多目标优化是在实际应用中经常遇到的一类优化问题^[1-2], 目标有无穷多的情形也是重要的一部分，例如有连续需求点的选址问题^[3-4].由于目标之间有冲突, 在不能同时达到最优时, Pareto有效性允许在某个目标上有损失，但需要在其他目标上有收获.

真有效性最早由KUHN等^[5]提出, 其初衷是为了将KT条件应用于多目标优化问题. KT真有效性本质上要求线性标量化方法中的系数必须全部为正, 从而保证每个目标函数的增减信息被使用.基于相同的思想, HURWICZ^[6]针对无穷维空间中的向量优化问题, 提出了Hurwicz真有效性.之后, KLINGER^[7]证明了非KT真有效性会导致补偿无界，即某个边际损失对任意的边际获得比率都无界. GEOFFRION^[8]在一致有界补偿的基础上，提出了Geoffrion真有效性.此后，对真有效性的研究进入了快速发展阶段^[9-10].

WINKLER^[11]对一类特殊的无穷多目标优化问题引入了真有效性, 并完整保留了Geoffrion结构.本文借鉴WINKLER的思路在更宽泛的情况下定义Geoffrion真有效性.不同的是, 本文从一族锥出发, 先引入有界补偿, 并得到Pareto有效元对其他的成员补偿都有界；后通过要求补偿一致有界引入Geoffrion真有效性，并证明了此定义与Geoffrion原始定义是等价的；最后, 将Geoffrion真有效性的思想用于鲁棒优化, 得到了不确定优化中的Hurwicz准则和Hurwicz-Savage准则.

1 偏序与Pareto有效性

若U表示某个评价体系的指标集，u∈U表示具体的指标, 则相应的多目标优化问题为

$ \mathop {{\rm{Min}}}\limits_{x \in X} {\left( {f\left( {x, u} \right)} \right)_{u \in U}}, $

(1)

当U有限时, 式(1)是经典的多目标优化问题；当U无限时, 式(1)属于无穷维空间中的向量优化问题.本文考虑基于分量比较的序结构^[12-14].

定义1  对任意的x, x∈X, 记

$ \bar x \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel\prec\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} x \Leftrightarrow f\left( {\bar x, u} \right) \le f\left( {x, u} \right), \;\;\forall u \in U, $

其中，

$ \bar x\tilde{\ }x \Leftrightarrow f\left( {\bar x, u} \right) = f\left( {x, u} \right), \;\;\forall u \in U. $

另记

$ \bar x \prec x \Leftrightarrow f\left( {\bar x, u} \right) < f\left( {x, u} \right), \;\;\forall u \in U. $

通常≺称为≾的严格部分，~称为≾的无差别部分.这样的序结构经常出现在不确定型选择理论中, 例如≺和≾可以用来表示行为的惯性^[15-16].

命题1  ≾是X上的一个偏序, 即满足自反性、反对称性和传递性.

定理1  ≾是X上的全序，当且仅当函数族{f(·, u)}_u∈U是共单调的, 即对任意的u, v∈U, 不存在x, x∈X，使得

f(x, u)-f(x, u)f(x, v)-f(x, v)＜0.

当指标集U包含多个值时, 共单调在实际情况中是很少见的，也就是说, ≾是不完全的.在偏序环境中, 相对于≾求最优不再是合适的概念, 因为最优可能不存在.此时, 需要引入有效性.

定义2  称x∈X为集合X的

(A) 弱Pareto有效元, 如果不存在x∈X: x≺x;

(B) Pareto有效元, 如果∀x∈X, x≾x⇒x~x.

集合X的Pareto有效集和弱Pareto有效集分别记为E(X)和E^w(X).显然E(X)⊂E^w(X)并且

(A₁) x∈E^w(X)⇔

∀x∈X, ∃u∈U: f(x, u)≤f(x, u);

(B₁) x∈E(X)⇔∀x∈X, f(x, ·)≡f(x, ·)

或者∃u∈U: f(x, u)＜f(x, u).

2 有界补偿与Geoffrion真有效性

令G表示在U上有上界的函数的集合, 并记

$ \begin{array}{l} {T^\alpha }: = \{ g \in G|\forall v \in U, \exists u \in U:\\ \;\;\;\;\;\;\;\;ag\left( v \right) + \left( {1-\alpha } \right)g\left( u \right) \le 0\}, \end{array} $

其中, α∈[0, 1].特别地,

T¹={g∈G|∀u∈U, g(u)≤0};

T⁰={g∈G|∃u∈U: g(u)≤0}.

T^α是G中的锥但未必是凸的. T^α关于α是单调递减的, 即

α₁≤α₂⇔T^α₂⊂T^α₁.

则$ {T_0} \supset {T^{(0, 1]}}: = \mathop \cup \limits_{\alpha \in (0, 1]} {T^\alpha }$.但T⁰与T^{(0, 1]}有关键区别:

T^{(0, 1]}∩(-T¹)={0},

而

$ {T_0} \cap \left( {-{T^1}} \right) = \left\{ {g \in G|\mathop {\min }\limits_{u \in U} g(u) = 0} \right\}: = T_ + ^0. $

定理2  T⁰=T^{(0, 1]}∪(T₊⁰\{0}).

证明  只需证T⁰⊂T^{(0, 1]}∪(T₊⁰\{0})或者T⁰\T^{(0, 1]}⊂T₊⁰\{0}.

假设g∈T⁰\T^{(0, 1]}, 那么

g∉T^α, ∀α∈(0, 1],

即对任意的α∈(0, 1]都有

∃v∈U: ∀u∈U, αg(v)+(1-α)g(u)＞0.

首先, 当α=1时, 有

(ⅰ) ∃v∈U: g(v)＞0.

其次, 令α→0, 尽管v依赖于α, 因为

$ \mathop {\sup }\limits_{v \in U} g\left( v \right) < + \infty, $

但仍然有

(ⅱ) ∀u∈U, g(u)≥0.

由(ⅰ)和(ⅱ)可得g∈-T¹\{0}, 再结合g∈T⁰, 可得g∈T₊⁰\{0}.

由定理2, 有

T^{(0, 1]}={0}∪{g∈G|∃u∈U: g(u)＜0}.

假设函数族F:={f(x, ·)}_x∈X中的函数同时有上界和下界(这对实际问题来说是一合理的假设).在此假设下有F-F⊂G.然后自然有

(A₂) x∈E^w(X)⇔∀x∈X, f(x, ·)-f(x, ·)∈T⁰;

(B₂) x∈E(X)⇔∀x∈X, f(x, ·)-f(x, ·)∈T^{(0, 1]} ⇔∀x∈X, ∃α∈(0, 1]: f(x, ·)-f(x, ·)∈T^α.

定义3  如果

∃α∈(0, 1]: f(x, ·)-f(x, ·)∈T^α,

则称x对x的补偿是有界的.

(B₂)表明x是Pareto有效的，等价于x对任意x的补偿都是有界的.但是, α是依赖于x的, 有可能inf α(x)=0.而当inf α(x)＞0时, 就进入了Geoffrion真有效性.

定义4  若x对所有x∈X的补偿是一致有界的, 则称x是X的Geoffrion真有效元, 即

$ \exists \alpha \in (0, 1]:\forall x \in X, f\left( {\bar x, \cdot } \right) -f\left( {x, \cdot } \right) \in {T^\alpha }. $

(2)

记集合X的Geoffrion真有效集为E^Gp(X), 则E^Gp(X)⊂E(X).因为T^α是单调递减的, 所以式(2)就相当于在Pareto有效中要求inf α(x)＞0.特别地, 当X有限时, E^Gp(X)=E(X).

命题2  x∈E^Gp(X)等价于

(C1) x∈E(X);

(C2) 存在M＞0使得对任意的x∈X和任意的v∈{v: f_v(x)＜f_v(x)}都有

$ \exists u \in \left\{ {u:{f_u}\left( x \right) > {f_u}\left( {\bar x} \right)} \right\}:\frac{{{f_v}\left( {\bar x} \right)-{f_v}\left( x \right)}}{{{f_u}\left( x \right)-{f_u}\left( {\bar x} \right)}} \le M. $

证明  一方面, (C2)等价于

(C3)存在M＞0使得对任意的x∈X都有

$ \begin{array}{l} \forall v \in U, \exists u \in U:\\ \;\;\;\;\;{f_v}\left( {\bar x} \right)-{f_v}\left( x \right) \le M\left( {{f_u}\left( x \right)-{f_u}\left( {\bar x} \right)} \right), \;\;\left( * \right) \end{array} $

因为: (Ⅰ)对使得{v: f_v(x)＜f_v(x)}=∅的x, 显然式(*)对任意的M都成立; (Ⅱ)对使得{u: f_u(x)＞f_u(x)}=∅的x, 因为x∈E(X), 所以x~x, 所以，式(*)对任意的M都成立.

另一方面, 若(C3)成立, 则必有x∈E(X).否则, 假设x∉E(X), 那么

$ \exists x \in X:\left\{ \begin{array}{l} {f_u}\left( x \right) \le {f_u}\left( {\bar x} \right), \;\;\;\forall u \in U;\\ {f_v}\left( x \right) \le {f_v}\left( {\bar x} \right), \;\;\;\exists v \in U. \end{array} \right. $

对于此x，无论M取任何值，都有

∀u∈U, f_v(x)-f_v(x)＞0≥M(f_u(x)-f_u(x)),

也就是说式(*)不可能成立.

基于这两方面的事实, 可以得到(C1-C2)等价于(C3).很明显，只要令α=1/(1+M)，(C3)与式(2)是相同的.

可以看到(C1-C2)就是GEOFFRION关于真有效性的原始定义:有界补偿是通过边际损失获得比描述的.在可取到最大值和最小值的情况下, 式(*)有更简洁的表示式:

$ \mathop {\max }\limits_v \left( {{f_v}\left( {\bar x} \right)-{f_v}\left( x \right)} \right) \le M\mathop {\max }\limits_u \left( {{f_u}\left( x \right)-{f_u}\left( {\bar x} \right)} \right). $

2004年，WINKLER^[11]首次将Geoffrion结构推广到有无穷多个目标的情形.为了保证最大值和最小值的存在, 文献[11]要求U是紧集且f(x, ·)在U上连续.

3 在鲁棒优化中的应用：松弛鲁棒性

鲁棒优化研究带非随机不确定参数的优化问题^[17-18], 如

$ \mathop {\min }\limits_{x \in X} f\left( {x, u} \right), $

(3)

其中, u为不确定的参数, 仅知道其在某一集合U中的取值.在鲁棒优化中, 不确定优化问题(3)的鲁棒对应问题：

$ \mathop {\min }\limits_{x \in X} \mathop {\max }\limits_{u \in U} f\left( {x, u} \right), $

(4)

由

$ \mathop {\min }\limits_{x \in X} \min \left\{ {t:f\left( {x, u} \right) \le t, \forall u \in U} \right\} $

(5)

得到.

鲁棒对应问题(4)是经典的极小极大问题:当面对不确定性时, 极小化最差情况.这样得到的鲁棒解过分保守，如何解决保守性问题, 一直是鲁棒优化领域关注的焦点.保守性是由鲁棒性导致的, 要减小保守性，原则上只能松弛鲁棒性.鲁棒性的各种松弛方法可参见文献[19-20].

注意到

f(x, u)≤t, ∀u∈U⇔f(x, ·)-t∈T¹.

已知T¹是T^α中最小的, T^α对T¹起扩张作用.然后, 将T¹放松至某个T^α, 即令

f(x, ·)-t∈T^α，

则式(5)变为

$ \mathop {\min }\limits_{x \in X} \min \left\{ {t:\;f\left( {x, \cdot } \right)-t \in {T^\alpha }} \right\}. $

假设函数f(x, ·)存在最大值和最小值, 进一步可得到

$ \mathop {\min }\limits_{x \in X} \left( {\alpha \mathop {\max }\limits_{u \in U} f\left( {x, u} \right) + \left( {1-\alpha } \right)\mathop {\min }\limits_{u \in U} f\left( {x, u} \right)} \right), $

这就是在不确定型选择理论中著名的Hurwicz准则^[21].在Hurwicz准则中, α称为悲观系数, 而(1-α)为乐观系数, 因此Hurwicz准则也称为现实主义准则，调和了悲观和乐观2种极端态度, 在现实生活中较普遍.

在鲁棒优化中, 另一经典的模型为极小极大后悔值模型:

$ \mathop {\min }\limits_{x \in X} \mathop {\max }\limits_{u \in U} r\left( {x, u} \right), $

其中, r(x, u):=f(x, u)-f(u)表示后悔值，

$ {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{f}}\left( u \right): = \mathop {\min }\limits_{x \in X} f\left( {x, u} \right). $

按照处理极小极大模型的步骤, 得到

$ \mathop {\min }\limits_{x \in X} \left( {\alpha \mathop {\max }\limits_{u \in U} f\left( {x, u} \right) + \left( {1-\alpha } \right)\mathop {\min }\limits_{u \in U} r\left( {x, u} \right)} \right), $

称为Hurwicz-Savage准则，其与Hurwicz准则的区别在于补偿的参考点不再是原点而是理想点.同理, 还可以考虑其他参考点.另外，相似的准则文献[22]中有研究.

4 结论

GEOFFRION关于真有效的定义对函数的性质无任何要求, 这与Pareto有效性一样适用广泛.此外, 基于分量比较的序结构，可以自然地推广至无穷多个目标的情况.这些均预示着Geoffrion真有效性可以扩展至有无穷多个目标的优化问题中.

有界补偿是Geoffrion真有效性的核心, 本文通过一族锥{T^α}将其引入, 并由此得到Pareto有效性与Geoffrion真有效性的本质区别: Pareto有效性要求对其他成员的补偿都有界, 而Geoffrion真有效性要求对其他成员的补偿一致有界.之后, 笔者将Geoffrion真有效性与Hurwicz准则这2个不同领域的著名概念联系在一起, 并得到了Hurwicz-Savage准则.

关于Geoffrion真有效元的生成.一方面, 当目标有无穷多时, Pareto有效元的生成将受到限制, 许多标量化方法不再可用.另一方面, 为了使经典的生成Geoffrion真有效元的方法在目标无穷多时仍有用, ENGAU^[23-24]不得不对Geoffrion结构做一些修改.在有无穷多目标的环境下, Geoffrion真有效元的生成将是笔者后续研究的重点.