基于四元数尺度函数的边缘检测方法

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.005

基于四元数尺度函数的边缘检测方法

胡晓晓^,^,¹, 程冬²

1.温州医科大学第一临床医学院（信息与工程学院）附属第一医院，浙江温州 325000

2.北京师范大学珠海校区数学与数学教育研究中心，广州珠海 519087

The edge detection based on the quaternion scale function

HU Xiaoxiao^,^,¹, CHENG Dong²

1.The First School of Medicine，School of Information and Engineering，The First Affiliated Hospital of Wenzhou Medical University，Wenzhou Medical University，Wenzhou 325000，Zhejiang Province，China

2.Research Center for Mathematics and Mathematics Education，Beijing Normal University，Zhuhai，Zhuhai 519087，Guangzhou Province，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1866-0413，E-mail：huxiaoxiao@wmu.edu.cn.

收稿日期: 2021-03-25

基金资助:

温州市科技局资助项目.  G2020031
浙江省教育厅一般科研项目.  Y202147071
温州医科大学博士启动基金项目.  QTJ18012
广东省基础与应用基础研究基金项目.  2019A1515111185

Received: 2021-03-25

作者简介 About authors

胡晓晓（1984—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1866-0413，女，博士，讲师，主要从事四元数分析和应用研究. , E-mail：huxiaoxiao@wmu.edu.cn

摘要

四元数解析信号是解析信号在四元数意义下的推广，其由原信号、四元数方向Hilbert变换和四元数交叉项Hilbert交换构成。通过四元数解析信号的极坐标表示，可得信号的特征表示，如局部相位角和局部振幅，其中局部相位角包含信号的结构信息。研究了右四元数解析信号，给出了其二维延拓定理，得到右四元数尺度函数，并将其局部特征应用于彩色图像的边缘检测，提出了基于局部相位角和局部振幅的边缘检测方法，通过对比实验，证明了基于局部相位角的边缘检测方法在抗噪上具有鲁棒性。

关键词： 右边四元数傅里叶变换（QFT） ; 解析信号 ; 局部相位角 ; 局部衰减 ; 泊松算子

Abstract

The quaternion analytic signal is a generalization of analytic signal in the quaternion sense. It is constructed by an original signal and its quaternion partial and total Hilbert transforms. The signal feature representation can be provided by the polar form of the quaternion analytic signal, such as the local amplitude and local phase angle, the latter includes the structural information of the original signal. The aim of this work is to study the quaternion analytic signal associate with right-sided quaternion Fourier transform and it applications. Firstly, quaternion analytic signal associate with right-sided quaternion Fourier transform is defined. By using Possion operator, the quaternion analytic signal is extended to the quaternion scale function. The quaternion scale function provides the signal features representation. At last, three novel types of phase and amplitude-based edge detectors are proposed. Comparisons with competing methods on real-world images consistently show the superiority of the proposed methods.

Keywords： right-sided quaternion Fourier transform (QFT) ; analytical signal ; local phase angle ; local attenuation ; Poisson operator

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本文引用格式

胡晓晓, 程冬. 基于四元数尺度函数的边缘检测方法. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(5): 549-554 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.005

HU Xiaoxiao, CHENG Dong. The edge detection based on the quaternion scale function. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(5): 549-554 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.005

1886年，HAMILTON^［1］提出了四元数代数（又称超复数），与向量表示高维信号不同，四元数代数不仅可简洁地表示高维信号，而且可很好地表达高维信号各分量之间的相关性，因此四元数代数已成为数学与工程领域的热门研究方向^［2-4］，四元数傅里叶变换（quaternion Fourier transform，QFT）是处理四元数的有利工具，由于四元数的乘法具有不可交换性，因此根据四元数函数与四元数傅里叶核的位置关系，将其分为右边QFT、左边QFT、双边QFT三类^［5］，QFT被广泛用于图像处理和信号处理^［6-8］。1999年，SOMMER^［9］提出与双边QFT相关的四元数解析信号的概念，此后，四元数解析信号被用于高维信号处理^［10-13］。BERNSTEIN等^［12］通过对原实信号做方向Hilbert变换（partial Hilbert transform，PHT）和交叉项Hilbert变换（total Hilbert transform，THT），得到四元数解析信号的3个虚单位分量，定义了双边QFT意义下二维四元数解析信号。同时用四元数解析信号的极坐标表示，定义了其局部特征，实验表明，方向Hilbert变换和交叉项Hilbert变换可以很好地保存图片的结构信息。PEI等^［14］证明了交叉项Hilbert变换能进行角点检测，根据相位的定义，四元数解析信号的相位角包含原信号的结构信息，其模（振幅）包含原信号的能量信息，受此启发，HU等^［13］提出了双边QFT意义下的四元数解析信号的延拓定理，以及具有2个尺度变量的四元数解析函数。基于此，本文研究与右边QFT相关的右四元数解析信号的延拓定理，得到了相应的四元数尺度函数。

1　预备知识

1.1　解析信号和局部特征

定义1 设 $f (x)$ 为实信号，对 $f (x)$ 进行Hilbert变换后，得到 $f (x)$ 的解析信号，记作 $f_{A} (x)$ ：

f_{A} (x) : = f (x) + i H [f] (x),

其中， $H [f] (x)$ 为 $f (x)$ 的Hilbert变换，定义为

H [f] (x) : = \frac{1}{π} p . v . \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{f (s)}{x - s} d s = \frac{1}{π} \underset{ε \to 0^{+}}{l i m} \int_{ε \leq |x - s|} \frac{f (s)}{x - s} d s,

（1）

其中， $p . v .$ 表示柯西主值。假设积分存在， $f (x)$ 的柯西主值积分存在。

定义2 给定一个解析信号 $f_{A} (x) = f (x) + i H [f] (x)$ ，其极坐标形式为

f_{A} (x) = M e^{i θ}

，（2）

其中， $M : = |f_{A}| = \sqrt[]{f^{2} + {|H [f]|}^{2}}$ 为局部振幅，包含原信号 $f (x)$ 的能量信息； $θ : = a r c t a n (\frac{|H [f]|}{f})$ 为局部相位角， $θ \in [0, π]$ ，包含原信号 $f (x)$ 的结构信息。

1.2　右边QFT

将 $ℍ$ 记作四元数哈密尔顿偏场，四元数是复数的自然推广，形式为

q : = q_{0} + i q_{1} + j q_{2} + k q_{3}

，（3）

其中， $q_{n} \in R, n = 0,1, 2,3$ ， $\{i, j, k\}$ 是3个虚数单位，遵循哈密尔顿乘法法则，有 $i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1$ 。四元数 $q$ 的实部记为 $S c [q] : = q_{0}$ ，虚部记为 $\underset{̲}{q} : = i q_{1} + j q_{2} + k q_{3}$ ，其共轭定义为 $\bar{q} : = q_{0} - i q_{1} - j q_{2} - k q_{3}$ ，其模为 $|q| : = \sqrt[]{q \bar{q}} = \sqrt[]{\bar{q} q} = \sqrt[]{q_{0}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2}}$ 。

另设 $L^{p} (R^{2}, ℍ)$ 为定义在 $R^{2}$ 上的四元数线性空间：

\begin{array}{l} L^{p} (R^{2}, ℍ) = \\ \{f| f : R^{2} \to ℍ, {‖f‖}_{p} : = {(\int_{R^{2}} {‖f‖}^{p} d x_{1} d x_{2})}^{\frac{1}{p}} < \infty\}, \end{array}

其中，正整数 $p \geq 1$ 。由式（3）得到的四元数函数 $f : R^{2} \to ℍ$ 可表示为

f (x, y) = f_{0} (x, y) + f_{1} (x, y) i + f_{2} (x, y) j + f_{3} (x, y) k ，

其中， $f_{n} \in R^{2} \to R, n = 0,1, 2,3 。$

本文研究右边QFT：

F [f] (ω_{1}, ω_{2}) : = \int_{R^{2}} f (x_{1}, x_{2}) e^{- i ω_{1} x_{1}} e^{- j ω_{2} x_{2}} d x_{1} d x_{2} 。

2　右四元数解析信号

解析信号的高维推广研究已有很多^{［9-10，12-13，15］}。

定义3 四元数方向Hilbert变换（QPHT） $H_{1}$ 和四元数交叉项Hilbert变换（QTHT） $H_{2}$ 定义如下：

H_{1} [f (\cdot, y)] (x) : = \frac{1}{π} p . v . \int_{R} \frac{f (t, y)}{x - t} d t

，

H_{1} [f (x, \cdot)] (y) : = \frac{1}{π} p . v . \int_{R} \frac{f (x, t)}{y - t} d t

，

H_{2} [f] (y) : = \frac{1}{π^{2}} p . v . \iint_{R^{2}}^{} \frac{f (s, t)}{(x - s) (y - t)} d s d t

，

其中， $f \in L^{p} (R^{2}, ℍ), p \geq 1$ 。

利用QPHT和QTHT定义右四元数解析信号（right quaternion analytic signal，RQAS）。

定义4 令 $f \in L^{p} (R^{2}, ℍ),$ 则 $f (x)$ 的右四元数解析信号 $f_{q}$ 定义为

\begin{array}{l} f_{q} (x_{1}, x_{2}) : = f (x_{1}, x_{2}) + H_{1} [f (\cdot, x_{2})] (x_{1}) i + \\ H_{1} [f (- x_{1}, \cdot)] (x_{2}) j + H_{2} [f] (- x_{1}, x_{2}) i j 。 \end{array}

定理1 令 $f \in L^{p} (R^{2}, ℍ), p \geq 1$ ，则

F [f_{q}] (ω_{1}, ω_{2}) = [1 + s g n (ω_{1})] [1 + s g n (ω_{2})] F [f] (ω_{1}, ω_{2}) 。

证明分别对 $H_{1} [f (\cdot, x_{2})] (x_{1}) i$ ， $H_{1} [f (- x_{1}, \cdot)] (x_{2}) j$ ， $H_{2} [f] (- x_{1}, x_{2}) i j$ 做右边QFT，可得

\begin{array}{l} F [H_{1} [f (\cdot, x_{2})] (x_{1}) i] (ω_{1}, ω_{2}) = \\ \frac{1}{π} \int_{R^{2}} \int_{R} \frac{f (t, x_{2})}{x_{1} - t} i d t e^{- i ω_{1} x_{1}} e^{- j ω_{2} x_{2}} d x_{1} d x_{2} = \\ s g n (ω_{1}) F [f] (ω_{1}, ω_{2}) ， \end{array}

（4）

\begin{array}{l} F [H_{1} [f (- x_{1}, \cdot)] (x_{2}) j] (ω_{1}, ω_{2}) = \\ s g n (ω_{2}) F [f] (ω_{1}, ω_{2}) ， \end{array}

（5）

\begin{array}{l} F [H_{2} [f] (- x_{1}, x_{2}) i j] (ω_{1}, ω_{2}) = \\ s g n (ω_{1}) s g n (ω_{2}) F [f] (ω_{1}, ω_{2}) ， \end{array}

（6）

由式（4）~式（6），可得

\begin{array}{l} F [f_{q}] (ω_{1}, ω_{2}) = F [f] (ω_{1}, ω_{2}) + s g n (ω_{1}) \times \\ F [f] (ω_{1}, ω_{2}) + s g n (ω_{2}) F [f] (ω_{1}, ω_{2}) + \\ s g n (ω_{1}) s g n (ω_{2}) F [f] (ω_{1}, ω_{2}) 。 \end{array}

证毕。

引理1^［13］令 $f \in L^{p} (R^{2}, ℍ),$ 利用泊松核 $P_{y_{1}} (x_{1}) : = \frac{y_{1}}{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ 和共轭泊松核 $Q_{y_{1}} (x_{1}) : = \frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ 定义卷积运算：

\begin{array}{l} u (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) : = f * P_{y_{1}} (x_{1}) P_{y_{2}} (x_{2}) = \\ \frac{1}{π^{2}} \iint_{R^{2}}^{} \frac{y_{1} y_{2} f (s, t)}{[y_{_{1}}^{2} + (x_{1} {- s)}^{2}] [y_{2}^{2} + (x_{2} {- t)}^{2}]} d s d t, \end{array}

v_{1} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) : = f * Q_{y_{1}} (x_{1}) P_{y_{2}} (x_{2}) = \frac{1}{π^{2}} \iint_{R^{2}}^{} \frac{x_{1} y_{2} f (s, t)}{[y_{_{1}}^{2} + (x_{1} {- s)}^{2}] [y_{2}^{2} + (x_{2} {- t)}^{2}]} d s d t,

\begin{array}{l} v_{2} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) : = f * P_{y_{1}} (x_{1}) Q_{y_{2}} (x_{2}) = \\ \frac{1}{π^{2}} \iint_{R^{2}}^{} \frac{y_{1} x_{2} f (s, t)}{[y_{_{1}}^{2} + (x_{1} {- s)}^{2}] [y_{2}^{2} + (x_{2} {- t)}^{2}]} d s d t, \end{array}

\begin{array}{l} v_{3} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) : = f * Q_{y_{1}} (x_{1}) Q_{y_{2}} (x_{2}) = \\ \frac{1}{π^{2}} \iint_{R^{2}}^{} \frac{x_{1} x_{2} f (s, t)}{[y_{_{1}}^{2} + (x_{1} {- s)}^{2}] [y_{2}^{2} + (x_{2} {- t)}^{2}]} d s d t ， \end{array}

其中，*表示 $R^{2}$ 上的卷积算子，则有

\underset{(y_{1}, y_{2}) \to (0^{+}, 0^{+})}{l i m} u (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = f (x_{1}, x_{2}) ，

\underset{(y_{1}, y_{2}) \to (0^{+}, 0^{+})}{l i m} v_{1} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = H_{1} [f (\cdot, x_{2})] (x_{1}) ，

\underset{(y_{1}, y_{2}) \to (0^{+}, 0^{+})}{l i m} v_{2} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = H_{1} [f (x_{1}, \cdot)] (x_{2}) ，

\underset{(y_{1}, y_{2}) \to (0^{+}, 0^{+})}{l i m} v_{3} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = H_{2} [f] (x_{1}, x_{2}) 。

给出四元数在 $C_{i j} : = \{(z_{1}, z_{2})| z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + j y_{2}\}$ 上的尺度空间

\begin{array}{l} S (C_{i j}, ℍ) = {f_{q} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2})| f_{q} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = \\ u (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) + v_{1} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) i + \\ v_{2} (- x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) j + v_{3} (- x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) k} ， \end{array}

由引理1，可得右四元数解析信号在 $C_{i j}$ 上的延拓定理。

定理2 令 $f \in L^{p} (R^{2}, ℍ),$ 利用QPHT和QTHT构造相应的右四元数解析信号 $f_{q} (x_{1}, x_{2})$ ，有

\underset{y_{1} \to 0^{+}, y_{2} \to 0^{+}}{l i m} f_{q} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = f_{q} (x_{1}, x_{2})

，

其中， $f_{q} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) \in S (C_{i j}, ℍ) 。$

定义5 设四元数尺度函数 $f_{q} = u + \underset{̲}{v} \in S （ C_{i j}, H ）,$ 则 $f_{q}$ 的极坐标形式为

\begin{matrix} \begin{array}{l} f_{q} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = M (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) \times \\ e^{\frac{\underset{̲}{v}}{|\underset{̲}{v}|} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) θ (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2})} = e^{m (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) + \underset{̲}{p} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2})} ， \end{array} \end{matrix}

其中， $M (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = |f_{q} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2})| = \sqrt[]{u^{2} + {|\underset{̲}{v}|}^{2}}$ 为局部振幅，包含信号 $f (x_{1}, x_{2})$ 的能量信息； $m (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) : = l n M (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2})$ 为局部衰减； $θ （ x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2} ） : = a r c t a n (\frac{|\underset{̲}{v} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2})|}{u (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2})})$ 为局部相位角，包含信号 $f (x_{1}, x_{2})$ 的结构信息。

\underset{̲}{p} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) : = \frac{\underset{̲}{v}}{|\underset{̲}{v}|} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) θ (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2})

为局部相位角的虚部。

3　基于局部相位角和局部振幅的边缘检测方法

方法1 设模为非零的四元数尺度函数 $f_{q} = u + \underset{̲}{v} \in S （ C_{i j}, ℍ ）,$ 其局部相位角为 $θ = a r c t a n \frac{|\underset{̲}{v}|}{u}$ ，对 $θ$ 分别关于坐标变量 $x_{1}, x_{2}$ 求导，可得

\begin{array}{l} \frac{\partial θ}{\partial x_{1}} = \frac{- |\underset{̲}{v}| \frac{\partial u}{\partial x_{1}} + u \frac{\partial |\underset{̲}{v}|}{\partial x_{1}}}{u^{2} + {|\underset{̲}{v}|}^{2}} ， \\ \frac{\partial θ}{\partial x_{2}} = \frac{- |\underset{̲}{v}| \frac{\partial u}{\partial x_{2}} + u \frac{\partial |\underset{̲}{v}|}{\partial x_{2}}}{u^{2} + {|\underset{̲}{v}|}^{2}} 。 \end{array}

记方法1为右四元数差分相位角（right quaternion differential phase angle，RQDPA）。

方法2 设模为非零的四元数尺度函数 $f_{q} = u + \underset{̲}{v} \in S （ C_{i j}, ℍ ）,$ 其局部相位角为 $θ = a r c t a n \frac{|\underset{̲}{v}|}{u}$ ，对 $θ$ 分别关于尺度变量 $y_{1}, y_{2}$ 求导，可得

\begin{array}{l} \frac{\partial θ}{\partial y_{1}} = \frac{- |\underset{̲}{v}| \frac{\partial u}{\partial y_{1}} + u \frac{\partial |\underset{̲}{v}|}{\partial y_{1}}}{u^{2} + {|\underset{̲}{v}|}^{2}} ， \\ \frac{\partial θ}{\partial y_{2}} = \frac{- |\underset{̲}{v}| \frac{\partial u}{\partial y_{2}} + u \frac{\partial |\underset{̲}{v}|}{\partial y_{2}}}{u^{2} + {|\underset{̲}{v}|}^{2}} 。 \end{array}

记方法2为右四元数差分相位一致（right quaternion differential phase congruency，RQDPC）。

方法3 设模为非零的四元数尺度函数 $f_{q} = u + \underset{̲}{v} \in S (C_{i j}, ℍ),$ 其局部衰减为 $m = \frac{1}{2} l n （ u^{2} + {|\underset{̲}{v}|}^{2} ）$ ，对m关于尺度变量 $y_{1}, y_{2}$ 求导，可得

\begin{array}{l} \frac{\partial m}{\partial y_{1}} = \frac{2 u \frac{\partial u}{\partial x_{1}} + 2 |\underset{̲}{v}| \frac{\partial |\underset{̲}{v}|}{\partial x_{1}}}{u^{2} + {|\underset{̲}{v}|}^{2}} ， \\ \frac{\partial m}{\partial y_{2}} = \frac{2 u \frac{\partial u}{\partial x_{2}} + 2 |\underset{̲}{v}| \frac{\partial |\underset{̲}{v}|}{\partial x_{2}}}{u^{2} + {|\underset{̲}{v}|}^{2}} 。 \end{array}

记方法3为右四元数差分局部衰减（right quaternion differential local attenuation，RQDLA）。

3种边缘检测方法的步骤如下：

第1步输入原图 $u (x_{1}, x_{2})$ 。

第2步对原图分别进行泊松算子与共轭泊松算子的卷积运算，得到四元数尺度函数的实部和3个虚部：

u (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = u * P_{y_{1}} (x_{1}) P_{y_{2}} (x_{2}) ，

v_{1} (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = u * Q_{y_{1}} (x_{1}) P_{y_{2}} (x_{2}),

v_{2} (- x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = u * P_{y_{1}} (- x_{1}) Q_{y_{2}} (x_{2}),

v_{3} (- x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = u * Q_{y_{1}} (- x_{1}) Q_{y_{2}} (x_{2}),

尺度变量 $y_{1} = 0.8, y_{2} = 0.8 。$

第3步采用RQDPA，RQDPC，PQDLA 3种边缘检测方法，得到梯度图。

第4步对梯度图进行非极大抑制处理^［16］（r=1.5），缩窄边界。RQDPA，RQDPC，PQDLA的阈值范围分别为［10，25］，［3，4］，［2，4］。

4　实验

以广泛用于图像处理的Candy算子为标准比较RQDPA，RQDPC，RQDLA，改良的差分相位一致（MDPC）^［17］，差分相位一致（DPC）^［18］方法的检验效果。MDPC和DPC均为基于解析信号相位的方法，利用非极大抑制得到更窄的边界，MDPC 的阈值范围为［1.0，3.5］，DPC 的阈值范围为［2.0，3.5］，Candy算子的参数设置为MATLAB默认值。

4.1　边缘检测实验

Lena、房子、辣椒和盒子的原图见图1。用RQDPH，RQDPC，RQDLA，MDPC，DPC分别对4幅图进行边缘检测，以图像处理的指标函数结构相似度（structural similarity，SSIM），特征相似度（feature similarity，FSIM），峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）的值验证各方法的检测效果。RQDPA，RQDPC，RQDLA的尺度变量设为 $y_{1} = 0.8, y_{2} = 0.8$ ，MDPC和DPC的尺度变量设为 $s = 0.5 。$ 各方法的边缘检测结果见图2。由图2知，RQDPA的边缘检测效果与Candy算子最接近，其次是RQDPC。MDPC和DPC的边缘检测效果一般，特别是房子图和盒子图的边缘不够平滑。RQDLA可检测出双边界。表1为5种边缘检测方法与Candy算子的相似度，可知，RQDPA与Candy算子的相似度最高。

图1

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图1 原图

（a） Lena （b）房子（c）辣椒（d）盒子

Fig.1 Original images

图2

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图2 RQDPA， RQDPC， RQDLA， MDPC，DPC，Candy算子的边缘检测结果

Fig. 2 Comparative results of RQDPA，RQDPC，RQDLA，DPC，MDPC，Candy methods on the images

表1 RQDPA，RQDPC，RQDLA，DPC，MDPC与Candy的相似度

Table 1 SSIM，FSIM and PSNR values of RQDPA，RQDPC，RQDLA，MDPC，DPC to Candy

方法	SSIM				FSIM				PSNR
方法	Lena	房子	辣椒	盒子	Lena	房子	辣椒	盒子	Lena	房子	辣椒	盒子
RQDPA	0.505 7	0.653 9	0.516 7	0.715 2	0.931 2	0.941 9	0.975 0	0.959 5	10.279 1	11.317 2	10.435 7	13.802 7
RQDPC	0.406 6	0.572 7	0.455 9	0.577 0	0.906 0	0.930 4	0.915 9	0.932 2	9.920 3	10.612 9	10.030 3	11.778 9
RQDLA	0.356 3	0.504 7	0.356 5	0.490 0	0.893 2	0.914 0	0.900 9	0.901 7	9.156 8	9.725 0	8.774 6	10.225 5
DPC	0.360 3	0.478 0	0.402 0	0.548 1	0.895 1	0.918 3	0.914 6	0.928 7	9.189 1	9.669 4	9.212 8	10.799 2
MDPC	0.356 1	0.477 2	0.399 4	0.549 4	0.893 2	0.916 8	0.912 5	0.928 9	9.221 1	9.750 0	9.284 1	10.993 1

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4.2　抗噪实验

依次对4幅图添加Speckle噪声、Gaussian噪声和Salt and pepper噪声，以FSIM，SSIM，PNSR的值检验各方法在抗噪上的鲁棒性。RQDPA，RQDPC，PQDLA的尺度变量设为 $y_{1} = y_{2} = 5,$ MDPC和DPC的尺度变量为 $s = 5 。$ Lena、房子、辣椒、盒子4幅图的抗噪实验结果见附件（扫二维码查阅）。结果表明，随着各类不同噪声的加入，RQDPA的SSIM，FSIM和PSNR均高于其他方法。RQDPA的抗噪性最好，RQDLA次之。

5　结论

从右边QFT的频域角度出发，利用四元数方向Hilbert变换和四元数交叉项Hilbert变换，构造了右四元数解析信号。先利用泊松算子和共轭泊松算子，将右四元数解析信号延拓至上半空间，得到具有2个尺度变量的四元数尺度函数。再利用四元数尺度函数的极坐标表示，得到信号的局部相位角和局部振幅，其分别包含原信号的结构信息与能量信息。最后关于坐标变量和尺度变量分别求导，得到基于相位角和基于振幅的3种边缘检测方法：RQDPA，RQDPC和RQDLA，通过对比实验，得到RQDPA的边缘检测效果最好，与目前广泛使用的Candy算子的相似度最高，且抗噪性较好。

右边四元数线性正则变换^［5］是右边QFT的推广，参数更多，更复杂和灵活。目前已有研究涉及双边四元数线性正则变换意义下的四元数解析信号，并将其模分别应用于图像的包络和边缘检测^{［10，16］}。进一步，将研究右边四元数线性正则意义下四元数解析信号的延拓定理，并将其局部特征（局部相位）应用于图像处理。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.005

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1866

... 1886年，HAMILTON^［1］提出了四元数代数（又称超复数），与向量表示高维信号不同，四元数代数不仅可简洁地表示高维信号，而且可很好地表达高维信号各分量之间的相关性，因此四元数代数已成为数学与工程领域的热门研究方向^［2-4］，四元数傅里叶变换（quaternion Fourier transform，QFT）是处理四元数的有利工具，由于四元数的乘法具有不可交换性，因此根据四元数函数与四元数傅里叶核的位置关系，将其分为右边QFT、左边QFT、双边QFT三类^［5］，QFT被广泛用于图像处理和信号处理^［6-8］.1999年，SOMMER^［9］提出与双边QFT相关的四元数解析信号的概念，此后，四元数解析信号被用于高维信号处理^［10-13］.BERNSTEIN等^［12］通过对原实信号做方向Hilbert变换（partial Hilbert transform，PHT）和交叉项Hilbert变换（total Hilbert transform，THT），得到四元数解析信号的3个虚单位分量，定义了双边QFT意义下二维四元数解析信号.同时用四元数解析信号的极坐标表示，定义了其局部特征，实验表明，方向Hilbert变换和交叉项Hilbert变换可以很好地保存图片的结构信息.PEI等^［14］证明了交叉项Hilbert变换能进行角点检测，根据相位的定义，四元数解析信号的相位角包含原信号的结构信息，其模（振幅）包含原信号的能量信息，受此启发，HU等^［13］提出了双边QFT意义下的四元数解析信号的延拓定理，以及具有2个尺度变量的四元数解析函数.基于此，本文研究与右边QFT相关的右四元数解析信号的延拓定理，得到了相应的四元数尺度函数. ...

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... 解析信号的高维推广研究已有很多^{［9-10，12-13，15］}. ...

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... 解析信号的高维推广研究已有很多^{［9-10，12-13，15］}. ...

... 引理1^［13］令

f \in L^{p} (R^{2}, ℍ),

利用泊松核

P_{y_{1}} (x_{1}) : = \frac{y_{1}}{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}

和共轭泊松核

Q_{y_{1}} (x_{1}) : = \frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}

定义卷积运算： ...

Short response Hilbert transform for edge detection

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... 第4步对梯度图进行非极大抑制处理^［16］（r=1.5），缩窄边界.RQDPA，RQDPC，PQDLA的阈值范围分别为［10，25］，［3，4］，［2，4］. ...

Edge detection methods based on modi?ed differential phase congruency of monogenic signal

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... 以广泛用于图像处理的Candy算子为标准比较RQDPA，RQDPC，RQDLA，改良的差分相位一致（MDPC）^［17］，差分相位一致（DPC）^［18］方法的检验效果.MDPC和DPC均为基于解析信号相位的方法，利用非极大抑制得到更窄的边界，MDPC 的阈值范围为［1.0，3.5］，DPC 的阈值范围为［2.0，3.5］，Candy算子的参数设置为MATLAB默认值. ...

The monogenic scale-space： A unifying approach to phase-based image processing in scale-space

2004

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