单调算子的概念最早可追溯到对凸函数极值问题的研究.设Rⁿ为n维欧式空间, f: Rⁿ→R为正则的凸函数, f在x∈Rⁿ处的次微分∂f(x)定义为

$ \begin{array}{l} \partial f\left( x \right) = \left\{ {{x^ * } \in {R^n}:f\left( y \right) - f\left( x \right) \ge \left\langle {y - x,{x^ * }} \right\rangle ,} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\forall y \in {R^n}} \right\}. \end{array} $

则∂f: Rⁿ→2^Rn是(极大)单调的, 且0∈∂f(x)当且仅当f在x处有最小值.换言之, 为求$ f\left( {\hat x} \right) = \mathop {\min }\limits_{x \in {R^n}} f\left( x \right) $, 只须求单调算子A=∂f的零点$ \hat x \in {A^{ - 1}}\left( 0 \right) $, 等价地找$ \hat x \in {R^n} $满足$ 0 \in A\left( {\hat x} \right) $.

单调算子的概念与优化、变分不等式及均衡问题都密切相关, 在非线性椭圆型、抛物型偏微分方程边值问题以及Hammerstein型非线性积分方程的可解研究中有广泛应用.

自从BROWDER等于20世纪60年代初引入单调算子的概念以来, 经过50多年的发展, 单调算子理论已相当成熟, 成果颇丰. 1974年5月, 美国数学会前主席BROWDER在美国数学会举办的“希尔伯特问题的数学结果”专题讨论会上提出了下述问题(OP)^[1]:

设X是自反Banach空间, A: X→X^*是连续、强制单调有界算子, A^-1单值且有连续模, 问:是否能对方程Ax=0解的存在性给出一个构造性证明？此问题激发了国内外数学家的浓厚兴趣，并开展了广泛而深入的研究.

BRUCK^[2]在Hilbert空间中引入了正则化迭代算法(RIA), 建立了该算法的局部收敛性结论; NEVANLINNA^[3]提出了一个大范围迭代方案, 建立了该方案的全局收敛性结果; ROCKAFELLAR^[4]在Hilbert空间中引入了近似邻近点算法(APPA), 建立了该算法的弱收敛性结论; 游兆永等^[5]在Hilbert空间中则给出了无界集上Lipschitz单调算子方程的另一种迭代算法; 在一般的Banach空间X中, 徐宗本^[6]引入了广义预解式算法(GRA), 用此算法较完整地解决了BROWDER提出的公开问题(OP).在一般Banach空间X中, 正规对偶映像J: X→2^X*是未知的, 而在徐宗本^[6]引进的广义预解式算法(GRA)中涉及J与J^-1, 因而GRA是难以具体实现的.在经典Banach空间L_p(p＞1)中, 正规对偶映像J: L_p→L_q是已知的, 其中$ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $, 从而J与J^-1都是可以计算的.最近，CHIDUME等^[7]在经典Banach空间L_p中引入广义最速下降法(GSDM)或称广义松弛算法(GSA).在CHIDUME等^[7]的GSDM算法中, 松弛因子λ的取值依赖于强单调算子A与正规对偶映像J之逆J^-1的Lipschitz常数, 当这2个Lipschitz常数未知时, 松弛因子λ无法选取, 从而GSDM是无效的, 如果此时将松弛因子λ替换为一个趋于0的数列{λ_n}, 则相应的广义最速下降法有效.

本文的目的是改进CHIDUME等^[7]的广义最速下降法.使用新的分析技巧，以证明改进后的广义最速下降法依范数收敛于方程Ax=0的唯一解.

1 预备知识

设E是赋范空间, E^*为E的对偶空间.定义映射J: E→2^E*为

$ Jx = \left\{ {{x^ * } \in {E^ * }:\left\langle {x,{x^ * }} \right\rangle = \left\| x \right\| \cdot \left\| {{x^ * }} \right\|,\left\| x \right\| = \left\| {{x^ * }} \right\|} \right\}, $

则称J为E上的正规对偶映像.

注1  一般来说, J是一个多值映射.若E是光滑的, 则J是单值的.

设E是光滑的实Banach空间, E^*为其对偶空间.定义二元函数φ: E×E→R为

$ \varphi \left( {x,y} \right) = {\left\| x \right\|^2} - 2\left\langle {x,Jy} \right\rangle + {\left\| y \right\|^2},x,y \in E, $

(1)

由式(1)及Cauchy-Schwarz不等式知

$ \begin{array}{l} {\left( {\left\| x \right\| - \left\| y \right\|} \right)^2} \le \varphi \left( {x,y} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;{\left( {\left\| x \right\| + \left\| y \right\|} \right)^2},x,y \in E, \end{array} $

(2)

由式(1)及正规对偶映像的定义可得

$ \varphi \left( {x,y} \right) = {\left\| x \right\|^2} - {\left\| y \right\|^2} - 2\left\langle {x - y,Jy} \right\rangle ,x,y \in E. $

(3)

引理1  设E为光滑的实Banach空间, {x_n}与{y_n}为E中的2个序列, 其中之一为有界的.若x_n-y_n→0(n→∞), 则φ(x_n, y_n)→0(n→∞).

证明  不失一般性, 假设{x_n}是有界的, 即存在正常数M, 满足

$ \left\| {{x_n}} \right\| \le M,\;\;\;\forall n \ge 1, $

由于x_n-y_n→0(n→∞), 故{x_n-y_n}也是有界的, 即存在另一个正常数K, 满足

$ \left\| {{x_n} - {y_n}} \right\| \le K,\;\;\;\forall n \ge 1, $

利用范数的三角不等式可得

$ \begin{array}{l} \left\| {{y_n}} \right\| = \left\| {{y_n} - {x_n} + {x_n}} \right\| \le \left\| {{x_n} - {y_n}} \right\| + \left\| {{x_n}} \right\| \le \\ \;\;\;\;K + M,\;\;\;\;\;\;\forall n \ge 1, \end{array} $

因此{y_n}是有界的.由式(3)可得

$ \begin{array}{l} 0 \le \varphi \left( {{x_n},{y_n}} \right) = {\left\| {{x_n}} \right\|^2} - {\left\| {{y_n}} \right\|^2} - 2\left\langle {{x_n} - {y_n},J{y_n}} \right\rangle = \\ \left( {\left\| {{x_n}} \right\| + \left\| {{y_n}} \right\|} \right)\left( {\left\| {{x_n}} \right\| - \left\| {{y_n}} \right\|} \right) - 2\left\langle {{x_n} - {y_n},J{y_n}} \right\rangle \le \\ \left( {M + K + M} \right)\left\| {{x_n} - {y_n}} \right\| + 2\left( {K + M} \right)\left\| {{x_n} - {y_n}} \right\| = \\ \left( {3K + 4M} \right)\left\| {{x_n} - {y_n}} \right\|, \end{array} $

由假设条件x_n-y_n→0(n→∞)得

$ \varphi \left( {{x_n},{y_n}} \right) \to 0\left( {n \to \infty } \right). $

推论1  设E为光滑的实Banach空间, {x_n}为E中序列, x∈E.若x_n→x(n→∞), 则

$ \varphi \left( {x,{x_n}} \right) \to 0\left( {n \to \infty } \right). $

在某些Banach空间中, 引理1之逆也成立.

引理2^[7]  E=L_p(1＜p≤2), 则J^-1: L_q→L_p是Lipschitz连续的, 即存在L₁＞0，满足不等式:

$ \left\| {{J^{ - 1}}\left( u \right) - {J^{ - 1}}\left( v \right)} \right\| \le {L_1}\left\| {u - v} \right\|,\forall u,v \in {L_q}, $

(4)

其中p, q满足$ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $.

引理3^[7]  E=L_p(p≥2), 则J^-1在某个球上是Hölder连续的, 即∀u, v∈L_q, 满足‖u‖≤R, ‖v‖≤R, 有下列不等式成立:

$ \left\| {{J^{ - 1}}\left( u \right) - {J^{ - 1}}\left( v \right)} \right\| \le {m_p}{\left\| {u - v} \right\|^{\frac{1}{{p - 1}}}}, $

(5)

其中，${m_p} = {\left( {{2^{p + 1}}L \cdot PC_2^p} \right)^{\frac{1}{{p - 1}}}} > 0, $

$ {C_2} = 2\max \left\{ {1,R} \right\},\;\;\;\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. $

定义1  设X为实Banach空间, X^*为其对偶空间, 如果存在连续、严格增函数ψ: R→R, ψ(0)=0, 使得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left\langle {Tx - Ty,x - y} \right\rangle \ge \psi \left( {\left\| {x - y} \right\|} \right)\left\| {x - y} \right\|,}\\ {\forall x,y \in D\left( T \right),} \end{array} $

(6)

则称算子T: X→X^*为ψ-强单调的.

特别地, 若ψ(t)=kt, k∈(0, 1), 则称相应的算子T为k-强单调算子.

定义2  设Y为实Banach空间, Y^*为其对偶空间, 称算子A: D(A)⊂X→Y^*在x₀∈D(A)处半连续, 若∀t_n→0₊, x₀+t_ny∈D(A), y∈X, 则有

$ A\left( {{x_0} + {t_n}y} \right)\xrightarrow{{{w^ * }}}A{x_0}. $

引理4^[7]  设X为自反的Banach空间, T: X→X^*为半连续ψ-强单调算子, 则R(T)=X^*.

推论2  设A: L_p→L_q是Lipschitz连续的k-强单调算子, 则方程Ax=0有唯一解.

证明  在引理4中, 取X=L_p, T=A, ψ=kt, 则R(A)=L_q, 特别地, 方程Ax=0至少有1个唯一解x^*∈L_p.设Ax=0还有另一个解y^*∈L_p, 由A的定义知

$ 0 = \left\langle {A{x^ * } - A{y^ * },{x^ * } - {y^ * }} \right\rangle \geqslant k{\left\| {{x^ * } - {y^ * }} \right\|^2}, $

即可推出x^*=y^*, 故方程Ax=0的解是唯一的.

引理5^[8]  设E是光滑的实一致凸Banach空间, {x_n}与{y_n}为E中的2个序列, 其中之一是有界的.若φ(x_n, y_n)→0(n→∞), 则

$ {x_n} - {y_n} \to 0\left( {n \to \infty } \right). $

推论3  设E是光滑的实一致凸Banach空间, {x_n}为E中的一个序列, x∈E.若φ(x, x_n)→0(n→∞), 则x_n→x(n→∞).

定义V: E×E^*→R为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {V\left( {x,{x^ * }} \right) = {{\left\| x \right\|}^2} - 2\left\langle {x,{x^ * }} \right\rangle + {{\left\| {{x^ * }} \right\|}^2},} \\ {x \in E,\;\;\;{x^ * } \in {E^ * }.} \end{array} $

(7)

比较式(1)和式(7)可得

$ V\left( {x,{x^ * }} \right) = \varphi \left( {x,{J^{ - 1}}\left( {{x^ * }} \right)} \right),x \in E,{x^ * } \in {E^ * }. $

(8)

引理6^[9]  设E是实自反、严格凸、光滑的Banach空间, 则下列不等式成立:

$ \begin{gathered} V\left( {x,{x^ * }} \right) = 2\left\langle {{J^{ - 1}}{x^ * } - x,{y^ * }} \right\rangle \leqslant \hfill \\ \;\;\;\;\;V\left( {x,{x^ * } + {y^ * }} \right),x \in E,{x^ * },{y^ * } \in {E^ * }. \hfill \\ \end{gathered} $

(9)

2 主要结果

定理1  设E=L_p(1＜p≤2), A: E→E^*为L-Lipschitz连续的k-强单调算子.若{x_n}由下列方式产生:

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_1} \in E,\\ {x_{n + 1}} = {J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right),\;\;\;\;n \ge 1, \end{array} \right. $

(10)

其中{λ_n}满足条件:

(ⅰ) λ_n→0(n→∞)，

(ⅱ) $ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\lambda _n} = \infty } $，

则由式(10)所产生的序列{x_n}强收敛于方程Ax=0的唯一解.

证明  由推论2知，方程Ax=0有唯一解, 记为x^*.结合式(8)与式(10)得

$ \begin{array}{l} \varphi \left( {{x^ * },{x_{n + 1}}} \right) = \varphi \left( {{x^ * },{J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right)} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;V\left( {{x^ * },J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right), \end{array} $

(11)

结合式(9)与式(11)得

$ \begin{array}{l} \varphi \left( {{x^ * },{x_{n + 1}}} \right) = V\left( {{x^ * },J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right) \le \\ V\left( {{x^ * },J{x_n}} \right) - 2{\lambda _n}\left\langle {{J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right) - {x^ * },A{x_n} - A{x^ * }} \right\rangle = \\ \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - 2{\lambda _n}\left\langle {{x_n} - {x^ * },A{x_n} - A{x^ * }} \right\rangle + \\ 2{\lambda _n}\left\langle {{x_n} - {x^ * },A{x_n} - A{x^ * }} \right\rangle - \\ 2{\lambda _n}\left\langle {{J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right) - {x^ * },A{x_n} - A{x^ * }} \right\rangle = \\ \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - 2{\lambda _n}\left\langle {{x_n} - {x^ * },A{x_n} - A{x^ * }} \right\rangle - \\ 2{\lambda _n}\left\langle {{J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right) - {J^{ - 1}}\left( {J{x_n}} \right),A{x_n} - A{x^ * }} \right\rangle , \end{array} $

(12)

由J^-1和A的Lipschitz连续性以及A的k-强单调性得

$ \begin{array}{l} \varphi \left( {{x^ * },{x_{n + 1}}} \right) \le \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - 2k{\lambda _n}{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|^2} + \\ 2{\lambda _n}\left\| {{J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right) - {J^{ - 1}}\left( {J{x_n}} \right)} \right\|\left\| {A{x_n} - A{x^ * }} \right\| \le \\ \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - 2k{\lambda _n}{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|^2} + 2{L_1}{L^2}\lambda _n^2{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|^2}, \end{array} $

(13)

其中L₁与L分别为J^-1与A的Lipschitz常数.

由条件(ⅰ), 选取n充分大, 使得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _n} \le \frac{k}{{2{L_1}{L^2}}},}\\ {\varphi \left( {{x^ * },{x_{n + 1}}} \right) \le \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - k{\lambda _n}{{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|}^2},} \end{array} $

(14)

从而有

$ k{\lambda _n}{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|^2} \le \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - \varphi \left( {{x^ * },{x_{n + 1}}} \right), $

(15)

式(15)表明$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{x^ * }, {x_n}} \right) $存在.对式(15)两边求和得

$ k\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\lambda _n}{{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|}^2} < \infty } , $

(16)

结合式(16)与条件(ⅱ)，得

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \inf {\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|^2} = 0, $

(17)

故存在一个子列{x_nj}⊂x_n, 使得

$ {x_{{n_j}}} \to {x^ * }\left( {j \to \infty } \right), $

由推论1得

$ \varphi \left( {{x^ * },{x_{{n_j}}}} \right) \to 0\left( {j \to \infty } \right), $

因此φ(x^*, x_n)→0(n→∞).

再由推论3得x_n→x^*, n→∞.

定理2  设E=L_p(2＜p＜∞), A: E→E^*为L-Lipschitz连续单调算子.假设存在常数k∈(0, 1)，满足条件:

$ \left\langle {Ax - Ay,x - y} \right\rangle \ge k{\left\| {x - y} \right\|^{\frac{p}{{p - 1}}}},\forall x,y \in E, $

(18)

设{x_n}由下列方程产生:

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_1} \in E,\\ {x_{n + 1}} = {J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right),\;\;\;\;\;n \ge 1, \end{array} \right. $

(19)

其中{λ_n}满足条件:

(ⅰ) λ_n→0(n→∞),

(ⅱ) $ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\lambda _n} = \infty } $，

则由式(19)所产生的序列{x_n}强收敛于方程Ax=0的唯一解.

证明  取$ \psi \left( t \right) = k{t^{\frac{1}{{p - 1}}}} $, 则式(18)可化为

$ \left\langle {Ax - Ay,x - y} \right\rangle \ge \psi \left( {\left\| {x - y} \right\|} \right)\left\| {x - y} \right\|,\forall x,y \in E. $

因此A: E→E^*为L-Lipschitz连续的ψ-强单调算子.由引理4知, R(A)=E^*.

特别地, 方程Ax=0至少有1个解x^*∈E.

假设方程Ax=0还有另一个解y^*∈E, 则由式(18)得

$ 0 = \left\langle {A{x^ * } - A{y^ * },{x^ * } - {y^ * }} \right\rangle \ge k{\left\| {{x^ * } - {y^ * }} \right\|^{\frac{p}{{p - 1}}}} \ge 0, $

即x^*=y^*, 因此方程Ax=0在E中有唯一解, 记为x^*.

下证{x_n}是有界的.

选取充分大的r＞0, 使得φ(x^*, x₁)≤r.假设φ(x^*, x_n)≤r, n≥1.现证φ(x^*, x_n+1)≤r, n≥1.

由式(5)、(9)、(18)和(19)以及A的L-Lipschitz连续性，有

$ \begin{array}{l} \varphi \left( {{x^ * },{x_{n + 1}}} \right) = \varphi \left( {{x^ * },{J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right)} \right) = \\ V\left( {{x^ * },J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right) \le \\ V\left( {{x^ * },J{x_n}} \right) - 2\left\langle {{J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - {\lambda _n}A{x_n}} \right) - {x^ * },{\lambda _n}A{x_n}} \right\rangle = \\ V\left( {{x^ * },J{x_n}} \right) - 2{\lambda _n}\left\langle {{x_n} - {x^ * },A{x_n} - A{x^ * }} \right\rangle + \\ 2{\lambda _n}\left\langle {{J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - \lambda A{x_n}} \right) - {J^{ - 1}}\left( {J{x_n}} \right),A{x_n} - A{x^ * }} \right\rangle \le \\ \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - 2{\lambda _n}\left\langle {{x_n} - {x^ * },A{x_n} - A{x^ * }} \right\rangle + \\ 2{\lambda _n}\left\| {{J^{ - 1}}\left( {J{x_n} - \lambda A{x_n}} \right) - {J^{ - 1}}\left( {J{x_n}} \right)} \right\|\left\| {A{x_n} - A{x^ * }} \right\| \le \\ \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - 2k{\lambda _n}{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|^{\frac{p}{{p - 1}}}} + \\ 2{\lambda _n}{\lambda _n}^{\frac{1}{{p - 1}}}{m_p}{\left\| {A{x_n}} \right\|^{\frac{1}{{p - 1}}}}\left\| {A{x_n} - A{x^ * }} \right\| \le \\ \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - 2k{\lambda _n}{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|^{\frac{p}{{p - 1}}}} + \\ 2{\lambda _n}^{\frac{1}{{p - 1}}}{m_p}{L^{\frac{p}{{p - 1}}}}{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|^{\frac{p}{{p - 1}}}}, \end{array} $

(20)

由定理2的条件(ⅰ), 令n足够大, 使得

$ {\lambda _n} \le {\left( {\frac{k}{{2{m_p}{L^{\frac{p}{{p - 1}}}}}}} \right)^{p - 1}}, $

(21)

将式(21)代入式(20)，得

$ \varphi \left( {{x^ * },{x_{n + 1}}} \right) \le \varphi \left( {{x^ * },{x_n}} \right) - k{\lambda _n}{\left\| {{x_n} - {x^ * }} \right\|^{\frac{p}{{p - 1}}}}. $

(22)

后续推导与定理1类似, 故从略.证毕!

注2  定理1和定理2分别改进了文献[7]中的相关结果.特别需要指出的是，定理2去掉了文献[7]中对A^-1(0)≠Ø的假设.