具阻尼项的二阶非线性中立型微分方程的振动准则

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.01.002

具阻尼项的二阶非线性中立型微分方程的振动准则

曾云辉^,^,¹^,², 孙文杰^,^,², 罗李平¹, 俞元洪³

1.衡阳师范学院数学与统计学院，湖南衡阳 421002

2.衡阳师范学院南岳学院数学与计算科学系，湖南衡阳 421008

3.中国科学院数学与系统科学研究院, 北京 100190

Oscillation criteria of second order nonlinear neutral differential equations with damping terms

ZENG Yunhui^,^,¹^,², SUN Wenjie^,^,², LUO Liping¹, YU Yuanhong³

1.College of Mathematics and Statistics，Hengyang Normal University，Hengyang 421002，Hunan Province，China

2.Department of Mathematics and Computational Sciences，Nanyue College of Hengyang Normal University，Hengyang 421008，Hunan Province，China

3.Academy of Mathematics and System Science，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0009-0006-0878-7938，E-mail：939512986@qq.com.

收稿日期: 2022-03-07 修回日期: 2023-03-26 接受日期: 2023-04-03

基金资助:

湖南省自然科学基金-衡阳联合基金项目.  2022JJ50137.  2022JJ90021
湖南省教育厅科学基金一般项目.  23C0234.  21A0440
湖南省双一流应用特色学科项目.  湘教通［2018］469
湖南省科技创新计划项目.  2016TP1020
湖南省大学生创新创业训练计划项目.  S202312659011
衡阳市指导性计划项目.  202121014364
衡阳师范学院学科专项.  xkzx21002

Received: 2022-03-07 Revised: 2023-03-26 Accepted: 2023-04-03

作者简介 About authors

曾云辉（1978—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-2620-2738，男，硕士，副教授，主要从事微分方程定性理论研究，E-mail：chj8121912@sina.com. , E-mail：chj8121912@sina.com

摘要

建立了二阶非线性中立型阻尼微分方程 $[a (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} {(t)]}^{'} + b (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t) + q (t) {|x (σ (t))|}^{β - 1} x (σ (t)) = 0$ 的若干振动准则，其中 $z (t) = x (t) + p (t) x (τ (t))$ 。改进、推广和统一了已有文献的相关结果，并通过实例说明了所得准则的广泛应用效果。

关键词： 振动准则 ; 阻尼方程 ; 中立型微分方程 ; Emden-Fowler方程 ; 半线性微分方程

Abstract

The purpose of this paper is to establish some new oscillation criteria for the second-order nonlinear neutral differential equations with damping terms which have the form $[a (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} {(t)]}^{'} + b (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t) + q (t) {|x (σ (t))|}^{β - 1} x (σ (t)) = 0 ，$ where $z (t) = x (t) + p (t) x (τ (t))$ . Our theorems improve, extent and unify a number of related results reported in the literature. The wide application of the obtained criteria is illustrated via examples.

Keywords： oscillation criterion ; damped equation ; neutral differential equation ; Emden-Fowler equation ; half-linear differential equation

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本文引用格式

曾云辉, 孙文杰, 罗李平, 俞元洪. 具阻尼项的二阶非线性中立型微分方程的振动准则. 浙江大学学报(理学版)[J], 2024, 51(1): 5-13 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.01.002

ZENG Yunhui, SUN Wenjie, LUO Liping, YU Yuanhong. Oscillation criteria of second order nonlinear neutral differential equations with damping terms. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2024, 51(1): 5-13 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.01.002

0　引言

考虑二阶中立型非线性阻尼微分方程

[a (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} {(t)]}^{'} + b (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t) + q (t) {|x (σ (t))|}^{β - 1} x (σ (t)) = 0 ，

（1）

其中， $t \geq t_{0},$ $a (t), b (t), p (t), q (t), τ (t), σ (t) \in$ $C ([t_{0}, \infty), R) ，$ $α > 0 ，$ $β > 0$ 且

z (t) = x (t) + p (t) x (τ (t)) 。

（2）

总假设下列条件成立：

$(C_{1})$ $a (t) > 0 ，$ $a^{'} (t) + b (t) \geq 0,$ $q (t) \geq 0 ，$ $q (t)$ 不恒等于0；

(C_{2})

R (t) = \int_{t_{0}}^{t} A^{- \frac{1}{α}} (s) d s \to \infty, t \to \infty,

其中

A (t) = a (t) e x p [\int_{t_{0}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s] 。

设 $T_{x} = m i n {τ (T), σ (T)},$ $T \geq t_{0}$ ，若存在 $x (t) \in C ([T_{x}, \infty), R)$ ，使得

a (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t) \in C^{1} ([T_{x,} \infty), R),

且在 $[T_{x} ， \infty)$ 上满足式（1），则称函数 $x (t)$ 为式（1）的解。如果式（1）的一个解在区间 $[t_{0} ， \infty)$ 上有任意大的零点，则称式（1）振动，否则，称式（1）非振动。如果式（1）的所有非常数解都振动，则称式（1）振动。

近年来，二阶中立型微分方程解的振动性研究备受关注，并取得了重要结果^［1-22］，但大多是无阻尼方程的振动结果，阻尼方程的相关结果较少^{［3，7，17］}。此外，这些结果是在 $p (t)$ 有界的条件下得到的，未考虑 $t \to \infty$ ，即 $p (t) \to \infty$ 的情况。TUNC等^［17］研究了当 $α = β = 1$ ，即式（1）为线性二阶中立型方程时的振动性。GRACE等^［7］研究了当 $α = β$ ，即式（1）为半线性二阶中立型阻尼方程时的振动准则。BOHNER等^［3］给出了当 $α = 1 ， β > 0$ ，即式（1）为二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程时的振动定理。本文首要目的是建立式（1）对任意的 $α > 0$ 和 $β > 0$ 成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果。

当 $p (t)$ 为有界函数时，文献［1-6，9-16，18-22］给出了式（1）各种特例的振动准则。本文第2个目的是通过不同的方法导出 $x (t)$ 和 $z (t)$ 之间的函数关系，给出式（1）的振动定理，改进已有文献的结果。

对于式（1）在 $p (t) = 0$ ， $b (t) = 0$ 和 $α = β$ 时的特例

[a (t) {|y^{'} (t)|}^{α - 1} y^{'} {(t)]}^{'} + q (t) {|y (t)|}^{α - 1} y (σ (t)) = 0,

（3）

文献［8］介绍了当 $σ (t) = t$ 时式（3）经典的Kneser振动准则。

定理1 设

\underset{t \to \infty}{l i m i n f} R^{α + 1} (t) a^{\frac{1}{α}} (t) q (t) > {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1}

，

其中，当 $t \to \infty$ 时， $R (t) = \int_{t_{0}}^{t} a^{- \frac{1}{α}} (s) d s \to \infty,$ 当 $σ (t) = t$ 时，式（3）振动。

同时，文献［8］将定理1中的 $σ (t) = t$ 改进为 $σ (t) \leq t$ ，得到

定理2 设

\underset{t \to \infty}{l i m i n f} R^{α} (σ (t)) R (t) a^{\frac{1}{α}} (t) q (t) > {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1}

，

则式（3）振动。

本文第3个目的是进一步将文献［8］的结果推广至半线性中立型阻尼微分方程

[a (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} {(t)]}^{'} + b (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t) + q (t) {|x (σ (t))|}^{α - 1} x (σ (t)) = 0 ，

（4）

其中， $z (t) = x (t) + p (t) x (τ (t))$ 。

下文均假设函数不等式最终成立，不失一般性，仅处理方程的最终正解。

1　 $p (t)$ 有界的振动结果

假设：

(C_{3})

0 \leq p (t) \leq p_{0} < \infty,

p_{0}

为常数；

(C_{4})

τ (t) \leq t,

τ^{'} (t) > 0,

σ^{'} (t) > 0,

\underset{t \to \infty}{l i m} τ (t) = \underset{t \to \infty}{l i m} σ (t) = \infty 。

引理1 设 $x (t)$ 为式（1）的最终正解，则 $z^{'} (t) > 0$ 。

证明设 $x (t)$ 为式（1）的最终正解，则存在 $t_{1} \geq t_{0} ，$ 使得当 $t \geq t_{1}$ 时，有 $x (t) > 0,$ $x (τ (t)) > 0$ 和 $x (σ (t)) > 0 ，$ 故由式（1）和式（2），可得 $z (t) > 0$ 且

[a (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t)]' + b (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t) = - q (t) {|x (σ (t))|}^{β - 1} x (σ (t)) \leq 0,

即

[a (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} {(t)]}^{'} + b (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t) \leq 0,

t \geq t_{1},

故

{\{e x p [\int_{t_{1}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s] a (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t)\}}^{'} \leq 0,

t \geq t_{1} 。

（5）

因此， $e x p [\int_{t_{1}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s] a (t) {|z^{'} (t)|}^{α - 1} z^{'} (t)$ 非增且最终不变号，故 $z^{'} (t)$ 在 $[t_{2}, \infty)$ ， $t_{2} \geq t_{1}$ 上不变号。可能存在2种情况：

(i)

z^{'} (t) > 0

，

t \geq t_{2}

；

(i i)

z^{'} (t) < 0,

t \geq t_{2} 。

下证情况 $(i i)$ 不可能成立。设 $z^{'} (t) < 0,$ $t \geq t_{2}$ ，令

A (t) = a (t) e x p [\int_{t_{1}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s],

（6）

则由式（5），知存在常数 $C > 0$ ，使得

- A (t) [- z^{'} {(t)]}^{α} \leq - A (t_{2}) [- z^{'} (t_{2} {)]}^{α} = - C < 0,

t \geq t_{2}

，

即

z^{'} (t) \leq - C^{\frac{1}{α}} A^{- \frac{1}{α}} (t),

t \geq t_{2} 。

（7）

从 $t_{2}$ 到 $t$ 积分，可得

0 < z^{'} (t) \leq z^{'} (t_{2}) - C^{\frac{1}{α}} \int_{t_{2}}^{t} A^{- \frac{1}{α}} (s) d s,

t \geq t_{2} 。

令 $t \to \infty,$ 由 $(C_{1})$ ，得 $z (t) \to - \infty,$ 与 $z (t) > 0$ 矛盾。

证毕。

引理2^［5］设 $λ > 0$ ， $D > 0$ ，则

C u - D u^{\frac{λ + 1}{λ}} \leq \frac{λ^{λ}}{{(λ + 1)}^{λ + 1}} \frac{C^{λ + 1}}{D^{λ}} 。

引理3 设 $σ (t) \leq t,$ $x (t)$ 为式（1）的最终正解，令

u (t) = \frac{A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}{z^{β} (σ (t))},

（8）

则

u^{'} (t) + Q (t) + \frac{λ m σ^{'} (t)}{A^{\frac{1}{λ}} (θ (t))} u^{\frac{λ + 1}{λ}} (t) \leq 0,

（9）

其中， $λ = m i n {α, β},$ $0 < m \leq 1$ 为常数，且

θ (t) = \{\begin{array}{l} σ (t), α \leq β ， \\ t, α > β ， \end{array}

Q (t) = \frac{q (t)}{(1 + p_{0})^{β}} e x p [\int_{t_{0}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s] 。

（10）

证明设 $x (t)$ 为式（1）的最终正解，则由引理l，知 $z^{'} (t) > 0$ ，故 $z (t)$ 为增函数。由式（1），可得

z (t) \leq x (t) + p_{0} x (τ (t)) 。

（11）

令 $x (s) = m a x {x (t), x (τ (t))},$ 其中 $τ (t) \leq s \leq t$ 。设当 $t \geq t_{2} \geq t_{1}$ 时， $τ (t) \geq t_{1}$ 。由式（11）及 $z (t)$ 是增函数，可得 $z (s) \leq z (t) \leq (1 + p_{0}) x (s)$ ，因此

x (s) \geq \frac{z (s)}{1 + p_{0}}

或

x (t) \geq \frac{z (t)}{1 + p_{0}},

t \geq t_{2} 。

（12）

由引理1和式（12），式（1）可改写为

{a (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}^{'} + b (t) [z^{'} {(t)]}^{α} + \frac{q (t)}{(1 + p_{0})^{β}} z^{β} (σ (t)) \leq 0,

（13）

乘以 $e x p [\int_{t_{0}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s]$ ，可得

{A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}^{'} + Q (t) z^{β} (σ (t)) \leq 0 。

（14）

联合式（8）和式（14），可得

u^{'} (t) \leq - Q (t) - A (t) [z^{'} {(t)]}^{α} \frac{β z^{'} (σ (t)) σ^{'} (t)}{z^{β + 1} (σ (t))},

t \geq t_{2} 。

（15）

考虑2种情况：

$(i)$ $α \leq β$ ，由式（14），知 $A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}$ 非增，因为 $σ (t) \leq t$ ，所以

A (t) [z^{'} {(t)]}^{α} \leq A (σ (t)) [z^{'} (σ {(t))]}^{α},

即

z^{'} (σ (t)) \geq {[\frac{A (t)}{A (σ (t))}]}^{\frac{1}{α}} z^{'} (t) 。

（16）

联合式（15）和式（16），可得

\begin{array}{l} u^{'} (t) \leq - Q (t) - \frac{β σ^{'} (t) A (t) [z^{'} {(t)]}^{α + 1}}{z^{β + 1} (σ (t))} {[\frac{A (t)}{A (σ (t))}]}^{\frac{1}{α}} = \\ - Q (t) - \frac{β σ^{'} (t) z^{\frac{β}{α} - 1} (σ (t))}{A^{\frac{1}{α}} (σ (t))} u^{\frac{α + 1}{α}} (t) 。 \end{array}

令 $m_{α} = m i n {z^{\frac{β - α}{α}} (σ (t_{2})), 1}$ 。注意到 $z^{\frac{β - α}{α}} (σ (t)) \geq m_{α}$ ， $t \geq t_{2},$ 可得

u (t) \leq - Q (t) - \frac{α m_{α} σ^{'} (t)}{A^{\frac{1}{α}} (σ (t))} u^{\frac{α + 1}{α}} (t)

。（17）

$(i i)$ $α > β$ ，由式（14），得 ${A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}^{'} \leq 0$ 。再由 $(C_{1})$ ，即 $a^{'} (t) + b (t) \geq 0$ ，可得 $z^{″} (t) \leq 0$ ，故 $z^{'} (t) \leq z^{'} (σ (t))$ 。因此，式（15）可改写为

u^{'} (t) \leq - Q (t) - \frac{β σ^{'} (t) A (t) [z^{'} {(t)]}^{α + 1}}{z^{β + 1} (σ (t))} = - Q (t) - \frac{β σ^{'} (t) [z^{'} {(t)]}^{1 - \frac{α}{β}}}{A^{\frac{1}{β}} (σ (t))} u^{\frac{β + 1}{β}} (t) 。

（18）

注意到， $z^{'} (t)$ 是减函数，令 $m_{β} = m i n {[z^{'} (t_{2} {)]}^{1 - \frac{α}{β}}, 1}$ ，则 $(z^{'} {(t))}^{1 - \frac{α}{β}} \geq m_{β}$ ， $t \geq t_{2}$ 。由式（18），可得

u^{'} (t) \leq - Q (t) - \frac{β m_{β} σ^{'} (t)}{A^{\frac{1}{β}} (t)} u^{\frac{β + 1}{β}} (t) 。

（19）

所以，式（17）和式（19）均可改写为

u^{'} (t) \leq - Q (t) - \frac{λ m σ^{'} (t)}{A^{\frac{1}{λ}} (θ (t))} u^{\frac{λ + 1}{λ}} (t)

，

t \geq t_{2}

，（20）

其中， $λ =$ $m i n {α, β}$ ，且

m = m i n {m_{α}, 1, m_{β}} 。

（21）

证毕。

引理4 设在式（1）中， $σ (t) > t$ ， $x (t)$ 为式（1）的最终正解，令

v (t) = \frac{A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}{z^{β} (t)},

（22）

则

v^{'} (t) + Q (t) + \frac{λ M}{A^{\frac{1}{λ}} (t)} v^{\frac{λ + 1}{λ}} (t) \leq 0,

（23）

其中， $0 < M \leq 1$ 为常数。

证明设 $x (t)$ 为式（1）的最终正解，由引理3的证明，得到式（14）。又由引理1，知 $z^{'} (t) > 0$ 及 $σ (t) > t,$ 则

{A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}^{'} + Q (t) z^{β} (t) \leq 0 。

（24）

注意到，式（14）和式（24）的差别仅在于用 $z^{β} (t)$ 替换 $z^{β} (σ (t))$ ，因此，后续证明与引理3相同，此证略。

证毕。

定理3 设 $(C_{1}) ~$ $(C_{4})$ 成立，若存在 $p (t) \in C^{1} ([t_{0,} \infty), R^{+}),$ 使得当 $σ (t) \leq t$ 时，有

\int_{t_{0}}^{\infty} \{p (t) Q (t) - \frac{A (θ (t)) [p^{'} {(t)]}^{λ + 1}}{{(λ + 1)}^{λ + 1} [m p (t) σ^{'} {(t)]}^{λ}}\} d t = \infty ；

（25）

当 $σ (t) > t$ 时，有

\int_{t_{0}}^{\infty} \{p (t) Q (t) - \frac{A (t) [p^{'} {(t)]}^{λ + 1}}{{(λ + 1)}^{λ + 1} [M p {(t)]}^{λ}}\} d t = \infty

，（26）

其中， $0 < m, M \leq 1$ 均为常数，则对任意的 $α > 0,$ $β > 0,$ 式（1）振动。

证明设 $x (t)$ 为式（1）的最终正解，且 $σ (t) \leq t$ ，则由引理3，式（9）成立。用 $ρ (t)$ 乘以式（9），再从 $t_{2}$ 到 $t$ 积分，可得

\begin{array}{l} \int_{t_{2}}^{t} ρ (s) Q (s) d s \leq - \int_{t_{2}}^{t} ρ (s) u^{'} (s) d s - \int_{t_{2}}^{t} ρ (s) \frac{λ m σ^{'} (s)}{A^{\frac{1}{λ}} (θ (s))} u^{\frac{λ + 1}{λ}} (s) d s = \\ ρ (t_{2}) u (t_{2}) - ρ (t) u (t) + \\ \int_{t_{2}}^{t} [ρ^{'} (s) u (s) - ρ (s) \frac{λ m σ^{'} (s)}{A^{\frac{1}{λ}} (θ (s))} u^{\frac{λ + 1}{λ}} (s)] d s ， \end{array}

（27）

对右端积分的被积函数，由引理2，有

\int_{t_{2}}^{t} ρ (s) Q (s) d s \leq ρ (t_{2}) u (t_{2}) + \int_{t_{2}}^{t} \frac{A (θ (s)) [ρ^{'} {(s)]}^{λ + 1}}{{(λ + 1)}^{λ + 1} [m ρ (s) σ^{'} {(s)]}^{λ}} d s, t \geq t_{2} ，

当 $t \to \infty$ 时，其与式（25）矛盾。

当 $σ (t) > t$ 时，利用引理4，可得式（23）。用 $ρ (t)$ 乘以不等式（23），再从 $t_{2}$ 到 $t$ 积分，可得

\int_{t_{2}}^{t} ρ (s) Q (s) d s \leq ρ (t_{2}) v (t_{2}) - ρ (t) v (t) + \int_{t_{2}}^{t} [ρ^{'} (s) v (s) - ρ (s) \frac{λ M}{A^{\frac{1}{λ}} (t)} v^{\frac{λ + 1}{λ}} (s)] d s 。

（28）

由引理2，可得

\int_{t_{2}}^{t} ρ (s) Q (s) d s \leq ρ (t_{2}) v (t_{2}) + \int_{t_{2}}^{t} \frac{A (s) [ρ^{'} {(s)]}^{λ + 1}}{{(λ + 1)}^{λ + 1} [M ρ {(s)]}^{λ}} d s,

t \geq t_{2} ，

当 $t \to \infty$ 时，其与式（26）矛盾。

证毕。

注1 定理3关于 $σ (t) \leq t$ 的结论改进了文献［2，9］的结果。在文献［2］中，当 $q_{0} > 5.443 81$ 时，

{[y (t) + \frac{1}{2} y (\frac{1}{2} t)]}^{″} + \frac{q_{0}}{t_{2}} y (\frac{1}{3} t) = 0

（29）

振动。在文献［9］中，当 $q_{0} > 1.588 56$ 时，式（29）振动。对式（25），取 $ρ (t) = t,$ 使得当 $q_{0} > 1.125$ 时，式（29）振动。定理3在以下4个方面推广了文献［9］的结果： $(i)$ $σ (t) > t$ ； $(i i)$ $1 \leq p (t) \leq p_{0}$ ； $(i i i)$ $b (t) \neq 0,$ 即有阻尼项； $(i v)$ $α \neq β$ 。式（1）不限于 $α = β,$ 即半线性情况，也适用于 $α = 1$ ， $β > 0,$ 即Emden-Fowler方程的情况，此外，定理3也推广和改进了文献［9，16］的结果。

在定理3中，取 $ρ (t) = 1$ ，可得

推论1（Leighton型振动准则）设

\int_{t_{0}}^{\infty} Q (t) d t = \infty,

（30）

其中， $Q (t) = \frac{q (t)}{(1 + p_{0})^{β}} e x p [\int_{t_{0}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s] ，$ 则式（1）振动。

注2 推论1将二阶线性微分方程

[r (t) x^{'} {(t)]}^{'} + q (t) x (t) = 0,

t \geq t_{0}

（31）

的Leighton振动条件 $^{[23]}$ ：

\int_{t_{0}}^{\infty} \frac{1}{r (t)} d t = \infty,

\int_{t_{0}}^{\infty} q (t) d t = \infty

推广至二阶非线性中立型阻尼微分方程，推广和改进了文献［1］的定理4，并放宽了条件，同时改进了文献［3-4，6，20］的定理2.1。

例1 考虑Emden-Fowler阻尼时滞微分方程

\frac{d}{d t} [\frac{1}{\sqrt[]{t}} x^{'} (t)] + \frac{1}{2 t \sqrt[]{t}} x^{'} (t) + \frac{1}{\sqrt[]{t}} (\frac{2 + c o s t}{2 t}) x^{β} (\frac{t}{2}) s g n x (\frac{t}{2}) = 0,

（32）

其中，

a (t) = \frac{1}{\sqrt[]{t}} ，

b (t) = \frac{1}{2 t \sqrt[]{t}} ，

p (t) = 0 ，

σ (t) = \frac{t}{2},

σ^{'} (t) = \frac{1}{2} > 0,

q (t) = \frac{1}{\sqrt[]{t}} (\frac{2 + c o s t}{2 t}) ，

β > 1

，　

α = 1

。

由推论1，知对任意的 $β > 0$ ，式（31）的每个解都是振动的。

而文献［3］利用定理2.1证明了对任意的 $β > 1$ ，式（32）的每个解均振动或者渐近趋向于零，从而易证条件 $(C_{2})$ 和式（30）成立，因此，推论1改进了文献［3］的定理2.1。

例2 考虑二阶线性中立型阻尼微分方程

\frac{1}{t} [z^{'} {(t)]}^{'} + \frac{1}{t^{2}} z^{'} (t) + \frac{q_{0}}{t^{3}} x (λ_{2} t) = 0

，

t \geq 1,

（33）

其中，

z (t) = x (t) + p (t) x (λ_{1} t),

0 \leq p (t) \leq p_{0} < \infty ，

λ_{1} \in (0,1) ，

λ_{2} \geq 1 ，

α = β = 1,

a (t) = \frac{1}{t},

b (t) = \frac{1}{t^{2}} ，

q (t) = \frac{q_{0}}{t^{3}} ，

q_{0} > 0 ，

τ (t) = λ_{1} t ，

σ (t) = λ_{2} t,

A (t) = a (t) e x p [\int_{1}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s] = 1 ，

Q (t) = \frac{q (t)}{(1 + p_{0})^{β}} e x p [\int_{t_{1}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s] = \frac{q_{0}}{(1 + p_{0}) t^{2}},

因此，式（33）可化为二阶中立型Euler方程

[x (t) + p (t) x (λ_{1} {t)]}^{″} + \frac{q_{0}}{(1 + p_{0}) t^{2}} x (λ_{2} t) = 0,

t \geq 1 ，

（34）

由于式（33）不满足推论1的条件，且 $α = β = 1$ ，所以 $M = 1$ ，取 $p (t) = t ，$ 式（26）可改写为

\int_{1}^{\infty} [\frac{q_{0}}{(1 + p_{0}) t} - \frac{1}{4 t}] d t = \int_{1}^{\infty} (\frac{q_{0}}{1 + p_{0}} - \frac{1}{4}) \frac{1}{t} d t = \infty 。

（35）

若

\frac{q_{0}}{(1 + p_{0})} > \frac{1}{4},

（36）

则式（35）成立。若 $p_{0} = 0,$ 则式（34）可改写为

[x {(t)]}^{″} + \frac{q_{0}}{t^{2}} x (λ_{2} t) = 0,

（37）

式（36）可改写为 $q_{0} > \frac{1}{4},$ 式（37）振动是精确的。由于振动条件式（36）对式（34）成立，在文献中是首次出现。因此，例1改进了文献［17］的结果。

下面给出式（5）的Kneser型振动准则。

定理4 设 $(C_{1}) ~ (C_{4})$ 成立，当 $σ (t) \leq t$ 时，有

\underset{t \to \infty}{l i m i n f} R^{α + 1} （ σ (t) ） A^{\frac{1}{α}} （ σ (t) ） \frac{Q (t)}{σ^{'} (t)} > {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1} 。

（38）

当 $σ (t) > t$ 时，有

\underset{t \to \infty}{l i m i n f} R^{α + 1} (t) A^{\frac{1}{α}} (t) Q (t) > {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1} ，

（39）

则式（5）振动。

证明注意到式（1）与式（5）的区别在于 $α = β$ 。因此，只需证明当 $α = β$ 时，式（38）可保证式（25）成立，式（39）可保证式（26）成立。

假设式（38）成立，则存在 $ε > 0$ ，使得对一切充分大的 $t$ ，有

R^{α + 1} （ σ (t) ） A^{\frac{1}{α}} （ σ (t ）) \frac{Q (t)}{σ^{'} (t)} > {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1} + ε ，

（40）

两端同乘以 $\frac{σ^{'} (t)}{R （ σ (t) ） A^{\frac{1}{α}} （ σ (t) ）}$ ，可得

R^{α} （ σ (t) ） Q (t) - {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1} \frac{σ^{'} (t)}{R (σ (t)) A^{\frac{1}{α}} (σ (t))} > ε \frac{σ^{'} (t)}{R (σ (t)) A^{\frac{1}{α}} (σ (t))} 。

（41）

从 $t_{0}$ 到 $\infty$ 积分，可得

\int_{t_{0}}^{\infty} [R^{α} （ σ （ t ） ） Q （ t ） - {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1} \times \frac{σ^{'} (t)}{R (σ (t)) A^{\frac{1}{α}} (σ (t))}] d t = \infty,

（42）

此外，当 $α = β$ 时，有 $λ = α, m = 1, Q (t) = σ (t) 。$ 对式（25），取 $ρ (t) = R^{α} (σ (t))$ ，可得式（42），即当 $α = β$ 时，式（41）成立。其次，当 $σ (t) > t$ 时，用类似的方法可由式（39）推得式（26）。

证毕。

例3 考虑二阶半线性中立型微分方程

\begin{array}{l} {| [x (t) + P (t) x (λ_{1} {t)]}^{'} |^{α - 1} [x (t) + P (t) x (λ_{1} {t)]}^{'}}^{'} + \\ \frac{β}{t^{α + 1}} {|x (λ_{2} t)|}^{α - 1} x (λ_{2} t) = 0, t \geq t_{0}, \end{array}

（43）

其中，

α \geq 1, β > 0, λ_{1} \in (0,1), λ_{2} \geq λ_{1} ，

\begin{matrix} a (t) = 1, b (t) = 0, 0 \leq P (t) \leq P_{0} < \infty, \\ q (t) = \frac{β}{t^{α + 1}}, τ (t) = λ_{1} t, σ (t) = λ_{2} t 。 \end{matrix}

由定理4，可得 $A (t) = 1, R (t) = t - t_{0}, Q (t) = \frac{β}{(1 + P_{0})^{α} t^{α + 1}}$ 。由式（39），若

β > {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1} (1 + P_{0})^{α},

（44）

则式（43）振动。

在文献［16］中，若 $α \geq 1$ ，且

β > {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1} \frac{2^{α - 1}}{λ_{1}^{α}} (1 + \frac{P_{0}^{α}}{λ_{1}}),

（45）

则式（43）振动。

注意到，当 $λ_{1} \to 0$ 时，式（44）右端有界而式（45）右端无界，故定理4优于文献［16］的定理3.4。

注3 定理4推广了定理1和定理2。将文献［8］的Kneser型振动定理从时滞微分方程推广至中立型微分方程。定理4给出的是中立项系数 $p (t)$ 有界的振动结果。

2　 $p (t)$ 无界的振动结果

假设：

$(C_{5})$ $p (t) > 1$ 最终满足；

$(C_{6})$ $τ (t) > t, τ^{'} (t) > 0, g (t) \equiv τ^{- 1} （ σ (t)),$ $g^{'} (t) > 0, \underset{t \to \infty}{l i m} τ (t) = \underset{t \to \infty}{l i m} σ (t) = \infty,$ $τ^{- 1}$ 是 $τ$ 的逆函数。

引理5 设 $σ (t) \leq τ (t),$ $x (t)$ 为式（1）的最终正解。令

ξ (t) = \frac{A (t) (z^{'} {(t))}^{α}}{z^{β} (g (t))},

（46）

则

ξ^{'} (t) + Q_{*} (t) + \frac{λ K g^{'} (t)}{A^{\frac{1}{λ}} (θ_{1} (t))} ξ^{\frac{λ + 1}{λ}} (t) \leq 0,

（47）

其中，

Q_{*} (t) = q (t) P_{*}^{β} (σ (t)) e x p [\int_{t_{0}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s],

（48）

P_{*} (t) = \frac{1}{p (τ^{- 1} (t))} [1 - \frac{1}{p (τ^{- 1} (τ^{- 1} (t)))}],

（49）

λ = m i n \{α, β\},

θ_{1} (t) = \{\begin{array}{l} g (t), α \leq β ， \\ t, α > β ， \end{array}

$0 < K \leq 1$ 为常数。

证明设 $x (t)$ 为式（1）的最终正解。由引理 $1$ ，可得 $z^{'} (t) > 0$ ，即 $z (t)$ 是增函数，由假设得

x (t) = \frac{1}{p (τ^{- 1} (t))} [z (τ^{- 1} (t)) - x (τ^{- 1} (t))] = \frac{z (τ^{- 1} (t))}{p (τ^{- 1} (t))} - \frac{1}{p (τ^{- 1} (t))} [\frac{z (τ^{- 1} (τ^{- 1} (t)))}{p (τ^{- 1} (τ^{- 1} (t)))} - \frac{x (τ^{- 1} (τ^{- 1} (t)))}{p (τ^{- 1} (τ^{- 1} (t)))}] \geq \frac{z (τ^{- 1} (t))}{p (τ^{- 1} (t))} - \frac{z (τ^{- 1} (τ^{- 1} (t)))}{p (τ^{- 1} (t)) p (τ^{- 1} (τ^{- 1} (t)))} 。

（50）

因为 $τ (t) > t$ 且 $τ (t)$ 是增函数，所以 $τ^{- 1} (t) > τ^{- 1} （ τ^{- 1} (t) ）,$ 于是 $z （ τ^{- 1} (t) ） > z (τ^{- 1} (τ^{- 1} (t))) 。$ 由式（49）和式（50），可得 $x (t) \geq P_{*} (t) z (τ^{- 1} (t))$ 。由 $(C_{6})$ ，可得

x （ σ (t) ） \geq P_{*} (σ (t)) z (g (t)) 。

（51）

因为 $σ (t) \leq τ (t)$ ，所以 $τ^{- 1} （ σ (t) ） \leq t$ 或 $g (t) \leq t 。$ 因此，由式（1），可得

{a (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}^{'} + b (t) [z^{'} {(t ）]}^{α} + q (t) P_{*}^{β} （ σ (t) ） z^{β} （ g (t) ） \leq 0,

（52）

两端同乘以 $e x p [\int_{t_{0}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s]$ ，可得

{A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}^{'} + Q_{*} (t) z^{β} (g (t)) \leq 0 。

（53）

注意到，式（46）的 $ξ (t)$ 与式（8）的 $u (t)$ 类似，式（53）与式（14）类似。因此，可用推导式（9）的方法推导式（47），过程略。

证毕。

引理6 设 $σ (t) \geq τ (t)$ ， $x (t)$ 为式（1）的最终正解。令

η (t) = \frac{A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}{z^{β} (t)},

（54）

则

η^{'} (t) + Q_{*} (t) + \frac{λ L}{A^{\frac{1}{λ}} (t)} η^{\frac{λ + 1}{λ}} (t) \leq 0,

（55）

其中， $0 < L \leq 1$ 为常数。

证明因 $σ (t) \geq τ (t)$ ，故 $τ^{- 1} (σ (t)) \equiv g (t) > t$ ，由式（1）、式（52）和式（53），可得

{a (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}^{'} + b (t) [z^{'} {(t)]}^{α} + q (t) P_{*}^{β} (σ (t) z^{β} (t)) \leq 0

，（56）

(A (t) (z^{'} {(t))}^{α})^{'} + Q_{*} (t) z^{β} (t) \leq 0 。

（57）

其余证明类似于引理 $5$ ，过程略。

证毕。

定理5 设 $(C_{1}) (C_{2}) (C_{5}) 和 (C_{6})$ 成立，若存在 $ρ (t) \in C^{1} ([t_{0}, \infty), R^{+})$ ，使得当 $σ (t) \leq τ (t)$ 时，有

\int_{t_{0}}^{\infty} \{ρ (t) Q_{*} (t) - \frac{A （ θ_{1} (t) ） [ρ^{'} {(t)]}^{λ + 1}}{{(λ + 1)}^{λ + 1} [K ρ (t) g^{'} {(t)]}^{λ}}\} d t = \infty,

（58）

当 $σ (t) \geq τ (t)$ 时，有

\int_{t_{0}}^{\infty} \{ρ (t) Q_{*} (t) - \frac{A (t) [ρ^{'} {(t)]}^{λ + 1}}{{(λ + 1)}^{λ + 1} {[L ρ (t)]}^{λ}}\} d t = \infty,

（59）

则对任意的 $α > 0, β > 0$ ，式（1）都是振动的。

证明设 $x (t)$ 为式（1）的最终正解，由引理1，得 $z^{'} (t) > 0 。$ 因为 $σ (t) \leq τ (t)$ ，所以 $τ^{- 1} （ σ (t ） = g (t) ） \leq t 。$ 令

ξ (t) = \frac{A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}{z^{β} (g (t))}, t \geq t_{2} \geq t_{1},

（60）

则由引理5，可得

ξ^{'} (t) + Q_{*} (t) + \frac{λ K g^{'} (t)}{A^{\frac{1}{λ}} （ θ_{1} (t) ）} ξ^{\frac{λ + 1}{λ}} (t) \leq 0, t \geq T \geq t_{2} 。

（61）

两端同乘以 $ρ (t)$ ，并从 $T$ 到 $t$ 积分，可得

\begin{array}{l} \int_{T}^{t} ρ (s) Q_{*} (s) d s \leq - \int_{T}^{t} ρ (s) ξ^{'} (s) d s - \int_{T}^{t} ρ (s) \frac{λ K g^{'} (s)}{A^{\frac{1}{λ}} （ θ_{1} (s) ）} ξ^{\frac{λ + 1}{λ}} (s) d s = \\ ρ (T) ξ (T) - ρ (t) ξ (t) + \int_{T}^{t} [ρ^{'} (s) ξ (s) - ρ (s) \frac{λ K g^{'} (s)}{A^{\frac{1}{λ}} （ θ_{1} (s) ）} ξ^{\frac{λ + 1}{λ}} (s)] d s 。 \end{array}

（62）

由引理2，可得

\int_{T}^{t} ρ (s) Q_{*} (s) d s \leq ρ (T) ξ (T) + \int_{T}^{t} \frac{A （ θ_{1} (s) ） [ρ^{'} {(s)]}^{λ + 1}}{{(λ + 1)}^{λ + 1} [K ρ (s) g^{'} {(s)]}^{λ}} d s, t \geq T 。

（63）

令 $t \to \infty$ ，可得式（63）与式（58）矛盾。

现考虑 $σ (t) \geq τ (t) 。$ 利用引理 $6$ ，令

η (t) = \frac{A (t) [z^{'} {(t)]}^{α}}{z^{β} (t)},

（64）

则

η^{'} (t) + Q_{*} (t) + \frac{λ L}{A^{\frac{1}{λ}} (t)} η^{\frac{λ + 1}{λ}} (t) \leq 0 。

（65）

两端同乘以 $ρ (t)$ ，并从 $T$ 到 $t$ 积分，可得

\begin{array}{l} \int_{T}^{t} ρ (s) Q_{*} (s) d s \leq - \int_{T}^{t} ρ (s) η^{'} (s) d s - \int_{T}^{t} ρ (s) \frac{λ L}{A^{\frac{1}{λ}} (s)} η^{\frac{λ + 1}{λ}} (s) d s = \\ ρ (T) η (T) - ρ (t) η (t) + \int_{T}^{t} [ρ^{'} (s) η (s) - \frac{λ L ρ (s)}{A^{\frac{1}{λ}} (s)} η^{\frac{λ + 1}{λ}} (s)] d s 。 \end{array}

（66）

由引理2，可得

\int_{T}^{t} ρ (s) Q_{*} (s) d s \leq ρ (T) η (T) + \int_{T}^{t} \frac{A (t) [ρ^{'} {(s)]}^{λ + 1}}{{(λ + 1)}^{λ + 1} {[L ρ (s)]}^{λ}} d s, t \geq T 。

（67）

令 $t \to \infty$ ，可得式（67）与式（59）矛盾。

证毕。

注4 定理3建立了当 $p (t)$ 有界时式（1）的振动准则。与已有文献的结果有2点不同： $(i)$ 采用本文方法得到的结果更准确； $(i i)$ 本文考虑了已有文献未考虑的阻尼项。定理5建立了当 $p (t)$ 无界时式（1）的振动准则，包括 $t \to \infty$ ，即 $p (t) \to \infty$ 的情况，而已有文献并未涉及，除文献［17］考虑了二阶线性中立型阻尼微分方程，但该方程是当 $α = β = 1$ 时本文方程的特例。此外，文献［17］建立的函数

\begin{array}{l} ψ (t) = \frac{1}{P (τ^{- 1} (t))} \times \\ [1 - \frac{1}{P (τ^{- 1} (τ^{- 1} (t)))} \frac{τ^{- 1} (τ^{- 1} (t))}{τ^{- 1} (t)}] \end{array}

（68）

存在问题。例如，文献［17］证明了

z^{″} (t) + \frac{1}{t} z^{'} (t) + t^{2} x (\frac{t}{2}) = 0, t \geq 1

（69）

是振动的，其中 $z (t) = x (t) + 16 x (\frac{t}{4}),$ 但如果考虑 $z (t) = x (t) + 4 x (\frac{t}{4}),$ 则 $p (t) = 4, τ (t) = \frac{t}{4},$ $τ^{- 1} (t) =$ $4 t, τ^{- 1} （ τ^{- 1} (t) ） = 16 t$ ，代入式（68），可得 $ψ (t) =$ $\frac{1}{4} (1 - \frac{1}{4} \frac{16 t}{4 t}) = 0 。$ 因此，不能证明式（69）是振动的。

下面给出定理5的应用。

例4 设 $1 < β < 2$ ，考虑Emden-Fowler中立型阻尼方程

\frac{d}{d t} [\frac{1}{\sqrt[]{t}} z^{'} (t)] + \frac{1}{2 t \sqrt[]{t}} z^{'} (t) + \frac{2 + c o s t}{\sqrt[]{t}} {|x (4 t)|}^{β} s g n x (4 t) = 0, t \geq 1,

（70）

其中，

z (t) = x (t) + t x (2 t), α = 1, 1 < β < 2

，

\begin{matrix} a (t) = \frac{1}{\sqrt[]{t}}, b (t) = \frac{1}{2 t \sqrt[]{t}}, q (t) = \frac{2 + c o s t}{\sqrt[]{t}}, \\ t_{0} = 1, λ = 1, τ (t) = 2 t, τ^{- 1} (t) = \frac{t}{2}, \end{matrix}

σ (t) = 4 t,

g (t) τ^{- 1} （ σ (t) ） = 2 t > t, p (t) = t,

P_{*} (t) = \frac{1}{p （ τ^{- 1} (t) ）} [1 - \frac{1}{p （ τ^{- 1} （ τ^{- 1} (t) ） ）}] = \frac{2}{t} (1 - \frac{4}{t}) \geq \frac{1}{t}, t \geq 8 。

因此，

\begin{array}{l} Q_{*} (t) = q (t) P_{*}^{β} （ σ (t) ） e x p [\int_{t_{0}}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s] \geq \\ \frac{2 + c o s t}{4^{β}} \frac{1}{t^{β}}, A (t) = 1 。 \end{array}

（71）

现验证式（59）。设 $T \geq 8$ 充分大，取 $ρ (t) = t$ ，有

\int_{T}^{\infty} \{ρ (t) Q_{*} (t) - \frac{A (t) [ρ^{'} {(t)]}^{2}}{4 L ρ (t)}\} d t \geq \int_{T}^{\infty} (\frac{2 + c o s t}{4^{β}} \frac{1}{t^{β - 1}} - \frac{1}{4 L t}) d t = \infty,

故由定理5，知式（70）振动。

在定理5中，取 $ρ (t) = 1$ ，有

推论2（Leighton型振动准则）设

\int_{t_{0}}^{\infty} Q_{*} (t) d t = \infty,

（72）

则式（1）振动。

例5 对式（70），设 $β = 1 ，$ 利用推论 $2$ ，易证式（70）振动。式（71）可写为 $Q_{*} (t) \geq \frac{2 + c o s t}{4} \frac{1}{t} 。$ 因此，式（72）成立，故当 $β = 1$ 时，式（70）振动。

下面考虑二阶半线性中立型阻尼方程式（5）的Kneser型振动准则。考虑 $p (t)$ 无界，可得

定理6 设 $(C_{1}) (C_{2}) (C_{5})$ 和 $(C_{6})$ 成立，当 $σ (t) \leq τ (t)$ 时，有

\underset{t \to \infty}{l i m i n f} R^{α + 1} (g (t)) A^{\frac{1}{α}} (g (t)) \frac{Q_{*} (t)}{g^{'} (t)} > {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1} ，

（73）

当 $σ (t) > τ (t)$ 时，有

\underset{t \to \infty}{l i m i n f} R^{α + 1} (t) A^{\frac{1}{α}} (t) Q_{*} (t) > {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1},

（74）

则式（5）振动。

证明由于定理5和定理6分别与定理3和定理4类似，证明方法也类似，故此证略。

例6 考虑二阶半线性中立型阻尼方程

\begin{array}{l} {[\frac{1}{t} φ_{α} (z^{'} (t))]}^{'} + \frac{1}{t^{2}} φ_{α} （ z^{'} (t) ） + \frac{q_{0}}{t^{2}} φ_{α} [x (\frac{t}{2})] = 0, \\ t \geq 1, \end{array}

（75）

其中，

z (t) = x (t) + t x (2 t)

，

α = β > 0, a (t) = \frac{1}{t},

$b (t) = \frac{1}{t^{2}}, q (t) = \frac{q_{0}}{t^{2}},$ $q_{0}$ 为正常数，

τ (t) = 2 t,

τ^{- 1} (t) = \frac{t}{2},

σ (t) =

\frac{t}{2},

g (t) = τ^{- 1} （ σ (t) ） = \frac{t}{4} < t,

p (t) = t,

P_{*} (t) = [1 - \frac{1}{p （ τ^{- 1} （ τ^{- 1} (t) ） ）}] = \frac{2}{t} (1 - \frac{4}{t}) \geq \frac{1}{t},

t > 8,

Q_{*} (t) = q (t) P_{*}^{α} （ σ (t)) e x p [\int_{1}^{t} \frac{b (s)}{a (s)} d s] \geq \frac{q_{0}}{t} {(\frac{2}{t})}^{α} = \frac{2^{α} q_{0}}{t^{α + 1}}, A (t) = 1 。

下面验证式（72）。因为

R^{α + 1} （ g (t) ） A^{\frac{1}{α}} （ g (t) ） \frac{Q_{*} (t)}{g^{'} (t)} \geq {(\frac{t}{4} - 1)}^{α + 1} \frac{4 \cdot 2^{α}}{t^{α + 1}} q_{0},

所以，若

q_{0} > 2^{α} {(\frac{α}{α + 1})}^{α + 1},

（76）

则式（73）成立，利用定理6，知对任意的 $α > 0$ ，式（75）都是振动的。

注5 定理5、Leighton型振动准则和Kneser型振动准则都是新的。例4~例6也是文献中的其他结果不能适用的。当 $p (t)$ 有界时， $x (t)$ 与 $z (t)$ 的关系式也是新的。本文部分填补了二阶中立型阻尼微分方程振动理论的空隙。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2024.01.002

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Oscillation theorems for second order nonlinear neutral delay differential equations

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Oscillation theorems for second order superlinear neutral differential equations

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Oscillation theorems for second order quasilinear neutral functional differential equations

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[本文引用: 7]

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[本文引用: 1]

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Oscillation criteria for second order Emden-Fowler functional differential equations of neutral type

［J］. Journal of Inequalities and Applications， 2016， 2016（1）： 328. DOI：10.1186/s13660-016-1268-9

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Oscillation of second order Emden-Fowler neutral delay differential equations

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[本文引用: 1]

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Oscillation theorems for second order neutral differential equations

2011

... 近年来，二阶中立型微分方程解的振动性研究备受关注，并取得了重要结果^［1-22］，但大多是无阻尼方程的振动结果，阻尼方程的相关结果较少^{［3，7，17］}.此外，这些结果是在

p (t)

有界的条件下得到的，未考虑

t \to \infty

，即

p (t) \to \infty

的情况.TUNC等^［17］研究了当

α = β = 1

，即式（1）为线性二阶中立型方程时的振动性.GRACE等^［7］研究了当

α = β

，即式（1）为半线性二阶中立型阻尼方程时的振动准则.BOHNER等^［3］给出了当

α = 1 ， β > 0

，即式（1）为二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程时的振动定理.本文首要目的是建立式（1）对任意的

α > 0

和

β > 0

成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果. ...

... 当

p (t)

为有界函数时，文献［1-6，9-16，18-22］给出了式（1）各种特例的振动准则.本文第2个目的是通过不同的方法导出

x (t)

和

z (t)

之间的函数关系，给出式（1）的振动定理，改进已有文献的结果. ...

... 推广至二阶非线性中立型阻尼微分方程，推广和改进了文献［1］的定理4，并放宽了条件，同时改进了文献［3-4，6，20］的定理2.1. ...

Oscillation theorems for second order nonlinear neutral differential equations

2011

... 注1 定理3关于

σ (t) \leq t

的结论改进了文献［2，9］的结果.在文献［2］中，当

q_{0} > 5.443 81

时， ...

... ］的结果.在文献［2］中，当

q_{0} > 5.443 81

时， ...

Oscillation of damped second order nonlinear delay differential equations of Emden-Fowler type

2006

p (t)

有界的条件下得到的，未考虑

t \to \infty

，即

p (t) \to \infty

的情况.TUNC等^［17］研究了当

α = β = 1

，即式（1）为线性二阶中立型方程时的振动性.GRACE等^［7］研究了当

α = β

，即式（1）为半线性二阶中立型阻尼方程时的振动准则.BOHNER等^［3］给出了当

α = 1 ， β > 0

，即式（1）为二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程时的振动定理.本文首要目的是建立式（1）对任意的

α > 0

和

β > 0

成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果. ...

... ［3］给出了当

α = 1 ， β > 0

，即式（1）为二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程时的振动定理.本文首要目的是建立式（1）对任意的

α > 0

和

β > 0

成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果. ...

... 成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果. ...

... 推广至二阶非线性中立型阻尼微分方程，推广和改进了文献［1］的定理4，并放宽了条件，同时改进了文献［3-4，6，20］的定理2.1. ...

... 而文献［3］利用定理2.1证明了对任意的

β > 1

，式（32）的每个解均振动或者渐近趋向于零，从而易证条件

(C_{2})

和式（30）成立，因此，推论1改进了文献［3］的定理2.1. ...

... 成立，因此，推论1改进了文献［3］的定理2.1. ...

Oscillation of second order neutral delay differential equations

2008

... 推广至二阶非线性中立型阻尼微分方程，推广和改进了文献［1］的定理4，并放宽了条件，同时改进了文献［3-4，6，20］的定理2.1. ...

Some new oscillation criteria for second order neutral differential equations with delayed arguments

2019

... 引理2^［5］设

λ > 0

，

D > 0

，则 ...

Oscillatory behavior of second order nonlinear neutral differential equations with distributed deviating arguments

2015

... 当

p (t)

为有界函数时，文献［1-6，9-16，18-22］给出了式（1）各种特例的振动准则.本文第2个目的是通过不同的方法导出

x (t)

和

z (t)

之间的函数关系，给出式（1）的振动定理，改进已有文献的结果. ...

... 推广至二阶非线性中立型阻尼微分方程，推广和改进了文献［1］的定理4，并放宽了条件，同时改进了文献［3-4，6，20］的定理2.1. ...

Oscillatory behavior of second order damped neutral differential equations with distributed deviating arguments

2017

p (t)

有界的条件下得到的，未考虑

t \to \infty

，即

p (t) \to \infty

的情况.TUNC等^［17］研究了当

α = β = 1

，即式（1）为线性二阶中立型方程时的振动性.GRACE等^［7］研究了当

α = β

，即式（1）为半线性二阶中立型阻尼方程时的振动准则.BOHNER等^［3］给出了当

α = 1 ， β > 0

，即式（1）为二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程时的振动定理.本文首要目的是建立式（1）对任意的

α > 0

和

β > 0

成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果. ...

... ［7］研究了当

α = β

，即式（1）为半线性二阶中立型阻尼方程时的振动准则.BOHNER等^［3］给出了当

α = 1 ， β > 0

，即式（1）为二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程时的振动定理.本文首要目的是建立式（1）对任意的

α > 0

和

β > 0

成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果. ...

... ，7，17］的相关结果. ...

Kneser-type oscillation criteria for second order half-linear delay differential equations

2020

... 文献［8］介绍了当

σ (t) = t

时式（3）经典的Kneser振动准则. ...

... 同时，文献［8］将定理1中的

σ (t) = t

改进为

σ (t) \leq t

，得到 ...

... 本文第3个目的是进一步将文献［8］的结果推广至半线性中立型阻尼微分方程 ...

... 注3 定理4推广了定理1和定理2.将文献［8］的Kneser型振动定理从时滞微分方程推广至中立型微分方程.定理4给出的是中立项系数

p (t)

有界的振动结果. ...

New criteria for oscillation of nonlinear neutral differential equations

2019

... 当

p (t)

为有界函数时，文献［1-6，9-16，18-22］给出了式（1）各种特例的振动准则.本文第2个目的是通过不同的方法导出

x (t)

和

z (t)

之间的函数关系，给出式（1）的振动定理，改进已有文献的结果. ...

... 注1 定理3关于

σ (t) \leq t

的结论改进了文献［2，9］的结果.在文献［2］中，当

q_{0} > 5.443 81

时， ...

... 振动.在文献［9］中，当

q_{0} > 1.588 56

时，式（29）振动.对式（25），取

ρ (t) = t,

使得当

q_{0} > 1.125

时，式（29）振动.定理3在以下4个方面推广了文献［9］的结果：

(i)

σ (t) > t

；

(i i)

1 \leq p (t) \leq p_{0}

；

(i i i)

b (t) \neq 0,

即有阻尼项；

(i v)

α \neq β

.式（1）不限于

α = β,

即半线性情况，也适用于

α = 1

，

β > 0,

即Emden-Fowler方程的情况，此外，定理3也推广和改进了文献［9，16］的结果. ...

... 振动.定理3在以下4个方面推广了文献［9］的结果：

(i)

σ (t) > t

；

(i i)

1 \leq p (t) \leq p_{0}

；

(i i i)

b (t) \neq 0,

即有阻尼项；

(i v)

α \neq β

.式（1）不限于

α = β,

即半线性情况，也适用于

α = 1

，

β > 0,

即Emden-Fowler方程的情况，此外，定理3也推广和改进了文献［9，16］的结果. ...

... 即Emden-Fowler方程的情况，此外，定理3也推广和改进了文献［9，16］的结果. ...

Oscillation criteria for second order quasi-linear neutral functional differential equation

2020

Oscillation theorems for second order nonlinear neutral delay differential equations

2014

Oscillation of second order neutral differential equations

2015

Oscillation criteria for second order superlinear Emden-Fowler neutral differential equations

2017

Oscillation theorems for second order superlinear neutral differential equations

2013

Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowler equation

2012

Oscillation theorems for second order quasilinear neutral functional differential equations

2012

... 当

p (t)

为有界函数时，文献［1-6，9-16，18-22］给出了式（1）各种特例的振动准则.本文第2个目的是通过不同的方法导出

x (t)

和

z (t)

之间的函数关系，给出式（1）的振动定理，改进已有文献的结果. ...

... 振动.在文献［9］中，当

q_{0} > 1.588 56

时，式（29）振动.对式（25），取

ρ (t) = t,

使得当

q_{0} > 1.125

时，式（29）振动.定理3在以下4个方面推广了文献［9］的结果：

(i)

σ (t) > t

；

(i i)

1 \leq p (t) \leq p_{0}

；

(i i i)

b (t) \neq 0,

即有阻尼项；

(i v)

α \neq β

.式（1）不限于

α = β,

即半线性情况，也适用于

α = 1

，

β > 0,

即Emden-Fowler方程的情况，此外，定理3也推广和改进了文献［9，16］的结果. ...

... 在文献［16］中，若

α \geq 1

，且 ...

... 注意到，当

λ_{1} \to 0

时，式（44）右端有界而式（45）右端无界，故定理4优于文献［16］的定理3.4. ...

On oscillation of second order linear neutral differential equations with damping term

2019

p (t)

有界的条件下得到的，未考虑

t \to \infty

，即

p (t) \to \infty

的情况.TUNC等^［17］研究了当

α = β = 1

，即式（1）为线性二阶中立型方程时的振动性.GRACE等^［7］研究了当

α = β

，即式（1）为半线性二阶中立型阻尼方程时的振动准则.BOHNER等^［3］给出了当

α = 1 ， β > 0

，即式（1）为二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程时的振动定理.本文首要目的是建立式（1）对任意的

α > 0

和

β > 0

成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果. ...

... ［17］研究了当

α = β = 1

，即式（1）为线性二阶中立型方程时的振动性.GRACE等^［7］研究了当

α = β

，即式（1）为半线性二阶中立型阻尼方程时的振动准则.BOHNER等^［3］给出了当

α = 1 ， β > 0

，即式（1）为二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程时的振动定理.本文首要目的是建立式（1）对任意的

α > 0

和

β > 0

成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果. ...

... ，17］的相关结果. ...

... 式（36）可改写为

q_{0} > \frac{1}{4},

式（37）振动是精确的.由于振动条件式（36）对式（34）成立，在文献中是首次出现.因此，例1改进了文献［17］的结果. ...

... 注4 定理3建立了当

p (t)

有界时式（1）的振动准则.与已有文献的结果有2点不同：

(i)

采用本文方法得到的结果更准确；

(i i)

本文考虑了已有文献未考虑的阻尼项.定理5建立了当

p (t)

无界时式（1）的振动准则，包括

t \to \infty

，即

p (t) \to \infty

的情况，而已有文献并未涉及，除文献［17］考虑了二阶线性中立型阻尼微分方程，但该方程是当

α = β = 1

时本文方程的特例.此外，文献［17］建立的函数 ...

... 时本文方程的特例.此外，文献［17］建立的函数 ...

... 存在问题.例如，文献［17］证明了 ...

An improved approach for studying oscillation of second order neutral delay differential equations

2018

... 当

p (t)

为有界函数时，文献［1-6，9-16，18-22］给出了式（1）各种特例的振动准则.本文第2个目的是通过不同的方法导出

x (t)

和

z (t)

之间的函数关系，给出式（1）的振动定理，改进已有文献的结果. ...

Oscillation criteria for second order Emden-Fowler functional differential equations of neutral type

2016

Oscillation of second order Emden-Fowler neutral delay differential equations

2018

... 推广至二阶非线性中立型阻尼微分方程，推广和改进了文献［1］的定理4，并放宽了条件，同时改进了文献［3-4，6，20］的定理2.1. ...

Oscillation criteria for second order delay differential equations

2003

Note on the paper of Dzurina and Stavroulakis

2006

p (t)

有界的条件下得到的，未考虑

t \to \infty

，即

p (t) \to \infty

的情况.TUNC等^［17］研究了当

α = β = 1

，即式（1）为线性二阶中立型方程时的振动性.GRACE等^［7］研究了当

α = β

，即式（1）为半线性二阶中立型阻尼方程时的振动准则.BOHNER等^［3］给出了当

α = 1 ， β > 0

，即式（1）为二阶中立型Emden-Fowler阻尼方程时的振动定理.本文首要目的是建立式（1）对任意的

α > 0

和

β > 0

成立的振动定理，改进、推广和统一文献［3，7，17］的相关结果. ...

... 当

p (t)

为有界函数时，文献［1-6，9-16，18-22］给出了式（1）各种特例的振动准则.本文第2个目的是通过不同的方法导出

x (t)

和

z (t)

之间的函数关系，给出式（1）的振动定理，改进已有文献的结果. ...

The detection of the oscillation of solutions of a second order linear differential equation

1950

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