在压缩感知理论中，广义正交匹配追踪(gOMP)算法属于贪婪算法[1-2]，用于解决l0范数的最小化问题.在信道编码中，循环码是线性分组码的一个子类，属于多项式编码，主要用于数据存储和传输等通信领域[3].
本文借助无噪声条件下的压缩感知理论[4-5]，采用校验矩阵H作为测量矩阵，伴随式S作为测量信号y，建立了循环码差错图案E重构的压缩感知模型.通过gOMP算法，正确重构了差错图案E，然后对差错图案E与收码R进行模2加运算，计算码字C的估值.
通过gOMP算法，对(7，1)、(7，3)、(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码进行仿真实验，通过误码率和码字C估值的成功率，分析gOMP算法的译码效果.实验结果表明，采用gOMP算法能够实现对(7，1)、(7，3)、(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码的译码.
1 差错图案E的压缩感知模型压缩感知观测模型分为无噪声干扰和有噪声干扰2种[4-5].本文借助无噪声干扰的压缩感知模型实现差错图案E的重构，假设x是稀疏信号，A为测量矩阵，y为测量信号，则y可以表示为[4-5]:
| $ y = \mathit{\boldsymbol{A}} \cdot x, $ | (1) |
假设已知测量矩阵A和测量信号y，如式(2) 所示[4-5]通过求解‖x‖0范数的最小值求得稀疏信号x.
| $ \mathop {\min }\limits_x {\left\| x \right\|_0}\;{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\mathit{\boldsymbol{A}} \cdot x = y. $ | (2) |
式(2) 为无噪声干扰的压缩感知模型，可以通过贪婪算法求解‖x‖0的最小值，例如广义正交匹配追踪gOMP算法[1-2].
1.1 差错图案E差错图案E等于发码C减去收码R，在二元域内，差错图案E等于发码C与收码R的模2加之和[3]：
| $ \mathit{\boldsymbol{E}} = \mathit{\boldsymbol{C}} \oplus \mathit{\boldsymbol{R}}, $ | (3) |
在随机差错条件下，通常将差错图案E看作一维稀疏信号，由于发码C与校验矩阵H正交，其內积为0，式(3) 右乘以校验矩阵H的转置矩阵HT，由于收码R和HT的內积定义为伴随式S，所以伴随式S与差错图案E的关系为[3]
| $ {\mathbf{S}^{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{H}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{E}}^{\rm{T}}}. $ | (4) |
由于式(4) 为欠定方程，若每次译码都求解式(4)，运算量大.在最大似然译码算法中，通过查找标准阵列译码表得到伴随式S与差错图案E的对应关系.
1.2 求解差错图案E的线性规划模型根据最佳概率译码的准则，选取概率最大的差错图案E作为其估值，通过BSC二进制对称信道可以验证，重量最轻的差错图案E出现的概率最大[3]，所以选取重量最轻的差错图案E作为其估值，将式(4) 作为求解差错图案E的约束方程，将求解重量最轻的差错图案E作为目标函数，得到求解差错图案E的线性规划模型[6-7]:
| $ \mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{E}} f = w\left( \mathit{\boldsymbol{E}} \right)\;\;{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\;H \cdot {\mathit{\boldsymbol{E}}^{\rm{T}}} = {\mathbf{S}^{\rm{T}}}. $ | (5) |
在二元域内，差错图案E的元素为0或1，差错图案E的重量最轻等效为差错图案E的l0范数‖E‖0最小，式(5) 的目标函数可以用求解‖E‖0范数最小值代替：
| $ \mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{E}} {\left\| \mathit{\boldsymbol{E}} \right\|_0}\;\;{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{H}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{E}}^{\rm{T}}} = {\mathbf{S}^{\rm{T}}}, $ | (6) |
比较式(6) 与式(2) 发现，若将差错图案E作为一维稀疏信号，伴随式S作为测量信号，校验矩阵H作为测量矩阵，可将式(6) 定义为重构差错图案E的压缩感知模型.
与文献[8-10]提供的方法相比，采用压缩感知理论和gOMP算法重构差错图案E不需要查找标准阵列译码表，运算量小，计算过程简单.
2 测量矩阵若把校验矩阵H作为测量矩阵，伴随式S作为测量信号，实现差错图案E的重构.校验矩阵H的稀疏度Spark(H)与差错图案E的l0范数‖E‖0之间的关系为[11]
| $ {\left\| \mathit{\boldsymbol{E}} \right\|_0} < {\rm{spark}}\left( \mathit{\boldsymbol{H}} \right)/2, $ | (7) |
| $ \mathit{\boldsymbol{H}}{\rm{ = }}\left[{{\mathit{\boldsymbol{I}}_{n-k}}\left| \mathit{\boldsymbol{P}} \right.} \right], $ | (8) |
其中，子矩阵P的列向量的最小重量为dmin－1，dmin为码字C的最小距离.
定理1 校验矩阵H的稀疏度Spark为非零码字的最小重量，即循环码码字的最小距离dmin.
证明 在循环码中，校验矩阵H的稀疏度Spark表示校验矩阵H中线性相关的最小列数，码字C与校验矩阵H正交，所以码字C与校验矩阵H的乘积为0，即[15]
| $ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{C}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}} = \left[{{c_{n-1}}, \cdots, {c_1}, {c_0}} \right]{\left[{{h_{n-1}}, \cdots, {h_1}, {h_0}} \right]^{\rm{T}}} = \\ \;\;\;\;\;{c_{n - 1}} \cdot {h_{n - 1}} + \cdots + {c_1} \cdot {h_1} + {c_0} \cdot {h_0} = 0. \end{array} $ | (9) |
线性分组码非零码字的最小重量为码字的最小距离dmin，码字C的码元cn-1, …, c1, c0至少有dmin个非零元素，式(9) 至少有dmin个非零项，所以校验矩阵H至少有dmin个列线性相关，dmin为校验矩阵H的稀疏度Spark.
定理2 差错图案E重构的必要条件是差错图案E的l0范数小于或等于纠错能力t.
证明 线性分组码的纠错能力t为
| $ t = {\rm{INT}}\left[{\frac{{{d_{\min }}-1}}{2}} \right], $ | (10) |
由于校验矩阵H的稀疏度Spark(H)与循环码码字的最小距离dmin相等，差错图案E的l0范数与校验矩阵H的稀疏度Spark(H)的关系如式(7) 所示，所以有
| $ {\left\| \mathit{\boldsymbol{E}} \right\|_0} \le t. $ | (11) |
能使式(11) 成立的差错图案E就是式(6) 最稀疏的解.
采用循环码的校验矩阵H作为测量矩阵，借助Matlab函数生成校验矩阵H，首先借助函数pol=cyclpoly(n, k)求出生成多项式g(x)，然后借助函数H, G]=cyclgen(n, pol)生成校验矩阵H，(7，1)、(7，3) 和(7，4) 循环码的校验矩阵H如下:
| $ {\mathit{\boldsymbol{H}}_{71}} = \left[{\begin{array}{*{20}{l}} {1000001}\\ {0100001}\\ {0010001}\\ {0001001}\\ {0000101}\\ {0000011} \end{array}} \right], {\mathit{\boldsymbol{H}}_{73}} = \left[{\begin{array}{*{20}{l}} {1000110}\\ {0100011}\\ {0010111}\\ {0001101} \end{array}} \right], {\mathit{\boldsymbol{H}}_{74}} = \left[{\begin{array}{*{20}{l}} {1001110}\\ {0100111}\\ {0011101} \end{array}} \right]. $ | (12) |
当循环码的校验矩阵H作为测量矩阵时，可以求出(7，1) 循环码的校验矩阵H的稀疏度Spark为7，由式(7)，计算其差错图案E的l0范数最大值为3，根据定理1，其码字的最小距离dmin=7，根据式(10)，(7，1) 循环码的纠错能力t为3，所以式(11) 成立.同理可求得：(7，3) 循环码的校验矩阵H的稀疏度Spark为4，其差错图案E的l0范数最大值为1，(7，3) 循环码的纠错能力t为1，所以式(11) 成立；(7，4) 循环码的校验矩阵H的稀疏度Spark为3，其差错图案E的l0范数最大值为1，(7，4) 循环码的纠错能力t为1，所以式(11) 成立.
3 广义正交匹配追踪(gOMP)算法将广义正交匹配追踪(gOMP)算法[1-2]应用于差错图案E的重构，根据差错图案E的压缩感知模型，分析gOMP算法在重构差错图案E时的计算过程和译码效率.
3.1 gOMP算法重构差错图案E的计算过程 3.1.1 输入数据校验矩阵H作为测量矩阵，伴随式S作为测量信号y，差错图案E的稀疏度为K，最大原子选择个数为s.
3.1.2 计算过程1) 参数初始化：求测量矩阵的行数和列数，测量信号y作为初始化残差r0，索引集合Λ0为空集，按照索引集合Λ0选出的矩阵A0为空集，迭代次数l=1.
2) 计算残差rl=〈rl-1, aj〉, 1≤j≤N，并按降序排列，按从大到小的顺序选取s个残差，记录s个残差对应的矩阵A的列数j组成列序号集合J0.
3) 更新索引集合Λl=Λl-1∪J0和索引集合Λl选出的矩阵Al=Al-1∪aj(j∈J0).
4) 计算y=Al·θl的最小二乘解，计算稀疏信号的估值：
| $ {\hat \theta _1} = \arg \mathop {\min }\limits_{{\theta _l}} \left\| {y - {\mathit{\boldsymbol{A}}_l}{\theta _l}} \right\| = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}_l}{\;^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_l}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_l}^{\rm{T}}y. $ |
5) 更新残差
6) 判断残差rl的值是否小于预设的条件，若小于则跳出循环，或判断迭代次数l+1后是否大于稀疏度K，若大于则结束循环.
3.1.3 输出稀疏信号的估值gOMP算法通过增加原子选择的个数s，提高对稀疏信号的重构效率，在文献[1-2]中，对gOMP、OMP、ROMP、CoSaMP、StOMP算法的重构效率进行了比较，显示gOMP算法对稀疏信号重构具有优越性.
3.2 差错图案E重构以(15，7) 循环码为例，采用gOMP算法重构差错图案E.(15，7) 循环码的校验矩阵H如式(13) 所示.根据收码R和校验矩阵H，计算伴随式S=R·HT，把伴随式S作为测量信号，校验矩阵H作为测量矩阵，通过gOMP算法，重构(15，7) 循环码的差错图案E，如表 1所示.差错图案E也可以通过求解欠定线性方程组S=E·HT得到，求解(15，7) 循环码的差错图案E的线性方程组如式(13) 所示，若(15，7) 循环码的纠错位数取1，将重量为0或1的差错图案E代入线性方程组式(13)，求出伴随式S，列出标准阵列译码表，与表 1比较，可以验证gOMP算法重构的差错图案E是正确的.同理，也可以采用gOMP算法正确重构(7，1)、(7，3)、(7，4) 和(31，21) 循环码的差错图案E.
| $ \begin{array}{l} {H_{157}} = \left[{\begin{array}{*{20}{l}} 1&0&0&0&0&0&0&0&1&1&0&1&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0&1&1&0&1&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&1&1&0&1&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&1&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0&0&0&1&1&0&1&1&1&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&0&0&1&1&0&1&1&1\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&1&1&1&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&1&0&1&0&0&0&1 \end{array}} \right].\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{s_7} = {e_{14}} + {e_6} + {e_5} + {e_3}, }\\ {{s_6} = {e_{13}} + {e_5} + {e_4} + {e_2}, }\\ {{s_5} = {e_{12}} + {e_4} + {e_3} + {e_1}, }\\ {{s_4} = {e_{11}} + {e_3} + {e_2} + {e_0}, }\\ {{s_3} = {e_{10}} + {e_6} + {e_5} + {e_3} + {e_2} + {e_1}, }\\ {{s_2} = {e_9} + {e_5} + {e_4} + {e_2} + {e_1} + {e_0}, }\\ {{s_1} = {e_8} + {e_6} + {e_5} + {e_4} + {e_1} + {e_0}, }\\ {{s_0} = {e_7} + {e_6} + {e_4} + {e_0}.} \end{array}} \right. \end{array} $ | (13) |
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表 1 gOMP算法重构(15，7) 循环码的差错图案E的结果 Table 1 gOMP algorithm reconstructing the(15, 7) cyclic code error pattern E results |
采用gOMP算法，实现(7，1)、(7，3)、(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码的纠错，分别采用各自的校验矩阵H作为测量矩阵，分析gOMP算法对循环码的纠错能力以及gOMP算法中原子选择的个数s对循环码纠错位数的影响.
4.1 gOMP算法的循环码纠错能力以(7，1)、(7，3)、(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码为例，测试gOMP算法对循环码的纠错能力，把差错位数从0逐渐增加，能被100%重构的收码的最大差错位数为其纠错能力t，因为测量信号长度M=n-k是伴随式S的长度，采用校验矩阵H作为测量矩阵，伴随式S作为测量信号，差错位数为差错图案E中1的个数.实验结果如图 1所示，可以看出goMP算法对差错位数为3的(7，1) 循环码的纠错能力为100%，对差错位数为1的(7，3)、(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码的纠错能力为100%.同时可看出gOMP算法对(7，3)、(15，7) 和(31，21) 循环码中差错位数为2和3的收码也有一定的纠错能力.对差错位数为2的(15, 7) 循环码的纠错能力为60%.(7，3) 和(31，21) 循环码的纠错能力近似相同.
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图 1 测量信号长度M对循环码纠错能力的影响 Fig. 1 Comparison of the error correcting capability of the cyclic code by different measuring signal length M |
在每次迭代时，gOMP算法计算传感矩阵A各列与残差的内积，并按照降序排列，依次选择s个最大的残差来更新索引集合，提高了gOMP算法的重构效率.以(7，1) 循环码为例，选择s=2，3，4，测试gOMP算法对(7，1) 循环码的纠错能力，如图 2所示，可以看出s=2时，能纠正3位错误，s=3时，能纠正2位错误，s=4时，能纠正1位错误，所以原子个数s=2为最佳选择，能够实现(7，1) 循环码的纠错能力为3.同理，可以验证：(7，4) 循环码在s=3时，对差错位数为1的收码重构的成功率为100%.(7，3) 循环码在s=1，2，3，4时，对差错位数为1的收码重构的成功率为100%，当s=4时，对差错位数为2的收码的纠错能力为30%.(15，7) 循环码在s=1，2，3，4时，对差错位数为1的收码重构的成功率为100%，当s=3时，对差错位数为2的收码的纠错能力为80%.(31，21) 循环码在s=1，2，3，4时，对差错位数为1的收码重构的成功率为100%，当s=1时，对差错位数为2的收码的纠错能力为35%.
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图 2 原子选择个数s对(7，1) 循环码纠错能力的影响(M=6，N=7) Fig. 2 Comparison of the error correction capability of the (7, 1) cyclic codes by different selecting atoms number s(M=6, N=7) |
按照如图 3所示的线性分组码的译码步骤设计仿真实验[3]，首先产生N个信息元组m，信息元组m与生成矩阵G相乘生成码字C，对码字C进行2PSK调制，已调信号通过高斯白噪声信道AWGN，信噪比SNR取值范围为0~12 dB，在每个信噪比SNR点，选取N=50 000个m信息分组.在接收端，对接收信号进行2PSK解调，得到收码R，借助校验矩阵H计算伴随式S.将伴随式S作为测量信号，校验矩阵H作为测量矩阵，通过广义正交匹配追踪gOMP算法，重构差错图案E，重构的差错图案E与收码R进行模2加运算，计算码字C的估值.
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图 3 线性分组码的编译码过程 Fig. 3 Encoding and decoding process of the linear block codes |
借助Matlab软件编写程序，实现gOMP算法和最大似然译码算法对循环码译码的仿真实验，本文以(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码为例，从译码的误码率和码字C重构的成功率两方面比较gOMP算法和最大似然译码算法的译码效果[16]，译码的误码率如图 4所示，码字C重构的成功率如图 5所示.
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图 4 循环码译码的误码率比较 Fig. 4 Comparison of the bit error rate(BER) of decoding the cyclic code |
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图 5 循环码译码的码字C估值成功率比较 Fig. 5 Comparison of the code word C estimating success rate of the decoding of the cyclic code |
从图 4中可以看出，在同一个译码算法中，(15，7) 循环码译码的误码率最低.当信噪比SNR相同时，最大似然算法译(15，7) 循环码的误码率最低，当信噪比SNR为5.2 dB时，其误码率低于10-5.gOMP算法译(31，21) 循环码的误码率最高，当信噪比SNR为7.6 dB时，其误码率低于10-5.采用最大似然算法和gOMP算法译(7，4) 循环码的误码率近似相同，当信噪比SNR为6.6 dB时，其误码率低于10-5.gOMP算法译(15，7) 与(7, 4) 循环码的误码率近似，当信噪比SNR为6.6 dB时，其误码率低于10-5.从图 5中可以看出，最大似然算法译(15，7) 循环码的码字C重构的成功率最高，在信噪比SNR为5.8 dB时，码字C重构的成功率趋于100%.采用最大似然算法和gOMP算法译(7，4) 循环码的码字C重构成功率近似，当信噪比SNR为7.2 dB时，码字C重构的成功率趋于100%.gOMP算法译(15，7) 与(7，4) 循环码码字C重构成功率近似，当信噪比SNR为7.2 dB时，码字C重构的成功率趋于100%.当信噪比相同时，gOMP算法译(31，21) 循环码的码字C重构成功率低于最大似然算法；当信噪比SNR为6.6 dB时，最大似然算法重构(31，21) 循环码的成功率趋于100%；当信噪比SNR为8 dB时，gOMP算法重构(31，21) 循环码的成功率趋于100%.gOMP算法和最大似然算法重构(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码的差错率和成功率如表 2所示.
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表 2 循环码重构的差错率和成功率 Table 2 The bit error rate and the success rate of the decoding of the cyclic code |
通过分析仿真实验结果得到：采用gOMP算法能够实现(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码的译码.与最大似然译码算法相比，在循环码译码的成功率趋于100%的条件下，gOMP算法译码时的信噪比SNR比最大似然算法大1.4 dB.但gOMP算法是根据伴随式S和校验矩阵H重构差错图案E的，从而计算出码字C的估值，不需要查找标准阵列译码表，即可实现对(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码的译码.
6 结语借助无噪声干扰压缩感知的观测模型，提出了求解差错图案E的线性规划模型和压缩感知模型.采用gOMP算法实现(7，1)、(7，3)、(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码的译码，提出了校验矩阵H作为测量矩阵的构成形式和2个定理.采用伴随式S作为测量信号，通过gOMP算法重构差错图案E，对E与收码R进行模2加运算，计算发码C的估值.借助(7，1)、(7，3)、(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码，分析了gOMP算法对循环码的纠错能力及gOMP算法中原子选取个数s与纠错位数的关系.通过译码的误码率和码字C重构的成功率，比较分析了gOMP算法和最大似然译码算法对(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码的译码效果.实验结果表明：采用gOMP算法能够实现对(7，1)、(7，3)、(7，4)、(15，7) 和(31，21) 循环码的译码.
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