数列和可测函数的几乎收敛性

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.02.001

数列和可测函数的几乎收敛性

杨欣雨^,^,, 陆艺, 石攀岩, 周丽珍^,^,

苏州大学数学科学学院，江苏苏州 215031

The almost convergence of sequence and measurable function

YANG Xinyu^,^,, LU Yi, SHI Panyan, ZHOU Lizhen^,^,

School of Mathematical Sciences，Soochow University，Suzhou 213000，Jiangsu Province，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0009-0009-1174-7146，E-mail：zhoulizhen@suda.edu.cn.

收稿日期: 2022-04-07

Received: 2022-04-07

作者简介 About authors

杨欣雨（2001—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-3524-4075，男，本科生，主要从事动力系统研究，E-mail：meiyang010420@163.com. , E-mail：meiyang010420@163.com

摘要

对经典的数列极限进行了推广，通过引入几乎收敛的定义，证明了几个重要性质以及数列几乎收敛的充分必要条件，建立了几乎收敛与严格收敛之间的等价关系。以 $R^{n}$ 上的Lebesgue测度为基础，建立了 $R^{n}$ 子集的密度概念，引入了可测函数几乎收敛的定义，证明了与数列几乎收敛平行的若干性质，以及函数几乎收敛基本定理。给出了函数几乎连续的定义，利用Lebesgue微分定理，证明了任意可测函数在 $R^{n}$ 上几乎处处几乎连续。

关键词： 密度 ; 几乎收敛 ; 几乎连续

Abstract

To generalize the concept of classic limit of sequence, this paper introduces the definition of almost convergent sequence and proves several important properties together with a necessary and sufficient condition of almost convergence, hence building an equivalent relation between almost and strictly convergence. Moreover, based on the Lebesgue measure and by introducing the conception of density of subsets on $R^{n}$ ,we also provide the definition of almost convergence of measurable functions, including some properties and a basic theorem of almost convergence similar to sequence. Then we introduce the definition of almost continuous function. At last, based on the Lebesgue differential theorem, it is proved that any measurable function is almost continuous, almost everywhere on $R^{n}$ .

Keywords： density ; almost convergence ; almost continuous

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本文引用格式

杨欣雨, 陆艺, 石攀岩, 周丽珍. 数列和可测函数的几乎收敛性. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(2): 131-136 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.02.001

YANG Xinyu, LU Yi, SHI Panyan, ZHOU Lizhen. The almost convergence of sequence and measurable function. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(2): 131-136 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.02.001

1　实数列的几乎收敛性

1.1　自然数子集的密度

定义1^［1］　对于自然数的子集 $A \subset N$ ，若极限 $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{|A ⋂ {0,1, \dots, n}|}{n + 1}$ 存在，则称该极限为 $A$ 的密度，记为 $D (A)$ 。

自然数子集的密度有如下性质：

性质1（有界性）　对于任意子集 $A \subset N$ ，若 $D (A)$ 存在，则 $0 \leq D (A) \leq 1$ 。

性质2（规范性）　有限集密度为0，全集密度为1。

性质3（单调性）　对于任意子集 $A \subset B \subset N$ ，若 $D (A)$ 及 $D (B)$ 存在，则

D (A) \leq D (B)

。

性质4（有限可加性）　若子集 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 的密度均存在且两两互不交，则

D (\cup_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} D (A_{i})

。

性质5　任意有限个密度为1的子集之交的密度仍为1。

性质1~性质4可由极限的性质推得。性质5需取补集，并可由空集的密度为0及性质4推得。

注1　性质4只给出了有限可加性，然而对于可数个自然数子集，可加性不一定成立。例如，每个一元子集 ${i}$ 的密度均为0，但所有（可数个）一元子集之并等于全集 $N$ ，密度为1。再如，对于任意正奇数 $l$ ，容易验证集合 ${2^{k} l |k \geq 0}$ 的密度为0且两两不相交，而所有（可数个）集合之并等于 $N^{*}$ ，密度为1。

定理1　子集 $A$ 的密度为0的充分条件为级数 $\sum_{k \in A} \frac{1}{k}$ 收敛。

证明　对于自然数的子集 $A$ ，若 $\sum_{k \in A} \frac{1}{k}$ 收敛，则对任意的 $ε > 0, 存在 N \geq 0$ ，使得对任意的 $m \geq N$ ，有 $\sum_{\begin{array}{l} k = N \\ k \in A \end{array}}^{m} \frac{1}{k} < ε$ ，故 $\frac{1}{m} \sum_{\begin{array}{l} k = N \\ k \in A \end{array}}^{m} 1 \leq \sum_{\begin{array}{l} k = N \\ k \in A \end{array}}^{m} \frac{1}{k} < ε$ ，令 $m \to \infty$ ，则

\underset{m \to \infty}{l i m s u p} \frac{1}{m} \sum_{\begin{array}{l} k = 0 \\ k \in A \end{array}}^{m} 1 = \underset{m \to \infty}{l i m s u p} (\frac{1}{m} \sum_{\begin{array}{l} k = 0 \\ k \in A \end{array}}^{N - 1} 1 + \frac{1}{m} \sum_{\begin{array}{l} k = N \\ k \in A \end{array}}^{m} 1) = \underset{m \to \infty}{l i m s u p} \frac{1}{m} \sum_{\begin{array}{l} k = N \\ k \in A \end{array}}^{m} 1 \leq ε

，（1）

由 $ε > 0$ 的任意性，得

\underset{m \to \infty}{l i m} \frac{1}{m} \sum_{\begin{array}{l} k = 0 \\ k \in A \end{array}}^{m} 1 = 0

，（2）

从而 $D (A) = 0$ 。

注2　必要性不一定成立。例如，容易验证 $D ({[n l n n] |n \geq 3}) = 0$ ，而级数 $\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{[n l n n]}$ 发散。

另一个经典的数论结果是 $D (素数集) = 0$ ，而级数 $\sum_{p 为素数} \frac{1}{p}$ 发散^［2］。

1.2　实数列的几乎收敛性

定义2^［1］　对于实数列 ${a_{n}}, n \in N$ ，若存在实数 $a$ ，使得对于任意的 $ε > 0$ ，集合 $A = {n \in N ||a_{n} - a| < ε}$ 满足 $D (A) = 1$ ，则称实数列 ${a_{n}}$ 几乎收敛于 $a$ ，且 $a$ 为 ${a_{n}}$ 的几乎极限，记为 $\underset{n \to \infty}{D - l i m} a_{n} = a$ 。

定理2　若实数列 ${a_{n}}$ 几乎收敛，则其几乎极限唯一。

证明　反证法。假设实数列 ${a_{n}}$ 几乎收敛于 $a, b$ 且 $a \neq b$ ，取 $ε = \frac{|a - b|}{2} > 0$ ，有

D (\{n \in N ||a_{n} - a| < \frac{|a - b|}{2}\}) = D (\{n \in N ||a_{n} - b| < \frac{|a - b|}{2}\}) = 1

，（3）

且

\{n \in N ||a_{n} - a| < \frac{|a - b|}{2}\} ⋂ \{n \in N ||a_{n} - b| < \frac{|a - b|}{2}\} = \emptyset ，

故由性质4，得

D (\{n \in N ||a_{n} - a| < \frac{|a - b|}{2} 或 |a_{n} - b| < \frac{|a - b|}{2}\}) = 1 + 1 = 2 > 1

，（4）

这与密度的有界性（性质1）矛盾。

数列几乎收敛是严格收敛的合理推广，若一个实数列严格收敛，则其必定几乎收敛于相同的（几乎）极限，反之不一定成立。例如，设

a_{n} = \{\begin{array}{l} 1, n = 2^{k}, k \in N ， \\ 0, 其他 ， \end{array}

则由定理1，知 $D ({n \in N |a_{n} = 1}) = 0$ ，应有 ${a_{n}}$ 几乎收敛于0，但实际上 ${a_{n}}$ 并不收敛。

实数列几乎极限的性质：

性质6（保号性）　若实数列 ${a_{n}}$ 几乎不小于0，即 $D ({n \in N |a_{n} \geq 0}) = 1$ ，且 ${a_{n}}$ 几乎收敛，则其几乎极限不小于0。

性质7（迫敛性）　设3个实数列 ${a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}}$ ，若 $D ({n \in N |b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}}) = 1$ ，且 $\underset{n \to \infty}{D - l i m} b_{n} = \underset{n \to \infty}{D - l i m} c_{n} = a$ ，则 $\underset{n \to \infty}{D - l i m} a_{n} = a$ 。

性质8（四则运算）　设实数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 分别几乎收敛于 $a, b$ ，则

（i） $D - \underset{n \to \infty}{l i m} (a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b$ ；

（ii） $D - \underset{n \to \infty}{l i m} (a_{n} b_{n}) = a b$ ；

（iii） $D - \underset{n \to \infty}{l i m} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$ 。

类似于定理2的证明，易证得性质6。

性质7的证明　由于 $\underset{n \to \infty}{D - l i m} b_{n} = \underset{n \to \infty}{D - l i m} c_{n} = a$ ，所以对于任意的 $ε > 0$ ，有

D ({n \in N ||b_{n} - a| < ε}) = D ({n \in N ||c_{n} - a| < ε}) = 1

。（5）

又由 $D ({n \in N |b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}}) = 1$ 及性质5，知

\begin{array}{l} D ({n \in N ||b_{n} - a| < ε 且 |c_{n} - a| < ε 且 \\ b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}}) = 1 \end{array}

，（6）

\begin{array}{l} 且 {n \in N ||b_{n} - a| < ε 且 |c_{n} - a| < ε 且 \\ b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}} \subset {n \in N ||a_{n} - a| < ε} ， \end{array}

由性质1和性质3，知 $D ({n \in N ||a_{n} - a| < ε}) = 1$ ，从而 $\underset{n \to \infty}{D - l i m} a_{n} = a$ 。

性质8的证明　（i）由于 $D - \underset{n \to \infty}{l i m} a_{n} = a$ ， $D - \underset{n \to \infty}{l i m} b_{n} = b$ ，所以对任意的 $ε > 0$ ，有

D ({n \in N ||a_{n} - a| < ε}) = D ({n \in N ||b_{n} - b| < ε}) = 1

，（7）

由于 $|(a_{n} + b_{n}) - (a + b)| \leq |a_{n} - a| + |b_{n} - b|$ ，故 $\begin{array}{l} {n \in N ||a_{n} - a| < ε 且 |b_{n} - b| < ε} \subset {n \in N | \\ |(a_{n} + b_{n}) - (a + b)| < 2 ε} 。 \end{array}$

由性质3和性质5，得

D ({n \in N ||(a_{n} + b_{n}) - (a + b)| < 2 ε}) = 1 ，

（8）

故 $D - \underset{n \to \infty}{l i m} (a_{n} + b_{n}) = a + b$ ，

同理， $D - \underset{n \to \infty}{l i m} (a_{n} - b_{n}) = a - b$ 。

（ii）注意到

\begin{array}{l} |a_{n} b_{n} - a b| = |a_{n} (b_{n} - b) + (a_{n} - a) b| \leq \\ |a_{n} (b_{n} - b)| + |(a_{n} - a) b| \end{array}

，（9）

且由 ${a_{n}}$ 的几乎收敛性，知存在常数 $M > 0$ ，使得 $D ({n \in N ||a_{n}| \leq M}) = 1$ ，类似于（i）的证明，可得 $D - \underset{n \to \infty}{l i m} (a_{n} b_{n}) = a b$ 。

（iii）当 $b \neq 0$ 时，只需证明 $D - \underset{n \to \infty}{l i m} \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b}$ ，再由（ii）推得最终结论。

事实上，注意到 $|\frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b}| = \frac{|b_{n} - b|}{|b_{n} b|}$ ，以及存在常数 $m > 0$ ，使得 $D ({n \in N ||b_{n}| \geq m}) = 1$ 。类似于（i）的证明，可得 $D - \underset{n \to \infty}{l i m} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b} (b \neq 0)$ 。

定义3　设实数列 ${a_{n}}$ ，若对任意的 $ε > 0$ ，存在密度为1的自然数子集 $A$ ，使得只要 $m, n \in A$ ，就有 $|a_{n} - a_{m}| < ε$ ，则称 ${a_{n}}$ 为几乎Cauchy列。

定理3（Cauchy几乎收敛准则）　实数列 ${a_{n}}$ 几乎收敛的充分必要条件是 ${a_{n}}$ 为几乎Cauchy列。

证明　必要性。由几乎收敛的定义易证得。

充分性。设 ${a_{n}}$ 为几乎Cauchy列，则任取 $ε > 0$ ，存在 $A_{0} \subset N$ ， $D (A_{0}) = 1$ ，使得只要 $m, n \in A_{0}$ ，就有 $|a_{n} - a_{m}| < ε$ 。任取 $n_{0} \in A_{0}$ ，则对任意的 $n \in A_{0}$ ，有

a_{n} \in I_{0} = (a_{n_{0}} - ε, a_{n_{0}} + ε)

，（10）

对于 $\frac{ε}{2} > 0$ ，存在 $A_{1}^{'} \subset N$ ， $D (A_{1}^{'}) = 1$ ，使得只要 $m, n \in A_{1}^{'}$ ，就有 $|a_{n} - a_{m}| < \frac{ε}{2}$ ，令 $A_{1} = A_{0} ⋂ A_{1}^{'}$ ，则 $D (A_{1}) = 1$ 。任取 $n_{1} \in A_{1}$ ，则对任意的 $n \in A_{1}$ ，有

a_{n} \in I_{1} = (a_{n_{1}} - \frac{ε}{2}, a_{n_{1}} + \frac{ε}{2}) ⋂ I_{0}

。（11）

以此类推，一般地，假设 $A_{k}, I_{k}$ 已定，满足 $D (A_{k}) = 1$ ，则对于 $\frac{ε}{k + 2} > 0$ ，存在 $A_{k + 1}^{'} \subset N$ ， $D (A_{k + 1}^{'}) = 1$ ，使得只要 $m, n \in A_{k + 1}^{'}$ ，就有 $|a_{n} - a_{m}| < \frac{ε}{k + 2}$ ，令 $A_{k + 1} = A_{k} ⋂ A_{k + 1}^{'}$ ，则 $D (A_{k + 1}) = 1$ 。任取 $n_{k + 1} \in A_{k + 1}$ ，则对任意的 $n \in A_{k + 1}$ ，有

a_{n} \in I_{k + 1} = (a_{n_{k + 1}} - \frac{ε}{k + 2}, a_{n_{k + 1}} + \frac{ε}{k + 2}) ⋂ I_{k}

。（12）

由 $I_{k} （ k = 0,1, \dots ）$ 的构造，知 ${\bar{I_{k}}}$ 是单调递减的闭区间列且长度趋于0，故由闭区间套定理，知存在唯一的 $ξ \in \bar{I_{0}} ⋂ \bar{I_{1}} \cap \dots$ ，从而对任意的 $δ > 0$ ，存在 $k \in N$ ，使得 $\bar{I_{k}} \subset (ξ - δ, ξ + δ)$ ，因为对任意的 $n \in A_{k}$ ，有 $a_{n} \in \bar{I_{k}} \subset (ξ - δ, ξ + δ)$ ，且 $D (A_{k}) = 1$ ，故由密度的单调性，知 $D ({n \in N ||a_{n} - ξ| < δ}) = 1$ ，从而 ${a_{n}}$ 几乎收敛于 $ξ$ 。

1.3　数列几乎收敛基本定理

关于数列几乎收敛与严格收敛之间的联系，存在数列几乎收敛基本定理，这也是数列几乎收敛的等价定义。

定理4（数列几乎收敛基本定理）　数列 ${a_{n}}$ 几乎收敛于 $a$ 的充分必要条件是存在密度为1（为无限集）的自然数子集 $A$ ，使得限制在 $A$ 上的 ${a_{n}}$ 严格收敛于 $a$ 。

引理1（有限选择引理）　任给 $N$ 的一个划分 $N = A_{1} ⋃ A_{2} \cup \dots$ ，满足 $A_{i}$ 是非空且两两不相交的零密度集，则一定存在有限集 $B_{1} \subset A_{1}, B_{2} \subset A_{2}, \dots$ ，使得

D (\cup_{i = 1}^{\infty} B_{i}) = 1

。

证明　设 $E_{k} = A_{1} ⋃ A_{2} ⋃ \dots ⋃ A_{k}, k \geq 1$ ，则由密度的有限可加性，知 $D (E_{k}) = 0$ 。

由 $D (E_{1}) = 0$ ，存在 $n_{1} \geq 0$ ，使得对任意的 $n \geq n_{1}$ ，有

\frac{|E_{1} ⋂ {0,1, \dots, n}|}{n + 1} < 1

，（13）

记 $\emptyset ⋂ {0,1, \dots, n_{1}} = F_{1}$ ，由 $D (E_{2}) = 0$ ，存在 $n_{2} > n_{1}$ ，使得对任意的 $n \geq n_{2}$ ，有

\frac{|E_{2} ⋂ {0,1, \dots, n}|}{n + 1} < \frac{1}{2}

，（14）

记 $E_{1} \cap {n_{1} + 1, n_{1} + 2, \dots, n_{2}} = F_{2}$ ，以此类推，一般地，假设 $n_{k - 1}$ 已知，由 $D (E_{k}) = 0$ ，知存在 $n_{k} > n_{k - 1}$ ，使得对任意的 $n \geq n_{k}$ ，有

\frac{|E_{k} ⋂ {0,1, \dots, n}|}{n + 1} < \frac{1}{k}

，（15）

记 $E_{k - 1} \cap {n_{k - 1} + 1, n_{k - 1} + 2, \dots, n_{k}} = F_{k}$ 。

取 $F = F_{1} ⋃ F_{2} \cup \dots$ ，则对任意的 $ε > 0$ ，存在正整数 $k$ ，使得 $\frac{1}{k} < ε$ ，对任意的 $n \geq n_{k}$ ，设 $n_{i} \leq n < n_{i + 1}$ ，其中 $k \leq i$ ，则

\begin{array}{l} F ⋂ {0,1, \dots, n} = (F_{1} ⋃ \dots ⋃ F_{i + 1}) ⋂ \\ {0,1, \dots, n} \subset E_{i} ⋂ {0,1, \dots, n} \end{array}

，（16）

故

\frac{|F ⋂ {0,1, \dots, n}|}{n + 1} \leq \frac{|E_{i} ⋂ {0,1, \dots, n}|}{n + 1} < \frac{1}{i} < ε

，（17）

从而 $D (F) = 0$ ，即 $D (N - F) = 1$ ，且对任意的 $k \geq 0$ ， $(N - F) ⋂ A_{k} \subset {0,1, \dots, n_{k}}$ 为有限集。

定理4的证明　充分性。若存在密度为1的子集 $A \subset N$ ，使得子列 ${a_{n}} （ n \in A ）$ 严格收敛于 $a$ ，则对任意的 $ε > 0$ ，存在 $N \geq 0$ ，使得对任意的 $n \geq N$ 且 $n \in A$ ，有 $|a_{n} - a| < ε$ ，故

{n \in N ||a_{n} - a| < ε} \supset A \cap {N, N + 1, \dots}

，（18）

且 $D (A \cap {N, N + 1, \dots}) = D (A) = 1$ ，

故 $D ({n \in N ||a_{n} - a| < ε}) = 1$ ，从而 ${a_{n}}$ 几乎收敛于 $a$ 。

必要性。若 ${a_{n}}$ 几乎收敛于 $a$ ，则对任意的正整数 $k$ ，有

D (\{n \in N || a_{n} - a | < \frac{1}{k}\}) = 1

，

记 $A_{k} = \{n \in N || a_{n} - a | < \frac{1}{k}\}, k \geq 1$ ，则 $N \supset$ $A_{1} \supset$ $A_{2} \supset \dots$ ，令 $B_{0} = N - A_{1}, B_{k} = A_{k} - A_{k + 1}, k \geq 1$ ，且令 ${n \in N |a_{n} = a} = {n_{1}} ⋃ {n_{2}} ⋃ \dots$ ，其中 $n_{i}$ 两两不等，可以是有限个或可数无穷个，则 $B_{0}, B_{1}, \dots; {n_{1}}, {n_{2}}, \dots$ 两两不相交，均为零密度集且

\cup_{k = 0}^{\infty} B_{k} ⋃ \cup_{k = 1}^{\infty} {n_{k}} = N

。（19）

由密度的有限可加性，在集族 $B_{0}, B_{1}, \dots;$ ${n_{1}}, {n_{2}}, \dots$ 中有可数无穷个集合非空，从而由引理1，可从每个集合中选取有限个元素，使得这些元素构成一个密度为1的子集，记为 $M$ 。对任意的 $ε > 0$ ，存在 $k \geq 1$ ，使得对任意的 $n \geq k$ ， $B_{n}$ 中每个元素 $i$ 均满足 $|a_{i} - a| < ε$ 。由于 $M \cap (B_{0} ⋃ \dots ⋃ B_{k - 1})$ 为有限集，故存在 $N \geq 1$ ，使得只要 $i \geq N$ 且 $i \in M$ ，就有 $i \in \cup_{n = k}^{\infty} B_{n} ⋃ \cup_{j = 1}^{\infty} {n_{j}}$ ，从而 $|a_{i} - a| < ε$ ，即子列 ${a_{n}} (n \in M)$ 严格收敛于 $a$ 。

2　可测函数的几乎收敛性

2.1　 $R^{n}$ 中可测子集的密度

类比于自然数子集的密度，根据Lebesgue测度的概念给出 $R^{n}$ 中可测子集密度的定义。

定义4　设可测子集 $A \subset R^{n}$ 和定点 $x_{0} \in R^{n}$ ，若存在极限

\underset{r \to 0 +}{l i m} \frac{1}{v_{n} r^{n}} m (A ⋂ B (x_{0}, r))

，（20）

其中， $v_{n}$ 为 $n$ 维单位球的体积； $v_{n} r^{n}$ 为 $R^{n}$ 中以 $x_{0}$ 为心， $r$ 为半径的球 $B (x_{0}, r)$ 的体积，则称该极限为 $A$ 在 $x_{0}$ 处的密度，记为 $ρ_{A} (x_{0})$ 。

定义5　设可测子集 $A \subset R^{n}$ ，若存在极限

\underset{r \to + \infty}{l i m} \frac{1}{v_{n} r^{n}} m (A ⋂ B (0, r))

，（21）

则称该极限为 $A$ 在无穷远点的密度，记为 $ρ_{A} (\infty)$ 。

注3　给定可测集 $A \subset R^{n}$ ，则其诱导了一个定义在 $E$ 上的函数 $ρ_{A} (x)$ ，其中 $E$ 为使得 $ρ_{A} (x)$ 存在的点 $x$ 的集合。

类比于离散情形， $R^{n}$ 中可测子集的密度性质：

性质9（有界性）　对任意的定点 $x \in R^{n} ⋃ {\infty}$ ，若可测子集 $A$ 的密度存在，则 $0 \leq ρ_{A} (x) \leq 1$ 。

性质10（规范性）　在任意点处，零测集的密度为0，零测集补集的密度为1。

性质11（单调性）　设可测集 $A \subset B \subset R^{n}$ ，若 $ρ_{A} (x), ρ_{B} (x)$ 存在，则 $ρ_{A} (x) \leq ρ_{B} (x)$ 。

性质12（有限可加性）　设可测集 $A_{1}, A_{2}, \dots ，$ $A_{n} \subset R^{n}$ 两两不相交，且在点 $x \in R^{n} ⋃ {\infty}$ 处的密度均存在，则 $ρ_{A} (x) = \sum_{i = 1}^{n} ρ_{A_{i}} (x)$ ，其中 $A = \cup_{i = 1}^{n} A_{i}$ 。

性质13　在任意点处，任意有限个密度为1的可测集之交的密度仍为1。

利用极限的性质，性质9~性质13的证明类似于性质1~性质5的证明。

注4　对于性质12，可数可加性仍不一定成立。如在 $R$ 上取 $x_{0} = 0$ ， $A_{k} = [- \frac{1}{k}, - \frac{1}{k + 1}) ⋃$ $(\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k}], k \geq 1$ ，则易验证 $A_{k}$ 在 $x_{0}$ 处的密度为0，而 $\cup_{k = 1}^{\infty} A_{k} = [- 1,0) ⋃ (0,1]$ 在 $x_{0}$ 处的密度为1。

定理5　设可测集 $A \subset R^{n}$ ， $x_{0} \in R^{n} ⋃ {\infty}$ ，

（i）若 $x_{0} \in R^{n}$ ，则 $ρ_{A} (x_{0}) = 0$ 的充分条件为函数 $f (x) = \frac{1}{{|x - x_{0}|}^{n}}$ 在 $A ⋂ B (x_{0}, r)$ 上Lebesgue可积，其中 $r > 0$ 为任意常数；

（ii）若 $x_{0} = \infty$ ，则 $ρ_{A} (x_{0}) = 0$ 的充分条件为函数 $f (x) = \frac{1}{{|x|}^{n}}$ 在 $A - B (0, r)$ 上Lebesgue可积，其中 $r > 0$ 为任意常数。

证明　只需证明（i），（ii）类似可证。

若 $f (x) = \frac{1}{{|x - x_{0}|}^{n}}$ 在 $A ⋂ B (x_{0}, r)$ 上Lebesgue可积，则由Lebesgue积分的绝对连续性，对任意的 $ε > 0$ ，存在 $0 < δ < r$ ，使得对任意的 $0 < r_{1} < r_{2} < δ$ ，有

\int_{A \cap (B (x_{0}, r_{2}) - B (x_{0}, r_{1}))} f (x) d x < ε

，

从而

\frac{1}{r_{2}^{n}} m (A \cap (B (x_{0}, r_{2}) - B (x_{0}, r_{1}))) \leq \int_{A \cap (B (x_{0}, r_{2}) - B (x_{0}, r_{1}))} f (x) d x < ε

。

固定 $r_{2}$ ，令 $r_{1} \to 0 +$ ，则

\frac{1}{v_{n} r_{2}^{n}} m (A ⋂ B (x_{0}, r_{2})) \leq \frac{ε}{v_{n}}

，（22）

其中， $v_{n}$ 为 $n$ 维单位球的体积，所以 $ρ_{A} (x_{0}) = 0$ 。

2.2　可测函数的几乎收敛性

定义6　设可测函数 $f (x)$ 定义在 $R^{n}$ 上，任取点 $x_{0} \in R^{n} ⋃ {\infty}$ ，若存在 $a \in R$ ，使得对任意的 $ε > 0$ ，有 $ρ_{A} (x_{0}) = 1$ ，其中 $A = f^{- 1} (B (a, ε))$ ，则称 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处几乎收敛于 $a$ ，且称 $a$ 为 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的几乎极限，记为 $\underset{x \to x_{0}}{ρ - l i m} f (x) = a$ 。

定义7　若对任意的 $M > 0$ ，有 $ρ_{A} (x_{0}) = 1$ ，其中 $A = f^{- 1} (R - B (0, M))$ ，则称 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处几乎收敛于 $\infty$ ，记为 $\underset{x \to x_{0}}{ρ - l i m} f (x) = \infty$ 。

注5　可测函数的几乎收敛是对严格收敛的合理推广，若函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处收敛，则其必定在 $x_{0}$ 处几乎收敛于相同的（几乎）极限，反之不然。

定理6　若 $R^{n}$ 中可测函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处几乎收敛，则其几乎极限唯一。

证明　类似于定理2的证明，利用性质9和性质12易证得。

类比于数列的几乎极限，可测函数的几乎极限性质：

性质14（保号性）　设可测函数 $f (x)$ 满足 $ρ_{{f \geq 0}} (x_{0}) = 1$ ，且 $f$ 在 $x_{0}$ 处几乎收敛，则其几乎极限不小于0。

性质15（迫敛性）　设可测函数 $f, g, h$ 满足 $ρ_{{f \geq g \geq h}} (x_{0}) = 1$ ，且 $f, h$ 均在 $x_{0}$ 处几乎收敛于 $a \in R$ ，则 $g$ 也在 $x_{0}$ 处几乎收敛于 $a$ 。

性质16（四则运算）　设可测函数 $f, g$ 分别在 $x_{0}$ 处几乎收敛于 $a, b \in R$ ，则

（i） $ρ - \underset{x \to x_{0}}{l i m} [f (x) \pm g (x)] = a \pm b$ ；

（ii） $ρ - \underset{x \to x_{0}}{l i m} f (x) g (x) = a b$ ；

（iii） $ρ - \underset{x \to x_{0}}{l i m} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{a}{b} (b \neq 0)$ 。

注6　由于可测函数的和、差、积、商仍可测，故性质16有意义。

性质13~性质16的证明同性质6~性质8的证明。

定理7（Cauchy几乎收敛准则）　可测函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处几乎收敛于 $a \in R$ 的充分必要条件是对任意的 $ε > 0$ ，存在可测集 $A \subset R^{n}$ ，满足 $ρ_{A} (x_{0}) = 1$ ，使得只要 $x, y \in A$ ，就有 $|f (x) - f (y)| < ε$ 。

定理7的证明同定理3，此证略。

2.3　函数几乎收敛基本定理

关于可测函数，几乎收敛与严格收敛之间的基本联系。

定理8（函数几乎收敛基本定理）　可测函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处几乎收敛于 $a$ 的充分必要条件是：存在可测集 $A$ ，满足 $ρ_{A} (x_{0}) = 1$ ，使得限制在 $A$ 上有 $\underset{x \to x_{0}}{l i m} f (x) = a$ 。

引理2（ $R^{n}$ 中的有限选择引理）　任意给定 $R^{n}$ 的划分： $R^{n} = \cup_{i = 1}^{\infty} A_{i}$ ，满足 $A_{i}$ 为两两不相交的非空可测集，且 $ρ_{A_{i}} (x_{0}) = 0, i = 1,2, \dots$ ， $x_{0}$ 是 $R^{n}$ 中的一点，则存在 $B_{i} \subset A_{i}, i = 1,2, \dots$ ，满足对任意的 $i$ ，存在 $r_{i} > 0$ ，使得 $B_{i} ⋂ B (x_{0}, r_{i}) = \emptyset$ ，且 $ρ_{B} (x_{0}) = 1$ ，其中 $B = \cup_{i = 1}^{\infty} B_{i}$ 。

注7　若 $x_{0} = \infty$ ，则需将 $B (x_{0}, r_{i})$ 替换为 $R^{n} - B (0, r_{i})$ 。

证明　 $x_{0} = \infty$ 的情形与引理1类似，故只证明 $x_{0} \in R^{n}$ 的情形。

记 $E_{k} = A_{1} ⋃ A_{2} ⋃ \dots ⋃ A_{k}, k \geq 1$ ，由性质12，知 $ρ_{E_{k}} (x_{0}) = 0$ ，故存在正数列 $\{δ_{k}\}, k \geq 1$ ，满足 $δ_{k + 1} < \frac{1}{2} δ_{k}$ ，使得对任意的 $k$ ，只要 $0 < δ \leq δ_{k}$ ，就有

\frac{1}{v_{n} δ^{n}} m （ E_{k} ⋂ B (x_{0}, δ) ） < \frac{1}{2^{k - 1}}

。（23）

记 $B = （ A_{1} ⋂ B (x_{0}, δ_{1}) ） ⋃ （ A_{2} ⋂ B (x_{0}, δ_{2}) ） \cup \dots$ ，则 $(R^{n} - B) ⋂ A_{k} ⋂ B (x_{0}, δ_{k}) = \emptyset$ 。

下证 $ρ_{B} (x_{0}) = 0$ 。

当 $δ_{k + 1} < δ \leq δ_{k}, k \geq 1$ 时，有

\begin{array}{l} B ⋂ B (x_{0}, δ) = ((\cup_{i = 1}^{k} A_{i}) ⋂ B (x_{0}, δ)) ⋃ \\ \cup_{i = k + 1}^{\infty} (A_{i} ⋂ B (x_{0}, δ_{i})) \end{array}

，（24）

且此无穷并展开式中的项两两不相交，所以

\begin{array}{l} m (B ⋂ B (x_{0}, δ)) = m ((\cup_{i = 1}^{k} A_{i}) ⋂ B (x_{0}, δ)) + \\ \sum_{i = k + 1}^{\infty} m （ A_{i} ⋂ B (x_{0}, δ_{i}) ） \leq \\ m ((\cup_{i = 1}^{k} A_{i}) ⋂ B (x_{0}, δ)) + \\ \sum_{i = k + 1}^{\infty} m ((\cup_{j = 1}^{i} A_{j}) ⋂ B (x_{0}, δ_{i})) < \\ \frac{v_{n} δ^{n}}{2^{k - 1}} + \frac{v_{n} δ^{n}}{2^{k}} + \sum_{i = k + 2}^{\infty} \frac{v_{n} δ_{i}^{n}}{2^{i - 1}} < \\ \frac{v_{n} δ^{n}}{2^{k - 1}} + \frac{v_{n} δ^{n}}{2^{k}} + \sum_{i = k + 2}^{\infty} \frac{v_{n}}{2^{i - 1}} {(\frac{δ}{2^{i - k - 1}})}^{n} < \\ v_{n} δ^{n} \sum_{i = k - 1}^{\infty} \frac{1}{2^{i}} = \frac{v_{n} δ^{n}}{2^{k - 2}} ， \end{array}

（25）

从而

\frac{1}{v_{n} δ^{n}} m （ B ⋂ B (x_{0}, δ) ） < \frac{1}{2^{k - 2}} \to 0, k \to \infty

，

故

\underset{δ \to 0 +}{l i m} \frac{1}{v_{n} δ^{n}} m （ B ⋂ B (x_{0}, δ) ） = 0

，（26）

即 $ρ_{B} (x_{0}) = 0$ ，因此 $ρ_{R^{n} - B} (x_{0}) = 1$ ，又由于 $R^{n} - B = \cup_{k = 1}^{\infty} (R^{n} - B) ⋂ A_{k}$ ，结合 $(R^{n} - B) ⋂ A_{k} ⋂$ $B (x_{0}, δ_{k}) = \emptyset$ ，得到满足引理条件的集合 $R^{n} - B$ 。

证毕！

定理8的证明　只证明 $x_{0} 和 a$ 有限的情形，若其中有无穷远点，则证明过程类似。

充分性的证明同定理4的证明。

必要性。若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处几乎收敛于 $a$ ，则对任意的正整数 $k$ ，有 $ρ_{A_{k}} (x_{0}) = 1$ ，其中 $A_{k} =$ $f^{- 1} (B (a, \frac{1}{k}))$ ，则 $R^{n} \supset A_{1} \supset A_{2} \supset \dots$ 。

记 $B_{0} = R^{n} - A_{1}, B_{k} = A_{k} - A_{k + 1}, k \geq 1$ ，且

\begin{array}{l} f^{- 1} (a) = （ f^{- 1} (a) ⋂ （ R^{n} - B (x_{0}, 1) ） ） ⋃ \\ \cup_{k = 1}^{\infty} f^{- 1} (a) ⋂ (B (x_{0}, \frac{1}{k}) - B (x_{0}, \frac{1}{k + 1})) \\ ≜ C_{0} ⋃ \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}, \end{array}

（27）

则

R^{n} = \cup_{k = 0}^{\infty} B_{k} ⋃ \cup_{k = 0}^{\infty} C_{k}

，（28）

且 $B_{0}, B_{1}, \dots; C_{0}, C_{1}, \dots$ 为两两不相交的零密度可测集，进而由性质12，知有可数无穷个集合非空。由引理2，知存在 $E_{k} \subset B_{k}, F_{k} \subset C_{k}$ ，满足对任意的 $k \geq 0$ ，存在 $r_{k} > 0$ ，使得 $E_{k} ⋂ B (x_{0}, r_{k}) = \emptyset$ ，且所有 $E_{k}, F_{k}$ 之并集 $M$ 满足 $ρ_{M} (x_{0}) = 1$ 。

对任意的 $ε > 0$ ，存在 $k \geq 1$ ，使得对任意的 $n \geq k$ ， $E_{n}$ 中的每个点 $x$ 均满足 $|f (x) - a| < ε$ ，由于 $(\cup_{i = 0}^{k - 1} E_{i}) ⋂ B (x_{0}, \underset{0 \leq i \leq k - 1}{m i n} r_{i}) = \emptyset$ ，故对任意的 $x \in M ⋂ B (x_{0}, \underset{0 \leq i \leq k - 1}{m i n} r_{i})$ ，有 $x \in \cup_{i = k}^{\infty} E_{i} ⋃ \cup_{i = 1}^{\infty} F_{i}$ ，从而 $|f (x) - a| < ε$ ，因此限制在 $M$ 上有 $f (x)$ 严格收敛于 $a$ 。

2.4　可测函数的几乎连续性

定义8　设可测函数 $f (x)$ 定义在 $R^{n}$ 上，若 $\underset{x \to x_{0}}{ρ - l i m} f (x) = f (x_{0})$ ， $x_{0}$ 是 $R^{n}$ 中一点，则称 $f$ 在 $x_{0}$ 处几乎连续。

例1　由于 $Q$ 在 $R$ 中为零测集，故容易验证 $R$ 上的Dirichlet函数在无理点处几乎连续，在有理点处几乎不连续。

2.5　可测函数的几乎连续定理

定理9（几乎连续定理）　 $R^{n}$ 中的任意可测函数都是几乎处处几乎连续的，即其非几乎连续点至多构成零测集。

引理3（Lebesgue微分定理）^［3］　对 $R^{n}$ 中每个局部可积函数 $f (x)$ ，有

f (x) = \underset{\begin{array}{l} r \to 0 + \\ x \in B (r) \end{array}}{l i m} \frac{1}{v_{n} r^{n}} \int_{B (x, r)} f (y) d y

，（29）

其中， $a . e . x \in R^{n}$ ，对收缩至 $x$ 且包含 $x$ 的所有开球取极限。

定理9的证明　首先，对任意可测集 $E$ 的特征函数，由引理3，可得 $ρ_{E} (x) = χ_{E} (x), a . e . x \in R^{n}$ ，从而 $χ_{E} (x)$ 几乎处处几乎连续。由于简单函数是特征函数的有限线性组合，且由性质16，知每个简单函数也几乎处处几乎连续。对于每个可测函数均能由一列简单函数逐点逼近，分2种情况讨论。

（i）若可测函数 $f (x)$ 有界，则存在简单函数列 ${φ_{k}}$ ，在 $R^{n}$ 上一致收敛于 $f$ 。对任意的 $k \geq 0$ ，存在零测集 $E_{k}$ ，使得 $φ_{k}$ 在 $R^{n} - E_{k}$ 上每个点处几乎连续。取 $E = \cup_{k = 0}^{\infty} E_{k}$ ，则 $m (E) = 0$ ，且 $φ_{k}$ 在 $R^{n} - E$ 上几乎连续。对任意的点 $x_{0} \in R^{n} - E$ 和 $ε > 0$ ，存在 $k \geq 0$ ，使得 $|φ_{k} (x) - f (x)| < ε$ 在 $R^{n}$ 上恒成立。注意到

\begin{array}{l} |f (x) - f (x_{0})| \leq |f (x) - φ_{k} (x)| + |φ_{k} (x) - φ_{k} (x_{0})| + |φ_{k} (x_{0}) - f (x_{0})| < \\ 2 ε + |φ_{k} (x) - φ_{k} (x_{0})| ， \end{array}

（30）

故

\begin{array}{l} \{x \in R^{n} ||f (x) - f (x_{0})| < 3 ε\} \supset \\ \{x \in R^{n} ||φ_{k} (x) - φ_{k} (x_{0})| < ε\}, \end{array}

又 $φ_{k}$ 在 $x_{0}$ 处几乎连续，故集合 ${x \in R^{n} ||φ_{k} (x) - φ_{k} (x_{0})| < ε}$ 在 $x_{0}$ 处的密度为1，从而 ${x \in R^{n} ||f (x) - f (x_{0})| < 3 ε}$ 在 $x_{0}$ 处的密度也为1，所以 $f$ 在 $x_{0}$ 处几乎连续，最终 $f$ 在 $R^{n}$ 上几乎处处几乎连续。

（ii）若可测函数 $f (x)$ 无界，因为 $a r c t a n x$ 在 $R$ 上连续，所以 $g (x) = a r c t a n f (x)$ 是有界可测函数，由（i）知， $g$ 几乎处处几乎连续，则 $f (x) = t a n (g (x))$ 也几乎处处几乎连续。事实上，对任意 $g$ 的几乎连续点 $x_{0}$ ，由定理8，知存在可测集 $A$ ，满足 $ρ_{A} (x_{0}) = 1$ ，使得限制在 $A$ 上有 $\underset{x \to x_{0}}{l i m} g (x) = g (x_{0})$ ，因为 $t a n x$ 在 $R$ 上连续，所以限制在 $A$ 上有 $\underset{x \to x_{0}}{l i m} f (x) = f (x_{0})$ ，从而 $f$ 在 $x_{0}$ 处几乎连续。最终， $f$ 在 $R^{n}$ 上几乎处处几乎连续。

证毕！

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.02.001

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

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史恩慧

数列几乎收敛及其教学

［J］. 高等数学研究， 2012， 15（5）： 48-49. DOI：10.3969/j.issn.1008-1399. 2012.05.027

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SHI

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A generalization of sequence limit

［J］. Studies in College Mathematics， 2012， 15（5）： 48-49. DOI：10.3969/j.issn.1008-1399.2012.05.027

[本文引用: 2]

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潘承洞，潘承彪. 素数定理的初等证明［M］. 2版. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社， 1988.

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. Real Analysis［M］. Princeton： Princeton University Press， 1998.

[本文引用: 1]

数列几乎收敛及其教学

2012

... 定义1^［1］　对于自然数的子集

A \subset N

，若极限

\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{|A ⋂ {0,1, \dots, n}|}{n + 1}

存在，则称该极限为

A

的密度，记为

D (A)

. ...

... 定义2^［1］　对于实数列

{a_{n}}, n \in N

，若存在实数

a

，使得对于任意的

ε > 0

，集合

A = {n \in N ||a_{n} - a| < ε}

满足

D (A) = 1

，则称实数列

{a_{n}}

几乎收敛于

a

，且

a

为

{a_{n}}

的几乎极限，记为

\underset{n \to \infty}{D - l i m} a_{n} = a

. ...

数列几乎收敛及其教学

2012

... 定义1^［1］　对于自然数的子集

A \subset N

，若极限

\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{|A ⋂ {0,1, \dots, n}|}{n + 1}

存在，则称该极限为

A

的密度，记为

D (A)

. ...

... 定义2^［1］　对于实数列

{a_{n}}, n \in N

，若存在实数

a

，使得对于任意的

ε > 0

，集合

A = {n \in N ||a_{n} - a| < ε}

满足

D (A) = 1

，则称实数列

{a_{n}}

几乎收敛于

a

，且

a

为

{a_{n}}

的几乎极限，记为

\underset{n \to \infty}{D - l i m} a_{n} = a

. ...

1998

... 另一个经典的数论结果是

D (素数 集) = 0

，而级数

\sum_{p 为素 数} \frac{1}{p}

发散^［2］. ...

1998

... 另一个经典的数论结果是

D (素数 集) = 0

，而级数

\sum_{p 为素 数} \frac{1}{p}

发散^［2］. ...

1998

... 引理3（Lebesgue微分定理）^［3］　对

R^{n}

中每个局部可积函数

f (x)

，有 ...

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