有界线性算子的a-Browder定理及性质

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.005

有界线性算子的a-Browder定理及 $(R 1)$ 性质

车雨红^,^,, 戴磊

渭南师范学院数学与统计学院，陕西渭南 714099

A-Browder′s theorem and property $(R 1)$ for bounded linear operators

CHE Yuhong^,^,, DAI Lei

School of Mathematics and Statistics，Weinan Normal University，Weinan 714099，Shaanxi Province，China

收稿日期: 2021-09-06

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 111501419
陕西省自然科学基金资助项目. 2021JM-519

Received: 2021-09-06

作者简介 About authors

车雨红（1982—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-2133-5304，女，硕士，讲师，主要从事算子理论与算子代数研究，E-mail：305978808@qq.com. , E-mail：305978808@qq.com

摘要

给出了有界线性算子满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质的充要条件，研究了算子函数满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质的判定方法，应用所得结论，给出了一类重要算子及其函数满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质的判别定理。

关键词： a-Browder定理 ; $(R 1)$ 性质 ; 谱

Abstract

In this paper, we give the necessary and sufficient conditions for bounded linear operators to hold the property $(R_{1})$ and a-Browder's theorem. In addition, we characterize the judgements for operator functions satisfying property $(R_{1})$ and a-Browder's theorem. As an application, a criterion theorem is given for a class of important operators and their functions to satisfy a-Browder's theorem and property $(R_{1})$ .

Keywords： a-Browder's theorem ; property $(R 1)$ ; spectrum

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本文引用格式

车雨红, 戴磊. 有界线性算子的a-Browder定理及 $(R_{1})$ 性质. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(6): 676-681 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.005

CHE Yuhong, DAI Lei. A-Browder′s theorem and property $(R_{1})$ for bounded linear operators. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(6): 676-681 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.005

1909年，WEYL^［1］发现Hilbert空间中自伴算子的Weyl谱等于该算子的谱集去掉有限重的孤立特征值，该结论被称作Weyl定理。之后，出现了许多Weyl定理的变形和推广，如定义了a-Browder定理及 $(R_{1})$ 性质等^［2-9］； $(R_{1})$ 性质是Weyl定理的变形^［10-13］。本文将讨论有界线性算子的a-Browder定理与 $(R_{1})$ 性质之间的关系，给出并讨论有界线性算子满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质的条件。作为应用，给出一类重要算子及其函数满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质的判别定理。

1　预备知识

文中， $H$ 表示无限维复可分的Hilbert空间， $B (H)$ 为 $H$ 上有界线性算子的全体。若 $T \in B (H)$ ， $N (T)$ 和 $R (T)$ 分别表示 $T$ 的零空间和值域，则可用 $T$ 的零空间 $N (T)$ 的维数 $n (T)$ 和 $R (T)$ 的余维数 $d (T)$ 的有限性定义半Fredholm算子：若 $n (T) < \infty$ 且 $R (T)$ 为闭集，则称 $T$ 为上半Fredholm算子。若 $T$ 为上半Fredholm算子且 $n (T) = 0$ ，则称 $T$ 为下有界算子。若 $d (T) < \infty$ ，则称 $T$ 为下半Fredholm算子。若 $n (T) < \infty$ 且 $d (T) < \infty$ ，则称 $T$ 为Fredholm算子。当算子 $T$ 为半Fredholm算子（上半Fredholm算子或下半Fredholm算子）时，其指标定义为 $i n d (T) = n (T) - d (T)$ 。若 $i n d (T) = 0$ ，则称 $T$ 为Weyl算子。算子 $T$ 的升标 $a s c (T)$ 为满足 $N (T^{n}) =$ $N (T^{n + 1})$ 的最小非负整数，当这样的整数不存在时，记 $a s c (T) = + \infty$ ；算子 $T$ 的降标 $d e s (T)$ 为满足 $R (T^{n}) =$ $R (T^{n + 1})$ 的最小非负整数，当这样的整数不存在时，记 $d e s (T) = + \infty$ 。若 $a s c (T) < \infty$ 且 $d e s (T) < \infty$ ，则可证明 $a s c (T) = d e s (T)$ 。若算子 $T$ 有有限的升降标，则称 $T$ 为Drazin可逆算子。若算子 $T$ 为有有限升标和有限降标的Fredholm算子，则称 $T$ 为Browder算子。可证明 $T$ 为Browder算子当且仅当 $T$ 为半Fredholm算子，且当 $λ$ 充分小时， $T - λ I$ 可逆。用 $σ (T)$ 表示算子 $T \in B (H)$ 的谱集，通过上述叙述，算子 $T$ 的逼近点谱 $σ_{a} (T)$ 、上半Fredholm谱 $σ_{S F_{+}} (T)$ 、Browder谱 $σ_{b} (T)$ 可分别定义为：

σ_{a} (T) = {λ \in C : T - λ I 不 是 下 有 界 算 子}

，

σ_{S F_{+}} (T) =

{λ \in C : T - λ I 上 半 F r e d h o l m

算 子}

，

σ_{b} (T) = {λ \in C : T - λ I 不 是 B r o w d e r 算 子}

，

其中， $C$ 表示复数域。分别记 $σ (T)$ ， $σ_{a} (T)$ ， $σ_{S F_{+}} (T)$ 和 $σ_{b} (T)$ 的余集为 $ρ (T) = C \ σ (T)$ ， $ρ_{a} (T) =$ $C \ σ_{a} (T)$ ， $ρ_{b} (T) = C \ σ_{b} (T)$ ， $ρ_{S F_{+}} (T) =$ $C \ σ_{S F_{+}} (T)$ 。 $ρ_{S F} (T)$ 表示算子 $T$ 的半Fredholm预解集， $ρ_{S F} (T) = {λ \in C : T - λ I 为半 F r e d h o l m 算子}$ 。令 $ρ_{e a} (T) = {λ \in C : T - λ I 为上半 F r e d h o l m$ 算子且 $i n d (T - λ I) \leq 0}$ ， $ρ_{a b} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 为 $上半$ $F r e d h o l m$ $算子且 a s c (T - λ I) 有限}$ ，则 $σ_{e a} (T) = C \$ $ρ_{e a} (T)$ 和 $σ_{a b} (T) = C \ ρ_{a b} (T)$ 分别表示算子 $T$ 的本质逼近点谱和Browder本质逼近点谱。

算子值域的闭性及算子的Kato性质在算子理论中具有重要作用，设 $ρ_{k} (T) = {λ \in C : N (T -$ $λ I) \subseteq \cap_{n = 1}^{\infty} R ({(T - λ I)}^{n})}$ ，其余集 $σ_{k} (T) = C \ ρ_{k} (T)$ 称为算子 $T$ 的Kato谱。记 $σ_{c} (T) = {λ \in C : R (T - λ I)$ $不闭}$ ，令 $ρ_{c} (T) = C \ σ_{c} (T)$ 。另，记 $σ_{0} (T)$ 为由算子 $T$ 的所有正规特征值组成的集合，即 $σ_{0} (T) = σ (T) \ σ_{b} (T)$ 。若集合 $E$ 为复数集 $C$ 的子集，则 $i s o E$ ， $a c c E$ ， $\partial E$ 和 $i n t E$ 分别表示集合 $E$ 的孤立点的全体、聚点的全体、边界点的全体及内点的全体。

2　有界线性算子的a-Browder定理及 $(R_{1})$ 性质

对任意的 $T \in B (H)$ ，若 $σ_{e a} (T) = σ_{a b} (T)$ ，即 $σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T) \subseteq π_{00}^{a} (T)$ ，则称 $T$ 满足a-Browder定理；若 $σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T) \subseteq π_{00} (T)$ ，则称 $T$ 具有 $(R_{1})$ 性质，其中，

π_{00}^{a} (T) = {λ \in i s o σ_{a} (T) : 0 < d i m N (T - λ I) < \infty}

，

π_{00} (T) = {λ \in i s o σ (T) : 0 < d i m N (T - λ I) < \infty}

。

从形式看，a-Browder定理和 $(R_{1})$ 性质较相似。

注1　（1）算子具有 $(R_{1})$ 性质，并不能推出其满足a-Browder定理。

例1　设 $A$ ， $B \in B (𝓁^{2})$ ，定义

A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, \dots)

，

B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)

，

其中， $𝓁^{2} = \{x = (x_{i})_{i = 1}^{\infty} : \sum_{i = 1}^{\infty} {|x_{i}|}^{2} < \infty\}$ 。令算子 $T \in$ $B (𝓁^{2} \oplus$ $𝓁^{2})$ ，定义 $T = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})$ ，则

（i） $σ_{a} (T) = σ_{a b} (T) = {λ \in C : | λ | \leq 1}$ ，即 $T$ 具有 $(R_{1})$ 性质。

（ii） $σ_{e a} (T) = {λ \in C : | λ | = 1}$ ， $π_{00}^{a} (T) = \emptyset$ ，可知算子 $T$ 不满足a-Browder定理。

（2）算子满足a-Browder定理，并不能推出其具有（R₁）性质。

例2　设 $A$ ， $B \in B (𝓁^{2})$ ，定义

A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, \dots)

，

B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{2}, x_{3}, \dots)

。

令算子 $T \in B (𝓁^{2} \oplus 𝓁^{2})$ ，定义 $T = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})$ ，则

（i） $σ_{a} (T) = {0} ⋃ {λ \in C : | λ | = 1}$ ， $σ_{e a} (T) = {λ \in$ $C : | λ | = 1}$ ， $π_{00}^{a} (T) = {0}$ ，即 $T$ 满足a-Browder定理；

（ii） $σ_{a b} (T) = {λ \in C : | λ | = 1}$ ， $π_{00} (T) = \emptyset$ ，即 $T$ 不具有 $(R_{1})$ 性质。

（3）存在算子既不满足a-Browder定理，又不具有 $(R_{1})$ 性质。

例3　设 $A, B, C \in B (𝓁^{2})$ ，定义

A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots)

= (0, x_{1}, x_{2}, \dots)

，

B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)

，

C (

x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{2}, x_{3}, \dots)

。

令算子 $T_{1} \in B (𝓁^{2} \oplus 𝓁^{2}),$ $T_{2} \in B (𝓁^{2} \oplus 𝓁^{2})$ 及 $T \in B (𝓁^{2} \oplus 𝓁^{2} \oplus 𝓁^{2} \oplus 𝓁^{2})$ ，定义

T_{1} = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})

，

T_{2} = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & C \end{matrix})

，

T = (\begin{matrix} T_{1} - I & 0 \\ 0 & T_{2} + I \end{matrix}),

则

（i） $σ_{a} (T) = {λ \in C : | λ + 1 | \leq 1} ⋃ {λ \in C : | λ - 1 | =$ $1} ⋃ {1};$

（ii） $σ_{e a} (T) = {λ \in C : | λ + 1 | = 1} ⋃ {λ : | λ - 1 | = 1} ；$

（iii） $σ_{a b} (T) = {λ \in C : | λ + 1 | \leq 1}$ $⋃ {λ : | λ - 1 | = 1} ，$ $π_{00}^{a} (T) = {1}$ ， $π_{00} (T) = \emptyset$ 。

可见，算子 $T$ 既不满足a-Browder定理，又不具有 $(R_{1})$ 性质。

（4）当算子 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质时， $ρ_{e a} (T) = ρ_{a} (T) ⋃ ρ_{b} (T)$ 。

由注1，知a-Browder定理和 $(R_{1})$ 性质在形式上较相似，但并无必然联系。下面讨论算子 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质的充要条件。

定理1　设 $T \in B (H)$ ， $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质等价于 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)]$ 。

证明　设算子 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。包含关系 $σ_{b} (T) \supseteq σ_{e a} (T) ⋃$ $[ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)]$ 显然成立。若 $λ_{0} \notin$ $σ_{e a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)]$ ，不妨设 $λ_{0} \in σ (T)$ ，于是 $λ_{0} \in σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T)$ 。由 $T$ 满足a-Browder定理，知 $λ_{0} \in σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T)$ 。又由 $T$ 具有 $(R_{1})$ 性质，知 $λ_{0} \in π_{00} (T)$ ，从而 $λ_{0} \in$ $σ_{0} (T)$ ，即 $λ_{0} \notin$ $σ_{b} (T)$ 。所以 $σ_{b} (T) \subseteq σ_{e a} (T) ⋃$ $[ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)]$ ，即 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂$ $σ (T)]$ 。

反之，设 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ 。因为 $[σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T)] ⋂ σ_{e a} (T) = \emptyset$ 和 $[σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T)] ⋂$ $[ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)] = \emptyset$ ，所以 $[σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T)] ⋂$ $σ_{b} (T) = \emptyset$ ，于是 $σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T) \subseteq ρ_{b} (T)$ ，从而 $σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T)$ $\subseteq π_{00} (T) \subseteq π_{00}^{a} (T)$ ，因此，算子 $T$ 满足a-Browder定理。又因为 $σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T) \subseteq σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T) \subseteq$ $π_{00} (T)$ ，所以 $T$ 具有 $(R_{1})$ 性质。

注2　当算子 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质时， $σ_{b} (T)$ 分解的两部分缺一不可。

例4　设 $T \in B (𝓁^{2})$ ，定义 $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) =$ $(0, x_{1}, x_{2}, \dots)$ ，则算子 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质， $σ_{b} (T)$ 分解的两部分缺一不可。

当 $λ \in ρ_{S F} (T)$ ， $λ \in \partial σ (T)$ 时，一定有 $λ \in$ $ρ_{b} (T)$ 。由 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质，可证明 $[σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T)] ⋂ i n t σ (T) = \emptyset$ 和 $[σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T)] ⋂$ $a c c σ (T) = \emptyset$ 。由定理1，易得：

推论1　设 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（1） $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质；

（2） $a c c σ (T) \subseteq σ_{e a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ ；

（3） $i n t σ (T) \subseteq σ_{e a} (T) ⋃ [ρ_{a} (T) ⋂ σ (T)]$ ；

（4） $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T) ⋃ {λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0}$ 。

根据上半Fredholm算子的穿孔邻域定理^［14］，若 $T - λ_{0} I$ 为上半Fredholm算子，则存在 $ε > 0$ ，使得当 $0 < | λ - λ_{0} | < ε$ 时， $T - λ I$ 为上半Fredholm算子且 $i n d (T - λ I) = i n d (T - λ_{0} I)$ ， $N (T - λ I) \subseteq$ $\cap_{n = 1}^{\infty} R ({(T - λ I)}^{n}) 。$ 所以，当 $λ - λ_{0}$ 充分小时， $T - λ I$ 具有Kato性质。于是，Kato谱在a-Browder定理和 $(R_{1})$ 性质中具有重要作用。由谱集 $σ_{c} (T)$ 和 $σ_{k} (T)$ ，可得：

推论2　设 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（1） $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质；

（2） $σ_{b} (T) = a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c σ_{k} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃$ ${λ \in$ $σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = + \infty}$ ；

（3） $σ_{b} (T) = i n t σ_{e a} (T) ⋃ a c c σ_{k} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃$ ${λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) = + \infty}$ ；

（4） $σ_{b} (T) = a c c σ_{e a} (T) ⋃ i n t σ_{k} (T) ⋃ σ_{c} (T) ⋃ {λ \in$ $σ (T) : n (T - λ I) = 0} ⋃ {λ \in C : n (T - λ I) =$ $+ \infty}$ ；

（5） $σ_{b} (T) = a c c σ_{e a} (T) ⋃ a c c σ_{k} (T) ⋃$ $σ_{S F_{+}} (T) ⋃$ ${λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0}$ ；

（6） $σ_{b} (T) = i n t σ_{e a} (T) ⋃ a c c σ_{k} (T) ⋃ σ_{S F_{+}} (T) ⋃$

${λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0}$ ；

（7） $σ_{b} (T) = a c c σ_{e a} (T) ⋃ i n t σ_{k} (T) ⋃ σ_{S F_{+}} (T) ⋃$

{λ \in σ (T) : n (T - λ I) = 0}

。

由于算子的本质逼近点谱 $σ_{e a} (\cdot)$ 不满足谱映射定理，所以对任意多项式 $p$ ， $p (σ_{e a} (T)) =$ $σ_{e a} (p (T))$ 当且仅当对任意的 $λ$ ， $μ \in$ $ρ_{S F_{+}} (T)$ ， $i n d (T - λ I) i n d (T - μ I) \geq 0$ ^［15］。由定理1，可得：

推论3　设算子 $T \in B (H)$ ，则下列叙述等价：

（1） $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ ；

（2） $σ (T) = σ_{a} (T)$ ， $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质；

（3） $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ ，对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 均满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

证明　由定理1，知（1）⇔（2）成立。

（1）⇔（3）。假设（1）成立，则对任意的 $λ \in ρ_{S F_{+}} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \geq 0$ 。事实上，若存在 $λ_{0} \in ρ_{S F_{+}} (T)$ ，使得 $i n d (T - λ_{0} I) < 0$ ，即 $λ_{0} \notin$ $σ_{e a} (T)$ ， $λ_{0} \notin$ $σ_{b} (T)$ ，从而 $i n d (T - λ_{0} I) = 0$ ，矛盾。此时 $σ_{e a} (\cdot)$ 满足谱映射定理，即对任意多项式 $p$ ，有 $p (σ_{e a} (T)) = σ_{e a} (p (T))$ 。由于Browder谱 $σ_{b} (\cdot)$ 满足谱映射定理，所以对任意多项式 $p$ ，有

σ_{b} (p (T)) = p (σ_{b} (T)) = p (σ_{e a} (T)) = σ_{e a} (p (T))

。

由定理1，知 $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

（1）⇔（2）⇔（3）得证！

继续讨论算子函数满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质的条件。

注3　（1）当 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质时，并不能推出T的算子函数满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

例5　设 $A, B, C \in B (𝓁^{2})$ ，定义

A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{1}, x_{2}, \dots)

，

B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)

，

C (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{2}, x_{3}, \dots)

。

令算子 $T \in B (𝓁^{2} \oplus$ $𝓁^{2} \oplus 𝓁^{2})$ ，定义

T = (\begin{matrix} A - I & 0 & 0 \\ 0 & B + I & 0 \\ 0 & 0 & C - 3 I \end{matrix})

，

则

（i） $σ_{a} (T) = {λ \in C : | λ - 1 | \leq 1} ⋃ {λ \in C : | λ + 1 |$ $= 1} ⋃ {- 3}$ ， $σ_{a b} (T) = σ_{e a} (T) = {λ \in C : | λ - 1 | \leq 1} ⋃$ $π_{00} (T) = π_{00}^{a} (T) = {- 3}$ 。可见，算子 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质；

（ii）取多项式 $p_{1} (x) = (x + 3) (x + 1)$ ， $p_{2} (x) =$ $(x + 1) (x - 1)$ ，则 $p_{1} (T) = (T + 3 I) (T + I)$ ， $p_{2} (T) =$ $(T + I) (T - I)$ ，可证明 $p_{1} (T)$ 不具有 $(R_{1})$ 性质， $p_{2} (T)$ 不满足a-Browder定理。

（2）若存在多项式 $p$ ，使得 $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质，并不能推出算子 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

例6　设 $A, B \in B (𝓁^{2})$ ，定义 $A (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) =$

$(0, x_{1}, x_{2}, \dots)$ ， $B (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots) = (0, x_{2}, x_{3}, \dots)$ 。令算子 $T \in B (𝓁^{2} \oplus 𝓁^{2})$ ，定义 $T = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})$ ，则

（i） $σ_{a} (T) = {0} ⋃ {λ \in C : | λ | = 1}$ ；

（ii） $σ_{e a} (T) = σ_{a b} (T) = {λ \in C : | λ | = 1}$ ；

（iii） $π_{00}^{a} (T) = {0}$ ， $π_{00} (T) = \emptyset$ 。

可见， $T$ 不具有 $(R_{1})$ 性质。

令 $p (x) = x (x - 1)$ ，则 $σ_{a} (p (T)) = p (σ_{a} (T)) =$

p (σ_{a b} (T)) = σ_{a b} (p (T))

，

p (σ_{e a} (T)) = σ_{e a} (p (T)) =

$p (σ_{a b} (T)) = σ_{a b} (p (T))$ ，故 $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

由注3可知， $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质并不等价于 $T$ 的所有算子函数满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

令 $ρ_{S F}^{-} (T) = {λ \in C : T - λ I$ 为半Fredholm算子且 $i n d (T - λ I) < 0}$ 。

定理2　设 $T \in B (H)$ ，则对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质当且仅当

（1） $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质；

（2）若 $ρ_{S F}^{-} (T) \neq \emptyset$ ，则不存在 $λ \in ρ_{S F} (T)$ ，使得 $0 <$ $i n d (T - λ I) < + \infty$ ；

（3）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ 。

证明　充分性。（1）显然成立。

（2）反证法。设 $λ_{1} \in ρ_{S F}^{-} (T)$ ， $λ_{2} \in ρ_{S F} (T)$ 满足 $0 <$ $i n d (T - λ_{2} I) < + \infty$ ，则 $T - λ_{2} I$ 为Fredholm算子且 $i n d (T - λ_{2} I) > 0$ 。设 $i n d (T - λ_{1} I) = - m$ ， $i n d (T - λ_{2} I) = n$ ，其中 $n$ 为正整数， $m = + \infty$ 或正整数。当 $m$ 有限时，设 $p (x) = (x - λ_{1})^{n} (x - λ_{2})^{m}$ ，则 $p (T) = (T -$ $λ_{1} {I)}^{n} (T - λ_{2} {I)}^{m}$ 为Weyl算子且 $n (p (T)) \geq n (T - λ_{2} I) > 0$ 。于是 $0 \in σ_{a} (p (T)) \$ $σ_{e a} (p (T))$ 。由于 $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质，所以 $0 \in σ_{a} (p (T)) \ σ_{a b} (p (T)) \subseteq$ $π_{00} (p (T))$ ，故 $p (T)$ 为Browder算子，从而 $T - λ_{2} I$ 为Browder算子，所以 $i n d (T - λ_{2} I) = 0$ ，这与 $i n d (T - λ_{2} I) > 0$ 矛盾。

当 $m = + \infty$ 时，取多项式 $p (x) = (x - λ_{1}) (x - λ_{2})$ ，则 $p (T) = (T - λ_{1} I) (T - λ_{2} I)$ ，仍可得 $0 \in σ_{a} (p (T)) \$ $σ_{e a} (p (T))$ ，这与 $0 \in σ_{a} (p (T)) \ σ_{a b} (p (T))$ $\subseteq π_{00} (p (T))$ 矛盾。所以，当 $ρ_{S F}^{-} (T) \neq \emptyset$ 时，一定不存在 $λ \in ρ_{S F} (T)$ ，使得 $0 < i n d (T - λ I) < + \infty$ 。

（3）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，要证 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ ，只需证 $σ_{b} (T) \subseteq σ_{e a} (T)$ 。取 $λ_{1} \in σ_{0} (T)$ ， $λ_{2} \notin σ_{e a} (T)$ 。设 $p (x) = (x - λ_{1}) (x - λ_{2})$ ，即 $p (T) = (T - λ_{1} I) (T -$ $λ_{2} I)$ ，显然有 $0 \in σ_{a} (p (T)) \ σ_{e a} (p (T))$ 。由（2）的证明，知 $p (T)$ 为Browder算子，从而 $T - λ_{2} I$ 为Browder算子，于是 $λ_{0} \notin σ_{b} (T)$ ，所以 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ 。

必要性。先设 $ρ_{S F}^{-} (T) = \emptyset$ ，即对任意的 $λ \in ρ_{S F} (T)$ ，有 $i n d (T -$ $λ I) \geq 0$ ，由文献［2］定理5，知：

（i）对任意多项式 $p$ ，有 $p (σ_{e a} (T)) = σ_{e a} (p (T))$ ；

（ii）对任意多项式 $p$ ，有 $p (σ_{w} (T)) = σ_{w} (p (T))$ ；

（iii） $σ_{w} (T) = σ_{e a} (T) = σ_{b} (T)$ ， $σ_{a} (T) = σ (T)$ 。

由 $σ_{a} (\cdot)$ ， $σ (\cdot)$ 以及 $σ_{b} (\cdot)$ 均满足谱映射定理，知对任意多项式 $p$ ，有 $σ_{a} (p (T)) = p (σ_{a} (T)) =$ $p (σ (T)) = σ (p (T)), σ_{e a} (p (T)) = p (σ_{e a} (T)) =$ $p (σ_{b} (T)) = σ_{b} (p (T)),$ 所以 $σ_{a} (p (T)) \ σ_{e a} (p (T)) =$ $σ (p (T)) \ σ_{b} (p (T)) \subseteq π_{00} (p (T)) \subseteq$ $π_{00}^{a} (P (T)), σ_{a} (p (T)) \ σ_{a b} (p (T)) \subseteq σ_{a} (p (T)) \ σ_{e a} (p (T)),$ 故对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 均满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

设 $ρ_{S F}^{-} (T) \neq \emptyset$ ，由（2）知对任意的 $λ \in ρ_{S F_{+}} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \leq 0$ ，所以，对任意多项式 $p$ ，有

p (σ_{e a} (T)) = σ_{e a} (p (T))

。

分两种情况讨论：

（i）若 $σ_{0} (T) = \emptyset$ ，由（1）知 $σ_{a} (T) = σ_{a b} (T) = σ_{e a} (T)$ 。由于 $σ_{a} (\cdot)$ 和 $σ_{b} (\cdot)$ 均满足谱映射定理，故对任意多项式 $p$ ，有 $σ_{a} (p (T)) = p (σ_{a} (T)) =$ $p (σ_{e a} (T)) = σ_{e a} (p (T)) = p (σ_{a b} (T)) = σ_{a b} (p (T))$ ，所以 $σ_{a} (p (T)) \ σ_{e a} (p (T)) = σ_{a} (p (T)) \ σ_{a b} (p (T)) =$

$\emptyset \subseteq π_{00} (p (T)) \subseteq π_{00}^{a} (p (T))$ ，从而 $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

（ii）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ ，从而有 $σ_{a} (T) = σ (T)$ 。对任意多项式 $p$ ，有 $σ_{a} (p (T)) =$

$p (σ_{a} (T)) = p (σ (T)) = σ (p (T)), σ_{e a} (p (T)) = p (σ_{e a} (T))$ $= p (σ_{b} (T)) = σ_{b} (p (T))$ ，所以 $σ_{a} (p (T) \$ $σ_{a b} (p (T)) \subseteq σ_{a} (p (T)) \ σ_{e a} (p (T)) \subseteq σ (p (T)) \$ $σ_{b} (p (T)) \subseteq π_{00} (p (T))$ $\subseteq π_{00}^{a} (p (T))$ 。故对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

实际上，定理2（2）等价于对任意的 $λ ， μ \in$ $ρ_{S F_{+}} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) i n d (T -$ $μ I) \geq 0$ ，于是有：

推论4　设 $T \in B (H)$ ，则对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质等价于：

（1） $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质；

（2）对任意的 $λ$ ， $μ \in ρ_{S F_{+}} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I)$ $i n d (T -$ $μ I) \geq 0$ ；

（3）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ 。

对算子 $T \in B (H)$ ，若 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ 或 $σ_{a} (T) =$ $σ_{e a} (T)$ ，则算子 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

推论5　设 $T \in B (H)$ ，则对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质等价于：

（1） $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ ， $σ_{a} (T) = σ_{e a} (T)$ ；

（2）对任意的 $λ$ ， $μ \in ρ_{S F_{+}} (T)$ ，有

i n d (T - λ I)

i n d (T -

μ I) \geq 0

。

证明　必要性。只需证明（1）成立。反之，则 $λ_{1} \in σ_{b} (T) \ σ_{e a} (T)$ 和 $λ_{2} \in σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T)$ 。由 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质，知 $λ_{2} \in σ_{0} (T)$ 。令 $p (T) = (T - λ_{1} I) (T - λ_{2} I)$ ，则 $0 \in σ_{a} (p (T)) \ σ_{e a} (p (T))$ 。由 $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质，知 $p (T)$ 为Browder算子，从而 $T - λ_{1} I$ 为Browder算子，与 $λ_{1} \in$ $σ_{b} (T) \ σ_{e a} (T)$ 矛盾。

充分性。设 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ ，则 $σ_{a} (T) \ σ_{a b} (T) \subseteq$ $σ_{a} (T) \ σ_{e a} (T) \subseteq σ_{0} (T) \subseteq π_{00} (T) \subseteq π_{00}^{a} (T)$ ，故 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，由定理2，结论成立；

若 $σ_{0} (T) = \emptyset$ ，由于 $T$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质，所以 $σ_{a} (T) = σ_{e a} (T) = σ_{a b} (T)$ ，故 $σ_{a} (\cdot)$ ， $σ_{a b} (\cdot)$ 及 $σ_{e a} (\cdot)$ 均满足谱映射定理。对任意多项式 $p$ ，有 $σ_{a} (p (T))$ $= p (σ_{a} (T)) =$ $p (σ_{e a} (T)) =$ $σ_{e a} (p (T)) = p (σ_{e a} (T)) = σ_{a b} (p (T))$ ，故 $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

设 $σ_{a} (T) = σ_{e a} (T)$ ，则 $σ_{e a} (T) = σ_{a b} (T)$ 。类似可得 $σ_{a} (p (T)) = σ_{e a} (p (T)) = σ_{a b} (p (T))$ ， $p (T)$ 仍满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

定义1^［16］　若 $x \in H$ ， $‖ T^{*} x ‖^{2} \leq‖ T^{2} x ‖$ $‖ x ‖$ ，则称 $T \in B (H)$ 为 $*$ -paranormal算子；若对任意的 $λ \in C$ ， $T - λ I$ 均为 $*$ -paranormal算子，则称 $T \in B (H)$ 为完全 $*$ -paranormal算子。

当T为完全 $*$ -paranormal算子时，对任意的 $λ \in C$ ， $T - λ I$ 有有限升标，有：

（1） $σ_{e a} (T) = σ_{a b} (T)$ ，即 $T$ 满足a-Browder定理；

（2）对任意的 $λ \in ρ_{S F_{+}} (T)$ ，有 $i n d (T - λ I) \leq 0$ ；

（3）对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足a-Browder定理。

推论6　设 $T \in B (H)$ 为完全 $*$ -paranormal算子，则对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 具有 $(R_{1})$ 性质等价于：

（1） $T$ 具有 $(R_{1})$ 性质；

（2）若 $σ_{0} (T) \neq \emptyset$ ，则 $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ $\Leftrightarrow$ $σ_{b} (T) =$ $σ_{e a} (T)$ 或 $σ_{a} (T) = σ_{e a} (T)$ 。

当 $T^{*}$ 为完全 $*$ -paranormal算子时（ $T^{*}$ 为 $T$ 的共轭算子）， $σ_{b} (T) = σ_{e a} (T)$ 。

推论7　设 $T \in B (H)$ ，若 $T^{*}$ 为完全 $*$ -paranormal算子，则对任意多项式 $p$ ， $p (T)$ 满足a-Browder定理且具有 $(R_{1})$ 性质。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.005

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

WEYL

H V

Über beschränkte quadratische formen， deren differenz vollstetig ist

［J］. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo， 1909， 27（1）： 373-392. DOI：10.1007/BF03019655

[本文引用: 1]

[2]

HARTE

， LEE

W Y

Another note on Weyl's theorem

［J］. Transactions of The American Mathematical Society， 1997， 349（5）： 2115-2124. DOI：10.1090/S0002-9947-97-01881-3

[本文引用: 2]

[3]

RAKOCEVIC

Operators obeying a-Weyl's theorem

［J］. Revue Roumaine des Mathematiques Pures et Appliquees， 1989， 34（10）： 915-919.

[4]

DONG

， CAO

X H

， DAI

On Weyl's theorem for functions of operators

［J］. Acta Mathematica Sinica， 2019， 35（8）： 1367-1376. DOI：10.1007/s10114-019-7512-8

[5]

DAI

， CAO

X H

， GUO

Property $(ω)$ and the single-valued extension property

［J］. Acta Mathematica Sinica， English Series， 2021， 37（8）： 1254-1266. DOI：10.1007/S10114-021-0436-0

[6]

GUPTA

， KUMAR

， Property

(U W_{π})

and perturbations ［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2019， 16（1）： 124-124. DOI：10.1007/s00009-019-1405-z

[7]

YANG

L L

， CAO

X H

Single-valued extension property and property $(ω)$

［J］. Functional Analysis and Its Applications， 2021， 55（1）： 316-325. DOI：10.1134/S0016266321040067

[8]

姜虎，曹小红.

算子函数的 $(ω)$ 性质的判定

［J］. 山东大学学报（理学版）， 2020， 55（10）： 83-87. DOI：10. 6040/j.issn.1671-9352.0.2020.083

JIANG

， CAO

X H

Judgement of $(ω)$ property for operators functional calculus

［J］. Journal of Shandong University（Natural Science）， 2020， 55（10）： 83-87. DOI：10.6040/j.issn.1671-9352.0.2020.083

[9]

王宁，曹小红.

有界线性算子及其函数的a-Browder定理

［J］. 云南大学学报（自然科学版）， 2021， 43（3）： 421-428. DOI：10.7540/j.ynu.20200590

[本文引用: 1]

WANG

， CAO

X H

A-Browder theorem for bounded linear operators and their functions

［J］. Journal of Yunnan University（Natural Sciences Edition）， 2021， 43（3）： 421-428. DOI：10.7540/j.ynu.20200590

[本文引用: 1]

[10]

AIENA

， GUILLÉN

J R

， PEÑA

Property $(R)$ for bounded linear operators

［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2011， 8（4）： 491-508. DOI：10.1007/s00009-011-0113-0

[本文引用: 1]

[11]

AIENA

， APONTE

， GUILLÉN

J R

， et al.

Property $(R)$ under perturbations

［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2013， 10（1）： 367-382. DOI：10.1007/s00009-012-0174-8

[12]

JIA

B T

， FENG

Y L

Property $(R)$ under compact perturbations

［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2020， 17（2）： 1-12. DOI：10.1007/s00009-020-01506-6

[13]

赵小鹏，戴磊，曹小红.

有界线性算子及其函数的 $(R)$ 性质

［J］. 云南大学学报（自然科学版）， 2022， 44（1）： 9-15. DOI：10.7540/j.ynu.20210044

[本文引用: 1]

ZHAO

X P

， DAI

， CAO

X H

Property $(R)$ for bounded linear operators and its functions

［J］. Journal of Yunnan University （Natural Sciences Edition）， 2022， 44（1）： 9-15. DOI：10.7540/j.ynu.20210044

[本文引用: 1]

[14]

KATO

. Perturbation Theory for Linear Operators［M］. New York： Spring-Verlag， 1966. doi:10.1007/978-3-642-53393-8_9

[本文引用: 1]

[15]

CAO

X H

， GUO

M Z

， MENG

Weyl type theorem for p-hyponormal and M-hyponormal operators

［J］. Studia Mathematica， 2004， 163（2）： 177-188. DOI：10.4064/sm163-2-5

[本文引用: 1]

[16]

DUGGAL

B P

， JEON

I H

， KIM

I H

On $*$ -paranormal contractions and properties for $*$ -class A operators

［J］. Linear Algebra and Its Applications， 2012， 436（5）： 954-962. DOI：10.1016/J.LAA.2011. 06.002

[本文引用: 1]

über beschr?nkte quadratische formen， deren differenz vollstetig ist

1909

... 1909年，WEYL^［1］发现Hilbert空间中自伴算子的Weyl谱等于该算子的谱集去掉有限重的孤立特征值，该结论被称作Weyl定理.之后，出现了许多Weyl定理的变形和推广，如定义了a-Browder定理及

(R_{1})

性质等^［2-9］；

(R_{1})

性质是Weyl定理的变形^［10-13］.本文将讨论有界线性算子的a-Browder定理与

(R_{1})

性质之间的关系，给出并讨论有界线性算子满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的条件.作为应用，给出一类重要算子及其函数满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的判别定理. ...

Another note on Weyl's theorem

1997

(R_{1})

性质等^［2-9］；

(R_{1})

性质是Weyl定理的变形^［10-13］.本文将讨论有界线性算子的a-Browder定理与

(R_{1})

性质之间的关系，给出并讨论有界线性算子满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的条件.作为应用，给出一类重要算子及其函数满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的判别定理. ...

... 必要性.先设

ρ_{S F}^{-} (T) = \emptyset

，即对任意的

λ \in ρ_{S F} (T)

，有

i n d (T -

λ I) \geq 0

，由文献［2］定理5，知： ...

Operators obeying a-Weyl's theorem

1989

On Weyl's theorem for functions of operators

2019

Property

(ω)

and the single-valued extension property

2021

2019

Single-valued extension property and property

(ω)

2021

算子函数的

(ω)

性质的判定

2020

算子函数的

(ω)

性质的判定

2020

有界线性算子及其函数的a-Browder定理

2021

(R_{1})

性质等^［2-9］；

(R_{1})

性质是Weyl定理的变形^［10-13］.本文将讨论有界线性算子的a-Browder定理与

(R_{1})

性质之间的关系，给出并讨论有界线性算子满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的条件.作为应用，给出一类重要算子及其函数满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的判别定理. ...

有界线性算子及其函数的a-Browder定理

2021

(R_{1})

性质等^［2-9］；

(R_{1})

性质是Weyl定理的变形^［10-13］.本文将讨论有界线性算子的a-Browder定理与

(R_{1})

性质之间的关系，给出并讨论有界线性算子满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的条件.作为应用，给出一类重要算子及其函数满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的判别定理. ...

Property

(R)

for bounded linear operators

2011

(R_{1})

性质等^［2-9］；

(R_{1})

性质是Weyl定理的变形^［10-13］.本文将讨论有界线性算子的a-Browder定理与

(R_{1})

性质之间的关系，给出并讨论有界线性算子满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的条件.作为应用，给出一类重要算子及其函数满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的判别定理. ...

Property

(R)

under perturbations

2013

Property

(R)

under compact perturbations

2020

有界线性算子及其函数的

(R)

性质

2022

(R_{1})

性质等^［2-9］；

(R_{1})

性质是Weyl定理的变形^［10-13］.本文将讨论有界线性算子的a-Browder定理与

(R_{1})

性质之间的关系，给出并讨论有界线性算子满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的条件.作为应用，给出一类重要算子及其函数满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的判别定理. ...

有界线性算子及其函数的

(R)

性质

2022

(R_{1})

性质等^［2-9］；

(R_{1})

性质是Weyl定理的变形^［10-13］.本文将讨论有界线性算子的a-Browder定理与

(R_{1})

性质之间的关系，给出并讨论有界线性算子满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的条件.作为应用，给出一类重要算子及其函数满足a-Browder定理且具有

(R_{1})

性质的判别定理. ...

1966

... 根据上半Fredholm算子的穿孔邻域定理^［14］，若

T - λ_{0} I

为上半Fredholm算子，则存在

ε > 0

，使得当

0 < | λ - λ_{0} | < ε

时，

T - λ I

为上半Fredholm算子且

i n d (T - λ I) = i n d (T - λ_{0} I)

，

N (T - λ I) \subseteq

\cap_{n = 1}^{\infty} R ({(T - λ I)}^{n}) .

所以，当

λ - λ_{0}

充分小时，

T - λ I

具有Kato性质.于是，Kato谱在a-Browder定理和

(R_{1})

性质中具有重要作用.由谱集

σ_{c} (T)

和

σ_{k} (T)

，可得： ...

Weyl type theorem for p-hyponormal and M-hyponormal operators

2004

... 由于算子的本质逼近点谱

σ_{e a} (\cdot)

不满足谱映射定理，所以对任意多项式

p

，

p (σ_{e a} (T)) =

σ_{e a} (p (T))

当且仅当对任意的

λ

，

μ \in

ρ_{S F_{+}} (T)

，

i n d (T - λ I) i n d (T - μ I) \geq 0

^［15］.由定理1，可得： ...

*

-paranormal contractions and properties for

*

-class A operators

2012

... 定义1^［16］　若

x \in H

，

‖ T^{*} x ‖^{2} \leq‖ T^{2} x ‖

‖ x ‖

，则称

T \in B (H)

为

*

-paranormal算子；若对任意的

λ \in C

，

T - λ I

均为

*

-paranormal算子，则称

T \in B (H)

为完全

*

-paranormal算子. ...

〈

〉

有界线性算子的a-Browder定理及(R1)性质

A-Browder′s theorem and property (R1) for bounded linear operators

1 预备知识

2 有界线性算子的a-Browder定理及(R1)性质

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有界线性算子的a-Browder定理及 $(R 1)$ 性质

A-Browder′s theorem and property $(R 1)$ for bounded linear operators

1　预备知识

2　有界线性算子的a-Browder定理及 $(R_{1})$ 性质

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原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

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