T-S模糊Markov跳变系统的有限时间异步控制

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.01.003

T-S模糊Markov跳变系统的有限时间 $H ∞$ 异步控制

李秀英^,^,¹, 姜囡²

1.通化师范学院数学学院，吉林通化 134002

2.中国刑事警察学院声像资料检验技术系，辽宁沈阳 110854

Asynchronous finite-time $H ∞$ control for Markov jump systems with T-S fuzzy rules

LI Xiuying^,^,¹, JIANG Nan²

1.School of Mathematics，Tonghua Normal University，Tonghua 134002，Jilin Province，China

2.Department of Audio Visual and Image Technology，Criminal Investigation Police University of China，Shenyang 110854，China

收稿日期: 2022-09-05 修回日期: 2023-03-22 接受日期: 2023-04-02

基金资助:

国家自然科学青年基金项目. 61304021

Received: 2022-09-05 Revised: 2023-03-22 Accepted: 2023-04-02

作者简介 About authors

李秀英（1968—），ORCID：https：//orcid.org/0009-0009-2310-5888，女，硕士，教授，主要从事随机系统的控制等研究，E-mail：xiuyingli68@163.com. , E-mail：xiuyingli68@163.com

摘要

针对一类在Takagi-Sugeno模糊规则下的Markov跳变系统，研究了基于模糊状态反馈控制器的有限时间 $H_{\infty}$ 异步控制问题。采用隐Markov模型刻画了模糊控制器与原系统的异步现象。首先，通过构造Lyapunov函数，运用有限时间有界性和 $H_{\infty}$ 控制理论，得到了闭环系统 $H_{\infty}$ 有限时间有界的充分条件。其次，设计了模糊状态反馈异步控制器，使得闭环系统 $H_{\infty}$ 有限时间有界。最后，通过仿真算例验证了方法的有效性和可行性。

关键词： Markov跳变系统 ; 模糊规则 ; 异步控制 ; $H ∞$ 有限时间有界

Abstract

This paper addresses the problem of fuzzy-state-feedback-controller-based finite-time $H_{\infty}$ asynchronous control for a class of Markov jump systems under Takagi-Sugeno fuzzy rules. The hidden Markov model is employed to describe the asynchronization between the fuzzy controller and the original system. Firstly, by means of constructing Lyapunov function, a sufficient condition for $H_{\infty}$ finite-time boundedness of the closed-loop system is obtained by using finite-time boundedness and $H_{\infty}$ control theory. Then, the asynchronous fuzzy state feedback controller is designed, which ensures $H_{\infty}$ finite-time boundedness of the closed-loop system. Finally, a simulation result is demonstrated to verify the effectiveness of the proposed method.

Keywords： Markov jump systems ; fuzzy rules ; asynchronous control ; $H ∞$ finite-time boundedness

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本文引用格式

李秀英, 姜囡. T-S模糊Markov跳变系统的有限时间 $H_{\infty}$ 异步控制. 浙江大学学报(理学版)[J], 2024, 51(1): 14-20 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.01.003

LI Xiuying, JIANG Nan. Asynchronous finite-time $H_{\infty}$ control for Markov jump systems with T-S fuzzy rules. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2024, 51(1): 14-20 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2024.01.003

Markov跳变系统作为一类特殊的混杂系统，在电力系统、通信系统和经济系统等领域有重要应用，并被广泛研究与关注^［1-7］。但在实际中，因存在时延、丢包等问题，难以实现控制器模态与原系统模态同步。为解决此问题，需构建异步控制器。文献［8］研究了连续非线性Markov跳变系统的严格耗散异步控制问题。文献［9］研究了Markov跳变系统的异步无源控制问题。文献［10］考虑了非线性广义Markov跳变系统的异步耗散控制问题，将文献［8］中的正常系统拓展至广义系统。

有限时间稳定是指系统的状态在有限时间内不超过某个设定的阈值，能更好地刻画系统的瞬态性能。文献［11-12］分别针对转移概率部分未知的Markov跳变系统与线性半Markov跳变系统，研究了有限时间 $H_{\infty}$ 的控制问题。文献［13］针对具有一般转移速率的半Markov跳变系统，研究了有限时间随机稳定性与控制问题。文献［14］研究了基于扩展状态观测器的随机隐Markov正跳变系统有限时间异步控制问题，但对Takagi-Sugeno（T-S）模糊Markov跳变系统的有限时间 $H_{\infty}$ 异步控制问题，尚未见报道。

本文在文献［8］基础上，研究T-S模糊规则下的Markov跳变系统的有限时间 $H_{\infty}$ 异步控制问题。首先，将有限时间有界和 $H_{\infty}$ 有限时间有界概念引入T-S模糊Markov跳变系统；然后，设计模糊状态反馈异步控制器，使闭环系统 $H_{\infty}$ 有限时间有界，即状态反馈异步控制器保证了闭环系统有限时间有界且满足 $H_{\infty}$ 性能指标。最后，用数值算例和仿真结果验证了方法的有效性。

对于实对称矩阵 $X, Y,$ 用 $X < Y$ （或 $X \leq Y$ ）表示矩阵 $X - Y$ 是负定的（或半负定的），用 $*$ 表示对称矩阵中相应位置的转置， $Γ V (x (t), r (t), t)$ 表示 $V (x (t), r (t), t)$ 的弱无穷小算子， $λ_{m i n} (W)$ 和 $λ_{m a x} (W)$ 分别表示矩阵 $W$ 的最小特征值和最大特征值， $E \{\}$ 表示数学期望，对于矩阵 $Z \in R^{n \times n},$ 有 $H e (Z) = Z + Z^{Τ} 。$

1　问题描述

考虑T-S模糊Markov跳变系统：

模糊规则 i 如果 $ζ_{1} (t)$ 为 $ξ_{i 1},$ $ζ_{2} (t)$ 为 $ξ_{i 2}, \dots,$ $ζ_{p} (t)$ 为 $ξ_{i p},$ 那么

\{\begin{array}{l} \dot{x} (t) = A_{r (t) i} x (t) + B_{1 r (t) i} u (t) + D_{1 r (t) i} ω (t), \\ z (t) = C_{r (t) i} x (t) + B_{2 r (t) i} u (t) + D_{2 r (t) i} ω (t), \\ x (0) = x_{0}, r (0) = r_{0}, t_{0} = 0, \end{array}

（1）

其中， $x (t) \in R^{n}$ 为系统状态， $u (t) \in R^{m}$ 为控制输入， $z (t) \in R^{p}$ 为控制输出， $ω (t) \in R^{q}$ 为外部输入且 $ω (t) \in l_{2} [0, + \infty)$ ， $x_{0}, r_{0}, t_{0}$ 分别为系统的初始状态、初始模态和初始时间。系统的模态信号 $r (t) \in G = \{1,2, \dots, g\}$ 为右连续且时间齐次的Markov过程， $A_{r (t) i}, B_{1 r (t) i}, B_{2 r (t) i}, C_{r (t) i}, D_{1 r (t) i}, D_{2 r (t) i}$ 为具有适当维数的已知矩阵。式（1）有 $r (i \in R = \{1,2, \dots, r\})$ 个模糊规则，其中 $i$ 指第 $i$ 个规则。 $ζ_{j} (t) (j \in {1,2, \dots, p})$ 为前件变量， $ξ_{i j}$ 为模糊集。 $r (t)$ 服从转移速率矩阵 $Π = [ϕ_{k l}] :$

P r {r (t + Δ t) = l |r (t) = k} = \{\begin{array}{l} ϕ_{k l} Δ t + ο (Δ t), k \neq l, \\ 1 + ϕ_{l l} Δ t + ο (Δ t), k = l, \end{array}

（2）

其中， $Δ t > 0,$ 满足 $\underset{Δ t \to 0}{l i m} \frac{ο （ Δ t ）}{Δ t} = 0 ，$ 且 $t$ 时模态 $k$ 到 $t + Δ t$ 时模态 $l$ 的转移速率 $ϕ_{k l} > 0, k \neq l,$ 且 $ϕ_{l l} = - \sum_{k = 1, k \neq l}^{g} ϕ_{k l} 。$ 运用T-S模糊方法，得到规范模糊权重函数

h_{i} (ζ (t)) = \frac{\prod_{j = 1}^{p} ξ_{i j} （ ζ_{j} (t) ）}{\sum_{i = 1}^{r} \prod_{j = 1}^{p} ξ_{i j} （ ζ_{j} (t))},

其中， $ζ (t) = [ζ_{1} (t), ζ_{2} (t), \dots,$ $ζ_{p} (t)],$ $ξ_{i j} (ζ_{j} (t))$ 表示变量 $ζ_{j} (t)$ 在模糊集 $ξ_{i j}$ 的隶属度函数，满足 $\prod_{j = 1}^{p} ξ_{i j} (ζ_{j} (t)) \geq 0,$ 于是 $h_{i} (ζ (t)) \geq 0, \sum_{i = 1}^{r} h_{i} （ ζ (t) ） = 1 。$

为讨论方便，将 $h_{i} （ ζ (t) ）$ 简记为 $h_{i} 。$ 于是，当 $r (t) = k$ 时，式（1）可改写为：

\{\begin{array}{l} \dot{x} (t) = A_{k h} x (t) + B_{1 k h} u (t) + D_{1 k h} ω (t), \\ z (t) = C_{k h} x (t) + B_{2 k h} u (t) + D_{2 k h} ω (t), \\ x (0) = x_{0}, r (0) = r_{0}, t_{0} = 0, \end{array}

（3）

其中，

A_{k h} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} A_{k i}, B_{1 k h} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} B_{1 k i}, D_{1 k h} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} D_{1 k i},

C_{k h} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} C_{k i} ， B_{2 k h} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} B_{2 k i} ， D_{2 k h} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} D_{2 k i} 。

模糊状态反馈异步控制器设计：

控制规则 i 如果 $ζ_{1} (t)$ 为 $ξ_{i 1},$ $ζ_{2} (t)$ 为 $ξ_{i 2}, \dots,$ $ζ_{p} (t)$ 为 $ξ_{i p},$ 那么

u (t) = K_{ψ (t) i} x (t),

（4）

其中， $K_{ψ (t) i} \in R^{m \times n}$ 为第 $i$ 个模糊控制器， $ψ (t) \in U = \{1,2, \dots, u\}$ 表示隐Markov过程的变量，且服从条件概率矩阵 $Ψ = [φ_{k s}],$ 条件概率 $φ_{k s}$ 为

P r {ψ (t) = s |r (t) = k} = φ_{k s},

（5）

其中， $\sum_{s = 1}^{u} φ_{k s} = 1 。$ 当 $ψ (t) = s$ 时，有

u (t) = K_{s h} x (t),

（6）

其中， $K_{s h} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} K_{s i} 。$

注1

$ψ (t)$ 表示控制器的模态。根据文献［8］，集合 $\{r (t), ψ (t), Π, Ψ\}$ 表示隐Markov过程。当 $G = U$ 且 $φ_{k k} = 1$ 时，式（6）转化为同步控制器。

结合式（3）和式（6），可得闭环系统：

\{\begin{matrix} \dot{x} (t) = {\tilde{A}}_{k s h} x (t) + D_{1 k h} ω (t), \\ z (t) = {\tilde{C}}_{k s h} x (t) + D_{2 k h} ω (t), \\ x (0) = x_{0}, r (0) = r_{0}, t_{0} = 0, \end{matrix}

（7）

其中，

\begin{array}{l} {\tilde{A}}_{k s h} = A_{k h} + B_{1 k h} K_{s h} = \sum_{i = 1}^{r} \sum_{j = 1}^{r} h_{i} h_{j} {\tilde{A}}_{k s i j}, \\ {\tilde{C}}_{k s h} = C_{k h} + B_{2 k h} K_{s h} = \sum_{i = 1}^{r} \sum_{j = 1}^{r} h_{i} h_{j} {\tilde{C}}_{k s i j}, \end{array}

{\tilde{A}}_{k s i j} = A_{k i} + B_{1 k i} K_{s j},

{\tilde{C}}_{k s i j} = C_{k i} + B_{2 k i} K_{s j},

D_{1 k h} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} D_{1 k i}, D_{2 k h} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} D_{2 k i} 。

假设1　对于给定的时间区间 $[0, T],$ 外部输入 $ω (t)$ 为时变有界函数，存在常数 $τ > 0$ ，满足约束条件：

\int_{0}^{T} ω^{Τ} (t) ω (t) d t \leq τ 。

定义1　对于给定的常数 $c_{1} > 0, T > 0,$ 如果存在常数 $c_{2} > c_{1} > 0$ 及正定矩阵 $M_{k},$ 使得对任意的 $t \in [0, T],$ 有

E \{x_{0}^{Τ} M_{k} x_{0}\} \leq c_{1} \Rightarrow E \{x^{Τ} (t) M_{k} x (t)\} \leq c_{2},

（8）

则称式（1）（ $u (t) = 0$ ）关于 $(c_{1}, c_{2}, T, M_{k})$ 有限时间有界。

注2　当式（1）中的 $ω (t) = 0$ 时，有限时间有界转化为有限时间稳定，表明有限时间稳定是有限时间有界的特殊情形。

定义2　对于给定的常数 $T > 0,$ 如果存在常数 $γ > 0$ ，满足：

（i）式（1）关于 $(c_{1}, c_{2}, T, M_{k})$ 有限时间有界；

（ii）在零初始条件下，对于满足假设1的非零外部输入 $ω (t)$ ，式（1）满足

E \{\int_{0}^{T} z^{Τ} (t) z (t) d t\} \leq γ^{2} \int_{0}^{T} ω^{Τ} (t) ω (t) d t,

（9）

则称式（1）（ $u (t) = 0$ ）关于 $(c_{1}, c_{2}, T, M_{k}) H_{\infty}$ 有限时间有界。

引理1 $^{[12]}$ 　设 $τ_{1}$ 与 $τ_{2}$ 是有界的驻留时间且满足 $0 \leq τ_{1} \leq τ_{2}$ ，如果对任意 $t \in [τ_{1}, τ_{2}]$ ， $V (x (t), r (t), t)$ 与 $Γ V (x (t), r (t), t)$ 是有界的，则有

E \{V (x (τ_{2}), r (τ_{2}), τ_{2})\} = E \{V (x (τ_{1}), r (τ_{1}), τ_{1})\} + E \int_{τ_{1}}^{τ_{2}} Γ V (x (s), r (s), s) d s

。

注3　假设1满足引理1的条件。

引理2 $^{[12]}$ 　设 $W \in R^{n \times n}$ 是对称矩阵， $x \in R^{n}$ 是任意向量，则有

λ_{m i n} (W) x^{Τ} x \leq x^{Τ} W x \leq λ_{m a x} (W) x^{Τ} x

。

引理3 $^{[8]}$ 　设 $A, B, C, X, W_{1}, W_{2}, W_{3}$ 是已知实矩阵，则以下条件等价：

（i）存在矩阵 $P > 0$ ，满足

[\begin{matrix} A P + P A^{Τ} + X & * & * \\ B^{Τ} + D P & W_{1} & * \\ C P & W_{2} & W_{3} \end{matrix}] < 0;

（ii）存在常数 $μ > 0$ ，矩阵 $P > 0$ ，矩阵 $Z$ 满足

[\begin{matrix} - Z - Z^{Τ} & * & * & * & * \\ A Z + P & - μ^{- 1} P + X & * & * & * \\ D Z & B^{Τ} & W_{1} & * & * \\ C Z & 0 & W_{2} & W_{3} & * \\ Z & 0 & 0 & 0 & - μ P \end{matrix}] < 0

。

2　主要结论

本文主要目标是针对T-S模糊Markov跳变系统式（3），设计模糊状态反馈异步控制器式（6），使得闭环系统式（7）关于 $(c_{1}, c_{2}, T, M_{k}) H_{\infty}$ 有限时间有界。

2.1　 $H_{\infty}$ 有限时间有界性分析

定理1　对于给定的常数 $c_{1} > 0, T > 0, τ > 0$ 及矩阵 $M_{k} > 0,$ 如果存在常数 $0 < c_{1} < c_{2},$ $α > 0, γ > 0$ 及矩阵 $P_{k}, k \in G, i, j \in R$ ，满足：

Θ_{k i i} < 0,

（10）

Θ_{k i j} + Θ_{k j i} < 0, i < j,

（11）

\frac{e^{α T} （ c_{1} ε_{1} + γ^{2} τ ）}{ε_{2}} < c_{2},

（12）

其中，

Θ_{k i j} = [\begin{matrix} θ_{k i j}^{11} & * & * \\ θ_{k i j}^{21} & θ_{k i}^{22} & * \\ θ_{k i j}^{31} & θ_{k i}^{32} & - I \end{matrix}],

（13）

θ_{k i j}^{11} = H e (\sum_{s = 1}^{u} φ_{k s} {\tilde{A}}_{k s i j}^{Τ} P_{k}) + \sum_{l = 1}^{g} ϕ_{k l} P_{l} - α P_{k},

θ_{k i j}^{21} = D_{1 k i}^{Τ} P_{k},

θ_{k i}^{22} = - γ^{2} I,

θ_{k i j}^{31} = [\begin{matrix} \sqrt[]{φ_{k 1}} {\tilde{C}}_{k 1 i j} \\ ⋮ \\ \sqrt[]{φ_{k u}} {\tilde{C}}_{k u i j} \end{matrix}], θ_{k i}^{32} = [\begin{matrix} \sqrt[]{φ_{k 1}} D_{2 k i} \\ ⋮ \\ \sqrt[]{φ_{k u}} D_{2 k i} \end{matrix}],

{\tilde{P}}_{k} = M_{k}^{- 1 / 2} P_{k} M_{k}^{- 1 / 2},

ε_{1} = \underset{k \in G}{m a x} \{λ_{m a x} （ {\tilde{P}}_{k} ）\},

ε_{2} = \underset{k \in G}{m i n} \{λ_{m i n} （ {\tilde{P}}_{k} ）\},

则式（7）关于 $(c_{1}, c_{2}, T, M_{k}) H_{\infty}$ 有限时间有界。

证明　针对式（7），由式（10）和式（11），可得

Θ_{k h} = \sum_{i = 1}^{r} \sum_{j = 1}^{r} h_{i} h_{j} Θ_{k i j} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i}^{2} Θ_{k i i} + \sum_{i = 1}^{r - 1} \sum_{j = i + 1}^{r} h_{i} h_{j} (Θ_{k i j} + Θ_{k j i}) < 0,

（14）

其中，

Θ_{k h} = [\begin{matrix} θ_{k h}^{11} & * & * \\ θ_{k h}^{21} & θ_{k h}^{22} & * \\ θ_{k h}^{31} & θ_{k h}^{32} & - I \end{matrix}],

θ_{k h}^{11} = H e (\sum_{s = 1}^{u} φ_{k s} {\tilde{A}}_{k s h}^{Τ} P_{k}) + \sum_{l = 1}^{g} ϕ_{k l} P_{l} - α P_{k},

θ_{k h}^{21} = D_{1 k h}^{Τ} P_{k},

θ_{k h}^{22} = - γ^{2} I,

θ_{k h}^{31} = [\begin{matrix} \sqrt[]{φ_{k 1}} {\tilde{C}}_{k 1 h} \\ ⋮ \\ \sqrt[]{φ_{k u}} {\tilde{C}}_{k u h} \end{matrix}], θ_{k i j}^{32} = [\begin{matrix} \sqrt[]{φ_{k 1}} D_{2 k h} \\ ⋮ \\ \sqrt[]{φ_{k u}} D_{2 k h} \end{matrix}] 。

构造Lyapunov函数：

V (x (t), r (t), t) = x^{Τ} (t) P_{k} x (t),

（15）

沿着式（7）的轨迹，得到 $V (x (t), r (t), t)$ 的弱无穷小算子：

Γ V (x (t), r (t), t) = x^{Τ} (t) (\sum_{l = 1}^{g} ϕ_{k l} P_{l}) x (t) + 2 x^{Τ} (t) P_{k} \dot{x} (t),

（16）

于是

\begin{array}{l} E \{Γ V (x (t), r (t), t)\} = x^{Τ} (t) [H e (\sum_{s = 1}^{u} φ_{k s} {\tilde{A}}_{k s h}^{Τ} P_{k}) + \sum_{l = 1}^{g} ϕ_{k l} P_{l} - α P_{k}] x (t) + 2 x^{Τ} (t) P_{k} D_{1 k h} ω (t) = \\ η^{Τ} (t) Δ η (t) + α E \{x^{Τ} (t) P_{k} x (t)\} + \\ γ^{2} ω^{Τ} (t) ω (t), \end{array}

（17）

其中，

Δ = [\begin{matrix} θ_{k h}^{11} & * \\ θ_{k h}^{21} & θ_{k h}^{22} \end{matrix}], η (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ ω (t) \end{matrix}] 。

根据Schur补引理，由式（14）和式（17），可得

E \{Γ V (x (t), r (t), t)\} \leq α E \{V (x (t), r (t), t)\} + γ^{2} ω^{Τ} (t) ω (t) 。

（18）

由引理1，对任意的 $t \in [0, T],$ 对式（18）从0到 $t$ 积分，可得

\begin{array}{l} E \{V （ x (t), r (t), t ）\} - E \{V （ x (0), r (0), 0 ）\} < \\ α \int_{0}^{t} E \{V (x (s), r (s), s)\} d s + \\ γ^{2} \int_{0}^{t} ω^{Τ} (s) ω (s) d s 。 \end{array}

（19）

设 ${\tilde{P}}_{k} = M_{k}^{- 1 / 2} P_{k} M_{k}^{- 1 / 2},$ $ε_{1} = \underset{k \in G}{m a x} \{λ_{m a x} （ {\tilde{P}}_{k} ）\},$ 由定义1，得

E \{V (x (t), r (t), t)\} < (c_{1} ε_{1} + γ^{2} τ) + α \int_{0}^{t} E \{V (x (s), r (s), s)\} d s,

（20）

运用Gronwall不等式，式（20）等价于

\begin{array}{l} E \{V (x (t), r (t), t)\} < e^{α t} (c_{1} ε_{1} + γ^{2} τ) < \\ e^{α T} (c_{1} ε_{1} + γ^{2} τ), \end{array}

（21）

此外，令 $ε_{2} = \underset{k \in G}{m i n} \{λ_{m i n} ({\tilde{P}}_{k})\},$ 由引理2，可得

E \{V (x (t), r (t), t)\} \geq ε_{2} E \{x^{Τ} (t) M_{k} x (t)\} 。

（22）

综合式（21）和式（22），可得

E \{x^{Τ} (t) M_{k} x (t)\} < \frac{e^{α T} （ c_{1} ε_{1} + γ^{2} τ ）}{ε_{2}} < c_{2} 。

（23）

由定义1，知式（7）关于 $(c_{1}, c_{2}, T, M_{k})$ 有限时间有界。

另一方面，

E \{Γ V （ x (t), r (t), t ）\} = η^{Τ} (t) Λ η (t) + α E \{V （ x (t), r (t), t ）\} + E \{γ^{2} ω^{Τ} (t) ω (t) - z^{Τ} (t) z (t)\},

（24）

其中，

Λ = [\begin{matrix} θ_{k h}^{11} + {(θ_{k h}^{31})}^{Τ} θ_{k h}^{31} & * \\ θ_{k h}^{21} + {(θ_{k h}^{32})}^{Τ} θ_{k h}^{31} & θ_{k h}^{22} + {(θ_{k h}^{32})}^{Τ} θ_{k h}^{32} \end{matrix}] 。

由式（18），可得

E \{Γ [V （ x (t), r (t), t ） e^{- α t}]\} < E \{e^{- α t} [γ^{2} ω^{Τ} (t) ω (t) - z^{Τ} (t) z (t)]\},

（25）

在零初始条件下，由引理1，可得

\begin{array}{l} e^{- α t} E \{V （ x (t), r (t), t ）\} \leq \\ E \{\int_{0}^{t} e^{- α s} [γ^{2} ω^{Τ} (s) ω (s) - z^{Τ} (s) z (s)] d s\}, \end{array}

（26）

则

E \{\int_{0}^{t} e^{- α s} z^{Τ} (s) z (s) d s\} \leq \int_{0}^{t} e^{- α s} γ^{2} ω^{Τ} (s) ω (s) d s,

（27）

于是

E \{\int_{0}^{T} z^{Τ} (s) z (s) d s\} \leq e^{α T} γ^{2} \int_{0}^{T} ω^{Τ} (s) ω (s) d s,

（28）

表明式（9）成立，其中 $\bar{γ} = \sqrt[]{e^{α T}} γ 。$ 由定义2，知式（7）关于 $(c_{1}, c_{2}, T, M_{k}) H_{\infty}$ 有限时间有界。

注4　定理1给出了T-S模糊Markov跳变系统式（3）在模糊状态反馈异步控制器式（6）作用下得到的闭环系统式（7）关于 $(c_{1}, c_{2}, T, M_{k}) H_{\infty}$ 有限时间有界的充分条件。下面将给出上述模糊状态反馈异步控制器式（6）的具体设计方法。

2.2　 $H_{\infty}$ 有限时间有界性控制器设计

定理2　对于给定的常数 $c_{1} > 0, T > 0, τ > 0, α > 0, μ > 0, γ > 0$ 及矩阵 $M_{k} > 0,$ 如果存在常数 $0 < c_{1} < c_{2}, λ_{1} > 0, λ_{2} > 0$ 及矩阵 $Y_{k}, Z, W_{s i}$ ，使得对任意的 $k \in G, s \in U, i, j \in R,$ 满足：

{\tilde{Θ}}_{k i i} < 0,

（29）

{\tilde{Θ}}_{k i j} + {\tilde{Θ}}_{k j i} < 0, i < j,

（30）

[\begin{matrix} γ^{2} τ - \frac{c_{2} e^{- α T}}{λ_{2}} & \sqrt[]{c_{1}} \\ \sqrt[]{c_{1}} & - λ_{1} \end{matrix}] < 0,

（31）

λ_{1} M_{k}^{- 1} < Y_{k} < λ_{2} M_{k}^{- 1},

（32）

其中，

{\tilde{Θ}}_{k i j} = [\begin{matrix} - Z - Z^{Τ} & * & * & * & * & * \\ {\tilde{θ}}_{k i j}^{21} & {\tilde{θ}}_{k}^{22} & * & * & * & * \\ 0 & D_{1 k i}^{Τ} & θ_{k i}^{22} & * & * & * \\ {\tilde{θ}}_{k i j}^{41} & 0 & θ_{k i}^{32} & - I & * & * \\ Z & 0 & 0 & 0 & - μ Y_{k} & * \\ 0 & {\tilde{θ}}_{k}^{62} & 0 & 0 & 0 & {\tilde{θ}}_{k}^{66} \end{matrix}],

（33）

{\tilde{θ}}_{k i j}^{21} = A_{k i} Z + B_{1 k i} \sum_{s = 1}^{u} φ_{k s} W_{s j} + Y_{k},

{\tilde{θ}}_{k}^{22} = ϕ_{k k} Y_{k} - α Y_{k} - μ^{- 1} Y_{k},

{\tilde{θ}}_{k i j}^{41} = [\begin{matrix} \sqrt[]{φ_{k 1}} (C_{k i} Z + B_{2 k i} W_{1 j}) \\ ⋮ \\ \sqrt[]{φ_{k u}} (C_{k i} Z + B_{2 k i} W_{u j}) \end{matrix}],

{\tilde{θ}}_{k}^{Τ 62} = Y_{k} [\sqrt[]{ϕ_{k 1}} \dots \begin{matrix} \sqrt[]{ϕ_{k, k - 1}} & \sqrt[]{ϕ_{k, k + 1}} \end{matrix} \dots \sqrt[]{ϕ_{k g}}],

{\tilde{θ}}_{k}^{66} = - d i a g \{Y_{1}, \dots, Y_{k - 1}, Y_{k + 1}, \dots, Y_{k g}\},

则式（7）关于 $(c_{1}, c_{2}, T, M_{k}) H_{\infty}$ 有限时间有界，此时，控制器可设计为

K_{s i} = W_{s i} Z^{- 1} 。

（34）

证明　令 $Y_{k} = P_{k}^{- 1},$ 对式（13）分别左乘和右乘矩阵 $d i a g \{Y_{k}, I, I\},$ 得到

Θ_{k i j}^{'} = [\begin{matrix} θ^{'}_{k i j}^{11} & * & * \\ θ^{'}_{k i j}^{21} & θ_{k i}^{22} & * \\ θ^{'}_{k i j}^{31} & θ_{k i}^{32} & - I \end{matrix}],

（35）

其中，

θ^{'}_{k i j}^{11} = H e (\sum_{s = 1}^{u} φ_{k s} {\tilde{A}}_{k s i j}^{Τ} Y_{k}) + Y_{k} \sum_{l = 1}^{g} ϕ_{k l} Y_{l}^{- 1} Y_{k}^{Τ} - α Y_{k},

θ^{'}_{k i j}^{21} = D_{1 k i}^{Τ},

θ^{'}_{k i j}^{31} = [\begin{matrix} \sqrt[]{φ_{k 1}} {\tilde{C}}_{k 1 i j} Y_{k} \\ ⋮ \\ \sqrt[]{φ_{k u}} {\tilde{C}}_{k u i j} Y_{k} \end{matrix}] 。

由引理3，令 $W_{s i} = K_{s i} Z,$ 则 $Θ_{k i j}^{'} < 0, i = j$ 等价于

{\tilde{Θ^{'}}}_{k i j} < 0, i = j

，（36）

其中，

{\tilde{Θ}}_{k i j}^{'} = [\begin{matrix} - Z - Z^{Τ} & * & * & * & * \\ {\tilde{θ}}_{k i j}^{21} & {\tilde{θ}}^{'}_{k}^{22} & * & * & * \\ 0 & D_{1 k i}^{Τ} & θ_{k i}^{22} & * & * \\ {\tilde{θ}}_{k i j}^{41} & 0 & θ_{k i}^{32} & - I & * \\ Z & 0 & 0 & 0 & - μ Y_{k} \end{matrix}],

（37）

{\tilde{θ}}^{'}_{k}^{22} = - α Y_{k} - μ^{- 1} Y_{k} + Y_{k} \sum_{l = 1}^{g} ϕ_{k l} Y_{l}^{- 1} Y_{k}^{Τ} 。

根据Schur补引理，由式（29），可得式（36），从而可得式（10）；同理，由式（30），可得式（11）。设 $δ_{1} = \underset{k \in G}{m i n} \{λ_{m i n} (Y_{k})\},$ $δ_{2} = \underset{k \in G}{m a x} \{λ_{m a x} (Y_{k})\},$ 则 $δ_{1} = \frac{1}{ε_{1}}, δ_{2} = \frac{1}{ε_{2}} 。$

令

λ_{1} \leq δ_{1}, δ_{2} \leq λ_{2},

（38）

可得式（32）。根据Schur补引理，式（31）可改写为

(\frac{c_{1}}{λ_{1}} + γ^{2} τ) e^{α T} < \frac{c_{2}}{λ_{2}},

（39）

联立式（38）和式（39），可得式（12）。

定理2得证。

注5　本文研究了T-S模糊Markov跳变系统的有限时间 $H_{\infty}$ 异步控制问题。将 $H_{\infty}$ 有限时间有界概念引入T-S模糊Markov跳变系统，研究了该系统的 $H_{\infty}$ 有限时间控制问题；同时放宽了已有 $H_{\infty}$ 有限时间控制问题研究，如文献［11-12］中系统模态与控制器模态同步的限制。

3　仿真算例

考虑双模态的Markov跳变系统式（3），其参数矩阵为

\begin{matrix} A_{11} = [\begin{matrix} - 1 & - 1.5 \\ 1 & 0 \end{matrix}], B_{111} = [\begin{matrix} 1.6 \\ 0 \end{matrix}], A_{12} = [\begin{matrix} - 1 & - 1.5 \\ 1 & 0 \end{matrix}], \\ B_{112} = [\begin{matrix} 0.52 \\ 0 \end{matrix}], A_{21} = [\begin{array}{r} - 1 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array}], B_{121} = [\begin{matrix} 0.5 \\ 0 \end{matrix}], \end{matrix}

A_{22} = [\begin{array}{r} - 1 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array}], B_{122} = [\begin{matrix} 0.2 \\ 0 \end{matrix}],

B_{211} = B_{212} = B_{221} = B_{222} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}],

C_{11} = C_{12} = C_{21} = C_{22} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}],

D_{111} = D_{112} = D_{121} = D_{122} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}],

D_{211} = D_{212} = D_{221} = D_{222} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}],

h_{1} = \frac{1 + c o s [x_{1} (t)]}{2}, h_{2} = 1 - h_{1} 。

设转移速率矩阵和隐Markov过程中的条件概率矩阵分别为

Π = [\begin{array}{r} - 3 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array}], Ψ = [\begin{matrix} 0.4 & 0.6 \\ 0.5 & 0.5 \end{matrix}],

令 $α = 0.1, μ = 1, γ = 1,$ 根据定理2，通过求解线性矩阵不等式得到控制器增益：

\begin{array}{l} \begin{array}{l} K_{11} = [\begin{matrix} - 1.761 2 & 2.121 1 \end{matrix}], \\ K_{12} = [\begin{matrix} - 5.394 4 & 6.495 4 \end{matrix}], \end{array} \\ \begin{array}{l} K_{21} = [\begin{matrix} - 5.432 4 & 1.564 2 \end{matrix}], \\ K_{22} = [\begin{matrix} 4.440 8 & - 1.721 0 \end{matrix}] 。 \end{array} \end{array}

在初始状态 $x (0) = [\begin{matrix} - 1 & 0.4 \end{matrix}]$ ，扰动分别为 $ω (t) = 0$ 及 $ω (t) = e^{- 0.5 t}$ 情况下，闭环系统的状态轨迹仿真结果如图1和图2所示。

图1

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图1 当 $ω (t) = 0$ 时闭环系统的状态轨迹

Fig.1 State trajectories of the closed-loop system when $ω (t) = 0$

图2

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图2 当 $ω (t) = e^{- 0.5 t}$ 时闭环系统的状态轨迹

Fig.2 State trajectories of the closed-loop system when $ω (t) = e^{- 0.5 t}$

4　结论

研究了连续时间T-S模糊Markov跳变系统的有限时间 $H_{\infty}$ 异步控制问题。结合Lyapunov函数和线性矩阵不等式方法，给出了在模糊状态反馈异步控制器作用下的闭环系统有限时间有界且具有 $H_{\infty}$ 性能指标的充分条件；并在此基础上，给出了模糊异步控制器的设计方法；最后通过仿真算例，验证了所设计的模糊状态反馈异步控制器的有效性。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2024.01.003

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Robust output feedback

H ∞

control of uncertain Markovian jump systems with mode-dependent time-delays

2008

... Markov跳变系统作为一类特殊的混杂系统，在电力系统、通信系统和经济系统等领域有重要应用，并被广泛研究与关注^［1-7］.但在实际中，因存在时延、丢包等问题，难以实现控制器模态与原系统模态同步.为解决此问题，需构建异步控制器.文献［8］研究了连续非线性Markov跳变系统的严格耗散异步控制问题.文献［9］研究了Markov跳变系统的异步无源控制问题.文献［10］考虑了非线性广义Markov跳变系统的异步耗散控制问题，将文献［8］中的正常系统拓展至广义系统. ...

Robust stability of Markovian jump stochastic neural networks with time delays in the leakage terms

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Asynchronous control of continuous-time nonlinear Markov jump systems subject to strict dissipativity

2019

... ］考虑了非线性广义Markov跳变系统的异步耗散控制问题，将文献［8］中的正常系统拓展至广义系统. ...

... 本文在文献［8］基础上，研究T-S模糊规则下的Markov跳变系统的有限时间

H_{\infty}

异步控制问题.首先，将有限时间有界和

H_{\infty}

有限时间有界概念引入T-S模糊Markov跳变系统；然后，设计模糊状态反馈异步控制器，使闭环系统

H_{\infty}

有限时间有界，即状态反馈异步控制器保证了闭环系统有限时间有界且满足

H_{\infty}

性能指标.最后，用数值算例和仿真结果验证了方法的有效性. ...

...

ψ (t)

表示控制器的模态.根据文献［8］，集合

\{r (t), ψ (t), Π, Ψ\}

表示隐Markov过程.当

G = U

且

φ_{k k} = 1

时，式（6）转化为同步控制器. ...

Passivity-based asynchronous control for Markov jump systems

2017

非线性广义Markov跳变系统的异步耗散控制

2021

非线性广义Markov跳变系统的异步耗散控制

2021

Robust finite-time

H ∞

control for Markovian jump systems with partially known transition probabilities

2013

... 有限时间稳定是指系统的状态在有限时间内不超过某个设定的阈值，能更好地刻画系统的瞬态性能.文献［11-12］分别针对转移概率部分未知的Markov跳变系统与线性半Markov跳变系统，研究了有限时间

H_{\infty}

的控制问题.文献［13］针对具有一般转移速率的半Markov跳变系统，研究了有限时间随机稳定性与控制问题.文献［14］研究了基于扩展状态观测器的随机隐Markov正跳变系统有限时间异步控制问题，但对Takagi-Sugeno（T-S）模糊Markov跳变系统的有限时间

H_{\infty}

异步控制问题，尚未见报道. ...

... 注5　本文研究了T-S模糊Markov跳变系统的有限时间

H_{\infty}

异步控制问题.将

H_{\infty}

有限时间有界概念引入T-S模糊Markov跳变系统，研究了该系统的

H_{\infty}

有限时间控制问题；同时放宽了已有

H_{\infty}

有限时间控制问题研究，如文献［11-12］中系统模态与控制器模态同步的限制. ...

Finite-time

H ∞

control for linear systems with semi-Markovian switching

2016

H_{\infty}

H_{\infty}

异步控制问题，尚未见报道. ...

... 注5　本文研究了T-S模糊Markov跳变系统的有限时间

H_{\infty}

异步控制问题.将

H_{\infty}

有限时间有界概念引入T-S模糊Markov跳变系统，研究了该系统的

H_{\infty}

有限时间控制问题；同时放宽了已有

H_{\infty}

有限时间控制问题研究，如文献［11-12］中系统模态与控制器模态同步的限制. ...

Stochastic finite-time stability and stabilization of semi-Markovian jump linear systems with generally uncertain transition rates

2021

H_{\infty}

H_{\infty}

异步控制问题，尚未见报道. ...

基于扩展状态观测器的随机隐Markov正跳变系统有限时间异步控制

2021

H_{\infty}

H_{\infty}

异步控制问题，尚未见报道. ...

基于扩展状态观测器的随机隐Markov正跳变系统有限时间异步控制

2021

H_{\infty}

H_{\infty}

异步控制问题，尚未见报道. ...

〈

〉

T-S模糊Markov跳变系统的有限时间H∞异步控制

Asynchronous finite-time H∞ control for Markov jump systems with T-S fuzzy rules

1 问题描述

注1

2 主要结论

2.1 H∞有限时间有界性分析

2.2 H∞有限时间有界性控制器设计

3 仿真算例

图1

图2

4 结 论

参考文献 View Option 原文顺序 文献年度倒序 文中引用次数倒序 被引期刊影响因子

T-S模糊Markov跳变系统的有限时间 $H ∞$ 异步控制

Asynchronous finite-time $H ∞$ control for Markov jump systems with T-S fuzzy rules

1　问题描述

2　主要结论

2.1　 $H_{\infty}$ 有限时间有界性分析

2.2　 $H_{\infty}$ 有限时间有界性控制器设计

3　仿真算例

4　结论

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子