1 引言及主要结果

定义1 若

$ \begin{array}{l} \varphi \left( n \right) = \mathop {\sup }\limits_{k \ge 1} \mathop {\sup }\limits_{A \in \mathscr{F}_1^k,B \in \mathscr{F}_{k + n}^\infty ,P\left( A \right) > 0} \left| {P\left( {B\left| A \right.} \right) - P\left( B \right)} \right| \to 0,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n \to \infty , \end{array} $

其中F_a^b=σ(X_i, a≤i≤b)，则称随机序列{X_n, n≥1}是φ-混合的.这是混合条件中常见的一种, 具体应用和例子可参见文献[1].

定义2  若

$ Cov\left( {f\left( {{X_1},{X_2}, \cdots ,{X_n}} \right),g\left( {{X_1},{X_2}, \cdots ,{X_n}} \right)} \right) \ge 0, $

其中f和g是任何2个使上式协方差存在且对每个变元均单调非降的函数，则称随机序列{X_k, 1≤k≤n}是相伴(associated)的.如果对任何n≥2, {X₁, X₂, …, X_n}都是相伴的，则随机序列{X_n, n≥1}是相伴的.

定义3  定义随机变量X与Y之间的Kolmogorov距离为

$ {d_K}\left( {X,Y} \right) = \mathop {\sup }\limits_{x \in R} \left| {P\left( {X \le x} \right) - P\left( {X \le x} \right)} \right|. $

IBRAGIMOV^[2]给出了下列严平稳φ-混合序列的中心极限定理：

定理A  设{X_n, n≥1}为严平稳的φ-混合序列, 满足EX₁=μ, 0＜σ²=Var(X₁)+$2\sum\limits_{j = 2}^\infty {{\rm{Cov}}({X_1}, {X_j}) < \infty, } \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\varphi ^{1/2}}(n) < \infty } $, 那么

$ \frac{{{S_n} - n\mu }}{{\sigma \sqrt n }}\xrightarrow{d}{Z_1},n \to \infty , $

(1)

其中, ${S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} $为部分和, Z₁~N(0, 1), Φ(·)为Z₁的分布函数.

随机序列部分和的相关研究一直是概率极限理论研究的热点之一，它与很多实际问题密切相关，比如，保险公司在一定时间内的索赔可表示为随机部分和的形式，此外，金融数学、更新过程、证券、风险投资等领域中的问题也属于随机部分和问题.因此，研究随机部分和的极限性质不仅具有理论意义, 更具有现实意义.对此，很多学者已做了深入的研究^[3-7].最近，PRAKASA等^[8]在相伴情形下研究了随机中心极限定理，给出了与已有研究不同的结论.

首先给出一些假设条件和记号.

下文中总记{X_n, n≥1}为严平稳序列，且满足

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E{X_1} = \mu ,\sum\limits_{j = 1}^\infty {j\left| {{\rm{Cov}}\left( {{X_1},{X_{1 + j}}} \right)} \right| < \infty } ,}\\ {0 < {\sigma ^2} = {\rm{Var}}\left( {{X_1}} \right) + 2\sum\limits_{j = 2}^\infty {{\rm{Cov}}\left( {{X_1},{X_j}} \right) < \infty } .} \end{array} $

{N_n, n≥1}为一列非负整数随机序列，且与{X_n, n≥1}独立，假设

$ \frac{{E{N_n}}}{n} \to \nu > 0,\frac{{{\rm{Var}}\left( {{N_n}} \right)}}{n} \to {\tau ^2} < \infty ,n \to \infty , $

(2)

$ \frac{{{N_n} - E{N_n}}}{{\sqrt {{\text{Var}}\left( {{N_n}} \right)} }}\xrightarrow{d}{Z_1},n \to \infty , $

(3)

其中Z₂为连续型随机变量.记

$ {S_{{N_n}}} = \sum\limits_{i = 1}^{{N_n}} {{X_i}} , $

$ {T_n} = \frac{{{S_{{N_n}}} - E{S_{{N_n}}}}}{{\sqrt {{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)} }} = \frac{{{S_{{N_n}}} - \mu {N_n}}}{{\sqrt {{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)} }} + \frac{{\left( {{N_n} - E{N_n}} \right)\mu }}{{\sqrt {{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)} }}, $

$ {T_n}\left( {{Z_1}} \right) = \sqrt {\frac{{{N_n}}}{{{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)}}} \sigma {Z_1} + \frac{{\left( {{N_n} - E{N_n}} \right)\mu }}{{\sqrt {{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)} }}, $

$ {T_n}\left( {{Z_1}} \right) = \sqrt {\frac{\nu }{{\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}}}} \sigma {Z_1} + \frac{{\left( {{N_n} - E{N_n}} \right)\mu }}{{\sqrt {{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)} }}, $

$ T\left( {{Z_1},{Z_2}} \right) = \frac{{\mu \tau }}{{\sqrt {\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}} }}\left[ {\frac{{\sigma \sqrt \nu }}{{\mu \tau }}{Z_1} + {Z_2}} \right]. $

定理B^[8]  设{X_n, n≥1}为严平稳的相伴序列, 且{X_n, n≥1}, {N_n, n≥1}满足上述假设条件, 那么

$ {d_K}\left( {{T_n},T\left( {{Z_1},{Z_2}} \right)} \right) \to 0,n \to \infty . $

目前对混合序列下的随机中心极限定理的研究还较少，本文研究φ-混合序列，得到

定理1  设{X_n, n≥1}为严平稳的φ-混合序列，满足$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\varphi ^{1/2}}(n) < \infty } $, 且{X_n, n≥1}, {N_n, n≥1}满足上述假设条件, 那么

$ {d_K}\left( {{T_n},T\left( {{Z_1},{Z_2}} \right)} \right) \to 0,n \to \infty . $

(4)

注1  定理1说明在Kolmogorov距离下，适当正则化之后, 随机部分和S_Nn依分布收敛于T(Z₁, Z₂), 其中T(Z₁, Z₂)为2个独立随机变量Z₁~N(0, 1)和Z₂的线性函数.特别地，当Z₂~N(0, 1)时，T(Z₁, Z₂)~N(0, 1).

注2  假设{Y_k, k≥1}为一列独立同分布的取非负整值的随机序列，满足EY₁=ν, Var(Y₁)=τ²＞0, 并且与{X_n, n≥1}独立, 令N_n=${N_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {{Y_k}} $，那么，式(3)中的极限分布Z₂~N(0, 1), 从而有T(Z₁, Z₂)~N(0, 1).

注3  由定义可知, 相伴序列和φ-混合序列互不包含, 因此本文推广了已有的结果.

2 定理的证明

为了证明定理1, 需要以下几个引理.

引理1  记P(N_n=k)=p_{n, k}, c_j=Cov(X₁, X_1+j), 在定理的假设条件下，有

$ \begin{array}{l} {\rm{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right) = E\left( {{N_n}} \right){\sigma ^2} + {\rm{Var}}\left( {{N_n}} \right){\mu ^2} - \\ \;\;\;\;\;2\sum\limits_{j = 1}^\infty {j{c_j}P\left( {{N_n} > j} \right)} - 2\sum\limits_{j = 1}^\infty {{c_j}\left( {\sum\limits_{k = 0}^j {k{p_{n,k}}} } \right)} , \end{array} $

(5)

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{\rm{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)}}{n} = \nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}. $

(6)

证明  类似文献[8]中引理2.1的证明，可知式(5)成立，进一步，由$\sum\limits_{j = 1}^\infty {j\left| {{c_j}} \right| < \infty } $以及式(2)，可知式(6)成立.

引理2 ^[8]  设{U_n, U}为一随机变量序列，满足U的分布函数是α-Lipschitz连续的(α＞0), V与{U_n, U}独立的随机变量满足E|V|＜∞. g为直线上的连续函数.那么对于任意的常数c，δ＞0以及任意的z∈ R，有

$ \begin{array}{l} \left| {P\left( {{U_n} + Vg\left( {{U_n}} \right) \le z} \right) - P\left( {{U_n} + cV \le z} \right)} \right| \le \\ \;\;\;2\mathop {\sup }\limits_{x \in {\bf{R}}} \left| {P\left( {{U_n} \le x} \right) - P\left( {U \le x} \right)} \right| + \\ \;\;\;P\left( {\left| {g\left( {{U_n}} \right) - c} \right| > \delta } \right) + 2\alpha \delta E\left| V \right|. \end{array} $

引理3 ^[9]  如果F_n⇒F, F在闭集A上处处连续, 那么,

$ \mathop {\sup }\limits_{x \in A} \left| {{F_n}\left( x \right) - F\left( x \right)} \right| \to 0,n \to \infty . $

定理1的证明  首先证明

$ {d_K}\left( {{T_n},{T_n}\left( {{Z_1}} \right)} \right) \to 0,n \to \infty . $

(7)

记

$ \begin{array}{*{20}{c}} {P\left( {{N_n} = k} \right) = {p_{n,k}},}\\ {x\left( {n,k} \right) = \frac{{x\sqrt {{\rm{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)} - \mu \left( {k - E{N_n}} \right)}}{{\sigma \sqrt k }},} \end{array} $

那么, 由全概率公式以及{X_n}与{N_n}的独立性, 可知

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{n\nu /2 \le k \le 3n\nu /2} {{p_{n,k}}\mathop {\sup }\limits_{x \in {\bf{R}}} \left| {P\left( {\frac{{{S_k} - \mu k}}{{\sigma \sqrt k }} \le x\left( {n,k} \right)} \right) - } \right.} \\ \left. {P\left( {{Z_1} \le x\left( {n,k} \right)} \right)} \right| + P\left( {\left| {{N_n} - n\nu } \right| > n\nu /2} \right) = :\\ {I_1} + {I_2}, \end{array} $

由定理A和引理3，注意到标准正态分布函数的连续性，可知I₁→0，由Markov不等式以及式(2)，可知I₂→0，从而得式(7)成立.

其次证明

$ {d_K}\left( {{T_n}\left( {{Z_1}} \right),{T_n}\left( {{Z_1}} \right)} \right) \to 0,\;\;\;\;n \to \infty . $

(8)

由Chebyshev不等式以及式(2)和式(6)，易推得

$ \frac{{{N_n}}}{{{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)}}\xrightarrow{P}\frac{\nu }{{\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}}}, $

(9)

由式(2)和引理1，可得

$ \frac{{{\rm{Var}}\left( {{N_n}} \right)}}{{{\rm{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)}} \to \frac{{{\tau ^2}}}{{\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}}},\;\;\;n \to \infty , $

(10)

由式(10)以及Slutsky定理，知

$ \frac{{{N_n} - E{N_n}}}{{{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)}}\xrightarrow{d}\frac{\tau }{{\sqrt {\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}} }}{Z_2},\;\;\;n \to \infty , $

(11)

注意到{N_n, Z₂}与Z₁独立，在引理2中取

$ \begin{gathered} {U_n} = \frac{{\left( {{N_n} - E{N_n}} \right)\mu }}{{{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)}},U = \tau \mu {Z_2}\sqrt {\frac{1}{{\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}}}} ,V = {Z_1}, \hfill \\ g\left( {{U_n}} \right) = \sigma \sqrt {\frac{{{N_n}}}{{{\text{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)}}} ,c = \sigma \sqrt {\frac{\nu }{{\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}}}} , \hfill \\ \end{gathered} $

由式(9)、(11)、引理3及δd的任意性，可推得式(8)成立.

接下来证明

$ {d_K}\left( {{T_n}\left( {{Z_1}} \right),T\left( {{Z_1},{Z_2}} \right)} \right) \to 0,\;\;\;\;n \to \infty . $

(12)

注意到Z₁与Z₂独立, 从而有

$ \begin{array}{l} {d_K}\left( {{T_n}\left( {{Z_1}} \right),T\left( {{Z_1},{Z_2}} \right)} \right) = \\ \int {\mathop {\sup }\limits_{x \in {\bf{R}}} \left| {P\left( {{T_n}\left( u \right) \le x} \right) - } \right.} \\ P\left( {T\left( {u,{Z_2}} \right) \le x} \right)\left| {{\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( u \right)} \right. = \\ \int {\mathop {\sup }\limits_{x \in {\bf{R}}} \left| {P\left( {\frac{{\left( {{N_n} - E{N_n}} \right)\mu }}{{{\rm{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)}} \le y\left( {x,u} \right)} \right) - } \right.} \\ \left. {P\left( {\tau \mu {Z_2}\sqrt {\frac{1}{{\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}}}} \le y\left( {x,u} \right)} \right)} \right|\left| {{\rm{d}}\mathit{\Phi }\left( u \right)} \right. \le \\ \mathop {\sup }\limits_{Z \in R} \left| {P\left( {\frac{{{N_n} - E{N_n}}}{{{\rm{Var}}\left( {{S_{{N_n}}}} \right)}} \le z} \right) - P\left( {\tau {Z_2}\sqrt {\frac{1}{{\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}}}} \le z} \right)} \right|, \end{array} $

其中, $y(x, u) = x-u\sigma \sqrt {\frac{\nu }{{\nu {\sigma ^2} + {\mu ^2}{\tau ^2}}}}.$.

再由式(3)、引理3以及Z₂为连续性随机变量，可知式(12)成立.

最后联立式(7)、(8)、(12)以及三角不等式：

$ \begin{array}{l} {d_K}\left( {{T_n},T\left( {{Z_1},{Z_2}} \right)} \right) \le {d_K}\left( {{T_n},{T_n}\left( {{Z_1}} \right)} \right) + \\ {d_K}\left( {{T_n}\left( {{Z_1}} \right),{T_n}\left( {{Z_1}} \right)} \right) + {d_K}\left( {{T_n}\left( {{Z_1}} \right),T\left( {{Z_1},{Z_2}} \right)} \right). \end{array} $

可知定理1成立.