0 引言

双边匹配指依据双方主体的偏好或要求, 尽可能达成令双方主体满意的匹配结果^[1].美国学者GALE等^[2]关于男女婚姻匹配问题和学生入学匹配问题的研究是双边匹配问题的起源.在早期的双边匹配研究中, 匹配决策信息通常为各主体针对对方主体的偏好排序^[3-6], 决策者依据偏好排序信息来寻求稳定的双边匹配结果.近些年, 针对不同背景下的双边匹配问题的研究日渐成熟, 如企业轮岗制度中员工与岗位的匹配^[7]、基于电子中介撮合条件的买卖双方交易匹配^[8-11]、技术供需匹配^[12]、知识供需匹配^[13]、项目外包供需匹配^[14]、志愿者与应急任务匹配^[15]、风险投资商与风险企业匹配^[16]等.在这些双边匹配问题中, 匹配决策信息不再局限于单一的偏好排序信息, 而表现为多指标下的评价决策信息.基于广泛的现实背景, 对多指标双边匹配决策问题的研究具有较强的现实意义, 逐渐成为学者们关注的重点.

在多指标双边匹配问题中, 若双方主体针对所关注的指标提出期望要求, 中介或决策者依据各主体的期望要求和对方主体的真实信息进行匹配决策, 此类问题称为具有指标期望的双边匹配决策问题.目前, 已有学者开始关注此类问题, 并提出了一些具有针对性的匹配决策方法^[17-21].JIANG等^[17]在电子商务环境下考虑数量有折扣的多属性交易匹配问题, 依据退火遗传算法(MOSAGA), 提出了一种新的模型优化算法.蒋忠中等^[18]以B2C型电子中介买卖双方商品交易为实际背景, 研究了模糊信息且需求不可分情形下多属性商品交易的优化匹配问题.樊治平等^[19]针对电子商务环境下的多属性商品交易匹配问题进行研究, 基于公理设计理论给出了交易匹配度计算方法, 并通过构建和求解优化模型获得交易匹配结果.梁海明等^[20]针对二手房交易匹配问题开展了研究, 依据交易过程中卖方提供的评价信息以及买方提供的多属性期望水平和距离需求信息, 给出了买卖双方匹配满意度的计算公式和匹配决策方法.陈希等^[21]针对多属性双边匹配问题进行了研究, 依据前景理论计算匹配主体之间满意度的综合前景值, 并进一步构建了双目标匹配优化模型.

需要指出的是, 在已有的多指标双边匹配决策方法研究中, 较少考虑双方主体欲与潜在匹配对象相匹配时产生失望或欣喜的心理感知, 而心理感知与最终匹配方案中双方主体的满意程度密切相关.具体来说, 若匹配对象在某个指标下的真实情况优于主体期望, 则主体针对该指标会表现出欣喜的心理感知; 反之, 若匹配对象在某个指标下的真实情况低于主体期望, 则主体针对该指标会表现出失望的心理感知.由此可见, 对于具有指标期望的双边匹配决策问题, 若要提升双方主体的满意程度, 则需要对双方主体的心理感知进行有效刻画, 进而提出相应的多指标双边匹配模型与方法.鉴于此, 本文依据失望理论^[22-25], 对双方主体失望-欣喜的心理感知进行有效刻画, 提出一种新的多指标双边匹配决策方法.首先, 基于主体的指标期望值与对方主体真实值之间的差异, 构建双方主体的损益矩阵; 然后, 依据失望-欣喜函数, 建立双方主体在各指标下的感知效用矩阵; 进一步, 通过构建和求解以双方主体综合感知效用值最大为目标的多目标优化模型, 获得最优的双边匹配结果.

1 问题描述

考虑具有指标期望的双边匹配问题, 记M={1, 2, …, m}, N={1, 2, …, n}, F={1, 2, …, f}, G={1, 2, …, g}.双边匹配过程中存在两方主体, 设A方主体集合为A={A₁, A₂, …, A_m}, 其中A_i表示第i个A方主体, i∈M; B方主体集合为B={B₁, B₂, …, B_n}, 其中B_j表示第j个B方主体, j∈N.设C^A={C₁^A, C₂^A, …, C_f^A}为A方主体所关注的指标集, 其中C_k^A表示A方主体所关注的第k个指标, k∈F; C^B={C₁^B, C₂^B, …, C_g^B}为B方主体所关注的指标集, 其中C_t^B表示B方主体所关注的第t个指标, t∈G; W^A=[w₁^A, w₂^A, …, w_f^A]为指标集C^A的权重向量, 其中w_k^A表示指标C_k^A的权重或重要程度, 满足$\sum\limits_{k = 1}^f {{w_k}^A} = 1 $; W^B=[w^B₁, w^B₂, …, w^B_g]为指标集C^B的权重向量, 其中w_t^B表示指标C_t^B的权重或重要程度, 满足$\sum\limits_{t = 1}^g {{w_t}^B} = 1$; P_i^k=(p_i^k, h_i^k)为主体A_i针对指标C_k^A给出的期望向量, 其中p_i^k为主体A_i针对指标C_k^A给出的期望水平信息, h_i^k为主体A_i针对指标C_k^A给出的最低可接受水平信息; ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}}_j}^t = \left( {{{\tilde P}_j}^t,{{\tilde h}_j}^t} \right)$为主体B_j针对指标C_t^B给出的期望向量, 其中${{{\tilde P}_j}^t}$为主体B_j针对指标C_t^B给出的期望水平信息, ${{{\tilde h}_j}^t}$为主体B_j针对指标C_t^B给出的最低可接受水平信息; Q^A=[q_it^A]_m×g为主体A在指标集C^B下的真实值矩阵, 其中q_it^A表示主体A_i针对指标C_t^B的真实值, i∈M, t∈G; Q^B=[q_jk^B]_n×f为主体B在指标集C^A下的真实值矩阵, 其中q_jk^B表示主体B_j针对指标C_k^A的真实值, j∈N, k∈F.

本文考虑的指标类型为效益型、成本型和区间型3类.设C^A1, C^A2, C^A3分别为指标集C^A的效益型、成本型和区间型的指标子集:

$ {C^{A1}} = \left\{ {C_1^A,C_2^A, \cdots ,C_{{f_1}}^A} \right\}, $

$ {C^{A2}} = \left\{ {C_{{f_1} + 1}^A,C_{{f_1} + 2}^A, \cdots ,C_{{f_2}}^A} \right\}, $

$ {C^{A3}} = \left\{ {C_{{f_2} + 1}^A,C_{{f_2} + 2}^A, \cdots ,C_f^A} \right\}, $

$ {C^{A1}} \cup {C^{A2}} \cup {C^{A3}} = {C^A}. $

为叙述方便, 设F₁, F₂, F₃分别为指标子集C^A1, C^A2, C^A3的下标集合, 有

$ {F_1} = \left\{ {1,2, \cdots ,{f_1}} \right\}, $

$ {F_2} = \left\{ {{f_1} + 1,{f_2} + 2, \cdots ,{f_2}} \right\}, $

$ {F_3} = \left\{ {{f_2} + 1,{f_2} + 2, \cdots ,f} \right\}, $

$ {F_1} \cup {F_2} \cup {F_3} = F. $

类似地, 设C^B1, C^B2, C^B3分别为指标集C^B的效益型、成本型和区间型指标子集, 则有

$ {C^{B1}} = \left\{ {C_1^B,C_2^B, \cdots ,C_{{g_1}}^B} \right\}, $

$ {C^{B2}} = \left\{ {C_{{g_1} + 1}^B,C_{{g_1} + 2}^B, \cdots ,C_{{g_2}}^B} \right\}, $

$ {C^{B3}} = \left\{ {C_{{g_2} + 1}^B,C_{{g_2} + 2}^B, \cdots ,C_g^B} \right\}, $

$ {C^{B1}} \cup {C^{B2}} \cup {C^{B3}} = {C^B}. $

设G₁, G₂, G₃分别为指标子集C^B1, C^B2, C^B3的下标集合, 有

$ {G_1} = \left\{ {1,2, \cdots ,{g_1}} \right\}, $

$ {G_2} = \left\{ {{g_1} + 1,{g_1} + 2, \cdots ,{g_2}} \right\}, $

$ {G_3} = \left\{ {{g_2} + 1,{g_2} + 2, \cdots ,g} \right\}, $

$ {G_1} \cup {G_2} \cup {G_3} = G. $

针对效益型、成本型和区间型这3种不同类型的指标, 双方主体给出的期望向量中的期望水平信息和最低可接受水平信息的关系可表述为:对于效益型指标, C_k^A∈C^A1(C_t^B∈C^B1), 此时p_i^k≥h_i^k(${{\tilde P}_j}^t \ge {{\tilde h}_j}^t $); 对于成本型指标C_k^A∈C^A2(C_t^B∈C^B2), 此时p_i^k≤h_i^k(${{\tilde P}_j}^t \le {{\tilde h}_j}^t $); 对于区间型指标, C_k^A∈C^A3(C_t^B∈C^B3), 记最低可接受水平h_i^k=[h_i^klow, h_i^kup], ${{\tilde h}_j}^t = \left[ {{{\tilde h}_j}^{t\;{\rm{low}}},{{\tilde h}_j}^{t\;{\rm{up}}}} \right]$, 期望水平p_i^k=[p_i^klow, p_i^kup], ${{\tilde P}_j}^t = \left[ {{{\tilde P}_j}^{t\;{\rm{low}}},{{\tilde P}_j}^{t\;{\rm{up}}}} \right] $.此时h_i^kup≥p_i^kup≥p_i^klow≥h_i^klow(${{\tilde h}_j}^{t\;{\rm{up}}} \ge {{\tilde P}_j}^{t\;{\rm{up}}} \ge {{\tilde P}_j}^{t\;{\rm{low}}} \ge {{\tilde h}_j}^{t\;{\rm{low}}}$).

综上所述, 本文要解决的问题是:针对双方主体给出指标期望的双边匹配问题, 依据双方主体的期望向量P_i^k和${{\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}}_j}^t $、真实值矩阵Q^A和Q^B、指标权重向量W^A和W^B, 度量双方主体针对潜在匹配对象的失望-欣喜感知, 通过合理有效的决策分析手段获得最终的双边匹配结果.

2 双边匹配方法 2.1 双方主体损益矩阵的构建

在考虑双方主体失望-欣喜感知的多指标双边匹配问题时, 双方主体针对各指标给出了含有最低可接受水平和期望水平的期望向量P_i^k=(p_i^k, h_i^k)和${{\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}}_j}^t = \left( {{{\tilde P}_j}^t,{{\tilde h}_j}^t} \right)$.以主体A_i和B_j为例, 一方面, 若主体A_i针对指标C_t^B的真实值q_it^A未达到主体B_j的最低可接受水平${{\tilde h}_j}^t$, 则主体A_i和B_j不会发生匹配; 同样, 若主体B_j针对指标C_k^A的真实值q_jk^B未达到主体A_i的最低可接受水平h_i^k, 则主体A_i和B_j不会发生匹配.另一方面, 若主体A_i和B_j在各指标下均达到了对方的最低可接受水平, 则此时A_i和B_j互为潜在的匹配对象.假设在最终的匹配结果中A_i与B_j相匹配, 此种情形下, 若主体A_i针对指标C_t^B的真实值q_it^A超过了主体B_j的期望水平$ {{{\tilde P}_j}^t}$, 则可认为主体B_j在指标C_t^B下为收益, 其心理行为表现为欣喜; 相反, 若主体A_i针对指标C_t^B的真实值低于主体B_j的期望水平信息$ {{{\tilde P}_j}^t}$, 则可认为主体B_j在指标C_t^B下为损失, 其心理行为表现为失望.

为了能够较好地刻画一方主体与另一方主体相匹配的“失望-欣喜”心理感知, 首先构建双方主体在各指标下的损益矩阵.

对于主体A_i, 其考虑的指标可能为效益型(C_k^A∈C^A1)、成本型(C_k^A∈C^A2)和区间型(C_k^A∈C^A3)3种.下面分别给出主体A_i在这3种指标下的损失和收益的计算公式.

(i) 当C_k^A∈C^A1时, 若q_jk^B>p_i^k, 则在指标C_k^A下主体A_i对于B_j表现为收益, 其收益G_ij^k为

$ G_{ij}^k = q_{jk}^B - p_i^k,\;\;\;\;\;i \in M,j \in N,k \in {F_1}; $

(1)

若q_jk^B < p_i^k, 则在指标C_k^A下主体A_i对于B_j表现为损失, 其损失L_ij^k为

$ L_{ij}^k = q_{jk}^B - p_i^k,\;\;\;\;\;i \in M,j \in N,k \in {F_1}. $

(2)

(ii)当C_k^A∈C^A2时, 若q_jk^B < p_i^k, 则在指标C_k^A下主体A_i对于B_j表现为收益, 其收益G_ij^k为

$ G_{ij}^k = p_i^k - q_{jk}^B,\;\;\;\;\;i \in M,j \in N,k \in {F_2}; $

(3)

若q_jk^B>p_i^k, 则在指标C_k^A下主体A_i对于B_j表现为损失, 其损失L_ij^k为

$ L_{ij}^k = p_i^k - q_{jk}^B,\;\;\;\;\;i \in M,j \in N,k \in {F_2}. $

(4)

(iii)当C_k^A∈C^A3时, 若q_jk^B∈[p_i^{k low}, p_i^{k up}], 则在指标C_k^A下主体A_i对于B_j表现为收益, 这里暂令其收益值G_ij^k为1.

若q_jk^B∉[p_i^{k low}, p_i^{k up}], 则在指标C_k^A下主体A_i对于B_j表现为损失, 其损失L_ij^k为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {L_{ij}^k = \left\{ \begin{array}{l} q_{jk}^B - p_i^{k\;low},\;\;\;\;\;\;h_i^{k\;low} \le q_{jk}^B < p_i^{k\;low},\\ p_i^{k\;up} - q_{jk}^B,\;\;\;\;\;\;\;p_i^{k\;up} < q_{jk}^B \le h_i^{k\;up}, \end{array} \right.}\\ {i \in M,j \in N,k \in {F_3}.} \end{array} $

(5)

若主体B_j关于指标C_k^A的真实值q_jk^B未达到主体A_i的最低可接受水平h_i^k, 则主体A_i与主体B_j不会相互匹配.为计算方便, 可将在指标C_k^A下主体A_i关于主体B_j的损益值记为-M, 其中M为足够大的正数.

基于此, 可构建在指标C_k^A下A方主体的损益矩阵D^k=[d_ij^k]_m×n, 其中d_ij^k表示在指标C_k^A下主体A_i关于主体B_j的损益值, 其计算公式为

$ d_{ij}^k = \left\{ \begin{array}{l} - M,\;\;\;\;\;q_{jk}^B < h_i^k,\\ \;L_{ij}^k,\;\;\;\;\;\;\;h_i^k \le q_{jk}^B < p_i^k,\\ \;\;0,\;\;\;\;\;\;\;\;q_{jk}^B > p_i^k,\\ \;G_{ij}^k,\;\;\;\;\;\;\;q_{jk}^B > p_i^k, \end{array} \right.i \in M,j \in N,k \in {F_1}, $

(6)

$ d_{ij}^k = \left\{ \begin{array}{l} G_{ij}^k,\;\;\;\;\;q_{jk}^B < p_i^k,\\ \;0,\;\;\;\;\;\;\;q_{jk}^B = p_i^k,\\ L_{ij}^k,\;\;\;\;\;\;p_i^k < q_{jk}^B \le h_i^k,\\ - M,\;\;\;\;q_{jk}^B > h_i^k, \end{array} \right.i \in M,j \in N,k \in {F_2}, $

(7)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {d_{ij}^k = \left\{ \begin{array}{l} - M,\;\;\;\;q_{jk}^B < k_i^{k\;low},\\ \;\;L_{ij}^k,\;\;\;\;h_i^{k\;low} \le q_{jk}^B < p_i^{k\;low},\\ \;\;\;1,\;\;\;\;\;\;q_{jk}^B \in \left[ {p_i^{k\;low},p_i^{k\;up}} \right],\\ \;\;L_{ij}^k,\;\;\;\;\;p_i^{k\;up} < q_{jk}^B \le h_i^{k\;up},\\ - M,\;\;\;\;\;q_{jk}^B > h_i^{k\;up}, \end{array} \right.}\\ {i \in M,j \in N,k \in {F_3}.} \end{array} $

(8)

类似地, 对于主体B_j, 可通过下列方法计算其在不同类型指标下的损失和收益.

(i) 当C_t^B∈C^B1时, 若q_it^A> ${{{\tilde P}_j}^t} $, 则在指标C_t^B下主体B_j对于A_i表现为收益, 其收益 $\tilde G_{ij}^t$ 为

$ \tilde G_{ij}^t = q_{it}^A - \tilde p_j^t,\;\;\;i \in M,j \in N,t \in {G_1}; $

(9)

若q_it^A < $ {{{\tilde P}_j}^t}$, 则在指标C_t^B下主体B_j对于A_i表现为损失, 其损失$为

$ \tilde L_{ij}^t = q_{it}^A - \tilde p_j^t,\;\;\;i \in M,j \in N,t \in {G_1}. $

(10)

(ii)当C_t^B∈C^B2时, 若q_it^A < $ {{{\tilde P}_j}^t}$, 则在指标C_t^B下主体B_j对于A_i表现为收益, 其收益$\tilde G_{ij}^t$为

$ \tilde G_{ij}^t = \tilde p_j^t - q_{it}^A,\;\;\;i \in M,j \in N,t \in {G_2}; $

(11)

若q_it^A> ${{{\tilde P}_j}^t} $, 则在指标C_t^B下主体B_j对于A_i表现为损失, 其损失${{\tilde L}_{ij}}^t $为

$ \tilde L_{ij}^t = \tilde p_j^t - q_{it}^A,\;\;\;i \in M,j \in N,t \in {G_2}. $

(12)

(iii)当C_t^B∈C^B3时, 若q_it^A∈[${{\tilde P}_j}^{t\;low},{{\tilde P}_j}^{t\;up} $], 则在指标C_t^B下主体B_j对于A_i表现为收益, 这里暂令其收益为1.

若q_it^A∉[${{{\tilde P}_j}^{t\;{\rm{low}}},{{\tilde P}_j}^{t\;{\rm{up}}}}$], 则在指标C_t^B下主体B_j对于A_i表现为损失, 其损失${{\tilde L}_{ij}}^t$为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\tilde L_{ij}^t = \left\{ \begin{array}{l} q_{it}^A - \tilde p_j^{t\;{\rm{low}}},\;\;\;\;\;h_j^{t\;{\rm{low}}} \le q_{it}^A < \tilde p_j^{t\;{\rm{low}}},\\ \tilde p_j^{t\;up} - q_{it}^A,\;\;\;\;\;\tilde p_j^{t\;up} < q_{it}^A \le \tilde h_j^{t\;{\rm{up}}}, \end{array} \right.}\\ {i \in M,j \in N,t \in {G_3}.} \end{array} $

(13)

若主体A_i针对指标C_t^B的真实值q_it^A未达到主体B_j的最低可接受水平${{\tilde h}_{j}}^t$, 则主体B_j与主体A_i必不会相互匹配.为下文计算方便, 此时可将在指标C_t^B下主体B_j关于主体A_i的损益值记为-M, 其中M为足够大的正数.

基于此, 可构建在指标C_t^B下B方主体的损益矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^t} = {\left[ {{{\tilde d}_{ij}}^t} \right]_{m \times n}} $, 其中${{{\tilde d}_{ij}}^t}$表示在指标C_t^B下主体B_j关于主体A_i的损益值, 其计算公式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\tilde d_{ij}^t = \left\{ \begin{array}{l} - M,\;\;\;q_{it}^A < \tilde h_j^t,\\ \;\tilde L_{ij}^t,\;\;\;\;\tilde h_j^t \le q_{it}^A < \tilde p_j^t,\\ \;\;0,\;\;\;\;\;q_{it}^A = \tilde p_j^t,\\ \tilde G_{ij}^t,\;\;\;\;q_{it}^A > \tilde p_j^t, \end{array} \right.}\\ {i \in M,j \in N,t \in {G_1},} \end{array} $

(14)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\tilde d_{ij}^t = \left\{ \begin{array}{l} \tilde G_{ij}^t,\;\;\;\;\;q_{it}^A < \tilde p_j^t,\\ \;0,\;\;\;\;\;\;q_{it}^A = \tilde p_j^t,\\ \;\tilde L_{ij}^t,\;\;\;\;\tilde p_j^t < q_{it}^A \le \tilde h_j^t,\\ - M,\;\;\;q_{it}^A > \tilde h_j^t, \end{array} \right.}\\ {i \in M,j \in N,t \in {G_2},} \end{array} $

(15)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\tilde d_{ij}^t = \left\{ \begin{array}{l} - M,\;\;\;q_{it}^A < \tilde h_j^{t\;{\rm{low}}},\\ \;\;\tilde L_{ij}^t,\;\;\;\tilde h_j^{t\;{\rm{low}}} \le q_{it}^A < \tilde p_j^{t\;{\rm{low}}},\\ \;\;\;1,\;\;\;\;q_{it}^A \in \left[ {\tilde p_j^{t\;{\rm{low}}},\tilde p_j^{t\;{\rm{up}}}} \right],\\ \;\;\tilde L_{ij}^t,\;\;\;\tilde p_j^{t\;{\rm{up}}} < q_{it}^A \le \tilde h_j^{t\;{\rm{up}}},\\ - M,\;\;\;q_{it}^A > \tilde h_j^{t\;{\rm{up}}}, \end{array} \right.}\\ {i \in M,j \in N,t \in {G_3}.} \end{array} $

(16)

为了消除不同指标因量纲不同对计算结果的影响, 将双方主体的损益矩阵D^k=[d_ij^k]_m×n和${{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^t} = {\left[ {{{\tilde d}_{ij}}^t} \right]_{m \times n}}$转化为规范化损益矩阵D^k=[d_ij^k]_m×n和${\overline {\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}} ^t} = {\left[ {{{\overline {\tilde d} }_{ij}}^t} \right]_{m \times n}}$, 其中d_ij^k和${{{\overline {\tilde d} }_{ij}}^t}$的计算公式为

$ \begin{array}{l} \tilde d_{ij}^k = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{d_{ij}^k}}{{\mathop {\max }\limits_{i \in M,j \in N} \left\{ {\left| {d_{ij}^k} \right|\left| {d_{ij}^k \ne - M} \right|} \right\}}},\;\;\;\;d_{ij}^k \ne - M,\\ - M,\;\;\;d_{ij}^k = - M, \end{array} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;i \in M,j \in N,k \in {F_1} \cup {F_2}, \end{array} $

(17)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\bar d_{ij}^k = \left\{ \begin{array}{l} d_{ij}^k,\;\;\;d_{ij}^k = 1,\\ \frac{{d_{ij}^k}}{{\mathop {\max }\limits_{i \in M,j \in N} \left\{ {\left| {d_{ij}^k} \right|\left| {d_{ij}^k \ne - M} \right|} \right\}}},\\ \;\;\;\;\;\;\;d_{ij}^k \ne 1\;且\;d_{ij}^k \ne - M,\\ - M,\;\;\;d_{ij}^k = - M, \end{array} \right.}\\ {i \in M,j \in N,k \in {F_3},} \end{array} $

(18)

$ \begin{array}{l} \bar {\tilde d_{ij}^t} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\tilde d_{ij}^t}}{{\mathop {\max }\limits_{i \in M,j \in N} \left\{ {\left| {\tilde d_{ij}^t} \right|\left| {\tilde d_{ij}^t \ne - M} \right|} \right\}}},\;\;\;\;\tilde d_{ij}^t \ne - M,\\ - M,\;\;\;\tilde d_{ij}^t = - M, \end{array} \right.\\ \;\;\;\;\;\;i \in M,j \in N,t \in {G_1} \cup {G_2}, \end{array} $

(19)

$ \begin{array}{l} \bar {\tilde d_{ij}^t} = \left\{ \begin{array}{l} \tilde d_{ij}^t,\;\;\;\tilde d_{ij}^t = 1,\\ \frac{{\tilde d_{ij}^t}}{{\mathop {\max }\limits_{i \in M,j \in N} \left\{ {\left| {\tilde d_{ij}^t} \right|\left| {\tilde d_{ij}^t \ne - M} \right|} \right\}}},\\ \;\;\;\;\;\;\;\tilde d_{ij}^t \ne 1\;且\;\tilde d_{ij}^t \ne - M,\\ - M,\;\;\;\tilde d_{ij}^t = - M, \end{array} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i \in M,j \in N,t \in {G_3}. \end{array} $

(20)

2.2 双方主体感知效用矩阵的构建

在双边匹配过程中, 主体的满意程度与两方面因素有关, 一方面是该主体的期望水平, 另一方面是对方主体的真实值.在某个指标下, 若该主体的期望水平超过了对方主体的真实值, 则该主体表现为失望; 反之, 若该主体的期望水平低于对方主体的真实值, 则该主体表现为欣喜.显然, 主体的这种失望-欣喜的心理感知与其对可能获得的匹配结果的满意程度密切相关.为了更好地刻画主体的满意程度, 下面通过引入失望函数和欣喜函数来计算主体在某指标下针对对方主体的失望值或欣喜值.依据文献[23-25], 失望函数D(·)与欣喜函数E(·)为非减函数, 即D′(·)>0, E′(·)>0.E(·)的图形在x轴上方, 为下凹函数, 即E″(·) < 0;D(·)的图形在x轴下方, 为下凸函数, 即D″(·)>0.符合此形态特征的函数有多种, 依据文献[25], 失望函数D(·)和欣喜函数E(·)可表示为:

失望函数D(·):

$ D\left( x \right) = {\alpha ^{ - x}} - 1, $

(21)

其中, α为失望参数, 0 < α < 1.LACIANA等^[25]给出了符合大多数主体行为偏好的α值, 为0.7≤α≤0.9, α值越大, 主体对相同损失感知到的失望越小.

欣喜函数E(·):

$ E\left( x \right) = 1 - {\beta ^x}, $

(22)

其中,β为欣喜参数, 满足0 < β < 1.LACIANA等^[25]在研究中也测得了符合大多数主体行为偏好的β值, 为0.7≤β≤0.9, β越大, 主体对相同收益感知到的欣喜越小.失望函数D(·)与欣喜函数E(·)的图形如图 1所示.图 1中, x表示在某指标下主体的期望水平与对方主体真实值之间的差值.本文α和β取相同值, 即α=β=0.8.

基于以上论述, 依据所建立的失望函数D(·)和欣喜函数E(·), 以及前文得到的规范化损益矩阵D^k=[d_ij^k]_m×n和${\overline {\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}} ^t} = {\left[ {{{\overline {\tilde d} }_{ij}}^t} \right]_{m \times n}}$, 在指标C_k^A下可构建A方主体的感知效用矩阵V^k=[v_ij^k]_m×n和在指标C_t^B下的B方主体的感知效用矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}^t} = {\left[ {{{\tilde v}_{ij}}^t} \right]_{m \times n}} $.

在指标C_k^A下, 主体A_i关于主体B_j的感知效用值v_ij^k为

$ \begin{array}{l} v_{ij}^k = \left\{ \begin{array}{l} - M,\;\;\;\bar d_{ij}^k = - M,\\ D\left( {\bar d_{ij}^k} \right),\;\;\;\;\bar d_{ij}^k < 0\;且\;\bar d_{ij}^k \ne - M,\\ 0,\;\;\;\;\;\bar d_{ij}^k = 0,\\ E\left( {\bar d_{ij}^k} \right),\;\;\;\;\bar d_{ij}^k > 0, \end{array} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;i \in M,j \in N,k \in F. \end{array} $

(23)

在指标C_t^B下, 主体B_j关于主体A_i的感知效用值${{{\tilde v}_{ij}}^t} $为

$ \begin{array}{l} \tilde v_{ij}^t = \left\{ \begin{array}{l} - M,\;\;\;\tilde {\bar d_{ij}^t} = - M,\\ D\left( {\tilde {\bar d_{ij}^t}} \right),\;\;\;\;\tilde {\bar d_{ij}^t} < 0\;且\;\tilde {\bar d_{ij}^t} \ne - M,\\ 0,\;\;\;\;\;\tilde {\bar d_{ij}^t} = 0,\\ E\left( {\tilde {\bar d_{ij}^t}} \right),\;\;\;\;\tilde {\bar d_{ij}^t} > 0, \end{array} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;i \in M,j \in N,t \in G. \end{array} $

(24)

进一步, 集结各指标下A方主体的感知效用值, 依据A方主体的感知效用矩阵V^k=[v_ij^k]_m×n(k∈F), 可构建A方主体的综合感知效用矩阵V=[v_ij]_m×n, 其中v_ij的计算公式为

$ {v_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^f {w_k^Av_{ij}^k} ,\;\;\;i \in M,j \in N,k \in F. $

(25)

类似地, 将各指标下B方主体的感知效用值进行集结, 依据B方主体的感知效用矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}^t} = {\left[ {{{\tilde v}_{ij}}^t} \right]_{m \times n}}\left( {t \in G} \right) $, 可构建B方主体的综合感知效用矩阵$\mathit{\boldsymbol{\tilde V}} = {\left[ {{{\tilde v}_{ij}}} \right]_{m \times n}} $, 其中${{{\tilde v}_{ij}}}$的计算公式为

$ {{\tilde v}_{ij}} = \sum\limits_{t = 1}^g {w_t^B\tilde v_{ij}^t} ,\;\;\;i \in M,j \in N,t \in G. $

(26)

在式(25)中, 对于指标C_k^A, v_ij^k=-M, 主体A_i关于主体B_j的综合感知效用v_ij=-M, 此情形下主体A_i与B_j必不匹配; 类似地, 在式(26)中, 对于指标C_t^B, ${{{\tilde v}_{ij}}^t} $=-M, 主体B_j关于主体A_i的综合感知效用${{{\tilde v}_{ij}}}$=-M, 此情形下主体B_j与A_i必不匹配.

2.3 匹配优化模型的构建与求解

从上面的论述中可以得到, 综合感知效用v_ij越大, 主体A_i与B_j相匹配的满意程度就越高; 同样, 综合感知效用${{{\tilde v}_{ij}}}$越大, 主体B_j与A_i相匹配的满意程度就越高.基于双方主体的综合感知效用矩阵V和${\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}$, 以双方主体最低可接受水平为约束条件, 双方主体综合感知效用最大化为目标, 可构建多目标优化模型.不失一般性, 下面给出1-1双边匹配的优化模型, 即每个A方主体至多与一个B方主体相匹配, 每个B方主体也至多与一个A方主体相匹配.设x_ij为0-1变量, x_ij=0表示在匹配结果中主体A_i与B_j不匹配, x_ij=1表示在匹配结果中主体A_i与B_j相互匹配.多目标优化模型构建如下:

$ max\;{Z_1} = \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {{v_{ij}}{x_{ij}}} } , $

(27a)

$ max\;{Z_2} = \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {{{\tilde v}_{ij}}{x_{ij}}} } , $

(27b)

$ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^m {{x_{ij}} \le 1} ,j \in N, $

(27c)

$ \sum\limits_{j = 1}^m {{x_{ij}} \le 1} ,i \in M, $

(27d)

$ \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {\left( {{v_{ij}} + {{\tilde v}_{ij}}} \right){x_{ij}}} } \ge - mn, $

(27e)

$ {x_{ij}} = 0\;或\;1,\;\;\;i \in M,j \in N. $

(27f)

在模型(27)中, 有2个目标函数, 分别是式(27a)和(27b), 其含义是尽可能使匹配结果中A方主体和B方主体的综合感知效用最大; 模型(27)中存在3个约束条件, 分别是式(27c)、(27d)和(27e), 其中式(27c)和(27d)为匹配约束条件, 式(27c)的含义是每个A方主体至多与1个B方主体相匹配, 式(27d)的含义是每个B方主体至多与1个A方主体相匹配; 式(27e)为主体最低可接受约束条件, 其含义是确保相互匹配的双方主体可以达到对方的最低可接受水平.

为求解优化模型(27), 采用线性加权法^[26]将其转化为单目标优化模型.设ω₁和ω₂分别表示目标Z₁和Z₂的权重, 满足0≤ω₁, ω₂≤1, ω₁+ω₂=1, 则单目标优化模型可表示为:

$ {\rm{max}}\;\bar Z = {\omega _1}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {{v_{ij}}{x_{ij}}} } + {\omega _2}\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {{{\tilde v}_{ij}}{x_{ij}}} } , $

(28a)

$ {\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^m {{x_{ij}} \le 1} ,j \in N, $

(28b)

$ \sum\limits_{j = 1}^m {{x_{ij}} \le 1} ,i \in M, $

(28c)

$ \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {\left( {{v_{ij}} + {{\tilde v}_{ij}}} \right){x_{ij}}} } \ge - mn, $

(28d)

$ {x_{ij}} = 0\;或\;1,\;\;\;i \in M,j \in N. $

(28e)

在模型(28)中, 权重ω_k(k=1, 2)表示双方主体在匹配决策中的重要程度.权重ω₁, ω₂之间存在3种情况:若ω₁>ω₂, 则表示在匹配决策中, 中介或决策者更倾向考虑A方主体的满意程度; 若ω₁ < ω₂, 则表示在匹配决策中, 中介或决策者更倾向考虑B方主体的满意程度; 若ω₁=ω₂=0.5, 则表示在匹配决策中, 中介或决策者注重双方主体的公平性.目标函数(28a)和约束条件(28b)~(28d)均是线性的, 模型(28)可以使用专门的优化软件包(如LINGO11.0, Cplex9.0等)进行求解.

综上, 考虑双方主体失望-欣喜感知的多指标双边匹配决策方法的计算步骤如下:

步骤1   依据式(1)~(8), 在指标C_k^A(k∈F)下构建A方主体的损益矩阵D^k=[d_ij^k]_m×n;

步骤2   依据式(9)~(16), 在指标C_t^B(t∈G)下构建B方主体的损益矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^t} = {\left[ {{{\tilde d}_{ij}}^t} \right]_{m \times n}}$;

步骤3   依据式(17)和(18), 在指标C_k^A(k∈F)下将A方主体的损益矩阵D^k=[d_ij^k]_m×n转化为规范化损益矩阵D^k=[d_ij^k]_m×n;

步骤4   依据式(19)和(20), 在指标C_t^B(t∈G)下将B方主体的损益矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^t} = {\left[ {{{\tilde d}_{ij}}^t} \right]_{m \times n}}$转化为规范化损益矩阵$ {\overline {\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}} ^t} = {\left[ {{{\overline {\tilde d} }_{ij}}^t} \right]_{m \times n}} $;

步骤5   依据式(21)~(23), 在指标C_k^A(k∈F)下构建A方主体的感知效用矩阵V^k=[v_ij^k]_m×n;

步骤6   依据式(21)、(22)和(24), 在指标C_t^B(t∈G)下构建B方主体的感知效用矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}^t} = {\left[ {{{\tilde v}_{ij}}^t} \right]_{m \times n}}$;

步骤7   依据式(25)和(26), 构建A方主体的综合感知效用矩阵V=[v_ij]_m×n和B方主体的综合感知效用矩阵$\mathit{\boldsymbol{\tilde V}} = {\left[ {{{\tilde v}_{ij}}} \right]_{m \times n}}$;

步骤8   以双方主体综合感知效用最大化为目标建立多目标优化模型(27);

步骤9   将多目标优化模型(27)转化为单目标优化模型(28);

步骤10   通过求解模型(28), 获得最优的双边匹配结果.

3 算例

企业岗位与员工的匹配是一类典型的双边匹配问题, 本节以此类问题为背景, 通过算例来说明其可行性.

M公司是一家金融投资咨询公司, 主要从事融资理财、助贷咨询、证券市场预测分析等业务.每年分季度招聘新员工, 并在招聘后对新员工进行入职培训和轮岗体验, 进而将他们分派在合适的岗位上.目前M公司有5个待入职岗位B={B₁, B₂, …, B₅}, 分别为B₁“客户营销”、B₂“商务助理”、B₃“客户服务”、B₄“企业文秘”, B₅“产品策划”.M公司最近录用的4名女性新员工A={A₁, A₂, A₃, A₄}, 均已进行了轮岗培训, 在通过企业文化培训、基本素质与基本业务培训、岗位轮训体验等环节后, 现在要依据岗位需求和员工的实际情况寻求新员工与岗位的最佳匹配方案.

在新员工与岗位的匹配过程中, 员工针对岗位有其所关注的指标, 具体包括:薪金水平(C₁^A, 单位:元)、每周平均工作时间(C₂^A, 单位:h)、平均晋升年限(C₃^A, 单位:a), 其中C₁^A为效益型指标, C₂^A和C₃^A为成本型指标; 岗位对员工也有指标要求, 具体为:相关行业从业年限(C₁^B, 单位:a)、业务培训成绩(C₂^B, 0~100的分值)、外语能力测试成绩(C₃^B, 0~100的分值)、人际沟通能力测试成绩(C₄^B, 0~100的分值)、身高(C₅^B, 单位:cm), 其中C₁^B, C₂^B, C₃^B和C₄^B为效益型指标, C₅^B为区间型指标.M公司人力资源部门给出了5个招工岗位针对已给出的各评价指标的权重向量值, 即W^B=[0.1, 0.3, 0.25, 0.2, 0.15], 专家组通过调查给出的新员工针对各评价指标的权重向量, 即W^A=[0.4, 0.3, 0.3].员工与岗位之间的期望向量与真实值列于表 1~表 4.

为得到M公司中待分配员工与岗位的匹配结果, 简要说明如下:

首先, 依据式(1)~(8), 在指标C_k^A(k=1, 2, 3)下构建员工的损益矩阵D^k=[d_ij^k]_4×5:

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}^1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1000}&{700}&{ - 800}&0&{500}\\ { - 500}&{200}&{ - 1300}&{ - 500}&0\\ {1000}&{700}&{ - M}&{ - M}&{500}\\ {1000}&{700}&{ - 800}&0&{500} \end{array}} \right), $

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}&0&{ - 2}&2&5\\ { - 5}&0&{ - 2}&2&5\\ { - 5}&0&{ - 2}&2&5\\ { - 7}&{ - 2}&{ - 4}&0&3 \end{array}} \right), $

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}^3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&1&{ - 2}&{ - 1}\\ 0&{ - 1}&0&{ - M}&{ - 2}\\ 1&0&1&{ - 2}&{ - 1}\\ 1&0&1&{ - M}&{ - 1} \end{array}} \right). $

依据式(9)~(16), 在指标C_t^B(t=1, 2, …, 5)下构建岗位的损益矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^t} = {\left[ {{{\tilde d}_{ij}}^t} \right]_{4 \times 5}} $:

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0&0&{ - 3}\\ 2&3&3&3&0\\ { - 2}&{ - 1}&{ - 1}&{ - 1}&{ - M}\\ 0&1&1&1&{ - 2} \end{array}} \right), $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&0&0&5&{ - 5}\\ 8&3&3&8&{ - 2}\\ 0&{ - 5}&{ - 5}&0&{ - 10}\\ 2&{ - 3}&{ - 3}&2&{ - 8} \end{array}} \right), $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2&2&{ - 3}&2\\ { - 3}&{ - 3}&{ - 3}&{ - 8}&{ - 3}\\ 5&5&5&0&5\\ 0&0&0&{ - 5}&0 \end{array}} \right), $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}&0&5&0&0\\ { - 2}&3&{ - 2}&3&3\\ { - 5}&0&{ - 5}&0&0\\ { - 9}&{ - 4}&{ - 9}&{ - 4}&{ - 4} \end{array}} \right), $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^5} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ { - 1}&{ - 1}&1&1&1 \end{array}} \right). $

其次, 依据式(17)和(18), 在指标C_k^A(k=1, 2, 3)下将员工的损益矩阵D^k=[d_ij^k]_4×5转化为规范化损益矩阵D^k=[d_ij^k]_4×5:

$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar D}}}^1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{0.7}&{ - 0.8}&0&{0.5}\\ { - 0.5}&{0.2}&{ - 1.3}&{ - 0.5}&0\\ 1&{0.7}&{ - M}&{ - M}&{0.5}\\ 1&{0.7}&{ - 0.8}&0&{0.5} \end{array}} \right), $

$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\bar D}}}^2} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.7143}&0&{ - 0.2857}&{0.2857}&{0.7143}\\ { - 0.7143}&0&{ - 0.2857}&{0.2857}&{0.7143}\\ { - 0.7143}&0&{ - 0.2857}&{0.4}&{0.7143}\\ { - 1}&{ - 0.2857}&{ - 0.5714}&0&{0.4286} \end{array}} \right), \end{array} $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar D}}}^3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.5}&0&{0.5}&{ - 1}&{ - 0.5}\\ 0&{ - 0.5}&0&{ - M}&{ - 1}\\ {0.5}&0&{0.5}&{ - 1}&{ - 0.5}\\ {0.5}&0&{0.5}&{ - M}&{ - 0.5} \end{array}} \right). $

依据式(19)和(20), 在指标C_t^B(t=1, 2, …, 5)下将岗位的损益矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}}^t} = {\left[ {{{\tilde d}_{ij}}^t} \right]_{4 \times 5}} $转化为规范化损益矩阵${\overline {\mathit{\boldsymbol{\tilde D}}} ^t} = {\left[ {{{\overline {\tilde d} }_{ij}}^t} \right]_{4 \times 5}}$:

$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\bar {\tilde D}}}}^1} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.3333}&0&0&0&{ - 1}\\ {0.6667}&1&1&1&0\\ { - 0.6667}&{ - 0.3333}&{ - 0.3333}&{ - 0.3333}&{ - M}\\ 0&{0.3333}&{0.3333}&{0.3333}&{ - 0.6667} \end{array}} \right), \end{array} $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar {\tilde D}}}}^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.5}&0&0&{0.5}&{ - 0.5}\\ {0.8}&{0.3}&{0.3}&{0.8}&{ - 0.2}\\ 0&{ - 0.5}&{ - 0.5}&0&{ - 1}\\ {0.2}&{ - 0.3}&{ - 0.3}&{0.2}&{ - 0.8} \end{array}} \right), $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar {\tilde D}}}}^3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.25}&{0.25}&{0.5}&{ - 0.375}&{0.25}\\ { - 0.375}&{ - 0.375}&{ - 0.375}&{ - 1}&{0.375}\\ {0.625}&{0.625}&{0.625}&0&{0.625}\\ 0&0&0&{ - 0.625}&0 \end{array}} \right), $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar {\tilde D}}}}^4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.5556}&0&{0.5556}&0&0\\ { - 0.2222}&{0.3333}&{ - 0.2222}&{0.3333}&{0.3333}\\ { - 0.5556}&0&{ - 0.5556}&0&0\\ { - 1}&{ - 0.4444}&{ - 1}&{ - 0.4444}&{ - 0.4444} \end{array}} \right), $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar {\tilde D}}}}^5} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1\\ { - 0.3333}&{ - 0.3333}&1&1&1 \end{array}} \right). $

然后, 依据式(21)~(23), 在指标C_k^A(k=1, 2, 3)下构建员工的感知效用矩阵V^k=[v_ij^k]_4×5:

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{V}}^1} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.2}&{0.1446}&{ - 0.1635}&0&{0.1056}\\ { - 0.1056}&{ - 0.0436}&{ - 0.2518}&{ - 0.1056}&0\\ {0.2}&{0.1446}&{ - M}&0&{0.1056}\\ {0.2}&{0.1446}&{ - 0.1635}&0&{0.1056} \end{array}} \right), \end{array} $

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.1473}&0&{ - 0.0618}&{0.0618}&{0.1473}\\ { - 0.1473}&0&{ - 0.0618}&{0.0618}&{0.1473}\\ { - 0.1473}&0&{ - 0.0618}&{0.0618}&{0.1473}\\ { - 0.2000}&{ - 0.0618}&{ - 0.1197}&0&{0.0912} \end{array}} \right), $

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}^3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.1056}&0&{0.1056}&{ - 0.2}&{ - 0.1056}\\ 0&{ - 0.1056}&0&{ - M}&{ - 0.2}\\ {0.1056}&0&{0.1056}&{ - 0.2}&{ - 0.1056}\\ {0.1056}&0&{0.1056}&{ - M}&{ - 0.1056} \end{array}} \right). $

依据式(21)、(22)和(24), 在C_t^B(t=1, 2, …, 5)下构建岗位的感知效用矩阵${{\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}^t} = {\left[ {{{\tilde v}_{ij}}^t} \right]_{4 \times 5}} $:

$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}^1} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.0717}&0&0&0&{ - 0.2}\\ {0.1382}&{0.2}&{0.2}&{0.2}&0\\ { - 0.1382}&{ - 0.0717}&{ - 0.0717}&{ - 0.0717}&{ - M}\\ 0&{0.0717}&{0.0717}&{0.0717}&{0.1382} \end{array}} \right), \end{array} $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.1056}&0&0&{0.1056}&{ - 0.1056}\\ {0.1635}&{0.0648}&{0.0648}&{0.1635}&{ - 0.0436}\\ 0&{ - 0.1056}&{ - 0.1056}&0&{ - 0.2000}\\ {0.0436}&{ - 0.0648}&{ - 0.0648}&{0.0436}&{ - 0.1635} \end{array}} \right), $

$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}^3} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.0543}&{0.0543}&{0.0543}&{ - 0.0803}&{0.0543}\\ { - 0.0803}&{ - 0.0803}&{ - 0.0803}&{ - 0.2000}&{ - 0.0803}\\ {0.1302}&{0.1302}&{0.1302}&0&{0.1302}\\ 0&0&0&{ - 0.1302}&0 \end{array}} \right), \end{array} $

$ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}^4} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.1166}&0&{0.1166}&0&0\\ { - 0.0484}&{0.0717}&{ - 0.0484}&{0.0717}&{0.0717}\\ { - 0.1166}&0&{ - 0.1166}&0&0\\ { - 0.2000}&{ - 0.04944}&{ - 0.2000}&{ - 0.0944}&{ - 0.0944} \end{array}} \right), \end{array} $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde V}}}^5} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.2}&{0.25}&{0.25}&{0.25}&{0.25}\\ {0.25}&{0.25}&{0.25}&{0.25}&{0.25}\\ {0.25}&{0.25}&{0.25}&{0.25}&{0.25}\\ { - 0.0717}&{ - 0.0717}&{0.25}&{0.25}&{0.25} \end{array}} \right), $

进一步, 依据式(25), 构建员工的综合感知效用矩阵V=[v_ij]_4×5:

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{V}} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.0675}&{0.0578}&{ - 0.0523}&{ - 0.0415}&{0.0548}\\ { - 0.0864}&{ - 0.0142}&{ - 0.1193}&{ - M}&{ - 0.0158}\\ {0.0675}&{0.0578}&{ - M}&{ - 0.0415}&{0.0548}\\ {0.0517}&{0.0393}&{ - 0.0696}&{ - M}&{0.0379} \end{array}} \right). \end{array} $

依据式(26), 构建岗位的综合感知效用矩阵$\mathit{\boldsymbol{\tilde V}} = {\left[ {{{\tilde v}_{ij}}} \right]_{4 \times 5}}$:

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\tilde V}} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.0153}&{0.0511}&{0.0744}&{0.0491}&{ - 0.0006}\\ {0.0706}&{0.0712}&{0.0472}&{0.0709}&{0.0187}\\ {0.0329}&{0.0312}&{0.0079}&{0.0303}&{ - M}\\ { - 0.0377}&{ - 0.0491}&{0.0148}&{0.0063}&{ - 0.0443} \end{array}} \right). \end{array} $

最后, 分别以员工和岗位的综合感知效用最大化为目标, 依据模型(27), 建立多目标优化模型, 考虑双方主体的公平性, 取ω₁=ω₂=0.5, 将多目标优化模型转化为单目标优化模型.通过软件包LINGO进行求解, 得到的最优解为:x₁₂=1, x₂₅=1, x₃₁=1, Z₁=0.106 1.即M公司应分派员工A₁至岗位B₂, 员工A₂至岗位B₅, 员工A₃至岗位B₁, 员工A₄通过此次技能培训和轮岗体验未能成功入岗, 需要接受下一轮的培训和考察.

为进一步说明本文方法的有效性, 下面应用文献[16]的方法对本算例进行求解.

首先, 构建员工对岗位的综合前景值矩阵U和岗位对员工的综合前景值矩阵${\mathit{\boldsymbol{\tilde U}}} $, 即

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{U}} = {\left[ {{u_{ij}}} \right]_{4 \times 5}} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.0313}&{0.1031}&{ - 0.3098}&{ - 0.1657}&{0.0618}\\ { - 0.3957}&{ - 0.0799}&{ - 0.4996}&{ - 0.4283}&{ - 0.1108}\\ { - 0.0313}&{0.1031}&{ - 0.3098}&{ - 0.1657}&{0.0618}\\ { - 0.1082}&{0.0035}&{ - 0.3935}&{ - 0.2100}&{0.0259} \end{array}} \right), \end{array} $

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\tilde U}} = {\left[ {{{\tilde u}_{ij}}} \right]_{4 \times 5}} = \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.1362}&{ - 0.0570}&{ - 0.0497}&{ - 0.1830}&{ - 0.3578}\\ { - 0.0738}&{0.0446}&{ - 0.1920}&{ - 0.0077}&{ - 0.0800}\\ { - 0.0808}&{ - 0.0791}&{ - 0.1884}&{0.0371}&{ - 0.2599}\\ { - 0.1371}&{ - 0.1372}&{ - 0.2365}&{ - 0.0210}&{ - 0.3253} \end{array}} \right). \end{array} $

然后, 通过构建和求解优化模型得到最终的匹配结果:x₁₂=1, 即通过此次技能培训和轮岗体验, 只有员工A₁成功入岗, 被分派至岗位B₂, 而员工A₂, A₃和A₄均未能入岗, 将继续接受下一轮的培训和考察.

如果采用本文方法, 员工A₁, A₂和A₃均可成功入岗, 员工A₁被分派至岗位B₂, 员工A₂被分派至岗位B₅, 员工A₃被分派至岗位B₁.由于A₂与B₅, A₃与B₁在各指标下均达到了对方的最低可接受水平, 因而采用本文方法可在双方主体均能接受的前提下达成更多匹配, 这对降低企业管理成本、提升人岗双方匹配满意度具有积极意义.

4 结束语

通过对匹配主体失望-欣喜心理感知的刻画, 给出了一种新的具有指标期望的多指标双边匹配决策方法.依据失望-欣喜函数, 构建双方主体的感知效用矩阵, 以双方主体的最低可接受水平为约束, 双方主体综合感知效用最大为目标, 构建了考虑双方主体失望-欣喜感知的多目标优化模型, 通过求解模型获得最优的双边匹配结果.本文方法能够有效刻画双方主体在匹配过程中的失望-欣喜感知, 有助于匹配决策者针对现实中的双边匹配问题进行合理决策.在今后的研究中, 将对本文方法进行合理扩展, 使其适用于更加复杂的双边市场情境, 如指标权重全部未知或部分未知的双边匹配环境、具有组合期望的双边匹配环境等.