Fuzzy蕴涵代数及其理想理论

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.001

Fuzzy蕴涵代数及其理想理论

刘春辉^,^,

赤峰学院教育科学学院，内蒙古赤峰 024000

Fuzzy implication algebras and its ideals theory

LIU Chunhui^,^,

Education Science College，Chifeng University，Chifeng 024000，Inner Mongolia Autonomous Regions，China

收稿日期: 2022-05-09 修回日期: 2022-08-20 接受日期: 2022-08-25

基金资助:

内蒙古自治区高等学校科学研究项目.  NJZY21138.  NJZY22146
内蒙古自治区社会科学基金项目.  2022DY31
内蒙古残疾人联合会研究项目.  2023KTYJ19
赤峰学院2022年教育教学研究重点项目.  JYJXZ202204

Received: 2022-05-09 Revised: 2022-08-20 Accepted: 2022-08-25

作者简介 About authors

刘春辉（1982—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-4964-3934，男，硕士，教授，主要从事非经典数理逻辑代数及Domain理论研究，E-mail：chunhuiliu1982@163.com. , E-mail：chunhuiliu1982@163.com

摘要

模糊逻辑代数分析是模糊逻辑研究领域的热点问题之一。运用代数学和格论的方法及原理，深入研究了Fuzzy蕴涵代数及其理想问题。首先，利用伪补算子给出了Fuzzy蕴涵代数的若干新性质。其次，在Fuzzy蕴涵代数中引入理想和生成理想的概念并考察其性质特征和等价刻画。最后，讨论了由给定Fuzzy蕴涵代数全体理想构成的集合的格论特征，证明了该集合关于集合包含序构成分配的连续（代数）格，特别地构成完备Heyting代数，进而构成Frame的重要结论。

关键词： 模糊逻辑 ; Fuzzy蕴涵代数 ; 理想 ; 生成理想 ; 分配格 ; 连续格

Abstract

Algebraic analysis of fuzzy logic is one of the hot issues in the field of fuzzy logic research. In this paper, Fuzzy implication algebras and its ideals problem are further studied by using the method and principle of algebra and lattice theory. Firstly, some new properties of Fuzzy implication algebras are revealed by using pseudo-complement operators. Secondly, the concepts of ideal and generating ideal are introduced in Fuzzy implication algebras, and their properties and equivalent characterizations are investigated. Finally, the lattice theory characteristics of the set consisting of all ideals in a given Fuzzy implication algebra are discussed, it is proved that the set forms a distributive continuous (algebraic) lattice with respect to the set-inclusion order, in particular, it forms a complete Heyting algebra, and then forms a Frame.

Keywords： fuzzy logic ; Fuzzy implication algebra ; ideal ; generating ideal ; distributive lattice ; continuous lattice

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本文引用格式

刘春辉. Fuzzy蕴涵代数及其理想理论. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(4): 391-401 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.001

LIU Chunhui. Fuzzy implication algebras and its ideals theory. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(4): 391-401 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.001

非经典数理逻辑是近似推理和模糊控制等的理论基础，模糊逻辑是非经典数理逻辑理论中一个极具活力的分支^［1］。模糊逻辑系统研究包括形式模糊逻辑系统中逻辑演算的语法、语义、代数和代数完备性问题等。经过长期的探索和研究发现，与经典二值逻辑类似，每种模糊逻辑系统都有一个与之相匹配的逻辑代数作为基础。因此，利用代数学方法研究逻辑问题广受关注和青睐，合适的代数方法不仅丰富和拓展了代数学的内容，而且有效推动了模糊逻辑理论的发展。例如，由CHANG^［2］提出并利用其性质成功完成无限值Łuckasiewicz逻辑系统完备性证明的MV代数；XU等^［3］提出了作为建立多种格值逻辑推理系统基础的格蕴涵代数和格H蕴涵代数；WANG等^［4］基于对模糊逻辑推理基础问题的深刻分析提出了与模糊逻辑推理系统L^*相匹配的R₀代数，亦称为NM代数；HÁJEK^［5-6］提出了与基本逻辑（basic logic，BL）系统相匹配的BL代数；ESTEVA等^［7］提出了与Monoidal-t-范基逻辑相匹配的MTL代数等。

值得一提的是，在各种模糊逻辑系统中，“蕴涵”是一个最基本的联结词，在不同形式的模糊逻辑代数中，蕴涵算子具有基础性地位。鉴于此，为充分揭示各种蕴涵算子的本质，吴望名^［8］提出了Fuzzy蕴涵（FI）代数的概念并给出了若干重要性质。此后，诸多学者在FI代数的结构特性方面进行了大量系统深入的研究，获得了一系列研究成果^［9-17］，逐步深化了对FI代数的认知。

不容忽视的是，在模糊逻辑代数分析中，作为偏序集的两个相互对偶的特殊子集的滤子和理想概念，发挥了不可替代的作用。这是因为从逻辑层面看，不同类型的滤子或理想对应逻辑系统中不同的可证公式集。正因如此，对滤子和理想问题的研究自然成为模糊逻辑代数分析领域的重要课题且研究成果丰富^［18-24］。然而，大量事实表明，对于否定运算具有正则性的逻辑代数而言，其滤子和理想是一对完全对偶的概念，不同类型理想的特征性质均可通过与之对偶的滤子性质间接获得，因此，在否定运算不满足正则性的逻辑代数中对理想问题开展研究，更具价值和挑战性。近年来，随着该课题的关注程度日益提升，基于剩余格、BL代数、MTL代数等非正则模糊逻辑代数理想问题的研究成果不断涌现^［25-29］。考虑FI代数本身不具有正则性且能够体现诸多非正则模糊逻辑代数类的共同本质特征，本文拟在利用伪补算子深入分析FI代数非正则特性的基础上，引入理想概念并建立FI代数的理想理论，以进一步揭示模糊逻辑代数及其蕴涵算子的共同本质特征。

1　预备知识

为叙述简洁，首先给出一些Fuzzy蕴涵代数的基本概念和相关结论。

定义1^［8］　如果对任意的 $x, y, z \in X$ ，恒有：

（I1） $x \to (y \to z) = y \to (x \to z)$ ；

（I2） $(x \to y) \to ((y \to z) \to (x \to z)) = 1$ ；

（I3） $x \to x = 1$ ；

（I4） $x \to y = y \to x = 1 \Rightarrow x = y$ ；

（I5） $0 \to x = 1$ ，

其中， $1 = 0 \to 0$ ，则称 $(2,0)$ 型代数 $(X, \to, 0)$ 为FI代数。

定义2^［8］　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数。在 $X$ 上定义二元关系 $\leq$ 满足

x \leq y \Leftrightarrow x \to y = 1 ， x, y \in X ，

（1）

则称 $\leq$ 是 $X$ 上由 $\to$ 诱导的关系。

引理1^［8］　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\leq$ 是 $X$ 上由 $\to$ 诱导的关系，则对任意的 $x, y, z \in X$ ，恒有：

（I6） $x \leq 1$ ，即 $x \to 1 = 1$ ；

（I7） $1 \to x = x$ ；

（I8）如果 $x \leq y$ ，那么 $z \to x \leq z \to y$ 且 $y \to z \leq x \to z$ ；

（I9）如果 $x \leq y$ 且 $y \leq z$ ，那么 $x \leq z$ 。

注1^［8］　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\leq$ 为 $X$ 上由 $\to$ 诱导的关系，则由条件（I3）（I4）和（I9），可知 $(X, \leq)$ 为偏序集。又由（I5）和（I6），知0和1分别 $为 (X, \leq)$ 中的最小元和最大元。

引理2^［8，15］　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\leq$ 为 $X$ 上由 $\to$ 诱导的关系，则对任意的 $x, y, z \in X$ ，恒有：

（I10） $y \to z \leq (x \to y) \to (x \to z)$ ；

（I11） $x \leq (x \to y) \to y$ 且 $y \leq (x \to y) \to y$ ；

（I12） $((x \to y) \to y) \to y = x \to y$ ；

（I13） $x \to (y \to x) = 1$ ；

（I14） $((x \to y) \to (x \to z)) \to (x \to (y \to z)) = 1$ 。

定义3^［15］　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq F \subseteq X$ 。如果 $F$ 满足：

（Fil1） $1 \in F$ ；

（Fil2）对任意的 $x, y \in X$ ， $x \in F$ 且 $x \to y \in F$ 蕴涵 $y \in F$ ，

则称 $F$ 为 $X$ 的MP滤子。由 $X$ 的全体MP滤子构成的集合记为 $F i l (X)$ 。

2　FI代数的基于伪补算子的新性质

定义4^［8］　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数。在 $X$ 上定义一元运算 $C : X \to X$ 满足

C (x) = x \to 0 ， x \in X ，

（2）

则称 $C 为 X$ 上的伪补算子，称 $C (x)$ 为元素 $x \in X$ 的伪补。

设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，以下如无特殊说明，符号 $C$ 总表示 $X$ 上的伪补算子。

引理3^［8］　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，则对任意的 $x, y \in X$ ，恒有：

（I15） $C (0) = 1$ 且 $C (1) = 0$ ；

（I16） $x \leq C C (x)$ ，其中， $C C (x) : = C (C (x))$ ；

（I17） $C C C (x) = C (x)$ ；

（I18） $x \leq y \Rightarrow C (y) \leq C (x)$ 。

定理1　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，则对任意的 $x, y \in X$ ，恒有：

（I19） $x \to y \leq C (y) \to C (x) \leq C C (x) \to C C (y)$ ；

（I20） $x \to C (y) = y \to C (x) = C C (x) \to$ $C (y)$ ；

（I21） $C C (x) \to C C (y) = x \to C C (y) =$ $C (y) \to C (x)$ ；

（I22） $C C (x \to C C (y)) = x \to C C (y)$ ；

（I23） $C C (x \to C (y)) = x \to C (y)$ ；

（I24） $C C (x \to y) \leq C C (x) \to C C (y)$ ；

（I25） $C C (x) \leq C (x) \to C (y)$ 。

证明　（I19）：对任意的 $x, y \in X$ ，由定义4和（I2），可得

(x \to y) \to (C (y) \to C (x)) = (x \to y) \to ((y \to 0) \to (x \to 0)) = 1 ，

故由定义2，得 $x \to y \leq C (y) \to C (x)$ ，进而

\begin{array}{l} C (y) \to C (x) \leq C (C (x)) \to C (C (y)) = \\ C C (x) \to C C (y) 。 \end{array}

（I20）：由（I16），可得 $y \leq C C (y)$ ，故由（I8），得 $C C (y) \to C (x) \leq y \to C (x)$ ，进而

(x \to C (y)) \to (C C (y) \to C (x)) \leq (x \to C (y)) \to (y \to C (x)) 。

又由式（1），得

x \to C (y) \leq C (C (y)) \to C (x) = C C (y) \to C (x)

，

故由（I3）和（I8），可得

1 = (x \to C (y)) \to (x \to C (y)) \leq (x \to C (y)) \to (C C (y) \to C (x)) ，

所以 $(x \to C (y)) \to (y \to C (x)) \geq 1$ ，

从而 $由 (I 6) ，$ 可得 $(x \to C (y)) \to (y \to C (x)) = 1$ 。

由对称性，可得 $(y \to C (x)) \to (x \to C (y)) = 1$ ，

因此由（I4），得 $x \to C (y) = y \to C (x)$ 。

由（I17），可得

C C (x) \to C (y) = y \to C (C C (x)) = y \to C C C (x) = y \to C (x) = x \to C (y) 。

（I21）：注意到， $C C (y) = C (C (y))$ ，由式（2），得

C C (x) \to C C (y) = x \to C C (y) = C (y) \to C (x)

。

（I22）：一方面，由（I16），得

x \to C C (y) \leq C C (x \to C C (y))

，

故由定义2，得

(x \to C C (y)) \to C C (x \to C C (y)) = 1 。

另一方面，依次运用（I1）（I21）和（I3），可得

\begin{array}{l} C C (x \to C C (y)) \to (x \to C C (y)) = \\ x \to (C C (x \to C C (y)) \to C C (y)) = x \to ((x \to C C (y)) \to C C (y)) = (x \to C C (y)) \to (x \to C C (y)) = 1, \end{array}

所以由（I4），有 $C C (x \to C C (y)) =$ $x \to C C (y)$ 。

（I23）：一方面，由（I16），得

x \to C (y) \leq C C (x \to C (y))

，

故由定义2，得

(x \to C (y)) \to C C (x \to C (y)) = 1 。

另一方面，依次运用（I1）（I16）和（I3），可得

\begin{array}{l} C C (x \to C (y)) \to (x \to C (y)) = x \to (C C (x \to C (y)) \to C (y)) = x \to ((x \to C (y)) \to C (y)) = \\ (x \to C (y)) \to (x \to C (y)) = 1, \end{array}

所以由（I4），有 $C C (x \to C (y)) = x \to C (y)$ 。

（I24）：由（I16），可得 $y \leq C C (y)$ ，故由（I8），有 $x \to y \leq x \to C C (y)$ ，所以由（I19）（I21）和（I22），可得

C C (x \to y) \leq C C (x \to C C (y)) = x \to C C (y) = C C (x) \to C C (y) 。

（I25）：由定义4及（I10）和（I5），可得

\begin{array}{l} C C (x) \to (C (x) \to C (y)) = (C (x) \to 0) \to (C (x) \to C (y)) \geq \\ 0 \to C (y) = 1 ， \end{array}

又由（I6），可得 $C C (x) \to (C (x) \to C (y)) = 1$ ，

故由定义2，有 $C C (x) \leq C (x) \to C (y)$ 。

定义5^［8］　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数。在 $X$ 上定义二元运算 $⊺ : X \times X \to X$ 和 $⊥ : X \times X \to X$ 分别满足：

x ⊺ y = C (x \to C (y)) ， x, y \in X ，

（3）

x ⊥ y = C (x) \to y ， x, y \in X ，

（4）

则分别称 $⊺$ 和 $⊥$ 为 $X$ 上由 $\to$ 导出的t-范和t-余范。

定理2　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $⊺ : X \times X \to X$ 为 $X$ 上由 $\to$ 导出的t-范，则对任意的 $x, y, z \in X$ ，恒有：

（I26） $x ⊺ y = y ⊺ x$ ，即 $⊺$ 满足交换律；

（I27） $(x ⊺ y) ⊺ z = x ⊺ (y ⊺ z)$ ，即 $⊺$ 满足结合律；

（I28） $x \leq y \Rightarrow x ⊺ z \leq y ⊺ z$ ；

（I29） $C (x ⊺ y) = x \to C (y)$ 。

证明　（I26）：对任意的 $x, y \in X$ ，由定义5和（I20），可得

x ⊺ y = C (x \to C (y)) = C (y \to C (x)) = y ⊺ x

。（5）

（I27）：对任意的 $x, y \in X$ ，因为

(x ⊺ y) ⊺ z = C (C (x \to C (y)) \to C (z)) =

［由定义5］

C (z \to C C (x \to C (y))) =

［由（I20）］

C (z \to (x \to C (y))) =

［由（I23）］

C (x \to (z \to C (y))) =

［由（I1）］

C (x \to C C (z \to C (y))) =

［由（I23）］

C (x \to C C (y \to C () z)) =

［由（I20）］

x ⊺ (y ⊺ z)

，［由定义5］

所以 $⊺$ 满足结合律。

（I28）：设 $x \leq y$ ，则由（I8），有 $y \to C (z) \leq x \to$ $C (z)$ ，故由定义5和（I18），可得

x ⊺ z = C (x \to C (z)) \leq C (y \to C (z)) = y ⊺ z 。

（I29）：由定义5和（I23），可得

\begin{array}{l} C (x ⊺ y) = C （ C （ x \to C (y)) ） = \\ C C （ x \to C （ y ） ） = x \to C （ y ） \end{array}

。

定理3　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $⊥ : X \times X \to$ $X$ 为 $X$ 上由 $\to$ 导出的t-余范，则对任意的 $x, y, z \in X$ ，恒有：

（I30） $x \leq x ⊥ y$ 且 $y \leq x ⊥ y$ ；

（I31）如果 $x \leq y$ ，那么 $x ⊥ z \leq y ⊥ z$ 且 $z ⊥ x \leq$ $z ⊥ y$ ；

（I32） $（ x ⊥ y ） ⊥ z \leq x ⊥ （ y ⊥ z ）$ 。

证明　（I30）：对任意的 $x, y \in X$ ，一方面，由定义5及（I1）（I5）（I10），可得

x \to x ⊥ y = x \to (C (x) \to y) = C (x) \to (x \to y) = (x \to 0) \to (x \to y) \geq 0 \to y = 1 ，

由（I6），可得 $x \to x ⊥ y = 1$ 。

另一方面，由定义5及（I1）（I3）和（I6），可得

\begin{matrix} y \to x ⊥ y = y \to (C (x) \to y) = \\ C (x) \to (y \to y) = C (x) \to 1 = 1 。 \end{matrix}

因此，由定义2，可得 $x \leq x ⊥ y$ 且 $y \leq x ⊥ y$ 。

（I31）：对任意的 $x, y \in X$ ，设 $x \leq y$ ，则由（I18），可得 $C (y) \leq C (x)$ 。由（I8），可得

x ⊥ z = C (x) \to z \leq C (y) \to z = y ⊥ z ，

且 $z ⊥ x = C (z) \to x \leq C (z) \to y = z ⊥ y$ 。

（I32）：对任意的 $x, y, z \in X$ ，因为

\begin{array}{l} ((x ⊥ y) ⊥ z) \to (x ⊥ (y ⊥ z)) = \\ (C (C (x) \to y) \to z) \to （ C (x) \to （ C (y) \to z ） ） = \end{array}

［由定义5］

C (x) \to （ （ C （ C (x) \to y ） \to z ） \to （ C （ y ） \to z ） ） \geq

［由（I1）］

$C (x) \to （ C （ y ） \to C （ C (x) \to y ）） =$ ［由（I2）和（I8）］

C (x) \to （ （ y \to 0 ） \to （ （ C (x) \to y ） \to 0 ） ） \geq

［由定义4］

$C (x) \to （（ C (x) \to y ） \to y ） =$ ［由（I2）和（I8）］

（ C (x) \to y ） \to （ C (x) \to y ） =

［由（I1）］

1 ，

［由（I3）］

所以由（I6），得 $（（ x ⊥ y ） ⊥ z ） \to （ x ⊥ （ y ⊥ z ）） = 1$ 。因此由定义2，得 $（ x ⊥ y ） ⊥ z \leq x ⊥ （ y ⊥ z ）$ 。

注2　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，一般情况下，在 $X$ 上由 $\to$ 导出的t-余范 $⊥$ 不满足交换律。事实上，对任意的 $x \in X$ ，有

\begin{matrix} 0 ⊥ x = C (0) \to x = 1 \to x = x \neq \\ C C (x) = C (x) \to 0 = x ⊥ 0 。 \end{matrix}

定义6　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，在 $X$ 上定义二元运算 $\oplus : X \times X \to X$ 满足

x \oplus y = C (x) \to C C （ y ） ， x, y \in X ，

（6）

则称 $\oplus$ 为 $X$ 上的逻辑和算子。

定理4　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\oplus : X \times X \to$ $X$ 为 $X$ 上的逻辑和算子，则对任意的 $x, y, z \in X$ ，恒有：

（I33） $x \oplus y = y \oplus x$ ，即 $\oplus$ 满足交换律；

（I34） $（ x \oplus y ） \oplus z = x \oplus （ y \oplus z ）$ ，即 $\oplus$ 满足结合律；

（I35） $x ⊥ y \leq x \oplus y$ ；

（I36） $x \oplus 0 = C C (x)$ ；

（I37） $x \oplus 1 = 1$ ；

（I38） $x \oplus y = C C （ x \oplus y ） = C C (x) \oplus C C （ y ）$ 。

证明　（I33）：对任意的 $x, y \in X$ ，由（I20），得

x \oplus y = C (x) \to C C （ y ） = C （ y ） \to C C (x) = y \oplus x

。

（I34）：对任意的 $x, y \in X$ ，因为

\begin{array}{l} （ x \oplus y ） \oplus z = \\ C （ C (x) \to C C （ y ） ） \to C C (z) = \end{array}

［由定义6］

C (z) \to C C (C (x) \to C C （ y ）) =

［由（I20）］

C (z) \to (C (x) \to C C （ y ）) =

［由（I23）］

C (x) \to (C (z) \to C C （ y ）) =

［由（I1）］

C (x) \to C C (C (z) \to C C （ y ）) =

［由（I23）］

x \oplus (y \oplus z) ，

［由定义6］

所以 $\oplus$ 满足结合律。

（I35）：对任意的 $x, y \in X$ ，由（I16），得 $y \leq C C (y)$ ，故由（I8），可得

x ⊥ y = C (x) \to y \leq C (x) \to C C (y) = x \oplus y 。

（I36）：对任意的 $x \in X$ ，由定义4和定义6，得

x \oplus 0 = C (x) \to C C (0) = C (x) \to 0 = C C (x)

。

（I37）：对任意的 $x \in X$ ，由定义6和（I6），得

x \oplus 1 = C (x) \to C C (1) = C (x) \to 1 = 1

。

（I38）：对任意的 $x, y \in X$ ，一方面，由（I23），得

\begin{array}{l} x \oplus y = C (x) \to C C (y) = \\ C C (C (x) \to C C (y)) = \\ C C (x \oplus y) 。 \end{array}

另一方面，由定义6和（I17），得

\begin{array}{l} x \oplus y = C (x) \to C C (y) = \\ C C C (x) \to C C C （ C (y) ） = C （ C C (x) ） \to C C （ C C (y) ） = C C (x) \oplus C C (y) 。 \end{array}

定义7　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，如果对任意的 $x \in X$ ，均有 $C C (x) = x$ ，则称 $(X, \to, 0)$ 为正则FI代数。

注3　设 $(X, \to, 0)$ 为正则FI代数，则由定义5~定义7，可知在 $X$ 上由 $\to$ 导出的t-余范 $⊥$ 与逻辑和算子 $\oplus$ 是一致的。

3　FI代数中理想的定义与刻画

定义8　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq I \subseteq X$ 。如果 $I$ 满足：

（Id1） $0 \in I$ ；

（Id2）对任意的 $x, y \in X$ ， $x \in I$ 且 $C (C (x) \to$ $C (y)) \in I$ 蕴涵 $y \in I$ ，

则称 $I 为 X$ 的基于伪补算子的理想，简称理想。由 $X$ 的全体理想构成的集合记为 $I d e a l (X)$ 。

例1　设 $X = \{0 ， a ， b ， c ， 1\}$ ， $X$ 上二元运算 $\to$ 的定义如表1所示，则 $(X, \to, 0)$ 为FI代数。令 $I = \{0 ， a\}$ ，可利用Mathematica程序验证 $I \in I d e a l (X)$ ，见图1。

表1 $X$ 上二元运算 $\to$ 的定义

Table 1 Definition of binary operator $\to$

$\to$	$0$	$a$	$b$	$c$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$a$	$b$	$1$	$1$	$1$	$1$
$b$	$a$	$a$	$1$	$1$	$1$
$c$	$0$	$a$	$b$	$1$	$1$
$1$	$0$	$a$	$b$	$c$	$1$

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图1

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图1 验证 $I = \{0 ， a\} \in I d e a l (X)$ 的Mathematica程序

Fig.1 the Mathematica program for verifying

I = \{0 ， a\} \in I d e a l (X)

注4　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，则由定义8，可知：

（1） $\{0\} \in I d e a l (X)$ 且 $X \in I d e a l (X)$ ；

（2） $X$ 的任一理想族的交集仍为 $X$ 的理想，即 $I d e a l (X)$ 对集合的交运算封闭；

（3）对任意的 $I \in I d e a l (X)$ ，定义 $I$ 关于伪补算子 $C$ 的对偶集合 $C (I) ≔ \{C (x) | x \in I\}$ ，一般情况下， $C (I) \notin F i l (X)$ 。由此可见，在FI代数中，理想与滤子不是两个对偶的概念。事实上，考虑例1中理想 $I = \{0 ， a\}$ ，有 $C (I) = \{b ， 1\} \notin F i l (X)$ ，这是因为 $b \in C (I)$ 且 $b \to c = 1 \in C (I)$ ，但 $c \notin C (I)$ 。

定理5　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数且 $I \in I d e a l (X)$ ，则对任意的 $x \in X$ ，有 $x \in I \Leftrightarrow C C (x) \in I$ 。

证明　对任意的 $x \in X$ ，设 $x \in I \in I d e a l (X)$ ，则依次由（I17）（I3）（I15）和（Id1），可得

C (C (x) \to C (C C (x))) = C (C (x) \to C C C (x)) = C (C (x) \to C (x)) = C (1) = 0 \in I ，

故由 $x \in I$ 和（Id2），可得 $C C (x) \in I$ 。反之，设 $C C (x) \in I \in I d e a l (X)$ ，则

C (C (C C (x)) \to C (x)) = C (C C C (x) \to C (x)) = C (C (x) \to C (x)) = C (1) = 0 \in I ，

又由 $C C (x) \in I$ 和（Id2），可得 $x \in I$ 。

证毕。

定理6　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq I \subseteq X$ ，则 $I \in I d e a l (X)$ 的充要条件是 $I$ 满足：

（Id3）对任意的 $x, y \in X$ ， $x \leq y$ 且 $y \in I$ 蕴涵 $x \in I$ ；

（Id4）对任意的 $x, y \in X$ ， $x \in I$ 且 $y \in I$ 蕴涵 $x ⊥ y \in I$ 。

证明　充分性。假设 $I$ 满足（Id3）和（Id4）。因为 $I \neq \emptyset$ ，所以 $y \in I$ 。由 $0 \leq y$ 和（Id3），得 $0 \in I$ ，故 $I$ 满足（Id1）。任取 $x, y \in X$ ，假设 $x \in I$ 且 $C (C (x) \to C (y)) \in I$ ，则由（Id4），得 $x ⊥ C (C (x) \to$ $C (y)) \in I$ 。又因为

\begin{array}{l} y \to (x ⊥ C (C (x) \to C (y))) = \\ y \to (C (x) \to C (C (x) \to C (y))) = \end{array}

［由定义5］

y \to ((C (x) \to C (y)) \to C C (x)) =

［由（I20）］

y \to ((y \to C C (x)) \to C C (x)) =

［由（I20）］

（ y \to C C (x) ） \to （ y \to C C (x) ） =

［由（I1）］

1 ，

［由（I3）］

所以由定义2，得 $y \leq x ⊥ C (C (x) \to C (y))$ ，从而由（Id3），得 $y \in I$ ，故 $I$ 满足（Id2）。由定义8，得 $I \in I d e a l (X)$ 。

必要性。假设 $I \in I d e a l (X)$ ，对任意的 $x, y \in X$ ，一方面，设 $x \leq y$ 且 $y \in I$ ，则由（I18），可得 $C (y) \leq C (x)$ 且 $y \in I$ 。由定义2、（I15）和（Id1），得 $C (C (y) \to C (x)) = C (1) = 0 \in I$ 且 $y \in I$ ，进而由（Id2），得 $x \in I$ ，故 $I$ 满足（Id3）。另一方面，设 $x \in I$ 且 $y \in I$ ，则由定理5，可得 $x \in I$ 且 $C C (y) \in I$ 。又因为

\begin{array}{l} C (C (x) \to C (x ⊥ y)) \to C C (y) = \\ C (y) \to C C (C (x) \to C (x ⊥ y)) = \end{array}

［由（I20）］

C (y) \to C C ((x ⊥ y) \to C C (x)) =

［由（I20）］

C (y) \to ((x ⊥ y) \to C C (x)) =

［由（I23）］

(x ⊥ y) \to (C (y) \to C C (x)) =

［由（I1）］

(x ⊥ y) \to (C (x) \to C C (y)) =

［由（I20）］

(x ⊥ y) \to (x \oplus y) \geq

［由定义6］

$(x ⊥ y) \to (x ⊥ y) =$ ［由（I35）和（I8）］

1 ，

［由（I3）］

所以由（I6），可得 $C (C (x) \to C (x ⊥ y)) \to C C (y) = 1$ ，从而由定义2，得 $C (C (x) \to C (x ⊥ y)) \leq C C (y)$ ，进而由 $C C (y) \in I$ 和（Id3），可得 $C (C (x) \to$ $C (x ⊥ y)) \in I$ ，于是由 $x \in I$ 和（Id2），得 $x ⊥ y \in I$ ，故 $I$ 满足（Id4）。

证毕。

定理7　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq$ $I \subseteq X$ ，则 $I \in I d e a l (X)$ 的充要条件是 $I$ 满足

（Id5）对任意的 $x, y \in X$ ， $x \in I$ 且 $y \in I$ 蕴涵 $↓ (x ⊥ y) ≔ \{z \in X | z \leq x ⊥ y\} \subseteq I$ 。

证明　必要性。假设 $I \in I d e a l (X)$ ，对任意的 $x, y \in X$ ，设 $x \in I$ 且 $y \in I$ ，则由（Id4），可得 $x ⊥ y \in I$ 。任取 $z \in ↓ （ x ⊥ y ）$ ，则 $z \leq x ⊥ y$ ，故由（Id3），有 $z \in I$ 。由 $z$ 的任意性，知 $↓ （ x ⊥ y ） \subseteq I$ 。

充分性。假设 $I$ 满足（Id5），对任意的 $x, y \in X$ ，因为 $0 \leq x ⊥ y$ ，所以 $0 \in ↓ (x ⊥ y)$ ，从而 $0 \in I$ ，故 $I$ 满足（Id1）。现设 $x \in I$ 且 $C (C (x) \to C (y)) \in I$ ，则由（Id5），有 $↓ (x ⊥ C (C (x) \to C (y))) \subseteq I$ 。又因为

\begin{array}{l} y \to （ x ⊥ C （ C (x) \to C (y) ） ） = \\ y \to （ C (x) \to C （ C (x) \to C (y) ） ） = \end{array}

［由定义5］

y \to （ （ C (x) \to C (y) ） \to C C (x) ） =

［由（I20）］

y \to （ （ y \to C C (x) ） \to C C (x) ） =

［由（I20）］

（ y \to C C (x) ） \to （ y \to C C (x) ） =

［由（I1）］

1 ，

［由（I3）］

所以由定义2，可得 $y \leq x ⊥ C （ C (x) \to C (y) ）$ ，从而由（Id3），得 $y \in I$ ，故 $I$ 满足（Id2）。由定义8，得 $I \in I d e a l (X)$ 。

证毕。

定理8　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq I \subseteq X$ ，则 $I \in I d e a l (X)$ 的充要条件是 $I$ 满足

（Id6）对任意的 $x, y \in X$ ， $x \in I$ 且 $C (x) ⊺ y \in I$ 蕴涵 $y \in I$ 。

证明　必要性。假设 $I \in I d e a l (X)$ ，则由定义8，知 $I$ 满足（Id1）和（Id2）。下证 $I$ 满足（Id6）。对任意的 $x, y \in X$ ，假设 $x \in I$ 且 $C (x) ⊺ y \in I$ ，则由定理5，可得 $x \in I$ 且 $C C (C (x) ⊺ y) \in I$ ，故由（I29），可得 $x \in I$ 且

C （ C (x) \to C （ y ） ） = C (C （ C (x) ⊺ y ）) = C C （ C (x) ⊺ y ） \in I ，

从而由（Id2），得 $y \in I$ ，因此 $I$ 满足（Id6）。

充分性。假设 $I$ 满足（Id1）和（Id6），为证 $I \in I d e a l (X)$ ，只需证 $I$ 满足（Id2）。对任意的 $x, y \in X$ ，一方面，若 $x \leq y$ 且 $y \in I$ ，则由（I18），可得 $C (y) \leq C (x)$ 且 $y \in I$ ，从而由（I28），可得 $C (y) ⊺ x \leq C (x) ⊺ x = C (C (x) \to C (x)) = C (1) = 0$ 且 $y \in I$ ，进而由（I5）和（Id1），有 $C (y) ⊺ x = 0 \in I$ 且 $y \in I$ ，于是由（Id6），知 $x \in I$ ，故 $I$ 满足（Id3）。另一方面，假设 $x \in I$ 且 $C (C (x) \to C (y)) \in I$ ，因为

\begin{array}{l} C (x) ⊺ C C (y) \leq \\ C C （ C (x) ⊺ C C (y) ） = \end{array}

［由（I16）］

C （ C （ C (x) ⊺ C C (y) ） ） =

［由（I16）］

C （ C (x) \to C C C (y) ） =

［由（I16）］

C （ C (x) \to C (y) ） ，

［由（I16）］

所以由（Id3），得 $C (x) ⊺ C C (y) \in I$ ，从而由 $x \in I$ 和（Id6），得 $C C (y) \in I$ 。又由（Id16），得 $y \leq C C (y)$ ，所以由（Id3），得 $y \in I$ ，因此 $I$ 满足（Id2）。

证毕。

定理9　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq I \subseteq X$ ，则 $I \in I d e a l (X)$ 的充要条件是 $I$ 满足（Id3）和

（Id7）对任意的 $x, y \in X$ ， $x \in I$ 且 $y \in I$ 蕴涵 $x \oplus y \in I$ 。

证明　充分性。假设 $I$ 满足（Id3）和（Id7），对任意的 $x, y \in X$ ，假设 $x \in I$ 且 $y \in I$ ，则由（Id7），可得 $x \oplus y \in I$ 。由（I35），得 $x ⊥ y \leq x \oplus y$ ，又由（Id3），得 $x ⊥ y \in I$ ，所以 $I$ 满足（Id4）。由定理6，得 $I \in I d e a l (X)$ 。

必要性。假设 $I \in I d e a l (X)$ ，则由定理6，可知 $I$ 满足（Id3）和（Id4）。下证 $I$ 满足（Id7）。事实上，对任意的 $x, y \in X$ ，假设 $x \in I$ 且 $y \in I$ ，则由定理5，知 $C C (x) \in I$ 且 $C C (y) \in I$ ，从而由（Id4），可得 $C C (x) ⊥ C C (y) \in I$ ，进而由定义5、定义6和（I17），可得

x \oplus y = C (x) \to C C (y) = C C C (x) \to C C (y) = C (C C (x)) \to C C (y) = C C (x) ⊥ C C (y) \in I 。

所以 $I$ 满足（Id7）。

证毕。

4　由非空集合生成的理想及其特征

定义9　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq A \subseteq$ $X$ ，称 $X$ 的包含 $A$ 的最小理想为 $X$ 的由 $A$ 生成的理想，记为 $〈A〉$ 。特别地，当 $A = \{a\}$ 时，简记 $〈A〉 = 〈\{a\}〉 = 〈a〉$ 。

注5　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq A \subseteq X$ 。由定义9和注4（2），可得 $〈A〉 = ⋂_{A \subseteq I \in I d e a l (X)} I$ 。

定理10　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，则有

（1）对任意的 $\emptyset \neq A, B \subseteq X$ ， $A \subseteq B \Rightarrow 〈A〉 \subseteq 〈B〉$ ；

（2）对任意的 $I \in I d e a l (X)$ ，有 $〈I〉 = I$ ；

（3）对任意的 $a, b \in X$ ，有 $a \leq b \Rightarrow 〈a〉 \subseteq 〈b〉$ ；

（4）对任意的 $a \in X$ 和 $\emptyset \neq A \subseteq X$ ，有 $〈a〉 \subseteq A \Leftrightarrow a \in A$ 。

证明　由定义9可直接证得。

定理11　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq A \subseteq X$ 。定义集合 $B \subseteq X$ 满足

B = \{x \in X | \exists a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in A, n \in Z_{+}, C (a_{1}) \to (C (a_{2}) \to (\dots \to (C (a_{n}) \to C (x)) \dots)) = 1\}

，（7）

则 $B = 〈A〉$ 。

证明　分三步完成。

第1步　证明 $B \in I d e a l (X)$ 。对任意的 $a \in A$ ，由（I15）和（I6），得 $C (a) \to C (0) = C (a) \to 1 = 1$ ，所以由式（7），得 $0 \in B$ ，故 $B \neq \emptyset$ 且满足（Id1）。对任意的 $x, y \in X$ ，设 $x \in B$ 且 $C (C (x) \to C (y)) \in B$ ，则由式（7），知存在 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in A$ ， $n \in Z_{+}$ 和 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m} \in A$ ， $m \in Z_{+}$ ，使得

\begin{array}{l} C (a_{1}) \to (C (a_{2}) \to (\dots \to (C (a_{n}) \to \\ C (x)) \dots)) = 1 \end{array}

，（8）

\begin{array}{l} C (b_{1}) \to （ C (b_{2}) \to （ \dots \to （ C (b_{m}) \to \\ C C （ C (x) \to C （ y ） ） ） \dots ） ） = 1 \end{array}

，（9）

由（I23）和（I1），可得

\begin{array}{l} 1 = C (b_{1}) \to （ C (b_{2}) \to （ \dots \to （ C (b_{m}) \to \\ C C （ C (x) \to C （ y ） ） ） \dots ） ） = C (b_{1}) \to (C (b_{2}) \to (\dots \to (C (b_{m}) \to \\ (C (x) \to C （ y ） ）) \dots)) = \\ C (x) \to (C (b_{1}) \to (\dots \to (C (b_{m - 1}) \to \\ (C (b_{m}) \to C （ y ） ）) \dots)), \end{array}

于是由定义2，可得

\begin{array}{l} C (x) \leq C (b_{1}) \to (\dots \to (C (b_{m - 1}) \to \\ (C (b_{m}) \to C （ y ） ）) \dots), \end{array}

进而由式（8）和（I8），可得

\begin{array}{l} 1 = C (a_{1}) \to (C (a_{2}) \to (\dots \to (C (a_{n}) \to \\ C (x)) \dots)) \leq C (a_{1}) \to (C (a_{2}) \to \\ (\dots \to (C (a_{n}) \to (C (b_{1}) \to (\dots \to \\ (C (b_{m - 1}) \to (C (b_{m}) \to C （ y ） ）) \dots))) \dots)), \end{array}

又由（I6），得

\begin{array}{l} C (a_{1}) \to （ C (a_{2}) \to (\dots \to (C (a_{n}) \to (C (b_{1}) \to \\ (\dots \to (C (b_{m - 1}) \to (C (b_{m}) \to \\ C （ y ） ）) \dots))) \dots) ） = 1 ， \end{array}

由式（7），得 $y \in B$ ，进而知 $B$ 满足（Id2）。因此由定义8，可得 $B \in I d e a l (X)$ 。

第2步　证明 $〈A〉 \subseteq B$ 。对任意的 $a \in A$ ，由（I3），得 $C (a) \to C (a) = 1$ ，故由式（7），可知 $a \in B$ ， $所以 A \subseteq B$ 。又由定义9，知 $〈A〉为 X$ 的包含 $A$ 的最小理想，所以由 $B \in I d e a l (X) ，$ 可得 $〈A〉 \subseteq B$ 。

第3步　证明 $B \subseteq 〈A〉$ 。任取 $z \in B$ ，由式（7），知存在 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{k} \in A$ ， $k \in Z_{+}$ ，使得

C (u_{1}) \to (C (u_{2}) \to (\dots \to (C (u_{k}) \to C (z)) \dots)) = 1

，（10）

于是由（I23），可得

\begin{array}{l} C (u_{1}) \to C C (C (u_{2}) \to C C (\dots \to C C (C (u_{k}) \to \\ C (z)) \dots)) = 1, \end{array}

故由（I15）和（Id1），有

\begin{array}{l} C （ C (u_{1}) \to C C （ C (u_{2}) \to C C （ \dots \to C C （ C (u_{k}) \to \\ C (z) ） \dots ） ） ） = C (1) = 0 \in 〈A〉 \end{array}

。（11）

注意到 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{k} \in A \subseteq 〈A〉 \in I d e a l (X)$ ， $k \in Z_{+}$ ，由（Id2），得 $z \in 〈A〉$ ，因此 $B \subseteq 〈A〉$ 。

证毕。

推论1　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数， $\emptyset \neq A \subseteq X$ 。定义集合 $B \subseteq X$ 满足

B = \{x \in X | \exists a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in A, n \in Z_{+} ， x \leq a_{1} \oplus a_{2} \oplus \dots \oplus a_{n}\}

，（12）

则 $B = 〈A〉$ 。

证明　由定义2，得 $x \leq a_{1} \oplus a_{2} \oplus \dots \oplus a_{n} \Leftrightarrow x \to (a_{1} \oplus a_{2} \oplus \dots \oplus a_{n}) = 1$ ，故

\begin{array}{l} 1 = x \to (a_{1} \oplus a_{2} \oplus \dots \oplus a_{n}) = \\ x \to （ a_{1} \oplus （ a_{2} \oplus （ \dots （ a_{n - 1} \oplus （ a_{n - 1} \oplus a_{n} ） ） \dots ） ） ） = \end{array}

［由 $\oplus$ 的结合律］

\begin{array}{l} x \to （ C (a_{1}) \to C C （ C (a_{2}) \to C C （ \dots C C （ C (a_{n - 2}) \to \\ C C （ C (a_{n - 1}) \to C C (a_{n}) ） ） \dots ） ） ） = \end{array}

［由定义6］

\begin{array}{l} x \to （ C (a_{1}) \to （ C (a_{2}) \to （ \dots （ C (a_{n - 2}) \to \\ （ C (a_{n - 1}) \to C C (a_{n}) ） ） \dots ） ） ） = \end{array}

［由

n - 1

次（I22）］

\begin{array}{l} C (a_{1}) \to (C (a_{2}) \to (\dots （ C (a_{n - 1}) \to \\ （ x \to C C (a_{n}) ） ） \dots)) = \end{array}

［由

n - 1

次（I1）］

\begin{array}{l} C (a_{1}) \to (C (a_{2}) \to (\dots (C (a_{n - 1}) \to \\ (C (a_{n}) \to C (x))) \dots)) \end{array}

，［由（I20）］

所以

\begin{array}{l} x \leq a_{1} \oplus a_{2} \oplus \dots \oplus a_{n} \Leftrightarrow C (a_{1}) \to (C (a_{2}) \to (\dots (C (a_{n - 1}) \to \\ (C (a_{n}) \to C (x))) \dots)) = 1 \end{array}

。

证毕。

例2　设 $X = \{0 ， a ， b ， c ， d ， 1\}$ ， $X$ 上二元运算 $\to$ 的定义如表2所示，则可验证 $(X, \to, 0)$ 为FI代数。令 $A = \{a\}$ ，则 $A \notin I d e a l (X)$ 。由定理10或推论1，可得 $〈A〉 = \{0 ， a\} \in I d e a l (X)$ 。

表2 $X$ 上二元运算 $\to$ 的定义

Table 2 Definition of binary operator $\to$

$\to$	$0$	$a$	$b$	$c$	$d$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$a$	$c$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$b$	$b$	$b$	$1$	$1$	$1$	$1$
$c$	$a$	$a$	$b$	$1$	$1$	$1$
$d$	$0$	$a$	$b$	$c$	$1$	$1$
$1$	$0$	$a$	$b$	$c$	$d$	$1$

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5　FI代数的理想格

引理4　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，则对任意的 $x, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in X ， n \in Z_{+}$ ，恒有

\begin{array}{l} C (x) \to （ C (a_{n}) \to （ C (a_{n - 1}) \to \\ （ \dots \to （ C (a_{1}) \to C (x) ） \dots ） ） ） = 1 \end{array}

。（13）

证明　由（I1）（I3）和（I6），可得引理4。

定理12　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，则 $(I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X)$ 是完备的分配格。

证明　首先，对任意的集族 $\{I_{α} | α \in Λ\} \subseteq I d e a l (X)$ ，由注4（2）和定义9，可得 $⋂_{α \in Λ} I_{α}$ 和 $〈⋃_{α \in Λ} I_{α}〉$ 分别 $为 \{I_{α} | α \in Λ\}$ 关于集合包含序 $\subseteq$ 的下确界和上确界，即

\underset{α \in Λ}{⋀} I_{α} = ⋂_{α \in Λ} I_{α} ， \underset{α \in Λ}{⋁} I_{α} = 〈⋃_{α \in Λ} I_{α}〉 。

由注4（1），可知 $\{0\} \in I d e a l (X)$ 和 $X \in I d e a l (X)$ 分别 $为 I d e a l (X)$ 关于集合包含序 $\subseteq$ 的最小元和最大元，因此 $(I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X)$ 为完备格。特别地，对任意的 $I ， J \in I d e a l (X)$ ，有 $I \land J = I ⋂ J$ 且 $I \lor J = 〈I ⋃ J〉$ 。

其次，证明 $(I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X)$ 是分配格。只需证明对任意的 $I ， J ， K \in I d e a l (X)$ ， $I \land$ $(J \lor K) = (I \land J) \lor (I \land K)$ 等价于 $I ⋂ 〈J ⋃ K〉 =$ $〈(I ⋂ J) ⋃ (I ⋂ K)〉 =$ $〈I ⋂ (J ⋃ K)〉$ 。又由 $I ⋂ (J ⋃ K) \subseteq$ $I ⋂ 〈J ⋃ K〉 \in$ $I d e a l (X)$ 和生成理想的最小性，可知 $〈I ⋂ (J ⋃ K)〉 \subseteq$ $I ⋂ 〈J ⋃ K〉$ ，故只需证明 $I ⋂ 〈J ⋃ K〉 \subseteq$ $〈I ⋂ (J ⋃ K)〉$ 。因此，对任意的 $k \in Z_{+}$ ， $x \in X$ ， ${\{a_{i}\}}_{i = 1}^{k} \subseteq X$ 和 ${\{b_{i}\}}_{i = 1}^{k} \subseteq X$ ，记：

\begin{array}{l} ω_{k} (x) = C (a_{k}) \to （ C (a_{k - 1}) \to （ \dots \to （ C (a_{2}) \to \\ （ C (a_{1}) \to C (x) ） ） \dots ） ） ， \end{array}

（14）

\begin{array}{l} π_{k} (x) = C (b_{k}) \to （ C (b_{k - 1}) \to （ \dots \to （ C (b_{2}) \to \\ （ C (b_{1}) \to C (x) ） ） \dots ） ） \end{array}

，（15）

则：

$ω_{1} (x) = C (a_{1}) \to C (x)$ 且 $π_{1} (x) = C (b_{1}) \to C (x)$ ，

$ω_{k} (x) = C (a_{k}) \to ω_{k - 1} (x)$ 且 $π_{k} (x) = C (b_{k}) \to$

π_{k - 1} (x)

，　

k = 2,3, \dots

。（16）

又由（I22）和（I23），可得

$ω_{k} (x) = C C (ω_{k} (x))$ 且 $π_{k} (x) = C C (π_{k} (x))$ ，

k = 1,2, \dots

。（17）

任取 $x \in I ⋂ 〈J ⋃ K〉$ ，则有 $x \in I$ 且 $x \in 〈J ⋃ K〉$ ，从而由定理11，得 $x \in I$ 且存在 ${\{b_{i}\}}_{i = 1}^{n} \subseteq J ⋃ K$ ，使得 $π_{n} (x) = 1$ 。令

a_{1} = C (π_{1} (x) \to C (x))

，

a_{k} = C （ π_{k} (x) \to π_{k - 1} (x) ）

，

k = 2,3, \dots, n

，（18）

则一方面，依次利用（I23）（I1）（I3）（I6）（I15）和（Id1），可得

\begin{array}{l} C (C (x) \to C (a_{1})) = C (C (x) \to C C (π_{1} (x) \to C (x))) = C (C (x) \to (π_{1} (x) \to C (x))) = C (π_{1} (x) \to (C (x) \to C (x))) = C (π_{1} (x) \to 1) = \\ C (1) = 0 \in I \in I d e a l (X) 。 \end{array}

由 $x \in I$ 和（Id2），得 $a_{1} \in I$ 。另一方面，依次利用（I23）（I1）（I3）和（I15），可得

C (C (b_{1}) \to C (a_{1})) = C （ C (b_{1}) \to C C （ π_{1} (x) \to C (x) ） ） = C （ C (b_{1}) \to （ π_{1} (x) \to C (x) ） ） = C （ π_{1} (x) \to （ C (b_{1}) \to C (x) ） ） = C （ π_{1} (x) \to π_{1} (x) ） = C (1) = 0 。

因为 $b_{1} \in J ⋃ K$ ，所以不妨设 $b_{1} \in J \in I d e a l (X)$ ，于是由 $0 \in J$ 和（Id2），可得 $a_{1} \in J \subseteq J ⋃ K$ 。

综合以上两方面，可得 $a_{1} \in I ⋂ (J ⋃ K)$ 。

对任意的 $k = 2,3, \dots, n$ ，一方面，因为

\begin{array}{l} C (C (x) \to C (a_{k})) = \\ C (C (x) \to C C (π_{k} (x) \to π_{k - 1} (x))) = \end{array}

［由式（18）］

C (C (x) \to C C (π_{k} (x) \to C C (π_{k - 1} (x)))) =

［由式（17）］

C (C (x) \to (π_{k} (x) \to C C (π_{k - 1} (x)))) =

［由（I22）］

C (π_{k} (x) \to (C (x) \to C C (π_{k - 1} (x)))) =

［由（I1）］

C (π_{k} (x) \to (C (x) \to π_{k - 1} (x))) =

［由式（17）］

C (π_{k} (x) \to 1) =

［由引理3］

C (1) =

［由（I6）］

0

，［由（I15）］

所以由（Id1），得 $C (C (x) \to C (a_{k})) = 0 \in I \in I d e a l (X)$ ，从而由 $x \in I$ 和（Id2），得 $a_{k} \in I$ ， $k = 2,3, \dots, n$ 。另一方面，因为

\begin{array}{l} C (C (b_{k}) \to C (a_{k})) = \\ C (C (b_{k}) \to C C (π_{k} (x) \to π_{k - 1} (x))) = \end{array}

［由式（18）］

C (C (b_{k}) \to C C (π_{k} (x) \to C C (π_{k - 1} (x)))) =

［由式（17）］

C (C (b_{k}) \to (π_{k} (x) \to C C (π_{k - 1} (x)))) =

［由（I22）］

C (π_{k} (x) \to (C (b_{k}) \to C C (π_{k - 1} (x)))) =

［由（I1）］

C (π_{k} (x) \to (C (b_{k}) \to π_{k - 1} (x))) =

［由式（17）］

C (π_{k} (x) \to π_{k} (x)) =

［由式（15）］

C (1) =

［由（I3）］

0

，［由（I15）］

又由于 $b_{k} \in J ⋃ K$ ，所以不妨设 $b_{k} \in J \in I d e a l (X)$ ，故由 $0 \in J$ 和（Id2），可得 $a_{k} \in J \subseteq J ⋃ K$ ， $k = 2,$ $3, \dots, n$ 。

综合以上两方面，得 $a_{k} \in I ⋂ (J ⋃ K)$ ， $k = 2,3, \dots, n$ 。因此 $a_{k} \in I ⋂ (J ⋃ K)$ ， $k = 1,2, \dots, n$ 。

下证 $ω_{n} (x) = π_{n} (x)$ 。事实上，由 $ω_{1} (x)$ 和 $π_{1} (x)$ 的定义以及（I23）和（I12），得

\begin{array}{l} ω_{1} (x) = C (a_{1}) \to C (x) = C C (π_{1} (x) \to C (x)) \to C (x) = （ （ C (b_{1}) \to C (x) ） \to C (x) ） \to C (x) = \\ C (b_{1}) \to C (x) = π_{1} (x) ， \end{array}

又由式（16）和（I12），得

\begin{array}{l} ω_{2} (x) = C (a_{2}) \to ω_{1} (x) = C C （ π_{2} (x) \to π_{1} (x) ） \to ω_{1} (x) = （ π_{2} (x) \to π_{1} (x) ） \to ω_{1} (x) = （ （ C (b_{2}) \to π_{1} (x) ） \to π_{1} (x) ） \to ω_{1} (x) = \\ （ （ C (b_{2}) \to ω_{1} (x) ） \to ω_{1} (x) ） \to ω_{1} (x) = C (b_{2}) \to ω_{1} (x) = C (b_{2}) \to π_{1} (x) = π_{2} (x), \end{array}

重复 $n - 3$ 次，得 $ω_{n - 1} (x) = π_{n - 1} (x)$ 。再由式（16）和（I12），得

\begin{array}{l} ω_{n} (x) = C (a_{n}) \to ω_{n - 1} (x) = \\ C C （ π_{n} (x) \to π_{n - 1} (x) ） \to ω_{n - 1} (x) = \\ （ π_{n} (x) \to π_{n - 1} (x) ） \to ω_{n - 1} (x) = \\ （ （ C (b_{n}) \to π_{n - 1} (x) ） \to π_{n - 1} (x) ） \to ω_{n - 1} (x) = \\ （ （ C (b_{n}) \to ω_{n - 1} (x) ） \to ω_{n - 1} (x) ） \to ω_{n - 1} (x) = \\ C (b_{n}) \to ω_{n - 1} (x) = C (b_{n}) \to π_{n - 1} (x) = π_{n} (x) ， \end{array}

故 $ω_{n} (x) = π_{n} (x)$ 。又因为 $π_{n} (x) = 1$ ，所以由式（14），得

$\begin{array}{l} C (a_{n}) \to （ C (a_{n - 1}) \to （ \dots \to （ C (a_{2}) \to （ C (a_{1}) \to \\ C (x) ）） \dots ）） = ω_{n} (x) = π_{n} (x) = 1 ， \end{array}$ 由定理11，得 $x \in 〈I ⋂ (J ⋃ K)〉$ ，从而

I ⋂ 〈J ⋃ K〉 \subseteq 〈I ⋂ (J ⋃ K)〉

，

进而可得其满足分配律。因此， $（ I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X ）$ 为完备的分配格。

最后，考察完备分配格 $（ I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X ）$ 的连续性和代数性。

定义10^［30］　设 $(P, ≼)$ 为偏序集， $(L, ≼)$ 为完备格，有

（i）设 $a, b \in P$ ，如果对于 $P$ 的任意定向子集 $D$ ，均满足当 $s u p D$ 存在且 $b ≼ s u p D$ 时，必存在 $d \in D$ ，使得 $a ≼ d$ ，则称 $a$ 双小于 $b$ ，记为 $a ≪ b$ ；

（ii）如果 $a \in P$ 满足 $a ≪ a$ ，则称 $a$ 为 $P$ 中的紧元，由 $P$ 中的全体紧元构成的集合记为 $K (P)$ ；

（iii）对任意的 $x \in P$ ，如果集合 $⇓ x ≔$ $\{y \in P | y ≪ x\}$ 为定向集且 $x = s u p ⇓ x$ ，则称 $(P, ≼)$ 为连续偏序集；

（iv）如果完备格 $(L, ≼)$ 作为偏序集是连续的，则称 $(L, ≼)$ 为连续格；

（v）在完备格 $(L, ≼)$ 中的任意元素 $x$ ，如果 $x = s u p （ ↓ x ⋂ K (P) ）$ ，则称 $(L, ≼)$ 为代数格。

引理5^［30］　（i）任一代数格必为连续格；

（ii）设 $(L, ≼)$ 为连续格，则 $(L, ≼)$ 为分配格 $\Leftrightarrow$ $(L, ≼)$ 为Heyting代数 $\Leftrightarrow (L, ≼)$ 为Frame。

定理13　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，则完备格 $(I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X)$ 为代数格。

证明　首先，对 $I d e a l (X)$ 的任意定向子集 $D = \{I_{α} \in I d e a l (X) | α \in Λ\}$ ，假设

I : = s u p D = \overset{↑}{\underset{α \in Λ}{⋁}} I_{α} = ⋃_{α \in Λ} I_{α} 。

事实上，对任意的 $α \in Λ$ ，有 $I_{α} \in D \subseteq I d e a l (X)$ ，所以 $0 \in I_{α}$ ，从而 $0 \in I$ ，故 $I$ 满足（Id1）。对任意的 $x, y \in X$ ，设 $x \in I$ 且 $C （ C (x) \to C (y) ） \in I$ ，则存在 $α ， β \in Λ$ ，使得 $x \in I_{α}$ 且 $C (C (x) \to C (y)) \in I_{β}$ ，从而由 $D$ 是 $I d e a l (X)$ 的定向子集，知存在 $γ \in Λ$ ，使得 $I_{α} \subseteq I_{γ}$ 且 $I_{β} \subseteq I_{γ}$ ，进而 $x \in I_{γ}$ 且 $C (C (x) \to C (y)) \in I_{γ}$ ，故由 $I_{γ} \in I d e a l (X)$ 和（Id2），可得 $y \in I_{γ} \subseteq I$ ，即 $I$ 满足（Id2）。因此 $I = s u p D$ ，假设成立。

其次，证明 $X$ 的任意有限生成理想均为完备格 $(I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X)$ 中的紧元。事实上，假设集合 $A = \{a_{i} | i = 1,2, \dots, n\} \subseteq X$ 满足 $〈A〉 = I \in I d e a l (X)$ ，则对 $I d e a l (X)$ 的任意定向子集 $D$ ，如果

I \subseteq s u p D = \overset{↑}{\underset{α \in Λ}{⋁}} I_{α} = ⋃_{α \in Λ} I_{α} ，

则 $A \subseteq 〈A〉 = I \subseteq s u p D$ ，于是对任意的 $i = 1,2, \dots,$ $n$ ，均存在 $I_{i} \in D$ ，使得 $a_{i} \in I_{i}$ 。又因为 $D$ 是定向的，所以存在 $I_{α} \in D$ ，使得 $I_{i} \subseteq I_{α}$ ， $i = 1,2, \dots, n$ ，从而 $A = \{a_{i} | i = 1,2, \dots, n\} \subseteq I_{α}$ 。故由 $I = 〈A〉$ 是包含 $A$ 的最小理想，得 $I \subseteq I_{α} \in D$ ，因此 $I ≪ I$ ，即 $I$ 为完备格 $（ I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X ）$ 中的紧元。

最后，证明 $（ I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X ）$ 为代数格。事实上，对任意的 $I \in I d e a l (X)$ ，有

I = ⋃_{A \subseteq I ， |A| < + \infty} 〈A〉 ，

其中， $\{〈A〉 | A \subseteq I ， |A| < + \infty\} 为 I d e a l (X)$ 的定向子集，即 $I d e a l (X)$ 中任意元素均可表示为 $I d e a l (X)$ 中若干紧元的定向并，因此，由定义10（v），知 $（ I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X ）$ 为代数格。

注6^［30］　完备格 $(L, ≼)$ 构成Frame $\Leftrightarrow (L, ≼)$ 应满足无限分配律：

a \land (\underset{α \in Λ}{⋁} x_{α}) = \underset{α \in Λ}{⋁} (a \land x_{α}) ， a \in L ， \{x_{α} | α \in Λ\} \subseteq L 。

推论2　设 $(X, \to, 0)$ 为FI代数，则

（i） $(I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X)$ 为分配的连续格；

（ii） $(I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X)$ 为完备Heyting代数；

（iii） $(I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X)$ 为Frame；

（iv） $(I d e a l (X) ， \subseteq ， \{0\} ， X)$ 为完备格，且满足无限分配律：

\begin{matrix} I \land (\underset{α \in Λ}{⋁} I_{α}) = \underset{α \in Λ}{⋁} (I \land I_{α}) ， \\ I \in I d e a l (X) ， \{I_{α} | α \in Λ\} \subseteq I d e a l (X) 。 \end{matrix}

证明　由定理12、定理13、引理5和注6，可证得推论2。

6　结论

在伪补算子不满足正则条件的情况下，深入探究了Fuzzy蕴涵（FI）代数的结构特征，得到了其若干性质。在此基础上，引入了理想和由非空子集生成的理想的概念，并较为系统地研究了它们的性质，给出了理想和生成理想的若干等价刻画定理，证明了FI代数的全体理想之集关于集合包含序构成分配的连续格，特别是构成完备Heyting代数，进而构成Frame的重要结论。这些工作将关于理想问题的研究拓展至更具一般性的FI代数框架，一方面，有助于进一步丰富和完善FI代数理论，充实研究内容；另一方面，所得结果可反映剩余格、MTL代数、BL代数等非正则模糊逻辑代数的共同特征，充分体现FI代数在揭示模糊逻辑代数蕴涵算子共同本质中的重要价值。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.04.001

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[本文引用: 3]

2003

... 非经典数理逻辑是近似推理和模糊控制等的理论基础，模糊逻辑是非经典数理逻辑理论中一个极具活力的分支^［1］.模糊逻辑系统研究包括形式模糊逻辑系统中逻辑演算的语法、语义、代数和代数完备性问题等.经过长期的探索和研究发现，与经典二值逻辑类似，每种模糊逻辑系统都有一个与之相匹配的逻辑代数作为基础.因此，利用代数学方法研究逻辑问题广受关注和青睐，合适的代数方法不仅丰富和拓展了代数学的内容，而且有效推动了模糊逻辑理论的发展.例如，由CHANG^［2］提出并利用其性质成功完成无限值Łuckasiewicz逻辑系统完备性证明的MV代数；XU等^［3］提出了作为建立多种格值逻辑推理系统基础的格蕴涵代数和格H蕴涵代数；WANG等^［4］基于对模糊逻辑推理基础问题的深刻分析提出了与模糊逻辑推理系统L^*相匹配的R₀代数，亦称为NM代数；HÁJEK^［5-6］提出了与基本逻辑（basic logic，BL）系统相匹配的BL代数；ESTEVA等^［7］提出了与Monoidal-t-范基逻辑相匹配的MTL代数等. ...

2003

Algebraic analysis of many valued logics

1958

2004

2009

1998

Basic fuzzy logic and BL-algebras

1998

Monoidal t-norm based logic： Towards a logic for left-continuous t-norms

2001

Fuzzy蕴涵代数

1990

... 值得一提的是，在各种模糊逻辑系统中，“蕴涵”是一个最基本的联结词，在不同形式的模糊逻辑代数中，蕴涵算子具有基础性地位.鉴于此，为充分揭示各种蕴涵算子的本质，吴望名^［8］提出了Fuzzy蕴涵（FI）代数的概念并给出了若干重要性质.此后，诸多学者在FI代数的结构特性方面进行了大量系统深入的研究，获得了一系列研究成果^［9-17］，逐步深化了对FI代数的认知. ...

... 定义1^［8］　如果对任意的

x, y, z \in X

，恒有： ...

... 定义2^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数.在

X

上定义二元关系

\leq

满足 ...

... 引理1^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\leq

是

X

上由

\to

诱导的关系，则对任意的

x, y, z \in X

，恒有： ...

... 注1^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\leq

为

X

上由

\to

诱导的关系，则由条件（I3）（I4）和（I9），可知

(X, \leq)

为偏序集.又由（I5）和（I6），知0和1分别

为 (X, \leq)

中的最小元和最大元. ...

... 引理2^［8，15］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\leq

为

X

上由

\to

诱导的关系，则对任意的

x, y, z \in X

，恒有： ...

... 定义4^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数.在

X

上定义一元运算

C : X \to X

满足 ...

... 引理3^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，则对任意的

x, y \in X

，恒有： ...

... 定义5^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数.在

X

上定义二元运算

⊺ : X \times X \to X

和

⊥ : X \times X \to X

分别满足： ...

Fuzzy蕴涵代数

1990

... 定义1^［8］　如果对任意的

x, y, z \in X

，恒有： ...

... 定义2^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数.在

X

上定义二元关系

\leq

满足 ...

... 引理1^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\leq

是

X

上由

\to

诱导的关系，则对任意的

x, y, z \in X

，恒有： ...

... 注1^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\leq

为

X

上由

\to

诱导的关系，则由条件（I3）（I4）和（I9），可知

(X, \leq)

为偏序集.又由（I5）和（I6），知0和1分别

为 (X, \leq)

中的最小元和最大元. ...

... 引理2^［8，15］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\leq

为

X

上由

\to

诱导的关系，则对任意的

x, y, z \in X

，恒有： ...

... 定义4^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数.在

X

上定义一元运算

C : X \to X

满足 ...

... 引理3^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，则对任意的

x, y \in X

，恒有： ...

... 定义5^［8］　设

(X, \to, 0)

为FI代数.在

X

上定义二元运算

⊺ : X \times X \to X

和

⊥ : X \times X \to X

分别满足： ...

Fuzzy蕴涵代数与MV代数

1998

Fuzzy蕴涵代数与MV代数

1998

交换Fuzzy蕴涵代数

1999

交换Fuzzy蕴涵代数

1999

剩余格与FI代数的可嵌入性

2003

剩余格与FI代数的可嵌入性

2003

FI代数同构于一族全序FI代数的直积的子代数的条件

2004

FI代数同构于一族全序FI代数的直积的子代数的条件

2004

基于FI代数的一个逻辑系统

2005

基于FI代数的一个逻辑系统

2005

关于PFI代数与剩余格

2006

关于PFI代数与剩余格

2006

Fuzzy蕴涵代数的MP滤子

2009

... 引理2^［8，15］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\leq

为

X

上由

\to

诱导的关系，则对任意的

x, y, z \in X

，恒有： ...

... 定义3^［15］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\emptyset \neq F \subseteq X

.如果

F

满足： ...

Fuzzy蕴涵代数的MP滤子

2009

... 引理2^［8，15］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\leq

为

X

上由

\to

诱导的关系，则对任意的

x, y, z \in X

，恒有： ...

... 定义3^［15］　设

(X, \to, 0)

为FI代数，

\emptyset \neq F \subseteq X

.如果

F

满足： ...

模糊蕴涵格理论

2011

模糊蕴涵格理论

2011

A survey of Fuzzy implication algebras and their axiomatization

2014

Fuzzy蕴涵代数的滤子理论

2013

... 不容忽视的是，在模糊逻辑代数分析中，作为偏序集的两个相互对偶的特殊子集的滤子和理想概念，发挥了不可替代的作用.这是因为从逻辑层面看，不同类型的滤子或理想对应逻辑系统中不同的可证公式集.正因如此，对滤子和理想问题的研究自然成为模糊逻辑代数分析领域的重要课题且研究成果丰富^［18-24］.然而，大量事实表明，对于否定运算具有正则性的逻辑代数而言，其滤子和理想是一对完全对偶的概念，不同类型理想的特征性质均可通过与之对偶的滤子性质间接获得，因此，在否定运算不满足正则性的逻辑代数中对理想问题开展研究，更具价值和挑战性.近年来，随着该课题的关注程度日益提升，基于剩余格、BL代数、MTL代数等非正则模糊逻辑代数理想问题的研究成果不断涌现^［25-29］.考虑FI代数本身不具有正则性且能够体现诸多非正则模糊逻辑代数类的共同本质特征，本文拟在利用伪补算子深入分析FI代数非正则特性的基础上，引入理想概念并建立FI代数的理想理论，以进一步揭示模糊逻辑代数及其蕴涵算子的共同本质特征. ...

Fuzzy蕴涵代数的滤子理论

2013

FI代数的模糊滤子

2012

FI代数的模糊滤子

2012

Fuzzy MP-filters lattices on a given FI-algebra

2013

Filter theory of BL-algebras

2008

On filter theory of residuated lattices

2010

ILI-ideals and prime LI-ideals in lattice implication algebras

2003

有界Heyting代数的扩张模糊LI-理想

2021

有界Heyting代数的扩张模糊LI-理想

2021

Ultra LI-ideals in lattice implication algebras and MTL-algebras

2007

MV-algebras derived from ideals in BL-algebras

2013

否定非对合剩余格的LI-理想理论

2015

否定非对合剩余格的LI-理想理论

2015

Ideals and Fuzzy ideals on residuated lattices

2017

Prime LI-ideal spaces of MTL-algebras

2020

2003

... 定义10^［30］　设

(P, ≼)

为偏序集，

(L, ≼)

为完备格，有 ...

... 引理5^［30］　（i）任一代数格必为连续格； ...

... 注6^［30］　完备格

(L, ≼)

构成Frame

\Leftrightarrow (L, ≼)

应满足无限分配律： ...

〈

〉

$\to$	$0$	$a$	$b$	$c$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$a$	$b$	$1$	$1$	$1$	$1$
$b$	$a$	$a$	$1$	$1$	$1$
$c$	$0$	$a$	$b$	$1$	$1$
$1$	$0$	$a$	$b$	$c$	$1$

$\to$	$0$	$a$	$b$	$c$	$d$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$a$	$c$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$b$	$b$	$b$	$1$	$1$	$1$	$1$
$c$	$a$	$a$	$b$	$1$	$1$	$1$
$d$	$0$	$a$	$b$	$c$	$1$	$1$
$1$	$0$	$a$	$b$	$c$	$d$	$1$

$\to$	$0$	$a$	$b$	$c$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$a$	$b$	$1$	$1$	$1$	$1$
$b$	$a$	$a$	$1$	$1$	$1$
$c$	$0$	$a$	$b$	$1$	$1$
$1$	$0$	$a$	$b$	$c$	$1$

$\to$	$0$	$a$	$b$	$c$	$d$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$a$	$c$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$b$	$b$	$b$	$1$	$1$	$1$	$1$
$c$	$a$	$a$	$b$	$1$	$1$	$1$
$d$	$0$	$a$	$b$	$c$	$1$	$1$
$1$	$0$	$a$	$b$	$c$	$d$	$1$