环形区域上含梯度项的椭圆边值问题的径向解

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.004

环形区域上含梯度项的椭圆边值问题的径向解

李其祥^,^,, 李永祥^,^,

西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州 730070

Radial solutions for elliptic boundary value problems with gradient terms in annular domains

LI Qixiang^,^,, LI Yongxiang^,^,

College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-5193-030X，E-mail：liyx@nwnu.edu.cn.

收稿日期: 2019-06-02

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 12061062. 11661071

Received: 2019-06-02

作者简介 About authors

李其祥（1993—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-1205-5127，男，硕士研究生，主要从事非线性泛函分析研究，E-mail：liqixiang_19@163.com. , E-mail：liqixiang_19@163.com

摘要

讨论了环形区域 $Ω = \{x \in R^{N} |r_{1} < |x| < r_{2}\}$ 上含梯度项的椭圆边值问题 $\{\begin{array}{l} - Δ u = f (|x|, u, |\nabla u|), x \in Ω, \\ u |_{\partial Ω} = 0 \end{array}$ 径向解的存在性与唯一性，其中 $N \geq 3$ ， $f : [r_{1}, r_{2}] \times R \times R^{+} \to R$ 连续。在不假定非线性项 $f$ 非负的情形下，当 $f (r, u, η)$ 关于 $η$ 满足Nagumo型条件时，运用上下解方法和截断函数技巧，获得了径向解的存在性。进一步，证明了在一定条件下径向解的唯一性。

关键词： 椭圆边值问题 ; 径向解 ; 环形区域 ; 上下解

Abstract

The existence and uniqueness of radial solutions are discussed for elliptic boundary value problems $\{\begin{array}{l} - Δ u = f (|x|, u, |\nabla u|), x \in Ω, \\ u |_{\partial Ω} = 0, \end{array}$ where $Ω = \{x \in R^{N} |r_{1} < |x| < r_{2}\}$ , $N \geq 3$ , $f : [r_{1}, r_{2}] \times R \times R^{+} \to R$ is continuous. In the general case where the nonlinear term $f$ is not assumed to be non-negative, when $f (r, u, η)$ satisfies Nagumo-type condition on $η$ , the existence of radial solutions is proved for the problem by using the method of lower and upper solutions and a truncating functional technique. Further, the uniqueness of radial solution is demonstrated under certain conditions.

Keywords： elliptic boundary value problem ; radial solution ; annular domain ; upper and lower solution

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本文引用格式

李其祥, 李永祥. 环形区域上含梯度项的椭圆边值问题的径向解. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(3): 287-291 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.004

LI Qixiang, LI Yongxiang. Radial solutions for elliptic boundary value problems with gradient terms in annular domains. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(3): 287-291 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.004

0　引言

非线性项含梯度项的椭圆边值问题

\{\begin{array}{l} - Δ u = f (|x|, u, |\nabla u|), x \in Ω, \\ u |_{\partial Ω} = 0 ， \end{array}

（1）

其中， $Ω = \{x \in R^{N} |r_{1} < |x| < r_{2}\}$ 为 $R^{N}$ 中以0为中心， $r_{1}$ ， $r_{2}$ 为半径的环形区域， $N \geq 3$ ，0< $r_{1}$ < $r_{2}$ < $\infty$ ， $f : [r_{1}, r_{2}] \times R \times R^{+} \to R$ 为非线性连续函数。对于非线性项 $f$ 不含梯度项的简单椭圆边值问题

\{\begin{array}{l} - Δ u = f (|x|, u), x \in Ω, \\ u |_{\partial Ω} = 0 \end{array}

（2）

径向解的存在性已有不少研究^［1-9］。如文献［2］运用分歧理论得到径向解具有多解性的结论。文献［3］运用Schaeffer不动点定理证明了径向解的存在性。文献［4-6］在非线性项 $f$ 超线性增长的情形下，证明了径向解的存在性。文献［9］在 $f$ 变号的情形下，应用锥上的不动点指数理论给出了径向解的存在性与不存在性条件。

对于非线性项 $f$ 含梯度项的椭圆边值问题，文献［10］在 $f (r, u, η)$ 非负且关于 $u$ ， $η$ 超线性增长或次线性增长的情形下，运用锥上的不动点指数理论证明了边值问题

\{\begin{array}{l} - Δ u = f (|x|, u, \frac{x}{|x|} \nabla u), x \in Ω, \\ u |_{\partial Ω} = 0 \end{array}

（3）

正径向解的存在性。文献［11］应用Schauder不动点定理和压缩映射原理，证明了式（3）至少存在一个径向解。文献［12］通过Leray-Schauder不动点定理，证明了当非线性项 $f (r, u, η)$ 一边超线性增长，且关于 $η$ 满足Nagumo型条件时，式（1）至少存在一个径向解。

本文的目的是，在无假定非线性项 $f$ 非负时，讨论式（1）径向解的存在性与唯一性。当非线性项 $f (r, u, η)$ 关于 $η$ 满足Nagumo型条件时，运用上下解方法和截断函数技巧，证明式（1）径向解的存在性，并在此基础上，运用微分中值定理证明式（1）径向解的唯一性。

1　预备知识

易验证 $u$ = $u (|x|)$ 为式（1）的径向解当且仅当 $u (r)$ 为常微分方程边值问题

\{\begin{array}{l} - [r^{N - 1} u' (r)]' = \\ r^{N - 1} f (r, u (r), |u' (r)|), r \in [r_{1}, r_{2}], \\ u (r_{1}) = u (r_{2}) = 0 \end{array}

（4）

的解。因此，只需讨论式（4）解的存在性与唯一性。

记 $I = [r_{1}, r_{2}]$ ， $R^{+} = [0, + \infty)$ ， $C (I)$ 为由 $I$ 上的全体连续函数按范数 ${‖u‖}_{C} = \underset{r \in I}{m a x} |u (r)|$ 构成的Banach空间。对 $n \in N$ ， $C^{n} (I)$ 为由 $I$ 上的全体 $n$ 阶连续可微函数按范数 ${‖u‖}_{C^{n}} = \underset{r \in I}{m a x} \{{‖u‖}_{C}, {‖u'‖}_{C}, \dots,$ ${‖u^{(n)}‖}_{C}\}$ 构成的Banach空间。

为讨论式（4），首先考虑相应的线性边值问题

\{\begin{array}{l} - [r^{N - 1} u' (r)]' = h (r), r \in [r_{1}, r_{2}], \\ u (r_{1}) = u (r_{2}) = 0, \end{array}

（5）

其中， $h \in C (I)$ 。

引理1^［10］　对任意的 $h \in C (I)$ ，式（5）存在唯一解 $u$ ：= $S h \in C^{2} (I)$ ，且解算子 $S$ ： $C (I) \to C^{1} (I)$ 为线性全连续算子。

引理2　对任意的 $h \in C (I)$ ，式（5）的解 $u \in C^{2} (I)$ 满足：

（i） ${‖u‖}_{C} \leq (r_{2} - r_{1}) {‖u'‖}_{C}$ ， $r \in I$ ；

（ii） ${‖u'‖}_{C} \leq \frac{r_{2} - r_{1}}{{r_{1}}^{N - 1}} {‖(r^{N - 1} u')'‖}_{C}$ ， $r \in I$ 。

证明　对任意的 $h \in C (I)$ ，设 $u \in C^{2} (I)$ 为式（5）的解，则

|u (r)| = |\int_{r_{1}}^{r} u' (s) d s| \leq (r_{2} - r_{1}) {‖u'‖}_{C}

，　

r \in I

，

所以，

{‖u‖}_{C} \leq (r_{2} - r_{1}) {‖u'‖}_{C}

，　

r \in I

。

故结论（i）成立。

由微分中值定理，知存在 $ξ \in [r_{1}, r_{2}]$ ，使得 $u' (ξ) = 0$ 。对任意的 $r \in I$ ，有

{r_{1}}^{N - 1} |u' (r)| \leq |r^{N - 1} u' (r)| = |\int_{ξ}^{r} [r^{N - 1} u' (r)]' d r| \leq (r_{2} - r_{1}) {‖(r^{N - 1} u')'‖}_{C}

，

因此，

{‖u'‖}_{C} \leq \frac{r_{2} - r_{1}}{{r_{1}}^{N - 1}} {‖(r^{N - 1} u')'‖}_{C}

，　

r \in I

。

故结论（ii）成立。

引理3　设 $f : [r_{1}, r_{2}] \times R \times R^{+} \to R$ 连续。若存在常数 $a, b \geq 0$ 及 $C > 0$ ，满足

a (r_{2} - r_{1}) + b < \frac{{r_{1}}^{N - 1}}{{r_{2}}^{N - 1} (r_{2} - r_{1})}

，（6）

使得

|f (r, u, η)| \leq a |u| + b η + C

，

(r, u, η) \in I \times R \times R^{+}

，（7）

则式（4）有解。

证明　对任意的 $u \in C^{1} (I)$ ，令

F (u) (r) : = r^{N - 1} f (r, u (r), |u' (r)|)

，　

r \in I

，

则 $F : C^{1} (I) \to C (I)$ 连续，且将有界集映为有界集。定义映射 $A = S \circ F$ ，由引理1，知 $S : C^{} (I) \to$ $C^{1} (I)$ 为线性全连续算子，因此算子 $A : C^{1} (I) \to$ $C^{1} (I)$ 为线性全连续算子。由 $S$ 的定义，式（4）的解等价于算子 $A$ 的不动点。对 $A$ 应用Leray-Schauder不动点定理^［13］，需证明同伦簇方程

u = λ A u

， 0<

λ

<1（8）

的解集在 $C^{1} (I)$ 中有界。设 $u \in C^{1} (I)$ 为当 $λ \in (0,1)$ 时式（8）的解，则 $u = S (λ F (u))$ 。

令 $h = λ F (u)$ ，由 $S$ 的定义， $u = S h$ 为式（5）的解，因此， $u \in C^{2} (I)$ 满足

\{\begin{array}{l} - [r^{N - 1} u' (r)]' = \\ λ r^{N - 1} f (r, u (r), |u' (r)|), r \in [r_{1}, r_{2}], \\ u (r_{1}) = u (r_{2}) = 0 。 \end{array}

（9）

由式（7）和式（9），有

\begin{array}{l} - [r^{N - 1} {u' (r)]}^{'} = λ r^{N - 1} f (r, u (r), |u' (r)|) \leq λ r^{N - 1} |f (r, u (r), |u' (r)|)| \leq \\ {r_{2}}^{N - 1} (a |u (r)| + b |u' (r)| + C) ， r \in I ， \end{array}

两边取 ${‖\cdot‖}_{C}$ ，由引理2，知

\begin{array}{l} \frac{{r_{1}}^{N - 1}}{r_{2} - r_{1}} {‖u'‖}_{C} \leq {‖(r^{N - 1} u')'‖}_{C} \leq \\ {r_{2}}^{N - 1} (a {‖u‖}_{C} + b {‖u'‖}_{C} + C) \leq \\ {r_{2}}^{N - 1} [a (r_{2} - r_{1}) + b] {‖u'‖}_{C} + C {r_{2}}^{N - 1}, r \in I, \end{array}

可得

{‖u'‖}_{C} \leq \frac{C {r_{2}}^{N - 1}}{\frac{{r_{1}}^{N - 1}}{r_{2} - r_{1}} - {r_{2}}^{N - 1} [a (r_{2} - r_{1}) + b]} : = M_{0}

。

结合引理2（i），知式（8）的解集在 $C^{1} (I)$ 中有界，由Leray-Schauder不动点定理， $A$ 在 $C^{1} (I)$ 中有不动点，该不动点为式（4）的解。

定义1　设 $v_{0} (r)$ ， $w_{0} (r) \in C^{2} (I)$ ，若 $v_{0} (r)$ 满足

\{\begin{array}{l} - [r^{N - 1} v_{0}' (r)]' \leq \\ r^{N - 1} f (r, v_{0} (r), |v_{0}' (r)|), r \in [r_{1}, r_{2}], \\ v_{0} (r_{1}) \leq 0, v_{0} (r_{2}) \leq 0 ， \end{array}

（10）

则称 $v_{0} (r)$ 为式（4）的下解；若 $w_{0} (r)$ 满足

\{\begin{array}{l} - [r^{N - 1} w_{0}' (r)]' \geq \\ r^{N - 1} f (r, w_{0} (r), |w_{0}' (r)|), r \in [r_{1}, r_{2}], \\ w_{0} (r_{1}) \geq 0 ， w_{0} (r_{2}) \geq 0 ， \end{array}

（11）

则称 $w_{0} (r)$ 为式（4）的上解。

2　主要结果及证明

定理1　设 $f : [r_{1}, r_{2}] \times R \times R^{+} \to R$ 连续。式（4）存在下解 $v_{0} (r)$ 与上解 $w_{0} (r)$ ，且 $v_{0} (r) \leq w_{0} (r)$ 。若 $f$ 满足条件

（H1）对任意的 $M > 0$ ，存在单调连续增函数 $g_{M} : R^{+} \to (0, + \infty)$ ，且

\int_{0}^{+ \infty} \frac{ρ d ρ}{g_{M} (ρ)} > {(\frac{{r_{2}}^{N - 1}}{{r_{1}}^{N - 1}})}^{2} [\underset{r \in I}{m a x} w_{0} (r) - \underset{r \in I}{m i n} v_{0} (r)]

，（12）

使得

|f (r, u, η)| \leq g_{M} (η)

，　

r \in I

，

v_{0} (r) \leq u \leq w_{0} (r)

，　

η \in R^{+}

，（13）

则式（1）至少存在一个径向解 $u = u (|x|) \in C^{2} (I)$ ，且 $v_{0} (|x|) \leq u (|x|) \leq w_{0} (|x|)$ 。

证明　由条件（H1），存在 $M > 0$ ，使得

\int_{0}^{M} \frac{ρ d ρ}{g_{M} (ρ)} > {(\frac{{r_{2}}^{N - 1}}{{r_{1}}^{N - 1}})}^{2} [\underset{r \in I}{m a x} w_{0} (r) - \underset{r \in I}{m i n} v_{0} (r)]

，（14）

取常数 $P = M + {‖w_{0}'‖}_{C} + {‖v_{0}'‖}_{C}$ ，令

η_{1} (r, u) = m a x {v_{0} (r), m i n {u, w_{0}^{} (r)}}

，（15）

{[η]}_{p} = m i n {η, P} = \{\begin{array}{l} P, η > P, \\ η, 0 \leq η \leq P, \end{array}

（16）

则 $η (r, u) : I \times R \to R$ 连续。作 $f (r, u, η)$ 的截断函数

\begin{array}{l} f^{*} (r, u, η) = f (r, η_{1} (r, u), {[η]}_{P}) - \frac{u - η_{1} (r, u)}{1 + u^{2}}, \\ (r, u, η) \in I \times R \times R^{+} ， \end{array}

有

|f^{*} (r, u, η)| \leq m a x {|f (r, u, η)| : r \in I, v_{0} (r) \leq u \leq w_{0} (r), |η| \leq P} + {‖w_{0}‖}_{C} + {‖v_{0}‖}_{C} + 1

，

则 $f^{*}$ 连续有界。因此，由引理3，修改后的边值问题

\{\begin{array}{l} - [r^{N - 1} u' (r)]' = \\ r^{N - 1} f^{*} (r, u (r), |u' (r)|), r \in [r_{1}, r_{2}], \\ u (r_{1}) = u (r_{2}) = 0 \end{array}

（17）

有解 $u_{0} (r) \in C^{2} (I)$ 。

下证 $u_{0} (r)$ 为式（4）的解。

先证 $v_{0} \leq u_{0} \leq w_{0}$ 。反设 $v_{0} \leq u_{0}$ 不成立。考查函数 $Φ (r) = u_{0} (r) - v_{0} (r)$ ， $r \in I$ 。因为 $Φ (r_{1}) \geq 0$ ， $Φ (r_{2}) \geq 0$ ，且 $Φ (r) \geq 0$ 不成立，所以存在 $r_{0} \in (r_{1}, r_{2})$ ，使得 $\underset{r \in I}{m i n} Φ (r) = Φ (r_{0}) < 0$ 。由极小值点的性质，有

Φ' (r_{0}) = 0

，　

Φ'' (r_{0}) \geq 0

，

即

u_{0} (r_{0}) < v_{0} (r_{0})

，　

u_{0}' (r_{0}) = v_{0}' (r_{0})

，

u_{0}'' (r_{0}) \geq v_{0}'' (r_{0})

。（18）

由式（18），有

[{r_{0}}^{N - 1} u_{0}' (r_{0})]' \geq [{r_{0}}^{N - 1} v_{0}' (r_{0})]'

。（19）

根据截断函数的定义及定义1，有

\begin{array}{l} - [{r_{0}}^{N - 1} u_{0} {' (r_{0})]}^{'} = {r_{0}}^{N - 1} f^{*} (r_{0}, u_{0} (r_{0}), | u_{0}' (r_{0}) |) = \\ {r_{0}}^{N - 1} f (r_{0}, η_{1} (r_{0}, u_{0} (r_{0})), [| u_{0}' (r_{0} {) |]}_{P}) - {r_{0}}^{N - 1} \frac{u_{0} (r_{0}) - η_{1} (r_{0}, u_{0} (r_{0})}{1 + {u_{0}}^{2} (r_{0})} = {r_{0}}^{N - 1} f (r_{0}, v_{0} (r_{0}), | v_{0}' (r_{0}) |) - \\ {r_{0}}^{N - 1} \frac{u_{0} (r_{0}) - v_{0} (r_{0})}{1 + {u_{0}}^{2} (r_{0})} > \\ {r_{0}}^{N - 1} f (r_{0}, v_{0} (r_{0}), | v_{0}' (r_{0}) |) \geq \\ - [{r_{0}}^{N - 1} v_{0} {' (r_{0})]}^{'} ， \end{array}

即 $[{r_{0}}^{N - 1} u_{0}' (r_{0})]' < [{r_{0}}^{N - 1} v_{0}' (r_{0} {)]}^{'}$ ，这与式（19）矛盾！因此 $v_{0} (r) \leq u_{0} (r)$ 。同理可证 $u_{0} (r) \leq w_{0} (r)$ 。

再证 $| u_{0}' (r) | \leq M$ ， $r \in I$ 。根据Rolle定理，存在 $s_{0} \in (r_{1}, r_{2})$ ，使得 $u_{0}' (s_{0}) = 0$ 。反设 ${‖u_{0}'‖}_{C} \leq M$ 不成立，则存在 $s_{1} \in [r_{1}, s_{0})$ 或 $s_{1} \in （ s_{0}, r_{2}]$ ，使得 ${‖u_{0}'‖}_{C} = |u_{0}' (s_{1})| > M$ 可能存在4种情形：

（i） $s_{1} < s_{0}$ ， $u_{0}' (s_{1}) > M$ ；

（ii） $s_{1} < s_{0}$ ， $u_{0}' (s_{1}) < - M$ ；

（iii） $s_{1} > s_{0}$ ， $u_{0}' (s_{1}) > M$ ；

（iv） $s_{1} > s_{0}$ ， $u_{0}' (s_{1}) < - M$ 。

仅需证明（i），（ii）~（iv）类似可证。令

\bar{r} = s u p {r_{p} \in [s_{1}, s_{0}) : u_{0}' (r_{p}) > M}

，

\underset{̲}{r} = i n f {r_{q} \in (s_{1}, s_{0}] : u_{0}' (r_{q}) = 0}

，

则存在 $s_{1} < \bar{r} < \underset{̲}{r} \leq s_{0}$ ，使得 $u_{0}' (\bar{r}) = M$ ， $u_{0}' (\underset{̲}{r}) = 0$ ， $0 < u_{0}' (r) < M$ ， $r \in (\bar{r}, \underset{̲}{r})$ 。

由截断函数的定义及式（13）和式（17），有

\begin{array}{l} - [r^{N - 1} u_{0} {' (r)]}^{'} = r^{N - 1} f^{*} (r, u_{0} (r), | u_{0}' (r) |) = r^{N - 1} f (r, η_{1} (r, u_{0} (r)), [| u_{0}' {(r) |]}_{P}) - \frac{u_{0} (r) - η_{1} (r, u_{0} (r))}{1 + {u_{0}}^{2} (r)} = \\ r^{N - 1} f (r, u_{0} (r), | u_{0}' (r) |) - \frac{u_{0} (r) - u_{0} (r)}{1 + {u_{0}}^{2} (r)} \leq r^{N - 1} | f (r, u_{0} (r), | u_{0}' (r) |) | \leq \\ r^{N - 1} g_{M} (| u_{0}' (r) |) \leq {r_{2}}^{N - 1} g_{M} (\frac{r^{N - 1} u_{0}' (r)}{{r_{1}}^{N - 1}}) ， r \in I ， \end{array}

所以

\frac{- [\frac{r^{N - 1} u_{0}' (r)}{{r_{1}}^{N - 1}}]' \frac{r^{N - 1} u_{0}' (r)}{{r_{1}}^{N - 1}}}{g_{M} (\frac{r^{N - 1} u_{0}' (r)}{{r_{1}}^{N - 1}})} \leq \frac{{r_{2}}^{N - 1}}{{r_{1}}^{N - 1}} \frac{r^{N - 1} u_{0}' (r)}{{r_{1}}^{N - 1}} \leq {(\frac{{r_{2}}^{N - 1}}{{r_{1}}^{N - 1}})}^{2} u_{0}' (r), r \in I,

（20）

两边同时在 $[\bar{r}, \underset{̲}{r}]$ 上积分，再对左边做变量替换，令 $ρ = \frac{r^{N - 1} u_{0}' (r)}{{r_{1}}^{N - 1}}$ ，有

\int_{0}^{\frac{（ \bar{r} ）^{N - 1} M}{{r_{1}}^{N - 1}}} \frac{ρ d ρ}{g_{M} (ρ)} \leq {(\frac{{r_{2}}^{N - 1}}{{r_{1}}^{N - 1}})}^{2} \int_{\bar{r}}^{\underset{̲}{r}} u_{0}' (r) d r \leq {(\frac{{r_{2}}^{N - 1}}{{r_{1}}^{N - 1}})}^{2} [u_{0} (\underset{̲}{r}) - u_{0} (\bar{r})] \leq {(\frac{{r_{2}}^{N - 1}}{{r_{1}}^{N - 1}})}^{2} [\underset{r \in I}{m a x} w_{0} (r) - \underset{r \in I}{m i n} v_{0} (r)],

由式（14），可得 $\frac{{(\bar{r})}^{N - 1} M}{{r_{1}}^{N - 1}} < M$ ，这与 ${(\bar{r})}^{N - 1} > {r_{1}}^{N - 1}$ 相矛盾，所以 $|u_{0}'| \leq M < P$ 。按 $f^{*}$ 的定义，

f^{*} (r, u_{0} (r), |u_{0}' (r)|) = f (r, u_{0} (r), |u_{0}' (r)|)

，

故 $u_{0} (r)$ 为式（4）的解，即 $u_{0} (|x|)$ 为式（1）的径向解，且满足 $v_{0} (|x|) \leq u (|x|) \leq w_{0} (|x|)$ 。

定理2　设 $f : [r_{1}, r_{2}] \times R \times R^{+} \to R$ 连续。式（4）存在下解 $v_{0} (r)$ 与上解 $w_{0} (r)$ ，且 $v_{0} (r) \leq w_{0} (r)$ 。若 $f (r, u, η)$ 在 $u \in R$ ， $η \in R^{+}$ 上关于变量 $u$ ， $η$ 连续可微，且满足定理1的条件（H1）和

（H2）若 $f (r, u, η)$ 关于 $u$ ， $η$ 的偏导数存在，且当 $r \in I$ ， $v_{0} (r) \leq u_{0} (r) \leq w_{0} (r)$ ， $η \in R^{+}$ 时，有 $f_{u} (r, u, η) < 0$ ，则式（1）存在唯一径向解 $u = u (|x|) \in$ $C^{2} (I)$ ，且 $v_{0} (|x|) \leq u_{0} (|x|) \leq$ $w_{0} (|x|)$ 。

证明　由定理1，式（1）至少存在一个径向解。下证唯一性。设 $u_{1}$ ， $u_{2} \in C^{2} (I)$ 为式（4）的解，记 $u (r)$ = $u_{1} (r) - u_{2} (r)$ 。由微分中值定理， $u (r) \in C^{2} (I)$ 为

\{\begin{array}{l} - [r^{N - 1} u' (r)]' = \\ r^{N - 1} [a (r) u (r) + b (r) u' (r)], r \in I, \\ u (r_{1}) = u (r_{2}) = 0 \end{array}

（21）

的解，其中 $a (r) = f_{u} (r, ξ, ζ)$ ， $b (r) = f_{η} (r, ξ, ζ)$ ， $ξ = u_{1} + θ (u_{2} - u_{1})$ ， $ζ = u_{1}' + θ (u_{2}' - u_{1}')$ ， $θ \in (0,1)$ 。

因为 $f (r, u, η)$ 连续，且关于 $u$ ， $η$ 连续可微，故 $a (r)$ 和 $b (r)$ 有意义。由条件（H2），得 $a (r) < 0$ 。

下证 $u \equiv 0$ 。反设 $u \equiv 0$ 不成立，则存在 $K > 0$ ，使得 $K = \underset{r \in I}{m a x} |u (r)|$ ，即存在 $r^{*} \in (r_{1}, r_{2})$ ，使得 $u (r^{*}) = \underset{r \in I}{m a x} u (r) = K$ 或 $u (r^{*}) = \underset{r \in I}{m i n} u (r) = - K$ 。

先证 $u (r^{*}) = \underset{r \in I}{m a x} u (r) = K$ 的情形。

由 $u (r^{*}) = \underset{r \in I}{m a x} u (r) = K$ ，有

u' (r^{*}) = 0

，　

u'' (r^{*}) \leq 0

，（22）

可得

[(r^{*})^{N - 1} {u' (r^{*})]}^{'} \leq 0

。（23）

由式（21）及式（22）第1式，有

\begin{array}{l} - [(r^{*})^{N - 1} {u' (r^{*})]}^{'} = (r^{*})^{N - 1} [a (r^{*}) u (r^{*}) + \\ b (r^{*}) u' (r^{*})] = K (r^{*})^{N - 1} a (r^{*}) < 0 ， \end{array}

这与式（23）矛盾，故反设不成立。

$u (r^{*}) = \underset{r \in I}{m i n} u (r) = - K$ 的情形类似可证。

故 $u \equiv 0$ 。因此，式（4）存在唯一解，即式（1）存在唯一径向解。

3　例子

设 $N \geq 3$ ，考虑环形区域 $Ω = \{x \in R^{N} |\frac{1}{2} < |x| < 1\}$ 上含梯度项的超线性椭圆边值问题

\{\begin{array}{l} - Δ u = - u^{3} + \frac{1}{8} {|\nabla u|}^{2} - \frac{N - 1}{{|x|}^{2}} u, x \in Ω, \\ u |_{\partial Ω} = 0 。 \end{array}

（24）

相应的非线性项为

f (r, u, η) = - u^{3} + \frac{1}{8} η^{2} - \frac{N - 1}{r^{2}} u 。

（25）

令 $r_{1} = \frac{1}{2}$ ， $r_{2} = 1$ ，取 $v_{0} (r) = 0$ ， $w_{0} (r) = r$ ，显然， $v_{0} (r) = 0$ 为式（24）的下解。因为

\begin{array}{l} r^{N - 1} f (r, w_{0} (r_{0}), | w_{0}' (r) |) = \\ r^{N - 1} (- r^{3} + \frac{1}{8} - \frac{N - 1}{r^{2}} r) \leq \\ r^{N - 1} (- \frac{N - 1}{r}) = - (r^{N - 1})' = \\ - [r^{N - 1} w_{0}' (r)]' ， r \in [\frac{1}{2}, 1] ， \end{array}

所以 $w_{0} (r) = r$ 为式（24）的上解。易见 $f (r, u, η)$ 关于 $η$ 二次增长，满足条件（H1）。由定理1，式（24）至少存在1个径向解。易验证，式（25）满足条件（H2），由定理2，式（24）存在唯一径向解。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.004

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1987

... 径向解的存在性已有不少研究^［1-9］.如文献［2］运用分歧理论得到径向解具有多解性的结论.文献［3］运用Schaeffer不动点定理证明了径向解的存在性.文献［4-6］在非线性项

f

超线性增长的情形下，证明了径向解的存在性.文献［9］在

f

变号的情形下，应用锥上的不动点指数理论给出了径向解的存在性与不存在性条件. ...

Bifurcation theory and radial solutions to elliptic boundary value problems

1994

f

超线性增长的情形下，证明了径向解的存在性.文献［9］在

f

变号的情形下，应用锥上的不动点指数理论给出了径向解的存在性与不存在性条件. ...

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2007

f

超线性增长的情形下，证明了径向解的存在性.文献［9］在

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变号的情形下，应用锥上的不动点指数理论给出了径向解的存在性与不存在性条件. ...

Existence of multiple solutions for semilinear elliptic equations in the annulus

2009

f

超线性增长的情形下，证明了径向解的存在性.文献［9］在

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变号的情形下，应用锥上的不动点指数理论给出了径向解的存在性与不存在性条件. ...

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2011

Existence of solutions of elliptic boundary value problems with mixed type nonlinearities

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f

超线性增长的情形下，证明了径向解的存在性.文献［9］在

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变号的情形下，应用锥上的不动点指数理论给出了径向解的存在性与不存在性条件. ...

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f

超线性增长的情形下，证明了径向解的存在性.文献［9］在

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变号的情形下，应用锥上的不动点指数理论给出了径向解的存在性与不存在性条件. ...

... 超线性增长的情形下，证明了径向解的存在性.文献［9］在

f

变号的情形下，应用锥上的不动点指数理论给出了径向解的存在性与不存在性条件. ...

Positive radial solutions for elliptic equations with nonlinear gradient terms in an annulus

2018

... 对于非线性项

f

含梯度项的椭圆边值问题，文献［10］在

f (r, u, η)

非负且关于

u

，

η

超线性增长或次线性增长的情形下，运用锥上的不动点指数理论证明了边值问题 ...

... 引理1^［10］　对任意的

h \in C (I)

，式（5）存在唯一解

u

：=

S h \in C^{2} (I)

，且解算子

S

：

C (I) \to C^{1} (I)

为线性全连续算子. ...

Existence of radial solutions for nonlinear elliptic equations with gradient terms in annular domains

2019

... 正径向解的存在性.文献［11］应用Schauder不动点定理和压缩映射原理，证明了式（3）至少存在一个径向解.文献［12］通过Leray-Schauder不动点定理，证明了当非线性项

f (r, u, η)

一边超线性增长，且关于

η

满足Nagumo型条件时，式（1）至少存在一个径向解. ...

环形区域上含梯度项的椭圆边值问题径向解的存在性

2019

f (r, u, η)

一边超线性增长，且关于

η

满足Nagumo型条件时，式（1）至少存在一个径向解. ...

环形区域上含梯度项的椭圆边值问题径向解的存在性

2019

f (r, u, η)

一边超线性增长，且关于

η

满足Nagumo型条件时，式（1）至少存在一个径向解. ...

1985

... 则

F : C^{1} (I) \to C (I)

连续，且将有界集映为有界集.定义映射

A = S \circ F

，由引理1，知

S : C^{} (I) \to

C^{1} (I)

为线性全连续算子，因此算子

A : C^{1} (I) \to

C^{1} (I)

为线性全连续算子.由

S

的定义，式（4）的解等价于算子

A

的不动点.对

A

应用Leray-Schauder不动点定理^［13］，需证明同伦簇方程 ...

〈

〉