基于图注意力网络的三维网格分割算法

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Metamorphosis of polyhedral surfaces using decomposition

1

2002

... 最初的分割方法大多基于三维模型的几何信息.SHLAFMAN等^［1］利用迭代的K-Means聚类得到分割结果；LAI等^［2］将随机游走算法运用于网格分割；CHEN等^［3］提供了网格模型分割数据集、人工分割结果及分割基准，有助于网格分割算法的定量与定性比较；LIU等^［4］通过定义凹度将模型分割问题转化为线性规划问题.也有一些通过用户交互提高分割准确率的方法.ZHENG等^［5］允许用户通过绘制笔触进行分割；FAN等^［6］提出了只需划定前景区域的交互式分割方法，提高了效率；ZHENG等^［7］进一步简化了交互方式，并利用定向搜索投票策略，得到了指定点附近的分割边界.近年来，TONG等^［8］通过分析Fiedler向量，先将网格分割问题表述为L₀优化问题，再采用由粗到细的方法进行优化.LIN等^［9］提出了一种中轴变换的方法，利用编码几何和结构信息进行分割，在分割质量和分割速度上都有所提升. ...

Fast mesh segmentation using random walks

3

2008

... 最初的分割方法大多基于三维模型的几何信息.SHLAFMAN等^［1］利用迭代的K-Means聚类得到分割结果；LAI等^［2］将随机游走算法运用于网格分割；CHEN等^［3］提供了网格模型分割数据集、人工分割结果及分割基准，有助于网格分割算法的定量与定性比较；LIU等^［4］通过定义凹度将模型分割问题转化为线性规划问题.也有一些通过用户交互提高分割准确率的方法.ZHENG等^［5］允许用户通过绘制笔触进行分割；FAN等^［6］提出了只需划定前景区域的交互式分割方法，提高了效率；ZHENG等^［7］进一步简化了交互方式，并利用定向搜索投票策略，得到了指定点附近的分割边界.近年来，TONG等^［8］通过分析Fiedler向量，先将网格分割问题表述为L₀优化问题，再采用由粗到细的方法进行优化.LIN等^［9］提出了一种中轴变换的方法，利用编码几何和结构信息进行分割，在分割质量和分割速度上都有所提升. ...

... 表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

... Comparison of Rand index of different algorithm

Table 2

模型类别	RandCuts^［39］	ShapeDiam^［34］	NormCuts^［39］	RandWalks^［2］	PMC^［6］	WcSeg^［40］	本文算法
平均值	0.165	0.233	0.248	0.281	0.155	0.085	0.081
Human	0.165	0.155	0.156	0.242	0.059	0.084	0.057
Cup	0.091	0.354	0.401	0.326	0.089	0.125	0.076
Glasses	0.322	0.322	0.345	0.307	0.124	0.167	0.123
Air-plane	0.225	0.192	0.190	0.363	0.108	0.070	0.063
Ant	0.114	0.112	0.118	0.162	0.057	0.009	0.115
Chair	0.188	0.136	0.154	0.198	0.116	0.066	0.065
Octopus	0.423	0.398	0.405	0.433	0.066	0.026	0.023
Table	0.449	0.292	0.320	0.220	0.025	0.056	0.032
Teddy	0.073	0.089	0.075	0.144	0.294	0.040	0.035
Hand	0.111	0.185	0.175	0.124	0.220	0.103	0.134
Plier	0.314	0.329	0.387	0.376	0.110	0.078	0.055
Fish	0.303	0.317	0.354	0.484	0.471	0.144	0.136
Bird	0.303	0.296	0.332	0.404	0.212	0.094	0.092
Arma-dillo	0.078	0.097	0.102	0.105	0.195	0.076	0.072
Fourleg	0.282	0.219	0.210	0.329	0.175	0.139	0.130

3.3　消融实验

通过消融实验定量比较注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和 $e_{i j}$ 对分割结果的影响，以进一步证明算法的合理性.在PSB数据集的9个模型类别上进行消融实验，表3为使用网络学习得到的注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 的分割准确率.对于Chair模型，当注意力系数为 $e_{i j}^{L}$ 时，分割准确率为97.0%；而当注意力系数为 $e_{i j}$ 时，分割准确率为98.8%，提高了1.8个百分点.同时，不同类别模型的分割准确率平均值提升了1个百分点.表明感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 能够获得更好的分割结果，表达节点局部几何信息的注意力系数 $e_{i j}^{G}$ 对于网络训练是必要的.另外，感知几何的注意力网络能够提升网络的训练性能，提高分割准确率. ...

A benchmark for 3D mesh segmentation

2

2009

... 最初的分割方法大多基于三维模型的几何信息.SHLAFMAN等^［1］利用迭代的K-Means聚类得到分割结果；LAI等^［2］将随机游走算法运用于网格分割；CHEN等^［3］提供了网格模型分割数据集、人工分割结果及分割基准，有助于网格分割算法的定量与定性比较；LIU等^［4］通过定义凹度将模型分割问题转化为线性规划问题.也有一些通过用户交互提高分割准确率的方法.ZHENG等^［5］允许用户通过绘制笔触进行分割；FAN等^［6］提出了只需划定前景区域的交互式分割方法，提高了效率；ZHENG等^［7］进一步简化了交互方式，并利用定向搜索投票策略，得到了指定点附近的分割边界.近年来，TONG等^［8］通过分析Fiedler向量，先将网格分割问题表述为L₀优化问题，再采用由粗到细的方法进行优化.LIN等^［9］提出了一种中轴变换的方法，利用编码几何和结构信息进行分割，在分割质量和分割速度上都有所提升. ...

... 通过大量实验，定量比较了本文算法与现有经典算法的分割准确率和兰德指数.分割准确率是网格模型中分割正确的面片数与总面片数之比.兰德指数^［3］可衡量一对面片在两个分割结果中属于相同部分的可能性.分割准确率越大，表明模型分割质量越高.兰德指数越小，表明模型分割质量越高. ...

Convex shape decomposition

1

2010

... 最初的分割方法大多基于三维模型的几何信息.SHLAFMAN等^［1］利用迭代的K-Means聚类得到分割结果；LAI等^［2］将随机游走算法运用于网格分割；CHEN等^［3］提供了网格模型分割数据集、人工分割结果及分割基准，有助于网格分割算法的定量与定性比较；LIU等^［4］通过定义凹度将模型分割问题转化为线性规划问题.也有一些通过用户交互提高分割准确率的方法.ZHENG等^［5］允许用户通过绘制笔触进行分割；FAN等^［6］提出了只需划定前景区域的交互式分割方法，提高了效率；ZHENG等^［7］进一步简化了交互方式，并利用定向搜索投票策略，得到了指定点附近的分割边界.近年来，TONG等^［8］通过分析Fiedler向量，先将网格分割问题表述为L₀优化问题，再采用由粗到细的方法进行优化.LIN等^［9］提出了一种中轴变换的方法，利用编码几何和结构信息进行分割，在分割质量和分割速度上都有所提升. ...

Mesh decomposition with cross-boundary brushes

1

2010

... 最初的分割方法大多基于三维模型的几何信息.SHLAFMAN等^［1］利用迭代的K-Means聚类得到分割结果；LAI等^［2］将随机游走算法运用于网格分割；CHEN等^［3］提供了网格模型分割数据集、人工分割结果及分割基准，有助于网格分割算法的定量与定性比较；LIU等^［4］通过定义凹度将模型分割问题转化为线性规划问题.也有一些通过用户交互提高分割准确率的方法.ZHENG等^［5］允许用户通过绘制笔触进行分割；FAN等^［6］提出了只需划定前景区域的交互式分割方法，提高了效率；ZHENG等^［7］进一步简化了交互方式，并利用定向搜索投票策略，得到了指定点附近的分割边界.近年来，TONG等^［8］通过分析Fiedler向量，先将网格分割问题表述为L₀优化问题，再采用由粗到细的方法进行优化.LIN等^［9］提出了一种中轴变换的方法，利用编码几何和结构信息进行分割，在分割质量和分割速度上都有所提升. ...

Paint mesh cutting

3

2011

... 最初的分割方法大多基于三维模型的几何信息.SHLAFMAN等^［1］利用迭代的K-Means聚类得到分割结果；LAI等^［2］将随机游走算法运用于网格分割；CHEN等^［3］提供了网格模型分割数据集、人工分割结果及分割基准，有助于网格分割算法的定量与定性比较；LIU等^［4］通过定义凹度将模型分割问题转化为线性规划问题.也有一些通过用户交互提高分割准确率的方法.ZHENG等^［5］允许用户通过绘制笔触进行分割；FAN等^［6］提出了只需划定前景区域的交互式分割方法，提高了效率；ZHENG等^［7］进一步简化了交互方式，并利用定向搜索投票策略，得到了指定点附近的分割边界.近年来，TONG等^［8］通过分析Fiedler向量，先将网格分割问题表述为L₀优化问题，再采用由粗到细的方法进行优化.LIN等^［9］提出了一种中轴变换的方法，利用编码几何和结构信息进行分割，在分割质量和分割速度上都有所提升. ...

... 表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

... Comparison of Rand index of different algorithm

Table 2

模型类别	RandCuts^［39］	ShapeDiam^［34］	NormCuts^［39］	RandWalks^［2］	PMC^［6］	WcSeg^［40］	本文算法
平均值	0.165	0.233	0.248	0.281	0.155	0.085	0.081
Human	0.165	0.155	0.156	0.242	0.059	0.084	0.057
Cup	0.091	0.354	0.401	0.326	0.089	0.125	0.076
Glasses	0.322	0.322	0.345	0.307	0.124	0.167	0.123
Air-plane	0.225	0.192	0.190	0.363	0.108	0.070	0.063
Ant	0.114	0.112	0.118	0.162	0.057	0.009	0.115
Chair	0.188	0.136	0.154	0.198	0.116	0.066	0.065
Octopus	0.423	0.398	0.405	0.433	0.066	0.026	0.023
Table	0.449	0.292	0.320	0.220	0.025	0.056	0.032
Teddy	0.073	0.089	0.075	0.144	0.294	0.040	0.035
Hand	0.111	0.185	0.175	0.124	0.220	0.103	0.134
Plier	0.314	0.329	0.387	0.376	0.110	0.078	0.055
Fish	0.303	0.317	0.354	0.484	0.471	0.144	0.136
Bird	0.303	0.296	0.332	0.404	0.212	0.094	0.092
Arma-dillo	0.078	0.097	0.102	0.105	0.195	0.076	0.072
Fourleg	0.282	0.219	0.210	0.329	0.175	0.139	0.130

3.3　消融实验

通过消融实验定量比较注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和 $e_{i j}$ 对分割结果的影响，以进一步证明算法的合理性.在PSB数据集的9个模型类别上进行消融实验，表3为使用网络学习得到的注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 的分割准确率.对于Chair模型，当注意力系数为 $e_{i j}^{L}$ 时，分割准确率为97.0%；而当注意力系数为 $e_{i j}$ 时，分割准确率为98.8%，提高了1.8个百分点.同时，不同类别模型的分割准确率平均值提升了1个百分点.表明感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 能够获得更好的分割结果，表达节点局部几何信息的注意力系数 $e_{i j}^{G}$ 对于网络训练是必要的.另外，感知几何的注意力网络能够提升网络的训练性能，提高分割准确率. ...

Dot scissor： A single-click interface for mesh segmentation

1

2012

... 最初的分割方法大多基于三维模型的几何信息.SHLAFMAN等^［1］利用迭代的K-Means聚类得到分割结果；LAI等^［2］将随机游走算法运用于网格分割；CHEN等^［3］提供了网格模型分割数据集、人工分割结果及分割基准，有助于网格分割算法的定量与定性比较；LIU等^［4］通过定义凹度将模型分割问题转化为线性规划问题.也有一些通过用户交互提高分割准确率的方法.ZHENG等^［5］允许用户通过绘制笔触进行分割；FAN等^［6］提出了只需划定前景区域的交互式分割方法，提高了效率；ZHENG等^［7］进一步简化了交互方式，并利用定向搜索投票策略，得到了指定点附近的分割边界.近年来，TONG等^［8］通过分析Fiedler向量，先将网格分割问题表述为L₀优化问题，再采用由粗到细的方法进行优化.LIN等^［9］提出了一种中轴变换的方法，利用编码几何和结构信息进行分割，在分割质量和分割速度上都有所提升. ...

Spectral mesh segmentation via L₀ gradient minimization

1

2020

... 最初的分割方法大多基于三维模型的几何信息.SHLAFMAN等^［1］利用迭代的K-Means聚类得到分割结果；LAI等^［2］将随机游走算法运用于网格分割；CHEN等^［3］提供了网格模型分割数据集、人工分割结果及分割基准，有助于网格分割算法的定量与定性比较；LIU等^［4］通过定义凹度将模型分割问题转化为线性规划问题.也有一些通过用户交互提高分割准确率的方法.ZHENG等^［5］允许用户通过绘制笔触进行分割；FAN等^［6］提出了只需划定前景区域的交互式分割方法，提高了效率；ZHENG等^［7］进一步简化了交互方式，并利用定向搜索投票策略，得到了指定点附近的分割边界.近年来，TONG等^［8］通过分析Fiedler向量，先将网格分割问题表述为L₀优化问题，再采用由粗到细的方法进行优化.LIN等^［9］提出了一种中轴变换的方法，利用编码几何和结构信息进行分割，在分割质量和分割速度上都有所提升. ...

SEG-MAT： 3D shape segmentation using medial axis transform

1

2022

... 最初的分割方法大多基于三维模型的几何信息.SHLAFMAN等^［1］利用迭代的K-Means聚类得到分割结果；LAI等^［2］将随机游走算法运用于网格分割；CHEN等^［3］提供了网格模型分割数据集、人工分割结果及分割基准，有助于网格分割算法的定量与定性比较；LIU等^［4］通过定义凹度将模型分割问题转化为线性规划问题.也有一些通过用户交互提高分割准确率的方法.ZHENG等^［5］允许用户通过绘制笔触进行分割；FAN等^［6］提出了只需划定前景区域的交互式分割方法，提高了效率；ZHENG等^［7］进一步简化了交互方式，并利用定向搜索投票策略，得到了指定点附近的分割边界.近年来，TONG等^［8］通过分析Fiedler向量，先将网格分割问题表述为L₀优化问题，再采用由粗到细的方法进行优化.LIN等^［9］提出了一种中轴变换的方法，利用编码几何和结构信息进行分割，在分割质量和分割速度上都有所提升. ...

Learning 3D mesh segmentation and labeling

3

2010

... 随着机器学习的发展，数据驱动逐渐被用于网格分割.KALOGERAKIS等^［10］采用条件随机场对三维网格模型进行分割；BENHABILES等^［11］通过Adaboost分类器得到分割边界；WANG等^［12］对三维模型进行多角度投影，利用投影图像进行标签转化，完成三维模型的分割；XU等^［13］提出了直推式的三维网格分割算法. ...

... 表1比较了本文算法与Shapeboost^［10］、TOG15^［17］、ShapePFCN^［15］、1DCNN^［18］、DL Framework^［19］等算法对PSB数据集的分割准确率.在多数模型类别上，本文算法获得了较其他算法更高的准确率，平均准确率为95.8%，远超其他5种经典算法的平均准确率.本文算法对Cup的分割准确率高达99.8%，对Glasses、Ant、Chair、Octopus、Table、Teddy的分割准确率超过98.0%. ...

... Comparison of segmentation accuracy of different algorithm

Table 1

模型类别	Shapeboost^［10］	TOG15^［17］	ShapePFCN^［15］	1DCNN^［18］	DL Framework^［19］	本文算法
平均值	93.7	94.1	93.7	93.6	94.1	95.8
Human	86.8	91.2	94.5	90.6	90.7	94.3
Cup	94.0	99.7	93.8	94.5	98.1	99.8
Glasses	96.9	97.6	96.6	96.3	98.1	98.6
Airplane	96.1	96.7	93.0	95.9	95.2	96.9
Ant	98.7	98.8	98.6	98.7	98.8	99.1
Chair	98.1	98.7	98.5	97.7	97.6	98.8
Octopus	98.2	98.8	98.3	98.5	98.7	98.9
Table	99.4	99.6	99.5	99.6	99.0	99.7
Teddy	98.7	98.2	97.7	88.3	98.6	98.8
Hand	94.4	88.7	84.8	91.7	88.2	93.1
Plier	95.2	96.2	95.5	95.8	95.3	96.0
Fish	95.7	95.6	96.0	96.5	96.4	96.6
Bird	89.6	88.3	88.5	91.0	88.6	91.5
Armadillo	92.6	92.3	92.8	93.3	95.0	95.5
Fourleg	83.3	87.0	85.0	87.7	84.6	87.9
Vase	81.7	77.8	86.8	81.9	82.9	87.0

表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

Learning boundary edges for 3D-mesh segmentation

1

2011

... 随着机器学习的发展，数据驱动逐渐被用于网格分割.KALOGERAKIS等^［10］采用条件随机场对三维网格模型进行分割；BENHABILES等^［11］通过Adaboost分类器得到分割边界；WANG等^［12］对三维模型进行多角度投影，利用投影图像进行标签转化，完成三维模型的分割；XU等^［13］提出了直推式的三维网格分割算法. ...

Projective analysis for 3D shape segmentation

1

2013

... 随着机器学习的发展，数据驱动逐渐被用于网格分割.KALOGERAKIS等^［10］采用条件随机场对三维网格模型进行分割；BENHABILES等^［11］通过Adaboost分类器得到分割边界；WANG等^［12］对三维模型进行多角度投影，利用投影图像进行标签转化，完成三维模型的分割；XU等^［13］提出了直推式的三维网格分割算法. ...

Transductive 3D shape segmentation using sparse reconstruction

1

2014

... 随着机器学习的发展，数据驱动逐渐被用于网格分割.KALOGERAKIS等^［10］采用条件随机场对三维网格模型进行分割；BENHABILES等^［11］通过Adaboost分类器得到分割边界；WANG等^［12］对三维模型进行多角度投影，利用投影图像进行标签转化，完成三维模型的分割；XU等^［13］提出了直推式的三维网格分割算法. ...

3D shape segmentation and labeling via extreme learning machine

1

2014

... 之后，随着深度神经网络的发展，XIE等^［14］利用极限学习机进行三维形状分割和标记；KALOGERAKIS等^［15］建立了端到端的分割框架，先对三维模型进行多角度投影，再利用全卷积网络和条件随机场进行分割；KUNDU等^［16］选择三维网格的不同虚拟视图训练二维语义分割模型，将来自多个视图预测的特征融合至三维网格，实现网格模型的语义分割；GUO等^［17］将网格模型的形状特征重组成二维矩阵，利用深度神经网络建立了特征矩阵和模型标签之间的关系，得到每个面片的标签；GEORGE等^［18］将模型特征组合成一维数据，作为网络的输入，避免了数据之间的干扰；GEORGE等^［19］利用深度学习网络和形状选择排序设计了主动学习框架，用于完成大规模数据集的分割任务；LI等^［20］将图transformer方法应用于高分辨率网格的语义分割：先引入一种保持边界的简化方法，以减小数据量，再用基于Ricci流的聚类算法构造层次结构，最后在图transformer中定义跨分辨率的卷积方法. ...

3D shape segmentation with projective convolutional networks

3

2017

... 之后，随着深度神经网络的发展，XIE等^［14］利用极限学习机进行三维形状分割和标记；KALOGERAKIS等^［15］建立了端到端的分割框架，先对三维模型进行多角度投影，再利用全卷积网络和条件随机场进行分割；KUNDU等^［16］选择三维网格的不同虚拟视图训练二维语义分割模型，将来自多个视图预测的特征融合至三维网格，实现网格模型的语义分割；GUO等^［17］将网格模型的形状特征重组成二维矩阵，利用深度神经网络建立了特征矩阵和模型标签之间的关系，得到每个面片的标签；GEORGE等^［18］将模型特征组合成一维数据，作为网络的输入，避免了数据之间的干扰；GEORGE等^［19］利用深度学习网络和形状选择排序设计了主动学习框架，用于完成大规模数据集的分割任务；LI等^［20］将图transformer方法应用于高分辨率网格的语义分割：先引入一种保持边界的简化方法，以减小数据量，再用基于Ricci流的聚类算法构造层次结构，最后在图transformer中定义跨分辨率的卷积方法. ...

... 表1比较了本文算法与Shapeboost^［10］、TOG15^［17］、ShapePFCN^［15］、1DCNN^［18］、DL Framework^［19］等算法对PSB数据集的分割准确率.在多数模型类别上，本文算法获得了较其他算法更高的准确率，平均准确率为95.8%，远超其他5种经典算法的平均准确率.本文算法对Cup的分割准确率高达99.8%，对Glasses、Ant、Chair、Octopus、Table、Teddy的分割准确率超过98.0%. ...

... Comparison of segmentation accuracy of different algorithm

Table 1

模型类别	Shapeboost^［10］	TOG15^［17］	ShapePFCN^［15］	1DCNN^［18］	DL Framework^［19］	本文算法
平均值	93.7	94.1	93.7	93.6	94.1	95.8
Human	86.8	91.2	94.5	90.6	90.7	94.3
Cup	94.0	99.7	93.8	94.5	98.1	99.8
Glasses	96.9	97.6	96.6	96.3	98.1	98.6
Airplane	96.1	96.7	93.0	95.9	95.2	96.9
Ant	98.7	98.8	98.6	98.7	98.8	99.1
Chair	98.1	98.7	98.5	97.7	97.6	98.8
Octopus	98.2	98.8	98.3	98.5	98.7	98.9
Table	99.4	99.6	99.5	99.6	99.0	99.7
Teddy	98.7	98.2	97.7	88.3	98.6	98.8
Hand	94.4	88.7	84.8	91.7	88.2	93.1
Plier	95.2	96.2	95.5	95.8	95.3	96.0
Fish	95.7	95.6	96.0	96.5	96.4	96.6
Bird	89.6	88.3	88.5	91.0	88.6	91.5
Armadillo	92.6	92.3	92.8	93.3	95.0	95.5
Fourleg	83.3	87.0	85.0	87.7	84.6	87.9
Vase	81.7	77.8	86.8	81.9	82.9	87.0

表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

Virtual multi-view fusion for 3D semantic segmentation

1

2020

... 之后，随着深度神经网络的发展，XIE等^［14］利用极限学习机进行三维形状分割和标记；KALOGERAKIS等^［15］建立了端到端的分割框架，先对三维模型进行多角度投影，再利用全卷积网络和条件随机场进行分割；KUNDU等^［16］选择三维网格的不同虚拟视图训练二维语义分割模型，将来自多个视图预测的特征融合至三维网格，实现网格模型的语义分割；GUO等^［17］将网格模型的形状特征重组成二维矩阵，利用深度神经网络建立了特征矩阵和模型标签之间的关系，得到每个面片的标签；GEORGE等^［18］将模型特征组合成一维数据，作为网络的输入，避免了数据之间的干扰；GEORGE等^［19］利用深度学习网络和形状选择排序设计了主动学习框架，用于完成大规模数据集的分割任务；LI等^［20］将图transformer方法应用于高分辨率网格的语义分割：先引入一种保持边界的简化方法，以减小数据量，再用基于Ricci流的聚类算法构造层次结构，最后在图transformer中定义跨分辨率的卷积方法. ...

3D mesh labeling via deep convolutional neural networks

3

2015

... 之后，随着深度神经网络的发展，XIE等^［14］利用极限学习机进行三维形状分割和标记；KALOGERAKIS等^［15］建立了端到端的分割框架，先对三维模型进行多角度投影，再利用全卷积网络和条件随机场进行分割；KUNDU等^［16］选择三维网格的不同虚拟视图训练二维语义分割模型，将来自多个视图预测的特征融合至三维网格，实现网格模型的语义分割；GUO等^［17］将网格模型的形状特征重组成二维矩阵，利用深度神经网络建立了特征矩阵和模型标签之间的关系，得到每个面片的标签；GEORGE等^［18］将模型特征组合成一维数据，作为网络的输入，避免了数据之间的干扰；GEORGE等^［19］利用深度学习网络和形状选择排序设计了主动学习框架，用于完成大规模数据集的分割任务；LI等^［20］将图transformer方法应用于高分辨率网格的语义分割：先引入一种保持边界的简化方法，以减小数据量，再用基于Ricci流的聚类算法构造层次结构，最后在图transformer中定义跨分辨率的卷积方法. ...

... 表1比较了本文算法与Shapeboost^［10］、TOG15^［17］、ShapePFCN^［15］、1DCNN^［18］、DL Framework^［19］等算法对PSB数据集的分割准确率.在多数模型类别上，本文算法获得了较其他算法更高的准确率，平均准确率为95.8%，远超其他5种经典算法的平均准确率.本文算法对Cup的分割准确率高达99.8%，对Glasses、Ant、Chair、Octopus、Table、Teddy的分割准确率超过98.0%. ...

... Comparison of segmentation accuracy of different algorithm

Table 1

模型类别	Shapeboost^［10］	TOG15^［17］	ShapePFCN^［15］	1DCNN^［18］	DL Framework^［19］	本文算法
平均值	93.7	94.1	93.7	93.6	94.1	95.8
Human	86.8	91.2	94.5	90.6	90.7	94.3
Cup	94.0	99.7	93.8	94.5	98.1	99.8
Glasses	96.9	97.6	96.6	96.3	98.1	98.6
Airplane	96.1	96.7	93.0	95.9	95.2	96.9
Ant	98.7	98.8	98.6	98.7	98.8	99.1
Chair	98.1	98.7	98.5	97.7	97.6	98.8
Octopus	98.2	98.8	98.3	98.5	98.7	98.9
Table	99.4	99.6	99.5	99.6	99.0	99.7
Teddy	98.7	98.2	97.7	88.3	98.6	98.8
Hand	94.4	88.7	84.8	91.7	88.2	93.1
Plier	95.2	96.2	95.5	95.8	95.3	96.0
Fish	95.7	95.6	96.0	96.5	96.4	96.6
Bird	89.6	88.3	88.5	91.0	88.6	91.5
Armadillo	92.6	92.3	92.8	93.3	95.0	95.5
Fourleg	83.3	87.0	85.0	87.7	84.6	87.9
Vase	81.7	77.8	86.8	81.9	82.9	87.0

表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

3D mesh segmentation via multi-branch 1D convolutional neural networks

3

2018

... 之后，随着深度神经网络的发展，XIE等^［14］利用极限学习机进行三维形状分割和标记；KALOGERAKIS等^［15］建立了端到端的分割框架，先对三维模型进行多角度投影，再利用全卷积网络和条件随机场进行分割；KUNDU等^［16］选择三维网格的不同虚拟视图训练二维语义分割模型，将来自多个视图预测的特征融合至三维网格，实现网格模型的语义分割；GUO等^［17］将网格模型的形状特征重组成二维矩阵，利用深度神经网络建立了特征矩阵和模型标签之间的关系，得到每个面片的标签；GEORGE等^［18］将模型特征组合成一维数据，作为网络的输入，避免了数据之间的干扰；GEORGE等^［19］利用深度学习网络和形状选择排序设计了主动学习框架，用于完成大规模数据集的分割任务；LI等^［20］将图transformer方法应用于高分辨率网格的语义分割：先引入一种保持边界的简化方法，以减小数据量，再用基于Ricci流的聚类算法构造层次结构，最后在图transformer中定义跨分辨率的卷积方法. ...

... 表1比较了本文算法与Shapeboost^［10］、TOG15^［17］、ShapePFCN^［15］、1DCNN^［18］、DL Framework^［19］等算法对PSB数据集的分割准确率.在多数模型类别上，本文算法获得了较其他算法更高的准确率，平均准确率为95.8%，远超其他5种经典算法的平均准确率.本文算法对Cup的分割准确率高达99.8%，对Glasses、Ant、Chair、Octopus、Table、Teddy的分割准确率超过98.0%. ...

... Comparison of segmentation accuracy of different algorithm

Table 1

模型类别	Shapeboost^［10］	TOG15^［17］	ShapePFCN^［15］	1DCNN^［18］	DL Framework^［19］	本文算法
平均值	93.7	94.1	93.7	93.6	94.1	95.8
Human	86.8	91.2	94.5	90.6	90.7	94.3
Cup	94.0	99.7	93.8	94.5	98.1	99.8
Glasses	96.9	97.6	96.6	96.3	98.1	98.6
Airplane	96.1	96.7	93.0	95.9	95.2	96.9
Ant	98.7	98.8	98.6	98.7	98.8	99.1
Chair	98.1	98.7	98.5	97.7	97.6	98.8
Octopus	98.2	98.8	98.3	98.5	98.7	98.9
Table	99.4	99.6	99.5	99.6	99.0	99.7
Teddy	98.7	98.2	97.7	88.3	98.6	98.8
Hand	94.4	88.7	84.8	91.7	88.2	93.1
Plier	95.2	96.2	95.5	95.8	95.3	96.0
Fish	95.7	95.6	96.0	96.5	96.4	96.6
Bird	89.6	88.3	88.5	91.0	88.6	91.5
Armadillo	92.6	92.3	92.8	93.3	95.0	95.5
Fourleg	83.3	87.0	85.0	87.7	84.6	87.9
Vase	81.7	77.8	86.8	81.9	82.9	87.0

表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

A deep learning driven active framework for segmentation of large 3D shape collections

3

2022

... 之后，随着深度神经网络的发展，XIE等^［14］利用极限学习机进行三维形状分割和标记；KALOGERAKIS等^［15］建立了端到端的分割框架，先对三维模型进行多角度投影，再利用全卷积网络和条件随机场进行分割；KUNDU等^［16］选择三维网格的不同虚拟视图训练二维语义分割模型，将来自多个视图预测的特征融合至三维网格，实现网格模型的语义分割；GUO等^［17］将网格模型的形状特征重组成二维矩阵，利用深度神经网络建立了特征矩阵和模型标签之间的关系，得到每个面片的标签；GEORGE等^［18］将模型特征组合成一维数据，作为网络的输入，避免了数据之间的干扰；GEORGE等^［19］利用深度学习网络和形状选择排序设计了主动学习框架，用于完成大规模数据集的分割任务；LI等^［20］将图transformer方法应用于高分辨率网格的语义分割：先引入一种保持边界的简化方法，以减小数据量，再用基于Ricci流的聚类算法构造层次结构，最后在图transformer中定义跨分辨率的卷积方法. ...

... 表1比较了本文算法与Shapeboost^［10］、TOG15^［17］、ShapePFCN^［15］、1DCNN^［18］、DL Framework^［19］等算法对PSB数据集的分割准确率.在多数模型类别上，本文算法获得了较其他算法更高的准确率，平均准确率为95.8%，远超其他5种经典算法的平均准确率.本文算法对Cup的分割准确率高达99.8%，对Glasses、Ant、Chair、Octopus、Table、Teddy的分割准确率超过98.0%. ...

... Comparison of segmentation accuracy of different algorithm

Table 1

模型类别	Shapeboost^［10］	TOG15^［17］	ShapePFCN^［15］	1DCNN^［18］	DL Framework^［19］	本文算法
平均值	93.7	94.1	93.7	93.6	94.1	95.8
Human	86.8	91.2	94.5	90.6	90.7	94.3
Cup	94.0	99.7	93.8	94.5	98.1	99.8
Glasses	96.9	97.6	96.6	96.3	98.1	98.6
Airplane	96.1	96.7	93.0	95.9	95.2	96.9
Ant	98.7	98.8	98.6	98.7	98.8	99.1
Chair	98.1	98.7	98.5	97.7	97.6	98.8
Octopus	98.2	98.8	98.3	98.5	98.7	98.9
Table	99.4	99.6	99.5	99.6	99.0	99.7
Teddy	98.7	98.2	97.7	88.3	98.6	98.8
Hand	94.4	88.7	84.8	91.7	88.2	93.1
Plier	95.2	96.2	95.5	95.8	95.3	96.0
Fish	95.7	95.6	96.0	96.5	96.4	96.6
Bird	89.6	88.3	88.5	91.0	88.6	91.5
Armadillo	92.6	92.3	92.8	93.3	95.0	95.5
Fourleg	83.3	87.0	85.0	87.7	84.6	87.9
Vase	81.7	77.8	86.8	81.9	82.9	87.0

表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

MeshFormer： High-resolution mesh segmentation with graph transformer

1

2022

... 之后，随着深度神经网络的发展，XIE等^［14］利用极限学习机进行三维形状分割和标记；KALOGERAKIS等^［15］建立了端到端的分割框架，先对三维模型进行多角度投影，再利用全卷积网络和条件随机场进行分割；KUNDU等^［16］选择三维网格的不同虚拟视图训练二维语义分割模型，将来自多个视图预测的特征融合至三维网格，实现网格模型的语义分割；GUO等^［17］将网格模型的形状特征重组成二维矩阵，利用深度神经网络建立了特征矩阵和模型标签之间的关系，得到每个面片的标签；GEORGE等^［18］将模型特征组合成一维数据，作为网络的输入，避免了数据之间的干扰；GEORGE等^［19］利用深度学习网络和形状选择排序设计了主动学习框架，用于完成大规模数据集的分割任务；LI等^［20］将图transformer方法应用于高分辨率网格的语义分割：先引入一种保持边界的简化方法，以减小数据量，再用基于Ricci流的聚类算法构造层次结构，最后在图transformer中定义跨分辨率的卷积方法. ...

MeshCNN： A network with edge

2

2019

... 近年来，越来越多的方法通过直接学习网格模型的特征完成分割任务.HANOCKA等^［21］利用网格边定义了相关的卷积和池化操作，提出了适用于三角网格的卷积神经网络MeshCNN；HUANG等^［22］设计了TextureNet，从与三维网格表面相关的高分辨率信号中提取特征，其关键是利用4-旋转对称场定义曲面上的卷积域；FENG等^［23］设计了能够获取和聚合三维形状中多边形面特征的块结构，解决了网格的复杂性和不规则性问题；HE等^［24］将微分几何与图神经网络相结合，利用方向曲率滤波器学习方向敏感的三维形状特征，定义了深度学习模型CurvaNet；LAHAV等^［25］设计了端到端的学习框架MeshWalker，通过用网格表面的随机游走表示网格，并结合RNN学习得到网格的几何和拓扑特征；HU等^［26］提出了SubdivNet，定义了基于网格面的卷积算子以及池化和上采样操作；QIAO等^［27］实现了基于拉普拉斯谱聚类的多尺度池化操作，并引入了相关性网络对特征进行全局融合，完成网格分割任务；SHARP等^［28］提出用DiffusionNet学习网格模型特征，对网格表面分辨率和采样的变化具有较好的鲁棒性；PÉREZ等^［29］定义了基于网格面和网格顶点的卷积操作，并分别设计了两种网络架构. ...

... 已有的深度学习方法假设三维网格模型是流形曲面，在网络泛化性方面存在局限性.图6中的网格模型带有高斯噪声，MeshCNN算法^［21］的分割边界很不准确.相比之下，本文算法是基于图结构的，具有一般性，可以鲁棒地处理噪声等情形. ...

TextureNet： Consistent local parametrizations for learning from high-resolution signals on meshes

1

2019

... 近年来，越来越多的方法通过直接学习网格模型的特征完成分割任务.HANOCKA等^［21］利用网格边定义了相关的卷积和池化操作，提出了适用于三角网格的卷积神经网络MeshCNN；HUANG等^［22］设计了TextureNet，从与三维网格表面相关的高分辨率信号中提取特征，其关键是利用4-旋转对称场定义曲面上的卷积域；FENG等^［23］设计了能够获取和聚合三维形状中多边形面特征的块结构，解决了网格的复杂性和不规则性问题；HE等^［24］将微分几何与图神经网络相结合，利用方向曲率滤波器学习方向敏感的三维形状特征，定义了深度学习模型CurvaNet；LAHAV等^［25］设计了端到端的学习框架MeshWalker，通过用网格表面的随机游走表示网格，并结合RNN学习得到网格的几何和拓扑特征；HU等^［26］提出了SubdivNet，定义了基于网格面的卷积算子以及池化和上采样操作；QIAO等^［27］实现了基于拉普拉斯谱聚类的多尺度池化操作，并引入了相关性网络对特征进行全局融合，完成网格分割任务；SHARP等^［28］提出用DiffusionNet学习网格模型特征，对网格表面分辨率和采样的变化具有较好的鲁棒性；PÉREZ等^［29］定义了基于网格面和网格顶点的卷积操作，并分别设计了两种网络架构. ...

MeshNet： Mesh neural network for 3D shape representation

1

2019

... 近年来，越来越多的方法通过直接学习网格模型的特征完成分割任务.HANOCKA等^［21］利用网格边定义了相关的卷积和池化操作，提出了适用于三角网格的卷积神经网络MeshCNN；HUANG等^［22］设计了TextureNet，从与三维网格表面相关的高分辨率信号中提取特征，其关键是利用4-旋转对称场定义曲面上的卷积域；FENG等^［23］设计了能够获取和聚合三维形状中多边形面特征的块结构，解决了网格的复杂性和不规则性问题；HE等^［24］将微分几何与图神经网络相结合，利用方向曲率滤波器学习方向敏感的三维形状特征，定义了深度学习模型CurvaNet；LAHAV等^［25］设计了端到端的学习框架MeshWalker，通过用网格表面的随机游走表示网格，并结合RNN学习得到网格的几何和拓扑特征；HU等^［26］提出了SubdivNet，定义了基于网格面的卷积算子以及池化和上采样操作；QIAO等^［27］实现了基于拉普拉斯谱聚类的多尺度池化操作，并引入了相关性网络对特征进行全局融合，完成网格分割任务；SHARP等^［28］提出用DiffusionNet学习网格模型特征，对网格表面分辨率和采样的变化具有较好的鲁棒性；PÉREZ等^［29］定义了基于网格面和网格顶点的卷积操作，并分别设计了两种网络架构. ...

CurvaNet： Geometric deep learning based on directional curvature for 3D shape analysis

1

2020

... 近年来，越来越多的方法通过直接学习网格模型的特征完成分割任务.HANOCKA等^［21］利用网格边定义了相关的卷积和池化操作，提出了适用于三角网格的卷积神经网络MeshCNN；HUANG等^［22］设计了TextureNet，从与三维网格表面相关的高分辨率信号中提取特征，其关键是利用4-旋转对称场定义曲面上的卷积域；FENG等^［23］设计了能够获取和聚合三维形状中多边形面特征的块结构，解决了网格的复杂性和不规则性问题；HE等^［24］将微分几何与图神经网络相结合，利用方向曲率滤波器学习方向敏感的三维形状特征，定义了深度学习模型CurvaNet；LAHAV等^［25］设计了端到端的学习框架MeshWalker，通过用网格表面的随机游走表示网格，并结合RNN学习得到网格的几何和拓扑特征；HU等^［26］提出了SubdivNet，定义了基于网格面的卷积算子以及池化和上采样操作；QIAO等^［27］实现了基于拉普拉斯谱聚类的多尺度池化操作，并引入了相关性网络对特征进行全局融合，完成网格分割任务；SHARP等^［28］提出用DiffusionNet学习网格模型特征，对网格表面分辨率和采样的变化具有较好的鲁棒性；PÉREZ等^［29］定义了基于网格面和网格顶点的卷积操作，并分别设计了两种网络架构. ...

MeshWalker： Deep mesh understanding by random walks

1

2020

... 近年来，越来越多的方法通过直接学习网格模型的特征完成分割任务.HANOCKA等^［21］利用网格边定义了相关的卷积和池化操作，提出了适用于三角网格的卷积神经网络MeshCNN；HUANG等^［22］设计了TextureNet，从与三维网格表面相关的高分辨率信号中提取特征，其关键是利用4-旋转对称场定义曲面上的卷积域；FENG等^［23］设计了能够获取和聚合三维形状中多边形面特征的块结构，解决了网格的复杂性和不规则性问题；HE等^［24］将微分几何与图神经网络相结合，利用方向曲率滤波器学习方向敏感的三维形状特征，定义了深度学习模型CurvaNet；LAHAV等^［25］设计了端到端的学习框架MeshWalker，通过用网格表面的随机游走表示网格，并结合RNN学习得到网格的几何和拓扑特征；HU等^［26］提出了SubdivNet，定义了基于网格面的卷积算子以及池化和上采样操作；QIAO等^［27］实现了基于拉普拉斯谱聚类的多尺度池化操作，并引入了相关性网络对特征进行全局融合，完成网格分割任务；SHARP等^［28］提出用DiffusionNet学习网格模型特征，对网格表面分辨率和采样的变化具有较好的鲁棒性；PÉREZ等^［29］定义了基于网格面和网格顶点的卷积操作，并分别设计了两种网络架构. ...

Subdivision-based mesh convolution networks

1

2022

... 近年来，越来越多的方法通过直接学习网格模型的特征完成分割任务.HANOCKA等^［21］利用网格边定义了相关的卷积和池化操作，提出了适用于三角网格的卷积神经网络MeshCNN；HUANG等^［22］设计了TextureNet，从与三维网格表面相关的高分辨率信号中提取特征，其关键是利用4-旋转对称场定义曲面上的卷积域；FENG等^［23］设计了能够获取和聚合三维形状中多边形面特征的块结构，解决了网格的复杂性和不规则性问题；HE等^［24］将微分几何与图神经网络相结合，利用方向曲率滤波器学习方向敏感的三维形状特征，定义了深度学习模型CurvaNet；LAHAV等^［25］设计了端到端的学习框架MeshWalker，通过用网格表面的随机游走表示网格，并结合RNN学习得到网格的几何和拓扑特征；HU等^［26］提出了SubdivNet，定义了基于网格面的卷积算子以及池化和上采样操作；QIAO等^［27］实现了基于拉普拉斯谱聚类的多尺度池化操作，并引入了相关性网络对特征进行全局融合，完成网格分割任务；SHARP等^［28］提出用DiffusionNet学习网格模型特征，对网格表面分辨率和采样的变化具有较好的鲁棒性；PÉREZ等^［29］定义了基于网格面和网格顶点的卷积操作，并分别设计了两种网络架构. ...

Learning on 3D meshes with Laplacian encoding and pooling

1

2022

... 近年来，越来越多的方法通过直接学习网格模型的特征完成分割任务.HANOCKA等^［21］利用网格边定义了相关的卷积和池化操作，提出了适用于三角网格的卷积神经网络MeshCNN；HUANG等^［22］设计了TextureNet，从与三维网格表面相关的高分辨率信号中提取特征，其关键是利用4-旋转对称场定义曲面上的卷积域；FENG等^［23］设计了能够获取和聚合三维形状中多边形面特征的块结构，解决了网格的复杂性和不规则性问题；HE等^［24］将微分几何与图神经网络相结合，利用方向曲率滤波器学习方向敏感的三维形状特征，定义了深度学习模型CurvaNet；LAHAV等^［25］设计了端到端的学习框架MeshWalker，通过用网格表面的随机游走表示网格，并结合RNN学习得到网格的几何和拓扑特征；HU等^［26］提出了SubdivNet，定义了基于网格面的卷积算子以及池化和上采样操作；QIAO等^［27］实现了基于拉普拉斯谱聚类的多尺度池化操作，并引入了相关性网络对特征进行全局融合，完成网格分割任务；SHARP等^［28］提出用DiffusionNet学习网格模型特征，对网格表面分辨率和采样的变化具有较好的鲁棒性；PÉREZ等^［29］定义了基于网格面和网格顶点的卷积操作，并分别设计了两种网络架构. ...

DiffusionNet： Discretization agnostic learning on surfaces

1

2022

... 近年来，越来越多的方法通过直接学习网格模型的特征完成分割任务.HANOCKA等^［21］利用网格边定义了相关的卷积和池化操作，提出了适用于三角网格的卷积神经网络MeshCNN；HUANG等^［22］设计了TextureNet，从与三维网格表面相关的高分辨率信号中提取特征，其关键是利用4-旋转对称场定义曲面上的卷积域；FENG等^［23］设计了能够获取和聚合三维形状中多边形面特征的块结构，解决了网格的复杂性和不规则性问题；HE等^［24］将微分几何与图神经网络相结合，利用方向曲率滤波器学习方向敏感的三维形状特征，定义了深度学习模型CurvaNet；LAHAV等^［25］设计了端到端的学习框架MeshWalker，通过用网格表面的随机游走表示网格，并结合RNN学习得到网格的几何和拓扑特征；HU等^［26］提出了SubdivNet，定义了基于网格面的卷积算子以及池化和上采样操作；QIAO等^［27］实现了基于拉普拉斯谱聚类的多尺度池化操作，并引入了相关性网络对特征进行全局融合，完成网格分割任务；SHARP等^［28］提出用DiffusionNet学习网格模型特征，对网格表面分辨率和采样的变化具有较好的鲁棒性；PÉREZ等^［29］定义了基于网格面和网格顶点的卷积操作，并分别设计了两种网络架构. ...

Mesh convolutional networks with face and vertex feature operators

1

2023

... 近年来，越来越多的方法通过直接学习网格模型的特征完成分割任务.HANOCKA等^［21］利用网格边定义了相关的卷积和池化操作，提出了适用于三角网格的卷积神经网络MeshCNN；HUANG等^［22］设计了TextureNet，从与三维网格表面相关的高分辨率信号中提取特征，其关键是利用4-旋转对称场定义曲面上的卷积域；FENG等^［23］设计了能够获取和聚合三维形状中多边形面特征的块结构，解决了网格的复杂性和不规则性问题；HE等^［24］将微分几何与图神经网络相结合，利用方向曲率滤波器学习方向敏感的三维形状特征，定义了深度学习模型CurvaNet；LAHAV等^［25］设计了端到端的学习框架MeshWalker，通过用网格表面的随机游走表示网格，并结合RNN学习得到网格的几何和拓扑特征；HU等^［26］提出了SubdivNet，定义了基于网格面的卷积算子以及池化和上采样操作；QIAO等^［27］实现了基于拉普拉斯谱聚类的多尺度池化操作，并引入了相关性网络对特征进行全局融合，完成网格分割任务；SHARP等^［28］提出用DiffusionNet学习网格模型特征，对网格表面分辨率和采样的变化具有较好的鲁棒性；PÉREZ等^［29］定义了基于网格面和网格顶点的卷积操作，并分别设计了两种网络架构. ...

Graph attention networks

2

2018

... 文献［30］最先提出了图注意力网络，其核心是注意力机制.在图节点之间定义了自注意力机制，通过网络训练获取注意力系数，用于聚合节点邻域内的特征.图注意力网络增强了图节点特征的表达能力，更适合节点分类，且可以在节点邻域以及节点之间并行计算，操作效率高. ...

... 文献［30］仅利用相邻图节点定义注意力机制，训练得到注意力系数.为更充分利用节点信息，体现节点间相邻关系，本文引入了相邻节点之间连边的特征.同时，为便于计算图注意力系数，减少计算量，应尽量保持特征维数一致.因此，将图结构中节点

i

和

j

之间连边的特征

x_{i j}^{E}

定义为 ...

How to find your friendly neighborhood： Graph attention design with self-supervision

1

2021

... 受文献［31］的启发，将网络学习得到的注意力系数

e_{i j}^{L}

与体现局部几何信息的注意力系数

e_{i j}^{G}

相结合，定义感知几何的图注意力系数为 ...

Robust mesh segmentation using feature-aware region fusion

1

2023

... 首先，对网格模型进行高效自适应空间剖分^［32］，过分割成一系列超面片.超面片由若干个三角面片组成，通过调整算法参数改变生成的超面片数.图2展示了Armadillo模型的过分割结果，其中不同颜色的区域表示超面片.由于超面片数远远小于三角面片数，因此可以提升后续的分割效率.在实验中，以超面片为基元进行分割的效率较以三角面片为基元的分割效率提升了近10倍，但二者分割质量（准确率和兰德指数）相当. ...

Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds

1

2002

... 采用法向、高斯曲率^［33］、形状直径函数^［34］、平均测地距离^［35］、保角因子^［36］、热核描述符^［37］等几何特征描述超面片的性质.假定对网格模型过分割生成的超面片数为

N

，超面片特征的维数为

M

，

F_{i}

是第

i

个超面片的特征，则将由所有超面片的特征构成的特征矩阵

[F_{1}, F_{2}, \dots, F_{N}]^{T} \in R^{N \times M}

作为图注意力网络的输入. ...

Consistent mesh partitioning and skeletonisation using the shape diameter function

3

2008

... 采用法向、高斯曲率^［33］、形状直径函数^［34］、平均测地距离^［35］、保角因子^［36］、热核描述符^［37］等几何特征描述超面片的性质.假定对网格模型过分割生成的超面片数为

N

，超面片特征的维数为

M

，

F_{i}

是第

i

个超面片的特征，则将由所有超面片的特征构成的特征矩阵

[F_{1}, F_{2}, \dots, F_{N}]^{T} \in R^{N \times M}

作为图注意力网络的输入. ...

... 表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

... Comparison of Rand index of different algorithm

Table 2

模型类别	RandCuts^［39］	ShapeDiam^［34］	NormCuts^［39］	RandWalks^［2］	PMC^［6］	WcSeg^［40］	本文算法
平均值	0.165	0.233	0.248	0.281	0.155	0.085	0.081
Human	0.165	0.155	0.156	0.242	0.059	0.084	0.057
Cup	0.091	0.354	0.401	0.326	0.089	0.125	0.076
Glasses	0.322	0.322	0.345	0.307	0.124	0.167	0.123
Air-plane	0.225	0.192	0.190	0.363	0.108	0.070	0.063
Ant	0.114	0.112	0.118	0.162	0.057	0.009	0.115
Chair	0.188	0.136	0.154	0.198	0.116	0.066	0.065
Octopus	0.423	0.398	0.405	0.433	0.066	0.026	0.023
Table	0.449	0.292	0.320	0.220	0.025	0.056	0.032
Teddy	0.073	0.089	0.075	0.144	0.294	0.040	0.035
Hand	0.111	0.185	0.175	0.124	0.220	0.103	0.134
Plier	0.314	0.329	0.387	0.376	0.110	0.078	0.055
Fish	0.303	0.317	0.354	0.484	0.471	0.144	0.136
Bird	0.303	0.296	0.332	0.404	0.212	0.094	0.092
Arma-dillo	0.078	0.097	0.102	0.105	0.195	0.076	0.072
Fourleg	0.282	0.219	0.210	0.329	0.175	0.139	0.130

3.3　消融实验

通过消融实验定量比较注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和 $e_{i j}$ 对分割结果的影响，以进一步证明算法的合理性.在PSB数据集的9个模型类别上进行消融实验，表3为使用网络学习得到的注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 的分割准确率.对于Chair模型，当注意力系数为 $e_{i j}^{L}$ 时，分割准确率为97.0%；而当注意力系数为 $e_{i j}$ 时，分割准确率为98.8%，提高了1.8个百分点.同时，不同类别模型的分割准确率平均值提升了1个百分点.表明感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 能够获得更好的分割结果，表达节点局部几何信息的注意力系数 $e_{i j}^{G}$ 对于网络训练是必要的.另外，感知几何的注意力网络能够提升网络的训练性能，提高分割准确率. ...

Topology matching for fully automatic similarity estimation of 3D shapes

1

2001

... 采用法向、高斯曲率^［33］、形状直径函数^［34］、平均测地距离^［35］、保角因子^［36］、热核描述符^［37］等几何特征描述超面片的性质.假定对网格模型过分割生成的超面片数为

N

，超面片特征的维数为

M

，

F_{i}

是第

i

个超面片的特征，则将由所有超面片的特征构成的特征矩阵

[F_{1}, F_{2}, \dots, F_{N}]^{T} \in R^{N \times M}

作为图注意力网络的输入. ...

Characterizing shape using conformal factors

1

2008

... 采用法向、高斯曲率^［33］、形状直径函数^［34］、平均测地距离^［35］、保角因子^［36］、热核描述符^［37］等几何特征描述超面片的性质.假定对网格模型过分割生成的超面片数为

N

，超面片特征的维数为

M

，

F_{i}

是第

i

个超面片的特征，则将由所有超面片的特征构成的特征矩阵

[F_{1}, F_{2}, \dots, F_{N}]^{T} \in R^{N \times M}

作为图注意力网络的输入. ...

A concise and provably informative multi-scale signature based on heat diffusion

1

2009

... 采用法向、高斯曲率^［33］、形状直径函数^［34］、平均测地距离^［35］、保角因子^［36］、热核描述符^［37］等几何特征描述超面片的性质.假定对网格模型过分割生成的超面片数为

N

，超面片特征的维数为

M

，

F_{i}

是第

i

个超面片的特征，则将由所有超面片的特征构成的特征矩阵

[F_{1}, F_{2}, \dots, F_{N}]^{T} \in R^{N \times M}

作为图注意力网络的输入. ...

AttAN： Attention adversarial networks for 3D point cloud semantic segmentation

1

2020

... 最后，受文献［38］的启发，通过添加残差形式的线性连接，更好地保留原始特征，使数值更稳定.在残差连接之后，为减少过拟合，添加ReLU和Dropout层，获得输出

[{\tilde{F}}_{1}, {\tilde{F}}_{2}, \dots, {\tilde{F}}_{N}]

.进而，对

[{\tilde{F}}_{1}, {\tilde{F}}_{2}, \dots, {\tilde{F}}_{N}]

应用softmax和argmax函数，得到超面片对应的one-hot形式的标签，得到超面片的分类结果，实现对网格模型的分割. ...

Randomized cuts for 3D mesh analysis

4

2008

... 表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

... ［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

... Comparison of Rand index of different algorithm

Table 2

模型类别	RandCuts^［39］	ShapeDiam^［34］	NormCuts^［39］	RandWalks^［2］	PMC^［6］	WcSeg^［40］	本文算法
平均值	0.165	0.233	0.248	0.281	0.155	0.085	0.081
Human	0.165	0.155	0.156	0.242	0.059	0.084	0.057
Cup	0.091	0.354	0.401	0.326	0.089	0.125	0.076
Glasses	0.322	0.322	0.345	0.307	0.124	0.167	0.123
Air-plane	0.225	0.192	0.190	0.363	0.108	0.070	0.063
Ant	0.114	0.112	0.118	0.162	0.057	0.009	0.115
Chair	0.188	0.136	0.154	0.198	0.116	0.066	0.065
Octopus	0.423	0.398	0.405	0.433	0.066	0.026	0.023
Table	0.449	0.292	0.320	0.220	0.025	0.056	0.032
Teddy	0.073	0.089	0.075	0.144	0.294	0.040	0.035
Hand	0.111	0.185	0.175	0.124	0.220	0.103	0.134
Plier	0.314	0.329	0.387	0.376	0.110	0.078	0.055
Fish	0.303	0.317	0.354	0.484	0.471	0.144	0.136
Bird	0.303	0.296	0.332	0.404	0.212	0.094	0.092
Arma-dillo	0.078	0.097	0.102	0.105	0.195	0.076	0.072
Fourleg	0.282	0.219	0.210	0.329	0.175	0.139	0.130

3.3　消融实验

通过消融实验定量比较注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和 $e_{i j}$ 对分割结果的影响，以进一步证明算法的合理性.在PSB数据集的9个模型类别上进行消融实验，表3为使用网络学习得到的注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 的分割准确率.对于Chair模型，当注意力系数为 $e_{i j}^{L}$ 时，分割准确率为97.0%；而当注意力系数为 $e_{i j}$ 时，分割准确率为98.8%，提高了1.8个百分点.同时，不同类别模型的分割准确率平均值提升了1个百分点.表明感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 能够获得更好的分割结果，表达节点局部几何信息的注意力系数 $e_{i j}^{G}$ 对于网络训练是必要的.另外，感知几何的注意力网络能够提升网络的训练性能，提高分割准确率. ...

... ［39］RandWalks^［2］PMC^［6］WcSeg^［40］本文算法平均值0.1650.2330.2480.2810.1550.0850.081Human0.1650.1550.1560.2420.0590.0840.057Cup0.0910.3540.4010.3260.0890.1250.076Glasses0.3220.3220.3450.3070.1240.1670.123Air-plane0.2250.1920.1900.3630.1080.0700.063Ant0.1140.1120.1180.1620.0570.0090.115Chair0.1880.1360.1540.1980.1160.0660.065Octopus0.4230.3980.4050.4330.0660.0260.023Table0.4490.2920.3200.2200.0250.0560.032Teddy0.0730.0890.0750.1440.2940.0400.035Hand0.1110.1850.1750.1240.2200.1030.134Plier0.3140.3290.3870.3760.1100.0780.055Fish0.3030.3170.3540.4840.4710.1440.136Bird0.3030.2960.3320.4040.2120.0940.092Arma-dillo0.0780.0970.1020.1050.1950.0760.072Fourleg0.2820.2190.2100.3290.1750.1390.1303.3　消融实验

通过消融实验定量比较注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和 $e_{i j}$ 对分割结果的影响，以进一步证明算法的合理性.在PSB数据集的9个模型类别上进行消融实验，表3为使用网络学习得到的注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 的分割准确率.对于Chair模型，当注意力系数为 $e_{i j}^{L}$ 时，分割准确率为97.0%；而当注意力系数为 $e_{i j}$ 时，分割准确率为98.8%，提高了1.8个百分点.同时，不同类别模型的分割准确率平均值提升了1个百分点.表明感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 能够获得更好的分割结果，表达节点局部几何信息的注意力系数 $e_{i j}^{G}$ 对于网络训练是必要的.另外，感知几何的注意力网络能够提升网络的训练性能，提高分割准确率. ...

Shape segmentation by approximate convexity analysis

2

2014

... 表2比较了本文算法与RandCuts^［39］、ShapeDiam^［34］、NormCuts^［39］、RandWalks^［2］、PMC^［6］、WcSeg^［40］算法对PSB数据集分割的兰德指数.在多数模型类别中，本文算法获得了较其他算法更好的分割结果.在Human、Octopus和Armadillo等复杂网格模型中，本文算法的兰德指数更低.本文算法的兰德指数平均值仅为0.081，表明本文算法能够获得更高质量的分割结果. ...

... Comparison of Rand index of different algorithm

Table 2

模型类别	RandCuts^［39］	ShapeDiam^［34］	NormCuts^［39］	RandWalks^［2］	PMC^［6］	WcSeg^［40］	本文算法
平均值	0.165	0.233	0.248	0.281	0.155	0.085	0.081
Human	0.165	0.155	0.156	0.242	0.059	0.084	0.057
Cup	0.091	0.354	0.401	0.326	0.089	0.125	0.076
Glasses	0.322	0.322	0.345	0.307	0.124	0.167	0.123
Air-plane	0.225	0.192	0.190	0.363	0.108	0.070	0.063
Ant	0.114	0.112	0.118	0.162	0.057	0.009	0.115
Chair	0.188	0.136	0.154	0.198	0.116	0.066	0.065
Octopus	0.423	0.398	0.405	0.433	0.066	0.026	0.023
Table	0.449	0.292	0.320	0.220	0.025	0.056	0.032
Teddy	0.073	0.089	0.075	0.144	0.294	0.040	0.035
Hand	0.111	0.185	0.175	0.124	0.220	0.103	0.134
Plier	0.314	0.329	0.387	0.376	0.110	0.078	0.055
Fish	0.303	0.317	0.354	0.484	0.471	0.144	0.136
Bird	0.303	0.296	0.332	0.404	0.212	0.094	0.092
Arma-dillo	0.078	0.097	0.102	0.105	0.195	0.076	0.072
Fourleg	0.282	0.219	0.210	0.329	0.175	0.139	0.130

3.3　消融实验

通过消融实验定量比较注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和 $e_{i j}$ 对分割结果的影响，以进一步证明算法的合理性.在PSB数据集的9个模型类别上进行消融实验，表3为使用网络学习得到的注意力系数 $e_{i j}^{L}$ 和感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 的分割准确率.对于Chair模型，当注意力系数为 $e_{i j}^{L}$ 时，分割准确率为97.0%；而当注意力系数为 $e_{i j}$ 时，分割准确率为98.8%，提高了1.8个百分点.同时，不同类别模型的分割准确率平均值提升了1个百分点.表明感知几何的图注意力系数 $e_{i j}$ 能够获得更好的分割结果，表达节点局部几何信息的注意力系数 $e_{i j}^{G}$ 对于网络训练是必要的.另外，感知几何的注意力网络能够提升网络的训练性能，提高分割准确率. ...