谓词逻辑系统MTL中公式的公理化真度

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.001

谓词逻辑系统MTL $∀$ 中公式的公理化真度

王波^,, 惠小静^,^,, 鲁星

延安大学数学与计算机科学学院, 陕西延安 716000

Axiomatic truth degrees of formula in MTL $∀$ predicate logic system

WANG Bo^,, HUI Xiaojing^,^,, LU Xing

Mathematics and Computer Science College，Yan'an University，Yan'an 716000，Shaanxi Province，China

通讯作者: ORCID：https：//orcid.org/ 0000-0001-6778-2631，E-mail：xhmxiaojing@163.com.

收稿日期: 2022-02-14

基金资助:

国家自然科学基金资助项目. 11471007. 61763045

Received: 2022-02-14

作者简介 About authors

王波（1997—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-9438-2094，男，硕士研究生，主要从事数理逻辑与不确定性推理研究. 。

摘要

命题逻辑及谓词逻辑计量化是逻辑系统的研究热点之一。在左连续三角模的谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中，利用公理化方法提出了MTL $\forall$ 公式的真度，证明了该真度的MP规则、HS规则及交推理规则；同时在谓词逻辑系统MTL $\forall$ 的一阶闭逻辑公式集中引入了相似度和伪距离，证明了关于相似度的一些良好性质，并讨论了逻辑运算关于伪距离的连续性问题。

关键词： 谓词逻辑系统MTL $∀$ ; 公理化真度 ; 相似度 ; 伪距离

Abstract

The quantification of propositional logic and predicate logic is a research hotspot. Based on left continuous triangle norm,the concept of truth degree of formulas in MTL $\forall$ is introduced by the axiomatic method.The MP rule,HS rule and meet inference rules of this truth degree are proved. Meantime,the concept of similarity degree and pseudo-distances of first order closed logic formulas in MTL $\forall$ predicate logic system are introduced,some good properties about similarity degree are proved. Furthermore, the continuity problem of logical operators about this pesudo distance is discussed.

Keywords： predicate logic system MTL $∀$ ; axiomatic truth degree ; similarity degree ; pseudo-distances

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本文引用格式

王波, 惠小静, 鲁星. 谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中公式的公理化真度. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(5): 521-526 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.001

WANG Bo, HUI Xiaojing, LU Xing. Axiomatic truth degrees of formula in MTL $\forall$ predicate logic system. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(5): 521-526 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.001

0　引言

模糊逻辑作为非经典数理逻辑的一个重要分支，是逻辑系统的重要研究方向之一。HÁJEK^［1］受连续三角模结构定理的启发，提出了基本逻辑（BL）的形式系统，将系统BL弱化就形成了系统MTL，系统MTL由ESTEVA等^［2］提出，在此基础上又得到了一些研究成果^［3-4］。

与命题逻辑系统MTL相对应的是谓词逻辑系统MTL $\forall$ ，谓词逻辑系统MTL $\forall$ 包含基本命题逻辑系统MTL和含有量词的公理，目前，计量化研究主要针对命题逻辑系统^［5-7］，也有将前人得到的命题逻辑系统计量化成果运用于命题逻辑系统MTL，再进一步对命题逻辑系统MTL进行计量化研究^［8-10］。因此，对谓词逻辑系统MTL $\forall$ 进行计量化研究是一个重要课题。

命题逻辑计量化从基本概念的程度化入手，引入命题逻辑公式的真度概念，并基于语义方法建立。但在谓词逻辑中，谓词逻辑的语义理论远比命题逻辑复杂，因此，通过语义的方法建立真度的概念难度很大。王国俊^［11］用公理化方法建立了一类一阶逻辑公式的真度理论。本文在此基础上，首先给出谓词逻辑系统MTL $\forall$ 的公理化真度，证明该真度的MP规则、HS规则及交推理规则，其次给出相似度的概念，最后在一阶闭逻辑公式集上引入了伪距离，讨论逻辑运算关于伪距离的连续性问题。

1　预备知识

定义1^［3］　谓词逻辑系统MTL $\forall$ 的公理由MTL的10条公理及带有量词的公理组成。

（1）命题逻辑系统MTL的公理：

（MTL1） $(A \to B) \to ((B \to C) \to (A \to C))$ ；

（MTL2） $A & B \to A$ ；

（MTL3） $A & B \to B & A$ ；

（MTL4） $A \land B \to A$ ；

（MTL5） $A \land B \to B \land A$ ；

（MTL6） $A & (A \to B) \to (A \land B)$ ；

（MTL7a） $(A \to (B \to C)) \to (A & B \to C)$ ；

（MTL7b） $(A & B \to C) \to (A \to (B \to C))$ ；

（MTL8） $((A \to B) \to C) \to (((B \to A) \to C) \to C)$ ；

（MTL9） $0 \to A$ 。

（2）带有量词的公理：

（ $\forall 1$ ） $(\forall x) A (x) \to A (t),$ 其中 $t$ 对于 $A (x)$ 中的 $x$ 可替换；

（ $\exists 1$ ） $A (t) \to (\exists x) A (x),$ 其中 $t$ 对于 $A (x)$ 中的 $x$ 可替换；

（ $\forall 2$ ） $(\forall x) (A \to B) \to (A \to (\forall x) B),$ 其中 $x$ 在 $A$ 中不自由出现；

（ $\exists 2$ ） $(\forall x) (A \to B) \to ((\exists x) A \to B),$ 其中 $x$ 在 $B$ 中不自由出现；

（ $\forall 3$ ） $(\forall x) (A \lor B) \to ((\forall x) A \lor B),$ 其中 $x$ 在 $B$ 中不自由出现。

MTL $\forall$ 的推理规则：

（i） MP规则^［3］，由 $A, A \to B$ 推出 $B$ ；

（ii）推广规则^［3］，由 $A$ 推出 $(\forall x) A$ ；

（iii） HS规则^［2］， $A \to B, B \to C$ 可得 $A \to C$ 。

定理1^［3］　在MTL $\forall$ 中，有：

（1） $(A \to (B \to C)) \to (B \to (A \to C))$ ；

（2） $A \to A$ ；

（3） $(A \to B) \to (A \to A \land B)$ ；

（4） $A \land B \to B, A & B \to A \land B$ ；

（5） $(A \to B) \land (A \to C) \to (A \to B \land C)$ ；

（6） $(A \to B) \to (A \lor B \to B)$ ；

（7） $(A \to B) \to (\neg B \to \neg A)$ ；

（8） $(B \to C) \to ((A \to B) \to (A \to C))$ ；

（9） $A \to (B \to A)$ ；

（10） $A \to A \lor B$ ， $B \to A \lor B$ ；

（11） $(A \to B) \to (A & C \to B & C)$ 。

定义2^［3］　 $A \lor B = ((A \to B) \to B) \land ((B \to$ $A) \to A)$ 。

定义3^［11］　若

（K1）不出现相同谓词符号的 $N$ 个文字的完全闭包的合取的真度等于 $\frac{1}{2^{N}}$ ；

（K2）若 $α$ 是 $Ф$ 中的定理，则 $τ (α) = 1$ ；

（K3） $τ (\neg α) = 1 - τ (α), α \in Ф$ ；

（K4） $τ (α \to β) + τ (α) = τ (β \to α) + τ (β)$ ， $α, β \in Ф$ ；

（K5） $τ (c l (\neg Q)) = 1 - τ (c l Q)$ ；

（K6）在计算公式的真度时，原子公式中的变元可相互替换；

其中， $Ф$ 表示全体不含函数符号的一阶闭逻辑公式集， $α$ ， $β$ 等表示 $Ф$ 中的一阶逻辑公式， $Q$ 表示 $m$ 元谓词符号，则称 $τ : Ф \to [0,1]$ 为公理化真度映射。当 $α \in Ф$ 时，称 $τ (α)$ 为 $α$ 的公理化真度，简称为 $α$ 的 $τ$ -真度或真度。

定义4^［12］　若 $A \to B$ 与 $B \to A$ 均为逻辑有效公式，则称 $A$ 与 $B$ 逻辑等价，记作 $A \approx B$ 。

2　谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中公式的公理化真度

设 $φ$ 为MTL $\forall$ 谓词逻辑系统中一阶闭逻辑公式集，其中 $A$ ， $B$ 等表示 $φ$ 中的一阶闭逻辑公式。

定义5　若

（G1）不出现相同谓词符号的 $N$ 个文字的完全闭包的合取的真度等于 $\frac{1}{2^{N}}$ ；

（G2）若 $A$ 是 $φ$ 中的定理，则 $τ (A) = 1$ ；

（G3） $τ (\neg A) = 1 - τ (A), A \in φ$ ；

（G4） $τ (A \to B) + τ (A) = τ (B \to A) + τ (B)$ ， $A, B \in φ$ ；

（G5） $τ (c l (\neg A)) = 1 - τ (c l A)$ ；

（G6）在计算公式的真度时，原子公式中的变元可相互替换；

则称 $τ : φ \to [0,1]$ 为公理化真度映射。当 $A \in φ$ 时，称 $τ (A)$ 为 $A$ 的公理化真度，简称为 $A$ 的 $τ$ -真度或真度。

命题1　设 $A$ ， $B$ $\in φ$ ，有

（1） $0 \leq τ (A) \leq 1$ ；

（2）若 $A$ 为矛盾式，则 $τ (A) = 0$ ；

（3）若 $A$ 与 $B$ 逻辑等价，则 $τ (A) = τ (B)$ ；

（4）若 $τ (A \to B) = 1$ ，则 $τ (A) \leq τ (B)$ ；

（5） $τ (A \lor B) = τ (A) + τ (B) - τ (A \land B)$ 。

由定义5，易证明命题1成立。

在谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中有与命题逻辑系统MTL中程度化相对应的MP规则、HS规则和交推理规则。

定理2　设 $A$ ， $B$ ， $C$ $\in φ$ ， $a$ ， $b$ $\in [0,1]$ ，有

（1） MP规则：若 $τ (A) \geq a$ ， $τ (A \to B) \geq b$ ，则 $τ (B) \geq a + b - 1$ ；

（2） HS规则：若 $τ (A \to B) \geq a$ ， $τ (B \to C) \geq b$ ，则 $τ (A \to C) \geq a + b - 1$ ；

（3）交推理规则：若 $τ (A \to B) \geq a$ ， $τ (A \to C) \geq b$ ，则 $τ (A \to B \land C) \geq a + b - 1$ 。

证明　（1）由（G4），知 $τ (B) = τ (A \to B) + τ (A) - τ (B \to A)$ 。由命题1（1），知 $τ (B \to A) \leq 1$ 。所以 $τ (B) \geq a + b - 1$ 。

（2）由（MTL1）及（G2），知 $τ ((A \to B) \to$ $((B \to C) \to (A \to C))) = 1$ ，又 $τ (A \to B) \geq a$ ，由定理2（1），得 $τ ((B \to C) \to (A \to C)) \geq 1 + a - 1 = a$ 。又 $τ (B \to C) \geq b$ ，再由定理2（1），得 $τ (A \to C) \geq a + b - 1$ 。

（3）由于交推理规则的证明需用到一个引理，而此引理需借助相似度的概念，因此将在第3节中给出（3）的证明。

推论1　设 $A$ ， $B$ ， $C$ $\in φ$ ，

（1）若 $τ (A) = 1$ ， $τ (A \to B) = 1$ ，则 $τ (B) = 1$ ；

（2）若 $τ (A \to B) = 1$ ， $τ (B \to C) = 1$ ，则 $τ (A \to C) = 1$ ；

（3）若 $τ (A \to B) = 1$ ， $τ (A \to C) = 1$ ，则 $τ (A \to B \land C) = 1$ 。

3　谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中公式的公理化相似度

设 $φ$ 为谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中一阶闭逻辑公式集，其中 $A$ ， $B$ 等表示 $φ$ 中的一阶闭逻辑公式。

定义6　设 $A$ ， $B \in φ$ ，令 $ξ (A, B) = τ ((A \to B) \land$ $(B \to A))$ ，称 $ξ (A, B)$ 为 $A$ 与 $B$ 之间的相似度。

命题2　设 $A$ ， $B$ ， $C$ $\in φ$ ，有

（1） $ξ (A, B) = τ (A \to B) + τ (B \to A) - 1$ ；

（2）若 $A$ 与 $B$ 逻辑等价，则 $ξ (A, B) = 1$ ；

（3） $ξ (A, B) + ξ (B, C) \leq ξ (A, C) + 1$ 。

由定义6和命题1，易证明命题2成立。

定理3　 $ξ (A \lor B, B) = τ (A \to B)$ 。

证明　首先，证明 $(A \lor B \to B) \to (A \to B)$ 是定理。

① $A \to A \lor B$ （定理1（10））；

② $（ A \to A \lor B ） \to （（ A \lor B \to B ） \to （ A \to B ））$ （MTL1）；

③ $(A \lor B \to B) \to (A \to B)$ （①，②，MP规则）。

由（G2）及命题1（4），知 $τ (A \lor B \to B) \leq τ (A \to B)$ 。由定理1（6）、（G2）及命题1（4），知 $τ (A \to B) \leq τ (A \lor B \to B)$ 。所以 $τ (A \to B) = τ (A \lor B \to B)$ 。

其次，证明 $ξ (A \lor B, B) = τ (A \to B)$ 。

由命题2（1），知

ξ (A \lor B, B) = τ (A \lor B \to B) + τ (B \to A \lor B) - 1

。

由定理1（10）及（G2），知 $τ (B \to A \lor B) = 1$ 。

得证。

推论2　 $ξ (A \lor B, A) = τ (B \to A)$ 。

定理4　 $ξ (A \land B, A) = τ (A \to B)$ 。

证明　首先，证明 $(A \to A \land B) \to (A \to B)$ 是定理。

① $A \land B \to B$ （定理1（4））；

② $(A \land B \to B) \to ((A \to A \land B) \to (A \to B))$ （定理1（8））；

③ $(A \to A \land B) \to (A \to B)$ （①，②，MP规则）。

由（G2）及命题1（4），知 $τ (A \to A \land B) \leq τ (A \to B)$ 。由定理1（3）、（G2）及命题1（4），知 $τ (A \to B) \leq τ (A \to A \land B)$ 。所以

τ (A \to B) = τ (A \to A \land B)

。

其次，证明 $ξ (A \land B, A) = τ (A \to B)$ 。

由命题2（1），知

ξ (A \land B, A) = τ (A \land B \to A) + τ (A \to A \land B) - 1

。

由MTL4及（G2），知 $τ (A \land B \to A) = 1$ 。

得证

推论3　 $ξ (A \land B, B) = τ (B \to A)$ 。

例1　计算 $τ (A)$ 的值，其中 $x$ 在 $A$ 中不自由出现。

解　首先，证明 $A \to (\forall x) A$ 是定理。

① $A \to A$ （定理1（2））；

② $(\forall x) (A \to A)$ （①。推广规则）；

③ $(\forall x) (A \to A) \to （ A \to (\forall x) A ）$ （ $\forall 2$ ）；

④ $A \to (\forall x) A$ （②，③， MP规则）。

由（G2），知 $τ (A \to (\forall x) A) = 1$ 。由命题1（4），知 $τ (A) \leq τ ((\forall x) A)$ 。由公理（ $\forall 1$ ）、（G2）及命题1（4），知 $τ （ (\forall x) A ） \leq τ (A)$ 。所以

τ (A) = τ （ (\forall x) A ）

。

由（G1），知 $τ （ (\forall x) A ） = \frac{1}{2}$ 。所以 $τ (A)$ $= \frac{1}{2}$ 。

例2　计算 $τ (A \to B)$ 的值，其中 $x$ 在 $A$ 和 $B$ 中不自由出现。

解　由命题2（1），知

ξ (A \land B, A) = τ (A \land B \to A) + τ (A \to A \land B) - 1

。

由MTL4及（G2），知 $τ (A \land B \to A) = 1$ 。由（G4），知

τ (A \to A \land B) = τ (A \land B \to A) + τ (A \land B) - τ (A)

。

由例1及（G1），知

τ (A \land B) = \frac{1}{4}, τ (A) = \frac{1}{2}

，

其中 $x$ 在 $A$ 和 $B$ 中不自由出现。所以

ξ (A \land B, A) = 1 + 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{4}

。

由定理4，知

τ (A \to B)

= ξ (A \land B, A) = \frac{3}{4}

。

由例2的结果，可知下列引理成立。

引理1　设 $A$ ， $B \in φ$ ，则 $τ (A \to B) = τ (A \land B) - τ (A) + 1$ 。

证明　由引理1，知

τ (A \to B \land C) = τ (A \land B \land C) - τ (A) + 1

。

由命题1（5），知

τ (A \land B \land C) = τ (A \land B) + τ (A \land C) - τ (A \land (B \lor C))

。

所以

τ (A \to B \land C) = τ (A \land B) + τ (A \land C) - τ (A \land (B \lor C)) - τ (A) + 1 。

由MTL4及G2，知

τ ((A \land (B \lor C)) \to A) = 1

，

由命题1（4），知

τ (A \land (B \lor C)) \leq

τ (A)

，

所以

τ (A \to B \land C) \geq τ (A \land B) + τ (A \land C) - τ (A) - τ (A) + 1 = τ (A \land B) - τ (A) + 1 + τ (A \land C) - τ (A) + 1 - 1 。

再由引理1，得

τ (A \to B \land C) \geq τ (A \to B) +

τ (A \to C)

- 1

。

因为 $τ (A \to B) \geq a$ ， $τ (A \to C) \geq b$ ，所以 $τ (A \to B \land C) \geq$ $a + b - 1$ 。

得证。

4　谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中公式的公理化伪距离

设 $φ$ 为谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中一阶闭逻辑公式集，其中 $A$ ， $B$ 等表示 $φ$ 中的一阶闭逻辑公式。

定义7　设 $A$ ， $B \in φ$ ，令 $ρ (A, B) = 1 -$ $ξ (A, B)$ ，称 $ξ (A, B)$ 为 $A$ 与 $B$ 之间的伪距离。

命题3　设 $A$ ， $B$ ， $C$ $\in φ$ ，则 $ρ (A, C) \leq ρ (A, B) + ρ (B, C)$ 。

由命题2（3），易证命题3成立。

引理2　若 $A$ 是定理， $B$ 是定理，则 $A \land B$ 是定理。

证明 ① $A & B \to A \land B$ （定理1（4））；

② $(A & B \to A \land B) \to (A \to (B \to (A \land B)))$ （MTL7b）；

③ $A \to (B \to (A \land B))$ （①，②，MP规则）；

④ $B \to A \land B$ （③，A是定理，MP规则）；

⑤ $A \land B$ （④，B是定理，MP规则）。

引理3　若 $A \to B$ 是定理， $C \to D$ 是定理，则 $A \land C \to B \land D$ 是定理。

证明　① $A \land C \to A$ （MTL4）；

② $A \land C \to B$ （①， $A \to B$ 是定理，HS规则）；

③ $A \land C \to C$ （定理1（4）；

④ $A \land C \to D$ （③， $C \to D$ 是定理，HS规则）；

⑤ $(A \land C \to B) \land (A \land C \to D)$ （②，④，引理2）；

⑥ $((A \land C \to B) \land (A \land C \to D)) \to ((A \land C) \to$ $(B \land D))$ （定理1（5））；

⑦ $A \land C \to B \land D$ （⑤，⑥，MP规则）。

定理5　在谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中，

（1） $φ$ 中的运算 $\neg$ 关于伪距离 $ρ$ 是连续的；

（2） $φ$ 中的运算 $\to$ 关于伪距离 $ρ$ 是连续的；

（3） $φ$ 中的运算 $&$ 关于伪距离 $ρ$ 是连续的。

证明　（1）运算 $\neg$ 关于伪距离 $ρ$ 连续的证明类似于文献［10］中的证明，在此不再重复。

（2）证明运算 $\to$ 关于伪距离 $ρ$ 是连续的。

第1步，证明 $((A_{1} \to B) \to (A_{2} \to B)) \approx (A_{2} \to$ $((A_{1} \to B) \to B))$ 。

由定理1（1）和定义4，易证得上式成立。

第2步，证明

\begin{array}{l} τ ((A_{2} \to A \lor B) \land (A \to A_{2} \lor B)) \leq \\ τ ((A_{2} \to ((A \to B) \to B)) \land \\ (A \to ((A_{2} \to B) \to B))) 。 \end{array}

① $A \lor B = ((A \to B) \to B) \land ((B \to A) \to A)$ （定义2）；

② $(((A \to B) \to B) \land ((B \to A) \to A)) \to ((A \to$ $B) \to B)$ （MTL4）；

③ $A \lor B \to ((A \to B) \to B)$ （①，②，HS规则）；

④ $（ A \lor B \to ((A \to B) \to B)) \to ((A_{2} \to (A \lor B)) \to$ $（ A_{2} \to （（ A \to B ） \to B ）））$ （定理1（8））；

⑤ $(A_{2} \to A \lor B) \to (A_{2} \to ((A \to B) \to B))$ （③，④，MP规则）；

同理， $(A \to A_{2} \lor B) \to (A \to ((A_{2} \to B) \to B))$ 。

⑥ $（（ A_{2} \to A \lor B ） \land （ A \to A_{2} \lor B ）） \to （ A_{2} \to$ $（（ A \to B ） \to B ） \land (A \to ((A_{2} \to B) \to B) ））$ （引理3）；所以由（G2）及命题1（4），知

\begin{array}{l} τ （ （ A_{2} \to A \lor B ） \land （ A \to A_{2} \lor B ） ） \leq τ （ （ A_{2} \to ((A \to B) \to B)) \land \\ (A \to ((A_{2} \to B) \to B)) \end{array}

。

又因为 $τ ((A_{2} \to A) \land (A \to A_{2})) \leq τ ((A_{2} \to A \lor B) \land (A \to A_{2} \lor B))$ （证明过程见文献［12］），且设对任意的 $ε_{1}$ $>$ 0，有自然数 $M_{1}$ ，使得当 $m_{1}$ $>$ $M_{1}$ 时，有 $ρ (A_{n}, A)$ $<$ $ε_{1}$ 。所以

\begin{array}{l} ξ ((A_{n} \to B), (A \to B)) = τ （ （ （ A_{n} \to B ） \to （ A \to B ） ） \land \\ （ （ A \to B ） \to （ A_{n} \to B ） ）) \end{array}

。

由第1和第2步，知 $ξ ((A_{n} \to B),$ $(A \to B))$ $\geq τ ((A \to A_{n}) \land (A_{n} \to A))$ 。因为 $ρ (A_{n}, A) < ε_{1}$ ，所以 $τ ((A_{n} \to A) \land (A \to A_{n})) >$ $1 - ε_{1}$ ，故 $ρ ((A_{n} \to B), (A \to B))$ $<$ $ε_{1}$ 。

第3步，证明

\begin{array}{l} τ ((B \to B_{n}) \land (B_{n} \to B)) \leq τ （ ((A_{n} \to B) \to (A_{n} \to B_{n})) \land \\ （ （ A_{n} \to B_{n} ） \to （ A_{n} \to B ） ） ） \end{array}

。

第3步的证明类似于文献［12］中的证明，在此不再重复。

设对任意的 $ε_{2}$ $>$ 0，有自然数 $M_{2}$ ，使得当 $m_{2}$ $>$ $M_{2}$ 时，有 $ρ (B_{n}, B)$ $<$ $ε_{2}$ ，所以

τ (（ B_{n} \to B ） \land {(B \to B)}_{n}) > 1 - ε_{2}

，

ξ （ （ A_{n} \to B_{n} ）, （ A_{n} \to B ） ）

>

1 - ε_{2}

。

故 $ρ （（ A_{n} \to B_{n} ）, （ A_{n} \to B ））$ $<$ $ε_{2}$ 。

由命题3，知

ρ （ （ A_{n} \to B_{n} ）, （ A \to B ） ） \leq ρ （ （ A_{n} \to B_{n} ）,

（ A_{n} \to B ） ） + ρ （ （ A_{n} \to B ）, （ A \to B ） ） < ε_{1} + ε_{2}

。

所以运算 $\to$ 关于伪距离 $ρ$ 是连续的。

（3）证明运算 $&$ 关于伪距离 $ρ$ 是连续的。

第1步，证明 $τ （（ B_{n} \to B ） \land （ B \to B_{n} ）） \leq τ （（ A_{n} & B_{n} \to$ $A_{n} & B ） \land （ A_{n} & B \to A_{n} & B_{n} ））。$

① $(B_{n} \to B) \to (B_{n} & A_{n} \to B & A_{n})$ （定理1（11））；

② $A_{n} & B_{n} \to B_{n} & A_{n}$ ， $B & A_{n} \to A_{n} & B$ （MTL3）；

③ $(B_{n} \to B) \to (A_{n} & B_{n} \to A_{n} & B)$ （①，②，HS规则）；

④ $(B \to B_{n}) \to (B & A_{n} \to B_{n} & A_{n})$ （定理1（11）；

⑤ $B & A_{n} \to A_{n} & B$ ， $B_{n} & A_{n} \to A_{n} & B_{n}$ （MTL3）；

⑥ $(B \to B_{n}) \to (A_{n} & B \to A_{n} & B_{n})$ （④，⑤，HS规则）；

⑦ $(（ B_{n} \to B ） \land （ B \to B_{n} ）) \to （（ A_{n} & B_{n} \to$ $A_{n} & B ） \land （ A_{n} & B \to A_{n} & B_{n} ））$ （③，⑥，引理3）；

由（G2）及命题1（4），有

τ （ （ B_{n} \to B ） \land （ B \to B_{n} ） ） \leq τ （ （ A_{n} & B_{n} \to A_{n} & B ） \land （ A_{n} & B \to A_{n} & B_{n} ） ）

。

设对任意的 $ε_{4}$ $>$ 0，有自然数 $M_{4}$ ，使得当 $m_{4}$ $>$ $M_{4}$ 时，有 $ρ (B_{n}, B)$ $<$ $ε_{4}$ ，所以

τ ((B_{n} \to B) \land (B \to B_{n})) > 1 - ε_{4}

，

ξ ((A_{n} & B_{n}),

(A_{n} & B))

>

1 - ε_{4}

。

故 $ρ （（ A_{n} & B_{n} ）, （ A_{n} & B ））$ $<$ $ε_{4}$ 。

第2步，证明 $τ （（ A_{n} \to A ） \land （ A \to A_{n} ）) \leq$ $τ （（ A_{n} & B \to A & B ） \land （ A & B \to A_{n} & B ））$ 。

第2步的证明类似于第1步。

设对任意的 $ε_{3}$ $>$ 0，有自然数 $M_{3}$ ，使得当 $m_{3}$ $>$ $M_{3}$ 时，有 $ρ (A_{n}, A)$ $<$ $ε_{3}$ ，所以

τ （ （ A_{n} \to A ） \land （ A \to A_{n} ） ） > 1 - ε_{1}

，

ξ （ （ A_{n} & B ）, （ A & B ） ）

>

1 - ε_{1}

。

故 $ρ （（ A_{n} & B ）, （ A & B ））$ $<$ $ε_{3}$ 。

由命题3，知

ρ ((A_{n} & B_{n}), (A & B)) \leq ρ ((A_{n} & B_{n}), (A_{n} & B)) + ρ ((A_{n} & B), (A & B)) < ε_{3} + ε_{4} 。

所以，运算 $&$ 关于伪距离 $ρ$ 是连续的。

注　在谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中，因 $\land$ 无法再定义，故被称为基本联结词。

定理6　在谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中， $φ$ 中的运算 $\land$ 关于伪距离 $ρ$ 不连续。

证明　设 $ρ (A, B) = 0$ ， $ρ (C, D) = 0$ ，由定义6，知 $ξ (A, B) = 1$ ， $ξ (C, D) = 1$ 。

在命题逻辑系统MTL中，由 $ξ (A, B) = 1$ ，知 $A \approx B$ 。同理， $C \approx D$ 。

① $A \to B$ ， $C \to D$ （定义4）；

② $A \land C \to B \land D$ （引理3）；

③ $B \to A$ ， $D \to C$ （定义4）；

④ $B \land D \to A \land C$ （引理3）；

⑤ $(A \land C \to B \land D) \land (B \land D \to A \land C)$ （②，④，引理2）；

所以由（G2），知

τ ((A \land C \to B \land D) \land

(B \land D \to A \land C)) = 1

。

由定义6和定义7，知 $ρ ((A \land C), (B \land D)) = 0$ 。

在谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中，由命题2（2），知 $ξ (A, B) = 1$ ，不能推得 $A$ 与 $B$ 逻辑等价（见文献［11］命题3的证明），因此不能推出 $(A \land C \to B \land D) \land$ $(B \land D \to A \land C)$ 是定理，所以 $ρ ((A \land C), (B \land D)) > 0$ 。故运算 $\land$ 关于伪距离 $ρ$ 不连续。

综上， $\neg$ ， $\to$ ，&， $\land$ 是谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中4个最基本的联结词，其他联结词均可通过此4个联结词转化。

5　结束语

在文献［11］的基础上，提出了谓词逻辑系统MTL $\forall$ 的公理化真度、公理化相似度和公理化伪距离，研究了谓词逻辑系统MTL $\forall$ 计量逻辑学的有关性质，建立了谓词逻辑系统MTL $\forall$ 逻辑公式的真度理论。如何将该真度理论运用于相容度和扩散度，并给出近似推理机制，使得在谓词逻辑系统MTL $\forall$ 中也能进行近似推理将是下一步的研究重点。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.001

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文献年度倒序

文中引用次数倒序

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... 模糊逻辑作为非经典数理逻辑的一个重要分支，是逻辑系统的重要研究方向之一.HÁJEK^［1］受连续三角模结构定理的启发，提出了基本逻辑（BL）的形式系统，将系统BL弱化就形成了系统MTL，系统MTL由ESTEVA等^［2］提出，在此基础上又得到了一些研究成果^［3-4］. ...

Monoidal t-norm based logic： Towards a logic for left-continuous t-norms

2001

... （iii） HS规则^［2］，

A \to B, B \to C

可得

A \to C

. ...

2013

... 定义1^［3］　谓词逻辑系统MTL

\forall

的公理由MTL的10条公理及带有量词的公理组成. ...

... （i） MP规则^［3］，由

A, A \to B

推出

B

； ...

... （ii）推广规则^［3］，由

A

推出

(\forall x) A

； ...

... 定理1^［3］　在MTL

\forall

中，有： ...

... 定义2^［3］　

A \lor B = ((A \to B) \to B) \land ((B \to

A) \to A)

. ...

2013

... 定义1^［3］　谓词逻辑系统MTL

\forall

的公理由MTL的10条公理及带有量词的公理组成. ...

... （i） MP规则^［3］，由

A, A \to B

推出

B

； ...

... （ii）推广规则^［3］，由

A

推出

(\forall x) A

； ...

... 定理1^［3］　在MTL

\forall

中，有： ...

... 定义2^［3］　

A \lor B = ((A \to B) \to B) \land ((B \to

A) \to A)

. ...

逻辑系统MTL中任意量词的代数研究

2021

逻辑系统MTL中任意量词的代数研究

2021

Borel型概率计量逻辑

2011

... 与命题逻辑系统MTL相对应的是谓词逻辑系统MTL

\forall

，谓词逻辑系统MTL

\forall

包含基本命题逻辑系统MTL和含有量词的公理，目前，计量化研究主要针对命题逻辑系统^［5-7］，也有将前人得到的命题逻辑系统计量化成果运用于命题逻辑系统MTL，再进一步对命题逻辑系统MTL进行计量化研究^［8-10］.因此，对谓词逻辑系统MTL

\forall

进行计量化研究是一个重要课题. ...

Borel型概率计量逻辑

2011

... 与命题逻辑系统MTL相对应的是谓词逻辑系统MTL

\forall

，谓词逻辑系统MTL

\forall

\forall

进行计量化研究是一个重要课题. ...

二值命题逻辑中命题的真度理论

2001

二值命题逻辑中命题的真度理论

2001

多值逻辑系统L_n 中公式相对于有限理论Γ的Camberra-真度理论

2021

... 与命题逻辑系统MTL相对应的是谓词逻辑系统MTL

\forall

，谓词逻辑系统MTL

\forall

\forall

进行计量化研究是一个重要课题. ...

多值逻辑系统L_n 中公式相对于有限理论Γ的Camberra-真度理论

2021

... 与命题逻辑系统MTL相对应的是谓词逻辑系统MTL

\forall

，谓词逻辑系统MTL

\forall

\forall

进行计量化研究是一个重要课题. ...

一阶逻辑中公理化真度研究

2021

... 与命题逻辑系统MTL相对应的是谓词逻辑系统MTL

\forall

，谓词逻辑系统MTL

\forall

\forall

进行计量化研究是一个重要课题. ...

一阶逻辑中公理化真度研究

2021

... 与命题逻辑系统MTL相对应的是谓词逻辑系统MTL

\forall

，谓词逻辑系统MTL

\forall

\forall

进行计量化研究是一个重要课题. ...

MTL代数语义上逻辑公式的概率真度

2015

MTL代数语义上逻辑公式的概率真度

2015

n值S-MTL命题逻辑系统中公式真度的统一理论

2011

... 与命题逻辑系统MTL相对应的是谓词逻辑系统MTL

\forall

，谓词逻辑系统MTL

\forall

\forall

进行计量化研究是一个重要课题. ...

... 证明　（1）运算

\neg

关于伪距离

ρ

连续的证明类似于文献［10］中的证明，在此不再重复. ...

n值S-MTL命题逻辑系统中公式真度的统一理论

2011

... 与命题逻辑系统MTL相对应的是谓词逻辑系统MTL

\forall

，谓词逻辑系统MTL

\forall

\forall

进行计量化研究是一个重要课题. ...

... 证明　（1）运算

\neg

关于伪距离

ρ

连续的证明类似于文献［10］中的证明，在此不再重复. ...

一类一阶逻辑公式中的公理化真度理论及其应用

2012

... 命题逻辑计量化从基本概念的程度化入手，引入命题逻辑公式的真度概念，并基于语义方法建立.但在谓词逻辑中，谓词逻辑的语义理论远比命题逻辑复杂，因此，通过语义的方法建立真度的概念难度很大.王国俊^［11］用公理化方法建立了一类一阶逻辑公式的真度理论.本文在此基础上，首先给出谓词逻辑系统MTL

\forall

的公理化真度，证明该真度的MP规则、HS规则及交推理规则，其次给出相似度的概念，最后在一阶闭逻辑公式集上引入了伪距离，讨论逻辑运算关于伪距离的连续性问题. ...

... 定义3^［11］　若 ...

... 在谓词逻辑系统MTL

\forall

中，由命题2（2），知

ξ (A, B) = 1

，不能推得

A

与

B

逻辑等价（见文献［11］命题3的证明），因此不能推出

(A \land C \to B \land D) \land

(B \land D \to A \land C)

是定理，所以

ρ ((A \land C), (B \land D)) > 0

.故运算

\land

关于伪距离

ρ

不连续. ...

... 在文献［11］的基础上，提出了谓词逻辑系统MTL

\forall

的公理化真度、公理化相似度和公理化伪距离，研究了谓词逻辑系统MTL

\forall

计量逻辑学的有关性质，建立了谓词逻辑系统MTL

\forall

逻辑公式的真度理论.如何将该真度理论运用于相容度和扩散度，并给出近似推理机制，使得在谓词逻辑系统MTL

\forall

中也能进行近似推理将是下一步的研究重点. ...

一类一阶逻辑公式中的公理化真度理论及其应用

2012

\forall

... 定义3^［11］　若 ...

... 在谓词逻辑系统MTL

\forall

中，由命题2（2），知

ξ (A, B) = 1

，不能推得

A

与

B

逻辑等价（见文献［11］命题3的证明），因此不能推出

(A \land C \to B \land D) \land

(B \land D \to A \land C)

是定理，所以

ρ ((A \land C), (B \land D)) > 0

.故运算

\land

关于伪距离

ρ

不连续. ...

... 在文献［11］的基础上，提出了谓词逻辑系统MTL

\forall

的公理化真度、公理化相似度和公理化伪距离，研究了谓词逻辑系统MTL

\forall

计量逻辑学的有关性质，建立了谓词逻辑系统MTL

\forall

逻辑公式的真度理论.如何将该真度理论运用于相容度和扩散度，并给出近似推理机制，使得在谓词逻辑系统MTL

\forall

中也能进行近似推理将是下一步的研究重点. ...

2006

... 定义4^［12］　若

A \to B

与

B \to A

均为逻辑有效公式，则称

A

与

B

逻辑等价，记作

A \approx B

. ...

... 又因为

τ ((A_{2} \to A) \land (A \to A_{2})) \leq τ ((A_{2} \to A \lor B) \land (A \to A_{2} \lor B))

（证明过程见文献［12］），且设对任意的

ε_{1}

>

0，有自然数

M_{1}

，使得当

m_{1}

>

M_{1}

时，有

ρ (A_{n}, A)

<

ε_{1}

.所以 ...

... 第3步的证明类似于文献［12］中的证明，在此不再重复. ...

2006

... 定义4^［12］　若

A \to B

与

B \to A

均为逻辑有效公式，则称

A

与

B

逻辑等价，记作

A \approx B

. ...

... 又因为

τ ((A_{2} \to A) \land (A \to A_{2})) \leq τ ((A_{2} \to A \lor B) \land (A \to A_{2} \lor B))

（证明过程见文献［12］），且设对任意的

ε_{1}

>

0，有自然数

M_{1}

，使得当

m_{1}

>

M_{1}

时，有

ρ (A_{n}, A)

<

ε_{1}

.所以 ...

... 第3步的证明类似于文献［12］中的证明，在此不再重复. ...

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