理想空间和理想scattered空间在信息系统中的应用

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.007

理想 $D$ 空间和理想scattered空间在信息系统中的应用

吴琼淄^,^,¹, 刘媛媛², 廖波³, 卢诗展^,^,¹

1.江苏大学管理学院, 江苏镇江 212013

2.郑州卫生健康职业学院, 河南郑州 450018

3.广西师范大学数学与统计学院, 广西桂林 541004

The applications of ideal $D$ space and ideal scattered space in information systems

WU Qiongzi^,^,¹, LIU Yuanyuan², LIAO Bo³, LU Shizhan^,^,¹

1.School of Management，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，Jiangsu Province，China

2.Zhengzhou Health Vocational College，Zhengzhou 450018，China

3.College of Mathematics and Statistics，Guangxi Normal University，Guilin 541004，Guangxi Province，China

通讯作者: ORCID： https：//orcid.org/0000-0003-4596-0534， E-mail： lushizhan20140910@126.com.

收稿日期: 2021-12-17

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 51969005

Received: 2021-12-17

作者简介 About authors

吴琼淄（2000—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-3120-878X，女，硕士研究生，主要从事信息系统研究，E-mail：3190805060@ujs.edu.cn. , E-mail：3190805060@ujs.edu.cn

摘要

通过引入理想 $D$ 空间概念，研究了理想 $D$ 空间的空间性质，讨论了理想 $D$ 空间与理想scattered空间的关系，并通过二者在信息系统中的应用实例进行说明。

关键词： 理想 $D$ 空间 ; 理想scattered空间 ; 导出长度 ; 信息系统

Abstract

The concept of ideal $D$ space is introduced, some properties of ideal $D$ space are explored, and then the relationships of ideal $D$ space and ideal scattered space are discussed, the applications in the information system research area of these two ideal spaces are illustrated.

Keywords： ideal $D$ spaces ; ideal scattered spaces ; derived length ; information system

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本文引用格式

吴琼淄, 刘媛媛, 廖波, 卢诗展. 理想 $D$ 空间和理想scattered空间在信息系统中的应用. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(1): 43-48 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.007

WU Qiongzi, LIU Yuanyuan, LIAO Bo, LU Shizhan. The applications of ideal $D$ space and ideal scattered space in information systems. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(1): 43-48 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.007

0　引言

拓扑学相关理论被广泛应用于光电^［1-2］、医学诊断^［3］、区域关系^［4］、多属性决策^［5］、机器人路径规划^［6］等领域。JANKOVIC等^［7］提出了理想拓扑空间概念，丰富了拓扑空间的系统理论。此后理想拓扑空间研究得到了广泛发展^［8-10］。DOUWEN等^［11］提出了 $D$ 空间的概念，并取得广泛关注。此后 $D$ 空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］。本文通过引入理想 $D$ 空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想 $D$ 空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法。

1　预备知识

定义1^［15］　设 $X$ 是非空集合， $τ$ 是由 $X$ 的子集组成的集族，且 $τ$ 满足：

（1） $\emptyset \in τ$ ， $X \in τ$ ；

（2）如果 $U_{i} \in τ (i = 1,2, \dots, n)$ ，那么 $\cap_{i = 1}^{n} U_{i} \in τ (i = 1,2, \dots, n)$ ；

（3）如果 $U_{α} \in τ (α \in Γ)$ ，那么 $\underset{α \in Γ}{\cup} U_{α} \in τ$ ；

则称偶对 $(X, τ)$ 为拓扑空间。其中，指标集 $Γ$ 为无限集， $τ$ 为此空间的拓扑， $τ$ 中的元素为开集。

定义2^［11］　如果拓扑空间 $(X, τ)$ 对任意的开邻域指派 $f$ ，存在闭子集 $D$ ，使得 $f (D) = X$ ，且 $(D, τ_{D})$ 为离散子空间，则称 $(X, τ)$ 为 $D$ 空间。其中， $f (D) = \underset{x \in D}{\cup} f (x)$ ，开邻域指派 $f : X \to τ$ ， $x \in f (x) \in τ$ 。

定义3^［7］　设 $X$ 为非空集合，记 $2^{X}$ 为 $X$ 的幂集，设 $ℐ \subset 2^{X}$ ，若 $ℐ$ 满足条件：

（1）如果 $A \in ℐ$ 且 $B \subset A$ ，那么 $B \in ℐ$ ；

（2）如果 $A, B \in ℐ$ ，那么 $A ⋃ B \in ℐ$ ；

则称 $ℐ$ 为 $X$ 的理想。

如果 $τ$ 是 $X$ 上的一个拓扑，且 $ℐ$ 是 $X$ 上的一个理想，则称 $(X, τ, ℐ)$ 为理想拓扑空间或简称理想空间。

设 $(X, τ, ℐ)$ 为理想空间，称算子 ${(\cdot)}^{*} : 2^{X} \to 2^{X}$ 为关于 $τ$ 和 $ℐ$ 的局部作用^［16］，若对任意的 $A \subset X$ ，算子 ${(\cdot)}^{*}$ 定义为

A^{*} (ℐ, τ) = {x \in X : \forall U \in τ (x), U ⋂ A \in ℐ}

，

其中， $τ (x) = {U \in τ : x \in U}$ 。算子 $c l^{*} (\cdot) : 2^{X} \to 2^{X}$ 定义为

c l^{*} (A) (ℐ, τ) = A ⋃ A^{*} (ℐ, τ)

。

易验证 $c l^{*} (\cdot)$ 为Kuratowski闭包算子，因此称 $c l^{*} (\cdot)$ 生成拓扑 $τ^{*} (ℐ, τ)$ 为 $X$ 上的*-拓扑。显然 $τ \subset τ^{*} (ℐ, τ)$ 。在不引起混淆的情况下，将 $τ^{*} (ℐ, τ)$ 简记为 $τ^{*}$ ， $A^{*} (ℐ, τ)$ 简记为 $A^{*}$ ， $c l^{*} (A) (ℐ, τ)$ 简记为 $c^{*} A$ ， $i n t^{*} (A) (ℐ, τ)$ 简记为 $i^{*} A$ ，其中 $i n t^{*} (A) (ℐ, τ) = X - c l^{*} (X - A) (ℐ, τ)$ 。如果 $c^{*} A = A$ ，则称 $A$ 为*-闭集，同时称 $X - A$ 为*-开集，即 $X - A \in τ^{*}$ 。如果 $c^{*} A = X$ ，则称 $A$ 为*-稠密子集^［17］。

记 $N$ 为自然数集， $ω = N ⋃ {0}$ 。将 $(X, τ)$ 或 $(X, τ, ℐ)$ 简记为 $X$ ，将 $X$ 的闭（*-闭）集族记为 $τ^{'}$ （ ${τ^{*}}^{'}$ ），将 $A \subset X$ 的闭包和内部分别记为cA和iA。显然有

i A \subset i^{*} A \subset A \subset c^{*} A \subset c A

。

定义4^［8］　设 $(X, τ, ℐ)$ 为理想空间， $x \in A \subset X$ ，满足：

（1）若存在 $U \in τ^{*} (x)$ ，使得 $U ⋂ A = {x}$ ，则称 $x$ 为 $A$ 在 $X$ 中的*-孤立点；

（2）若对任意的 $U \in τ^{*} (x)$ ，有 $U \cap (A - {x}) \neq \emptyset$ ，则称 $x$ 是 $A$ 在 $X$ 中的*-极限点。

将 $A$ 在 $X$ 中的*-孤立点集记为 $I^{*} (A) (ℐ, τ)$ 或 $I^{*} (A)$ ；将 $A$ 在 $X$ 中的*-极限点集记为 $d^{*} (A) (ℐ, τ)$ 或 $d^{*} (A)$ ，也称 $A$ 在 $X$ 中的*-导集。

定义5^［8］　设 $X$ 为理想空间，记

X^{0} = X

，　

X^{1} = {x \in X : x \in I^{*} (X)}

。（1）

设 $α$ 是一个序数，对任意的 $β < α$ ， $X^{β}$ 可由式（1）获得，记

X^{α} = \{\begin{array}{l} (X^{β})^{1}, α = β + 1 为 β 的后 继序 数, \\ \underset{β < α}{\cap} X^{β}, α 为极 限序 数。 \end{array}

注记1^［8］　（1） $X^{1} = X - I^{*} (X) = X ⋂ d^{*} (X)$ ；

（2）若 $α \leq β$ ，则 $X^{α} \supset X^{β}$ ；

（3）对任意的后继序数 $α$ ， $X^{α} = X^{α - 1} - I^{*} (X^{α - 1}) = X^{α - 1} ⋂ d^{*} (X^{α - 1})$ ；

（4）如果 $α$ 是一个后继序数且 $X^{α} = \emptyset$ ，那么 $X = \underset{β \leq α - 1}{\cup} I^{*} (X^{β})$ 。

引理1^［8］　设 $(X, τ, ℐ)$ 为理想空间，则

（1）对任意的 $α$ ，有 $X^{α} \in {τ^{*}}^{'}$ ；

（2）若 $Y \subset X$ ，则对任意的 $α$ ，有 $Y^{α} \subset X^{α}$ 。

定义6^［8］　设 $X$ 为理想空间。

（1）若 $β = m i n {α : X^{α} = \emptyset}$ ，则称 $β$ 为 $X$ 的导出长度，记为 $β = δ (X)$ ；

（2）若存在序数 $α$ ，使得 $X^{α} = \emptyset$ ，则称 $X$ 有导出长度。

定义7^［8］　对任意的 $A \in 2^{X} - {\emptyset}$ ，有 $I^{*} (A) \neq \emptyset$ ，则称理想空间 $(X, τ, ℐ)$ 为 $ℐ$ -scattered空间。

引理2^［8］　对任意的 $Y \in 2^{X} - {\emptyset}$ ，如果 $(X, τ, ℐ)$ 为 $ℐ$ -scattered空间，则 $(Y, τ_{Y}, ℐ_{Y})$ 为 $ℐ_{Y}$ -scattered空间。

定义8^［7］　如果对任意的 $x \in X$ ，有 ${x} \in τ^{*}$ ，则称理想空间 $(X, τ, ℐ)$ 为关于理想 $ℐ$ 的理想离散空间，记为 $ℐ$ -离散空间。对任意的 $Y \subset X$ ， $(Y, τ_{Y}, ℐ_{Y})$ 为关于 $ℐ_{Y}$ 的理想离散空间，记为 $ℐ_{Y}$ -离散空间。

2　主要结果

定义9　设 $f$ 为理想空间 $(X, τ, ℐ)$ 上 $X$ 到 $τ^{*}$ 的映射，若对任意的 $x \in X$ ，有 $x \in f (x) \in τ^{*}$ ，则称 $f$ 为*-开邻域指派。

定义10　如果理想空间 $(X, τ, ℐ)$ 对任意的*-开邻域指派 $f$ ，存在 $D \in {τ^{*}}^{'} - {\emptyset}$ ，使得 $f (D) = X$ ，且 $D$ 是 $ℐ_{D}$ -离散的，则称 $X$ 为理想 $D$ 空间，记为 $ℐ$ - $D$ 空间。

例1　设 $X = N$ ， $τ = {\emptyset, X}$ ， $ℐ = 2^{X}$ ，则 $(X, τ)$ 不是 $D$ 空间，但 $(X, τ, ℐ)$ 为 $ℐ$ - $D$ 空间。

证明　因为 $τ^{'} = τ = {\emptyset, X}$ ，所以对任意的开领域指派 $f$ ，均不存在非空的闭离散子集 $D$ ，使得 $f (D) = X$ ，所以 $(X, τ)$ 不是 $D$ 空间。

对任意的 $x \in X$ ，往证 $X - {x} \in {τ^{*}}^{'}$ 。

对任意的 $y \in X$ ，有且仅有 $X \in τ (y)$ 。因为 $X \cap (X - {x}) = X - {x} \in ℐ = 2^{X}$ ，所以 $y \in (X - {{x})}^{*}$ ， $(X - {{x})}^{*} = \emptyset$ ，从而 $c^{*} (X - {x}) = (X - {x}) ⋃ (X - {{x})}^{*} = (X - {x})$ ，所以 $X - {x} \in {τ^{*}}^{'}$ 。

综上，对任意的 $x \in X$ ，有 ${x} \in τ^{*}$ ，所以 $X$ 是 $ℐ$ -离散的。显然 $X$ 是*-闭的。假设 $f$ 为任意的*-开邻域指派，且 $X \subset f (X) \subset X$ ，则 $X$ 为 $ℐ$ - $D$ 空间。

定理1　如果 $(X, τ, ℐ)$ 为 $ℐ$ - $D$ 空间，且 $Y \in {τ^{*}}^{'} - {\emptyset}$ ，则 $(Y, τ_{Y}, ℐ_{Y})$ 为 $ℐ_{Y}$ - $D$ 空间。

证明　如果 $Y = X$ ，结论显然成立。如果 $Y \neq X$ ，假设 $f$ 为 $Y$ 上任意的*-开邻域指派，记

f_{1} (x) = \{\begin{array}{l} f (x), x \in Y ， \\ X - Y, x \in X - Y ， \end{array}

因为 $Y \in {τ^{*}}^{'} - {\emptyset}$ ，所以 $X - Y \in τ^{*}$ ，从而 $f_{1}$ 为 $X$ 上的*-开邻域指派。

因为 $X$ 是 $ℐ$ - $D$ 空间，所以存在 $D_{1} \in {τ^{*}}^{'} - {\emptyset}$ ，使得 $f_{1} (D_{1}) = X$ ，且子空间 $D_{1}$ 是 $ℐ_{D_{1}}$ -离散的。记 $D = Y ⋂ D_{1}$ ，显然 $D \in {τ^{*}}^{'}$ 。因为 $D \subset D_{1}$ ，所以 $D$ 是 $ℐ_{D}$ -离散的。

往证 $f (D) = Y$ 。

由 $f_{1}$ 的定义，知 $f_{1} (D_{1} - Y) = f_{1} (X - Y) = X - Y$ ， $f_{1} (D) = f (D)$ ，所以，

\begin{array}{l} X = f_{1} (D_{1}) = f_{1} ((D_{1} - Y) ⋃ (D_{1} ⋂ Y)) = f_{1} ((D_{1} - Y) ⋃ (D)) = \\ f_{1} (D_{1} - Y) ⋃ f_{1} (D) = (X - Y) ⋃ f (D) 。 \end{array}

因为 $f_{1} (D_{1}) = X$ ，所以 $Y \subset f (D)$ 。因为 $f$ 为 $Y$ 上任意的*-开邻域指派，所以 $f (D) \subset Y$ ，从而 $f (D) = Y$ 。

综上， $(Y, τ_{Y}, ℐ_{Y})$ 为 $ℐ_{Y}$ - $D$ 空间。

定理2　如果 $(X, τ, ℐ)$ 为 $ℐ$ -scattered空间，且 $δ (X) = k + 1 < ω$ ，那么 $δ (X - X^{k}) < k + 1$ 。

证明　因为 $δ (X) = k + 1 < ω$ ，所以 $X^{k + 1} = \emptyset$ 且 $X^{k} \neq \emptyset$ 。因为 $X^{k + 1} = X^{k} - I^{*} (X^{k}) = \emptyset$ 且 $I^{*} (X^{k}) \subset X^{k}$ ，所以 $X^{k} = I^{*} (X^{k})$ 。

往证，对任意的 $0 \leq i, j \leq k, i \neq j$ ，有 $I^{*} (X^{i}) ⋂ I^{*} (X^{j}) = \emptyset$ 。

由于 $X$ 为 $ℐ$ -scattered空间，所以对任意的 $0 \leq i \leq k$ ，有 $I^{*} (X^{*}) \neq \emptyset$ 。当 $j > i$ ，即 $j \geq i + 1$ 时，有 $X^{j} \subset X^{i + 1}$ ，所以 $I^{*} (X^{j}) \subset X^{j} \subset X^{i + 1} = X^{i} - I^{*} (X^{i})$ ，所以 $I^{*} (X^{i}) ⋂ I^{*} (X^{j}) = \emptyset$ 。当 $i > j$ 时，同理可证。

记 $Y = X - X^{k}$ 。由引理1， $X^{k} \in {τ^{*}}^{'}$ ，所以 $Y = X - X^{k} \in τ^{*}$ ，由引理2， $Y$ 为 $ℐ_{Y}$ -scattered空间。

由注记1， $X = \underset{0 \leq i \leq k}{\cup} I^{*} (X^{i})$ ，所以对任意的 $i \neq k$ ，有 $I^{*} (X^{i}) ⋂ I^{*} (X^{k}) = \emptyset$ ，所以 $Y = X - X^{k} = X - I^{*} (X^{k}) = \underset{0 \leq i \leq k - 1}{\cup} I^{*} (X^{i})$ 。

断言　对任意的 $0 \leq i \leq k - 1$ ，有 $I^{*} (Y^{i}) = I^{*} (X^{i})$ 。

（a）当 $i = 0$ 时，对任意的 $x \in I^{*} (X^{0})$ ，有 $x \in X^{1} = X^{0} - I^{*} (X^{0})$ ， $X^{k} \subset X^{1}$ ，所以 $x \in X^{k}$ ， $x \in Y = X - X^{k}$ 。

因为 $x \in I^{*} (X^{0})$ ，所以存在 $U \in τ^{*} (x)$ ，使得 $U = U ⋂ X^{0} = {x} \in τ^{*}$ 。因为 $x \in Y$ ，所以 ${x} = {x} ⋂ Y \in τ_{Y}^{*} (x)$ ，从而 $x \in I^{*} (Y^{0})$ ， $I^{*} (X^{0}) \subset I^{*} (Y^{0})$ 。

对任意的 $x \in I^{*} (Y^{0})$ ，存在 $V \in τ_{Y}^{*} (x)$ ，使得 $V = V ⋂ Y = {x}$ 。因为 $V \in τ_{Y}^{*}$ ，所以存在 $U \in τ^{*}$ ，使得 $U ⋂ Y = V$ 。又因为 $Y \in τ^{*}$ ，所以 $V = {x} \in τ^{*}$ ，从而 $x \in I^{*} (X^{0})$ ， $I^{*} (Y^{0}) \subset I^{*} (X^{0})$ 。

因此 $I^{*} (X^{0}) = I^{*} (Y^{0})$ 。

（b）对任意的 $0 \leq i < k - 1$ ，有 $I^{*} (X^{i}) = I^{*} (Y^{i})$ 。

（c）当 $i = k$ 时，因为 $X^{k - 1} = X - \underset{0 \leq i \leq k - 2}{\cup} I^{*} (X^{i})$ ，所以

\begin{array}{l} Y^{k - 1} = Y - \underset{0 \leq i \leq k - 2}{\cup} I^{*} (Y^{i}) = \\ Y - \underset{0 \leq i \leq k - 2}{\cup} I^{*} (X^{i}) = \\ X - X^{k} - \underset{0 \leq i \leq k - 2}{\cup} I^{*} (X^{i}) = \\ X^{k - 1} - X^{k} 。 \end{array}

对任意的 $x \in I^{*} (X^{k - 1})$ ，存在 $U \in τ^{*}$ ，使得 $U ⋂ X^{k - 1} = {x}$ 。因为 $x \in I^{*} (X^{k - 1})$ ，所以 $x \in X^{k} = X^{k - 1} - I^{*} (X^{k - 1})$ ，从而 $x \in X^{k - 1} - X^{k} = Y^{k - 1}$ 。

由注记1， $Y \subset X$ ，则 $Y^{k - 1} \subset X^{k - 1}$ ，所以

{x} \subset (U ⋂ Y) ⋂ Y^{k - 1} = U ⋂ Y^{k - 1} \subset U ⋂ X^{k - 1} = {x} 。

因为 $U ⋂ Y \in τ_{Y}^{*}$ ，所以 $x \in I^{*} (Y^{k - 1})$ ，从而 $I^{*} (X^{k - 1}) \subset I^{*} (Y^{k - 1})$ 。

对任意的 $x \in I^{*} (Y^{k - 1})$ ，存在 $V \in τ_{Y}^{*} (x)$ ，使得 $V ⋂ Y^{k - 1} = {x}$ 。因为 $V \in τ_{Y}^{*}$ ，所以存在 $U \in τ^{*}$ ，使得 $U ⋂ Y = V$ 。又因为 $Y \in τ^{*}$ ，所以 $V \in τ^{*}$ 。

因为 $V \subset Y = X - X^{k}$ ，所以 $V ⋂ X^{k} = \emptyset$ ，从而

V ⋂ X^{k - 1} = V ⋂ ((X^{k - 1} - X^{k}) ⋃ X^{k}) = (V ⋂ (X^{k - 1} - X^{k})) ⋃ (V ⋂ X^{k}) = (V ⋂ Y^{k - 1}) ⋃ (V ⋂ X^{k}) = {x} ⋃ \emptyset = {x} ，

所以 $x \in I^{*} (X^{k - 1})$ ， $I^{*} (Y^{k - 1}) \subset I^{*} (X^{k - 1})$ 。因此 $I^{*} (Y^{k - 1}) = I^{*} (X^{k - 1})$ 。

综上， $Y^{k} = Y^{k - 1} - I^{*} (Y^{k - 1}) = Y^{k - 2} - I^{*} (Y^{k - 2}) - I^{*} (Y^{k - 1}) = \dots = Y - \underset{0 \leq i \leq k - 1}{\cup} I^{*} (Y^{i}) = Y -$ $\underset{0 \leq i \leq k - 1}{\cup} I^{*} (X^{i}) = X - X^{k} - \underset{0 \leq i \leq k - 1}{\cup} I^{*} (X^{i}) = X - I^{*} (X^{k}) - \underset{0 \leq i \leq k - 1}{\cup} I^{*} (X^{i}) = X - \underset{0 \leq i \leq k}{\cup} I^{*} (X^{i}) = \emptyset$ ，所以 $δ (Y) = δ (X - X^{k}) \leq k < k + 1$ 。

定理3　如果 $(X, τ, ℐ)$ 为 $ℐ$ -scattered空间，且 $δ (X) < ω$ ，那么 $X$ 为 $ℐ$ - $D$ 空间。

证明　对 $δ (X)$ 进行归纳。

（a）当 $δ (X) = 1$ 时， $X^{1} = \emptyset$ ，所以 $I^{*} (X) = X$ ，即 $X$ 是 $ℐ$ -离散的，显然 $X \in {τ^{*}}^{'}$ 。设 $f$ 为 $X$ 上的*-开邻域指派，显然 $f (X) = X$ ，所以 $X$ 为 $ℐ$ - $D$ 空间。

（b）假设满足 $δ (X) < k + 1$ 的 $X$ 均为 $ℐ$ - $D$ 空间。

（c）当 $δ (X) = k + 1$ 时，因为 $δ (X) = k + 1 < ω$ ，所以 $X^{k + 1} = \emptyset$ 且 $X^{k} \neq \emptyset$ 。因为 $X^{k + 1} = X^{k} - I^{*} (X^{k}) = \emptyset$ 且 $I^{*} (X^{k}) \subset X^{k}$ ，所以 $X^{k} = I^{*} (X^{k})$ ，从而 $X^{k}$ 是 $ℐ_{X^{k}}$ -离散的。由引理1，知 $X^{k} \in {τ^{*}}^{'}$ 。

设 $f$ 为 $X$ 上任意的*-开邻域指派。记 $Y = X - f (X^{k})$ ，因为 $f (X^{k}) \in τ^{*}$ ，所以 $Y = X - f (X^{k}) \in {τ^{*}}^{'}$ 。显然 $X^{k} \subset f (X^{k})$ ，所以 $X - f (X^{k}) \subset$ $X - X^{k}$ 。由引理1，对任意的 $α$ ，有 $[X - f (X^{k} {)]}^{α} \subset$ $(X - X^{k})^{α}$ 。当 $(X - X^{k})^{α} = \emptyset$ 时， $[X - f (X^{k} {)]}^{α} = \emptyset$ 必然成立，所以 $δ (X - f (X^{k})) \leq δ (X - X^{k})$ 。

由定理2，当 $δ (X) = k + 1$ 时， $δ (X - X^{k}) < k + 1$ ，所以 $δ (X - f (X^{k})) < k + 1$ 。

由归纳假设， $Y = X - f (X^{k})$ 为 $ℐ_{Y}$ - $D$ 空间，所以存在 $D_{1} \in {τ_{Y}^{*}}^{'}$ ，使得 $f (D_{1}) = Y$ 且 $D_{1}$ 是 $ℐ_{D_{1}}$ -离散的。记 $D = X^{k} ⋃ D_{1}$ 。因为 $D_{1} \in {τ_{Y}^{*}}^{'}$ ，所以存在 $A \in {τ^{*}}^{'}$ ，使得 $A ⋂ Y = D_{1}$ 。因为 $Y \in {τ^{*}}^{'}$ ，所以 $D_{1} \in {τ^{*}}^{'}$ 。因为 $X^{k} \in {τ^{*}}^{'}$ ，所以 $D = X^{k} ⋃ D_{1} \in {τ^{*}}^{'}$ 。

往证， $D$ 是 $ℐ_{D}$ -离散的。

因为 $D_{1} \subset X - f (X^{k}) \subset X - X^{k}$ ，所以 $D_{1} ⋂ X^{k} = \emptyset$ 。因此，对任意的 $x \in D$ ，有 $x \in D_{1}$ 或 $x \in X^{k}$ 。

（i）如果 $x \in D_{1}$ ，因为 $D_{1}$ 是 $ℐ_{D_{1}}$ -离散的，所以存在 $U \in τ^{*} (x)$ ，使得 $U ⋂ D_{1} = {x}$ 。因为 $x \in X^{k}$ 且 $X^{k} \in {τ^{*}}^{'}$ ，所以 $X - X^{k} \in τ^{*} (x)$ ，所以 $V = U \cap (X - X^{k}) \in τ^{*} (x)$ 。显然 $V ⋂ X^{k} = \emptyset$ ，则

\begin{array}{l} {x} \subset V ⋂ D = (V ⋂ D_{1}) ⋃ (V ⋂ X^{k}) \subset \\ (U ⋂ D_{1}) ⋃ \emptyset = {x} 。 \end{array}

因此， $V ⋂ D = {x}$ ， ${x} \in τ_{D}^{*}$ 。

（ii）如果 $x \in X^{k}$ ，因为 $x \in D_{1}$ 且 $D_{1} \in {τ^{*}}^{'}$ ，所以 $X - D_{1} \in τ^{*} (x)$ 。同理可证 ${x} \in τ_{D}^{*}$ 。所以 $D$ 是 $ℐ_{D}$ -离散的。又因为

f (D) = f (D_{1} ⋃ X^{k}) = f (D_{1}) ⋃ f (X^{k}) = Y ⋃ f (X^{k}) = X

，

所以，当 $δ (X) = k + 1$ 时， $X$ 为 $ℐ$ - $D$ 空间。由归纳假设，定理3得证。

例2　设 $X = N$ ， $τ = {\emptyset, X}$ ， $ℐ = {\emptyset, {1},$ ${2}, {1,2}}$ ，则 $X$ 为 $ℐ$ - $D$ 空间但不是 $ℐ$ -scattered空间。

证明　由已知条件可得

{τ^{*}}^{'} = {\emptyset, X, {1}, {2},

{1,2}}

，

τ^{*} = {\emptyset, X, X - {1}, X - {2}, X - {1,2}}

。

取 $D = {1,2} \in {τ^{*}}^{'}$ ， $D$ 是 $ℐ_{D}$ 离散的。设 $f$ 为 $X$ 上任意的*-开邻域指派， $f (D) = f (1) ⋃ f (2) = X$ ，所以 $X$ 为 $ℐ$ - $D$ 空间。

记 $B = {5,6}$ ，易证 $5 \in I^{*} (B)$ 且 $6 \in I^{*} (B)$ ，即 $I^{*} (B) = \emptyset$ ，所以 $X$ 不是 $ℐ$ -scattered空间。

例3　已知 $(U, A, V, f)$ 是一个信息系统。设 $U = {x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}}$ ， $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ ， $V = {1,2, 3,4, 5,6}$ ， $f : (U, A) \to V$ 的关系如表1所示。

表1 $f : (U, A) \to V$ 的关系

Table 1 The relationships of $f : (U, A) \to V$

$U$	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$
$x_{1}$	1	3	5
$x_{2}$	1	4	5
$x_{3}$	1	4	6
$x_{4}$	2	4	6
$x_{5}$	2	4	6
$x_{6}$	2	4	6

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记 $C_{(a_{1}, 1)} = {x : f (x, a_{1}) = 1} = {x_{1}, x_{2}, x_{3}}$ ， $C_{(a_{1}, 2)} = {x : f (x, a_{1}) = 2} = {x_{4}, x_{5}, x_{6}}$ ，记 ${f (x,$ $a_{1}) = 1} \land {f (x, a_{1}) = 2} = C_{(a_{1}, 1)} ⋂ C_{(a_{1}, 2)} = \emptyset$ ， ${f (x,$ $a_{1}) = 1} \lor {f (x, a_{1}) = 2} = C_{(a_{1}, 1)} ⋃ C_{(a_{1}, 2)} = U$ 。同理， ${f (x, a_{1}) = 1} \lor {f (x, a_{2}) = 4} \land {f (x, a_{3}) = 6} = {x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}}$ ， ${f (x, a_{1}) = 1} \land {f (x, a_{2}) = 4} \lor$ ${f (x, a_{3}) = 5} = {x_{1}, x_{2}, x_{3}}$ 。

记 $τ = \{\underset{a \in A, v \in V}{\oplus} {f (x, a) = v}\}$ ， $\oplus$ 是 $\lor$ 或 $\land$ 的有限个组合运算，显然对于任意的信息系统， $τ$ 为 $U$ 上的拓扑， $(U, τ)$ 为信息系统 $(U, A, V, f)$ 上的拓扑空间。

假设信息系统拓扑空间的开集表示由某些属性运算构成的候选人阵营。根据 $D$ 空间的定义，信息系统上的 $D$ 空间可以理解为：从全体候选人（集合 $U$ ）中选取部分代表（集合 $D$ ），此部分代表满足3个条件：（1）至少有一个阵营使得代表 $d_{0}$ 在其中，而其他代表 $D - {d_{0}}$ 不在其中（ $D$ 为离散子集），（2）有一个阵营使得所有代表均不在其中（ $D$ 为闭子集），（3）不管 $D$ 中的候选人代表哪个阵营出席， $D$ 中的成员均能代表全体成员的意见（对任意的开邻域指派 $h$ ，有 $h (D) = U$ ）。在例3中， $τ = {\emptyset, U, {x_{1}}, {x_{2}}, {x_{3}}, {x_{1}, x_{2}}, {x_{1}, x_{3}}, {x_{2},$ $\begin{array}{l} x_{3}}, {x_{1}, x_{2}, x_{3}}, {x_{4}, x_{5}, x_{6}}, {x_{1}, x_{4}, x_{5}, x_{6}}, {x_{2}, \\ x_{4}, x_{5}, x_{6}}, {x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}}, {x_{1}, x_{2}, x_{4}, x_{5}, x_{6}}, {x_{1}, \end{array}$ $x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}}, {x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}}}$ ，则 $(U, τ)$ 不是 $D$ 空间，即找不到满足以上3个条件的候选人代表集 $D$ 。

理想拓扑空间可以理解为原空间的加强空间（ $τ \subset τ^{*}$ ）。利用 $ℐ_{1} = {\emptyset, {x_{5}}}$ 加强拓扑 $τ$ ，理想拓扑空间 $(U, τ, ℐ_{1})$ 为 $ℐ_{1}$ - $D$ 空间。 $c^{*} ({x_{5}}) = {x_{5}} \in {τ^{*}}^{'}$ ， ${x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4},$ $x_{6}} \in τ^{*}$ ，即增加一个属性使得 ${x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{6}}$ 候选人阵营出现，就能找到满足3个条件的候选人代表集 $D$ 。

根据scattered空间的定义，信息系统上的scattered空间可以理解为：在任意非空候选人子集中，至少有一个候选人会被属性运算筛选（非空子集均有孤立点）。在例3中， $(U, τ)$ 不是scattered空间， $(U, τ, ℐ_{1})$ 不是 $ℐ_{1}$ -scattered空间。取 $ℐ_{2} = {\emptyset, {x_{5}}, {x_{6}}, {x_{5}, x_{6}}}$ ，则 $(U, τ, ℐ_{2})$ 为 $ℐ_{2}$ -scattered空间。

根据原阵营集 $τ$ 和加强后的阵营集 $τ^{*}$ ，可以仅添加满足需求的属性，避免添加过多无用属性，出现信息冗余。当 $| U | < ω$ 时，由定理3， $(U, τ, ℐ_{2})$ 为 $ℐ_{2}$ - $D$ 空间。如果仅为得到候选人代表集 $D$ ，而不是证明非空候选人子集必然有人被选中，则案例 $ℐ_{2}$ 相对于案例 $ℐ_{1}$ 就存在信息冗余的情况。

3　结论

通过引入理想 $D$ 空间的概念，研究了理想 $D$ 空间与理想scattered空间的关系，并将二者应用于信息系统。理想拓扑空间可以理解为原空间的加强空间（ $τ \subset τ^{*}$ ）。信息系统的属性组合运算可以构造一个拓扑空间。如果信息系统的拓扑结构太弱，可能无法满足提取特定信息的要求。通过构造理想拓扑加强信息系统的最初拓扑，使之达到提取特定信息的要求。拓扑学是一门较为成熟的学科，具有完备的理论体系，可为其他学科提供借鉴和服务。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.007

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Topological photonics

2014

... 拓扑学相关理论被广泛应用于光电^［1-2］、医学诊断^［3］、区域关系^［4］、多属性决策^［5］、机器人路径规划^［6］等领域.JANKOVIC等^［7］提出了理想拓扑空间概念，丰富了拓扑空间的系统理论.此后理想拓扑空间研究得到了广泛发展^［8-10］.DOUWEN等^［11］提出了

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

Two-dimensional topological photonics

2017

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

Topological structures of interval-valued hesitant fuzzy rough set and its application

2016

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

Point-set topological spatial relations

1991

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

Hesitant fuzzy soft topology and its applications to multi-attribute group decision-making

2020

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

Topological constraints in search-based robot path planning

2012

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

New topologies from old via ideals

1990

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

... 定义3^［7］　设

X

为非空集合，记

2^{X}

为

X

的幂集，设

ℐ \subset 2^{X}

，若

ℐ

满足条件： ...

... 定义8^［7］　如果对任意的

x \in X

，有

{x} \in τ^{*}

，则称理想空间

(X, τ, ℐ)

为关于理想

ℐ

的理想离散空间，记为

ℐ

-离散空间.对任意的

Y \subset X

，

(Y, τ_{Y}, ℐ_{Y})

为关于

ℐ_{Y}

的理想离散空间，记为

ℐ_{Y}

-离散空间. ...

?

-scattered spaces

2014

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

... ［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

... 定义4^［8］　设

(X, τ, ℐ)

为理想空间，

x \in A \subset X

，满足： ...

... 定义5^［8］　设

X

为理想空间，记 ...

... 注记1^［8］　（1）

X^{1} = X - I^{*} (X) = X ⋂ d^{*} (X)

； ...

... 引理1^［8］　设

(X, τ, ℐ)

为理想空间，则 ...

... 定义6^［8］　设

X

为理想空间. ...

... 定义7^［8］　对任意的

A \in 2^{X} - {\emptyset}

，有

I^{*} (A) \neq \emptyset

，则称理想空间

(X, τ, ℐ)

为

ℐ

-scattered空间. ...

... 引理2^［8］　对任意的

Y \in 2^{X} - {\emptyset}

，如果

(X, τ, ℐ)

为

ℐ

-scattered空间，则

(Y, τ_{Y}, ℐ_{Y})

为

ℐ_{Y}

-scattered空间. ...

Micro ideal generalized closed sets in micro ideal topological spaces

2020

Fuzzy ideal topological spaces

2019

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

Some properties of the Sorgenfrey line and related spaces

1979

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

... 定义2^［11］　如果拓扑空间

(X, τ)

对任意的开邻域指派

f

，存在闭子集

D

，使得

f (D) = X

，且

(D, τ_{D})

为离散子空间，则称

(X, τ)

为

D

空间.其中，

f (D) = \underset{x \in D}{\cup} f (x)

，开邻域指派

f : X \to τ

，

x \in f (x) \in τ

. ...

Addition theorems and D-spaces

2002

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

D-spaces and covering properties

2005

A study on D-spaces and the metrizability of compact spaces with property （

σ

-A）

2021

D

空间的概念，并取得广泛关注.此后

D

空间的相关研究取得了较大进展^［12-14］.本文通过引入理想

D

空间概念，研究理想D空间的空间性质，讨论理想

D

空间与理想scattered空间^［8］的关系，同时阐述二者在信息系统研究领域的应用，为信息系统的对象提取提供有效方法. ...

2008

... 定义1^［15］　设

X

是非空集合，

τ

是由

X

的子集组成的集族，且

τ

满足： ...

2008

... 定义1^［15］　设

X

是非空集合，

τ

是由

X

的子集组成的集族，且

τ

满足： ...

Topologies defined by local properties

1964

... 设

(X, τ, ℐ)

为理想空间，称算子

{(\cdot)}^{*} : 2^{X} \to 2^{X}

为关于

τ

和

ℐ

的局部作用^［16］，若对任意的

A \subset X

，算子

{(\cdot)}^{*}

定义为 ...

Resolvability properties of similar topologies

2015

... 易验证

c l^{*} (\cdot)

为Kuratowski闭包算子，因此称

c l^{*} (\cdot)

生成拓扑

τ^{*} (ℐ, τ)

为

X

上的*-拓扑.显然

τ \subset τ^{*} (ℐ, τ)

.在不引起混淆的情况下，将

τ^{*} (ℐ, τ)

简记为

τ^{*}

，

A^{*} (ℐ, τ)

简记为

A^{*}

，

c l^{*} (A) (ℐ, τ)

简记为

c^{*} A

，

i n t^{*} (A) (ℐ, τ)

简记为

i^{*} A

，其中

i n t^{*} (A) (ℐ, τ) = X - c l^{*} (X - A) (ℐ, τ)

.如果

c^{*} A = A

，则称

A

为*-闭集，同时称

X - A

为*-开集，即

X - A \in τ^{*}

.如果

c^{*} A = X

，则称

A

为*-稠密子集^［17］. ...

〈

〉

理想D空间和理想scattered空间在信息系统中的应用

The applications of ideal D space and ideal scattered space in information systems

0 引 言

1 预备知识

2 主要结果

3 结 论

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理想 $D$ 空间和理想scattered空间在信息系统中的应用

The applications of ideal $D$ space and ideal scattered space in information systems

0　引言

1　预备知识

2　主要结果

3　结论

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子