一般旋转曲面方程研究

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.001

一般旋转曲面方程研究

丁尚文^,^,

合肥工业大学宣城校区基础部，安徽宣城 242000

Study on the equation of general rotating surface

DING Shangwen^,^,

收稿日期: 2022-03-01

基金资助:

安徽省2020年省级教学质量与教学改革工程项目. 2020jyxm1486

Received: 2022-03-01

作者简介 About authors

丁尚文（1981—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-5956-3324，男，博士，讲师，主要从事大学数学课程与教学研究，E-mail：dshou1@126.com. , E-mail：dshou1@126.com

摘要

旋转曲面方程是高等数学中向量代数与空间解析几何教学的重点内容之一。现有的高等数学教材较多涉及与坐标轴共面的曲线绕坐标轴旋转所成的曲面方程求解问题。以坐标平面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程为基础，通过寻找2个坐标系之间的姿态和相对位置，利用方向角和转轴公式推导了空间曲线绕定直线旋转所成的一般旋转曲面方程。提出的一般旋转曲面方程求解方法是对旋转曲面方程教学内容的有益补充，具有一定的参考价值。

关键词： 旋转曲面 ; 转轴公式 ; 方向角 ; 方向余弦

Abstract

The equation of rotating surface is one of the key contents in the teaching of vector algebra and spatial analytic geometry in higher mathematics. The existing higher mathematics textbooks mostly concern the solution methods of the surface equation formed by the rotation of the coplanar curve on the coordinate plane around the coordinate axis. Based on the equation of the such rotating surfaces, this paper deduces the equation of the general rotating surface formed by rotating a space curve around a fixed space line by using the formula of direction angle and rotation axis. It determines the rotation axis by looking for attitude and its relative position between the two coordinate systems. The method for solving the general equation of rotating surface proposed in this paper not only is a useful supplement to the current teaching content, but also provides a practical reference for constructing the surface rotation.

Keywords： rotating surface ; shaft formula ; direction angle ; directional cosin

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本文引用格式

丁尚文. 一般旋转曲面方程研究. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(6): 651-656 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.001

DING Shangwen. Study on the equation of general rotating surface. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(6): 651-656 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.001

0　引言

旋转曲面方程及其性质是高等数学教学的重要内容。高等数学教材给出了平面曲线绕平面内定直线旋转一周所成的旋转曲面的定义及方程^［1］，主要给出的是旋转轴与坐标轴重合条件下的一类旋转曲面方程^［1-2］。2013年全国硕士研究生入学统一考试（数学一）试卷中出现旋转轴与坐标轴不重合条件下旋转曲面求解试题。对于空间曲线绕任意定直线旋转所成的旋转曲面方程，文献［3］将旋转曲面想象成由空间曲线上的动点围绕定直线旋转一周所成的一系列平行圆堆叠而成，并将平行圆方程和曲线方程联立推导出旋转曲面方程。文献［4］联立平行圆方程和空间曲线方程，并借助多项式理想的Groebner基理论方法对旋转曲面方程组进行去参数化处理^［5］，得到旋转曲面方程。本文以坐标平面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程为基础，通过寻找2个坐标系之间的姿态和相对位置，利用方向角和转轴公式推导空间曲线绕定直线旋转所成的一般旋转曲面方程。

高等数学教材关于旋转曲面的定义及方程的叙述：

定义1^［1-2］平面上曲线 $C$ 绕该平面上一条定直线 $L$ 旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。

结论1^［1-2］若旋转曲面 $Σ$ 是由 $y o z$ 坐标面上的曲线 $C : f (y, z) = 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成（如图1所示），则该旋转曲面 $Σ$ 的方程为 $f (\pm \sqrt[]{x^{2} + y^{2}}, z) = 0$ 。

图1

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图1 平面曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转

Fig.1 Plane curve $C$ revolves around $z$ axis

1　主要结果及其推导

称空间曲线绕定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，拓展了旋转曲面的概念。首先讨论空间曲线与定直线共面条件下，空间曲线绕定直线旋转一周所成的旋转曲面方程的求解问题（简称问题1），然后讨论更具一般性的旋转曲面方程求解问题（分别简称问题2和问题3）。

引理1^［6］设坐标系 $o - x y z$ 和 $o - x^{'} y^{'} z^{'}$ 为具有相同坐标原点的2组直角坐标系（符合右手坐标系规则），又 $o x^{'}$ 轴、 $o y^{'}$ 轴和 $o z^{'}$ 轴在坐标系 $o - x y z$ 下的方向角分别为 $α_{1}$ ， $β_{1}$ ， $γ_{1}$ ； $α_{2}$ ， $β_{2}$ ， $γ_{2}$ ； $α_{3}$ ， $β_{3}$ ， $γ_{3}$ ，设空间一点 $p$ 在坐标系 $o - x y z$ 和 $o - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的坐标分别为 $(x, y, z)$ 和 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ ，则2组坐标之间的关系为

\{\begin{array}{l} x = x^{'} c o s α_{1} + y^{'} c o s α_{2} + z^{'} c o s α_{3} ， \\ y = x^{'} c o s β_{1} + y^{'} c o s β_{2} + z^{'} c o s β_{3} ， \\ x = x^{'} c o s γ_{1} + y^{'} c o s γ_{2} + z^{'} c o s γ_{3} ， \end{array}

（1）

\{\begin{array}{l} x^{'} = x c o s α_{1} + y c o s β_{1} + z c o s γ_{1}, \\ y^{'} = x c o s α_{2} + y c o s β_{2} + z c o s γ_{2}, \\ z^{'} = x c o s α_{3} + y c o s β_{3} + z c o s γ_{3}, \end{array}

（2）

称式（1）和式（2）为坐标变换，简称转轴公式。

问题1 已知空间曲线 $Γ$ 由平面 $π : A x + B y + C z + D = 0$ 和空间曲面 $Σ_{0} : f (x, y, z) = 0$ 相交而成，空间直线 $L$ 的方程为 $\frac{x - X_{0}}{m} = \frac{y - Y_{0}}{n} = \frac{z - Z_{0}}{p}$ ，且 $L$ 在平面 $π$ 上。设旋转曲面 $Σ$ 由曲线 $Γ$ 绕定直线 $L$ 旋转一周而成，求旋转曲面 $Σ$ 的方程。

解在直线 $L$ 上任取一点作为新坐标系的坐标原点 $o^{'}$ ，且设点 $o^{'}$ 在坐标系 $o - x y z$ 下的坐标为 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 。在平面 $π$ 上过点 $o^{'}$ 作垂直于 $L$ 的垂线，并将该垂线选为 $y^{'}$ 轴。 $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴与 $z^{'}$ 轴符合右手坐标系规则，坐标系位置如图2所示。为方便叙述，将文中新坐标系简记为 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ ，原坐标系记为 $o - x y z$ 。分别在 $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴和 $z^{'}$ 轴正方向各取一点 $p_{1}$ ， $p_{2}$ 和 $p_{3}$ ，且有 $o^{'} p_{1} ∥ x^{'}$ 轴， $o^{'} p_{2} ∥ y^{'}$ 轴， $o^{'} p_{3} ∥ z^{'}$ 轴，其中， $∥$ 表示平行或共线。分别对向量 $o^{'} p_{1}$ ， $o^{'} p_{2}$ 和 $o^{'} p_{3}$ 单位化，得到单位向量：

(o^{'} p_{1})^{0} = {c o s α_{1}, c o s β_{1}, c o s γ_{1}}

，

(o^{'} p_{2})^{0} = {c o s α_{2}, c o s β_{2}, c o s γ_{2}}

，

(o^{'} p_{3})^{0} = {c o s α_{3}, c o s β_{3}, c o s γ_{3}}

。

图2

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图2 空间曲线 $Γ$ 绕 $z^{'}$ 轴旋转

Fig.2 Space curve $Γ$ revolves around $z^{'}$ axis

由方向角和方向余弦的定义，知 $α_{1}$ ， $β_{1}$ ， $γ_{1}$ ； $α_{2}$ ， $β_{2}$ ， $γ_{2}$ 和 $α_{3}$ ， $β_{3}$ ， $γ_{3}$ 分别为 $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴、 $z^{'}$ 轴在坐标系 $o - x y z$ 下的方向角。由引理1可得对应的转轴公式为

\{\begin{array}{l} x = x (x', y', z') = x^{'} c o s α_{1} + y^{'} c o s α_{2} + z^{'} c o s α_{3} + x_{0} ， \\ y = y (x', y', z') = x^{'} c o s β_{1} + y^{'} c o s β_{2} + z^{'} c o s β_{3} + y_{0} ， \\ z = z (x', y', z') = x^{'} c o s γ_{1} + y^{'} c o s γ_{2} + z^{'} c o s γ_{3} + z_{0} ， \end{array}

（3）

\{\begin{array}{l} x^{'} = x' (x, y, z) = (x - x_{0}) c o s α_{1} + \\ (y - y_{0}) c o s β_{1} + (z - z_{0}) c o s γ_{1} ， \\ y^{'} = y^{'} (x, y, z) = (x - x_{0}) c o s α_{2} + \\ (y - y_{0}) c o s β_{2} + (z - z_{0}) c o s γ_{2} ， \\ z^{'} = z^{'} (x, y, z) = (x - x_{0}) c o s α_{3} + \\ (y - y_{0}) c o s β_{3} + (z - z_{0}) c o s γ_{3} 。 \end{array}

（4）

将式（3）分别代入平面方程 $π : A x + B y + C z + D = 0$ 和空间曲面方程 $Σ_{0} : f (x, y, z) = 0$ ，联立两方程并消去 $x^{'}$ ，可得空间曲线 $Γ$ 在坐标系 $y^{'} o^{'} z^{'}$ 下的曲线方程，简记为 $g (y^{'}, z^{'}) = 0$ 。旋转曲面 $Σ$ 可由曲线 $Γ$ 绕与 $z^{'}$ 轴重合的直线 $L$ 旋转一周而成。由结论1，可知该旋转曲面方程为

g (\sqrt[]{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}}, z^{'}) = 0

（5）

或

g (- \sqrt[]{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}}, z^{'}) = 0

。（6）

将式（4）代入式（5）或式（6），则得旋转曲面 $Σ$ 在坐标系 $o - x y z$ 下的方程

$g (\sqrt[]{{x^{'}}^{2} (x, y, z) + {y^{'}}^{2} (x, y, z)}, z^{'} (x, y, z)) = 0$ 或 $g (- \sqrt[]{{x^{'}}^{2} (x, y, z) + {y^{'}}^{2} (x, y, z)}, z^{'} (x, y, z)) = 0$ 。

问题2 已知旋转曲面 $Σ$ 由空间曲线 $Γ : \{\begin{array}{l} x = f (t) \\ y = g (t) \\ z = h (t) \end{array}$ $(a \leq t \leq b)$ 绕直线 $L$ ： $\frac{x - X_{0}}{m} = \frac{y - Y_{0}}{n} = \frac{z - Z_{0}}{p}$ 旋转一周而成，求旋转曲面 $Σ$ 的方程。

解若空间曲线 $Γ$ 与空间直线 $L$ 共面，则可采用问题1方法求解旋转曲面 $Σ$ 的方程。若空间曲线 $Γ$ 与空间直线 $L$ 不共面，则按照以下方法求解。

建立新坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ ：在空间直线 $L$ 上任取一点作为新坐标系的原点 $o^{'}$ ，设 $o^{'}$ 在坐标系 $o - x y z$ 下的坐标为 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 。选取直线 $L$ 为 $z^{'}$ 轴，并将过坐标原点 $o^{'}$ 与该直线 $L$ 垂直的直线选为 $y^{'}$ 轴， $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴与 $z^{'}$ 轴符合右手坐标系规则（图3）。在 $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴和 $z^{'}$ 轴正方向各取一点 $p_{1}$ ， $p_{2}$ 和 $p_{3}$ ，得到与坐标轴共线的3个向量 $o^{'} p_{1}$ 、 $o^{'} p_{2}$ 和 $o^{'} p_{3}$ 。对向量 $o^{'} p_{1}$ 、 $o^{'} p_{2}$ 和 $o^{'} p_{3}$ 单位化，得到

图3

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图3 空间曲线 $Γ$ 绕 $z^{'}$ 轴旋转

Fig.3 Space curve $Γ$ revolves around $z^{'}$ axis

(o^{'} p_{1})^{0} = {c o s α_{1}, c o s β_{1}, c o s γ_{1}}

，

(o^{'} p_{2})^{0} = {c o s α_{2}, c o s β_{2}, c o s γ_{2}}

，

(o^{'} p_{3})^{0} = {c o s α_{3}, c o s β_{3}, c o s γ_{3}}

。

由方向角和方向余弦的定义，知 $α_{1}$ ， $β_{1}$ ， $γ_{1}$ ； $α_{2}$ ， $β_{2}$ ， $γ_{2}$ 和 $α_{3}$ ， $β_{3}$ ， $γ_{3}$ 分别为 $x^{'}$ 轴， $y^{'}$ 轴， $z^{'}$ 轴在 $o - x y z$ 系下的方向角。由式（4），可得到空间曲线 $Γ$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的参数方程

\{\begin{array}{l} x^{'} (t) = [f (t) - x_{0}] c o s α_{1} + [g (t) - y_{0}] \times \\ c o s β_{1} + [h (t) - z_{0}] c o s γ_{1} ， \\ y^{'} (t) = [f (t) - x_{0}] c o s α_{2} + [g (t) - y_{0}] \times \\ c o s β_{2} + [h (t) - z_{0}] c o s γ_{2} ， \\ z^{'} (t) = [f (t) - x_{0}] c o s α_{3} + [g (t) - y_{0}] \times \\ c o s β_{3} + [h (t) - z_{0}] c o s γ_{3} ， \end{array}

a \leq t \leq b 。

（7）

空间直线 $L$ 在坐标系 $o - x y z$ 下的方程为 $\frac{x - X_{0}}{m} = \frac{y - Y_{0}}{n} = \frac{z - Z_{0}}{p}$ ，由空间直线 $L$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下为 $z^{'}$ 轴的条件，可知直线 $L$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的方程为 $\frac{x^{'}}{0} = \frac{y^{'}}{0} = \frac{z^{'}}{1}$ 。在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下，假设 $p (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 为旋转曲面 $Σ$ 上的任意一点，其可由空间曲线 $Γ$ 上的点 $p_{0} (x^{'} (t_{0}),$ $y^{'} (t_{0}), z^{'} (t_{0}))$ 绕直线 $L$ 旋转得到。点 $p_{0}$ 的坐标 $(x^{'} (t_{0}), y^{'} (t_{0}), z^{'} (t_{0}))$ 由式（7）得到，即在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下旋转曲面 $Σ$ 对应的参数方程为

\{\begin{array}{l} x^{'} = \sqrt[]{{x^{'}}^{2} (t_{0}) + y'^{2} (t_{0})} c o s θ ， \\ y^{'} = \sqrt[]{{x^{'}}^{2} (t_{0}) + y'^{2} (t_{0})} s i n θ ， \\ z^{'} = z^{'} (t_{0}) ， \end{array}

a \leq t_{0} \leq b, 0 \leq θ < 2 π,

（8）

对参数 $t_{0}, θ$ 消元，可得到一般旋转曲面方程 $H (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = 0$ 。再由式（4），得到在坐标系 $o - x y z$ 下旋转曲面 $Σ$ 的方程

H (x^{'} (x, y, z),

y^{'} (x, y, z),

z^{'} (x, y, z)) = 0

。

问题3 已知旋转曲面 $Σ$ 由空间曲线 $Γ : \{\begin{array}{l} F (x, y, z) = 0 \\ G (x, y, z) = 0 \end{array}$ 绕空间直线 $L$ ： $\frac{x - X_{0}}{m} = \frac{y - Y_{0}}{n} = \frac{z - Z_{0}}{p}$ 旋转一周而成，求此旋转曲面 $Σ$ 的方程。

解方法1 将空间曲线 $Γ$ 一般方程 $\{\begin{array}{l} F (x, y, z) = 0 \\ G (x, y, z) = 0 \end{array}$ 转化为参数方程 $Γ : \{\begin{array}{l} x = f (t) \\ y = g (t) \\ z = h (t) \end{array}$ $(a \leq t \leq b)$ ，用与问题2相同的方法求解。如果转化较烦琐，可用方法2求解。

方法2 与问题2建坐标系方法类似，建立新坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 。设点 $p$ 在坐标系 $o - x y z$ ， $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的坐标分别为 $(x, y, z)$ 和 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ ，由式（3），得到空间曲线 $Γ$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的一般方程

\{\begin{array}{l} F (x (x^{'}, y^{'}, z^{'}), y (x^{'}, y^{'}, z^{'}), z (x^{'}, y^{'}, z^{'})) = 0 ， \\ G (x (x^{'}, y^{'}, z^{'}), y (x^{'}, y^{'}, z^{'}), z (x^{'}, y^{'}, z^{'})) = 0 ， \end{array}

（9）

由空间直线 $L$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下为 $z^{'}$ 轴的条件，可得空间直线 $L$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的方程为 $\frac{x^{'}}{0} = \frac{y^{'}}{0} = \frac{z^{'}}{1}$ 。在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下，假设 $p (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 为旋转曲面 $Σ$ 上的任意一点，且可由空间曲线 $Γ$ 上的点 $p_{0} (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'})$ 绕直线 $L$ 旋转得到。在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下，旋转曲面 $Σ$ 可由空间曲线 $Γ$ 绕 $z^{'}$ 轴旋转一周得到（图3）。因为点 $p (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 、 $p_{0} (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'})$ 到 $z^{'}$ 轴的距离相等，且已知点 $p_{0} (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'})$ 在空间曲线 $Γ$ 上，即旋转曲面 $Σ$ 上的动点 $p$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下满足

\{\begin{array}{l} \sqrt[]{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}} = \sqrt[]{{x_{0}^{'}}^{2} + {y_{0}^{'}}^{2}}, \\ z^{'} = z_{0}^{'}, \\ F (x (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'}), y (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'}), z (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'})) = 0, \\ G (x (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'}), y (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'}), z (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'})) = 0 ， \end{array}

（10）

消去参数 $x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'}$ ，得到关于变量 $x^{'}, y^{'}, z^{'}$ 的方程，将旋转曲面 $Σ$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的方程记为 $H (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = 0$ 。将式（4）代入方程 $H (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = 0$ ，即得到在坐标系 $o - x y z$ 下的旋转曲面方程

H (x^{'} (x, y, z), y^{'} (x, y, z), z^{'} (x, y, z)) = 0

。

2　应用举例

例1 旋转曲面由已知空间曲线 $Γ : \{\begin{array}{l} x - 2 y + 2 z + 2 = 0 \\ z - 2 y + 2 = {(y - 2 z - 1)}^{2} \end{array}$ 绕空间直线 $L : \frac{x - 0}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 0}{- 2}$ 旋转一周生成，求此旋转曲面 $Σ$ 的方程。

解由题中条件，可知空间直线 $L$ 和空间曲线 $Γ$ 在平面 $π : x - 2 y + 2 z + 2 = 0$ 上。选取在空间直线 $L$ 上的点 $p_{0} (0,1, 0)$ 为新坐标系下的坐标原点 $o^{'}$ 。 $z^{'}$ 轴与空间直线 $L$ 重合，在平面 $π$ 上过点 $p_{0} (0,1, 0)$ 作垂直于直线 $L$ 的垂线，并将该垂线取作 $y^{'}$ 轴； $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴与 $z^{'}$ 轴相互垂直，符合右手坐标系规则，见图4。

图4

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图4 空间曲线 $Γ$ 绕 $z^{'}$ 轴旋转

Fig.4 Space curve $Γ$ revolves around $z^{'}$ axis

方便起见，将新坐标系简记为 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ ，原坐标系记为 $o - x y z$ 。在 $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴和 $z^{'}$ 轴正方向各取一点 $p_{1}$ ， $p_{2}$ 和 $p_{3}$ ，且有 $o^{'} p_{1} ∥ x^{'}$ 轴、 $o^{'} p_{2} ∥ y^{'}$ 轴、 $o^{'} p_{3} ∥ z^{'}$ 轴。在原坐标系 $o - x y z$ 下，点 $o^{'}$ 的坐标为 $(0,1, 0)$ ，并将3个向量的坐标分别设为

o^{'} p_{1} = {x_{1}, y_{1} - 1, z_{1}} ，

o^{'} p_{2} = {x_{2}, y_{2} - 1, z_{2}} ，

o^{'} p_{3} = {x_{3}, y_{3} - 1, z_{3}} ，

直线 $L$ 上的方向向量 $s$ 在坐标系 $o - x y z$ 下的坐标可取值为 $s = {2, - 1, - 2}$ 。

因为 $o^{'} p_{3} ∥ s$ ，所以有 ${x_{3}, y_{3} - 1, z_{3}} = λ {2, - 1, - 2}$ ，其中 $λ$ 为参数。令 $λ = 1$ ，则有 $x_{3} = 2$ ， $y_{3} = 0$ ， $z_{3} = - 2$ ，即得到点 $p_{3} (2,0, - 2)$ 和向量 $o^{'} p_{3} = {2, - 1, - 2}$ 。

因为 $o^{'} p_{2} ⊥ s$ 且 $p_{2} \in π$ ，所以有

\{\begin{array}{l} x_{2} - 2 y_{2} + 2 z_{2} + 2 = 0, \\ 2 x_{2} - (y_{2} - 1) - 2 z_{2} = 0, \end{array}

取 $x_{2} = - 1$ ，有 $\{\begin{array}{l} 2 z_{2} - 2 y_{2} + 1 = 0 \\ - 2 z_{2} - y_{2} - 1 = 0 \end{array}$ ，解得 $y_{2} = 0$ ， $z_{2} = - \frac{1}{2}$ ，即得到点 $p_{2} (- 1,0, - \frac{1}{2})$ 和向量 $o^{'} p_{2} = \{- 1, - 1, - \frac{1}{2}\}$ 。

因为 $o^{'} p_{1} ⊥ o^{'} p_{2}$ 且 $o^{'} p_{1} ⊥ o^{'} p_{3}$ ，所以有

\{\begin{array}{l} - x_{1} - (y_{1} - 1) - \frac{1}{2} z_{1} = 0 ， \\ 2 x_{1} - (y_{1} - 1) - 2 z_{1} = 0 ， \end{array}

取 $z_{1} = 2$ ，得到 $x_{1} = 1$ ， $y_{1} = - 1$ ，即得到点 $p_{1} = {1, - 1,2}$ 和向量 $o^{'} p_{1} = {1, - 2,2}$ 。

设 $o^{'} x^{'}$ 轴、 $o^{'} y^{'}$ 轴、 $o^{'} z^{'}$ 轴在坐标系 $o - x y z$ 下的方向角分别为 $α_{1}$ ， $β_{1}$ ， $γ_{1}$ ； $α_{2}$ ， $β_{2}$ ， $γ_{2}$ ； $α_{3}$ ， $β_{3}$ ， $γ_{3}$ ，分别将向量 $o^{'} p_{1} = {1, - 2,2}$ ， $o^{'} p_{2} = \{- 1, - 1, - \frac{1}{2}\}$ ， $o^{'} p_{3} = {2, - 1, - 2}$ 单位化，即得到与 $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴、 $z^{'}$ 轴同向的由方向余弦组成的单位向量：

{c o s α_{1}, c o s β_{1}, c o s γ_{1}} = \{\frac{1}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\},

{c o s α_{2}, c o s β_{2}, c o s γ_{2}} = \{- \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}\},

{c o s α_{3}, c o s β_{3}, c o s γ_{3}} = \{\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}\} 。

设点 $p$ 在坐标系 $o - x y z$ 和 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的坐标分别为 $(x, y, z)$ 和 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ ，它们之间的关系由式（3）得到，为

\{\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} x^{'} - \frac{2}{3} y^{'} + \frac{2}{3} z^{'}, \\ y - 1 = - \frac{2}{3} x^{'} - \frac{2}{3} y^{'} - \frac{1}{3} z^{'}, \\ z = \frac{2}{3} x^{'} - \frac{1}{3} y^{'} - \frac{2}{3} z^{'}, \end{array}

（11）

将式（11）代入空间曲线方程 $Γ : \{\begin{array}{l} x - 2 y + 2 z + 2 = 0 \\ z - 2 y + 2 = {(y - 2 z - 1)}^{2} \end{array}$ ，化简得到空间曲线 $Γ$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的方程 $Γ : \{\begin{array}{l} x^{'} = 0 \\ y^{'} = {z^{'}}^{2} \end{array}$ 。旋转曲面 $Σ$ 由空间曲线 $Γ : \{\begin{array}{l} x - 2 y + 2 z + 2 = 0 \\ z - 2 y + 2 = {(y - 2 z - 1)}^{2} \end{array}$ 绕直线 $L : \frac{x - 0}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 0}{- 2}$ 旋转一周而成，等价于在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下空间曲线 $Γ : \{\begin{array}{l} x^{'} = 0 \\ y^{'} = {z^{'}}^{2} \end{array}$ 绕 $z^{'}$ 轴旋转一周而成。

由结论1，得到旋转曲面 $Σ$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的方程 $\sqrt[]{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}} = {z^{'}}^{2}$ 。

设点 $p$ 在坐标系 $o - x y z$ 和 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的坐标分别为 $(x, y, z)$ 和 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ ，它们之间的关系由式（11）求逆变换得到，为

\{\begin{array}{l} x^{'} = \frac{1}{3} x - \frac{2}{3} (y - 1) + \frac{2}{3} z ， \\ y^{'} = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} (y - 1) - \frac{1}{3} z ， \\ z^{'} = \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} (y - 1) - \frac{2}{3} z ， \end{array}

（12）

将式（12）代入旋转曲面 $Σ$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的方程 $\sqrt[]{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}} = {z^{'}}^{2}$ ，得到旋转曲面 $Σ$ 在坐标系 $o - x y z$ 下的方程

\{{[\frac{1}{3} x - \frac{2}{3} (y - 1) + \frac{2}{3} z]}^{2} + {[- \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} (y - 1) - \frac{1}{3} z]}^{2}\}^{\frac{1}{2}} = {[\frac{2}{3} x - \frac{1}{3} (y - 1) - \frac{2}{3} z]}^{2}

。（13）

例2 已知空间曲线 $Γ : \{\begin{array}{l} x = t \\ y = t \\ z = t \end{array}$ 围绕空间直线 $L : \frac{x - 0}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 0}{- 2}$ 旋转一周，求旋转曲面 $Σ$ 的方程。

解以 $o^{'} (0,1, 0)$ 为新坐标系下的原点，将直线 $L$ 选为 $z^{'}$ 轴。为简化建立坐标系的步骤，选取与例1相同的坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ ，2个坐标系在空间中的位置如图4所示。空间直线 $L$ 在直角坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的方程变为 $L : \frac{x^{'}}{0} = \frac{y^{'}}{0} = \frac{z^{'}}{1}$ 。空间曲线 $Γ$ 在原坐标系 $o - x y z$ 下的参数方程为 $Γ : \{\begin{array}{l} x = t \\ y = t \\ z = t \end{array}$ ，由式（11），得到空间曲线 $Γ$ 在直角坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的方程

\{\begin{array}{l} t = \frac{1}{3} x^{'} - \frac{2}{3} y^{'} + \frac{2}{3} z^{'} ， \\ t - 1 = - \frac{2}{3} x^{'} - \frac{2}{3} y^{'} - \frac{1}{3} z^{'} ， \\ t = \frac{2}{3} x^{'} - \frac{1}{3} y^{'} - \frac{2}{3} z^{'} ， \end{array}

化简后可得在直角坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下空间曲线 $Γ$ 的标准形式参数方程

\{\begin{array}{l} x^{'} = \frac{1}{3} t + \frac{2}{3}, \\ y^{'} = - \frac{5}{3} t + \frac{2}{3}, \\ z^{'} = - \frac{1}{3} t + \frac{1}{3} 。 \end{array}

（14）

旋转曲面 $Σ$ 由空间曲线 $Γ$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下绕直线 $L : \frac{x^{'}}{0} = \frac{y^{'}}{0} = \frac{z^{'}}{1}$ 旋转一周而成，则旋转曲面 $Σ$ 的参数方程为

\{\begin{array}{l} x^{'} = \sqrt[]{{[\frac{1}{3} t + \frac{2}{3}]}^{2} + {[- \frac{5}{3} t + \frac{2}{3}]}^{2}} c o s θ ， \\ y^{'} = \sqrt[]{{[\frac{1}{3} t + \frac{2}{3}]}^{2} + {[- \frac{5}{3} t + \frac{2}{3}]}^{2}} s i n θ ， \\ z^{'} = - \frac{1}{3} t + \frac{1}{3} ， \end{array}

（15）

消去参数 $t$ 和 $θ$ ，得到一般方程

{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2} = (1 - z^{'})^{2} + (1 - 5 z^{'})^{2}

。（16）

由式（12），则可得旋转曲面 $Σ$ 在坐标系 $o - x y z$ 下的一般方程

\begin{array}{l} {[\frac{1}{3} x - \frac{2}{3} (y - 1) + \frac{2}{3} z]}^{2} + \\ {[\frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (y - 1) + \frac{1}{3} z]}^{2} = \\ {[\frac{2}{3} x - \frac{1}{3} (y + 2) - \frac{2}{3} z]}^{2} + \\ {[\frac{10}{3} x - \frac{1}{3} (5 y - 2) - \frac{10}{3} z]}^{2} 。 \end{array}

例3 旋转曲面 $Σ$ 由已知空间曲线 $Γ : \{\begin{array}{l} x^{2} + y - z^{2} = 0 \\ x - y + z + 1 = 0 \end{array}$ 绕直线 $L : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 0}{0} = \frac{z - 1}{1}$ 旋转一周而成，求旋转曲面 $Σ$ 的方程^［4］。

解以 $o^{'} (1,0, 0)$ 为新坐标系下的原点，将直线 $L$ 选为 $z^{'}$ 轴，采用与问题2相同的方法建立坐标系。坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 的位置见图5，将原坐标系记为 $o - x y z$ 。分别在 $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴和 $z^{'}$ 轴正方向各取一点 $p_{1}$ ， $p_{2}$ 和 $p_{3}$ ，点 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的坐标和向量 $o^{'} p_{1}$ ， $o^{'} p_{2}$ ， $o^{'} p_{3}$ 的求解与例1类似，得到 $p_{1} (1,1, 0)$ ， $p_{2} (0,0, 1)$ ， $p_{3} (2,0, 1)$ ， $o^{'} p_{1} = {0,1, 0}$ ， $o^{'} p_{2} = {- 1,0, 1}$ ， $o^{'} p_{3} = {1,0, 1}$ 。分别将向量 $o^{'} p_{1}$ ， $o^{'} p_{2}$ ， $o^{'} p_{3}$ 单位化，得到与 $x^{'}$ 轴、 $y^{'}$ 轴和 $z^{'}$ 轴同向的由方向余弦组成的单位向量 ${0,1, 0}$ ， $\{- \frac{1}{\sqrt[]{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt[]{2}}\}$ 和 $\{\frac{1}{\sqrt[]{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt[]{2}}\}$ 。设点 $p$ 在坐标系 $o - x y z$ 和 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的坐标分别为 $(x, y, z)$ 和 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ ，它们之间的关系可由式（3）和式（4）得到，分别为：

\{\begin{array}{l} x - 1 = - \frac{1}{\sqrt[]{2}} y^{'} + \frac{1}{\sqrt[]{2}} z^{'} ， \\ y = x^{'} ， \\ z = \frac{1}{\sqrt[]{2}} y^{'} + \frac{1}{\sqrt[]{2}} z^{'} ， \end{array}

（17）

\{\begin{array}{l} x^{'} = y ， \\ y^{'} = - \frac{1}{\sqrt[]{2}} (x - 1) + \frac{1}{\sqrt[]{2}} z ， \\ z^{'} = \frac{1}{\sqrt[]{2}} (x - 1) + \frac{1}{\sqrt[]{2}} z 。 \end{array}

（18）

图5

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图5 空间曲线 $Γ$ 绕 $z^{'}$ 轴旋转

Fig.5 Space curve $Γ$ revolves around $z^{'}$ axis

空间曲线 $Γ$ 在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的方程由式（17）得到，化简后为 $\{\begin{array}{l} x^{'} = 2 + \sqrt[]{2} z^{'} \\ (\sqrt[]{2} + 2 z^{'}) y^{'} = 3 + 2 \sqrt[]{2} z^{'} \end{array}$ 。在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下，假设 $p (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 为旋转曲面 $Σ$ 上的任意一点，且可由空间曲线 $Γ$ 上的点 $p_{0} (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'})$ 绕直线 $L$ 旋转得到。在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下，旋转曲面 $Σ$ 可由空间曲线 $Γ$ 绕 $z^{'}$ 轴旋转一周而成（图5）。由点 $p (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 和 $p_{0} (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'})$ 到 $z^{'}$ 轴的距离相等且点 $p_{0} (x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'})$ 在空间曲线 $Γ$ 上，建立方程组

\{\begin{array}{l} \sqrt[]{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}} = \sqrt[]{{x_{0}^{'}}^{2} + {y_{0}^{'}}^{2}}, \\ z^{'} = z_{0}^{'}, \\ x_{0}^{'} = 2 + \sqrt[]{2} z_{0}^{'}, \\ (\sqrt[]{2} + 2 z_{0}^{'}) y_{0}^{'} = 3 + 2 \sqrt[]{2} z_{0}^{'}, \end{array}

（19）

消去变量 $x_{0}^{'}, y_{0}^{'}, z_{0}^{'}$ ，得到在坐标系 $o^{'} - x^{'} y^{'} z^{'}$ 下的旋转曲面 $Σ$ 方程

\begin{array}{l} (\sqrt[]{2} + 2 z^{'})^{2} {x^{'}}^{2} + (\sqrt[]{2} + 2 z^{'})^{2} {y^{'}}^{2} = \\ (\sqrt[]{2} + 2 z^{'})^{2} (2 + \sqrt[]{2} z^{'})^{2} + (3 + 2 \sqrt[]{2} z^{'})^{2} \end{array}

。（20）

将式（18）代入式（20），得到在坐标系 $o - x y z$ 下的旋转曲面 $Σ$ 方程

1 + 4 x + 5 x^{2} + 6 x^{3} + x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + 4 z + 10 x z + 14 x^{2} z + 8 x^{3} z - 4 x y^{2} z + 5 z^{2} + 10 x z^{2} + 14 x^{2} z^{2} - 2 y^{2} z^{2} + 2 z^{3} + 8 x z^{3} + z^{4} = 0

。

3　结论

讨论了空间曲线 $Γ$ 与定直线 $L$ 共面和不共面条件下，空间曲线 $Γ$ 绕定直线 $L$ 旋转一周所成的旋转曲面方程的求解方法。利用向量的方向角寻找2个坐标系之间的姿态是求解一般旋转曲面方程的新教学工具。本研究是对旋转曲面方程教学内容的有益补充。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.06.001

参考文献

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文献年度倒序

文中引用次数倒序

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2020

... 旋转曲面方程及其性质是高等数学教学的重要内容.高等数学教材给出了平面曲线绕平面内定直线旋转一周所成的旋转曲面的定义及方程^［1］，主要给出的是旋转轴与坐标轴重合条件下的一类旋转曲面方程^［1-2］.2013年全国硕士研究生入学统一考试（数学一）试卷中出现旋转轴与坐标轴不重合条件下旋转曲面求解试题.对于空间曲线绕任意定直线旋转所成的旋转曲面方程，文献［3］将旋转曲面想象成由空间曲线上的动点围绕定直线旋转一周所成的一系列平行圆堆叠而成，并将平行圆方程和曲线方程联立推导出旋转曲面方程.文献［4］联立平行圆方程和空间曲线方程，并借助多项式理想的Groebner基理论方法对旋转曲面方程组进行去参数化处理^［5］，得到旋转曲面方程.本文以坐标平面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程为基础，通过寻找2个坐标系之间的姿态和相对位置，利用方向角和转轴公式推导空间曲线绕定直线旋转所成的一般旋转曲面方程. ...

... ［1-2］.2013年全国硕士研究生入学统一考试（数学一）试卷中出现旋转轴与坐标轴不重合条件下旋转曲面求解试题.对于空间曲线绕任意定直线旋转所成的旋转曲面方程，文献［3］将旋转曲面想象成由空间曲线上的动点围绕定直线旋转一周所成的一系列平行圆堆叠而成，并将平行圆方程和曲线方程联立推导出旋转曲面方程.文献［4］联立平行圆方程和空间曲线方程，并借助多项式理想的Groebner基理论方法对旋转曲面方程组进行去参数化处理^［5］，得到旋转曲面方程.本文以坐标平面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程为基础，通过寻找2个坐标系之间的姿态和相对位置，利用方向角和转轴公式推导空间曲线绕定直线旋转所成的一般旋转曲面方程. ...

... 定义1^［1-2］平面上曲线

C

绕该平面上一条定直线

L

旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. ...

... 结论1^［1-2］若旋转曲面

Σ

是由

y o z

坐标面上的曲线

C : f (y, z) = 0

绕

z

轴旋转一周所成（如图1所示），则该旋转曲面

Σ

的方程为

f (\pm \sqrt[]{x^{2} + y^{2}}, z) = 0

. ...

2020

... 定义1^［1-2］平面上曲线

C

绕该平面上一条定直线

L

旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. ...

... 结论1^［1-2］若旋转曲面

Σ

是由

y o z

坐标面上的曲线

C : f (y, z) = 0

绕

z

轴旋转一周所成（如图1所示），则该旋转曲面

Σ

的方程为

f (\pm \sqrt[]{x^{2} + y^{2}}, z) = 0

. ...

2019

... 定义1^［1-2］平面上曲线

C

绕该平面上一条定直线

L

旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. ...

... 结论1^［1-2］若旋转曲面

Σ

是由

y o z

坐标面上的曲线

C : f (y, z) = 0

绕

z

轴旋转一周所成（如图1所示），则该旋转曲面

Σ

的方程为

f (\pm \sqrt[]{x^{2} + y^{2}}, z) = 0

. ...

2019

... 定义1^［1-2］平面上曲线

C

绕该平面上一条定直线

L

旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. ...

... 结论1^［1-2］若旋转曲面

Σ

是由

y o z

坐标面上的曲线

C : f (y, z) = 0

绕

z

轴旋转一周所成（如图1所示），则该旋转曲面

Σ

的方程为

f (\pm \sqrt[]{x^{2} + y^{2}}, z) = 0

. ...

旋转曲面及其方程

2017

旋转曲面及其方程

2017

关于旋转曲面方程的注记

2020

... 例3 旋转曲面

Σ

由已知空间曲线

Γ : \{\begin{array}{l} x^{2} + y - z^{2} = 0 \\ x - y + z + 1 = 0 \end{array}

绕直线

L : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 0}{0} = \frac{z - 1}{1}

旋转一周而成，求旋转曲面

Σ

的方程^［4］. ...

关于旋转曲面方程的注记

2020

... 例3 旋转曲面

Σ

由已知空间曲线

Γ : \{\begin{array}{l} x^{2} + y - z^{2} = 0 \\ x - y + z + 1 = 0 \end{array}

绕直线

L : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 0}{0} = \frac{z - 1}{1}

旋转一周而成，求旋转曲面

Σ

的方程^［4］. ...

2005

2002

... 引理1^［6］设坐标系

o - x y z

和

o - x^{'} y^{'} z^{'}

为具有相同坐标原点的2组直角坐标系（符合右手坐标系规则），又

o x^{'}

轴、

o y^{'}

轴和

o z^{'}

轴在坐标系

o - x y z

下的方向角分别为

α_{1}

，

β_{1}

，

γ_{1}

；

α_{2}

，

β_{2}

，

γ_{2}

；

α_{3}

，

β_{3}

，

γ_{3}

，设空间一点

p

在坐标系

o - x y z

和

o - x^{'} y^{'} z^{'}

下的坐标分别为

(x, y, z)

和

(x^{'}, y^{'}, z^{'})

，则2组坐标之间的关系为 ...

2002

... 引理1^［6］设坐标系

o - x y z

和

o - x^{'} y^{'} z^{'}

为具有相同坐标原点的2组直角坐标系（符合右手坐标系规则），又

o x^{'}

轴、

o y^{'}

轴和

o z^{'}

轴在坐标系

o - x y z

下的方向角分别为

α_{1}

，

β_{1}

，

γ_{1}

；

α_{2}

，

β_{2}

，

γ_{2}

；

α_{3}

，

β_{3}

，

γ_{3}

，设空间一点

p

在坐标系

o - x y z

和

o - x^{'} y^{'} z^{'}

下的坐标分别为

(x, y, z)

和

(x^{'}, y^{'}, z^{'})

，则2组坐标之间的关系为 ...

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