0 引言

GALE等^[1]基于学生入学和稳定婚姻匹配提出了双边匹配问题, 证明了稳定匹配的存在性并提出了著名的递延接受“Gale-Shapley”算法, 为双边匹配奠定了理论基石.随后, 双边匹配问题引起了学者们的广泛关注并取得了丰硕的研究成果^[2-19].值得注意的是，2012年诺贝尔经济学奖颁给了研究双边匹配理论和市场机制设计的SHAPLEY和ROTH, 进一步激发了学者对双边匹配的研究热情.

近年来, 基于得分信息和考虑主体心理行为的双边匹配问题引起了学者们的重视^[11-19].在得分匹配研究上^[11-15], 针对完全得分信息的双边匹配问题：乐琦^[11]通过构造满意度测度函数, 建立了以最大化每方主体满意度为目标的匹配优化模型; YUE^[12]提出一种严格完全得分信息下的稳定双边匹配方法; 乐琦^[13]研究了带有主体期望的双边匹配问题, 以主体期望为参照点, 构建基于TODIM理论的双边匹配模型.针对不完全不确定得分信息的双边匹配问题，乐琦^[14]通过将不完全得分信息转化为不完全匹配满意度, 建立了匹配优化模型; 他还将文献[14]的方法推广至不完全不确定得分信息的情形^[15].在行为匹配研究上^[16-19], 针对完全序值信息的双边匹配问题，文献[16]以主体期望序值为参照点, 构建基于累积前景理论的匹配优化模型; 文献[17-18]考虑了主体心理行为因素, 提出一种基于TODIM理论的双边匹配方法; 文献[19]将文献[17]的方法拓展至不确定偏好序的情形.

上述研究丰富、发展并完善了双边匹配理论, 但需要指出的是：目前针对得分信息下带有主体期望的双边匹配研究, 主体期望形式单一, 较少考虑具有多种形式期望的情形.例如，在基于评价得分的婚姻匹配问题中, 男方某主体期望与女方中评价得分不低于某一数值的主体相匹配; 男方某主体期望与女方中评价得分在某一区间内的主体相匹配; 男方某主体期望与女方中评价得分不高于某一数值的主体相匹配.即主体给出的期望形式分别为“不低于某一得分值”“在某一离散区间得分内”和“不高于某一得分值”.因此, 研究得分信息下带有多种形式主体期望的双边匹配问题具有重要的理论和现实意义.鉴于此, 本文针对3种形式主体期望的双边匹配问题, 考虑主体的心理行为因素, 提出一种基于前景理论的双边匹配方法.

1 双边匹配问题的描述

定义1  设S={S_τ：τ=1, 2, …, T}, 其中S_τ和T是正整数, τ₁, τ₂∈{1, 2, …, T}, 若S满足条件：

1) 若τ₁>τ₂, 则S_τ1>S_τ2；

2) 若S_τ1=S_τ2当且仅当τ₁=τ₂, 则称S为一离散得分集.假定S_τ越大, 其所对应的主体排在越前面或越优.

定义2  称S_τ={$ {S_{\bar \tau }}$, ${S_{\bar \tau }} $+1, …, S_τ⁺}为一离散区间得分, 其中S是离散得分集, $ {S_{\bar \tau }}$, S_τ⁺∈S, 且${S_{\bar \tau }} $≤S_τ⁺, 特别地, 当$ {S_{\bar \tau }}$=S_τ⁺时, S_τ退化为得分变量.

在双边匹配问题中, 设X方主体集为X={X₁, X₂, …, X_M}, 其中X_i表示第i个X方匹配主体, i∈I={1, 2, …, M}, M≥2;Y方主体集为Y={Y₁, Y₂, …, Y_N}, 其中Y_j表示第j个Y方匹配主体, j∈J={1, 2, …, N}, N≥2.

定义3^{[1-3, 10]}  设μ：X∪Y→X∪Y上的映射, 若N>M≥2, 对∀X_i∈X, Y_j∈Y, 满足条件：1)μ(X_i)∈Y, μ(Y_j)∈X∪{Y_j}; 2)μ(X_i)=Y_j, μ(Y_j)=X_i, 则称主体X_i和Y_j在μ中匹配, 记为(X_i, Y_j), 称(X_i, Y_j)为μ中的双边匹配主体对.若(X_i, Y_j)是μ中的任意双边匹配主体对, 且满足μ(X_i)≠Y_j′, Y_j′∈Y, Y_j′≠Y_j, μ(Y_j)≠X_i′, X_i′∈X, X_i′≠X_i, 则称μ是一对一双边匹配.特别地, μ(Y_j)=Y_j表示主体Y_j在μ中未匹配.

设S是预先给定的离散得分集, 下面给出双边匹配的基本设置.

设R_i=(R_i1, R_i2, …, R_iN)是X方主体X_i给出的关于Y方主体的完全得分偏好向量, 其中R_ij表示主体X_i给出的关于Y_j的评价得分, R_ij∈S, 且R_ij越大, 表明X_i对Y_j的满意程度越高, e_i是主体X_i的期望得分, 表示主体X_i期望与Y方中评价得分为e_i的某一主体相匹配, e_i∈S; L_j=(L_1j, L_2j, …, L_Mj)是Y方中主体Y_j给出的关于X方主体的完全得分偏好向量, 其中L_ij表示主体Y_j给出的关于X_i的评价得分, L_ij∈S, 且L_ij越大, 表明Y_j对X_i的满意程度越高, f_j是主体Y_j的期望得分, 表示主体Y_j期望与X方中评价得分为f_j的某一主体相匹配, f_j∈S.其中i∈I, j∈J.

本文考虑如下3种形式的主体期望信息：

(Ⅰ)主体X_i(Y_j)期望与Y(X)方中评价得分不低于e_i(f_j)的某一主体相匹配, 此时记e_i$ \buildrel \Delta \over = $e_i′(f_j$ \buildrel \Delta \over = $f_j′);

(Ⅱ)主体X_i(Y_j)期望与Y(X)方中评价得分在区间e_i(f_j)内的某一主体相匹配, 此时记e_i$ \buildrel \Delta \over = $e_i={e_i^-, e_i^-+1, …, e_i⁺}(f_j$ \buildrel \Delta \over = $f_j={f_j^-, f_j^-+1, …, f_j⁺}), 其中e_i(f_j)是离散区间得分;

(Ⅲ)主体X_i(Y_j)期望与Y(X)方中评价得分不高于e_i(f_j)的某一主体相匹配, 此时记e_i$ \buildrel \Delta \over = $e″_i(f_j$ \buildrel \Delta \over = $f″_j).

本文需要解决的问题是：依据双边主体给出的评价得分信息R_ij和L_ij以及主体期望信息e_i和f_j, i∈I, j∈J, 通过一个有效的匹配方法, 建立双边匹配优化模型, 获得双边匹配方案.

2 双边匹配方法 2.1 前景值

在本文的双边匹配问题中, 依据前景理论^[20-21], 将双边主体的期望作为参照点, 通过测度评价得分与参照点之间的感知差异来获得主体的收益和损失, 考虑主体对待收益和损失的不同风险态度, 计算每个主体的前景值.

以主体X_i的期望e_i为参照点, 设评价得分R_ij相对于参照点e_i的损益值为F_ij, 具体为:

针对期望形式(Ⅰ), 此时将e_i′作为参照点, 当R_ij>e_i′时, 主体X_i的心理感知为收益, 且R_ij越大, 主体X_i的收益越大; 当R_ij＜e_i′时, 主体X_i的心理感知为损失, 且R_ij越小, 主体X_i的损失越大; 当R_ij=e_i′时, 主体X_i的心理感知为既无收益也无损失.则R_ij相对于参照点e_i′的损益值F_ij的计算公式为

$ {F_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} \left( {{R_{ij}} - {{e'}_i}} \right)/T,\;\;\;{R_{ij}} > {{e'}_i},\\ 0,\;\;\;\;{R_{ij}} - {{e'}_i},\\ - \left( {{{e'}_i} - {R_{ij}}} \right)/T,\;\;\;{R_{ij}} < {{e'}_i}, \end{array} \right.i \in I,j \in J. $

(1)

针对期望形式(Ⅱ), 此时将e_i={e_i^-, e_i^-+1, …, e_i⁺}作为参照点, 当R_ij>e_i⁺时, 主体X_i的心理感知为损失, 且R_ij越大, 主体X_i的损失越大; 当R_ij∈e_i时, 主体X_i的心理感知为既无收益也无损失; 当R_ij＜e_i^-时, 主体X_i的心理感知为损失, 且R_ij越小, 主体X_i的损失越大.则R_ij相对于参照点e_i的损益值F_ij的计算公式为

$ {F_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} -\left( {{R_{ij}} - e_i^ + } \right)/T,\;\;\;{R_{ij}} > e_i^ + ,\\ 0,\;\;\;\;{R_{ij}} \in {{\bar e}_i},\\ - \left( {{{\bar e}_i} - {R_{ij}}} \right)/T,\;\;\;{R_{ij}} < {{\bar e}_i}, \end{array} \right.i \in I,j \in J. $

(2)

针对期望形式(Ⅲ), 此时将e″_i作为参照点, 当R_ij>e″_i时, 主体X_i的心理感知为损失, 且R_ij越大, 主体X_i的损失越大; 当R_ij＜e″_i, 时, 主体X_i的心理感知为收益, 且R_ij越小, 主体X_i的收益越大; 当R_ij=e″_i时, 主体X_i的心理感知为既无收益也无损失.则R_ij相对于参照点e″_i的损益值F_ij的计算公式为

$ {F_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} - \left( {{R_{ij}} - {{e''}_i}} \right)/T,\;\;\;{R_{ij}} > {{e''}_i},\\ 0,\;\;\;\;{R_{ij}} - {{e''}_i},\\ \left( {{{e''}_i} - {R_{ij}}} \right)/T,\;\;\;{R_{ij}} < {{e''}_i}, \end{array} \right.i \in I,j \in J. $

(3)

考虑主体X_i对待收益和损失的不同风险态度, 评价得分R_ij的前景值V(R_ij)的计算公式为

$ V\left( {{R_{ij}}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{F_{ij}}} \right)^{{\alpha _i}}},\;\;\;{F_{ij}} > 0,\\ 0,\;\;\;\;{F_{ij}} = 0,\\ - {\lambda _i}{\left( { - {F_{ij}}} \right)^{{\beta _i}}},\;\;\;\;{F_{ij}} < 0, \end{array} \right.i \in I,j \in J, $

(4)

其中, 参数α_i, β_i分别是价值函数收益区域和损失区域的凹凸系数^[22], 表示主体X_i对待收益和损失的不同风险态度, α_i, β_i∈(0, 1).参数λ_i是主体X_i的损失规避系数, λ_i>1, 且λ_i越大表明主体X_i的损失规避程度越大^[23].

以主体Y_j的期望f_j为参照点, 设评价得分L_ij相对于参照点f_j的损益值为G_ij, 具体为:

针对期望形式(Ⅰ), 此时将f_j′作为参照点, 当L_ij>f_j′时, 主体Y_j的心理感知为收益, 且L_ij越大, 主体Y_j的收益越大; 当L_ij＜f_j′时, 主体Y_j的心理感知为损失, 且L_ij越小, 主体Y_j的损失越大; 当L_ij=f_j′时, 主体Y_j的心理感知为既无收益也无损失.则L_ij相对于参照点f_j′的损益值G_ij的计算公式为

$ {G_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} \left( {{L_{ij}} - {{f'}_j}} \right)/T,\;\;\;\;{L_{ij}} > {{f'}_j},\\ 0,\;\;\;\;{L_{ij}} = {{f'}_j},\\ - \left( {{{f'}_j} - {L_{ij}}} \right)/T,\;\;\;\;{L_{ij}} < {{f'}_j}, \end{array} \right.i \in I,j \in J. $

(5)

针对期望形式(Ⅱ), 此时将f_j={f_j^-, f_j^-+1, …, f_j⁺}作为参照点, 当L_ij>f_j⁺时, 主体Y_j的心理感知为损失, 且L_ij越大, 主体Y_j的损失越大; 当L_ij∈f_j时, 主体Y_j的心理感知为既无收益也无损失; 当L_ij＜f_j^-时, 主体Y_j的心理感知为损失, 且L_ij越小, 主体Y_j的损失越大.则L_ij相对于参照点f_j的损益值G_ij的计算公式为

$ {G_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} - \left( {{L_{ij}} - f_j^ + } \right)/T,\;\;\;\;{L_{ij}} > f_j^ + ,\\ 0,\;\;\;\;{L_{ij}} = {{\bar f}_j},\\ - \left( {f_j^ - - {L_{ij}}} \right)/T,\;\;\;\;{L_{ij}} < f_j^ - , \end{array} \right.i \in I,j \in J. $

(6)

针对期望形式(Ⅲ), 此时将f″_j视为参照点, 当L_ij>f″_j时, 主体Y_j的心理感知为损失, 且L_ij越大, 主体Y_j的损失越大; 当L_ij=f″_j时, 主体Y_j的心理感知为既无收益也无损失; 当L_ij＜f″_j时, 主体Y_j的心理感知为收益, 且L_ij越小, 主体Y_j的收益越大.则L_ij相对于参照点f″_j的损益值G_ij的计算公式为

$ {G_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} - \left( {{L_{ij}} - {{f''}_j}} \right)/T,\;\;\;\;{L_{ij}} > {{f''}_j},\\ 0,\;\;\;\;{L_{ij}} = {{f''}_j},\\ \left( {{{f''}_j} - {L_{ij}}} \right)/T,\;\;\;\;{L_{ij}} < {{f''}_j}, \end{array} \right.i \in I,j \in J. $

(7)

考虑主体Y_j对待收益和损失的不同风险态度, 评价得分L_ij的前景值V(L_ij)的计算公式为

$ V\left( {{L_{ij}}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{G_{ij}}} \right)^{{{\alpha '}_j}}},\;\;\;\;{G_{ij}} > 0,\\ 0,\;\;\;{G_{ij}} = 0,\\ - {\delta _j}\left( { - {G_{ij}}} \right){{\beta '}_j},\;\;\;{G_{ij}} < 0, \end{array} \right.i \in I,j \in J, $

(8)

其中, 参数α_j′, β_j′分别为价值函数收益区域和损失区域的凹凸系数^[22], 表示主体Y_j对待收益和损失的不同风险态度, α_j′, β_j′∈(0, 1).参数δ_j为主体Y_j的损失规避系数, δ_j>1, 且δ_j越大表明主体Y_j的损失规避程度越大^[23].

2.2 双边匹配优化模型

设x_ij为0-1变量, 当x_ij=0时, 表示主体X_i和Y_j不匹配; 当x_ij=1时, 表示主体X_i和Y_j匹配, 以最大化每方主体的前景值和最小化双边主体前景值的差异, 建立双边匹配多目标优化模型：

$ \max {Z_1} = \sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {V\left( {{R_{ij}}} \right){x_{ij}}} } , $

(9)

$ \max {Z_2} = \sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {V\left( {{L_{ij}}} \right){x_{ij}}} } , $

(10)

$ \min {{Z'}_3} = \sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {\left| {V\left( {{R_{ij}}} \right) - V\left( {{L_{ij}}} \right)} \right|{x_{ij}}} } , $

(11)

$ {\rm s.t.}\;\;\;\sum\limits_{j = 1}^N {{x_{ij}}} \le 1,\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,M, $

(12)

$ \sum\limits_{i = 1}^M {{x_{ij}}} \le 1,\;\;\;\;j = 1,2, \cdots ,N, $

(13)

$ \sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {{x_{ij}} = \min \left\{ {M,N} \right\}} } ,\;\;\;\;{x_{ij}} \in \left\{ {0,1} \right\}. $

(14)

上述模型中, 式(9)表示X方主体的前景值之和最大; 式(10)表示Y方主体的前景值之和最大; 式(11)表示双边主体前景值的差异之和最小; 式(12)表示每个X方主体至多与Y方中一个主体匹配; 式(13)表示每个Y方主体至多与X方中一个主体匹配; 式(14)表示匹配数量约束.

在模型(9)~(14)中，对目标函数Z′₃进行变换, 则该模型可转化为

$ \max {Z_1} = \sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {V\left( {{R_{ij}}} \right){x_{ij}}} } , $

(15)

$ \max {Z_2} = \sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {V\left( {{L_{ij}}} \right){x_{ij}}} } , $

(16)

$ \min {Z_3} = - \sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {\left| {V\left( {{R_{ij}}} \right) - V\left( {{L_{ij}}} \right)} \right|{x_{ij}}} } , $

(17)

$ {\rm s.t.}\;\;\;\sum\limits_{j = 1}^N {{x_{ij}}} \le 1,\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,M, $

(18)

$ \sum\limits_{i = 1}^M {{x_{ij}}} \le 1,\;\;\;\;j = 1,2, \cdots ,N, $

(19)

$ \sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {{x_{ij}} = \min \left\{ {M,N} \right\}} } ,\;\;\;\;{x_{ij}} \in \left\{ {0,1} \right\}. $

(20)

使用极大极小法^[24]求解, 设Z_k^max和X_k^*分别是Z_k在约束条件(18)~(20)下的最大值和对应的最优解, 记Z_k^min=min{Z_k(X₁^*), Z_k(X₂^*), Z_k(X₃^*)}, 设Z_k的隶属度函数为μ_zk, 其计算公式为

$ {\mu _{{z_k}}} = \left\{ \begin{array}{l} 1,\;\;\;\;{Z_k} > Z_k^{\max },\\ \left( {{Z_k} - Z_k^{\min }} \right)/\left( {Z_k^{\max } - Z_k^{\min }} \right),\;\;\;\;Z_k^{\min } \le {Z_k} \le Z_k^{\max },\\ 0,\;\;\;\;{Z_k} < Z_k^{\min }. \end{array} \right. $

令α=min{μ_zk：k=1, 2, 3}, 则多目标优化模型(15)~(20)可转化为以下单目标规划模型：

$ \max \alpha , $

(21)

$ {\rm{s}}{\rm{.}}\;{\rm{t}}{\rm{.}}\;\;\;\;\;{\mu _{{z_k}}} \ge \alpha ,\;\;\;\;k = 1,2,3, $

(22)

$ \sum\limits_{j = 1}^N {{x_{ij}}} \le 1,\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,M, $

(23)

$ \sum\limits_{i = 1}^M {{x_{ij}}} \le 1,\;\;\;\;j = 1,2, \cdots ,N, $

(24)

$ \sum\limits_{i = 1}^M {\sum\limits_{j = 1}^N {{x_{ij}} = \min \left\{ {M,N} \right\}} } ,\;\;\;\;{x_{ij}} \in \left\{ {0,1} \right\}. $

(25)

模型(21)~(25)为离散且可行域非空的0~1整数规划模型, 必存在最优解.

3 实证分析

考虑青年男女婚姻匹配问题, 南京某婚介公司收到5名未婚女士X₁, X₂, X₃, X₄, X₅和7名未婚男士Y₁, Y₂, Y₃, Y₄, Y₅, Y₆, Y₇的求偶信息.女士依据收入、职业、年龄和学历等对男士进行综合评价, 给出7名男士的评价得分信息和期望信息, 如表 1和表 3所示.男士依据外貌、年龄、身高、职业和学历等对女士进行综合评价, 给出5名女士的评价得分信息和期望信息, 如表 2和表 3所示.婚介公司依据双边主体的评价得分信息和期望信息进行决策, 确定双边匹配方案.预先给定的离散得分集为S={S₁=1, S₂=2, S₃=3, S₄=4, S₅=5, S₆=6, S₇=7, S₈=8, S₉=9}, 其中S₁表示最不满意; S₂表示极不满意; S₃表示很不满意; S₄表示不满意; S₅表示一般; S₆表示满意; S₇表示很满意; S₈表示极满意; S₉表示最满意.

为了解决上述匹配问题, 下面给出采用前文方法的计算过程和结果.

以双边主体期望为参照点, 首先依据式(1)~(3)和式(5)~(7)分别计算评价得分R_ij和L_ij相对于参照点e_i和f_j的收益和损失, 其中由女方主体的损益值构成的矩阵为[F_ij]_M×N, 由男方主体的损益值构成的矩阵为[G_ij]_M×N, 具体如下：

$ {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{ij}}} \right]_{M \times N}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {0.000}&{ - 0.444}&{ - 0.222}&{ - 0.111}&{ - 0.556}&{ - 0.333}&{0.111}\\ { - 0.444}&{ - 0.333}&{0.000}&{ - 0.222}&{0.000}&{ - 0.111}&{0.000}\\ { - 0.111}&{0.333}&{0.222}&{0.111}&{0.556}&{0.444}&{0.000}\\ { - 0.111}&{ - 0.111}&{0.000}&{ - 0.222}&{0.000}&{ - 0.333}&{0.000}\\ {0.111}&{0.000}&{ - 0.111}&{ - 0.333}&{0.333}&{ - 0.222}&{0.222} \end{array}} \right), $

$ {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{G}}_{ij}}} \right]_{M \times N}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 0.111}&{0.000}&{0.000}&{ - 0.111}&{0.222}&{0.000}&{ - 0.111}\\ {0.000}&{ - 0.222}&{ - 0.333}&{ - 0.333}&{ - 0.333}&{0.333}&{0.000}\\ {0.000}&{ - 0.111}&{ - 0.222}&{0.000}&{0.111}&{0.222}&{ - 0.111}\\ { - 0.111}&{0.222}&{0.000}&{ - 0.444}&{0.333}&{0.111}&{ - 0.444}\\ {0.000}&{ - 0.333}&{ - 0.111}&{0.111}&{0.000}&{ - 0.111}&{0.000} \end{array}} \right). $

根据文献[21]取α_i=α_j′=β_i=β_j′=0.88, λ_i=δ_j=2.25, i=1, 2, …, 5, j=1, 2, …, 7, 然后依据式(4)和式(8)分别计算评价得分R_ij和L_ij的前景值, 其中由女方主体的前景值构成的矩阵为[V(R_ij)]_M×N, 由男方主体的前景值构成的矩阵为[V(L_ij)]_M×N, 具体如下：

$ {\left[ {\mathit{\boldsymbol{V}}\left( {{R_{ij}}} \right)} \right]_{M \times N}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {0.000}&{ - 1.101}&{ - 0.598}&{ - 0.325}&{ - 1.342}&{ - 0.855}&{0.145}\\ { - 1.101}&{ - 0.855}&{0.000}&{ - 0.598}&{0.000}&{ - 0.325}&{0.000}\\ { - 0.325}&{0.380}&{0.266}&{0.145}&{0.597}&{0.489}&{0.000}\\ { - 0.325}&{ - 0.325}&{0.000}&{ - 0.598}&{0.000}&{ - 0.855}&{0.000}\\ {0.145}&{0.000}&{ - 0.325}&{ - 0.855}&{0.380}&{ - 0.598}&{0.266} \end{array}} \right), $

$ {\left[ {\mathit{\boldsymbol{V}}\left( {{L_{ij}}} \right)} \right]_{M \times N}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} { - 0.325}&{0.000}&{0.000}&{ - 0.325}&{0.266}&{0.000}&{ - 0.325}\\ {0.000}&{ - 0.598}&{ - 0.855}&{ - 0.855}&{ - 0.855}&{0.380}&{0.000}\\ {0.000}&{ - 0.325}&{ - 0.598}&{0.000}&{0.145}&{0.266}&{ - 0.325}\\ { - 0.325}&{0.266}&{0.000}&{ - 1.101}&{0.380}&{0.145}&{ - 1.101}\\ {0.000}&{ - 0.855}&{ - 0.325}&{0.145}&{0.000}&{ - 0.325}&{0.000} \end{array}} \right). $

建立双边匹配多目标优化模型(9)~(14), 采用极大极小法将其转化为模型(21)~(25), 并使用LINGO11.0求解得

$ {x_{11}} = {x_{27}} = {x_{34}} = {x_{43}} = {x_{55}} = 1,其余{x_{ij}} = 0. $

获得的双边匹配方案为：女士X₁和男士Y₁配对, 女士X₂和男士Y₇配对, 女士X₃和男士Y₄配对, 女士X₄和男士Y₃配对, 女士X₅和男士Y₅配对, 男士Y₂, Y₆未匹配.

将本文方法与文献[13]的方法相比较, 得到：

1) 主体期望形式方面：文献[13]的主体期望形式单一, 仅考虑具有不确定得分(离散区间得分)的情形, 因此该方法难以处理具有多种形式主体期望的双边匹配问题; 本文考虑了3种形式的主体期望, 弥补了主体期望形式单一的不足.

2) 双边匹配模型构建方面：本文不仅考虑了最大化每方主体的前景值, 而且考虑了最小化双边主体前景值的差异; 而文献[13]未考虑双边主体前景值的差异.

3) 双边匹配优化模型求解方面：文献[13]使用线性加权法将多目标匹配优化模型转化成单目标规划模型进行求解, 目标权重系数的确定主观性强, 且权重系数的取值不同, 对应的匹配解亦不同; 本文采用极大极小法求解多目标匹配优化模型, 无须确定目标函数的权重系数, 获得的匹配解不仅唯一且更为客观.

4 结语

针对得分信息下带有多种形式主体期望的双边匹配问题, 将前景理论引入双边匹配中, 提出了一种考虑主体心理行为的双边匹配方法.依据前景理论, 以主体期望为参照点, 将双边主体的评价得分信息转化为相对于参照点的损益值, 考虑主体对待风险的不同态度, 计算每个主体的前景值, 建立双边匹配多目标优化模型, 并使用极大极小法进行求解.拓展了双边匹配理论, 为解决得分信息下带有主体期望的双边匹配问题提供了一种新的方法, 具有一定的理论和实际应用价值.