一类半离散Hilbert型不等式的构造

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.04.005

一类半离散Hilbert型不等式的构造

有名辉

有名辉^,

浙江机电职业技术学院数学教研室, 杭州, 310053, 浙江, China

On the construction of a class of half-discrete Hilbert-type inequalities

YOU Minghui^,

Mathematics Teaching and Research Section，Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering，Hangzhou 310053，China

收稿日期: 2021-08-16

基金资助:

浙江机电职业技术学院科教融合孵化课题. A-0271-21-206

Received: 2021-08-16

作者简介 About authors

有名辉（1982—），ORCID：https：//orcid.org／0000-0002-1993-9558，男，硕士，讲师，主要从事解析不等式研究，E-mail：youminghui@hotmail.com. , E-mail：youminghui@hotmail.com

摘要

通过定义若干参量，构造了包含齐次及非齐次2种形态的半离散型核函数。借助正切函数的无穷级数表示和分析学方法，建立了用余切函数表示常数因子的半离散Hilbert型不等式，且证明了 $| α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})]$ 为最佳常数因子。通过对参量赋值，建立了特殊的齐次及非齐次Hilbert型不等式。

关键词： Hilbert型不等式 ; 无穷级数 ; 余切函数 ; 半离散 ; 最佳常数因子

Abstract

By defining several parameters, a half-discrete kernel function including its homogeneous and non-homogeneous forms is constructed. With the help of infinite series representation of tangent function and some techniques of analysis, a half-discrete Hilbert-type inequality with the constant factor expressed by cotangent function is established, and to prove that $| α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})]$ is the optimal constant factor. In addition, by assigning the parameters different values, some special homogeneous and non-homogeneous Hilbert-type inequalities are established.

Keywords： Hilbert-type inequality ; infinite series ; cotangent function ; half-discrete ; best constant factor

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本文引用格式

有名辉. 一类半离散Hilbert型不等式的构造. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(4): 422-426 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.04.005

YOU Minghui. On the construction of a class of half-discrete Hilbert-type inequalities. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(4): 422-426 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.04.005

1908年，德国数学家HILBERT提出二重级数定理：

若 $a_{n}$ ， $b_{n} > 0$ （ $n \in N^{+}$ ）， $a = {a_{m}}_{m = 1}^{\infty} \in l^{2}$ 且 $b = {b_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in l^{2}$ ，则

$∑ n = 1 ∞ ∑ m = 1 ∞ a m b n m + n < π | | a | | 2 | | b | | 2 。$ （1）

1911年，SCHUR建立了式（1）的积分形式：

若 $f (x)$ ， $g (x) > 0$ 且 $f, g \in L^{2} (R^{+})$ ，则

$∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ f (x) g (y) x + y d x d y < π | | f | | 2 | | g | | 2 。$ （2）

通常，称式（1）和式（2）为Hilbert不等式^［1］，且常数因子 $π$ 为最佳值。此后，HARDY等^［1］通过引入共轭数对 $(p, q)$ ， $1 / p + 1 / q = 1$ ，建立了式（1）和式（2）的推广式。1991年，徐利治等^［2］采用权系数方法改进了经典的Hilbert不等式。1998年后，出现了众多优化权系数的方法，推动了Hilbert型不等式的参数化、一般化、精细化、高维化，并通过构造新的核函数，建立了大量与式（1）和式（2）类似的Hilbert型不等式。其中离散型结果可参见文献［2-7］，积分型结果可参见文献［7-12］。除此之外，杨必成^［13］建立了半离散Hilbert型不等式：

$∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ a n x + n f (x) d x < π | | f | | 2 | | a | | 2$ ，

其中， $f (x), a_{n} > 0$ （ $n \in N^{+}$ ）， $f \in L^{2} (R^{+})$ ， $a = {a_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in l^{2}$ 。其他相关研究可参见文献［14］。

需要指出的是，齐次半离散和齐次离散Hilbert型不等式的处理方法通常是类似的。对于非齐次离散Hilbert型不等式，由于常数因子的最佳性不易证明^［9］，因此通常关注其对应的半离散形态，以建立最佳常数因子的Hilbert型不等式。基于此，本文拟建立非齐次半离散Hilbert型不等式：

$∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ l n 1 + 1 n x a n f (x) d x < 2 π | | f | | 2 | | a | | 2$ ，（3）

$∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ l n 1 + 1 n x + 1 n 2 x 2 a n f (x) d x <$

$23 π | | f | | 2 | | a | | 2 。$ （4）

通过构造一个含有若干参数的半离散型核函数，考虑齐次、非齐次两种情形，借助实分析，建立包含式（3）和式（4）的更一般形式的半离散Hilbert型不等式。

1　引理

引理1　设 $λ_{1} > λ_{2} > 0$ ，当 $z = 1$ 时， $k (z) : = l n \frac{λ_{1}}{λ_{2}}$ ；当 $z \neq 1$ 时， $k (z) : = l n \frac{1 - z^{λ_{1}}}{1 - z^{λ_{2}}}$ ，则 $k (z)$ 在 $R^{+}$ 上单调递增，且 $k (z) > 0$ 。

证明　当 $z \neq 1$ 时，有

k' (z) = \frac{z^{λ_{2} - 1} [λ_{2} - λ_{1} z^{λ_{1} - λ_{2}} + (λ_{1} - λ_{2}) z^{λ_{1}}]}{(1 - z^{λ_{1}}) (1 - z^{λ_{2}})},

记 $h (z) = λ_{2} - λ_{1} z^{λ_{1} - λ_{2}} + (λ_{1} - λ_{2}) z^{λ_{1}}$ ，则 $h' (z) = λ_{1} (λ_{1} - λ_{2}) z^{λ_{1} - λ_{2} - 1} (z^{λ_{2}} - 1)$ ，故当 $0 < z < 1$ 时， $h' (z) < 0$ ；当 $z > 1$ 时， $h' (z) > 0$ 。因此 $h (z)$ 在 $0 < z < 1$ 时单调递减，在 $z > 1$ 时单调递增，故 $h (z) \geq h (1) = 0$ ，从而 $k' (z) > 0$ $(z \neq 1)$ 。因此， $k (z)$ 在 $R^{+}$ 上单调递增，且 $k (z) > k (0) = 0$ 。

证毕。

引理2　设 $a > b > 0$ ， $Φ (u) = c o t u$ ，则

Φ (\frac{b π}{a}) = \frac{a}{π} \sum_{j = 0}^{\infty} (\frac{1}{a j + b} - \frac{1}{a j + a - b}) 。

（5）

证明　当 $| u | < \frac{π}{2}$ 时，将 $φ (u) : = t a n u$ 展开为无穷级数^［15］：

φ (u) = 2 \sum_{j = 0}^{\infty} [\frac{1}{(2 j + 1) π - 2 u} - \frac{1}{(2 j + 1) π + 2 u}] 。

（6）

其中，令 $u = \frac{π}{2} - \frac{b π}{a}$ ，则

\begin{array}{l} Φ (\frac{b π}{a}) = φ (\frac{π}{2} - \frac{b π}{a}) = \\ \frac{a}{π} \sum_{j = 0}^{\infty} (\frac{1}{a j + b} - \frac{1}{a j + a - b}) 。 \end{array}

证毕。

引理3　设 $λ_{1} > λ_{2} > 0 > γ > - λ_{2} > - λ_{1}$ ， $k (z)$ 同引理1，则

\int_{0}^{\infty} k (z) z^{γ - 1} d z = \frac{π}{γ} Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - \frac{π}{γ} Φ (\frac{γ π}{λ_{2}}) 。

（7）

证明　由 $0 > γ > - λ_{2} > - λ_{1}$ ，知

\underset{z \to + \infty}{l i m} \frac{z^{γ}}{γ} k (z) = \underset{z \to 0^{+}}{l i m} \frac{z^{γ}}{γ} k (z) = 0 。

由分部积分，可得

\int_{0}^{\infty} k (z) z^{γ - 1} d z =

\underset{z \to + \infty}{l i m} \frac{z^{γ}}{γ} k (z) - \underset{z \to 0^{+}}{l i m} \frac{z^{γ}}{γ} k (z) +

\frac{1}{γ} \int_{0}^{\infty} (\frac{λ_{1} z^{λ_{1} + γ - 1}}{1 - z^{λ_{1}}} - \frac{λ_{2} z^{λ_{2} + γ - 1}}{1 - z^{λ_{2}}}) d z =

\frac{1}{γ} \int_{0}^{1} (\frac{λ_{1} z^{λ_{1} + γ - 1}}{1 - z^{λ_{1}}} - \frac{λ_{2} z^{λ_{2} + γ - 1}}{1 - z^{λ_{2}}}) d z +

\frac{1}{γ} \int_{1}^{\infty} (\frac{λ_{1} z^{λ_{1} + γ - 1}}{1 - z^{λ_{1}}} - \frac{λ_{2} z^{λ_{2} + γ - 1}}{1 - z^{λ_{2}}}) d z =

\frac{1}{γ} \int_{0}^{1} (\frac{λ_{1} z^{λ_{1} + γ - 1}}{1 - z^{λ_{1}}} - \frac{λ_{2} z^{λ_{2} + γ - 1}}{1 - z^{λ_{2}}}) d z +

\frac{1}{γ} \int_{0}^{1} (\frac{λ_{2} z^{- γ - 1}}{1 - z^{λ_{2}}} - \frac{λ_{1} z^{- γ - 1}}{1 - z^{λ_{1}}}) d z = \frac{I_{1}}{γ} + \frac{I_{2}}{γ} 。

（8）

注意到，当 $0 < z < 1$ 时，可将 $\frac{1}{1 - z^{λ_{1}}}$ 及 $\frac{1}{1 - z^{λ_{2}}}$ 展开为 $z$ 的幂级数，由逐项积分，可得

I_{1} = \sum_{j = 0}^{\infty} \int_{0}^{1} (λ_{1} z^{λ_{1} j + λ_{1} + γ - 1} - λ_{2} z^{λ_{2} j + λ_{2} + γ - 1}) d z =

\sum_{j = 0}^{\infty} (\frac{λ_{1}}{λ_{1} j + λ_{1} + γ} - \frac{λ_{2}}{λ_{2} j + λ_{2} + γ}) 。

（9）

类似可得

I_{2} = \sum_{j = 0}^{\infty} \int_{0}^{1} (λ_{2} z^{λ_{2} j - γ - 1} - λ_{1} z^{λ_{1} j - γ - 1}) d z =

\sum_{j = 0}^{\infty} (\frac{λ_{2}}{λ_{2} j - γ} - \frac{λ_{1}}{λ_{1} j - γ}) 。

（10）

将式（9）和式（10）代入式（8），由式（5），可得

\int_{0}^{\infty} k (z) z^{γ - 1} d z =

\frac{λ_{2}}{γ} \sum_{j = 0}^{\infty} (\frac{1}{λ_{2} j - γ} - \frac{1}{λ_{2} j + λ_{2} + γ}) -

\frac{λ_{1}}{γ} \sum_{j = 0}^{\infty} (\frac{1}{λ_{1} j - γ} - \frac{1}{λ_{1} j + λ_{1} + γ}) =

\frac{π}{γ} Φ (\frac{- γ π}{λ_{2}}) - \frac{π}{γ} Φ (\frac{- γ π}{λ_{1}}) =

\frac{π}{γ} Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - \frac{π}{γ} Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})

。

证毕。

引理4　设 $λ_{1} > λ_{2} > 0 > γ > - λ_{2} > - λ_{1}, α \neq 0 ，$ 　 $β < 0$ 且 $β γ < 1$ 。 $p, q$ 满足 $p > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 。 $k (z)$ 同引理1， ${\tilde{a}}_{n} = n^{β γ - 1 + \frac{β}{q L}}$ ，其中 $L$ 为充分大的自然数。又

\tilde{f} (x) = \{\begin{array}{l} x^{α γ - 1 - \frac{α}{p L}}, x \in Ω ， \\ 0, x \in R^{+} \ Ω ， \end{array}

其中， $Ω = \{x : x > 0, x^{s g n α} > 1\}$ ，则

\tilde{J} : = \sum_{n = 1}^{\infty} {\tilde{a}}_{n} \int_{0}^{\infty} k (x^{α} n^{β}) \tilde{f} (x) d x = \int_{0}^{\infty} \tilde{f} (x) \sum_{n = 1}^{\infty} k (x^{α} n^{β}) {\tilde{a}}_{n} d x > \frac{L}{| α β |} [\int_{0}^{1} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z + \int_{1}^{\infty} k (z) z^{γ - 1 - \frac{1}{p L}} d z] 。

（11）

证明　由于 $L$ 为充分大的自然数， $β γ < 1$ ，故 ${\tilde{a}}_{n}$ 关于 $n$ 单调递减。又 $β < 0$ ，由引理1， $k (x^{α} n^{β})$ 也关于 $n$ 单调递减。令 $x^{α} y^{β} = z$ ，可得

\tilde{J} > \int_{1}^{\infty} \int_{Ω} k (x^{α} y^{β}) x^{α γ - 1 - \frac{α}{p L}} y^{β γ - 1 + \frac{β}{q L}} d x d y =

\frac{1}{| β |} \int_{Ω} x^{- \frac{α}{L} - 1} \int_{0}^{x^{α}} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z d x 。

（12）

若 $α > 0$ ，由Fubini定理，可得

\int_{Ω} x^{- \frac{α}{L} - 1} \int_{0}^{x^{α}} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z d x =

\begin{array}{l} \int_{1}^{\infty} x^{- \frac{α}{L} - 1} \int_{0}^{1} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z d x + \int_{1}^{\infty} x^{- \frac{α}{L} - 1} \int_{1}^{x^{α}} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z d x = \\ \frac{L}{α} \int_{0}^{1} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z + \\ \int_{1}^{\infty} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} \int_{z^{\frac{1}{α}}}^{\infty} x^{- \frac{α}{L} - 1} d x d z = \\ \frac{L}{α} [\int_{0}^{1} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z + \int_{1}^{\infty} k (z) z^{γ - 1 - \frac{1}{p L}} d z] 。 \end{array}

（13）

将式（13）代入式（12），可得式（11）。

类似地，若 $α < 0$ ，则

\int_{Ω} x^{- \frac{α}{L} - 1} \int_{0}^{x^{α}} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z d x =

\int_{0}^{1} x^{- \frac{α}{L} - 1} \int_{0}^{1} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z d x +

\int_{0}^{1} x^{- \frac{α}{L} - 1} \int_{1}^{x^{α}} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z d x =

\frac{L}{| α |} \int_{0}^{1} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z +

\int_{1}^{\infty} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} \int_{0}^{z^{\frac{1}{α}}} x^{- \frac{α}{L} - 1} d x d z =

\frac{L}{| α |} [\int_{0}^{1} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z + \int_{1}^{\infty} k (z) z^{γ - 1 - \frac{1}{p L}} d z] 。

（14）

将式（14）代入式（12），可得式（11）。

证毕。

2　主要结果

定理1　设 $λ_{1} > λ_{2} > 0 > γ > - λ_{2} > - λ_{1}$ ， $α \neq 0$ ， $β < 0$ 且 $β γ < 1$ 。 $p, q$ 满足 $p > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 。 $k (z)$ 同引理1， $Φ (u) = c o t u$ ， $μ (x) = x^{p (1 - α γ) - 1}$ ， $ν_{n} =$ $n^{q (1 - β γ) - 1}$ 。设 $f (x), a_{n} > 0$ 且满足 $f (x) \in L_{μ}^{p} (R^{+})$ ， $a = {a_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in l_{ν}^{q}$ ，则

\begin{array}{l} J : = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \int_{0}^{\infty} k (x^{α} n^{β}) f (x) d x = \\ \int_{0}^{\infty} f (x) \sum_{n = 1}^{\infty} k (x^{α} n^{β}) a_{n} d x < \\ | α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})] \times \\ | | f | |_{p, μ} | | a | |_{q, ν}, \end{array}

（15）

其中， $| α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})]$ 为最佳常数因子。

证明　当 $y \in [n, n + 1)$ ， $n \in N^{+}$ 时，定义 $K (x, y) : = k (x^{α} n^{β})$ ， $g (y) : = a_{n}$ ， $H (y) : = n$ ，由Hölder不等式，有

\begin{array}{l} J = \int_{1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} K （ x, y ） f (x) g (y) d x d y = \\ \int_{1}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} \{{[K (x, y)]}^{\frac{1}{p}} [H {(y)]}^{\frac{β γ - 1}{p}} \times x^{\frac{1 - α γ}{q}} f (x)\} \{{[K (x, y)]}^{\frac{1}{q}} x^{\frac{α γ - 1}{q}} \times \\ [H {(y)]}^{\frac{1 - β γ}{p}} g (y)\} d x d y \leq \\ {\{\int_{0}^{+ \infty} \int_{1}^{+ \infty} K (x, y) [H {(y)]}^{β γ - 1} \times x^{\frac{p (1 - α γ)}{q}} f^{p} (x) d x d y\}}^{\frac{1}{p}} \times \\ {\{\int_{1}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} K (x, y) x^{α γ - 1} \times [H {(y)]}^{\frac{q (1 - β γ)}{p}} g^{q} (y) d x d y\}}^{\frac{1}{q}} = \\ {[\int_{0}^{+ \infty} ω (x) x^{\frac{p (1 - α γ)}{q}} f^{p} (x) d x]}^{\frac{1}{p}} \times \\ {[\sum_{n = 1}^{\infty} \tilde{ω} (n) n^{\frac{q (1 - β γ)}{p}} a_{n}^{q}]}^{\frac{1}{q}} 。 \end{array}

（16）

其中，

\begin{array}{l} ω (x) = \int_{1}^{+ \infty} K （ x, y ） [H {(y)]}^{β γ - 1} d y = \\ \sum_{n = 1}^{\infty} k (x^{α} n^{β}) n^{β γ - 1} ， \end{array}

\tilde{ω} (n) = \int_{0}^{\infty} k (x^{α} n^{β}) x^{α γ - 1} d x 。

注意到， $β < 0$ ， $β γ < 1$ ，由引理1及引理3，可得

\begin{array}{l} ω (x) < \int_{0}^{\infty} k (x^{α} u^{β}) u^{β γ - 1} d u = \\ \frac{x^{- α γ}}{| β |} \int_{0}^{\infty} k (z) z^{γ - 1} d z = \\ \frac{x^{- α γ} π}{| β | γ} [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})] 。 \end{array}

（17）

类似地，可得

\tilde{ω} (n) = \frac{n^{- β γ} π}{| α | γ} [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})] 。

（18）

将式（17）、式（18）代入式（16），可得式（15）。

此外，需证明 $| α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})]$ 为最佳常数因子。用反证法，假设存在常数 $C$ ，

0 < C < | α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})]

，（19）

使得

\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \int_{0}^{\infty} k (x^{α} n^{β}) f (x) d x = \\ \int_{0}^{\infty} f (x) \sum_{n = 1}^{\infty} k (x^{α} n^{β}) a_{n} d x < \\ C | | f | |_{p, μ} | | a | |_{q, ν} 。 \end{array}

（20）

用引理4中定义的 ${\tilde{a}}_{n}$ 和 $\tilde{f} (x)$ 分别替代式（20）中的 $a_{n}$ 和 $f (x)$ ，并记 $\tilde{a} = {\{{\tilde{a}}_{n}\}}_{n = 1}^{\infty}$ ，则

\frac{L}{| α β |} [\int_{0}^{1} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z + \int_{1}^{\infty} k (z) z^{γ - 1 - \frac{1}{p L}} d z] < C | | \tilde{f} | |_{p, μ} | | \tilde{a} | |_{q, ν} = C {(\int_{Ω} x^{- \frac{α}{L} - 1} d x)}^{\frac{1}{p}} {(1 + \sum_{n = 2}^{\infty} n^{\frac{β}{L} - 1})}^{\frac{1}{q}} < C {(L | α |^{- 1})}^{\frac{1}{p}} {(1 + \int_{1}^{\infty} u^{\frac{β}{L} - 1} d u)}^{\frac{1}{q}} = C {(L | α |^{- 1})}^{\frac{1}{p}} (1 + L | β |^{- 1})^{\frac{1}{q}},

即

\begin{array}{l} | α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- 1} {(L^{- 1} + | β |^{- 1})}^{- \frac{1}{q}} \times \\ [\int_{0}^{1} k (z) z^{γ - 1 + \frac{1}{q L}} d z + \int_{1}^{\infty} k (z) z^{γ - 1 - \frac{1}{p L}} d z] < C 。 \end{array}

（21）

由Fatou引理、引理3和式（21），可得

| α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})] \leq C ，

（22）

显然与式（19）矛盾，故 $| α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} \times [Φ (\frac{γ π}{λ_{1}}) - Φ (\frac{γ π}{λ_{2}})]$ 为最佳常数因子。

证毕。

在定理1中，令 $λ_{1} = 2$ ， $λ_{2} = 1$ ，则有

推论1　设 $- 1 < γ < 0$ ， $α \neq 0$ ， $β < 0$ 且 $β γ < 1$ 。 $p, q$ 满足 $p > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 。 $Φ (u) =$ $c o t u,$ $μ (x) = x^{p (1 - α γ) - 1}$ ， $ν_{n} =$ $n^{q (1 - β γ) - 1}$ 。设 $f (x), a_{n} > 0$ 且满足 $f (x) \in$ $L_{μ}^{p} (R^{+})$ ， $a = {a_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in l_{ν}^{q}$ ，则

\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} l n (1 + x^{α} n^{β}) a_{n} f (x) d x < | α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} [Φ (\frac{γ π}{2}) - Φ (γ π)] | | f | |_{p, μ} | | a | |_{q, ν} 。

（23）

令 $α = 1$ ， $β = - 1$ ， $γ = - \frac{1}{2}$ ，则有

\int_{0}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} l n (1 + \frac{x}{n}) a_{n} f (x) d x < 2 π | | f | |_{p, μ} | | a | |_{q, ν} ，

其中， $μ (x) = x^{\frac{3 p}{2} - 1}$ ， $ν_{n} = n^{\frac{q}{2} - 1}$ 。

令 $α = β = - 1$ ， $p = q = 2$ ， $γ = - \frac{1}{2}$ ，可得式（3）。

在定理1中，令 $λ_{1} = 3$ ， $λ_{2} = 1$ ，则有

推论2　设 $- 1 < γ < 0$ ， $α \neq 0$ ， $β < 0$ 且 $β γ < 1$ 。 $p, q$ 满足 $p > 1$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 。 $Φ (u) =$ $c o t u$ ， $μ (x) = x^{p (1 - α γ) - 1}$ ， $ν_{n} =$ $n^{q (1 - β γ) - 1}$ 。设 $f (x), a_{n} > 0$ 且满足 $f (x) \in$ $L_{μ}^{p} (R^{+})$ ， $a = {a_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in l_{ν}^{q}$ ，则

\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} l n (1 + x^{α} n^{β} + x^{2 α} n^{2 β}) a_{n} f (x) d x < | α |^{- \frac{1}{q}} | β |^{- \frac{1}{p}} \frac{π}{γ} [Φ (\frac{γ π}{3}) - Φ (γ π)] | | f | |_{p, μ} | | a | |_{q, ν} 。

（24）

令 $α = 1$ ， $β = - 1$ ， $γ = - \frac{1}{2}$ ，则有

\int_{0}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} l n [1 + \frac{x}{n} + {(\frac{x}{n})}^{2}] a_{n} f (x) d x < 2 \sqrt[]{3} π | | f | |_{p, μ} | | a | |_{q, ν},

其中， $μ (x) = x^{\frac{3 p}{2} - 1}$ ， $ν_{n} = n^{\frac{q}{2} - 1}$ 。

令 $α = β = - 1$ ， $p = q = 2$ ， $γ = - \frac{1}{2}$ ，可得式（4）。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.04.001

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1952

... 通常，称式（1）和式（2）为Hilbert不等式^［1］，且常数因子

π

为最佳值.此后，HARDY等^［1］通过引入共轭数对

(p, q)

，

1 / p + 1 / q = 1

，建立了式（1）和式（2）的推广式.1991年，徐利治等^［2］采用权系数方法改进了经典的Hilbert不等式.1998年后，出现了众多优化权系数的方法，推动了Hilbert型不等式的参数化、一般化、精细化、高维化，并通过构造新的核函数，建立了大量与式（1）和式（2）类似的Hilbert型不等式.其中离散型结果可参见文献［2-7］，积分型结果可参见文献［7-12］.除此之外，杨必成^［13］建立了半离散Hilbert型不等式： ...

... ［1］通过引入共轭数对

(p, q)

，

1 / p + 1 / q = 1

关于Hilbert不等式的Hardy-Riesz拓广的注记

1991

... 通常，称式（1）和式（2）为Hilbert不等式^［1］，且常数因子

π

为最佳值.此后，HARDY等^［1］通过引入共轭数对

(p, q)

，

1 / p + 1 / q = 1

... 类似的Hilbert型不等式.其中离散型结果可参见文献［2-7］，积分型结果可参见文献［7-12］.除此之外，杨必成^［13］建立了半离散Hilbert型不等式： ...

关于Hilbert不等式的Hardy-Riesz拓广的注记

1991

... 通常，称式（1）和式（2）为Hilbert不等式^［1］，且常数因子

π

为最佳值.此后，HARDY等^［1］通过引入共轭数对

(p, q)

，

1 / p + 1 / q = 1

... 类似的Hilbert型不等式.其中离散型结果可参见文献［2-7］，积分型结果可参见文献［7-12］.除此之外，杨必成^［13］建立了半离散Hilbert型不等式： ...

On the extended Hardy-Hilbert's inequality

2002

On the extended Hilbert's inequality

1998

Extension of Hilbert's inequality

2006

离散型Hilbert不等式的推广及应用

2021

离散型Hilbert不等式的推广及应用

2021

2009

... 通常，称式（1）和式（2）为Hilbert不等式^［1］，且常数因子

π

为最佳值.此后，HARDY等^［1］通过引入共轭数对

(p, q)

，

1 / p + 1 / q = 1

... ］，积分型结果可参见文献［7-12］.除此之外，杨必成^［13］建立了半离散Hilbert型不等式： ...

2009

... 通常，称式（1）和式（2）为Hilbert不等式^［1］，且常数因子

π

为最佳值.此后，HARDY等^［1］通过引入共轭数对

(p, q)

，

1 / p + 1 / q = 1

... ］，积分型结果可参见文献［7-12］.除此之外，杨必成^［13］建立了半离散Hilbert型不等式： ...

一个新的零齐次核的Hilbert型积分不等式

2012

一个新的零齐次核的Hilbert型积分不等式

2012

一个

R 2

上含双曲函数核的 Hilbert型不等式

2020

... 需要指出的是，齐次半离散和齐次离散Hilbert型不等式的处理方法通常是类似的.对于非齐次离散Hilbert型不等式，由于常数因子的最佳性不易证明^［9］，因此通常关注其对应的半离散形态，以建立最佳常数因子的Hilbert型不等式.基于此，本文拟建立非齐次半离散Hilbert型不等式： ...

一个

R 2

上含双曲函数核的 Hilbert型不等式

2020

一类具有准齐次核的涉及多个函数的Hilbert型积分不等式

2014

一类具有准齐次核的涉及多个函数的Hilbert型积分不等式

2014

On a new discrete Hilbert-type inequality and its applications

2015

A Hilbert?type integral inequality in the whole plane related to the hypergeometric function and the beta function

2015

... 通常，称式（1）和式（2）为Hilbert不等式^［1］，且常数因子

π

为最佳值.此后，HARDY等^［1］通过引入共轭数对

(p, q)

，

1 / p + 1 / q = 1

一个半离散的Hilbert不等式

2011

... 通常，称式（1）和式（2）为Hilbert不等式^［1］，且常数因子

π

为最佳值.此后，HARDY等^［1］通过引入共轭数对

(p, q)

，

1 / p + 1 / q = 1

一个半离散的Hilbert不等式

2011

... 通常，称式（1）和式（2）为Hilbert不等式^［1］，且常数因子

π

为最佳值.此后，HARDY等^［1］通过引入共轭数对

(p, q)

，

1 / p + 1 / q = 1

2014

... 其中，

f (x), a_{n} > 0

（

n \in N^{+}

），

f \in L^{2} (R^{+})

，

a = {a_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in l^{2}

.其他相关研究可参见文献［14］. ...

2006

... 证明　当

| u | < \frac{π}{2}

时，将

φ (u) : = t a n u

展开为无穷级数^［15］： ...

2006

... 证明　当

| u | < \frac{π}{2}

时，将

φ (u) : = t a n u

展开为无穷级数^［15］： ...

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