Cartan-Eilenberg VW-Gorenstein复形研究

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.002

Cartan-Eilenberg VW-Gorenstein复形研究

焦玉娟^,^,

西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州 730030

Study on Cartan-Eilenberg VW-Gorenstein complexes

JIAO Yujuan^,^,

College of Mathematics and Computer Science，Northwest Minzu University，Lanzhou 730030，China

收稿日期: 2021-09-03

基金资助:

中央高校基本科研业务费专项资金项目. 31920220041

Received: 2021-09-03

作者简介 About authors

焦玉娟（1976—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-6079-4154，女，博士，副教授，主要从事同调代数研究，E-mail：jsjyj@xbmu.edu.cn. , E-mail：jsjyj@xbmu.edu.cn

摘要

设V，W是2个满足特定条件的模类，证明了Cartan-Eilenberg （CE） VW-Gorenstein复形存在完备CE VW-分解。并进一步证明了CE VW-Gorenstein复形具有稳定性。

关键词： VW-Gorenstein模 ; CE VW-Gorenstein复形 ; 完备CE VW-分解 ; 稳定性

Abstract

Let V,W be two classes of modules which satisfy some mild conditions. It is shown that every CE VW-orenstein complex has a complete CE VW-resolution. Furthermore, we show that CE VW-Gorenstein complexes possess the feature of stability.

Keywords： VW-Gorenstein module ; CE VW-Gorenstein complex ; complete CE VW-resolution ; stability

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本文引用格式

焦玉娟. Cartan-Eilenberg VW-Gorenstein复形研究. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(6): 657-661 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.002

JIAO Yujuan. Study on Cartan-Eilenberg VW-Gorenstein complexes. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(6): 657-661 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.002

作为双边Noether环上G-维数为零的有限生成模的推广和对偶，ENOCHS等^［1］在一般环上引入了Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的概念。自此，以Gorenstein投射模和Gorenstein内射模为主要研究对象的Gorenstein同调代数备受关注。作为Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的统一推广，SATHER-WAGSTAFF等^［2］和GENG等^［3］研究了W-Gorenstein模，其中W为自正交模类；进一步，ZHAO等^［4］研究了VW-Gorenstein模，其中V，W是2个模类。Gorenstein投射（内射）模， $G_{C}$ -投射（内射）模^［5-7］、W-Gorenstein模、Auslander类中的模和Bass类中的模^［8］为VW-Gorenstein模的特例。

CARTAN等^［9］引入了复形的一类投射分解和一类内射分解。VERDIER^［10］分别称其为复形的Cartan-Eilenberg（CE）-投射分解和CE-内射分解，并提出了CE-投射复形与CE-内射复形的概念。ENOCHS^［11］进一步研究了CE-投射复形和CE-内射复形，证明了每个复形都有CE-投射预覆盖和CE-内射包络，复形的CE-投射分解（CE-内射分解）就是由CE-投射预覆盖（CE-内射包络）给出的复形的CE-正合序列，同时，研究了CE-Gorenstein投射（内射）复形，证明了CE-Gorenstein投射（内射）复形的2种定义方式等价。设W是一个模类，LIANG等^［12］和LU等^［13］用不同方法研究了CE W-Gorenstein复形，证明了如果W自正交，则CE W-Gorenstein复形有完备CE W-分解。

受文献［4，11-13］的启发，本文研究CE VW-Gorenstein复形。

1　预备知识

设 $R, S$ 为有单位元的结合环，除特别说明外，下文讨论的均为左 $R$ -模或左 $S$ -模和左 $R$ -模或左 $S$ -模的复形。用C表示模的复形范畴，投射、内射左 $R$ -模类分别记为 $𝒫 (R)$ 和 $ℐ (R)$ 。设 ${}_{S} C_{R}$ 是一个半对偶 $(S, R)$ -双模， $𝒫_{C} (S)$ ， $ℐ_{C} (R)$ 分别表示 $C$ -投射左 $S$ -模类和 $C$ -内射左 $R$ -模类；相对于 $C$ 的Auslander类和Bass类分别记为 $𝒜_{C} (R)$ 和 $ℬ_{C} (S)$ ^［8］。

将复形

\dots \to X_{n + 1} \overset{δ_{n + 1}}{\to} X_{n} \overset{δ_{n}}{\to} X_{n - 1} \to \dots

记为 $(X, δ)$ ，简记为 $X$ 。复形 $X$ 的第 $n$ 个循环、边缘、同调模分别记为 $Z_{n} (X) ， B_{n} (X), H_{n} (X)$ 。 $X$ 的循环、边缘、同调复形分别记为 $Z (X) ， B (X), H (X)$ 。用上标区分不同的复形，例如，设 ${X^{i}}_{i \in I}$ 是一簇复形，则复形 $X_{}^{i}$ 为

\dots \to X_{n + 1}^{i} \overset{δ_{_{n + 1}}^{i}}{\to} X_{n}^{i} \overset{δ_{_{n}}^{i}}{\to} X_{n - 1}^{i} \to \dots

。

设 $M$ 是一个模，则第1、0层次为 $M$ ，其余层次为0的复形 $\bar{M}$ 为

$\dots \to 0 \to M \overset{i d}{\to} M \to 0 \to \dots$ ；

0层次为 $M$ ，其余层次为0的复形 $\underset{̲}{M}$ 为

\dots \to 0 \to M \to 0 \to \dots

设 $X$ 为复形， $m$ 为整数， $X [m]$ 表示的复形为 $X [m]_{n} = X_{n - m}$ ， $δ_{n}^{X [m]} = {(- 1)}^{m} δ_{^{n - m}}^{X}$ 。设 $X, Y \in$ $𝒞$ ，用Hom_C $(X, Y)$ 表示由 $X$ 到 $Y$ 的所有复形态射构成的Abel群。

定义1^［11］设W是一个模类， $X$ 是一个复形。如果对任意的 $n \in Z$ ，有 $X_{n}, Z_{n} (X), B_{n} (X),$ $H_{n} (X) \in$ W，则称 $X$ 是CE W-复形。

CE W-复形的类记为CE（W）。当W= $𝒫 (R)$ （ $ℐ (R)$ ， $𝒫_{C} (S)$ ， $ℐ_{C} (R)$ ）时，CE W-复形称为CE投射（CE内射，CE $C$ -投射，CE $C$ -内射）复形。

定义2^［11］如果

（1） $𝕏 = \dots \to X^{- 1} \to X^{0} \to X^{1} \to \dots$ ；

（2） $Z (𝕏) = \dots \to Z (X^{- 1}) \to Z (X^{0}) \to Z (X^{1}) \to \dots ；$

（3） $B (𝕏) = \dots \to B (X^{- 1}) \to B (X^{0}) \to B (X^{1}) \to \dots ；$

（4） $𝕏 / Z (𝕏) = \dots \to X^{- 1} / Z (X^{- 1}) \to X^{0} / Z (X^{0}) \to$

X^{1} / Z (X^{1}) \to \dots ；

（5） $𝕏 / B (𝕏) = \dots \to X^{- 1} / B (X^{- 1}) \to X^{0} / B (X^{0}) \to$

X^{1} / B (X^{1}) \to \dots ；

（6） $H (𝕏) = \dots \to H (X^{- 1}) \to H (X^{0}) \to$ $H (X^{1}) \to \dots$

都是正合的，则称复形的序列

𝕏 = \dots \to X^{- 1} \to X^{0} \to X^{1} \to \dots

是CE正合的。

设A是一个Abel范畴， $ℬ$ 是A的一个全子范畴。如果对任意的 $B \in ℬ,$ 复形 $H o m_{𝒜} (S, B)$ （ $H o m_{𝒜} (B, S)$ ）正合，则称A中的复形 S 是Hom $_{𝒜}$ （-， $ℬ$ ）-正合（Hom $_{𝒜}$ （ $ℬ$ ，-）-正合）的。设X，Y是A的2个全子范畴，若对任意的 $X \in 𝒳, Y \in 𝒴$ ，均有 $E x t_{𝒜}^{\geq 1} (X, Y) = 0$ ，则记 $𝒳$ ⊥ $𝒴$ 。特别地，如果 $𝒳$ ⊥ $𝒳$ ，则称 $𝒳$ 自正交。

定义3^［4］设V，W是2个模类。如果存在Hom（V，-）-正合和Hom（-，W）-正合的正合序列：

\dots \to V_{1} \overset{δ_{1}}{\to} V_{0} \overset{δ_{0}}{\to} W_{- 1} \overset{δ_{- 1}}{\to} W_{- 2} \to \dots

，

其中， $V_{i} \in 𝒱,$ $W_{j} \in 𝒲$ ，使得 $M ≅ I m δ_{0}$ ，则称模 $M$ 是VW-Gorenstein的。

VW-Gorenstein模的类记为G（VW）。特别地，G（VV）简记为G（V）。

注1 （1）当 $𝒱 = 𝒫 (S), 𝒲 = 𝒫_{C} (S)$ 时，VW-Gorenstein模为 $G_{C}$ -投射 $S$ -模^［7］；

（2）当 $𝒱 = ℐ_{C} (R), 𝒲 = ℐ (R)$ 时，VW-Gorenstein模为 $G_{C}$ -内射 $R$ -模^［7］；

（3）当V=W时，VW-Gorenstein模为W-Gorenstein模^［2-3］。特别地，当 $𝒱 = 𝒲 = 𝒫 (R)$ $(ℐ (R))$ 时，VW-Gorenstein模为Gorenstein投射（内射） $R$ -模^［1］；

（4）当 $𝒱 = 𝒫 (R), 𝒲 = ℐ_{C} (R)$ 时， $𝒢$ （VW）= $𝒜_{C} (R)$ ^［8］；

（5）当 $𝒱 = 𝒫_{C} (S), 𝒲 = ℐ (S)$ 时， $𝒢$ （VW）= $ℬ_{C} (S)$ ^［8］。

2　CE VW-Gorenstein复形

设V，W是2个模类， $X$ 是一个复形。由定义1，如果对任意的 $n \in Z$ ，有 $X_{n}, Z_{n} (X), B_{n} (X),$ $H_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ ，则称 $X$ 是CE VW-Gorenstein复形。由注1，知CE $G_{C}$ -投射 $S$ -复形、CE $G_{C}$ -内射 $R$ -复形、CE W-Gorenstein复形^［12］、CE Gorenstein 投射（内射）复形^［11］、CE $𝒜_{C} (R)$ -复形和CE $ℬ_{C} (S)$ -复形为CE VW-Gorenstein复形的特例。

下文中，总假设V，W满足：

（*） V，W关于扩张、同构和有限直和封闭，且V⊥W， V⊥V， W⊥W， $𝒱, 𝒲 \subseteq 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 的左 $R$ -或 $S$ -模类。

注2 （1）由文献［3］注记2.3（4）、文献［6］命题2.6和文献［8］命题5.2，知 $𝒱 = 𝒫 (S),$ $𝒲 = 𝒫_{C} (S)$ 满足条件（*）。对偶地， $𝒱 = ℐ_{C} (R), 𝒲 = ℐ (R)$ 满足条件（*）；

（2）若V=W是关于扩张、同构和有限直和封闭的自正交模类，则V，W满足条件（*）；

（3）由文献［3］注记2.3（4）和文献［8］引理4.1、命题5.2、推论6.1，知 $𝒱 = 𝒫 (R), 𝒲 = ℐ_{C} (R)$ 满足条件（*）；

（4）由文献［3］注记2.3（4）和文献［8］引理4.1、命题5.2、推论6.1，知 $𝒱 = 𝒫_{C} (S), 𝒲 = ℐ (S)$ 满足条件（*）。

定义4 复形 $X$ 的完备CE VW-分解是 $H o m_{𝒞} (C E (𝒱), -)$ -正合和 $H o m_{𝒞} (-, C E (𝒲))$ -正合的CE-正合序列

\dots \to V^{- 1} \to V^{0} \to W^{1} \to W^{2} \to \dots,

使得 $X ≅ I m (V^{0} \to W^{1}),$ 其中 $V^{i} \in C E (𝒱),$ $W^{j} \in C E (𝒲)$ 。

定理1 设 $X$ 是一个复形，则下列陈述等价：

（1） $X$ 是VW-Gorenstein复形；

（2）对任意的 $n \in Z$ ，有 $B_{n} (X), H_{n} (X) \in$ $𝒢 (𝒱 𝒲)$ ；

（3） $X$ 存在完备CE VW-分解。

证明 $(1) \Rightarrow (2)$ 显然成立。

$(2) \Rightarrow (3)$ 。设 $n \in Z$ ，因为 $B_{n} (X), H_{n} (X) \in$ $𝒢 (𝒱 𝒲)$ ，所以由文献［4］推论4.6，知存在正合序列

0 \to B_{n} (X) \to W_{n}^{'} \to T_{n}^{'} \to 0

和

0 \to H_{n} (X) \to W_{n}^{''} \to T_{n}^{''} \to 0,

其中， $W_{n}^{'}, W_{n}^{''} \in 𝒲,$ $T_{n}^{'}, T_{n}^{''} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。由文献［4］命题3.5，知正合序列

0 \to B_{n} (X) \to Z_{n} (X) \to H_{n} (X) \to 0

是Hom（-，W）-正合的，所以存在行、列正合的交换图：

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 \to & B_{n} (X) & \to & Z_{n} (X) & \to & H_{n} (X) & \to 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 \to & W_{n}^{'} & \to & W_{n}^{'} \oplus W_{n}^{''} & \to & W_{n}^{''} & \to 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 \to & T_{n}^{'} & \to & T_{n} & \to & T_{n}^{''} & \to 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}

且由文献［4］推论3.8，知 $T_{n}^{} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。注意到正合序列

0 \to Z_{n} (X) \to X_{n} \to B_{n - 1} (X) \to 0

是Hom（-，W）-正合的，所以存在行、列正合的交换图：

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 \to & Z_{n} (X) & \to & X_{n} & \to & B_{n - 1} (X) & \to 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 \to & W_{n}^{'} \oplus W_{n}^{''} & \to & W_{n}^{'} \oplus W_{n}^{''} \oplus W_{n - 1}^{'} & \to & W_{n - 1}^{'} & \to 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 \to & T_{n}^{} & \to & X_{n}^{1} & \to & T_{n - 1}^{'} & \to 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}

且 $X_{n}^{1} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。继而存在列正合的交换图：

\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ \dots & \to & X_{n + 1} & \to & B_{n}^{} (X) & \to & Z_{n}^{} (X) & \to & X_{n} & \to & \dots \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ \dots & \to & W_{n + 1}^{'} \oplus W_{n + 1}^{''} \oplus W_{n}^{'} & \to & W_{n}^{'} & \to & W_{n}^{'} \oplus W_{n}^{''} & \to & W_{n}^{'} \oplus W_{n}^{''} \oplus W_{n - 1}^{'} & \to & \dots \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ \dots & \to & X_{n + 1}^{1} & \to & T_{n}^{'} & \to & T_{n} & \to & X_{n}^{1} & \to & \dots \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

由此可得复形的CE-正合序列

0 \to X \to W^{1} \to X^{1} \to 0,

其中， $W_{n}^{1} = W_{n}^{'} \oplus W_{n}^{''} \oplus W_{n - 1}^{'}$ 。由上面的构造知， $W^{1} \in C E (𝒲) ， X^{1} \in C E (𝒢 (𝒱 𝒲))$ ，并且由文献［4］命题3.5和文献［12］引理3.13，知序列

0 \to X \to W^{1} \to X^{1} \to 0

既是 $H o m_{𝒞} (C E (𝒱), -)$ -正合的又是 $H o m_{𝒞} (-,$ $C E (𝒲))$ -正合的。重复上述过程，可得 $H o m_{𝒞} (C E (𝒱), -)$ -正合和 $H o m_{𝒞} (-, C E (𝒲))$ -正合的CE-正合序列

0 \to X \to W^{1} \to W^{2} \to \dots,

（1）

其中， $W^{j} \in C E (𝒲)$ 。

对偶地，可构造 $H o m_{𝒞} (C E (𝒱), -)$ -正合和 $H o m_{𝒞} (-, C E (𝒲))$ -正合的CE-正合序列

\dots \to V^{- 1} \to V^{0} \to X \to 0,

（2）

其中， $V^{i} \in C E (𝒱)$ 。连接式（1）和式（2），即得 $X$ 的完备CE VW-分解。

(3) \Rightarrow (1)

。设

U = \dots \to V^{- 1} \to V^{0} \to W^{1} \to W^{2} \to \dots

是 $X$ 的完备CE VW-分解，则对任意的 $n \in Z$ ，有正合序列

U_{n} = \dots \to V_{n}^{- 1} \to V_{n}^{0} \to W_{n}^{1} \to W_{n}^{2} \to \dots,

使得 $X_{n} ≅ I m (V_{n}^{0} \to W_{n}^{1})$ ，其中 $V_{n}^{i} \in 𝒱,$ $W_{n}^{j} \in 𝒲$ 。设 $V \in 𝒱, W \in 𝒲$ ，则 $\bar{V} [n - 1] \in$ $C E (𝒱),$ $\bar{W} [n] \in$ $C E (𝒲)$ ，故复形 $H o m_{𝒞} (\bar{V} [n - 1], U)$ 和 $H o m_{𝒞} (U, \bar{W} [n])$ 正合。由文献［14］引理3.1，知 $H o m (V, U_{n})$ 和 $H o m (U_{n}, W)$ 正合。因此，对任意的 $n \in Z$ ，有 $X_{n} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。

设 $n \in Z$ ，下证 $B_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。由条件，知存在正合序列

\dots \to B_{n} (V_{}^{- 1}) \to B_{n} (V_{}^{0}) \to B_{n} (W_{}^{1}) \to B_{n} (W_{}^{2}) \to \dots,

使得 $B_{n} (X) ≅ I m (B_{n} (V^{0}) \to B_{n} (W^{1}))$ ，其中 $B_{n} (V_{}^{i}) \in 𝒱,$ $B_{n} (W^{j}) \in 𝒲$ 。对任意的 $i \leq 0,$ $j \geq 1,$ 在正合序列：

0 \to H_{n} (V^{i}) \to V_{n}^{i} / [B_{n} (V^{i})] \to B_{n - 1} (V^{i}) \to 0

和

0 \to H_{n} (W^{j}) \to W_{n}^{j} / [B_{n} (W^{j})] \to B_{n - 1} (W^{j}) \to 0

中，由于 $H_{n} (V^{i}), B_{n - 1} (V^{i}) \in 𝒱$ ， $H_{n} (W^{j}),$ $B_{n - 1} (W^{j}) \in$ $𝒲$ ，且V，W关于扩张封闭，所以 $V_{n}^{i} / B_{n} (V^{i}) \in 𝒱,$ $W_{n}^{j} / B_{n} (W^{j}) \in 𝒲$ 。因为V⊥V，W⊥W，所以复形的正合序列

0 \to B_{n} (U) \to U_{n} \to U_{n} / [B_{n} (U)] \to 0

层次可裂。于是对任意的 $W \in 𝒲$ ，有正合序列

\begin{array}{l} 0 \to H o m (U_{n} / [B_{n} (U)], W) \to H o m (U_{n}, W) \to \\ H o m (B_{n} (U), W) \to 0 。 \end{array}

因为 $\underset{̲}{W} [n] \in C E (𝒲)$ ，所以 $H o m_{𝒞} (U, \underset{̲}{W} [n])$ 正合，于是由文献［14］引理3.1，知 $H o m (U_{n} / B_{n} (U), W)$ 正合。又由上述讨论，知 $H o m (U_{n}, W)$ 正合，故 $H o m (B_{n} (U), W)$ 正合。设 $V \in 𝒱$ ，因为V⊥V，W⊥W，所以正合序列

0 \to Z_{n} (U) \to U_{n} \to B_{n - 1} (U) \to 0

层次可裂，故有正合序列

\begin{array}{l} 0 \to H o m (V, Z_{n} (U)) \to H o m (V, U_{n}) \to \\ H o m (V, B_{n - 1} (U)) \to 0 。 \end{array}

由于 $H o m_{𝒞} (\underset{̲}{V} [n], U)$ 正合，由文献［14］引理3.1，可得 $H o m (V, Z_{n} (U))$ 正合。又由上述讨论，知 $H o m (V, U_{n})$ 正合，故 $H o m (V, B_{n - 1} (U))$ 正合，所以 $B_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。

设 $n \in Z$ ，考察正合序列

0 \to Z_{n} (X) \to X_{n} \to B_{n - 1} (X) \to 0

。

任取 $V \in 𝒱$ ，则 $H o m (V, Z_{n} (U))$ 正合。因为V⊥W，所以 $E x t^{1} (V, Z_{n} (X)) = 0$ ，于是由文献［4］推论3.11，得 $Z_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。注意到正合序列

0 \to Z_{n} (U) \to U_{n} \to B_{n - 1} (U) \to 0

层次可裂，故对任意的 $W \in 𝒲$ ，有正合序列

\begin{array}{l} 0 \to H o m (B_{n - 1} (U), W) \to H o m (U_{n}, W) \to \\ H o m (Z_{n} (U), W) \to 0 。 \end{array}

由于 $H o m (B_{n - 1} (U), W)$ 和 $H o m (U_{n}, W)$ 正合，故 $H o m (Z_{n} (U), W)$ 正合。进而由正合序列

\begin{array}{l} 0 \to H o m (H_{n} (U), W) \to H o m (Z_{n} (U), W) \to \\ H o m (B_{n} (U), W) \to 0, \end{array}

知 $H o m (H_{n} (U), W)$ 正合。又因为V⊥W，所以 $E x t^{1} (H_{n} (X), W) = 0$ 。从而由文献［4］推论3.11，可得 $H_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。

综上，对任意的 $n \in Z$ ，有 $X_{n}, Z_{n} (X),$ $B_{n} (X),$ $H_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。因此 $X$ 是CE VW-Gorenstein复形。

证毕！

定理2 设 $X$ 是一个复形，则下列陈述等价：

（1） $X$ 是CE VW-Gorenstein复形；

（2）存在 $H o m_{𝒞} (C E (𝒢 (𝒱)), -)$ -正合和 $H o m_{𝒞} (-, C E (𝒢 (𝒲)))$ -正合的CE-正合序列

G = \dots \to G^{- 1} \to G^{0} \to G^{1} \to \dots,

使得 $X ≅ I m (G^{0} \to G^{1})$ ，其中， $G^{i}$ 是CE VW-Gorenstein复形。

（3）存在 $H o m_{𝒞} (C E (𝒱), -)$ -正合和 $H o m_{𝒞} (-,$ $C E (𝒲))$

-正合的CE-正合序列

G = \dots \to G^{- 1} \to G^{0} \to G^{1} \to \dots,

其中， $G^{i}$ 是CE VW-Gorenstein复形，使得 $X ≅ I m (G^{0} \to G^{1})$ 。

证明 $(1) \Rightarrow (2)$ 显然成立。

$(2) \Rightarrow (3)$ 。因为 $𝒱 \subseteq 𝒢 (𝒱),$ $𝒲 \subseteq 𝒢 (𝒲),$ 所以 $(2) \Rightarrow (3)$ 成立。

(3) \Rightarrow (1)

。设

G = \dots \to G^{- 1} \to G^{0} \to G^{1} \to \dots

是 $H o m_{𝒞} (C E (𝒱), -)$ -正合和 $H o m_{𝒞} （ -,$ $C E (𝒲) ）$ -正合的CE-正合序列，使得 $X ≅ I m (G^{0} \to G^{1})$ ，其中 $G^{i}$ 是CE VW-Gorenstein复形。于是对任意的 $n \in Z$ ，存在正合序列

G_{n} = \dots \to G_{n}^{- 1} \to G_{n}^{0} \to G_{n}^{1} \to \dots,

使得 $X_{n} ≅ I m (G_{n}^{0} \to G_{n}^{1})$ ，其中 $G_{n}^{i} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。类似于定理1 $(3) \Rightarrow (1)$ 的证明，知 $G_{n}$ 既是Hom（V，-）-正合的又是Hom（-，W）-正合的。因此，由文献［4］定理4.2，知 $X_{n} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。

由条件，知存在正合序列

B_{n} (G) = \dots \to B_{n} (G_{}^{- 1}) \to B_{n} (G_{}^{0}) \to B_{n} (G_{}^{1}) \to \dots,

其中 $B_{n} (G_{}^{i}) \in$ $𝒢 (𝒱 𝒲)$ ，使得 $B_{n} (X) ≅$ $I m (B_{n} (G_{}^{0}) \to B_{n} (G_{}^{1}))$ 。对任意的 $i \in Z$ ，在正合序列

0 \to H_{n} (G^{i}) \to G_{n}^{i} / [B_{n} (G^{i})] \to B_{n - 1} (G^{i}) \to 0

中， $H_{n} (G^{i}), B_{n - 1} (G^{i}) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ ，故由文献［4］推论3.8，知 $G_{n}^{i} / [B_{n} (G^{i})] \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。于是对任意的 $W \in 𝒲$ ，由文献［4］命题3.5，有正合序列

$\begin{array}{l} 0 \to H o m (G_{n} / [B_{n} (G)], W) \to H o m (G_{n}, W) \to \\ H o m (B_{n} (G), W) \to 0 。 \end{array}$ 因为 $\underset{̲}{W} [n] \in C E (𝒲)$ ，所以 $H o m_{𝒞} (G, \underset{̲}{W} [n])$ 正合，故由文献［14］引理3.1，知 $H o m (G_{n} / [B_{n} (G)], W)$ 正合。又因为 $H o m (G_{n}, W)$ 正合，所以 $H o m (B_{n} (G), W)$ 正合。设 $V \in 𝒱$ ，注意到在正合序列

0 \to Z_{n} (G) \to G_{n} \to B_{n - 1} (G) \to 0

中， $Z_{n} (G^{i}) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ ，所以由文献［4］中命题3.5，有正合序列

\begin{array}{l} 0 \to H o m (V, Z_{n} (G)) \to H o m (V, G_{n}) \to \\ H o m (V, B_{n - 1} (G)) \to 0 。 \end{array}

因为 $H o m_{𝒞} (\underset{̲}{V} [n], G)$ 正合，所以 $H o m (V, Z_{n} (G))$ 正合。又因为 $H o m (V, G_{n})$ 正合，所以 $H o m (V, B_{n - 1} (G))$ 正合。于是由文献［4］定理4.2，知 $B_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。

又因为在正合序列

0 \to Z_{n} (G) \to G_{n} \to B_{n - 1} (G) \to 0

中， $B_{n - 1} (G^{i}) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ ，所以对任意的 $W \in 𝒲$ ，由文献［4］命题3.5，有正合序列

\begin{array}{l} 0 \to H o m (B_{n - 1} (G), W) \to H o m (G_{n}, W) \to \\ H o m (Z_{n} (G), W) \to 0 。 \end{array}

由于 $H o m (B_{n - 1} (G), W)$ 和 $H o m (G_{n}, W)$ 正合，所以 $H o m (Z_{n} (G), W)$ 正合。进而由正合序列

\begin{array}{l} 0 \to H o m (H_{n} (G), W) \to H o m (Z_{n} (G), W) \to \\ H o m (B_{n} (G), W) \to 0 ， \end{array}

知 $H o m (H_{n} (G), W)$ 正合。又因为V⊥W，所以 $E x t^{1} (H_{n} (X), W) = 0$ ，于是由文献［4］推论3.11，可得 $H_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。

综上，对任意的 $n \in Z,$ 有 $B_{n} (X), H_{n} (X) \in$ $𝒢 (𝒱 𝒲)$ 。因此由定理1，知 $X$ 是CE VW-Gorenstein复形。

证毕！

推论1 设 $X$ 是复形，则 $X$ 是CE VW-Gorenstein复形当且仅当存在 $H o m_{𝒞} (C E (𝒱), -)$ -正合和 $H o m_{𝒞} (-, C E (𝒲))$ -正合的CE-正合序列

\dots \to U^{- 1} \to U^{0} \to U^{1} \to \dots,

其中， $U^{i} \in C E (𝒱) ⋃$ $C E (𝒲)$ ，使得 $X ≅ I m (U^{0} \to U^{1})$ 。

证明 $\Rightarrow$ 由定理1可证得。下证 $\Leftarrow$ 。

因为 $𝒱, 𝒲 \subseteq 𝒢 (𝒱 𝒲)$ ，所以 $C E (𝒱) ⋃$ $C E (𝒲) \subseteq$ $C E (𝒢 (𝒱 𝒲))$ 。由定理2，知 $X$ 是CE VW-Gorenstein复形。

（下转第页）

证毕！

由推论1，可得

推论2 设 $X$ 是CE VW-Gorenstein复形，则在 $X$ 的完备CE VW-分解中，每个态射的核均为CE VW-Gorenstein复形。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.002

参考文献

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文献年度倒序

文中引用次数倒序

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VW-Gorenstein categories

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[本文引用: 4]

Gorenstein injective and projective modules

1995

... 作为双边Noether环上G-维数为零的有限生成模的推广和对偶，ENOCHS等^［1］在一般环上引入了Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的概念.自此，以Gorenstein投射模和Gorenstein内射模为主要研究对象的Gorenstein同调代数备受关注.作为Gorenstein投射模和Gorenstein内射模的统一推广，SATHER-WAGSTAFF等^［2］和GENG等^［3］研究了W-Gorenstein模，其中W为自正交模类；进一步，ZHAO等^［4］研究了VW-Gorenstein模，其中V，W是2个模类.Gorenstein投射（内射）模，

G_{C}

-投射（内射）模^［5-7］、W-Gorenstein模、Auslander类中的模和Bass类中的模^［8］为VW-Gorenstein模的特例. ...

... （3）当V=W时，VW-Gorenstein模为W-Gorenstein模^［2-3］.特别地，当

𝒱 = 𝒲 = 𝒫 (R)

(ℐ (R))

时，VW-Gorenstein模为Gorenstein投射（内射）

R

-模^［1］； ...

Stability of Gorenstein categories

2008

G_{C}

-投射（内射）模^［5-7］、W-Gorenstein模、Auslander类中的模和Bass类中的模^［8］为VW-Gorenstein模的特例. ...

... （3）当V=W时，VW-Gorenstein模为W-Gorenstein模^［2-3］.特别地，当

𝒱 = 𝒲 = 𝒫 (R)

(ℐ (R))

时，VW-Gorenstein模为Gorenstein投射（内射）

R

-模^［1］； ...

W-Gorenstein modules

2011

G_{C}

-投射（内射）模^［5-7］、W-Gorenstein模、Auslander类中的模和Bass类中的模^［8］为VW-Gorenstein模的特例. ...

... （3）当V=W时，VW-Gorenstein模为W-Gorenstein模^［2-3］.特别地，当

𝒱 = 𝒲 = 𝒫 (R)

(ℐ (R))

时，VW-Gorenstein模为Gorenstein投射（内射）

R

-模^［1］； ...

... 注2 （1）由文献［3］注记2.3（4）、文献［6］命题2.6和文献［8］命题5.2，知

𝒱 = 𝒫 (S),

𝒲 = 𝒫_{C} (S)

满足条件（*）.对偶地，

𝒱 = ℐ_{C} (R), 𝒲 = ℐ (R)

满足条件（*）； ...

... （3）由文献［3］注记2.3（4）和文献［8］引理4.1、命题5.2、推论6.1，知

𝒱 = 𝒫 (R), 𝒲 = ℐ_{C} (R)

满足条件（*）； ...

... （4）由文献［3］注记2.3（4）和文献［8］引理4.1、命题5.2、推论6.1，知

𝒱 = 𝒫_{C} (S), 𝒲 = ℐ (S)

满足条件（*）. ...

VW-Gorenstein categories

2016

G_{C}

-投射（内射）模^［5-7］、W-Gorenstein模、Auslander类中的模和Bass类中的模^［8］为VW-Gorenstein模的特例. ...

... 受文献［4，11-13］的启发，本文研究CE VW-Gorenstein复形. ...

... 定义3^［4］设V，W是2个模类.如果存在Hom（V，-）-正合和Hom（-，W）-正合的正合序列： ...

...

(2) \Rightarrow (3)

.设

n \in Z

，因为

B_{n} (X), H_{n} (X) \in

𝒢 (𝒱 𝒲)

，所以由文献［4］推论4.6，知存在正合序列 ...

... 其中，

W_{n}^{'}, W_{n}^{''} \in 𝒲,

T_{n}^{'}, T_{n}^{''} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

.由文献［4］命题3.5，知正合序列 ...

... 且由文献［4］推论3.8，知

T_{n}^{} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

.注意到正合序列 ...

... 其中，

W_{n}^{1} = W_{n}^{'} \oplus W_{n}^{''} \oplus W_{n - 1}^{'}

.由上面的构造知，

W^{1} \in C E (𝒲) ， X^{1} \in C E (𝒢 (𝒱 𝒲))

，并且由文献［4］命题3.5和文献［12］引理3.13，知序列 ...

... 任取

V \in 𝒱

，则

H o m (V, Z_{n} (U))

正合.因为V⊥W，所以

E x t^{1} (V, Z_{n} (X)) = 0

，于是由文献［4］推论3.11，得

Z_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

.注意到正合序列 ...

... 知

H o m (H_{n} (U), W)

正合.又因为V⊥W，所以

E x t^{1} (H_{n} (X), W) = 0

.从而由文献［4］推论3.11，可得

H_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

. ...

... 使得

X_{n} ≅ I m (G_{n}^{0} \to G_{n}^{1})

，其中

G_{n}^{i} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

.类似于定理1

(3) \Rightarrow (1)

的证明，知

G_{n}

既是Hom（V，-）-正合的又是Hom（-，W）-正合的.因此，由文献［4］定理4.2，知

X_{n} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

. ...

... 中，

H_{n} (G^{i}), B_{n - 1} (G^{i}) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

，故由文献［4］推论3.8，知

G_{n}^{i} / [B_{n} (G^{i})] \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

.于是对任意的

W \in 𝒲

，由文献［4］命题3.5，有正合序列 ...

... ，由文献［4］命题3.5，有正合序列 ...

... 中，

Z_{n} (G^{i}) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

，所以由文献［4］中命题3.5，有正合序列 ...

... 因为

H o m_{𝒞} (\underset{̲}{V} [n], G)

正合，所以

H o m (V, Z_{n} (G))

正合.又因为

H o m (V, G_{n})

正合，所以

H o m (V, B_{n - 1} (G))

正合.于是由文献［4］定理4.2，知

B_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

. ...

... 中，

B_{n - 1} (G^{i}) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

，所以对任意的

W \in 𝒲

，由文献［4］命题3.5，有正合序列 ...

... 知

H o m (H_{n} (G), W)

正合.又因为V⊥W，所以

E x t^{1} (H_{n} (X), W) = 0

，于是由文献［4］推论3.11，可得

H_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

. ...

Semi-dualizing modules and related Gorenstein homological dimensions

2006

G_{C}

-投射（内射）模^［5-7］、W-Gorenstein模、Auslander类中的模和Bass类中的模^［8］为VW-Gorenstein模的特例. ...

Gorenstein projective dimension with respect to a semidualizing module

2010

... 注2 （1）由文献［3］注记2.3（4）、文献［6］命题2.6和文献［8］命题5.2，知

𝒱 = 𝒫 (S),

𝒲 = 𝒫_{C} (S)

满足条件（*）.对偶地，

𝒱 = ℐ_{C} (R), 𝒲 = ℐ (R)

满足条件（*）； ...

Gorenstein projective dimension relative to a semidualizing bimodule

2013

G_{C}

-投射（内射）模^［5-7］、W-Gorenstein模、Auslander类中的模和Bass类中的模^［8］为VW-Gorenstein模的特例. ...

... 注1 （1）当

𝒱 = 𝒫 (S), 𝒲 = 𝒫_{C} (S)

时，VW-Gorenstein模为

G_{C}

-投射

S

-模^［7］； ...

... （2）当

𝒱 = ℐ_{C} (R), 𝒲 = ℐ (R)

时，VW-Gorenstein模为

G_{C}

-内射

R

-模^［7］； ...

Foxby equivalence over associative rings

2007

G_{C}

-投射（内射）模^［5-7］、W-Gorenstein模、Auslander类中的模和Bass类中的模^［8］为VW-Gorenstein模的特例. ...

... 设

R, S

为有单位元的结合环，除特别说明外，下文讨论的均为左

R

-模或左

S

-模和左

R

-模或左

S

-模的复形.用C表示模的复形范畴，投射、内射左

R

-模类分别记为

𝒫 (R)

和

ℐ (R)

.设

{}_{S} C_{R}

是一个半对偶

(S, R)

-双模，

𝒫_{C} (S)

，

ℐ_{C} (R)

分别表示

C

-投射左

S

-模类和

C

-内射左

R

-模类；相对于

C

的Auslander类和Bass类分别记为

𝒜_{C} (R)

和

ℬ_{C} (S)

^［8］. ...

... （4）当

𝒱 = 𝒫 (R), 𝒲 = ℐ_{C} (R)

时，

𝒢

（VW）=

𝒜_{C} (R)

^［8］； ...

... （5）当

𝒱 = 𝒫_{C} (S), 𝒲 = ℐ (S)

时，

𝒢

（VW）=

ℬ_{C} (S)

^［8］. ...

... 注2 （1）由文献［3］注记2.3（4）、文献［6］命题2.6和文献［8］命题5.2，知

𝒱 = 𝒫 (S),

𝒲 = 𝒫_{C} (S)

满足条件（*）.对偶地，

𝒱 = ℐ_{C} (R), 𝒲 = ℐ (R)

满足条件（*）； ...

... （3）由文献［3］注记2.3（4）和文献［8］引理4.1、命题5.2、推论6.1，知

𝒱 = 𝒫 (R), 𝒲 = ℐ_{C} (R)

满足条件（*）； ...

... （4）由文献［3］注记2.3（4）和文献［8］引理4.1、命题5.2、推论6.1，知

𝒱 = 𝒫_{C} (S), 𝒲 = ℐ (S)

满足条件（*）. ...

1956

... CARTAN等^［9］引入了复形的一类投射分解和一类内射分解.VERDIER^［10］分别称其为复形的Cartan-Eilenberg（CE）-投射分解和CE-内射分解，并提出了CE-投射复形与CE-内射复形的概念.ENOCHS^［11］进一步研究了CE-投射复形和CE-内射复形，证明了每个复形都有CE-投射预覆盖和CE-内射包络，复形的CE-投射分解（CE-内射分解）就是由CE-投射预覆盖（CE-内射包络）给出的复形的CE-正合序列，同时，研究了CE-Gorenstein投射（内射）复形，证明了CE-Gorenstein投射（内射）复形的2种定义方式等价.设W是一个模类，LIANG等^［12］和LU等^［13］用不同方法研究了CE W-Gorenstein复形，证明了如果W自正交，则CE W-Gorenstein复形有完备CE W-分解. ...

des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes

1996

Cartan-Eilenberg complexes and resolutions

2011

... 受文献［4，11-13］的启发，本文研究CE VW-Gorenstein复形. ...

... 定义1^［11］设W是一个模类，

X

是一个复形.如果对任意的

n \in Z

，有

X_{n}, Z_{n} (X), B_{n} (X),

H_{n} (X) \in

W，则称

X

是CE W-复形. ...

... 定义2^［11］如果 ...

... 设V，W是2个模类，

X

是一个复形.由定义1，如果对任意的

n \in Z

，有

X_{n}, Z_{n} (X), B_{n} (X),

H_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

，则称

X

是CE VW-Gorenstein复形.由注1，知CE

G_{C}

-投射

S

-复形、CE

G_{C}

-内射

R

-复形、CE W-Gorenstein复形^［12］、CE Gorenstein 投射（内射）复形^［11］、CE

𝒜_{C} (R)

-复形和CE

ℬ_{C} (S)

-复形为CE VW-Gorenstein复形的特例. ...

Stability of Cartan-Eilenberg Gorenstein categories

2014

... 设V，W是2个模类，

X

是一个复形.由定义1，如果对任意的

n \in Z

，有

X_{n}, Z_{n} (X), B_{n} (X),

H_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

，则称

X

是CE VW-Gorenstein复形.由注1，知CE

G_{C}

-投射

S

-复形、CE

G_{C}

-内射

R

-复形、CE W-Gorenstein复形^［12］、CE Gorenstein 投射（内射）复形^［11］、CE

𝒜_{C} (R)

-复形和CE

ℬ_{C} (S)

-复形为CE VW-Gorenstein复形的特例. ...

... 其中，

W_{n}^{1} = W_{n}^{'} \oplus W_{n}^{''} \oplus W_{n - 1}^{'}

.由上面的构造知，

W^{1} \in C E (𝒲) ， X^{1} \in C E (𝒢 (𝒱 𝒲))

，并且由文献［4］命题3.5和文献［12］引理3.13，知序列 ...

A note on Cartan-Eilenberg Gorenstein categories

2015

... 受文献［4，11-13］的启发，本文研究CE VW-Gorenstein复形. ...

The flat model structure on Ch（R）

2004

... 使得

X_{n} ≅ I m (V_{n}^{0} \to W_{n}^{1})

，其中

V_{n}^{i} \in 𝒱,

W_{n}^{j} \in 𝒲

.设

V \in 𝒱, W \in 𝒲

，则

\bar{V} [n - 1] \in

C E (𝒱),

\bar{W} [n] \in

C E (𝒲)

，故复形

H o m_{𝒞} (\bar{V} [n - 1], U)

和

H o m_{𝒞} (U, \bar{W} [n])

正合.由文献［14］引理3.1，知

H o m (V, U_{n})

和

H o m (U_{n}, W)

正合.因此，对任意的

n \in Z

，有

X_{n} \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

. ...

... 因为

\underset{̲}{W} [n] \in C E (𝒲)

，所以

H o m_{𝒞} (U, \underset{̲}{W} [n])

正合，于是由文献［14］引理3.1，知

H o m (U_{n} / B_{n} (U), W)

正合.又由上述讨论，知

H o m (U_{n}, W)

正合，故

H o m (B_{n} (U), W)

正合.设

V \in 𝒱

，因为V⊥V，W⊥W，所以正合序列 ...

... 由于

H o m_{𝒞} (\underset{̲}{V} [n], U)

正合，由文献［14］引理3.1，可得

H o m (V, Z_{n} (U))

正合.又由上述讨论，知

H o m (V, U_{n})

正合，故

H o m (V, B_{n - 1} (U))

正合，所以

B_{n} (X) \in 𝒢 (𝒱 𝒲)

. ...

...

\begin{array}{l} 0 \to H o m (G_{n} / [B_{n} (G)], W) \to H o m (G_{n}, W) \to \\ H o m (B_{n} (G), W) \to 0 . \end{array}

因为

\underset{̲}{W} [n] \in C E (𝒲)

，所以

H o m_{𝒞} (G, \underset{̲}{W} [n])

正合，故由文献［14］引理3.1，知

H o m (G_{n} / [B_{n} (G)], W)

正合.又因为

H o m (G_{n}, W)

正合，所以

H o m (B_{n} (G), W)

正合.设

V \in 𝒱

，注意到在正合序列 ...

〈

〉