对同质或相似对象进行效率评价以反映其投入产出比, 是现代组织面临的一项基础管理工作.当被评价对象存在多个输入/输出指标且各指标不确定、关系未知时, 评价工作往往变得复杂^[1].数据包络分析(data envelopment analysis, DEA)作为处理多“输入-输出”评价问题的非参数线性规划技术, 是保障评价对象或决策单元(decision making unit, DMU)相对效率的有效途径^[2-6].

自1978年CHARNES等^[2]首次提出CCR模型以来, 学术界相继给出了BCC^[7-8]、SBM^[9]、BAM^[10]等诸多DEA经典模型.但上述模型只能区分决策单元是否有效，无法进一步对全体对象进行排序、分级^[11].鉴于此, SEXTON等^[12]提出了交叉效率(cross-efficiency)评价方法, 此方法不仅增强了DEA的排序能力, 还可避免CCR模型在自评过程中出现极大化自身效率而贬低其他DMU的弊端.交叉效率的思想源于民主决策：每个决策单元均提供一组体现自身偏好的权重, 再取其均值作为全体认可的公共权重；此权重下的效率即为交叉效率.由于综合了“自评”(self-evaluation)和“他评”(peer-evaluation)2种评价信息, 交叉效率区分DMU优劣的能力更强.但传统交叉方法也存在一些局限：当决策单元具有多组偏好权重时, 所得到的最优效率不唯一. DOYLE等^[13]在SEXTON研究的基础上, 提出了著名的激进型和仁慈型2种策略, 即在令自身效率最大的前提下, 分别最小化以及最大化其他DMU的效率值.值得一提的是, 这2种策略假定自评和他评的偏好权重相等, 而该假设与实际情况往往不符^[14].为此, 学者从不同角度对其进行了改进.如WU等^[15]吸收了合作博弈Shapley值和信息熵的含义并依此分配权重；WANG等^[16]采用多准则决策的有序加权平均算子, 并根据决策者偏好确定交叉效率权重.

交叉效率评价方法已在不同领域得到了较为广泛的应用^{[1, 4]}.实践中, 人们往往需要在激进或仁慈2种策略中选择其一, 而最终得到的效率往往不一致.为克服这一缺陷, WANG等^[17]引入了中立交叉效率(neutral cross-efficiency NCF)评价及相应DEA模型.该策略只关注如何选择一组输入输出权重使自身效率最大化, 而不考虑采用何种态度对待其他决策单元, 从而避开了DMU自评乘子体系不唯一的矛盾^[14].值得注意的是, 李春好等^[11]指出，中立型DEA模型变换过程中存在目标函数的不等价性, 在对DMU排序时, 只能使用未经CCR变换的非线性分式规划模型；这不仅增加了计算量, 且易陷入难以判断所求效率优劣程度的尴尬.

对全体决策单元进行排序是决策评价的最基本要求.某些情况下, 研究相对排序比获得DMU效率值更重要.然而, 当投入产出指标数相对于决策单元自身数较多时, 伪有效决策单元出现的概率会增大^[18-19].鉴于现有方法对DMU排序研究的不足, 本文提出一种新的基于交叉排序矩阵的DMU评价模型.该方法基于以下思想：各个决策单元的相对排序优先自身效率, 故将相对排序作为建模依据.具体地, 首先给出交叉排序矩阵(cross-ranking matrix)的概念, 该矩阵由(中立)交叉效率矩阵转换得到, 每一行反映了被评价单元对其他DMU所做的同行评价；并进一步得到相对排序下各DMU集结后的效率值；然后，根据改进后的Cook-Kress方法^[20]确定每个DMU的最终排序.实证对比分析表明，所提方法概念清晰、计算简便, 具有较强的DMU分级排序能力.

1 交叉效率评价模型

存在n个具有m个投入及s个产出的决策单元DMU_j(j=1, 2, …, n), 且投入和产出值分别记为x_ij (i=1, 2, …, m)和y_rj(r=1, 2, …, s)；其CCR模型为^[2]

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{Max }}\,\,\,\,{\theta _{kk}} = \sum\limits_{r = 1}^s {{u_{rk}}{y_{rk}}} ,{\rm{ }}\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^m {{v_{ik}}{x_{ik}} = 1} ,{\rm{ }}\\ \sum\limits_{r = 1}^s {{u_{rk}}{y_{rj}}} - \sum\limits_{i = 1}^m {{v_{ik}}{x_{ij}}} \leqslant 0,{\rm{ }}\;j = 1,2, \ldots ,n\\ {u_{rk}},{v_{ik}} \geqslant 0,{\rm{ }}r = 1,2, \ldots ,s,{\rm{ }}i = 1,2, \ldots ,m, \end{array} \right. $

(1)

其中, v_ik(i=1, 2, …, m)和u_rk(r=1, 2, …, s)分别为投入、产出的权重, 其最优解记为(v_ik^*, u_rk^*), i=1, 2, …, m r=1, 2, …, s；目标函数$\theta _{kk}^* = \sum\limits_{r = 1}^s {u_{rk}^*{y_{rk}}} $为第k个DMU_k的最优CCR效率, 若θ_kk^*=1，则称DMU_k为DEA有效单元.同理, 其他DMU_j(j≠k)也存在最优解(v_ij^*, u_rj^*)；则${\theta _{kj}} = \sum\limits_{r = 1}^s {u_{rk}^*{y_{rk}}} /\sum\limits_{i = 1}^m {v_{ik}^*{x_{ij}}} $表示DMU_k对DMU_j的同行评价, j=1, 2, …, n, j≠k.

SEXTON等^[12]定义

$ {\overline \theta _j} = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{\theta _{kj}}} $

(2)

为第j个DMU_j的交叉效率.显然, n个DMU互评构成一个交叉效率矩阵Ω =(θ_jk)_n×n(cross-efficiency matrix), 按照θ_j值大小即可对所有决策单元进行排序，见表 1.

中立交叉效率模型仅从所求权重是否最有利于当前被评价DMU效率的视角出发进行选择, 无须考虑对其他DMU的“苛刻”或“友善”态度, 避免出现Doyle模型自评乘子体系的不一致现象.模型如下^[17]：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{Max }}\,\,\,\,\,\delta {\rm{ }}\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\,\,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^m {{v_{ik}}{x_{ik}} = 1} ,{\rm{ }}\\ \sum\limits_{r = 1}^s {{u_{rk}}{y_{rk}} = \theta _{kk}^*} ,\\ \sum\limits_{r = 1}^s {{u_{rk}}{y_{rj}}} - \sum\limits_{i = 1}^m {{v_{ik}}{x_{ij}}} \leqslant 0,{\rm{ }}\;j = 1,2, \ldots ,n;j \ne k,\\ {u_{rk}}{y_{rk}} - \delta \geqslant 0,{\rm{ }}\delta \geqslant 0,r = 1,2, \ldots s,\\ {v_{ik}} \geqslant 0,{\rm{ }}i = 1,2, \ldots m, \end{array} \right. $

(3)

其中, v_ik(i=1, 2, …, m)，u_rk(r=1, 2, …, s)和δ均为决策变量；θ_kk^*为式(1)所求的最优值.

2 DMU交叉排序评价模型

为便于阐述, 先定义决策单元交叉排序矩阵的概念.

定义1 令R =(r_jp)_n×n为DMU的交叉排序矩阵，其中, r_jp为由式(3)得到的中立交叉效率矩阵Ω 中第p列θ_jp的排序值.

得到R =(r_jp)_n×n后, 原有的对DMU“自评”和“他评”交叉效率的集成则转化为对其相对次序的统计.具体地, 对于第j个DMU_j, 令s_jk为其排在第k位的频数(即R 中第j行数值k出现的次数)；则S =(s_jk)_n×n构成所有决策单元的一个相对次序矩阵.不难看出, s_jk在一定程度上反映了DMU_j的优劣程度；即k值(k=1, 2, …)越小出现的次数越多, 则DMU_j越优.因每个DMU可能具有多个排序值, 故根据S =(s_jk)_n×n无法直接对决策单元排序.然而, 若能进一步确定各个序值权重, 即可实现对全体决策单元的排序.

受COOK等^[20]提出的Cook-Kress偏好排序集结模型的启发, 本文构建了一种新的基于交叉排序矩阵S =(s_jp)_n×n的单目标线性规划模型：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{Max }}\,\,\,\,\,{\lambda _j} = \sum\limits_{k = 1}^n {{w_k}\theta^\prime { _{jk}}} {\rm{, }}\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\,\,\,\;\;\sum\limits_{k = 1}^n {{w_k}\theta^\prime { _{jk}} \leqslant 1,\,\,\,\,\,{\rm{ }}j = 1,2, \ldots ,n,} \\ {w_k} - {w_{k + 1}} \geqslant d\left( {k,\varepsilon } \right),\,\,\,\,\,{\rm{ }}k = 1,2, \ldots ,n - 1,{\rm{ }}\\ {w_n} \geqslant d\left( {n,\varepsilon } \right),{\rm{ }} \end{array} \right. $

(4)

其中, $\theta {^\prime _{jk}} = \left\{ {\sum\limits_g^{sjk} {{\theta _{jg}}, {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;\exists g|{r_{jgk}} = k} } \right\}$即DMU_j在矩阵Ω =(θ_jk)_n×n中排在第k位所对应的交叉效率的和位；w_k为决策变量, 表示DMU_j排在第k位的权重位；ε为辨别度参数, 且存在最大值ε_max使得目标函数为1^[21]；ε值根据决策者的偏好设定；d(k, ε)为ε的非递减辨别度函数；约束条件w_k-w_k+1≥d(k, ε), w_n≥d(n, ε)表示相较于第k+1位, 决策者对第k位排名的偏好程度.

由模型(4), 可得到定理1.

定理1 当ε≤ε_max, 式(4)至少存在一个可行解.

证明 不妨设ε>ε_max, 且式(4)存在可行解(w₁, w₂, …w_n)；又式(4)的对偶规划模型为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{Min }}\;\;\;\sum\limits_{j = 1}^n {{x_j}} - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {d(k,\varepsilon ){y_k}} ,\\ {\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\;\;\sum\limits_{j = 1}^n {{x_j}\theta^\prime { _{j1}} - {y_1} \geqslant \theta^\prime{_{i1}}} ,{\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{j = 1}^n {{x_j}\theta^\prime{_{jk}} + {y_{k - 1}} - y_k \geqslant \theta^\prime { _{ik}}} ,{\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;k = 2,3,..,n,{x_j},{y_k} \geqslant 0. \end{array} \right. $

(5)

根据对偶定理的互补松弛性, w₁^*=0, w₂^*=0, …, w_n^*=0为式(5)的一个最优解；又已知ε_max=1时, ${\lambda _j} = \sum\limits_{k = 1}^n {{w_k}\theta {^\prime _{jk}} = 1} $成立, 则式(5)至少存在1个约束条件与其他条件相矛盾；即仅当ε≤ε_max时式(4)存在可行解, 证毕.

对于n个决策单元, 模型(4)需要求解n次, 每次得到一个关于DMU_j的最优值λ_j(j=1, 2, …, n).最后, 根据λ_j(j=1, 2, …, n)值的大小对所有决策单元排序.

综上所述, 基于DMU交叉排序的中立DEA评价步骤为：

步骤1 根据式(1), 得到所有DMU的CCR效率值；

步骤2 根据式(3)建立中立交叉效率模型, 得到DMU的交叉效率矩阵Ω =(θ_jk)_n×n；

步骤3 将矩阵Ω 转化为交叉排序矩阵R , 并进一步得到相对次序矩阵S =(s_jk)_n×n；

步骤4 根据式(4), 建立线性规划模型并求解；

步骤5 根据得到的目标值λ_j对所有决策单元排序.

3 实证分析

高校建设实验教学示范中心是教育部实施“质量工程”的重要环节, 相关部门投入了巨大的人力物力.对实验示范中心进行科学、客观的评价, 对于实现综合效益最大化具有十分积极的意义^[22].

3.1 对象与数据

以福州大学城3所高校：福建师范大学、福州大学和福建工程学院的8个省级实验示范中心为评价对象.已有研究^[22-24]探讨了实验示范中心绩效指标体系的构建问题, 由于该过程涉及不同属性、不同类型的诸多指标, 需对所建议的指标进行取舍.鉴于DEA适用于客观数据分析, 本文选取4个投入指标：占地面积、教师人数、设备总值和开放学时，4个产生指标：学生使用人数、教改与科技立项数、论著成果和就业率(见表 2)，全部为定量指标，以利于客观评价(相关数据源于各中心申报材料及学院网站). 表 2中的各决策单元A_1~A_4依次为福建师范大学经济竞争力实验教学示范中心(DMU1)、先进材料与新能源实验教学中心(DMU2)、艺术与设计实验教学示范中心(DMU3)、地理学实验教学示范中心(DMU4)；B_1~B_3依次为福州大学经济管理教学示范中心(DMU5)、企业经济虚拟仿真实验示范中心(DMU6)、光电信息实验教学示范中心(DMU7)；C_1为福建工程学院电气类专业实验教学中心(DMU8).

3.2 评价过程与方法

采用Excel 2007和Lingo 10.0软件包对各示范中心的效率评价进行测算.由式(1)~(3), 计算得到的中立交叉效率矩阵见表 3.根据第3节所提的DMU交叉排序方法得到各过程的结果，见表 4~表 6.

由交叉排序下各DMU所对应的效率和, 并根据式(4)建立模型.其中, 参数ε和辨别度函数d(k, ε)的设定同文献[21], 即ε=0.017 76, d(k, ε)=ε, k=1, 2, …n.然后, 求解模型得到各决策单元的效率值及排序.

3.3 结果与分析

为便于比较, 依次使用CCR模型、中立交叉效率模型和本文模型, 各模型的结果如图 1所示.

由图 1可知, 各模型的最优DMU基本一致, 均为福建师范大学经济竞争力实验教学示范中心(A_1).但是, 使用CCR模型(蓝线)一共存在7个有效DEA, 仅A_4为CCR无效单位, 这也印证了CCR法排序能力差, 无法实现全体DMU的相对排序；而使用中立交叉效率模型(红线)可有效区分各个DMU的优劣程度.另外, 中立交叉排序模型(绿线)与该模型排列顺序一致, 但得到的各DMU之间离差(相对距离)更大.这是因为中立交叉排序模型强调各DMU间的相对位置差异，而中立交叉效率模型强调的是如何使自身效率值最大, 故所提模型对DMU的区分、排序能力更强.

4 结论

决策单元相对排序是DEA方法研究的重要环节之一^[25].交叉效率评价为进一步区分DMU的优劣提供了可能的解决途径, 综合“自评”和“他评”效率，减少了伪有效DMU个数.但是, 现有理论基础在DMU排序方法上还存在诸多不足.本文基于交叉排序矩阵, 构建了一种新的决策单元全局排序模型.其中, 交叉排序矩阵由现有的中立型效率矩阵的各DMU相对效率序值转换得到；通过计算各次序下DMU的效率和，建立了一种关于DMU相对排序的单目标规模模型.并以福州大学城8个实验教学示范中心为背景, 采用CCR模型、中立交叉效率模型和本文模型进行了实证评价.结果表明，本文模型区分DEA决策单元优劣的能力最强, 克服了现有DEA方法在决策单元排序上的不足.

本研究不仅丰富了DEA排序方法与模型, 而且实现了对福州大学城若干实验示范中心科学、合理的定量评价.较于定性评估, 本方法具有较好的数理基础, 结果更科学、更客观.评价结果及启示有助于高校等相关部门深入分析实验示范中心的投入产出情况, 为进一步优化教学资源配置提供帮助.