顶夸克是迄今为止质量最重的基本粒子, 其质量接近于金原子.因此，顶夸克具有独特的性质，在电弱对称性自发破缺中将发挥重要作用，其产生和衰变过程对标准模型以外的新物理非常敏感.因此，对顶夸克的研究是检验标准模型的有效方法，也是探索新物理现象的有效手段.在大型强子对撞机质子-质子非弹性碰撞实验中，顶夸克对产生过程q+q→t+t的散射截面主要来源于夸克对的淹灭和胶子融合硬散射过程：
| $ q + \bar q \to t + \bar t, $ | (1) |
| $ g + g \to t + \bar t, $ | (2) |
其中，q和q分别代表夸克和反夸克；t和t是顶夸克和反顶夸克；g是胶子.在大型强子对撞机中提供足够的碰撞能量，可产生质量较高的粒子，夸克对可以通过强相互作用产生顶夸克对或通过电弱过程产生顶夸克.其中，最可能的产生机制是轻夸克对湮灭产生胶子，胶子衰变成顶夸克和反顶夸克，此过程见费曼图 1.另一个产生机制是W玻色子衰变成顶夸克和底夸克.所以，顶夸克对的产生或者单顶夸克的产生强烈依赖于加速器提供的碰撞能量.顶夸克对有2种产生方式.在Tevatron对撞机中，qq湮灭是主导过程，但在大型强子对撞机中恰恰相反，胶子-胶子融合过程是主导，其原因是在大型强子对撞机中相撞的质子-质子具有更高的质心能量.首先，在大型强子对撞机中轻夸克-反轻夸克的淹没过程较在Tevatron对撞机中容易发生，因为反轻夸克在大型强子对撞机中必须是海夸克，而在Tevatron对撞机中可以是反质子中的价夸克之一，因此，任何质心能量均可能发生.此外，在Tevatron，顶夸克对正好产生在2mt的阈值上.要求参与碰撞的部分子携带质子动量的比例x必须要大，在质心能量为8 TeV的大型强子对撞机中，小于x时能产生顶夸克对，所以在大型强子对撞机中，胶子融合成了主导过程.因此，顶夸克对产生过程pp→tt的实验数据为胶子部分子分布函数的确定提供了重要信息.
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图 1 顶夸克和反顶夸克产生的领头费曼图：夸克和反夸克的湮没(pp→tt)和胶子融合(gg→tt) Fig. 1 Hard scattering Feynman diagram of top pair production: Annihilation of the quark and anti-quark (pp→tt) and gluon fusion(gg→tt) |
欧洲大型强子对撞机上的ATLA[1]和CMS[2]实验组在质心能量为
下文的结构如下：第1节，在标准模型框架下，计算了顶夸克对产生的硬散射过程(1)和(2)的领头阶微分散射截面；第2节，使用蒙特卡罗数值计算程序MadGraph计算该过程的次领头阶的归一化微分散射截面，并研究该过程对胶子部分子分布函数的影响；第3节，进行了总结.
1 顶夸克对的产生和微分散射截面计算在大型强子对撞机中，顶夸克对主要通过轻夸克-反轻夸克淹灭(1)和胶子-胶子融合(2)产生，相应的树图费曼图见图 1, 相互作用的拉氏量为
| $ {L_{{\rm{QCD}}}} = {{\bar \psi }_i}\left( {i{{\left( {{\gamma ^\mu }{D_\mu }} \right)}_{ij}} - m{\delta _{ij}}} \right){\psi _j} - \frac{1}{4}G_{\mu \nu }^aG_a^{\mu \nu }{\rm{, }} $ | (3) |
其中，ψi(x)表示夸克场，m为夸克质量，Gμνa表示胶子场.夸克-反夸克淹灭(1)过程的不变振幅为：
| $ \begin{array}{l} M\left( {q + \bar q \to t + \bar t} \right) = - \frac{{g_s^2}}{{4{q^2}}}\left[ {\bar \upsilon \left( {{p_1}, {\lambda _1}} \right){\gamma ^\mu }u\left( {{p_2}, {\lambda _2}} \right)} \right] \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {\bar u\left( {{p_4}, {\lambda _4}} \right){\gamma _\mu }\upsilon \left( {{p_3}, {\lambda _3}} \right)} \right]\left( {c_1^ + {\lambda _\alpha }{c_2}} \right)\left( {c_4^ + {\lambda _\alpha }{c_3}} \right), \end{array} $ | (4) |
其中，gs代表强相互作用耦合常数，p1和p2分别为初态的夸克和反夸克的四动量，p3和p4分别为末态顶夸克和反顶夸克的四动量.胶子融合的过程有3个树图费曼图，分别为t道, u道, s道. t道的不变振幅可写成：
| $ \begin{array}{l} {M_1}\left( {g + g \to t + \bar t} \right) = i\left[ {{\varepsilon _\mu }\left( {{p_1}} \right)\alpha _1^\alpha } \right]\left[ { - i\frac{{{g_s}}}{2}{\lambda ^\alpha }{\gamma ^\mu }} \right] \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {\upsilon \left( {{p_3}, {\lambda _3}} \right){c_3}} \right]\left[ {\frac{{i\left( {\not q + m} \right)}}{{{{\not q}^2} - {m^2}}}} \right]\left[ {u\left( {{p_4}, {\lambda _4}} \right)c_4^ + } \right] \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\left[ { - i\frac{{{g_s}}}{2}{\lambda ^\beta }{\gamma ^\nu }} \right]\left[ {{\varepsilon _\nu }\left( {{p_2}} \right)\alpha _2^\beta } \right], \end{array} $ | (5) |
其中，q=p1-p3，并且q2-m2=p12-2p1·p3+p32-m2=-2p1·p3.因此，
| $ \begin{array}{l} {M_1}\left( {g + g \to t + \bar t} \right) = \frac{{-g_s^2}}{8}\frac{1}{{{p_1}\cdot{p_3}}}\upsilon \left( {{p_3}, {\lambda _3}} \right) \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {\not \varepsilon \left( {{p_1}} \right)\left( {{{\not p}_1} - {{\not p}_3} + m} \right)\not \varepsilon \left( {{p_2}} \right)} \right] \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u\left( {{p_4}, {\lambda _4}} \right)\alpha _1^\alpha \alpha _2^\beta \left( {c3{\lambda ^\alpha }{\lambda ^\beta }c_4^ + } \right). \end{array} $ | (6) |
u道的不变振幅可写成：
| $ \begin{array}{l} {M_2}\left( {g + g \to t + \bar t} \right) = \frac{{-g_s^2}}{8}\frac{1}{{{p_1}\cdot{p_4}}} \bar u\left( {{p_4}, {\lambda _4}} \right) \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {\not \varepsilon \left( {{p_1}} \right)\left( {{{\not p}_1} - {{\not p}_4} + m} \right)\not \varepsilon \left( {{p_2}} \right)} \right] \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\upsilon \left( {{p_3}, {\lambda _3}} \right)\alpha _1^\alpha \alpha _2^\beta \left( {c_4^ + {\lambda ^\alpha }{\lambda ^\beta }{c_3}} \right). \end{array} $ | (7) |
s道的不变振幅可写成：
| $ \begin{array}{l} {M_3}\left( {g + g \to t + \bar t} \right) = i\frac{{g_s^2}}{4}\frac{1}{{{p_1}\cdot{p_2}}}\bar u\left( {{p_4}, {\lambda _4}} \right) \times \\ \;\;\;\;\;[\left( {\varepsilon \left( {{p_2}} \right)\cdot\varepsilon \left( {{p_1}} \right)} \right)\left( {{{\not p}_1} - {{\not p}_2}} \right) + 2\left( {{p_2}\cdot{p_1}} \right)\not \varepsilon \left( {{p_2}} \right) - \\ \;\;\;\;\;2\left( {{p_1}\cdot\varepsilon \left( {{p_2}} \right)} \right)\not \varepsilon \left( {{p_4}} \right)] \times \\ \;\;\;\;\;\;\upsilon \left( {{p_3}, {\lambda _3}} \right){f^{\alpha \beta \gamma }}\alpha _2^\alpha \alpha _1^\beta \left( {c_4^ + {\lambda ^\gamma }{c_3}} \right). \end{array} $ | (8) |
利用方程(6)~(8), 得到总不变振幅：
| $ \begin{array}{l} M\left( {g + g \to t + \bar t} \right) = {M_1}\left( {g + g \to t + \bar t} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{M_2}\left( {g + g \to t + \bar t} \right) + {M_3}\left( {g + g \to t + \bar t} \right), \end{array} $ | (9) |
其中，c4+和c1为色空间的基矢量；εμ(p, λ)为规范玻色子g的极化矢量.(qq→tt)夸克-反夸克湮灭产生顶夸克和反顶夸克领头阶过微分散射截面为
| $ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}\bar \sigma }}{{{\rm{d}}\hat t}}\left( {q\bar q \to t\bar t} \right) = \frac{{4\pi \alpha _s^2}}{{9{{\hat s}^4}}}\cdot\hat t[{\left( {{m^2} - \hat t} \right)^2} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left( {{m^2} - \hat u} \right)^2} + 2{m^2}\hat s], \end{array} $ | (10) |
其中
| $ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}\hat \sigma }}{{{\rm{d}}\hat t}}\left( {gg \to t\bar t} \right) = \frac{{\pi \alpha _s^2}}{{8{{\hat s}^2}}}\left[ {\frac{{6\left( {{m^2} - \hat t} \right){{\left( {{m^2} - \hat u} \right)}}}}{{{{\hat s}^2}}}} \right. - \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{{{m^2}\left( {\hat s - 4{m^2}} \right)}}{{3\left( {{m^2} - \hat t} \right)\left( {{m^2} - \hat u} \right)}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{4}{3} \times \frac{{\left( {{m^2} - \hat t} \right)\left( {{m^2} - \hat u} \right) - 2{m^2}\left( {{m^2} + \hat t} \right)}}{{{{\left( {{m^2} - \hat t} \right)}^2}}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{4}{3} \times \frac{{\left( {{m^2} - \hat t} \right)\left( {{m^2} - \hat u} \right) - 2{m^2}\left( {{m^2} + \hat u} \right)}}{{{{\left( {{m^2} - \hat u} \right)}^2}}} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;3 \times \frac{{\left( {{m^2} - \hat t} \right)\left( {{m^2} - \hat u} \right) - {m^2}\left( {\hat u - \hat t} \right)}}{{\hat s{{\left( {{m^2} - \hat t} \right)}^2}}} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;3 \times \left. {\frac{{\left( {{m^2} - \hat t} \right)\left( {{m^2} - \hat u} \right) - {m^2}\left( {\hat t - \hat u} \right)}}{{\hat s{{\left( {{m^2} - \hat u} \right)}^2}}}} \right]. \end{array} $ | (11) |
用蒙特卡罗数值计算程序MadGraph[3]计算顶夸克对产生过程pp→t+t次领头阶归一化的微分散射截面. CTEQ-TEA研究组研发了领头阶、次领头阶以及次次领头阶的部分子分布函数.计算中笔者分别使用了CTEQ-TEA组的CT10NNLO[4]和CT14NNLO[5]部分子分布函数，并只考虑质子中夸克、反夸克和胶子的贡献，重整化标度μR和因子化标度μF为：
| $ \left\{ \begin{array}{l} \mu = {\mu _{\rm{R}}} = {\mu _{\rm{F}}} = \frac{{{H_t}}}{4}, \\ {H_t} = \sqrt {m_t^2 + p_{T, t}^2} + \sqrt {m_t^2 + p_{T, \bar t}^2} , \end{array} \right. $ | (12) |
其中，mt代表顶夸克质量，pT, t为顶夸克的横动量.整个过程的领头阶费曼图如图 2所示.
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图 2 pp→t+t过程的领头阶费曼图 Fig. 2 Leading order Feynman diagram for the process pp→t+t |
图 2(a)为pp→t+t过程的领头阶费曼图，(c)、(b)和(d)分别为gg→t+t过程的领头阶费曼图.顶夸克对产生的总散射截面σ(t+t)为：
| $ \begin{array}{l} \sigma \left( {t + \bar t} \right) = \int_0^1 {{\rm{d}}{x_1}} \int_0^1 {{\rm{d}}{x_2}} \{ [{{\hat \sigma }_{q + \bar q \to t + \bar t}}\left( {{x_1}, {x_2}, \sqrt s , {\mu _{\rm{R}}}} \right) \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{f_{q/p}}\left( {{x_, }{\mu _{\rm{F}}}} \right){f_{\bar q/p}}\left( {{x_2}, {\mu _{\rm{F}}}} \right)\left] + \right[\sigma _{g + g \to t + \bar t}^ \wedge \left( {{x_1}, {x_2}, \sqrt s , {\mu _{\rm{R}}}} \right) \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{f_{g/p}}\left( {{x_1}, {\mu _{\rm{F}}}} \right){f_{g/p}}\left( {{x_2}, {\mu _{\rm{F}}}} \right)] + {x_1} \leftrightarrow {x_2}\} , \end{array} $ | (13) |
其中,
利用MadGraph@NLO计算了顶夸克对的归一化微分散射截面随顶夸克对的不变质量mtt的分布，在计算过程中将顶夸克对的不变质量划分为6个范围：[345, 400], [400, 470], [470, 550], [550, 650], [650, 800], [800, 1 100].在计算中使用了CTEQ-TEA组的CT14NNLO[5]和CT10NNLO[4]部分子分布函数. 图 3为顶夸克对的归一化微分散射截面随顶夸克对的不变质量变化的分布图，图中红色和黑色竖线表示理论计算结果，绿色横线表示实验结果，理论计算结果的误差来自于部分子分布函数误差.将MadGraph@NLO计算得到的顶夸克对的归一化微散射截面的结果和ATLAS实验组的实验数据加到原来的部分子分布函数中生成新的部分子分布函数的误差，图 4为CT14nn+MttW3与原来的部分子分布函数以及胶子部分子分布函数的不确定度在不同Q值下的比较图.图 5为新的部分子分布函数CT14nn+MttW3与原来部分子分布函数CT14nn对胶子部分子分布函数在不同Q值下的比值图.
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图 3 归一化微分散射截面和顶夸克对的不变质量之间的关系 Fig. 3 Normalized differential cross section in a bins of top quark pair invariant mass |
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图 4 Q=1.3 GeV和Q=100 GeV时CT14nn+MttW3与CT14nnlo胶子部分子分布不确定度带的比较 Fig. 4 Comparison of gluon PDF uncertainty bands of CT14nn+ MttW3 and CT14nnlo when Q=1.3 GeV and Q=100 GeV |
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图 5 Q=1.3 GeV和Q=100 GeV时CT14nn+MttW3与CT14nnlo胶子部分子分布函数的比率 Fig. 5 Gluon PDF ratio of CT14nn+MttW3 to CT14nnlo PDF for Q=1.3 GeV and Q=100 GeV |
在标准模型框架下，用数值计算程序MadGraph、CT10nnlo和CT14nnlo部分子分布函数，对顶夸克对的产生过程进行了理论研究，提供了次领头阶归一化的微分散射截面，重整化标度和因子化标度分别为
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