傅里叶正、余弦变换的加权卷积及其应用

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.002

傅里叶正、余弦变换的加权卷积及其应用

向仪^,, 冯强^,^,

延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 716000

Weighted convolution of the Fourier sine-cosine transform and its application

XIANG Yi^,, FENG Qiang^,^,

School of Mathematics and Computer Science，Yan'an University，Yan'an 716000，Shaanxi Province，China

通讯作者: ORCID： https：//orcid.org/0000-0001-6658-9549，E-mail：yadxfq@yau.edu.cn.

收稿日期: 2022-01-10

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 62261055. 61861044. 62001193. 11961072
陕西省自然科学基金资助项目. 2022JM-400. 2023-JC-YB-085

Received: 2022-01-10

作者简介 About authors

向仪（1995—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1072-5163，男，硕士，主要从事积分变换理论与方法研究. 。

摘要

傅里叶变换是求解积分方程常用的工具。基于傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换，定义了两类傅里叶混合加权卷积，得到了傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换的卷积定理，并研究了这两类卷积运算的性质及Young类不等式，将这两类混合加权卷积应用于求解卷积类积分方程，得到了卷积类积分方程的显式解。

关键词： 傅里叶正-余弦变换 ; 卷积定理 ; Young不等式 ; 积分方程

Abstract

Fourier transform is a powerful tool often used to solve some integral equations. In this paper, two kinds of Fourier sine, cosine mixed weighted convolution are defined based on Fourier sine transform and Fourier cosine transform, the corresponding convolution theorems are obtained. The properties of these two kinds of mixed convolution operation and Young type inequality are also studied. And the explicit solutions of convolution type integral equations are obtained based on these two types of mixed weighted convolution.

Keywords： Fourier sine-cosine transform ; convolution theorem ; Young inequality ; integral equation

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本文引用格式

向仪, 冯强. 傅里叶正、余弦变换的加权卷积及其应用. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(3): 266-272 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.002

XIANG Yi, FENG Qiang. Weighted convolution of the Fourier sine-cosine transform and its application. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(3): 266-272 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.002

0　引言

傅里叶变换（Fourier transform，FT）作为一种重要的信号处理工具，在应用数学、光学、图像加密、信号处理等领域具有重要应用^［1-4］。在FT基础上定义的傅里叶正弦变换（Fourier sine transform，FST）与傅里叶余弦变换（Fourier cosine transform，FCT），是求解积分方程常用的工具^［5-6］。用FST与FCT处理奇函数和偶函数的计算复杂度是FT的1/2，因此，用FST、FCT处理奇和偶函数比用FT更有效^［7］。

卷积是一种积分变换，常被用于各种应用问题建模。由于新型卷积对积分方程和算子理论有影响，且在展示新特性和应用方面具有较大潜力^［8-9］，吸引了不少研究者的兴趣。近年来，有许多有关傅里叶卷积及其相关理论研究的报道。如文献［10］研究了FST与Kontorovich-Lebedev变换相关的广义卷积，并将卷积定理应用于求解积分微分方程。文献［11］给出了Wiener空间上的卷积运算，建立了Fourier-Feynman变换及其卷积定理，拓展了傅里叶分析理论体系。文献［12］提出了基于矩阵的FST、FCT以及Hartley变换，并将这些理论应用于图像加密。文献［13］研究了Hartley变换、FST、FCT的多重卷积，并将这些卷积应用于求解积分方程，得到了这类方程的显式解。文献［14-17］进一步研究了傅里叶加权卷积运算及其卷积定理，利用所得卷积理论研究了几类卷积积分方程的解。

近年来，作为FST与FCT的广义形式，分数阶正弦变换与分数阶余弦变换引得关注，产生了一些具有代表性的理论成果^［18-20］。但尚未见关于FST与FCT的混合加权卷积成果的报道。混合加权卷积理论不仅是对原有广义卷积理论的拓展，而且可对复杂场景下的实际问题进行建模。因此，研究傅里叶正、余弦变换的混合加权卷积及其相关应用非常必要。

本文在已有文献基础上，研究傅里叶正、余弦变换混合加权卷积及其应用。首先，利用经典卷积以及傅里叶正、余弦变换的性质，给出了傅里叶正、余弦变换的混合加权卷积运算，并推导了相应的卷积定理。其次，研究混合加权卷积运算与已有卷积运算之间的关系，运用混合加权卷积性质得到了Young类不等式。最后，利用混合加权卷积运算，计算了一类卷积类积分方程的解。

1　预备知识

广义卷积定理^［21］：

K (f * g) (y) = γ (y) (K_{1} f) (y) (K_{2} g) (y)

，（1）

其中，函数 $f$ ， $g$ ， $γ \in L_{1} (R_{+})$ ； $K, K_{1}, K_{2}$ 为不同的积分变换。当 $K, K_{1}, K_{2}$ 为傅里叶变换时，上述广义卷积定理退化为经典的卷积定理：

F (f * g) (y) = (F f) (y) (F g) (y)

，（2）

其中， $(f * g) (x)$ 为经典傅里叶卷积运算，满足

(f * g) (x) = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} \int_{R} f (x - y) g (y) d y

，（3）

$(F f) (y)$ 为 $f$ 的傅里叶变换，满足

(F f) (y) = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} \int_{R} f (x) e^{- i y x} d x

。（4）

傅里叶余弦变换 $(F_{c} f) (y)$ 与傅里叶正弦变换 $(F_{s} f) (y)$ ^［22］分别为：

(F_{c} f) (y) = \sqrt[]{\frac{2}{π}} \int_{R^{+}} f (x) c o s (y x) d x

，（5）

(F_{s} f) (y) = \sqrt[]{\frac{2}{π}} \int_{R^{+}} f (x) s i n (y x) d x

。（6）

傅里叶余弦卷积 $（ f \underset{0}{*} g ） (x)$ 与傅里叶正弦卷积 $(f \underset{1}{*} g) (x)$ ^［23］分别为：

\begin{array}{l} （ f \underset{0}{*} g ） (x) = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} \int_{R_{+}} f (y) [g (|x - y|) + \\ g (x + y)] d y, \end{array}

（7）

\begin{array}{l} （ f \underset{1}{*} g ） (x) = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} \int_{R_{+}} f (y) [g (|x - y|) - \\ g (x + y)] d y 。 \end{array}

（8）

傅里叶余弦与傅里叶正弦的卷积定理分别为：

F_{c} (（ f \underset{0}{*} g ） (x)) (y) = (F_{c} f) (y) (F_{s} g) (y)

，（9）

F_{s} ((f \underset{1}{*} g) (x)) (y) = (F_{s} f) (y) (F_{c} g) (y)

。（10）

傅里叶余弦正弦卷积^［24］：

\begin{array}{l} (f \underset{2}{*} g) (x) = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} \int_{R_{+}} f (y) [s i g n (y - x) \times \\ g (| y - x |) + g (y + x)] d y, \end{array}

（11）

且满足卷积定理：

F_{c} （ (f \underset{2}{*} g) (x) ） (y) = (F_{s} f) (y) (F_{s} g) (y)

。（12）

2　加权卷积及其卷积定理

给出两类新的傅里叶余、正弦加权卷积的定义，并研究这两类卷积的相关性质，推导相应的傅里叶余、正弦加权卷积定理。

定义1　设 $f (t) \in L_{1} (R), g (t) \in L_{1} (R_{+})$ ，则傅里叶余弦加权卷积 $f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g$ 与傅里叶正弦加权卷积 $f \overset{γ}{\underset{2}{*}} g$ 分别为：

\begin{array}{l} (f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g) (x) = \frac{1}{4 π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} \int_{R} \int_{R_{+}} (I_{1} + I_{2} + I_{3} + I_{4}) \times \\ f (u) g (v) d u d v, x > 0 \end{array}

，（13）

\begin{array}{l} (f \overset{γ}{\underset{2}{*}} g) (x) = \frac{1}{4 π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} \int_{R} \int_{R_{+}} (I_{3} + I_{4} - I_{1} - I_{2}) \times \\ f (u) g (v) d u d v, x > 0 \end{array}

，（14）

其中， $γ （ y ） = e^{- y} c o s y$ 为权函数，且有

\begin{array}{l} I_{1} = \frac{1 + i u}{{(1 + i u)}^{2} + {(x + v + 1)}^{2}}, \\ I_{2} = \frac{1 + i u}{{(1 + i u)}^{2} + {(x + v - 1)}^{2}}, \\ I_{3} = \frac{1 + i u}{{(1 + i u)}^{2} + {(x - v + 1)}^{2}}, \\ I_{4} = \frac{1 + i u}{{(1 + i u)}^{2} + {(x - v - 1)}^{2}} 。 \end{array}

定理1　设 $f (t) \in L_{1} (R), g (t) \in L_{1} (R_{+})$ ，则有 $f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g ， f \overset{γ}{\underset{2}{*}} g \in L_{1} (R_{+})$ ，且满足：

F_{c} (f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g) （ y ） = e^{- y} c o s y （ F f ） （ y ） （ F_{c} g ） （ y ）

，（15）

F_{s} (f \overset{γ}{\underset{2}{*}} g) （ y ） = e^{- y} c o s y （ F f ） （ y ） （ F_{s} g ） （ y ）

。（16）

证明　由式（13），可得

\begin{array}{l} \int_{R_{+}} |(f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g) (x)| d x \leq \frac{1}{4 π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} \int_{\overset{}{\underset{}{R}}} \iint_{R_{+}^{2}}^{} (|I_{1}| + |I_{2}| + \\ |I_{3}| + |I_{4}|) |f (u)| |g (v)| d u d v d x ， \end{array}

由 $\int_{R_{+}} |\frac{1 + i u}{{(1 + i u)}^{2} + {(x + v + 1)}^{2}}| d x \leq π$ ，可得

\int_{R_{+}} |I_{2}| d x = \int_{R_{+}} |I_{3}| d x = \int_{R_{+}} |I_{4}| d x \leq π ，

从而

\int_{R_{+}} |(f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g) (x)| d x \leq \sqrt[]{\frac{2}{π}} \int_{R} \int_{R_{+}} |f (u)| |g (v)| d u d v \leq \sqrt[]{\frac{2}{π}} {‖f‖}_{L_{1} (R)} {‖g‖}_{L_{1} (R_{+})} < \infty 。

$f \overset{γ}{\underset{2}{*}} g$ 的证明方法与 $f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g$ 的类似，故有 $f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g$ ， $f \overset{γ}{\underset{2}{*}} g \in L_{1} (R_{+})$ 。

下证式（15）。由式（4）和式（5），可得

\begin{array}{l} e^{- y} c o s y (F f) (y) (F_{c} g) (y) = \\ \frac{1}{π} \int_{R} \int_{R_{+}} c o s y c o s (y v) e^{- (1 + i u) y} \times \\ f (u) g (v) d u d v ， \end{array}

（17）

由式（17），可得

\begin{array}{l} \frac{1}{π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} \int_{\overset{}{\underset{}{R}}} \iint_{R_{+}^{2}}^{} c o s (x y) c o s y c o s (y v) \times \\ e^{- (1 + i u) y} f (u) g (v) d u d v d y = \\ \frac{1}{4 π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} \int_{\overset{}{\underset{}{R}}} \iint_{R_{+}^{2}}^{} [c o s y (x + v + 1) + \\ c o s y (x + v - 1) + c o s y (x - v + 1) + \\ c o s y (x - v - 1)] e^{- (1 + i u) y} f (u) g (v) d u d v d y = \\ \frac{1}{4 π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} \int_{R} \int_{R_{+}} (I_{1} + I_{2} + I_{3} + I_{4}) \times \\ f (u) g (v) d u d v 。 \end{array}

（18）

由式（17）和式（18），可得

\begin{array}{l} e^{- y} c o s y (F f) (y) (F_{c} g) (y) = \\ \frac{1}{2 π^{2}} \int_{\overset{}{\underset{}{R}}} \iint_{R_{+}^{2}}^{} c o s (x y) (I_{1} + I_{2} + I_{3} + I_{4}) \times \\ f (u) g (v) d u d v d x 。 \end{array}

由式（5）和式（13），可知式（15）成立。

式（16）的证明方法与式（15）的类似。

定理1证毕。

下面给出傅里叶正、余弦加权卷积与已有卷积的关系。

定理2　设 $f (t) \in L_{1} (R), g (t), h (t) \in L_{1} (R_{+})$ ，

则有

（i） $f \underset{0}{*} (g \overset{γ}{\underset{1}{*}} h) = (g \overset{γ}{\underset{1}{*}} f) \underset{0}{*} h$ ，

（ii） $f \overset{γ}{\underset{1}{*}} (g \underset{0}{*} h) = (f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g) \underset{0}{*} h$ ，

（iii） $(f \overset{γ}{\underset{2}{*}} g) \underset{2}{*} h = (f \overset{γ}{\underset{2}{* h}}) \underset{2}{*} g$ ，

（iv） $f \overset{γ}{\underset{2}{*}} (g \underset{1}{*} h) = g \underset{1}{*} (f \overset{γ}{\underset{1}{*}} h)$ ，

其中， $\underset{0}{*}$ ， $\underset{1}{*}$ ， $\underset{2}{*}$ 分别为式（7）、式（8）、式（11）中定义的卷积运算。

证明　先证（iv）。由式（16），可得

\begin{array}{l} F_{s} (f \overset{γ}{\underset{2}{*}} (g \underset{1}{*} h)) = \\ e^{- y} c o s y (F f) (y) (F_{s} g) (y) (F_{c} h) (y) = \\ F_{s} (g \underset{1}{*} (f \overset{γ}{\underset{1}{*}} h)) (y) ， \end{array}

则有

f \overset{γ}{\underset{2}{*}} (g \underset{1}{*} h) = g \underset{1}{*} (f \overset{γ}{\underset{1}{*}} h) 。

故式（iv）成立。

（i）~（iii）的证明过程与（iv）的证明类似。

定理2证毕。

定理3　设 $f (x) \in L_{p} (R_{+}, {(\sqrt[]{1 + x^{2}})}^{p - 1})$ ， $g (x) \in L_{q} (R_{+})$ ， $ω (x) \in L_{r} (R_{+})$ ，其中， $p, q, r > 1$ ，且满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 2$ ，则有傅里叶余弦加权卷积不等式

\begin{array}{l} |\int_{0}^{\infty} (f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g) (x) ω (x) d x| \leq \\ 2^{\frac{2 - p}{2 p}} \sqrt[]{\frac{1}{π}} {‖f‖}_{L_{p} （ R_{+}, （ \sqrt[]{1 + x^{2}} ）^{p - 1} ）} {‖g‖}_{L_{q} (R_{+})} {‖ω‖}_{L_{r} (R_{+})} 。 \end{array}

（19）

证明　设 $p_{1}$ ， $q_{1}$ ， $r_{1}$ $> 1$ ，满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{p {}_{1}} = 1$ ， $\frac{1}{q} + \frac{1}{q {}_{1}} = 1$ ， $\frac{1}{r} + \frac{1}{r {}_{1}} = 1$ ，即 $\frac{1}{p_{1}} + \frac{1}{q_{1}} + \frac{1}{r_{1}} = 1$ 。令

I (u, v, x) = (I_{1} + I_{2} + I_{3} + I_{4})

，（20）

U (u, v, x) = {|g (v)|}^{\frac{q}{p_{1}}} {|ω (x)|}^{\frac{r}{p_{1}}} {|\frac{I}{\sqrt[]{1 + u^{2}}}|}^{\frac{1}{p_{1}}}

，（21）

V (u, v, x) = {|f (u)|}^{\frac{p}{q_{1}}} {|ω (x)|}^{\frac{r}{q_{1}}} {|\sqrt[]{1 + u^{2}}|}^{\frac{p - 1}{q_{1}}} {|I|}^{\frac{1}{q_{1}}}

，（22）

W (u, v, x) = {|f (u)|}^{\frac{p}{r_{1}}} {|g (v)|}^{\frac{q}{r_{1}}} {|\sqrt[]{1 + u^{2}}|}^{\frac{p - 1}{r_{1}}} {|I|}^{\frac{1}{r_{1}}}

，（23）

由式（21）~式（23），可得

(U, V, W) (u, v, x) = |f (u)| |g (v)| |ω (x)| |I (u, v, x)| 。

由式（21），可得

{‖U‖}_{L_{p_{1}} (R_{+}^{3})}^{p_{1}} = ∭_{R_{+}^{3}}^{} {|g (v)|}^{q} {|ω (x)|}^{r} |\frac{I (u, v, x)}{\sqrt[]{1 + u^{2}}}| d u d v d x 。

（24）

由Fubini定理，可得

\iint_{R_{+}^{2}}^{} {|g (v)|}^{q} {|ω (x)|}^{r} [\int_{R_{+}^{}} |\frac{I (u, v, x)}{\sqrt[]{1 + u^{2}}}| d u] d v d x

。（25）

由复数的性质及式（20），可得

\begin{array}{l} \int_{R_{+}^{}} |\frac{I_{1}^{} (u, v, x)}{\sqrt[]{1 + u^{2}}}| d u = \\ \int_{R_{+}^{}} |\frac{1}{\sqrt[]{[{(x + v + 1)}^{2} - u^{2}]^{2} + 4 u^{2}}}| d u \leq \\ \int_{R_{+}^{}} \frac{1}{u^{2} + 1} d u \leq \frac{π}{2} 。 \end{array}

（26）

同理可得

\begin{array}{l} \int_{R_{+}^{}} |\frac{I_{2}^{} (u, v, x)}{\sqrt[]{1 + u^{2}}}| d u = \int_{R_{+}^{}} |\frac{I_{3}^{} (u, v, x)}{\sqrt[]{1 + u^{2}}}| d u = \\ \int_{R_{+}^{}} |\frac{I_{3}^{} (u, v, x)}{\sqrt[]{1 + u^{2}}}| d u \leq \frac{π}{2} 。 \end{array}

（27）

因此，由式（24）~式（27），可得

\begin{array}{l} {‖U‖}_{L_{p_{1}} (R_{+}^{3})}^{p_{1}} = ∭_{R_{+}^{3}}^{} {|g (v)|}^{q} {|ω (x)|}^{r} \times \\ |\frac{I (u, v, x)}{\sqrt[]{1 + u^{2}}}| d u d v d x \leq \\ 2 π {‖g‖}_{L_{q}^{} (R_{+})}^{q} {‖ω‖}_{L_{r} (R_{+})}^{r} 。 \end{array}

（28）

再由式（20），可得

\begin{array}{l} \int_{R_{+}^{}} |I_{1}^{} (u, v, x)| d v = \\ \int_{R_{+}^{}} |\frac{\sqrt[]{1 + u^{2}}}{\sqrt[]{[{(x + v + 1)}^{2} + 1 - u^{2}]^{2} + 4 u^{2}}}| d v \leq \\ \int_{x + 1}^{\infty} \frac{\sqrt[]{1 + u^{2}}}{{(t - u)}^{2} + u^{2} + 1} d t = \\ a r c t a n {(\frac{t - u}{\sqrt[]{1 + u^{2}}})|}_{x + 1}^{\infty} \leq π 。 \end{array}

（29）

同理可得

\int_{R_{+}^{}} |I_{i}^{} (u, v, x)| d v \leq π, i = 2,3, 4

。（30）

因此，由式（22）、式（23）、式（29）、式（30），可得

\begin{array}{l} {‖V‖}_{L_{q_{1}} (R_{+}^{3})}^{q_{1}} = ∭_{R_{+}^{3}}^{} {|f (u)|}^{p} {|\sqrt[]{1 + u^{2}}|}^{p - 1} {|ω (x)|}^{r} \times \\ |I (u, v, x)| d u d v d x \leq \\ 4 π {‖f‖}_{L_{p}^{} (R_{+}, {(\sqrt[]{1 + x^{2}})}^{p - 1})}^{p} {‖ω‖}_{L_{r} (R_{+})}^{r} ， \end{array}

（31）

\begin{array}{l} {‖W‖}_{L_{r_{1}} (R_{+}^{3})}^{r_{1}} = ∭_{R_{+}^{3}}^{} {|f (u)|}^{p} {|\sqrt[]{1 + u^{2}}|}^{p - 1} {|g (v)|}^{q} \times \\ |I (u, v, x)| d u d v d x \leq \\ 4 π \iint_{R_{+}^{2}}^{} {|f (u)|}^{p} {|\sqrt[]{1 + u^{2}}|}^{p - 1} {|g (v)|}^{q} d u d v = \\ 4 π {‖f‖}_{L_{p}^{} (R_{+}, {(\sqrt[]{1 + x^{2}})}^{p - 1})}^{p} {‖g‖}_{L_{q} (R_{+})}^{q} 。 \end{array}

（32）

由Hölder's不等式，可得

\begin{array}{l} |\int_{R_{+}^{}} (f \overset{γ}{\underset{1}{*}} g) (x) ω (x) d x| \leq \frac{1}{4 π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} ∭_{R_{+}^{3}}^{} | f (u) | | g (v) | \times \\ | I (u, v, x) | | ω (x) | d u d v d x = \\ \frac{1}{4 π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} ∭_{R_{+}^{3}}^{} U (u, v, x) V (u, v, x) \times \\ W (u, v, x) d u d v d x \leq \\ \frac{1}{4 π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} {‖U‖}_{L_{p_{1}} (R_{+}^{3})}^{} {‖V‖}_{L_{q_{1}} (R_{+}^{3})}^{} {‖W‖}_{L_{r_{1}} (R_{+}^{3})}^{} \leq \\ 2^{\frac{2 - p}{2 p}} \sqrt[]{\frac{1}{π}} {‖f‖}_{L_{p} (R_{+}, {(\sqrt[]{1 + x^{2}})}^{p - 1})} {‖g‖}_{L_{q} (R_{+})} {‖ω‖}_{L_{r} (R_{+})} 。 \end{array}

定理3证毕。

3　卷积方程在积分方程中的应用

卷积方程在许多领域均有非常重要的应用，如辐射能量传播、轴震动等，特别在工程力学和数字信号处理中^［25］，经常会遇到形如式（33）和式（39）的积分方程，求解这些方程是目前研究的热点之一。

\{\begin{array}{l} f (x) + λ_{1} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} ω_{1} (x, u, v) ϕ (u) \times \\ g (v) d u d v = h (x), \\ λ_{2} \int_{0}^{+ \infty} f (t) ω_{2} (x, t) d t + g (x) = k (x), \end{array}

（33）

其中，

ω_{1} (x, u, v) = \frac{1}{4 π} \sqrt[]{\frac{2}{π}} (I_{1} + I_{2} + I_{3} + I_{4})

，（34）

ω_{2} (x, t) = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} f (t) [φ (|x - t|) + φ (x + t)]

，（35）

$λ_{1}, λ_{2}$ 为复数， $ϕ ， k ， φ ， h \in L_{1} (R_{+})$ 为已知函数， $f ， g$ 为未知函数， $I_{1}, I_{2} ， I_{3} ，$ $I_{4}$ 见定义1。

定理4　设 $1 - λ_{1} λ_{2} F_{c} (ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} φ) (y) \neq 0$ ，则式（33）

在 $L_{1} (R_{+})$ 上有解，即

\{\begin{array}{l} f (x) = h (x) + (θ \underset{0}{*} h) (x) - λ_{1} (ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} k) (x) - \\ λ_{1} ((ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} k) \underset{0}{*} θ) (x) ， \\ g (x) = k (x) + (k \underset{0}{*} θ) (x) - λ_{2} (φ \underset{0}{*} k) (x) - \\ λ_{2} ((φ \underset{0}{*} k) \underset{0}{*} θ) (x) ， \end{array}

（36）

其中， $x > 0 ， θ \in L_{1} (R_{+})$ ，且满足

(F_{c} θ) (y) = \frac{λ_{1} λ_{2} F_{c} (ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} φ) (y)}{1 - λ_{1} λ_{2} F_{c} (ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} φ) (y)} 。

证明　式（33）可改写为

(\begin{array}{l} f (x) + λ_{1} (ϕ \overset{λ}{\underset{1}{*}} g) (x) = h (x) ， \\ g (x) + λ_{2} （ f \underset{0}{*} φ ） (x) = k (x) ， \end{array}

（37）

运用卷积定理，得

\{\begin{array}{l} (F_{c} f) (y) + λ_{1} e^{- y} c o s y (F ϕ) (y) (F_{c} g) (y) = \\ (F_{c} h) (y) ， \\ (F_{c} g) (y) + λ_{2} (F_{c} f) (y) (F_{c} φ) (y) = \\ (F_{c} k) (y) 。 \end{array}

（38）

由Wiener-Levi's定理^［26］，知存在函数 $θ \in L_{1} (R_{+})$ ，使得

(F_{c} θ) (y) = \frac{λ_{1} λ_{2} F_{c} (ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} φ) (y)}{1 - λ_{1} λ_{2} F_{c} (ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} φ) (y)} 。

因此，由式（38），得

\begin{array}{l} (F_{c} f) (y) = [1 + (F_{c} θ) (y)] \{(F_{c} h) (y) - \\ λ_{1} e^{- y} c o s y (F ϕ) (y) (F_{c} k) (y)\} = \\ [1 + (F_{c} θ) (y)] [(F_{c} h) (y) - λ_{1} F_{c} (ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} k) (y)] = \\ (F_{c} h) (y) + (F_{c} (θ \underset{0}{*} h) (y)) - \\ λ_{1} F_{c} ((ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} k)) (y) - λ_{1} F_{c} ((ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} k) \underset{0}{*} θ) (y) 。 \end{array}

由FCT，有

\begin{array}{l} f (x) = h (x) + (θ \underset{0}{*} h) (x) - λ_{1} (ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} k) (x) - \\ λ_{1} ((ϕ \overset{γ}{\underset{1}{*}} k) \underset{0}{*} θ) (x) 。 \end{array}

同理可得

\begin{array}{l} g (x) = k (x) + (k \underset{0}{*} θ) (x) - λ_{2} (φ \underset{0}{*} h) (x) - \\ λ_{2} ((φ \underset{0}{*} h) \underset{0}{*} θ) (x) 。 \end{array}

定理4证毕。

卷积方程在许多场合有重要应用，不同的卷积方程可解决不同的问题。如积分方程：

\{\begin{array}{l} f (x) + λ_{1} [\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} ω_{1} (x, u, v) δ (u) f (v) d u d v + \\ \int_{0}^{\infty} g (t) μ (x, t) d t] = h (x) ， \\ g (x) + λ_{2} [\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} ω_{3} (x, u, v) τ (u) g (v) d u d v + \\ \int_{0}^{\infty} f (t) μ (x, t) d t] = k (x) ， \end{array}

（39）

其中，

μ (x, t) = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} s i g n (t - x) [μ |t - x| - μ (t + x)]

，

ω_{3} (x, u, v) = \frac{1}{2 π \sqrt[]{2 π}} (I_{3} + I_{4} - I_{1} - I_{2})

，

$λ_{1}, λ_{2}$ 为复数， $δ, μ, τ, ω_{1}, ω_{2} \in L_{1} (R_{+})$ 为已知函数， $f, g$ 为未知函数。

定理5　假设 $1 + H$ =\ 0，其中，

\begin{array}{l} H = λ_{1} e^{- y} c o s y (F δ) (y) + λ_{2} e^{- y} c o s y (F τ) (y) + \\ λ_{1} λ_{2} e^{- 2 y} c o s^{2} y (F τ) (y) (F δ) (y) - \\ λ_{1} λ_{2} (F_{s} δ) (y) (F_{s} μ) (y), \end{array}

则式（39）具有显式解：

\{\begin{array}{l} f (x) = h (x) + λ_{2} (τ \overset{γ}{\underset{1}{*}} h) (x) - \\ λ_{1} (μ \underset{2}{*} k) (x) + (h \underset{0}{*} ρ) (x) + \\ λ_{2} (ρ \underset{0}{*} (τ \overset{γ}{\underset{1}{*}} h)) (x) - λ_{1} (ρ \underset{0}{*} (μ \underset{2}{*} h)) (x) ， \\ g (x) = k (x) + λ_{1} (δ \overset{γ}{\underset{2}{*}} k) (x) - \\ λ_{2} (σ \underset{2}{*} h) (x) + (k \underset{1}{*} ρ) (x) + \\ λ_{1} ((δ \overset{γ}{\underset{2}{*}} h) \underset{1}{*} ρ) (x) - λ_{2} ((σ \underset{1}{*} h) \underset{1}{*} ρ) (x) ， \end{array}

其中， $ρ \in L_{1} (R_{+})$ ，且满足

(F_{c} ρ) = \frac{H}{1 + H}

。

证明　与定理4的证明类似，此证略。

4　结论

在现有加权傅里叶正、余弦变换卷积的基础上，提出了傅里叶正、余弦变换的混合加权卷积运算，得到了相应的加权卷积定理；研究了混合加权卷积的性质以及Young类不等式；最后利用提出的混合加权卷积，讨论了两类卷积类积分方程的解，得到了相应的显式解。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.03.002

参考文献

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文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

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高乾坤，刘文清，张玉均.

针对湍流噪声的傅里叶光谱数据处理方法

［J］. 光学学报， 2021， 41（17）： 189-196. DOI：10.3788/AOS202141.1730001