软集合理论是由MOLODTSOV^［1］于1999年提出的一种处理模糊和不确定性模型的数学工具。2007年，AKTAS等^［2］最先将软集合理论应用于代数结构——群，并引入了软群的概念。随后，软集合理论被广泛应用于各种不同的代数结构，得到了软格、软半环、软环、软BCK/BCI-代数、软BCH-代数、模糊软代数和软偏序代数等软代数结构^［3-15］。2010年，JUN等^［15］将软集合理论应用于偏序半群，引入了软偏序半群、软偏序子半群、软偏序半群的软左（右）理想以及左（右）理想软序半群等概念，并研究了相关性质。在文献［15］基础上，ALI^［16］引入了软偏序半群上的软滤子概念，并对软偏序半群的软理想和软滤子进行了进一步研究。受理想软代数结构（如文献［4］中理想软半环和文献［15］中理想软偏序半群）的启发，基于文献［15-16］，本文引入了偏序半群上的左（右）滤子软偏序半群、滤子软偏序半群、完全左（右）滤子软偏序半群和完全滤子软偏序半群等概念，并对其进行研究。

下文中相关概念和结论以及未说明的概念、结论和记号均来自文献［1，15-17］。

若ab∈I(a,b∈S)⇒a∈I或b∈I，则称偏序半群(S,⋅,≤)的左理想（右理想、理想）I是素的。

若F满足：

（1） a,b∈S,ab∈F⇒a∈F(b∈F);

（2） a∈F,a≤b(b∈S)⇒b∈F，

则称偏序半群(S,⋅,≤)的子半群F为S的左（右）滤子。

若F既为S的左滤子，又为右滤子，则称F为S的滤子。

若φ满足

则称偏序半群(S,⋅,≤S)到(T,∘,≤T)的偏序同态映射（简称为同态映射）φ为商序同态映射。

设U为初始论域，E为与U中对象有关的所有参数之集，P(U)为U的幂集，A⊆E，则称二元组(η,A)为U上的软集合，其中，η为映射η:A→P(U),x↦η(x),x∈A。若Supp(η,A)≠∅，则称软集合(η,A)非空；若Supp(η,A)=∅,即对任意的x∈A,η(x)=∅,则称软集合(η,A)关于A是相对空的（用∅A表示），其中，Supp(η,A)={x∈Aη(x)≠∅}。

U上的一个软集合(η,A)的限制补(η,A)ϒ定义为(η,A)ϒ=(ηϒ,A),其中，

若(η,A)满足(x∈A)η(x)≠∅⇒η(x)为S的子半群，则称偏序半群S上的软集合(η,A)为S上的软偏序半群。若(η,A)满足(x∈A)η(x)=S,则称S上的软偏序半群(η,A)是完全的。

设φ为从偏序半群S到T的同态映射，(η,A)为S上的软偏序半群，由文献［15］引理4.14，知(φ(η),A)为T上的软偏序半群，其中，

定义1 如果对任意的x∈Supp(η,A),η(x)为S的左（右）滤子，则称偏序半群S上的非空软集合(η,A)为S上的左（右）滤子软偏序半群。

定义2 如果对任意的x∈Supp(η,A),η(x)为S的滤子，则称偏序半群S上的非空软集合(η,A)为S上的滤子软偏序半群。

显然，偏序半群S上的非空软集合(η,A)为S上的滤子软偏序半群当且仅当(η,A)既为S上的左滤子软偏序半群又为S上的右滤子软偏序半群。但S上的左（右）滤子软偏序半群不一定是右（左）滤子软偏序半群，从而不一定是S上的滤子软偏序半群。

例1 设S={a,b,c,d,e}为半群，乘法“.” 如下：

在S上定义二元关系 “≤”为

则(S,⋅,≤)为偏序半群。

令A=S，映射η:A→P(S)的定义为

则

易证，{a,b,d,e}是S的左滤子不是右滤子（因为ac=a∈{a,b,d,e},但c∉{a,b,d,e}），因此，(η,A)是S上的左滤子软偏序半群不是右滤子软偏序半群，从而(η,A)不是S上的滤子软偏序半群。

例2 设S={a,b,c,d,e}为半群，乘法“.”如下：

在S上定义二元关系“≤”为

则(S,⋅,≤)为偏序半群。

令B={a,b,d,e}，映射γ:B→P(S)定义为

则γ(a)=γ(d)=S,γ(b)={b,d,e},γ(e)={c,e}。易证γ(a),γ(d),γ(e)均为S的滤子，而γ(b)是S的右滤子不是左滤子（因为ab=d∈γ(b),但a∉γ(b)），因此，(γ,B)是S上的右滤子软偏序半群不是左滤子软偏序半群，从而(γ,B)不是S上的滤子软偏序半群。

由于偏序半群S的任意滤子均为S的子半群，因此，S上的任意滤子软偏序半群均为S上的软偏序半群。反之，不一定成立。

例3　考虑例1中的偏序半群S，在S上定义软集合(γ,B)，其中，B=S，映射 γ:B→P(S)定义为

则 γ(a)=γ(b)=γ(c)=γ(d)=γ(e)={c}。

显然，{c}为S的子半群，因此，(γ,B)为S上的软偏序半群。但由于c≤e,e∉{c},因此，{c}不是S的滤子，从而(γ,B)不是S上的滤子软偏序半群。

命题1　设(η,A)为偏序半群S上的软偏序半群，∅≠B⊆A,那么

（1） 若(η,A)为S上的左（右）滤子软偏序半群，则(ηB,B)也为S上的左（右）滤子软偏序半群；

（2） 若(η,A)为S上的滤子软偏序半群，则(ηB,B)也为S上的滤子软偏序半群，其中，映射

由定义1和定义2，易知命题1成立。

需要注意的是，在命题1中，若(ηB,B)为S上的左（右）滤子软偏序半群或滤子软偏序半群，但(η,A)不一定是S上的左（右）滤子软偏序半群或滤子软偏序半群。

例4　考虑例2中的偏序半群S和S上的右滤子软偏序半群(γ,B)。

取A=S,且映射η:A→P(S)定义为

则B⊆A,γ=ηB。由例2，知

均为S的右滤子，而η(c)={b,c,d}不是S的右滤子，因为其不是S的子半群（bc=a∉η(c)),因此，(η,A)不是S上的右滤子软偏序半群。

下面讨论偏序半群S上的非空软集合(η,A)是S上的左（右）滤子软偏序半群和滤子软偏序半群的充分必要条件。

首先，引入素左（右）理想软偏序半群和素理想软偏序半群的概念。

定义3　如果对任意的x∈supp(η,A),η(x)为S的素左（右）理想，则称偏序半群S上的非空软集合(η,A)为S上的素左（右）理想软偏序半群。

定义4　如果对任意的x∈supp(η,A),η(x)为S的素理想，则称偏序半群S上的非空软集合(η,A)为S上的素理想软偏序半群。

显然，偏序半群S上的非空软集合(η,A)为S上的素理想软偏序半群当且仅当(η,A)既为S上的素左理想软偏序半群又为S上的素右理想软偏序半群。

下面分别考虑例1中的偏序半群S和S上的左滤子软偏序半群(η,A)以及例2中的偏序半群S和S上的右滤子软偏序半群(γ,B)。

在例1中，对任意的x∈A,有ηϒ(x)=S\η(x)={c},(η,A)ϒ非空，易证{c}是S的素右理想不是素左理想（因为ac=a∉{c}),故(η,A)ϒ是S上的素右理想软偏序半群不是素左理想软偏序半群。

在例2中，有

(γ,B)ϒ非空，且易证，γϒ(e)既为S的素左理想又为素右理想，即γϒ(e)为S上的素理想，而γϒ(b)是S的素左理想不是素右理想（因为ab=d∉{a,c}),故(γ,B)ϒ是S上的素左理想软偏序半群不是素右理想软偏序半群。那么对任意偏序半群上的任意左（右）滤子软偏序半群(η,A)，若(η,A)ϒ非空，(η,A)ϒ是否为其上的素右（左）理想软偏序半群？反之是否成立？

下面就上述问题进行讨论。

定理1　设(η,A)为偏序半群S上的非空软集合，那么，有

（1） (η,A)为S上的左滤子软偏序半群的充分必要条件是(η,A)ϒ=∅A或(η,A)ϒ为S上的素右理想软偏序半群；

（2） (η,A)为S上的右滤子软偏序半群的充分必要条件是(η,A)ϒ=∅A或(η,A)ϒ为S上的素左理想软偏序半群。

证明　（1） 必要性。若(η,A)ϒ≠∅A,即(ηϒ,A)≠∅A,则对任意的x∈supp(η,A),η(x)是S的左滤子，且ηϒ(x)=S\η(x)。若ηϒ(x)≠∅,下证ηϒ(x)是S的素右理想。

对任意的a∈ηϒ(x),b∈S,若ab∉ηϒ(x),则ab∈η(x),由η(x)为S的左滤子，得a∈η(x),于是a∉ηϒ(x),这与a∈ηϒ(x)矛盾，因此，ab∈ηϒ(x)。

又对任意的a∈ηϒ(x),b∈S,b≤a,若b∉ηϒ(x),则b∈η(x),由η(x)为S的左滤子，得a∈η(x),于是a∉ηϒ(x),这与a∈ηϒ(x)矛盾，因此，b∈ηϒ(x)。

设ab∈ηϒ(x)(a,b∈S),若a∉ηϒ(x),且b∉ηϒ(x),则a∈η(x),且b∈η(x),由η(x)为S的左滤子，得ab∈η(x),于是ab∉ηϒ(x),这与ab∈ηϒ(x)矛盾，因此，a∈ηϒ(x)或b∈ηϒ(x)。

综上可知，对任意的x∈supp(η,A),若ηϒ(x)≠∅,则ηϒ(x)为S的素右理想，故(η,A)ϒ为S上的素右理想软偏序半群。

充分性。若(η,A)ϒ=∅A,即(ηϒ,A)=∅A,则对任意的x∈A,ηϒ(x)=S\η(x)=∅,有η(x)=S。很显然，η(x)=S为S的左滤子，因此，(η,A)为S上的左滤子软偏序半群。

若(η,A)ϒ为S上的素右理想软偏序半群，则对任意的x∈supp(η,A),ηϒ(x)=S\η(x)为S的素右理想。下证η(x)为S的左滤子。

对任意的a,b∈η(x),若ab∉η(x),则ab∈ηϒ(x),由ηϒ(x)为S的素右理想，得a∈ηϒ(x)或b∈ηϒ(x),于是a∉η(x)或b∉η(x)，这与a,b∈η(x)矛盾，因此，ab∈η(x),即η(x)为S的子半群。

设ab∈η(x)(a,b∈S),若a∉η(x),则a∈ηϒ(x),由ηϒ(x)为S的素右理想，得ab∈ηϒ(x),于是ab∉η(x),这与ab∈η(x)矛盾，因此，a∈η(x)。

设a∈η(x),a≤b(b∈S),若b∉η(x),则b∈ηϒ(x),由ηϒ(x)为S的素右理想，得a∈ηϒ(x),于是a∉η(x)，这与a∈η(x)矛盾，因此，b∈η(x)。

综上可知，对任意的x∈supp(η,A),η(x)为S的左滤子，故(η,A)为S上的左滤子软偏序半群。

（2）的证明与（1）类似，此证略。

定理2　设(η,A)为偏序半群S上的非空软集合，那么(η,A)为S上的滤子软偏序半群的充分必要条件是(η,A)ϒ=∅A或(η,A)ϒ为S上的素理想软偏序半群。

证明　由定理1（1）和（2），可证得定理2。

引理1　设(S,⋅,≤S)和(T,∘,≤T)均为偏序半群，φ为从S到T的商序满同态，F为S的子半群，Kerφ⊆F×F,其中，Kerφ=(x,y)∈S×Sφ(x)=φ(y)，那么

（1） 若F为S的左（右）滤子，则φ(F)为T的左（右）滤子；

（2） 若F为S的滤子，则φ(F)为T的滤子。

证明　（1） 只需证明φ(F)为T的左滤子，其为右滤子的情形类似可证。

很显然，∅≠φ(F)⊆T。对任意的x¯,y¯∈φ(F),有x¯=φ(x),y¯=φ(y)(x,y∈F),由F为S的子半群，有xy∈F,于是x¯y¯=φ(x)φ(y)=φ(xy)∈φ(F),因此，φ(F)为T的子半群。

若x¯y¯∈φ(F)(x¯,y¯∈T),则由φ是满的，知存在x,y∈S，使得

于是存在z∈F,使得φ(xy)=φ(z),由Kerφ⊆F×F，得(xy,z)∈F×F，于是xy∈F,由F为S的左滤子，得x∈F,从而x¯=φ(x)∈φ(F)。

又若x¯∈φ(F),x¯≤Ty¯(y¯∈T),则存在x∈F,y∈S，使得

由φ是商序同态，知存在a,b∈S，使得

于是(y,b)∈Kerφ⊆F×F,从而y∈F,因此y¯=φ(y)∈φ(F)。

综上可知，φ(F)为T的左滤子。

（2） 由（1）直接可得。

下面利用引理1讨论偏序半群上的左（右）滤子软偏序半群和滤子软偏序半群在商序满同态下的像。

定理3　设(S,⋅,≤S)和(T,∘,≤T)均为偏序半群，φ为从S到T的商序满同态，(η,A)为S上的非空软集合，且满足(x∈supp(η,A))Kerφ⊆η(x)×η(x)，那么

（1） 若(η,A)为S上的左（右）滤子软偏序半群，则(φ(η),A)为T上的左（右）滤子软偏序半群；

（2） 若(η,A)为S上的滤子软偏序半群，则(φ(η),A)为T上的滤子软偏序半群。

证明　（1） 只需证明(φ(η),A)为T上的左滤子软偏序半群情形，其为右滤子软偏序半群的情形类似可证。

由(η,A)为S上的左滤子软偏序半群和引理1，知(φ(η),A)为T上的非空软集合。对任意的x∈supp(φ(η),A),φ(η)(x)=φ(η(x))≠∅,有η(x)≠∅为S的左滤子，由引理1，得φ(η)(x)=φ(η(x))为T的左滤子，因此，(φ(η),A)为T上的左滤子软偏序半群。

（2） 由（1）直接可得。

定义5　若(η,A)满足η(x)=S(x∈A),则称偏序半群S上的左滤子（右滤子、滤子）软偏序半群(η,A)是完全的。

命题2　设(S,⋅,≤S)和(T,∘,≤T)均为偏序半群，φ为从S到T的商序满同态，(η,A)为S上的完全左（右）滤子软偏序半群，那么(φ(η),A)为T上的完全左（右）滤子软偏序半群。

证明　只需证明(φ(η),A)为T上的左滤子软偏序半群情形，其为右滤子软偏序半群的情形类似可证。

由题设和定理3（1），知(φ(η),A)为T上的左滤子软偏序半群。对任意的x∈A,由(η,A)是完全的，得η(x)=S,又φ是满的，所以φ(η(x))=φ(S)=T,因此，(φ(η),A)为T上的完全左滤子软偏序半群。

命题3　设(S,⋅,≤S)和(T,∘,≤T)均为偏序半群，φ为从S到T的商序满同态，(η,A)为S上的完全滤子软偏序半群，那么(φ(η),A)为T上的完全滤子软偏序半群。

证明　由命题2直接可得。

引理2　设(S,⋅,≤S)和(T,∘,≤T)均为偏序半群，φ为从S到T的偏序同态映射，F为T的子半群，令φ-1(F)={x∈Sφ(x)∈F}≠∅，那么

（1） 若F为T的左（右）滤子，则φ-1(F)为S的左（右）滤子；

（2） 若F为T的滤子，则φ-1(F)为S的滤子。

证明　（1） 只需证明φ-1(F)为T的左滤子，其为右滤子的情形类似可证。

对任意的x,y∈φ-1(F),有φ(x),φ(y)∈F,由F为T的左滤子，知F为T的子半群，于是φ(xy)=φ(x)φ(y)∈F,因此，xy∈φ-1(F),即φ-1(F)为S的子半群。

若xy∈φ-1(F)(x,y∈S),则φ(x)φ(y)=φ(xy)∈F,由F为T的左滤子，得φ(x)∈F,于是x∈φ-1(F)。

若x∈φ-1(F),x≤Sy(y∈S),则φ(x)∈F,φ(x)≤Tφ(y)(φ(y)∈T),由F为T的左滤子，得φ(y)∈F,于是y∈φ-1(F)。

综上可知，φ-1(F)为S的左滤子。

（2） 由题设知，F既为T的左滤子，又为T的右滤子，于是由（1），得φ-1(F)既为S的左滤子又为S的右滤子，从而φ-1(F)为S的滤子。

下面利用引理2讨论偏序半群上的左（右）滤子软偏序半群和滤子软偏序半群在偏序同态下的逆像。

定理4　设(S,⋅,≤S)和(T,∘,≤T)均为偏序半群，φ为从S到T的偏序同态映射，(η,A)为T上的非空软集合，且(φ-1(η),A)≠∅,其中，

那么

（1） 若(η,A)为T上的左（右）滤子软偏序半群，则(φ-1(η),A)为S上的左（右）滤子软偏序半群；

（2） 若(η,A)为T上的滤子软偏序半群，则(φ-1(η),A)为S上的滤子软偏序半群。

证明　（1） 只需证明(η,A)为T上的左滤子软偏序半群，其为右滤子软偏序半群的情形类似可证。

对任意的x∈supp(φ-1(η),A),有φ-1(η)(x)=φ-1(η(x))≠∅。由题设，知η(x)≠∅为T的左滤子，由引理2，知φ-1(η)(x)=φ-1(η(x))为S的左滤子，因此，(φ-1(η),A)为S上的左滤子软偏序半群。

（2） 由题设和（1），知(φ-1(η),A)既是S上的左滤子软偏序半群，又是S上的右滤子软偏序半群，从而(φ-1(η),A)是S上的滤子软偏序半群。

命题4　设(S,⋅,≤S)和(T,∘,≤T)均为偏序半群，φ为从S到T的偏序同态映射，(η,A)为T上的完全左（右）滤子软偏序半群，且(φ-1(η),A)≠∅。若φ-1(T)=S,则(φ-1(η),A)为S上的完全左（右）滤子软偏序半群，其中，映射φ-1(η)同定理4。

证明　只需证明(φ-1(η),A)为S上的完全左滤子软偏序半群，其为右滤子软偏序半群的情形类似可证。

由题设和定理4（1），知(φ-1(η),A)为S上的左滤子软偏序半群。又对任意的x∈A,由(η,A)是完全的，得η(x)=T,由题设得φ-1(η)(x)=φ-1(η(x))=φ-1(T)=S,因此，(φ-1(η),A)为S上的完全左滤子软偏序半群。

命题5　设(S,⋅,≤S)和(T,∘,≤T)均为偏序半群，φ为从S到T的偏序同态映射，(η,A)为T上的完全滤子软偏序半群，且(φ-1(η),A)≠∅。若φ-1(T)=S,则(φ-1(η),A)为S上的完全滤子软偏序半群，其中，映射φ-1(η)同定理4。

证明　由命题4直接可得命题5。