Yule-Furry经典δ冲击模型的可靠度

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.006

Yule-Furry经典δ冲击模型的可靠度

马明^,^,, 拉毛措^,^,, 彭博

西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州 730030

Reliability of Yule-Furry classic δ shock model

MA Ming^,^,, Lamaocuo ^,^,, PENG Bo

School of Mathematics and Computer Science，Northwest Minzu University，Lanzhou 730030，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0009-0001-0760-5219，E-mail：2242674488@qq.com.

收稿日期: 2022-09-13 修回日期: 2023-03-21 接受日期: 2023-03-28

基金资助:

中央高校基本科研业务费专项资助. 31920210019
甘肃省高等教育教学成果培育项目. 2021GSJXCGPY-03

Received: 2022-09-13 Revised: 2023-03-21 Accepted: 2023-03-28

作者简介 About authors

马明（1971—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1374-5346，男，博士，教授，主要从事可靠性理论与数理关系营销研究.E-mail：mm9252@qq.com. , E-mail：mm9252@qq.com

摘要

可靠度是可靠性模型理论研究的重要内容之一，尤其在δ冲击模型中可靠度是讨论其他指标的前提。采用重积分法、独立卷积法、无记忆法证明了Yule-Furry经典δ冲击模型的系统可靠度，并分析了3种方法的异同。由无记忆法的证明过程，得到寿命 $T$ 的分布函数，并推导了可靠度的简单证法。

关键词： δ 冲击模型 ; Yule-Furry过程 ; 可靠度

Abstract

Reliability is the primary topic in the theoretical research of reliability models, especially the premise for discussing other indicators in the δ shock model. In this paper, three methods including multiple integration method, independent convolution method and memoryless method are used to prove the system reliability of Yule-Furry classical δ shock model, and the similarities and differences between the three methods are analyzed. Based on the proof process of the memoryless method, the distribution function of the lifetime $T$ is obtained, and a simple proof of reliability is derived.

Keywords： δ shock model ; Yule-Furry process ; degree of reliability

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本文引用格式

马明, 拉毛措, 彭博. Yule-Furry经典δ冲击模型的可靠度. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(5): 558-563 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.006

MA Ming, Lamaocuo , PENG Bo. Reliability of Yule-Furry classic δ shock model. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(5): 558-563 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.006

0　引言

冲击模型是可靠性数学理论的主要组成部分。一般以交通、医学、生产等领域为背景，研究随机环境中各运行系统的寿命分布以及维修更换策略等。δ冲击模型是由冲击间隔引起失效的一种特殊冲击模型，按失效机制可分为经典δ冲击模型和截断δ冲击模型两类。经典δ冲击模型由李泽慧^［1］在研究城市交通拥挤问题时抽象得到，其失效机制为当连续两次冲击的时间间隔低于临界值δ时系统失效，这类问题在现实世界中普遍存在，如电路中连续强电流冲击引起的发热导致元件失效，电子通信中连续干扰引起信号失真等；截断δ冲击模型由MA等^［2］在研究客户关系管理中刻画得到，其失效机制为当冲击时间间隔超过临界值δ时尚无新的冲击到达则系统失效。这类模型在地震现象描述、客户关系管理、环境保护及其他许多领域都有重要应用。

近年来，δ冲击模型广受国内外学者关注，例如李泽慧等^［3］用统计量法得到了基础过程为齐次泊松的经典δ冲击模型的寿命分布及其性质；王冠军等^［4］用概率法给出了模型的寿命分布及其最优更换策略；何雪等^［5］讨论了冲击间隔服从泊松分布的离散型δ冲击模型，得到系统寿命的概率分布和期望的表达式；LI等^［6］讨论了非齐次泊松经典 δ 冲击模型的显式可靠度及寿命分布类性质；唐风琴等^［7］探究了时倚泊松经典对偶δ冲击模型的相关寿命性质及其最优更换策略；ERYILMAZ等^［8］研究了冲击按更新过程到达且间隔时间遵从均匀分布的δ 冲击模型，给出该模型的系统可靠度和平均失效寿命；ERYILMAZ^［9］还研究了基于Pólya过程的经典δ冲击模型，得到系统的生存函数和平均寿命，并考虑了基于Pólya过程的δ冲击模型的最优更换策略；JIANG^［10］提出了具有多失效阈值的广义离散型δ冲击模型，分析并推导了平均成本率和平稳可用性，在可用性约束下，通过数值计算得到最优的订货替换策略；GOYAL等^［11］讨论了广义Pólya过程发生的时变δ冲击模型，推导了模型的生存函数和平均寿命，研究了最优更换策略和随机性质。经典δ冲击模型最初用于解决城市交通事故相关问题，随后在产品库存问题和系统更换策略研究中得到广泛应用，还可用于细胞癌变病例和生物繁殖研究。

以上对δ冲击模型研究关注的是冲击时间间隔独立同分布，当冲击时间间隔独立且服从同类型不同参数分布时，特别是冲击到达率变化时，尚未见对此类δ冲击模型进行研究的报道。因此，本文将讨论Yule-Furry经典δ冲击模型的寿命性质，其冲击间隔服从参数按冲击次数线性变化的指数分布。

1　预备知识

首先介绍一类很重要的计数过程，因YULE^［12］和FURRY^［13］将计数过程分别用于研究以突变分裂方式进行繁殖的生物群体和与宇宙射线有关的问题，而被称为Yule-Furry过程。

定义1^［14］设计数过程 $\{X (t), t \geq 0\}$ 是一个连续时间马尔科夫链，给定正整数 $m$ ，若对任意的 $t \geq 0,$ $h > 0, n = m, m + 1, \dots,$ 存在 $λ > 0$ ，使得 ${X (t),$ $t \geq 0}$ 满足：

（i） $X (0) = m;$

（ii） $P (X (t + h) - X (t) = 1 |X (t) = n) = n λ h + ο (h);$

（iii） $P (X (t + h) - X (t) \geq 2 |X (t) = n) = ο (h)$ ；

则称 $\{X (t), t \geq 0\}$ 是参数为 $(m, λ)$ 的Yule-Furry过程，也称为线性纯生过程，记作 $\{X (t), t \geq 0\} ~ Y F P (m, λ)$ ，其中 $λ$ 为生率系数， $m λ$ 为初始生率。

定义2 事件点在时间轴上随机分布的现象称为随机点过程，简称点过程，记作 $Ψ$ 。

对于 $t > 0,$ $n = 1,2, \dots$ ， $N (t)$ 表示 $[0, t)$ 之间发生的事件点数， $S_{n}$ 为第 $n$ 个事件点发生的时刻， $Z_{n}$ 表示第 $n - 1$ 个和第 $n$ 个事件点的时间间隔，其中 $Z_{1}$ 表示首次冲击时刻，则随机过程 $\{N (t), t \geq 0\}$ ， ${S_{n}, n = 1,2, \dots}$ ， ${Z_{n}, n = 1,2, \dots}$ 分别称为点过程 $Ψ$ 的点数过程、点时过程、点距过程，常用这3种随机过程表征随机点过程 $Ψ$ 。

定义3 设 $\{N (t), t \geq 0\}$ 是点过程 $Ψ$ 的点数过程，给定正整数 $m,$ 对任意的 $t \geq 0,$ 令 $X (t) = N (t) + m$ ，如果 $\{X (t), t \geq 0\} ~ Y F P (m, λ)$ ，则称 $Ψ$ 是参数为 $(m, λ)$ 的Yule-Furry点过程，记作 $Ψ ~ [Y F P (m, λ)]$ 。

下面引入几个比较重要的引理。

引理1^［14］若 $Ψ ~ [Y F P (m, λ)]$ ， ${S_{n}, n = 1,$ $2, \dots}$ ， ${Z_{n}, n = 1,2, \dots}$ 分别为 $Ψ$ 的点时过程和点距过程，则 $Ψ$ 有以下性质（其中规定 $0^{0} = 1$ ）：

（i）对于 $n = 1,2, \dots,$ 点距 $Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}$ 相互独立且 $Z_{n}$ 服从参数为 $(n + m - 1) λ$ 的指数分布，即 $Z_{n}$ 的密度为

f_{Z_{n}} (t) = \{\begin{array}{l} (n + m - 1) λ e^{- (n + m - 1) λ t}, t \geq 0, \\ 0, t < 0 ； \end{array}

（ii）若 $m = 1$ ，则对任意的 $n \geq 1$ ，点时 $S_{n}$ 的分布函数为

P (S_{n} \leq t) = \{\begin{array}{l} (1 - e^{- λ t})^{n}, t \geq 0 ， \\ 0, t < 0 。 \end{array}

引理2^［15］设 $g (x)$ 为连续函数，则对 $t \geq 0$ 及 $n = 1,2, \dots ，$ 有

\int_{0}^{t} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \dots \int_{0}^{t_{n - 1}} g (t_{1}) g (t_{2}) \dots g (t_{n}) d t_{n} = \frac{1}{n!} {\{\int_{0}^{t} g (x) d x\}}^{n} 。

对等号左边做变量替换，可得

推论1 设 $g (x)$ 为连续函数，则对 $t \geq 0$ 及 $n = 1,2, \dots$ ，有

\underset{\begin{array}{l} x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, \dots, x_{n} \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} \leq t \end{array}}{\int \dots \int} \prod_{i = 1}^{n} g (\sum_{j = 1}^{i} x_{j}) d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n} = \frac{1}{n!} {\{\int_{0}^{t} g (x) d x\}}^{n} 。

2　模型假设

考虑在连续时间尺度上运行的系统，该系统遭受一次外部的随机冲击，假设该冲击按参数为 $(m, λ)$ 的Yule-Furry点过程到达，如果相邻两次冲击间隔小于给定的正实数δ，则系统失效（假设首次冲击时刻小于δ，系统也失效），称这样的模型为Yule-Furry经典δ冲击模型。

定义4 设 ${Z_{n}, n = 1,2, \dots}$ 为点过程 $[Y F P (m, λ)]$ 的点距过程，给定实数 $δ > 0$ ，记

M = i n f {n |Z_{n} < δ, n = 1,2, \dots}

，

T = \sum_{n = 1}^{M} Z_{n},

规定 $i n f ϕ = \infty$ ， $ϕ$ 表示空集，则称系统寿命 $T$ 遵循冲击参数为 $(m, λ)$ 、失效参数为δ的Yule-Furry经典δ冲击模型，记作 $T ~ S M {[Y F P (m, λ)], D (δ)} 。$

3　主要结果

可靠度是系统可靠性的重要指标之一，本节将给出 $S M {[Y F P (1, λ)], D (δ)}$ 的系统可靠度。以下若不特别说明， $\{N (t), t \geq 0\}$ ， ${S_{n}, n = 1,2, \dots}$ ， ${Z_{n}, n = 1,2, \dots}$ 分别记为点过程 $[Y F P (1, λ)]$ 的点数过程、点时过程、点距过程，记 ${(x)}_{+} = m a x (x, 0)$ ，并规定 $0^{0} = 1$ 。

定理1 $S M {[Y F P (1, λ)], D (δ)}$ 的系统可靠度 ${\bar{F}}_{T} (t)$ 为

{\bar{F}}_{T} (t) = \{\begin{array}{l} 1, t < 0, \\ e^{^{^{- λ t}}} \sum_{n = 0}^{⌊t / δ⌋} e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} [1 - e^{- λ (t - n δ)}]^{n}, t \geq 0 。 \end{array}

其中， $⌊t / δ⌋$ 为不超过实数 $t / δ$ 的最大整数。

证明分别用重积分法、独立卷积法、无记忆法进行证明。

方法1 重积分法。当 $t < 0$ 时， $P (T > t) = 1 。$ 对于 $t \geq 0,$ 关于失效前冲击次数 $M$ ，取条件可得

\begin{array}{l} P (T > t) = P (T > t, M = 1) + \\ \sum_{n = 2}^{\infty} P (T > t, M = n) ， \end{array}

（1）

其中， ${M = 1}$ 表示首次冲击引起失效，即有 $T = Z_{1} \leq δ,$ 则

P (T > t, M = 1) = P (Z_{1} > t, Z_{1} \leq δ) = \{\begin{array}{l} 0, t \geq δ ， \\ e^{- λ t} - e^{- λ δ} ， & 0 \leq t < δ 。 \end{array}

（2）

当 $n \geq 2$ 时，易得

\begin{array}{l} P (T > t, M = n) = \\ P (\sum_{i = 1}^{n} Z_{i} \geq t, Z_{1} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ, Z_{n} < δ) 。 \end{array}

（3）

若记 $(Z_{1}, Z_{2} ， \dots, Z_{n})$ 的联合概率密度为 $f_{(Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n})} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，则

\begin{array}{l} P (T > t, M = n) = \\ \underset{\begin{array}{l} x_{1} \geq δ, x_{2} \geq δ, \dots, x_{n} < δ \\ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} > t \end{array}}{\int \dots \int} f_{(Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n})} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n}, \end{array}

（4）

由引理1（i），易得

\underset{\begin{array}{l} x_{1} \geq δ, x_{2} \geq δ, \dots, x_{n} < δ \\ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} > t \end{array}}{\int \dots \int} f_{(Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n})} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n} = \int_{0}^{δ} n! λ^{n} e^{- n λ x} (\underset{\begin{array}{l} x_{1} \geq δ, x_{2} \geq δ, \dots, x_{n - 1} \geq δ \end{array}}{\int \dots \int} \prod_{i = 1}^{n - 1} e^{- i λ x_{i}} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n - 1} - \underset{\begin{array}{l} x_{1} \geq δ, x_{2} \geq δ, \dots, x_{n - 1} \geq δ \\ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} \leq t - x \end{array}}{\int \dots \int} \prod_{i = 1}^{n - 1} e^{- i λ x_{i}} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n - 1}) d x 。

（5）

对于任意的 $n \geq 2, 0 < x < δ,$ 有

\underset{\begin{array}{l} x_{1} \geq δ, x_{2} \geq δ, \dots, x_{n - 1} \geq δ \end{array}}{\int \dots \int} \prod_{i = 1}^{n - 1} e^{- i λ x_{i}} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n - 1} = \prod_{i = 1}^{n - 1} (\int_{δ}^{\infty} e^{- i λ x_{i}} d x_{i}) = \frac{1}{(n - 1)! λ^{n - 1}} e^{^{^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ}}},

（6）

\begin{array}{l} \underset{\begin{array}{l} x_{1} \geq δ, x_{2} \geq δ, \dots, x_{n - 1} \geq δ \\ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} \leq t - x \end{array}}{\int \dots \int} \prod_{i = 1}^{n - 1} e^{- i λ x_{i}} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n - 1} = \frac{1}{(n - 1)! λ^{n - 1}} e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} \times \\ {1 - e^{- λ 【 t - x - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n - 1} 。 \end{array}

（7）

式（7）成立是因为：令

I = \underset{\begin{array}{l} x_{1} \geq δ, x_{2} \geq δ, \dots, x_{n - 1} \geq δ \\ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} \leq t - x \end{array}}{\int \dots \int} \prod_{i = 1}^{n - 1} e^{- i λ x_{i}} d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n - 1},

u_{n - i} = x_{i} - δ, i = 1,2, \dots, n - 1,

则

\begin{array}{l} I = \underset{\begin{array}{l} u_{n - 1} \geq 0, u_{n - 2} \geq 0, \dots, u_{1} \geq 0 \\ u_{n - 1} + u_{n - 2} + \dots + u_{1} \leq t - x - (n - 1) δ \end{array}}{\int \dots \int} \\ \prod_{i = 1}^{n - 1} e^{- i λ (u_{n - i} + δ)} d u_{n - 1} d u_{n - 2} \dots d u_{1} = \prod_{i = 1}^{n - 1} e^{- i λ δ} \underset{\begin{array}{l} u_{1} \geq 0, u_{2} \geq 0, \dots, u_{n - 1} \geq 0 \\ u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n - 1} \leq t - x - (n - 1) δ \end{array}}{\int \dots \int} \\ \prod_{i = 1}^{n - 1} e^{- λ \sum_{j = 1}^{i} u_{j}} d u_{1} d u_{2} \dots d u_{n - 1}, \end{array}

由推论1，可得

I = \frac{1}{(n - 1)!} \prod_{i = 1}^{n - 1} e^{- i λ δ} {\{\int_{δ}^{[t - x - {(n - 1) δ]}_{+}} e^{- λ u} d u\}}^{n - 1} = \frac{1}{(n - 1)! λ^{n - 1}} e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} {1 - e^{- λ [t - x - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n - 1} 。

由式（4）~式（7），得

P (T > t, M = n) = e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} ((1 - e^{- n λ δ}) - n λ \int_{0}^{δ} e^{- n λ x} {1 - e^{- λ [t - x - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n - 1} d x) 。

（8）

若 $n \geq 2$ ，由于

1 - e^{- λ [t - x - {(n - 1) δ]}_{+}} = \{\begin{array}{l} 1 - e^{- λ [t - x - (n - 1) δ]}, x \leq t - (n - 1) δ, \\ 0, x > t - (n - 1) δ, \end{array}

则

\int_{0}^{δ} e^{- n λ x_{}} {1 - e^{- λ [t - x - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n - 1} d x = \{\begin{array}{l} 0, t < (n - 1) δ ， \\ \frac{1}{n λ} {1 - e^{- λ [t - (n - 1) δ]}}^{n}, (n - 1) δ \leq t < n δ ， \\ \begin{array}{l} \frac{1}{n λ} ({1 - e^{- λ [t - (n - 1) δ]}}^{n} - \\ e^{- n λ δ} [1 - e^{- λ (t - n δ)}]^{n}), t \geq n δ 。 \end{array} \end{array}

（9）

将式（9）代入式（8），可得

P (T > t, M = n) = e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} （ (1 - e^{- n λ δ}) + e^{- n λ δ} [1 - e^{- λ {(t - n δ)}_{+}}]^{n} - {1 - e^{- λ [t - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n} ） 。

（10）

注意到，当 $n = 1$ 时，式（10）等价于式（2），所以，对任意的 $n \geq 1$ ，式（10）均成立。

将式（10）代入式（1），可得

P (T > t) = \sum_{n = 1}^{\infty} e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} （ (1 - e^{- n λ δ}) + e^{- n λ δ} [1 - e^{- λ {(t - n δ)}_{+}}]^{n} - {1 - e^{- λ [t - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n} ） 。

（11）

注意到

e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} (1 - e^{- n λ δ}) = P (M = n),

且

\sum_{n = 1}^{\infty} e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} (1 - e^{- n λ δ}) = 1,

（12）

所以

P (T > t) = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- \frac{n (n + 1)}{2} λ δ} [1 - e^{- λ {(t - n δ)}_{+}}]^{n} - \sum_{n = 1}^{\infty} e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} {1 - e^{- λ [t - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n} 。

（13）

由于，当 $t \geq 0$ 时，对 $n = 1,2, \dots,$ 有

[1 - e^{- λ {(t - n δ)}_{+}}]^{n} = \{\begin{array}{l} [1 - e^{- λ (t - n δ)}]^{n}, t \geq n δ ， \\ 0, t < n δ ， \end{array}

{1 - e^{- λ [t - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n} = \{\begin{array}{l} {1 - e^{- λ [t - (n - 1] δ)}}^{^{n}}, t \geq (n - 1) δ ， \\ 0, t < (n - 1) δ ， \end{array}

则

P (T > t) = \sum_{n = 0}^{⌊t / δ⌋} e^{- \frac{n (n + 1)}{2} λ δ} [1 - e^{- λ (t - n δ)}]^{n} - \sum_{n = 1}^{⌊t / δ⌋ + 1} e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} {1 - e^{- λ [t - (n - 1) δ]}}^{n},

（14）

右边第2项变量替换并合并，可得

P (T > t) = \sum_{n = 0}^{⌊t / δ⌋} e^{- \frac{n (n + 1)}{2} λ δ} [1 - e^{- λ (t - n δ)}]^{n} - \sum_{n = 0}^{⌊t / δ⌋} e^{- \frac{n (n + 1)}{2} λ δ} [1 - e^{- λ (t - n δ)}]^{n + 1} = e^{^{^{- λ t}}} \sum_{n = 0}^{⌊t / δ⌋} e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} [1 - e^{- λ (t - n δ)}]^{n} 。

定理1得证。

方法2 独立卷积法。多重积分法主要是将 $P (T > t, M = n)$ 表示成密度的重积分进行计算，下面用独立卷积法计算式（3），仍讨论 $n \geq 2$ 的情形。

对于 $i = 1,2, \dots, n,$ $Z_{i} ~ E x p (i λ)$ 且相互独立，注意到当 ${M = n}$ 发生时， $T = S_{n}$ 。若记 $F_{Z_{n}} (x)$ 为 $Z_{n}$ 的分布函数，则

\begin{array}{l} P (T > t, M = n) = P (S_{n} > t, Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ, Z_{n} < δ) = E [P (S_{n} > t, \\ Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ, Z_{n} < δ |Z_{n})] = \int_{0}^{δ} P (S_{n} > t, Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ |Z_{n} = x) d F_{Z_{n}} (x) = \int_{0}^{δ} n λ e^{- n λ x} P (S_{n - 1} > t - x, Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ) d x = e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} \int_{0}^{δ} n λ e^{- n λ x} P (S_{n - 1} > t - x |Z_{1} \geq δ, \\ Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ) d x 。 \end{array}

（15）

下证

P (S_{n - 1} > t - x |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ) = P (R_{n - 1} > t - x),

（16）

其中， $R_{n - 1} = Y_{1} + Y_{2} + \dots + Y_{n - 1},$ 且 $Y_{1}, Y_{2}, \dots,$ $Y_{n - 1}$ 相互独立， $P (Y_{i} < y) = F_{Y_{i}} (y) = P (Z_{i} < y |Z_{i} \geq δ),$ $i = 1,2, \dots ， n - 1 。$

首先有 $P (S_{1} > t - x |Z_{1} \geq δ) = P (Z_{1} > t - x |Z_{1} \geq δ) = P (Y_{1} > t - x) = P (R_{1} > t - x) 。$ 假设

P (S_{n - 2} > t - x |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 2} \geq δ) = P (R_{n - 2} > t - x),

（17）

由于冲击间隔 $Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n - 1}$ 相互独立，则

\begin{array}{l} P (S_{n - 1} > t - x |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ) = \\ E [P (S_{n - 1} > t - x |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ, Z_{n - 1}) |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ] = \\ \int_{δ}^{\infty} P (S_{n - 2} > t - x - y |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 2} \geq δ) d F_{Z_{n - 1} |Z_{n - 1} \geq δ} (y) = \\ P (S_{n - 2} > t - x - y |Z_{1} \geq δ, \\ Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 2} \geq δ) d F_{Y_{n - 1}} (y) 。 \end{array}

而由式（17），易得

\begin{array}{l} \int_{δ}^{\infty} P (S_{n - 2} > t - x - y |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 2} \geq δ) d F_{Y_{n - 1}} (y) = \\ \int_{δ}^{\infty} P (R_{n - 2} > t - x - y) d F_{Y_{n - 1}} (y), \end{array}

另外

\begin{array}{l} P (R_{n - 1} > t - x) = \\ \int_{δ}^{\infty} P (R_{n - 1} > t - x |Y_{n - 1} = y) d F_{Y_{n - 1}} (y) = \\ \int_{δ}^{\infty} P (R_{n - 2} > t - x - y) d F_{Y_{n - 1}} (y), \end{array}

因此，式（16）成立。

记 $F_{R_{n - 1}} (t - x) = P (R_{n - 1} \leq t - x)$ 。当 $n \geq 2$ 时，若

\begin{array}{l} F_{R_{n - 1}} (t - x) = \{\begin{array}{l} {1 - e^{- λ [t - x - (n - 1) δ]}}^{n - 1}, x \leq t - (n - 1) δ \\ 0, x > t - (n - 1) δ \end{array} = \\ {1 - e^{- λ [t - x - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n - 1} ， \end{array}

（18）

则由式（16）和式（18），易得

P (S_{n - 1} > t - x |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ) = 1 - {1 - e^{- λ [t - x - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n - 1},

（19）

将式（19）代入式（15），即可得式（8）。

下证当 $n \geq 2$ 时式（18）成立。由于 $Z_{i} ~ E x p (i λ), i = 1,2 ， \dots ， n - 1$ ，则

F_{Y_{i}} (y) = P (Z_{i} < y |Z_{i} \geq δ) = \{\begin{array}{l} 1 - e^{- i λ (y - δ)}, y \geq δ \\ 0, y < δ \end{array} = 1 - e^{- i λ {(y - δ)}_{+}},

所以

F_{R_{1}} (t - x) = F_{Y_{1}} (t - x) = \{\begin{array}{l} 1 - e^{- λ (t - x - δ)}, x \leq t - δ \\ 0, x > t - δ \end{array} = 1 - e^{- λ {(t - x - δ)}_{+}} 。

假设 $F_{R_{n - 2}} (t - x) = {1 - e^{- λ [t - x - {(n - 2) δ]}_{+}}}^{n - 2}$ ，则

\begin{array}{l} F_{R_{n - 1}} (t - x) = \\ \int_{- \infty}^{\infty} P (R_{n - 2} \leq t - x - y |Y_{n - 1} = y) d F_{Y_{n - 1}} (y) = \\ \int_{δ}^{\infty} F_{R_{n - 2}} (t - x - y) d [1 - e^{- λ (n - 1) (y - δ)}] 。 \end{array}

由归纳假设，可得

\begin{array}{l} F_{R_{n - 1}} (t - x) = \int_{δ}^{\infty} {1 - e^{- λ [t - x - y - {(n - 2) δ]}_{+}}}^{n - 2} \times \\ d [1 - e^{- λ (n - 1) (y - δ)}] = \\ (n - 1) λ \int_{δ}^{\infty} {1 - e^{- λ [t - x - y - {(n - 2) δ]}_{+}}}^{n - 2} \times e^{- λ (n - 1) (y - δ)} d y 。 \end{array}

由于

{1 - e^{- λ [t - x - y - {(n - 2) δ]}_{+}}}^{n - 2} = \{\begin{array}{l} {1 - e^{- λ [t - x - y - (n - 2) δ]}}^{n - 2}, y \leq t - x - (n - 2) δ ， \\ 0, y > t - x - (n - 2) δ ， \end{array}

当 $0 \leq t - x - (n - 2) δ < δ$ 时，

F_{R_{n - 1}} (t - x) = \int_{δ}^{\infty} 0 d y = 0,

当 $t - x - (n - 2) δ \geq δ$ 时，

\begin{array}{l} F_{R_{n - 1}} (t - x) = (n - 1) λ \times \\ \int_{δ}^{t - x - (n - 2) δ} {1 - e^{- λ [t - x - y - (n - 2) δ]}}^{n - 2} \times e^{- λ (n - 1) (y - δ)} d y = \\ {1 - e^{- λ [t - x - (n - 1) δ]}}^{n - 1}, \end{array}

故

\begin{array}{l} F_{R_{n - 1}} (t - x) = \{\begin{array}{l} {1 - e^{- λ [t - x - (n - 1) δ]}}^{n - 1}, t - x - (n - 2) δ \geq δ \\ 0, t - x - (n - 2) δ < δ \end{array} = \\ {1 - e^{- λ [t - x - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n - 1} 。 \end{array}

式（18）成立。

方法3 无记忆法。在 $S M {Y F P (1, λ), D (δ)}$ 中，系统遭受冲击的时间间隔服从指数分布，由指数分布的无记忆性，可得

\begin{array}{l} P (S_{n - 1} > t - x |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ) = P (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n - 1} > t - x - (n - 1) δ) = \\ 1 - P (S_{n - 1} \leq t - x - (n - 1) δ) 。 \end{array}

再由引理1（ii），得

P (S_{n - 1} > t - x |Z_{1} \geq δ, Z_{2} \geq δ, \dots, Z_{n - 1} \geq δ) = 1 - {1 - e^{- λ [t - x - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n - 1},

与式（19）一致。

由式（13），易得系统寿命的分布函数，即

推论2 设 $T ~ S M {Y F P (1, λ), D (δ)}$ ，则寿命 $T$ 的分布函数为

\begin{array}{l} P (T \leq t) = \sum_{n = 1}^{\infty} e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} ({1 - e^{- λ [t - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n} - \\ e^{- n λ δ} [1 - e^{- λ {(t - n δ)}_{+}}]^{n}) 。 \end{array}

（20）

4　总结

采用多重积分法、独立卷积法及无记忆法讨论了 $S M {Y F P (1, λ), D (δ)}$ 系统的可靠度，3种方法的关键点均为计算 $P (T > t, M = n)$ 。本质上，多重积分法为分析方法，即将 $P (T > t, M = n)$ 表示成冲击间隔联合密度的重积分进行计算，而独立卷积法和无记忆法为概率方法，都是利用概率性质将 $P (T > t, M = n)$ 转化为独立和的卷积分布，特别是无记忆法，利用指数分布的无记忆性将条件分布转化为无条件指数分布的卷积。

此外，从结果和证明过程中发现，还可挖掘新的简单方法。事实上，观察式（20）并结合式（11）的化简过程，可知式（20）中的 $e^{- \frac{n (n - 1)}{2} λ δ} = P (M > n - 1)$ 且 $e^{- \frac{n (n + 1)}{2} λ δ} = P (M > n),$ 另由引理1（ii）及无记忆法证明过程，可得式（20）中的

{1 - e^{- λ [t - {(n - 1) δ]}_{+}}}^{n} = P (S_{n} \leq [t - {(n - 1) δ]}_{+}) = P (S_{n} \leq t |M > n - 1),

\begin{matrix} [1 - e^{- λ {(t - n δ)}_{+}}]^{n} = P (S_{n} \leq {(t - n δ)}_{+}) = \\ P (S_{n} \leq t |M > n), \end{matrix}

所以，式（20）中的级数项可写成

\begin{matrix} P (S_{n} \leq t |M > n - 1) P (M > n - 1) - \\ P (S_{n} \leq t |M > n) P (M > n) = \\ P (S_{n} \leq t, M > n - 1) - P (S_{n} \leq t, M > n), \end{matrix}

由于

P (M = n) = P (M > n - 1) - P (M > n)

，

因此，其可写成 $P (S_{n} \leq t, M = n)$ ，注意到在 ${M = n}$ 发生时， $T = S_{n}$ ，所以

{S_{n} \leq t, M = n} \Leftrightarrow {T \leq t, M = n}

，

即

P (T \leq t) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (T \leq t, M = n)

。

将上述分析过程倒推，可得推论2的简洁证法，又因为

P (T > t, M = n) = P (M = n) - P (T \leq t, M = n)

，

进而易得可靠度 $P (T > t)$ 。

此方法是用纯概率性质得到的，证明过程比前3种方法更简单。此方法对其他δ冲击模型的系统研究有一定的借鉴作用。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.001

参考文献

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文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

李泽慧

与Poisson流有关的几个概率分布及其在城市交通拥挤问题中的应用

［J］. 兰州大学学报， 1984， 20： 127-136. DOI：10.13885/j.issn.0455-2059.1984.s1.015