0 引言

在模糊逻辑的理论与应用研究中，蕴涵连接词“如果…，那么…”起着非常重要的作用.因此，探讨在模糊逻辑推理中经常使用的蕴涵算子的共同本质是一项十分有意义的工作.作为对逻辑蕴涵连接词进行代数化处理尝试的成果，吴望名教授^[1]提出了Fuzzy蕴涵代数的概念，简称FI代数.值得注意的是，众多著名的逻辑代数，如MV代数、格蕴涵代数、BL-代数、MTL-代数、R₀-代数、剩余格代数以及Heyting代数等都可看作FI代数的特例，因此，对FI代数的研究具有广泛的代表性.迄今为止，已有学者针对这一代数结构做了大量研究工作，获得了若干具有理论价值和应用前景的成果^[2-10].滤子作为一种工具性概念在命题逻辑系统及与之相匹配的语义代数完备性证明中扮演着重要角色.从逻辑观点来看，各种不同的滤子对应不同的可证公式集.鉴于此，许多学者从不同的角度对FI代数提出了多种不同形式的滤子概念，并对其性质和模糊化问题进行了深入细致的研究^[11-15].

近年来，借助拓扑工具描述逻辑问题越来越受到学术界的关注，为逻辑问题的研究提供了新的方法和途径.其中，文献[16]在R₀-代数上以全体MP滤子为基础建立了拓扑空间并讨论了该空间的若干拓扑性质.文献[17-18]分别讨论了R₀-代数和FI代数的素滤子拓扑性质.文献[19-20]分别研究了剩余格和FI代数中素模糊滤子的拓扑性质.文献[21-24]分别在BL代数、R₀-代数和FI代数中基于MP滤子诱导的同余关系构造了一致结构和一致拓扑，并研究了相应一致拓扑空间的性质.受上述一系列工作的启发，本文基于由模糊滤子诱导的同余关系在FI-代数上构造一致结构和一致拓扑，讨论一致拓扑空间的拓扑性质及商空间性质，获得了一些有意义的结论.

1 预备知识

定义1^[1]  若对任意的x, y, z∈X，条件(I₁)~(I₅)成立，则称(2, 0)型代数(X, →, 0)为Fuzzy蕴涵代数，简称为FI代数.

(I₁) x→(y→z)=y→(x→z)；

(I₂) (x→y)→((y→z)→(x→z))=1；

(I₃) x→x=1；

(I₄) x→y=y→x=1⇒x=y；

(I₅) 0→x=1，

其中，1=0→0.

为叙述方便，如无特殊说明，以下总将FI代数(X, →, 0)简记为X.为了讨论FI代数的性质，文献[1]在FI代数X上定义偏序≤满足：

$ x \le y \Leftrightarrow x \to y = 1,\forall x,y \in X. $

引理1^[1]  设X为FI代数，则∀x, y, z∈X有

(I₆) x→1=1，1→x=x；

(I₇) x≤y⇒z→x≤z→y, y→z≤x→z；

(I₈) x→y≤(z→x)→(z→y)；

(I₉) ((x→y)→y)→y=x→y；

(I₁₀) x≤(x→y)→y，y≤(x→y)→y.

定义2^[1]  设X为FI代数，∅≠F⊆X.若1∈F且∀x∈F，y∈X，x→y∈F⇒y∈F, 则称F为X的滤子.

设X是非空集合，X上的一个模糊集是指映射f：X→[0, 1].对X上的模糊集f和t∈[0, 1]，称集合f_t={x∈X|f(t)≥t}为f的t-水平子集.设f和g是X上的2个模糊集，{f_λ}_λ∈Λ是X上的一族模糊集，∀x∈X，定义：

(1) (f∩g)(x)=f(x)∧g(x)；

(2) (f∪g)(x)=f(x)∨g(x)；

(3) (∩_λ∈Λf_λ)(x)=∧_λ∈Λf_λ(x)；

(4) (∪_λ∈Λf_λ)(x)=∨_λ∈Λf_λ(x).

定义3^[13-14]  设X为FI代数，f为X上的模糊集，若∀x, y∈X，下列条件成立：

(FF1) f(1)≥f(x)；

(FF2) f(y)≥f(x)∧f(x→y)，

则称f为X的模糊滤子. X的全体模糊滤子构成的集合记为FFil(X).

注1  设X为FI代数，{f_λ}_λ∈Λ⊆FFil(X)，易验证$ \bigcap\limits_{\mathit{\lambda }\in \mathit{\Lambda }}{{}}$f_λ∈FFil(X).

引理2^[13-14]  设X为FI代数，f∈FFil(X)，则∀x, y, z∈X, 下列各结论成立：

(FF3) f(x→y)=f(1)⇒f(x)≤f(y)；

(FF4) x≤y⇒f(x)≤f(y)；

(FF5) f(x→y)∧f(y→z)≤f(x→z)；

(FF6) f(x→y)≤f(y→z)∧f(x→z)；

(FF7) f(x→y)≤f(z→x)∧f(z→y).

定义4^[14]  设X为FI代数，若R满足：

(1) 自反性、对称性和传递性；

(2) ∀x, y, z∈X，xRy⇒(x→z)R(y→z)且(z→x)R(z→y)，

则称X上的二元关系R⊆X×X是X上的同余关系.

引理3^[14]  设X为FI代数，f∈FFil(X).定义X上二元关系≡_f：X×X→X满足：∀x, y∈X,

$ x \equiv {}_fy \Leftrightarrow f\left( {x \to y} \right) = f\left( {y \to x} \right) = f\left( 1 \right), $

则≡_f是X上的同余关系.令X/f={x|x∈X}, 其中x={y∈X|x≡_fy}.∀x, y∈X/f，定义运算$ \mapsto $使$ \mathit{\bar{x}}\mapsto \mathit{\bar{y}=}\overline{\mathit{x}\to \mathit{y}}$，则(X/f, $ \mapsto $, 1)是FI代数，称为X关于≡_f的商FI代数.

2 基于模糊滤子的一致拓扑空间

设X是一个非空集合，U, V⊆X×X，定义：

(1) U$ \circ $V={(x, y)∈X×X|∃z∈X, (x, z)∈V, (z, y)∈U}；

(2) U^-1={(x, y)∈X×X|(y, x)∈U}；

(3) Δ={(x, x)∈X×X|x∈X}.

定义5^[25-26]  设X是非空集合，ω是X×X的非空子集族.若下列各条件成立：

(U1) ∀U∈ω，Δ⊆U；

(U2) ∀U∈ω，U^-1∈ω；

(U3) ∀U∈ω，∃V∈ω，V$ \circ $V⊆U；

(U4) ∀U, V∈ω，U∩V∈ω；

(U5) U∈ω且U⊆V⊆X×X，蕴涵V∈ω，

则称ω是X上的一致结构，称(X, ω)是一致空间.

设ω是X上的一致结构，x∈X，U∈ω，记U[x]={y∈X|(x, y)∈U}，则ω可自然诱导拓扑：

$ \tau = \left\{ {O \subseteq X\left| {\forall x \in O} \right.,\exists U \in \omega ,{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;U\left[ x \right] \subseteq O} \right\}, $

称之为X上的一致拓扑，并称(X, τ)为一致拓扑空间.

下面在FI代数上基于模糊滤子构造一致结构和一致拓扑空间.为此，设X为FI代数，且记∅≠FFil^*(X)⊆FFil(X)，满足：

(1) ∀f, g∈FFil^*(X)，f(1)=g(1)；

(2) ∀{f_i}_i=1ⁿ⊆FFil^*(X)，$ \bigcap\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$f_i∈FFil^*(X).

命题1  设X为FI代数，∀f∈FFil^*(X)，记集合U_f={(x, y)∈X×X|x≡_fy}，则X×X的子集族ω^*={U_f|f∈FFil^*(X)}满足条件(U1)~(U4).

证明  首先，由≡_f的自反性、对称性和传递性知，ω^*满足(U1)~(U3).其次，任取U_f, U_g∈ω^*，则f∩g∈FFil^*(X)，从而f(1)=g(1)= (f∩g)(1)，故∀x, y∈X，f(x→y)=f(1)且g(x→y)= g(1)当且仅当(f∩g)(x→y)=(f∩g)(1)，因此可得U_f∩U_g=U_f∩g.再由f∩g∈FFil^*(X)，可得U_f∩U_g∈ω^*，即ω^*亦满足(U4).

定理1  设X为FI代数，定义集合

$ \omega = \left\{ {U \subseteq X \times X\left| {\exists {U_f} \in {\omega ^ * }} \right.,{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;{U_f} \subseteq U} \right\}, $

则ω是X上的一致结构，从而(X, ω)是一致空间.

证明  由命题1和ω的定义知，ω满足条件(U1)~(U4)，因此只需证明ω满足条件(U5)即可.事实上，设U∈ω且U⊆V⊆X×X，则存在U_f∈ω^*使得U_f⊆U⊆V，故V∈ω.

由定义5和定理1，有

定义6  设X为FI代数，则

$ \tau = \left\{ {O \subseteq X\left| {\forall x \in O} \right.,\exists U \in \omega ,{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;U\left[ x \right] \subseteq O} \right\} $

为X上的一个拓扑，称之为X上基于模糊滤子的一致拓扑，并称(X, τ)为X上基于模糊滤子的一致拓扑空间.特别地，当FFil^*(X)={f}时，ω={U⊆X×X|U_f⊆U}，此时记X上基于模糊滤子的一致拓扑τ=τ_f.

注2  设X为FI代数，由定义6中拓扑τ的定义知，∀x∈X及f∈FFil^*(X)，U_f[x]均为点x的开邻域.

例1  设X={0, a, b, 1}，定义X上二元运算“→”如表 1所示，则(X, →, 0)是一个FI代数.定义X上模糊集f使f(0)=f(b)=α, f(a)=f(1)=β, 0≤α＜β≤1，则f∈FFil(X).令FFil^*(X)={f}，则

$ \begin{array}{l} {\omega ^ * } = \left\{ {{U_f}\left| {f \in {\bf{FFi}}{{\bf{l}}^ * }\left( X \right)} \right.} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\left\{ {\left\{ {\left( {x,y} \right) \in X \times X\left| {x \equiv {}_fy} \right.} \right\}} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\left\{ {\left\{ {\left( {0,0} \right),\left( {a,a} \right),\left( {b,b} \right),\left( {1,1} \right),\left( {a,1} \right),\left( {1,a} \right),} \right.} \right.\\ \left. {\left. {\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {0,b} \right),\left( {b,0} \right)} \right\}} \right\} \end{array} $

从而ω={U⊆X×X|∃U_f∈ω^*, s.t. U_f⊆U}是X上的一个一致结构，且U_f[0]=U_f[b]={0, b}，U_f[a]=U_f[1]={a, 1}.因此，X上基于模糊滤子的一致拓扑τ=τ_f={∅, {0, b}, {a, 1}, X}.

定理2  设X为FI代数，若χ_{1}∈FFil^*(X)，则X上基于模糊滤子的一致拓扑τ是离散拓扑.

证明  设f=χ_{1}∈FFil^*(X)，则∀x∈X，有

$ f\left( x \right) = {\chi _{\left\{ 1 \right\}}}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,}&{x = 1,}\\ {0,}&{x \ne 1,} \end{array}} \right. $

于是，由(I₄)得

$ \begin{array}{l} {U_f}\left[ x \right] = \left\{ {y \in X\left| {x \equiv {}_fy} \right.} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ {y \in X\left| {f\left( {x \to y} \right) = f\left( {y \to x} \right) = f\left( 1 \right) = 1} \right.} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ {y \in X\left| {x \to y = y \to x = 1} \right.} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ {y \in X\left| {y = x} \right.} \right\} = \left\{ x \right\}, \end{array} $

故{x}=U_f[x]∈τ，即(X, τ)中任意单点集都是开集，因此τ是离散拓扑.

注3  定理2的逆命题一般不真.例如，设X为例1中所给的FI代数，在X上定义模糊集g，使得

$ g\left( 0 \right) = g\left( a \right) = a,g\left( b \right) = \beta ,g\left( 1 \right) = \gamma , $

0≤α＜β＜γ≤1，则可验证g∈FFil(X).令FFil^*(X)={g}，则

$ \begin{array}{l} {\omega ^ * } = \left\{ {{U_f}\left| {f \in {\bf{FFi}}{{\bf{l}}^ * }\left( X \right)} \right.} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\left\{ {\left\{ {\left( {x,y} \right) \in X \times X\left| {x \equiv {}_gy} \right.} \right\}} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\left\{ {\left\{ {\left( {0,0} \right),\left( {a,a} \right),\left( {b,b} \right),\left( {1,1} \right)} \right\}} \right\}, \end{array} $

于是U_g[x]={x}, ∀x∈X，τ=τ_g是离散拓扑.显然χ_{1}∉FFil^*(X).

下面讨论FI代数X上基于模糊滤子的一致拓扑空间(X, τ)的拓扑性质.

定理3  设X为FI代数，则对任意的x∈X及f∈FFil^*(X)，都有U_f[x]是一致拓扑空间(X, τ)中的既开又闭集.

证明  任取x∈X和f∈FFil^*(X)，首先，由注2知，U_f[x]是(X, τ)中的开集.其次，证明U_f[x]为(X, τ)中的闭集.只须证对任意的x∈X，(U_f[x])^c∈τ.为此，假设y∈(U_f[x])^c，断言U_f[y]⊆(U_f[x])^c.事实上，任取z∈U_f[y]，则y≡_fz，从而f(y→z) =f(z→y)=f(1).若z∉(U_f[x])^c，则z∈U_f[x], 从而x≡_fz，进而f(x→z)=f(z→x)=f(1).于是由(FF5)及f∈FFil(X)得

$ f\left( 1 \right) = f\left( {y \to z} \right) \wedge f\left( {z \to x} \right) \le f\left( {y \to x} \right), $

$ f\left( 1 \right) = f\left( {x \to z} \right) \wedge f\left( {z \to y} \right) \le f\left( {x \to y} \right), $

故由(FF1)得f(x→y)=f(y→x)=f(1)，从而x≡_fy，进而y∈U_f[x]，这与y∈(U_f[x])^c矛盾！所以z∈(U_f[x])^c，因此U_f[y]⊆(U_f[x])^c.表明(U_f[x])^c∈τ，从而U_f[x]也是(X, τ)中的闭集.

引理4^[25]  拓扑空间(X, T)是非连通的当且仅当X有既开又闭的非空真子集.

推论1  设X为FI代数，则X上的基于模糊滤子的一致拓扑空间(X, τ)是非连通空间.

证明  由定理3和引理4立即证得.

定理4  设X为FI代数，F⊆X是X的滤子且χ_F∈FFil^*(X)，则F是一致拓扑空间(X, τ)中的既开又闭集.

证明  设F是X的滤子且χ_F∈FFil^*(X)，则∀x∈X，U_χF[x]∈τ，从而$ \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }{{}}$U_χF[x]∈τ，其中，Λ为指标集.下面从两方面完成定理的证明.

(1) 证明F= $ \bigcup\limits_{\mathit{x}\in \mathit{F}}{{}}$U_χF[x]，从而有F是(X, τ)中的开集.事实上，设y∈F，则y∈U_χF[y] ⊆$ \bigcup\limits_{\mathit{x}\in \mathit{F}}{{}}$U_χF[x].反之，设y∈$ \bigcup\limits_{\mathit{x}\in \mathit{F}}{{}}$U_χF[x]，则存在z∈F使得y∈U_χF[z]，故y≡_χFz，从而可得χ_F(y→z)=χ_F(z→y)=χ_F(1).又因为F是X的滤子，所以1∈F，故χ_F(y→z)=χ_F(z→y)=χ_F(1)=1，因此z→y∈F，于是由z∈F及定义2得y∈F.综合便得F=$ \bigcup\limits_{\mathit{x}\in \mathit{F}}{{}}$U_χF[x].

(2) 证明F^c= $ \bigcup\limits_{\mathit{x}\notin \mathit{F}}{{}}$U_χF[x]，从而有F是(X, τ)中的闭集.事实上，设y∈F^c，则y∉F且y∈U_χF[y]，所以y∈ $ \bigcup\limits_{\mathit{x}\notin \mathit{F}}{{}}$ U_χF[x].反之，设y∈$ \bigcup\limits_{\mathit{x}\notin \mathit{F}}{{}}$U_χF[x]，则存在z∈F^c使y∈U_χF[z]，从而可得χ_F(y→z)=χ_F(z→y)=χ_F(1).又由F是X的滤子得1∈F, 故χ_F(y→z)=χ_F(z→y)=1, 进而有y→z∈F.若y∈F，则由定义2得z∈F, 这与z∈F^c矛盾！因此y∉F，从而y∈F^c.综合便得F^c=$ \bigcup\limits_{\mathit{x}\notin \mathit{F}}{{}}$U_χF[x].

注4  定理4的逆命题一般不真.即当F是X的滤子且为一致拓扑空间(X, τ)中的既开又闭集时，不必有χ_F∈FFil^*(X).例如，考虑例1中所给一致拓扑空间(X, τ)，则F={a, 1}是FI代数X的滤子，且由定理3知，F={a, 1}=U_f[a]是(X, τ)中的既开又闭集，但由

$ {\chi _F}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,}&{x \in \left\{ {a,1} \right\},}\\ {0,}&{x \in \left\{ {0,b} \right\}} \end{array}} \right. $

知，χ_F≠f，从而χ_F∉FFil^*(X).

命题2  设X为FI代数，f, g∈FFil(X)，f(1)=g(1)且f⊆g，即f(x)≤g(x), ∀x∈X，则U_f⊆U_g.

证明  设f, g∈FFil(X)，f(1)=g(1)且f⊆g.任取(x, y)∈U_f，则

$ g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) = f\left( {x \to y} \right) \le g\left( {x \to y} \right), $

$ g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) = f\left( {y \to x} \right) \le g\left( {y \to x} \right), $

而由g∈FFil(X)及(FF1)可得g(1)≥g(x→y)，且g(1)≥g(y→x)，故g(x→y)=g(y→x)=g(1), 从而有(x, y)∈U_g，因此U_f⊆U_g.

定理5  设X为FI代数，f, g∈FFil(X)，f(1)=g(1)且g⊆f，则τ_f⊆τ_g.

证明  由定义6，令

$ {\bf{FFil}}_1^ * \left( X \right) = \left\{ f \right\},\omega _1^ * = \left\{ {{U_f}} \right\},{\omega _1} = \left\{ {U\left| {{U_f} \subseteq U} \right.} \right\}, $

$ {\bf{FFil}}_2^ * \left( X \right) = \left\{ g \right\},\omega _2^ * = \left\{ {{U_g}} \right\},{\omega _2} = \left\{ {U\left| {{U_g} \subseteq U} \right.} \right\}. $

任取O∈τ_f，则∀x∈O，∃U∈ω₁使得U[x]⊆O，从而U_f[x]⊆U[x]⊆O.又g⊆f，所以由命题2得U_g⊆U_f，故U_g[x]⊆U_f[x]⊆U[x]⊆O，因此O∈τ_g，表明τ_f⊆τ_g.

注5  定理5的逆命题一般不成立.例如，设X={0, a, b, c, 1}，定义X上二元运算“→”如表 2所示，则(X, →, 0)是一个FI代数.定义X上的2个模糊集f和g满足：

$ f\left( 0 \right) = f\left( a \right) = 0.3,f\left( b \right) = f\left( c \right) = f\left( 1 \right) = 0.8, $

$ g\left( 0 \right) = g\left( a \right) = 0.5,f\left( b \right) = 0.6,f\left( c \right) = f\left( 1 \right) = 0.8, $

则f, g∈FFil(X)且f(1)=g(1).

令FFil^*(X)={f}，可得

$ {\tau _f} = \left\{ {\emptyset ,\left\{ {0,a} \right\},\left\{ {b,c,1} \right\},X} \right\}. $

令FFil^*(X)={g}，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _g} = \left\{ {\emptyset ,\left\{ 0 \right\},\left\{ a \right\},\left\{ b \right\},\left\{ {c,1} \right\},\left\{ {0,a} \right\},\left\{ {0,b} \right\},\left\{ {a,b} \right\},\left\{ {0,a,b} \right\},\left\{ {0,c,} \right.} \right.}\\ {\left. {\left. 1 \right\},\left\{ {a,c,1} \right\},\left\{ {b,c,1} \right\},\left\{ {0,b,c,1} \right\},\left\{ {a,b,c,1} \right\},\left\{ {0,a,c,1} \right\},X} \right\}.} \end{array} $

则τ_f⊆τ_g，但g⊆f显然不成立.

定理6  设X为FI代数，若$ \mathit{g}\text{=}\bigcap\limits_{\mathit{f}\in \bf{FFi}{{\bf{l}}^{*}}\left( \mathit{X} \right)}{\mathit{f}}$，则τ=τ_g.

证明  令FFil^*(X)={g}，ω₁^*={U_g}，ω₁={U|U_f⊆U}, 且ω^*和ω的定义分别同命题1和定理1.设O∈τ，则∀x∈O，存在U∈ω，使得U[x]⊆O.因为U∈ω，所以存在f∈FFil^*(X)使得U_f[x]⊆U[x].又因为f(x)≤g(x), ∀x∈X，所以由命题2得U_g⊆U_f，故U_g[x]⊆U_f[x]⊆ U[x]⊆O，所以O∈τ_g，τ⊆τ_g.反之，设O∈τ_g，则∀x∈O，存在U∈ω₁使得U[x]⊆O，故U_g[x]⊆U[x]⊆O.又$ \mathit{g}\text{=}\bigcap\limits_{\mathit{f}\in \bf{FFi}{{\bf{l}}^{*}}\left( \mathit{X} \right)}{\mathit{f}}$，所以有U_g∈ω，故O∈τ，因此τ_g⊆τ.定理得证.

为了讨论基于模糊滤子的一致拓扑空间的紧致性，首先引用如下定义：

定义7^[25-26]  设(X, T)是拓扑空间且A⊆X，若A的任一开覆盖都有有限子覆盖，则称A是X的紧子集.若X本身为紧子集，则称(X, T)为紧空间.若x∈X有紧邻域，则称X在点x处是局部紧的.若X在其中每一点处都是局部紧的，则称(X, T)为局部紧空间.

定理7  设X为FI代数，若$ \mathit{g}\text{=}\bigcap\limits_{\mathit{f}\in \bf{FFi}{{\bf{l}}^{*}}\left( \mathit{X} \right)}{\mathit{f}}$，则对任意的x∈X，U_g[x]都为一致拓扑空间(X, τ)中的紧子集.

证明  设{O_α}_α∈Γ⊆τ使U_g[x]=$ \bigcup\limits_{\mathit{\alpha }\in \Gamma }{{}}$O_α，则由x∈U_g[x]知，存在α∈Γ使得x∈O_α∈τ，故存在f∈FFil^*(X)使U_f[x]⊆O_α.又由已知条件得f(1)= g(1)且g⊆f，所以由命题2得U_g⊆U_f, 故U_g[x]⊆U_f[x]⊆O_α，因此U_g[x]是(X, τ)中的紧子集.

推论2  设X为FI代数，则X上基于模糊滤子的一致拓扑空间(X, τ)是局部紧空间.

证明  设$ \mathit{g}\text{=}\bigcap\limits_{\mathit{f}\in \bf{FFi}{{\bf{l}}^{*}}\left( \mathit{X} \right)}{\mathit{f}}$，任取x∈X，一方面，由定理7得U_g[x]是(X, τ)中的紧子集.另一方面，由定理3知U_g[x]是x∈X的开邻域，故由定义7便得(X, τ)是局部紧空间.

引理5^[25]  若(X, ω)是一致空间，则一致拓扑空间是完全正则空间.

推论3  设X为FI代数，则X上基于模糊滤子的一致拓扑空间(X, τ)是完全正则空间.

总结推论1~推论3, 立得以下定理：

定理8  设X为FI代数，则X上基于模糊滤子的一致拓扑空间(X, τ)是非连通、局部紧的完全正则空间.

定义8^[25-26]  设(X, ω)是一致空间，若对任意U∈ω，存在有限集{x_i}_i=1ⁿ⊆X, 使得X=$ \bigcup\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$U[x_i]，则称(X, ω)是全有界的.

定理9  设X为FI代数，f∈FFil(X)，则下列陈述等价：

(1) 一致拓扑空间(X, τ_f)是紧空间；

(2) 一致空间(X, ω)是全有界的；

(3) 存在P={x_i}_i=1ⁿ⊆X，∀a∈X，∃x_i∈P，使得a≡_fx_i.

证明  (1)⇒(2)：由文献[25]第6章定理32可立得.

(2)⇒(3)：设U_f∈ω，因为(X, ω)全有界，所以存在P={x_i}_i=1ⁿ⊆X使得X=$ \bigcup\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$U_f[x_i]，于是∀a∈X，∃x_i∈P，使得a∈U_f[x_i]，因此a≡_fx_i.

(3)⇒(1)：任取a∈X，则由(3)得∃x_i∈P使得a≡_fx_i，故a∈U_f[x_i]，从而有X⊆$ \bigcup\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$U_f[x_i]，进而有X=$ \bigcup\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$U_f[x_i].现假设存在{O_α}_α∈Γ⊆τ, 使X=$ \bigcup\limits_{\mathit{\alpha }\in \Gamma }{{}}$O_α，则∀x_i∈P={x_i}_i=1ⁿ⊆X，∃α_i∈Γ使得x_i∈O_αi.又因为O_αi∈τ_f，U_f[x_i]⊆O_αi，所以X= $ \bigcup\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$U_f[x_i]⊆$ \bigcup\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$O_αi，故X=$ \bigcup\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$O_αi，因此(X, τ_f)是紧空间.

关于基于模糊滤子的一致拓扑空间的分离性，有以下结论：

定理10  设X为FI代数，则下列陈述等价：

(1) 一致拓扑空间(X, τ)是T₀空间；

(2) 一致拓扑空间(X, τ)是T₁空间；

(3) 一致拓扑空间(X, τ)是T₂空间.

证明  (1)⇒(2)：设(X, τ)是T₀空间且x, y∈X使得x≠y，则由(I₄)得x→y≠1或y→x≠1.不妨设x→y≠1，则由(X, τ)是T₀空间知，存在O∈τ使得x→y∈O且1∉O，从而存在f∈FFil^*(X)使得U_f[x→y]⊆O.由假设，显然有1∉U_f[x→y]且x→y∉U_f[1]，故(X, τ)是T₁空间.

(2)⇒(3)：设(X, τ)是T₁空间且x, y∈X使x≠y，则存在O₁, O₂∈τ使得x∈O₁，y∉O₁且y∈O₂，x∉O₂，所以存在f, g∈FFil^*(X)使得U_f[x]⊆O₁且U_g[x]⊆O₂.记h=f∩g，则由注1得h∈FFil^*(X)，往证U_h[x]∩U_h[y]=∅.事实上，设z∈U_h[x]∩U_h[y]，则h(z→x)=h(x→z) h(z→y)=h(y→z)=h(1)，从而由(FF5)得

$ h\left( 1 \right) = h\left( {x \to z} \right) \wedge h\left( {z \to y} \right) \le h\left( {x \to y} \right), $

$ h\left( 1 \right) = h\left( {y \to z} \right) \wedge h\left( {z \to x} \right) \le h\left( {y \to x} \right), $

故由(FF1)得h(x→y)=h(y→x)=h(1)，于是由h⊆f得y∈U_h[x]⊆U_f[x]⊆O₁，这与y∉O₁矛盾！因此(X, τ)是T₂空间.

(3)⇒(1)：显然.

定义9  设X是一个FI代数，f∈FFil^*(X)且A⊆X，则U_f[A]：=$ \bigcup\limits_{\mathit{a}\in \mathit{A}}{{}}$U_f[a].

定理11  设X是一个FI代数，f∈FFil^*(X)且A⊆X，则在X上基于模糊滤子的一致拓扑空间(X, τ)中A的闭包A满足：

$ \bar A = \cap \left\{ {{U_f}\left[ A \right]\left| {{U_f} \in {\omega ^ * }} \right.} \right\}. $

证明  设b∈A，则∀f∈FFil^*(X)，U_f[b]是b的开邻域且U_f[b]∩A≠∅.因此，存在a∈A使得a∈U_f[b]，即(a, b)∈U_f.故

$ b \in {U_f}\left[ a \right] \subseteq \bigcup\limits_{a \in A} {{U_f}\left[ a \right]} = {U_f}\left[ A \right], $

从而b∈∩{U_f[A]|U_f∈ω^*}.

反之，设b∈∩{U_f[A]|U_f∈ω^*}，则对任意的f∈FFil^*(X)，b∈U_f[A]，存在a∈A使得b∈U_f[a]且U_f[b]∩A≠∅，故b∈A.

定理12  设X是FI代数，C为X上基于模糊滤子的一致拓扑空间(X, τ)的紧子集，O∈τ且C⊆O，则∃f∈FFil^*(X)使得C⊆U_f[C]⊆O.

证明  因为O∈τ且C⊆O，所以对任意的c∈C，存在f_c∈FFil^*(X)使得U_fc[c]⊆O，因此C⊆ $ \bigcup\limits_{\mathit{c}\in \mathit{C}}{{}}$U_fc[c] ⊆O.又因为C为(X, τ)的紧子集，所以存在{c_i}_i=1ⁿ⊆C使得C⊆$ \bigcup\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$U_fci[c_i]，令f= $ \bigcap\limits_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}{{}}$f_ci，断言∀c∈C，U_f[c]⊆O.事实上，设c∈C，则存在i∈{1, 2, …, n}使c∈U_fci[c_i]，从而c≡_fcic_i.任取x∈U_f[c]，则x≡_fc，注意到f⊆f_ci得x≡_fcic，进而由传递性得x≡_fcic_i，于是x∈U_fci[c_i]⊆O，故∀c∈C，U_f[c]⊆O.因此C⊆U_f[C]⊆O.

最后，讨论FI代数中蕴涵算子关于一致拓扑的连续性.

定义10  设(X, →, 0)是FI代数，T是X上的拓扑，若运算“→”关于拓扑T连续，则称(X, T)是拓扑FI代数.

注6  设(X, →, 0)是FI代数，T是X上的拓扑，A, B⊆X，定义

$ A \to B: = \left\{ {a \to b \in X\left| {a \in A,b \in B} \right.} \right\}, $

则运算“→”关于拓扑T连续等价于∀O∈T，∀a, b∈X，当a→b∈O时，存在O₁, O₂∈T使得a∈O₁，b∈O₂且O₁→O₂⊆O.

定理13  设(X, →, 0)是FI代数，τ是X上基于模糊滤子的一致拓扑，则(X, τ)是拓扑FI代数.

证明  任取a, b∈X，O∈τ，设a→b∈O，则由τ的定义知，存在U∈ω使U[a→b]⊆O，且存在f∈FFil^*(X)使U_f⊆U，于是可断言：

$ {U_f}\left[ a \right] \to {U_f}\left[ b \right] \subseteq {U_f}\left[ {a \to b} \right]. $

事实上，设x→y∈U_f[a]→U_f[b]，则x∈U_f[a]且y∈U_f[b]，从而x≡_fa且y≡_fb，故由≡_f为X上的同余关系得(a→b)≡_f(x→y)，则(a→b, x→y)∈U_f⊆U，故x→y∈U_f[a→b].又由U_f⊆U得U_f[a→b]⊆U[a→b]，故令O₁=U_f[a]且O₂∈U_f[b]，则由注2知，O₁, O₂∈τ，a∈O₁，b∈O₂且O₁→O₂=U_f[a]→U_f[b]⊆ U_f[a→b]⊆O.因此(X, τ)是拓扑FI代数.

3 商空间

本节总假设(X, τ)是拓扑FI代数，且τ为X上基于模糊滤子的一致拓扑.

定义11^[25]  设X为FI代数，f∈FFil(X)，称按引理3中方式定义的商FI代数X/f上使得投影p：X→X/f为连续开映射的最大拓扑τ^*为X/f上的商拓扑，并称(X/f, τ^*)为商空间.

注7  设X为FI代数，f∈FFil(X)，则在FI代数(X/f, $ \mapsto $, 1)中，x ≤y ⇔f(x→y)=f(1), ∀x, y ∈X/f.

定理14  设X是FI代数，且τ为X上基于模糊滤子的一致拓扑，f∈FFil(X)，则商空间(X/f, τ^*)是Hausdorff空间.

证明  设x, y ∈X/f且x ≠y，则x ≤y或y ≤x不成立.不妨设x ≤y不成立，则由注7可知, f(x→y)≠f(1).因为p：X→X/f为开映射，所以p(U_f[x→y])是$ \overline{\mathit{x}\to \mathit{y}}$的一个开邻域，于是1∉p(U_f[x→y]).事实上，若1∈p(U_f[x→y]), 则∃z∈U_f[x→y]使得p(z)=1，故f(z)=f(1)且f(z→(x→y))=f(1)，又f∈FFil(X)，所以f(1)=f(z)∧f(z→(x→y))≤f(x→y)，从而f(x→y)=f(1)，进而有x ≤y，矛盾！又因为(X, τ)是拓扑FI代数且p：X→X/f连续，所以(X/f, τ^*)是拓扑FI代数，从而存在x和y的开邻域V, W∈τ^*, 使得V$ \mapsto $W⊆p(U_f[x→y])，进而可断言V∩W=∅.不然，则存在z ∈V∩W，于是1 =z $ \mapsto $z ∈V$ \mapsto $W⊆p(U_f[x→y])，这与1∉p(U_f[x→y])矛盾！因此商空间(X/f, τ^*)是Hausdorff空间.

定理15  设X是FI代数，且τ为X上基于模糊滤子的一致拓扑，f∈FFil(X)，则商空间(X/f, τ^*)是局部紧空间.

证明  设x ∈X/f，因为x∈X，所以由定理3知, U_f[x]是点x的开邻域，从而x ∈p(U_f[x])，则由定理7又得U_f[x]是(X, τ)中的紧子集，故p(U_f[x])是x在X/f中的紧邻域，因此，(X/f, τ^*)是局部紧空间.

引理6^[25]   任一局部紧的Hausdorff空间都是正则空间.

推论4  设X是FI代数，且τ为X上基于模糊滤子的一致拓扑，f∈FFil(X)，则商空间(X/f, τ^*)是正则空间.

证明  由定理14、定理15和引理6立得.

定理16  设X是FI代数，且τ为X上基于模糊滤子的一致拓扑，f∈FFil(X)，则对任意的t∈[0, 1]，f_t是一致拓扑空间(X, τ_f)中的闭集.

证明  若t=0，则f_t=X，显然为闭集.若t∈(0, 1]，往证f_t^c∈τ^*.事实上，设x∈f_t^c，则x∉f_t，故f(1→x)=f(x)＜t，又f∈FFil(X)，故又可得f(1)≥t，从而f(1→x)≠f(1)，进而在商空间(X/f, τ^*)中x ≠1.因为由推论4知，商空间(X/f, τ^*)是正则空间，所以分别存在x和1的开邻域V和W，使V∩W=∅，p^-1(V)是x的开邻域(p是连续开满映射)且f_t⊆p^-1(W)，从而可得f_t∩p^-1(V)=∅，进而x∈p^-1(V)⊆f_t^c，因此f_t是一致拓扑空间(X, τ_f)中的闭集.

定理17  设X是FI代数，且τ为X上基于模糊滤子的一致拓扑，f∈FFil(X)，且商空间(X/f, τ^*)是离散空间，则对任意的t∈[0, 1]，f_t是一致拓扑空间(X, τ_f)中的开集.

证明  若t=0，则f_t=X，显然为开集.任取t∈(0, 1]，设x∈f_t，因为(X/f, τ^*)是离散空间，所以{x}∈τ^*，从而由p：X→X/f是连续映射得p^-1({x})∈τ且x∈p^-1({x})，进而p^-1({x})⊆f_t，事实上，设y∈p^-1({x})，则y=x，从而x≡_fy, 故f(x→y)=f(y→x)=f(1)，又f∈FFil(X)，所以t=f(1)∧t≤f(x→y)∧f(x)=f(y)，故y∈f_t.因此f_t是一致拓扑空间(X, τ_f)中的开集.

定理18  设X是FI代数，且τ为X上基于模糊滤子的一致拓扑，f∈FFil(X)，且F={1} ⊆X/f，则p(U_f[x])=U_χF[x].

证明  设y ∈p(U_f[x])，则存在z∈U_f[x]，使得p(z)=y，即z≡_fy.而由z∈U_f[x]又得z≡_fx, 故由≡_f的传递性得x≡_fy，从而y =x.于是得y ∈p(U_f[x])⇔y =x ⇔ $ \overline{\mathit{x}\to \mathit{y}}=\overline{\mathit{y}\to \mathit{x}}$=1 ⇔ χ_F($ \overline{\mathit{x}\to \mathit{y}}$) =χ_F($ \overline{\mathit{y}\to \mathit{x}}$)=χ_F(1)⇔y ∈U_χF(x)，因此p(U_f[x])=U_χF[x].

注8  设X为FI代数，由定理18知：对任意x ∈X/f，U_χF[x]都是商空间(X/f, τ^*)中的开集，从而X/f上的商拓扑细于其上基于模糊滤子χ_F的一致拓扑τ_χF.

4 结论与展望

将拓扑学概念和原理应用于FI代数问题的研究，基于模糊滤子诱导的同余关系在FI代数上构造了一致结构和一致拓扑，详细讨论了这类空间的拓扑性质，获得了一些有意义的结论.不但丰富和完善了FI代数理论的研究内容，而且为运用拓扑学工具描述逻辑问题提供了技术支持，进一步促进了拓扑学与模糊逻辑理论的交叉渗透.