Hopf群余代数上对角交叉积的Maschke型定理

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.002

Hopf群余代数上对角交叉积的Maschke型定理

罗晓芳^,¹, 张颖颖², 陈笑缘²

1.义乌工商职业技术学院，浙江金华 322000

2.浙江商业职业技术学院，浙江杭州 310053

The Maschke-type theorems of diagonal crossed products over Hopf group coalgebras

LOU Xiaofang^,¹, ZHANG Yinyin², CHEN Xiaoyuan²

1.Yiwu Industrial & Commercial College，Yiwu 322000，Zhejiang Province，China

2.Zhejiang Business College，Hangzhou 310053，China

收稿日期: 2021-09-24

Received: 2021-09-24

作者简介 About authors

罗晓芳（1964—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-5855-2890，女，硕士，主要从事数学与教学研究. 。

摘要

构造了Hopf群余代数上对角交叉积代数结构，给出了其为Hopf群余代数的充要条件，证明了其表示范畴同构于Yetter-Drinfeld群模范畴，并将Hopf代数理论中经典的Maschke型定理推广至Hopf群余代数的对角交叉积。

关键词： Hopf群余代数 ; 对角交叉积 ; Maschke型定理

Abstract

In this paper, a diagonal crossed product over a Hopf group coalgebra is constructed, and the sufficient and necessary conditions for it being a Hopf group coalgebra are given. Then we prove that the representation category of a diagonal crossed product over a Hopf group coalgebra is isomorphic to the category of Yetter-Drinfeld π-modules and extend the classic Maschke-type theorem of Hopf algebra to diagonal crossed products over Hopf group coalgebras.

Keywords： Hopf group coalgebra ; diagonal crossed product ; Maschke-type theorem

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本文引用格式

罗晓芳, 张颖颖, 陈笑缘. Hopf群余代数上对角交叉积的Maschke型定理. 浙江大学学报(理学版)[J], 2023, 50(1): 16-19 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.002

LOU Xiaofang, ZHANG Yinyin, CHEN Xiaoyuan. The Maschke-type theorems of diagonal crossed products over Hopf group coalgebras. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2023, 50(1): 16-19 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.002

Hopf群余代数是一族带有余乘法 $∆$ 、余单位 $ε$ 和对极 $S$ ，且满足Hopf公理的群余代数，近年来，不少研究将Hopf群余代数和T-范畴视为Hopf代数与张量范畴的推广。事实也证明，Hopf代数理论中的很多重要结构和结论均可推广至Hopf群余代数环境^［1-2］。

Quasi-Hopf代数上的对角交叉积结构由MAJID^［3］引入。在交换Hopf代数上，将L-R Smash积和Kadison积作为对角交叉积的典型例子。文献［4-5］不仅讨论了相关结构，而且证明了对角交叉积的表示范畴同构于Yetter-Drinfeld模范畴。

首先构造了Hopf群余代数上对角交叉积代数结构，其次给出了Hopf群余代数的充要条件，再次证明了其表示范畴同构于Yetter-Drinfeld群模范畴，最后将Hopf代数理论中的Maschke型定理^［6］推广至Hopf群余代数的对角交叉积。

下文约定如下： $k$ 为域， $i$ 为群 $π$ 的单位元。用符号Sweedler表示余乘法 $∆$ 和余模。对右 $π$ - $C$ -余模 $M$ ，其结构映射表示为 $ρ_{α, β}^{r} (m) = \sum m_{[0] α} \otimes m_{[1] β}$ ，对左 $π$ - $C$ -余模 $M$ ，其结构映射表示为 $ρ_{α, β}^{l} (m) = \sum m_{(- 1) α} \otimes m_{(0) β}$ ，从 $k$ -空间 $V$ 到自身的恒等映射记为 $i d_{V}$ 。除非特别声明，下文中的结构均为有限型。有关Hopf群余代数的基本概念见文献［1-2］。

由文献［1］知，若 $H = {\{H_{α}\}}_{α \in π}$ 为 $k$ 上的Hopf群余代数，则 $H^{*} = \oplus_{α} H_{α}^{*}$ 有一个 $k$ 上的Hopf代数结构，其余乘法和余单位分别为 $∆ (f) (h \otimes g) = f (h g)$ ， $ε (f) = f (1_{α})$ ，对极为 $S_{α}^{*} (f) = f ○ S_{α^{- 1}}$ ， $f \in H_{α}^{*}$ ， $h, g \in H_{α}$ 。

定义1 设 $H = {\{H_{α}\}}_{α \in π}$ 为 $k$ 上的Hopf群余代数。若一族 $k$ -代数 $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 为右 $π$ - $H$ -余模，且对任意的 $α, β \in π$ ， $a, b \in A_{α β}$ ，满足：

（1） $\sum {(a b)}_{[0] α} \otimes {(a b)}_{[1] β} = \sum a_{[0] α} b_{[0] α} \otimes a_{[1] β} b_{[1] β}$ ；

（2） $\sum 1_{[0] α} \otimes 1_{[1] β} = 1_{α} \otimes 1_{β}$ ，

则称A $= {A_{α}}_{α \in π}$ 为右 $π - H$ 余模代数。

类似地，若左 $π$ - $H$ -余模代数 $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 为一族 $k$ -代数，同时也为左 $π$ - $H$ -余模，且对任意的 $α, β \in π$ ， $a, b \in A_{α β}$ ，满足：

（3） $\sum {(a b)}_{(- 1) β} \otimes {(a b)}_{(0) α} = \sum a_{(- 1) β} b_{(- 1) β} \otimes$ $a_{(0) α} b_{(0) α}$ ；

（4） $\sum 1_{(- 1) α} \otimes 1_{(0) β} = 1_{α} \otimes 1_{β}$ ，

则称A $= {A_{α}}_{α \in π}$ 为左 $π$ - $H$ 余模代数。

另外，如果 $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 既为右 $π$ - $H$ -余模代数，又为左 $π$ - $H$ -余模代数，且对任意的 $α, β, γ \in π$ ， $a \in A_{α β γ} ，$ 满足：

（5） $\sum a_{[0] α β (- 1) α} \otimes a_{[0] α β (0) β} \otimes a_{[1] γ} = \sum a_{(- 1) α} a_{(0) β γ (0) β} \otimes$ $a_{(0) β γ [1] γ}$ ，

则称 $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 为 $π$ - $H$ -双余模代数 $。$

例1 若 $H = {\{H_{α}\}}_{α \in π}$ 为 $k$ 上的Hopf群余代数，则 $H$ 通过余乘法可构造 $π$ - $H$ -双余模代数 $。$

$H = {\{H_{α}\}}_{α \in π}$ 为 $k$ 上的Hopf群余代数，且 $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 为 $π$ - $H$ -双余模代数。只需令

$H * ⊳ ⊲ A = H * ⊗ A α α ∈ π = {⊕ β H β * ⊗ A α} α ∈ π$ 。

引理1 若 $H = {\{H_{α}\}}_{α \in π}$ 为 $k$ 上的 $T$ -余代数，且 $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 为 $π$ - $H$ -双余模代数，则 $H^{*} ⊳ ⊲ A$ 为一族有单位元 $ε ⊳ ⊲ 1_{α}$ 的结合代数，其乘法定义为对任意的 $α, β \in π$ ， $f \in H_{β}^{*}$ ， $g \in H_{γ}^{*}$ ， $a, b \in A_{α}$ ， $(f ⊳ ⊲ a) (g ⊳ ⊲ b) = \sum f g (S_{γ}^{- 1} (a_{[1] γ^{- 1}}) \times$

$∅ α - 1 (a 0 α γ - 1 α γ α - 1)) ⊳ ⊲ a 0 α γ 0 α b$ 。

证明需证明乘法的结合性。对任意的 $α, β, δ \in π$ ， $f \in H_{α}^{*}$ ， $g \in H_{β}^{*}$ ， $l \in H_{δ}^{*}$ ， $a, b, c \in A_{γ}$ ，有

$[（ f ⊳ ⊲ a ）（ g ⊳ ⊲ b ）] l ⊳ ⊲ c = ∑ f g [S β - 1 （ a 1 β - 1 ） × ∅ γ - 1 (a 0 γ β - 1 γ β γ - 1)] × l [S δ - 1 (a 0 γ β 0 γ 1 δ - 1 b δ - 1) × ∅ δ - 1 (a 0 γ β 0 γ 0 γ δ - 1 γ δ γ - 1 b 0 γ δ - 1 γ δ γ - 1)] ⊳ ⊲$

$a 0 γ β 0 γ [0] γ δ 0 γ b [0] γ δ (0) γ c = (5) ∑ f g [S β - 1 (a 1 δ - 1 β - 1 2 β - 1) × ∅ γ - 1 (a 0 γ β - 1 γ β δ γ - 1 1 γ β γ - 1)] × l [S δ - 1 (a 1 δ - 1 β - 1 1 δ - 1 b δ - 1) × ∅ δ - 1 (a 0 γ β δ - 1 γ β δ γ - 1 2 γ δ γ - 1 b 0 γ δ - 1 γ δ γ - 1)] ⊳ ⊲ a 0 γ β δ 0 γ b 0 γ δ 0 γ c = ∑ f g l [S δ - 1 (b 1 δ - 1) × ∅ γ - 1 (b 0 γ δ - 1 γ δ γ - 1)] [S β δ - 1 (a 1 β δ - 1) × ∅ γ - 1 (a 0 γ β δ - 1 γ β δ γ - 1)] ⊳ ⊲ a 0 γ β δ 0 γ b 0 γ δ 0 γ c = （ f ⊳ ⊲ a ） [（ g ⊳ ⊲ b ） l ⊳ ⊲ c]$ ，

显然有，

$（ f ⊳ ⊲ a ）（ ε ⊳ ⊲ 1 γ ） = （ ε ⊳ ⊲ 1 γ ）$ $（ f ⊳ ⊲ a ） = f ⊳ ⊲ a$ 。

引理1得证。

称 $H^{*} ⊳ ⊲ A$ 为Hopf群余代数 $H$ 上的对角交叉积。经简单计算，易得

引理2 $H^{*} ⊳ ⊲ A$ 同引理1，则：

（6） $（ f ⊳ ⊲ 1 ）（ g ⊳ ⊲ 1 ） = f g ⊳ ⊲ 1$ ，即 $τ : H^{*} \to H^{*} ⊳ ⊲ A$ ， $τ (f) = f ⊳ ⊲ 1$ 为代数映射；

（7）（ $ε$ ⊳⊲a）（ $ε$ ⊳⊲b） $= ε ⊳ ⊲ a b$ ，即 $ζ : A \to H^{*} ⊳ ⊲ A$ ， $ζ (a) = ε ⊳ ⊲ a$ 为代数映射；

（8） $(f ⊳ ⊲ 1) (g ⊳ ⊲ a) = f g ⊳ ⊲ a$ ， $（ f ⊳ ⊲ a ） \times$ $（ ε ⊳ ⊲ b ） =$ $f ⊳ ⊲ a b$ ， $α, β, γ \in π$ ， $f \in H_{α}^{*}$ ， $g \in H_{β}^{*}$ ， $a, b \in A_{γ}$ 。

例2 $H = {\{H_{α}\}}_{α \in π}$ 为 $k$ 上的 $T$ -余代数，且 $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 为 $π$ - $H$ -双余模代数。由文献［7］，知Drinfeld偶 $D (H)$ 为 $H$ 上的对角交叉积，其双余模作用为余乘法。

定理1 设 $H$ 为 $k$ 上的 $T$ -余代数， $A$ 为 $k$ 上的Hopf群余代数且为 $π$ - $H$ -双余模代数，则 $H^{*} ⊳ ⊲ A$ 为Hopf群余代数当且仅当映射

$ω = {ω α : H * ⊗ A α → H * ⊗ A α} α ∈ π$

为 $π$ -余代数映射，其中， $H^{*} ⊳ ⊲ A$ 的余乘法为

$∆ = {∆ α, β （ g ⊳ ⊲ b ） = ∑ g 1 ⊳ ⊲ b 1 α ⊗ g 1 ⊳ ⊲ b 2 β, g ∈ H γ *, b ∈ A α β} α, β ∈ π$ ，

$ω α β （ f ⊳ ⊲ a ） = ∑ f (S β - 1 （ a 1 β - 1 ） × ∅ α - 1 (a 0 α β - 1 α β α - 1)) ⊳ ⊲ a 0 α β 0 α$ 。

对极定义为

$U = {U α : H * ⊗ A α → H * ⊗ A α - 1} α ∈ π$ ，

$U α f ⊳ ⊲ a = [ε # S α (a)] [S β * (f) ⊳ ⊲ 1]$ ，

$f ∈ H β *$ ， $a ∈ A α$ 。

证明由引理1，只需证明余乘法映射 $∆$ 为代数映射，即证明

$∆ α, β [（ f ⊳ ⊲ a ）（ g ⊳ ⊲ b ）] = ∆ α, β （ f ⊳ ⊲ a ） ∆ α, β （ g ⊳ ⊲ b ）,$

$f ∈ H γ *$ ， $g ∈ H δ *$ ， $a, b ∈ A α β$ 。

等式左边为

$∑ f 1 g [S δ - 1 （ a 1 δ - 1 ） × ∅ (α β) - 1 (a 0 α β δ - 1 α β δ (α β) - 1)] 1 ⊳ ⊲ a 0 α β δ 0 α β 1 α b 1 α ⊗ f 2 g [S δ - 1 (a 1 δ - 1) × ∅ (α β) - 1 (a 0 α β δ - 1 α β δ (α β) - 1)] 2 ⊳ ⊲ a 0 α β δ 0 α β 2 β b 2 β$ ，

等式右边为

$∑ f 1 g 1 [S δ - 1 (a 1 α 1 δ - 1) × ∅ α - 1 (a 1 α 0 α δ - 1 α δ α - 1)] ⊳ ⊲ a 1 α 0 α δ 0 α b 1 α ⊗ f 2 g 2 [S δ - 1 (a 2 β 1 δ - 1) × ∅ β - 1 (a 2 β 0 β δ - 1 β δ β - 1)] ⊳ ⊲ a 2 β 0 β δ 0 β b 2 β$ ，

这恰好是 $ω$ 为 $π$ -余代数映射的条件。

再证 $U$ 为对极。对任意的 $f \in H_{β}^{*}$ ， $a \in A_{i}$ ，有

$U α [(f ⊳ ⊲ a ） 1 α] (f ⊳ ⊲ a) 2 α - 1 = ∑ [ε ⊳ ⊲ S α (a 1 α)] [S β * (f 1) ⊳ ⊲ 1] (f 2 ⊳ ⊲ a 2 α - 1) = (8) ∑ [ε ⊳ ⊲ S α (a 1 α)] [S β * (f 1) f 2 ⊳ ⊲ a 2 α - 1] ∑ (ε * ⊗ ε) × (f ⊳ ⊲ a);$

$(f ⊳ ⊲ a) 1 α U α - 1 [(f ⊳ ⊲ a) 2 α - 1] = ∑ (f 1 ⊳ ⊲ a 1 α) [ε ⊳ ⊲ S α - 1 (a 2 α - 1)] [S β * (f 2) ⊳ ⊲ 1] = (8) ∑ [f 1 ⊳ ⊲ a 1 α S α - 1 (a 2 α - 1)] (f 2 ⊳ ⊲ 1) ∑ (ε * ⊗ ε) × (f ⊳ ⊲ a) 。$

定理1获证。

定义2 $H$ 为 $k$ 上的Hopf群余代数， $A$ 为 $π$ - $H$ -双余模代数。若对任意的 $α \in π$ ， $M$ 为左 $A_{α}$ -模，且满足：

（9） $\sum {(a ∙ m)}_{[0] α} \otimes {(a ∙ m)}_{[1] β} = \sum a_{[0] α β^{- 1} (0) α} ∙ m_{[0]} \otimes$ $a_{[1] β} m_{[1] β} S_{β}^{- 1} [\emptyset_{α^{- 1}} (a_{[0] α β^{- 1} (- 1) α β^{- 1} α^{- 1}})],$

则称 $M$ 为右 $π$ - $H$ -类余模对象。

${}_{A} y D^{H}$ 表示左-右 $π$ - $(H, A)$ Yetter-Drinfeld模范畴。

例3 $H$ 为 $k$ 上的Hopf群余代数，令 $A = H$ ，且双余模作用为余乘法，则 $α$ -Yetter-Drinfeld模^［2］为左-右 $π$ - $(H, H)$ -Yetter-Drinfeld模。

引理3 $H = {H_{α}}_{α \in π}$ 为 $k$ 上的 $T$ -余代数，且 $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 为 $π$ - $H$ -双余模代数。 $k$ -空间 $M$ 为左 $H^{*} ⊳ ⊲ A_{α^{-}}$ 模当且仅当 $M$ 为左 $A_{α^{-}}$ 模（作用为 $○$ ），且为左 $H^{*}$ 模（作用为*），满足

（10） $a ○ (f * m) = \sum f (S_{β}^{- 1} (a_{[1] β^{- 1}}) \times$ $\emptyset_{α^{- 1}} (a_{[0] α β (- 1) α β α^{- 1}})) * (a_{[0] α β (0) α} ○ m)$ ， $α \in π$ ， $f \in H_{β}^{*}$ ， $a \in A_{α}$ 。

证明若 $M$ 为左 $H^{*} ⊳ ⊲ A_{α}$ -模，则由引理2，可知 $M$ 既为左 $A_{α^{-}}$ 模，也为左 $H^{*}$ -模，其作用分别为 $a ○ m = (ε ⊳ ⊲ a) ∙ m$ 和 $f * (m) = (f ⊳ ⊲ 1) ∙ m$ ，于是

$a ○ (f * m) = (ε ⊳ ⊲ a) (f ⊳ ⊲ 1) ∙ m = ∑ [f (S β - 1 (a 1 β - 1)) × ∅ α - 1 (a 0 α β - 1 α β α - 1)] ⊳ ⊲ a 0 α β 0 α) ∙ m = ∑ f [S β - 1 (a 1 β - 1) × ∅ α - 1 (a 0 α β - 1 α β α - 1)] * a 0 α β 0 α ○ m$ 。

反之，若 $M$ 为左 $H^{*}$ -模，且为左 $A_{α}$ -模，则定义 $(f ⊳ ⊲ a) ∙ m = f * (a ○ m)$ 。事实上，对任意的 $f \in H_{γ}^{*}$ ， $g \in H_{δ}^{*}$ ， $a, b \in A_{α}$ ，有

$[(f ⊳ ⊲ a) (g ⊳ ⊲ b)] ∙ m = ∑ {f g [S δ - 1 (a 1 δ - 1) × ∅ α - 1 (a 0 α δ - 1 α δ α - 1)] ⊳ ⊲ a 0 α δ 0 α b} ∙ m = ∑ f * {g [S δ - 1 (a 1 δ - 1) × ∅ α - 1 (a 0 α δ - 1 α δ α - 1)] * a 0 α δ 0 α ○ (b ○ m)} = (10) f * {a ○ [g * b ○ m]} = (f ⊳ ⊲ a) ∙ [(g ⊳ ⊲ b) ∙ m] ε ⊳ ⊲ 1 α ∙ m = ε * 1 α ○ m = m 。$

定理2 若条件（1）~（10）成立，则 ${}_{H^{*} ⊳ ⊲ A} M ≅$ ${}_{A} y D^{H}$ 。

证明若 $M \in$ ${}_{H^{*} ⊳ ⊲ A} M$ ，则由引理3，只需定义 $M$ 的右 $π$ - $H$ -类余模作用及证明条件（9）成立。定义 $π$ - $H$ -类余模作用为 $\sum m_{[0]} \otimes m_{[1] β} = \sum (μ_{β}^{n} ⊳ ⊲ 1) ∙$ $m \otimes v_{β}^{n}$ ， $μ_{β}^{n}$ 为 $H_{β}^{*}$ 的一组基， $v_{β}^{n}$ 为其在 $H_{β}$ 中的对偶基。实际上，对任意的 $m \in M$ ， $f \in H_{β}^{*}$ ， $a \in H_{α}$ ，有

$∑ m [0] [0] ⊗ m [0] [1] γ ⊗ m [1] δ = ∑ [(μ γ n ⊳ ⊲ 1) (μ δ n ⊳ ⊲ 1)] ∙ m ⊗ v γ n ⊗ v δ n = (6) ∑ (μ γ n μ δ n ⊳ ⊲ 1) ∙ m ⊗ v γ n ⊗ v δ n = ∑ (μ γ δ n ⊳ ⊲ 1) ∙ m ⊗ v γ δ 1 γ n ⊗ v γ δ 2 δ n = ∑ ε (m 1 i) m [0] = ∑ (μ i n ⊳ ⊲ 1) ∙ m ε (v i n) = ε ⊳ ⊲ 1 ∙ m = m 。$

这样，就证明了 $M$ 为右 $π$ - $H$ -类余模。

下面证明条件（9）成立。对任意的 $m \in M$ ， $f \in H_{β}^{*}$ ， $a \in H_{α} ，$ 有

$∑ a 0 α β - 1 0 α m 0 f (a 1 β m 1 β S β - 1 × [∅ α - 1 (a 0 α β - 1 - 1 α β - 1 α - 1)]) = ∑ [(ε ⊳ ⊲ a 0 α β - 1 0 α) (f 2 ⊳ ⊲ 1)] × m f 1 (a 1 β) 3 {S β - 1 [∅ α - 1 (a 0 α β - 1 - 1 α β - 1 α - 1)]} = ∑ [f (a 1 β S β - 1 (a 0 α β - 1 0 α [1] β - 1) × ∅ α - 1 {a 0 α β - 1 0 α [0] α β (- 1) α β α - 1 S β - 1 × [∅ α - 1 (a 0 α β - 1 - 1 α] β - 1 α - 1)]}) ⊳ ⊲ a 0 α β - 1 0 α 0 α β 0 α] m = (5) ∑ [f (a 1 i 2 β S β - 1 (a 1 i 1 β - 1) × ∅ α - 1 {a 0 α - 1 i 2 α β - 1 α β α - 1 × S β - 1 [∅ α - 1 (a 0 α - 1 i 1 α β - 1 α - 1)]}) ⊳ ⊲ a 0 α 0 α] m = (f ⊳ ⊲ a) ∙ m ；$

$∑ f [a ∙ m 1 β] a ∙ m 0 = ∑ f (v β n) (μ β n ⊳ ⊲ 1) ∙ a ∙ m = (f ⊳ ⊲ 1) ε ⊳ ⊲ a ∙ m = (f ⊳ ⊲ a) ∙ m 。$

所以条件（9）成立，即 $M \in$ ${}_{A} y D^{H}$ 。

反之，若 $M \in$ ${}_{A} y D^{H}$ ，则可断言 $M$ 为左 $H^{*} ⊳ ⊲ A$ -模，其作用定义为 $f \in H_{β}^{*}$ ， $a \in H_{α}$ ， $m \in M$ ，

$(f ⊳ ⊲ a) ∙ m = ∑ f {a 1 β m 1 β S β - 1 × [∅ α - 1 (a 0 α β - 1 - 1 α β - 1 α - 1)]} a 0 α β - 1 (0) α ∙ m [0]$ 。

事实上，若 $f \in H_{β}^{*}$ ， $g \in H_{γ}^{*}$ ， $a, b \in H_{α}$ ， $m \in M$ ，则

$(f ⊳ ⊲ a) ∙ [(g ⊳ ⊲ b) ∙ m] = ∑ f (a 1 β [b 0 α γ - 1 0 α ∙ m 0] 1 β S β - 1 × [∅ α - 1 (a 0 α β - 1 - 1 α β - 1 α - 1)]) g (b 1 γ m 1 γ S γ - 1 × [∅ α - 1 (b 0 α γ - 1 - 1 α γ - 1 α - 1)]) × a 0 α β - 1 0 α ∙ [b 0 α γ - 1 0 α ∙ m 0] [0] = (9) ∑ f (a 1 β b 1 β γ 1 β m 1 β γ 1 β S β - 1 [∅ α - 1 (a 0 α β - 1 - 1 α β - 1 α - 1 × b 0 α β γ - 1 - 1 α β γ - 1 α - 1 2 α β - 1 α - 1)]) g (b 1 β γ 2 γ m 1 β γ 2 γ × S γ - 1 [∅ α - 1 (b 0 α β γ - 1 - 1 α β γ - 1 α - 1 1 α γ - 1 α - 1)]) × a 0 α β - 1 0 α b 0 α (β γ) - 1 0 α ∙ m 0 = (5) [（ f ⊳ ⊲ a ） ∙ （ g ⊳ ⊲ b ）] ∙ m] 。$

显然， $(ε ⊳ ⊲ 1) ∙ m = m$ 。因此 $M \in$ ${}_{H^{*} ⊳ ⊲ A} M$ 。

引理4 $H$ 为 $k$ 上的 $T$ -余代数，且为半单， $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 为 $π$ - $H$ -双余模代数。 $M, N$ 为左 $H^{*} ⊳ ⊲ A_{α^{-}}$ 模，对任意的 $α \in π$ ， $ℵ_{α} ： M_{α} \to N_{α}$ 均为左 $A_{α^{-}}$ 模映射（也称 $ℵ = {ℵ_{α}}_{α \in π}$ 为左 $A$ -模映射），则映射 $\bar{ℵ} = {{\bar{ℵ}}_{α} ： M_{α} \to N_{α}, m \to \sum S_{α^{- 1}}^{*} (t_{1 α^{- 1}}) ∙ ℵ_{α} (t_{2 α} {∙ m)}}_{α \in π}$ 为左 $H^{*} ⊳ ⊲ A_{α^{-}}$ 模映射，其中， $t$ 为 $H_{i}^{*}$ 的右正则积分。

证明首先，证明 $\bar{ℵ}$ 为左 $A$ -模映射。因为 $t$ 为右积分，故对任意的 $f \in H_{β^{- 1}}^{*}$ ，有

（11） $\sum t_{1 β^{- 1}} f_{1 β^{- 1}} \otimes t_{2 β} t f_{2 β} \otimes f_{3 β^{- 1}} = \sum t_{1 β^{- 1}} \otimes t_{2 β} \otimes f$ 。

由于 $S^{*}$ 为双射，对任意的 $g \in H_{β}^{*}$ ，存在 $f \in H_{β^{- 1}}^{*}$ ，使得 $S_{β^{- 1}}^{*} (f) = g$ 。于是，对任意的 $m \in M_{α}$ ， $a \in A_{β} ，$ 有

$g ∙ ℵ ¯ β m = S β - 1 * (f) ∙ ℵ ¯ β m = ∑ S β - 1 * (t 1 β - 1 f 1 β - 1) ∙ ℵ ¯ β [t 2 β f 2 β S β - 1 * (f 3 β - 1) ∙ m] = (11) ∑ S β - 1 * (t 1 β - 1) ∙ ℵ ¯ β [t 2 β S β - 1 * (f) ∙ m] = ℵ ¯ β (g ∙ m)$ 。

然后，证明 $\bar{ℵ}$ 为左 $H^{*}$ -模映射。若 $m \in M_{α}$ ， $a \in A_{β}$ ，则

$a ∙ ℵ ¯ β m = ∑ S β - 1 * (t 1 β - 1) [S β - 1 - 1 (a 1 β - 1) × ∅ α - 1 (a 0 β 2 - 1 β)] ℵ ¯ β (a 0 β 2 0 β t 2 β ∙ m) = ∑ S β - 1 * (t 1 β - 1) S β - 1 - 1 (a 1 β - 2 2 β - 1) × ∅ β - 1 [a 0 β 3 - 1 β 2 1 β] ∙ ℵ ¯ β ({t 2 β [S β - 1 * (a 1 β - 2 1 β - 1) × ∅ β - 1 (a 0 β 3 - 1 β 2 1 β)] ⊳ ⊲ a 0 β 3 0 β} ∙ m) = ∑ S β - 1 * (t 1 β - 1) ∙ ℵ β (t 2 β a ∙ m) = ℵ ¯ β (a ∙ m) 。$

引理4获证。

经以上准备，下面给出Maschke型定理。

定理3H为k上的T-余代数，且 $H^{*}$ 为半单， $A = {A_{α}}_{α \in π}$ 为 $π$ -H-双余代数。M为左 $H^{*} ⊳ ⊲ A$ -模， $N$ 为 $M$ 的 $H^{*} ⊳ ⊲ A$ -子模。若 $N$ 作为左 $A$ -模是 $M$ 的直和项，则其作为左 $H^{*} ⊳ ⊲ A$ -模也是 $M$ 的直和项。

证明由引理4，只需证明 $\bar{ℵ}$ 为投射。实际上，对任意的 $n \in N_{β}$ ，有

$ℵ ¯ β n = ∑ S β - 1 * (t 1 β - 1) ∙ ℵ β (t 2 β ∙ n) = ∑ S β - 1 * (t 1 β - 1) ∙ (t 2 β ∙ n) = ∑ [S β - 1 * (t 1 β - 1) t 2 β] ∙ n = n$ ，

即 $\bar{ℵ}$ 为投射，证毕。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2023.01.002

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

VIRELIZIER

Hopf group-coalgebras

［J］. Journal of Pure & Applied Algebra， 2002，171（1）：75-122. DOI：10.1016/S0022-4049（01）00125-6

[本文引用: 3]

[2]

ZUNINO

Yetter-Drinfeld modules for Turaev crossed structures

［J］.Journal of Pure & Applied Algebra，2004，193（1-3）：313-343. DOI：10.1016/j.jpaa.2004.02.014

[本文引用: 3]

[3]

MAJID

Quantum double for quasi-Hopf algebras

［J］. Letters in Mathematical Physics，1998，45：1-9. DOI：10.48550/arXiv.q-alg/9701002

[本文引用: 1]

[4]

CAENEPEEL

， MILITARU

， ZHU

Frobenius and separable functors for generalized module categories and nonlinear equations

［M］// Lecture Notes in Mathmatics 1787. Berlin：Springer Verlag， 2002. doi:10.1007/b83849

[本文引用: 1]

[5]

HAUSSER

， NILL

Diagonal crossed products by duals of quasi-quantum group

［J］. Reviews in Mathematical Physics， 1999， 11（5）：563-629. DOI：10.1142/S0129055X99000210

[本文引用: 1]

[6]

MONTGONERY

Hopf algebras and their actions on rings

［M］// CBMS Regional Conference Series in Mathematics（Vol 82）. Los Angeles： AMS， 1993. DOI：10.1090/cbms/082

[本文引用: 1]

[7]

ZUNINO

Double construction for crossed Hopf coalgebras

［J］. Journal of Algebra， 2004，278（1）：43-75. DOI：10.1016/j.jalgebra.2004.03.019

[本文引用: 1]

Hopf group-coalgebras

2002

... Hopf群余代数是一族带有余乘法

∆

、余单位

ε

和对极

S

，且满足Hopf公理的群余代数，近年来，不少研究将Hopf群余代数和T-范畴视为Hopf代数与张量范畴的推广.事实也证明，Hopf代数理论中的很多重要结构和结论均可推广至Hopf群余代数环境^［1-2］. ...

... 下文约定如下：

k

为域，

i

为群

π

的单位元.用符号Sweedler表示余乘法

∆

和余模.对右

π

C

-余模

M

，其结构映射表示为

ρ_{α, β}^{r} (m) = \sum m_{[0] α} \otimes m_{[1] β}

，对左

π

C

-余模

M

，其结构映射表示为

ρ_{α, β}^{l} (m) = \sum m_{(- 1) α} \otimes m_{(0) β}

，从

k

-空间

V

到自身的恒等映射记为

i d_{V}

.除非特别声明，下文中的结构均为有限型.有关Hopf群余代数的基本概念见文献［1-2］. ...

... 由文献［1］知，若

H = {\{H_{α}\}}_{α \in π}

为

k

上的Hopf群余代数，则

H^{*} = \oplus_{α} H_{α}^{*}

有一个

k

上的Hopf代数结构，其余乘法和余单位分别为

∆ (f) (h \otimes g) = f (h g)

，

ε (f) = f (1_{α})

，对极为

S_{α}^{*} (f) = f ○ S_{α^{- 1}}

，

f \in H_{α}^{*}

，

h, g \in H_{α}

. ...

Yetter-Drinfeld modules for Turaev crossed structures

2004

... Hopf群余代数是一族带有余乘法

∆

、余单位

ε

和对极

S

... 下文约定如下：

k

为域，

i

为群

π

的单位元.用符号Sweedler表示余乘法

∆

和余模.对右

π

C

-余模

M

，其结构映射表示为

ρ_{α, β}^{r} (m) = \sum m_{[0] α} \otimes m_{[1] β}

，对左

π

C

-余模

M

，其结构映射表示为

ρ_{α, β}^{l} (m) = \sum m_{(- 1) α} \otimes m_{(0) β}

，从

k

-空间

V

到自身的恒等映射记为

i d_{V}

.除非特别声明，下文中的结构均为有限型.有关Hopf群余代数的基本概念见文献［1-2］. ...

... 例3

H

为

k

上的Hopf群余代数，令

A = H

，且双余模作用为余乘法，则

α

-Yetter-Drinfeld模^［2］为左-右

π

(H, H)

-Yetter-Drinfeld模. ...

Quantum double for quasi-Hopf algebras

1998

... Quasi-Hopf代数上的对角交叉积结构由MAJID^［3］引入.在交换Hopf代数上，将L-R Smash积和Kadison积作为对角交叉积的典型例子.文献［4-5］不仅讨论了相关结构，而且证明了对角交叉积的表示范畴同构于Yetter-Drinfeld模范畴. ...

Frobenius and separable functors for generalized module categories and nonlinear equations

2002

Diagonal crossed products by duals of quasi-quantum group

1999

Hopf algebras and their actions on rings

1993

... 首先构造了Hopf群余代数上对角交叉积代数结构，其次给出了Hopf群余代数的充要条件，再次证明了其表示范畴同构于Yetter-Drinfeld群模范畴，最后将Hopf代数理论中的Maschke型定理^［6］推广至Hopf群余代数的对角交叉积. ...

Double construction for crossed Hopf coalgebras

2004

... 例2

H = {\{H_{α}\}}_{α \in π}

为

k

上的

T

-余代数，且

A = {A_{α}}_{α \in π}

为

π

H

-双余模代数.由文献［7］，知Drinfeld偶

D (H)

为

H

上的对角交叉积，其双余模作用为余乘法. ...

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