如图 1所示，由于长直共轴共焦抛物导体柱板在空间产生的电场与轴无关，是垂直于轴的横截面上的二维场问题.文献[1-3]分别采用抛物柱坐标、高斯定理和复势函数法对此问题进行了研究；文献[4]采用不同坐标系的度规系数简化求解拉普拉斯方程.本文引入导体曲面函数，将解偏微分方程问题转化为一般的积分运算，简便直观地导出了共轴共焦抛物导体柱板间的电场分布.

1 解拉普拉斯方程

设f(x, y, z)为具有连续一、二阶偏导数的函数，c为参数，则

$ f\left( {x, y, z} \right) = c $

(1)

表示一空间曲面族^[5].若任取2个满足f(x, y, z)的薄导体曲面并带电，则曲面间的电势u满足拉普拉斯方程，而该电势在薄导体曲面上的取值为常量，说明电势u是f(x, y, z)的函数.

因为

$ \nabla u = \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}f}}\frac{{\partial f}}{{\partial x}}{{\bf{e}}_{\bf{x}}} + \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}f}}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}{{\bf{e}}_{\bf{y}}} + \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}f}}\frac{{\partial f}}{{\partial z}}{{\bf{e}}_{\bf{z}}}, $

所以

$ \begin{gathered} {\nabla ^2}u = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}f}}\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}f}}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right) + \hfill \\ \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}f}}\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right) = \frac{{{{\text{d}}^2}u}}{{{\text{d}}{f^2}}}{\left| {\nabla f} \right|^2} + \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}f}}{\nabla ^2}f. \hfill \\ \end{gathered} $

令$u' = \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}f}}$，由${\nabla ^2}u = 0$, 整理得

$ \frac{{{\text{d}}u'}}{{u'}} = \frac{{{\nabla ^2}f}}{{{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}}{\text{d}}f. $

积分2次得曲面间的电势

$ u = A\int {{{\text{e}}^{-\frac{{{\nabla ^2}f}}{{{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}}}}{\text{d}}f + B, } $

(2)

其中，A、B为积分常数.

2 抛物板间的电势分布

图 1为具有共同焦点(0, 0)的两抛物板l₁和l₂，对应的方程为$c =-y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} $，即

$ f\left( {x, y} \right) = c =-y + \sqrt {{x^2} + {y^2}}, $

(3)

其中抛物板l₁对应c=c₁，电势为u₁；抛物板l₂对应c=c₂，电势为u₂，由于板间电势u满足拉普拉斯方程，故将相应参量代入式(2)，即可计算抛物板间的电势.

由$\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$，$\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}, $, $\frac{{\partial f}}{{\partial y}} =-1 + \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$, $\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}$, 有${\nabla ^2}f = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$, ${\left| {\nabla f} \right|^2} = 2\left( {1-\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)$，$-\int {\frac{{{\nabla ^2}f}}{{{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}}{\text{d}}f} =-\int {\frac{1}{{2f}}{\text{d}}f} = \ln \frac{1}{{\sqrt f }}$，则

$ u = A\int {\frac{{{\text{d}}f}}{{\sqrt f }}} + B = 2A\sqrt f + B. $

(4)

下面由边界条件确定积分常数A和B.将抛物柱板对应的u₁, c₁，u₂, c₂分别代入式(4)有${u_1} = 2A\sqrt {{c_1}} + B, {u_2} = 2A\sqrt {{c_2}} + B$，整理得

$ A = \frac{{{u_2}-{u_1}}}{{2\left( {\sqrt {{c_2}}-\sqrt {{c_1}} } \right)}}, B = \frac{{{u_1}\sqrt {{c_2}}-{u_2}\sqrt {{c_1}} }}{{\sqrt {{c_2}} - \sqrt {{c_1}} }}, $

所以

$ \begin{gathered} u\left( {x, y} \right) = \frac{{{u_2}-{u_1}}}{{\sqrt {{c_2}}-\sqrt {{c_1}} }}\sqrt {-y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } + \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{u_1}\sqrt {{c_2}} - {u_2}\sqrt {{c_1}} }}{{\sqrt {{c_2}} - \sqrt {{c_1}} }}, \hfill \\ \end{gathered} $

(5)

式(5)给出的两抛物导体柱板间的电势分布与文献[1]结果相同.

3 抛物板间的电场强度

由$\mathit{\boldsymbol{E}} =-\nabla u$可得两导体抛物柱板间的电场强度分布:

$ \begin{gathered} \mathit{\boldsymbol{E}} =- \frac{{\partial u}}{{\partial x}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{x}}}- \frac{{\partial u}}{{\partial y}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{y}}} =- \frac{1}{2}\frac{{{u_2} - {u_1}}}{{\sqrt {{c_2}} - \sqrt {{c_1}} }} \times \hfill \\ \left[{\frac{{x{\mathit{\boldsymbol{e}}_x} + \left( {y-\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right){\mathit{\boldsymbol{e}}_y}}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} \times \sqrt {-y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } }}} \right], \hfill \\ \end{gathered} $

(6)

由式(6)可得电场线满足微分方程:

$ \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = \frac{{{E_y}}}{{{E_x}}} = \frac{y}{x}-\sqrt {1 + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}, $

(7)

令$t = \frac{y}{x}$，则dy=xdt+tdx, 代入式(7)整理得

$ \frac{{{\text{d}}t}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} =-\frac{{{\text{d}}x}}{x}, $

两边积分得$t + \sqrt {1 + {t^2}} = A{x^{-1}}, $

即

$ y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} = A\left( {A为任意常数} \right), $

(8)

式(8)即为抛物柱板间的电场线方程.

由式(6)可知，柱板间电场强度大小为

$ E = = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \times \frac{{{u_2}-{u_1}}}{{\sqrt {{c_2}}-\sqrt {{c_1}} }}{\left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)^{\frac{1}{4}}}, $

(9)

故抛物板上电荷面密度为

$ \sigma = {\varepsilon _0}E = = \frac{{\sqrt 2 {\varepsilon _0}}}{2} \times \frac{{{u_2}-{u_1}}}{{\sqrt {{c_2}}-\sqrt {{c_1}} }}{\left( {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)^{\frac{1}{4}}}, $

(10)

说明抛物导体板上的电荷分布是不均匀的，越靠近抛物柱弧顶，电荷密度越大，而在较远处，电荷密度几乎为0.

通过导体曲面函数，利用积分导出了共轴共焦的抛物导体柱板间的电场分布，并给出了导体板上的电荷分布情况.该方法为计算等势面规范的带电导体产生的电场提供了新思路，有利于对静电问题的研究.