t0时，g(t)<0，η'(t)<0，G(t)<0。
又limt→1G(t)<0，存在t0*，1≤t0*<t0，G(t0*)=0，且当1≤t<t0*时，G(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t>t0*时，G(t)>0，λ(t)“严格单调下降”。即λ(t)在t∈[1,+∞)上呈“倒浴盆”形。
（2）　当limt→1g2(t)=-9α2+2>0时，即α2<29，存在t2，t2>1，有g2(t2)=0，当1≤t<t2时，g2(t)>0，g'1(t)>0；当t>t2时，g2(t)<0，g'1(t)<0。
又limt→0g1(t)=-18α2+8>4，则存在t1，t1>t2，有g1(t1)=0，当1≤t<t1时，g1(t)>0，g'(t)>0；当t>t1时，g1(t)<0，g'(t)<0。
又limt→1g(t)=2(-5α2+4)>529，则存在t0，t0>t1，有g(t0)=0，当1≤t<t0时，g(t)>0，η'(t)>0，G(t)>0；当t>t0时，g(t)<0，η'(t)<0，G(t)<0。
又limt→1G(t)<0，存在t0*，1≤t0*<t0，G(t0*)=0，且当1≤t<t0*时，G(t)<0，λ(t)“严格单调上升”；当t>t0*时，G(t)>0，λ(t)“严格单调下降”。即λ(t)在t∈[1,+∞)上呈“倒浴盆”形。
综上可知，当α2<2π时，λ(t)在t∈[1,+∞)上呈“倒浴盆”形；当α2≥2π时，λ(t)在t∈[1,+∞)上“严格单调下降”。
（Ⅳ）易见，当α2=2π时，λ(t)在t=1处取极大值，即当0<t<1时，λ(t)“严格单调上升”；当t>1时，λ(t)“严格单调下降”。
图1,2,3,4为给定β=1，α分别取0.5，2π，1，2时，BS(α,β)分布失效率函数λ(t)的图像。
图1 α=0.5,β=1
Fig. 1 α=0.5,β=1
图2 α=2π,β=1
Fig. 2 α=2π,β=1
图3 α=1,β=1
Fig. 3 α=1,β=1
图4 α=2,β=1
Fig. 4 α=2,β=1
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基本信息

DOI:10. 3785/j. issn. 1008-9497. 2019. 01. 004

中图分类号: O 213

文献标识码: A

引用信息

徐晓岭,王蓉华,顾蓓青.两参数Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布图像特征的拓展分析[J].浙江大学学报(理学版),2019,46(01):22-31.

XU Xiaoling,WANG Ronghua,GU Beiqing.[J].Journal of Zhejiang University(Science Edition),2019,46(01):22-31.

基金信息

国家自然科学基金资助项目（11671264).

稿件历史

纸刊出版 : 2019-01-11
收稿日期 : 2016-12-22

徐晓岭

机构：上海对外经贸大学统计与信息学院，上海 201620

Affiliation：Extended analysis about the image feature of two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution

邮箱：xlxu@suibe.edu.cn.

作者简介：徐晓岭（1965―），ORCID:http://orcid.org/0000-0002-9442-8555，男，博士，教授，主要从事应用统计研究，E-mail:xlxu@suibe.edu.cn.

王蓉华

机构：上海师范大学数理学院，上海 200234

Affiliation：School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 201620, China

顾蓓青

机构：上海对外经贸大学统计与信息学院，上海 201620

Affiliation：Extended analysis about the image feature of two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution

角色：通讯作者

Role：Corresponding author

邮箱：gubeiqing@suibe.edu.cn.

作者简介：ORCID:http://orcid.org/0000-0003-1539-8747，E-mail：gubeiqing@suibe.edu.cn.

1008⁃9497-2019-46-1-26/alternativeImage/232f7460-3854-414d-9d17-3bd31b0d7e7c-F001.jpg

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1008⁃9497-2019-46-1-26/alternativeImage/232f7460-3854-414d-9d17-3bd31b0d7e7c-F004.jpg

图1 α=0.5,β=1

Fig. 1 α=0.5,β=1

图2 α=2π,β=1

Fig. 2 α=2π,β=1

图3 α=1,β=1

Fig. 3 α=1,β=1

图4 α=2,β=1

Fig. 4 α=2,β=1



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无注解

参考文献(References)

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两参数Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布图像特征的拓展分析

None

摘要

Abstract

关键词

Keywords

0 引 言

1 BS（α，β）分布密度函数的图像特征

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

2 BS（α，β）分布失效率函数的图像特征

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

（17）

（1） 当limt→1g2(t)=-9α2+2≥0时，即α2≤29，g2(t)>0，g'1(t)>0，此时，

（2） 当limt→0g2(t)=2(-3α2+1)≤0时，即α2≥13，g2(t)<0，g'1(t)<0，此时，

（3） 当limt→0g2(t)=2(-3α2+1)>0，limt→1g2(t)=-9α2+2<0时，即29<α2<13，存在t2，0<t2<1，有g2(t2)=0，当0<t<t2时，g2(t)>0，g'1(t)>0；当t2<t<1时，g2(t)<0，g'1(t)<0。

（18）

（19）

（20）

（21）

（22）

（1） 当limt→1g2(t)=-9α2+2≤0时，即α2≥29，g2(t)<0，g'1(t)<0。

（2） 当limt→1g2(t)=-9α2+2>0时，即α2<29，存在t2，t2>1，有g2(t2)=0，当1≤t<t2时，g2(t)>0，g'1(t)>0；当t>t2时，g2(t)<0，g'1(t)<0。

参考文献(References)

基本信息

引用信息

基金信息

稿件历史

参考文献(References)

0　引言

1　BS（α，β）分布密度函数的图像特征

2　BS（α，β）分布失效率函数的图像特征

（1）　当limt→1g2(t)=-9α2+2≥0时，即α2≤29，g2(t)>0，g'1(t)>0，此时，

（2）　当limt→0g2(t)=2(-3α2+1)≤0时，即α2≥13，g2(t)<0，g'1(t)<0，此时，

（3）　当limt→0g2(t)=2(-3α2+1)>0，limt→1g2(t)=-9α2+2<0时，即29<α2<13，存在t2，0<t2<1，有g2(t2)=0，当0<t<t2时，g2(t)>0，g'1(t)>0；当t2<t<1时，g2(t)<0，g'1(t)<0。

（1）　当limt→1g2(t)=-9α2+2≤0时，即α2≥29，g2(t)<0，g'1(t)<0。

（2）　当limt→1g2(t)=-9α2+2>0时，即α2<29，存在t2，t2>1，有g2(t2)=0，当1≤t<t2时，g2(t)>0，g'1(t)>0；当t>t2时，g2(t)<0，g'1(t)<0。