一类双扩散对流方程组的解对Lewis系数的连续依赖性研究

doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.006

一类双扩散对流方程组的解对Lewis系数的连续依赖性研究

王泽^,^,

广东金融学院互联网金融与信息工程学院，广东广州 510521

Continuous dependence of solutions of a class of double diffusion convection equations on Lewis coefficients

WANG Ze^,^,

School of Internet Finance and Information Engineering，Guangdong University of Finance，Guangzhou 510521，China

收稿日期: 2020-06-22

基金资助:

广州市科技计划项目. 201707010126

Received: 2020-06-22

作者简介 About authors

王泽（1969—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-5208-5059，男，硕士，副教授，主要从事数据挖掘、人工智能、偏微分方程等研究，E-mail：20-030@gduf.edu.cn. , E-mail：20-030@gduf.edu.cn

摘要

研究了有界区域内多孔介质中一类双扩散扰动模型的解的结构稳定性。首先得到了一些有用的先验估计，然后利用这些先验估计构建了解的差所满足的一阶微分不等式，最后通过积分该微分不等式，建立了解对Lewis系数 $L_{e}$ 的连续依赖性结果。该结果表明，用双扩散扰动模型描述多孔介质中的流体流动是准确的。

关键词： 双扩散对流方程组 ; 连续依赖性 ; Rayleigh系数 ; Lewis系数

Abstract

This paper studies the structural stability for solutions of a double diffusion perturbation model in porous medium in a bounded domain. We firstly obtain some useful a priori estimates. Using these a priori estimates, we then formulate a first order differential inequality that the solution satisfies. Finally, by integrating the inequality, we get the result of continuous dependence for the solutions on the Lewis coefficient $L_{e}$ . This result shows that it is accurate for the double diffusion perturbation model to be used to describe the flow in porous media.

Keywords： double diffusion convection equations ; continuous dependence ; Rayleigh coefficient ; Lewis coefficient

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本文引用格式

王泽. 一类双扩散对流方程组的解对Lewis系数的连续依赖性研究. 浙江大学学报(理学版)[J], 2022, 49(3): 300-307 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.006

WANG Ze. Continuous dependence of solutions of a class of double diffusion convection equations on Lewis coefficients. Journal of Zhejiang University(Science Edition)[J], 2022, 49(3): 300-307 doi:10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.006

0　引言

结构稳定性是指模型本身的稳定性。传统的稳定性研究主要针对初始数据的连续依赖性，而实际上方程系数、方程组本身以及边界数据的变化对解的影响很大。文献［1］详细介绍了结构稳定性的本质。本文旨在通过对结构稳定性的研究帮助理解模型（或方程组）在物理中的适用性。在实际建模过程中，数据的测量和计算都不可避免存在误差，误差时刻存在，若一个微小的误差导致解急剧变化，说明方程组是不稳定的，用该方程组反映物理性质亦是不准确的。因此，结构稳定性的研究对物理建模至关重要。

多孔介质在现实生活中广泛存在，很多物质都由多孔介质材料制作而成。对多孔介质中流体方程组解的性态研究已成为数学与力学领域的热点问题。已有结果主要集中在Brinkman，Darcy和Forchheimer方程组。NIELD等^［2］和STRAUGHAN^［3］对这些方程组进行了广泛讨论。PAYNE等^［4］讨论了Brinkman，Darcy，Forchheimer和其他多孔介质方程的Saint-Venant原则，主要研究了多孔介质中流体方程组的空间衰减估计结果。FRANCHI等^［5］、PAYNE等^［6］、LIN等^［7］研究了多孔介质中流体方程组的结构稳定性，近年来，取得了一些新结果^［8-21］。双扩散对流问题在现实生活中应用广泛，相关研究可见文献［22-23］。本文将继续研究这类双扩散对流问题，研究其解的稳定性问题，所讨论的方程组含速度、压力、温度以及浓度扰动。有关这类方程组的详细介绍可参见文献［3，24-25］。

下文所用符号约定如下：

逗号表示求偏导，“ $, i$ ”表示对 $x_{i}$ 求偏导，如表示为 $\frac{\partial u}{\partial x_{i}}$ ，重复指标表示求和，如

u_{i, i} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}}

，

u_{i, j} u_{i, j} = \sum_{i, j = 1}^{3} {(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}})}^{2}

。

\{\begin{array}{l} \frac{\partial u_{i}}{\partial t} = C φ l_{i} - R θ l_{i} + π_{, i}, \\ \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} = 0, \\ \begin{array}{l} \frac{\partial θ}{\partial t} + u_{i} θ_{, i} = u_{3} + ∆ θ, \\ \frac{\partial φ}{\partial t} + L_{e} u_{i} φ_{, i} = u_{3} + ∆ φ 。 \end{array} \end{array}

（1）

其中， $u_{i}$ ， $θ$ ， $φ$ ， $π$ 分别表示速度、温度、浓度扰动和压强， $∆$ 为拉普拉斯算子， $R$ 为Rayleigh系数， $C$ 为盐度Rayleigh系数， $L_{e}$ 为Lewis系数， $l = (0,0, 1) = （ l_{1}, l_{2}, l_{3} ）$ 。式（1）在 $Ω \times [0, τ]$ 区域成立， $Ω$ 为 $R^{3}$ 中的一个有界单连通星形区域， $τ$ 为给定的常数，且 $0 \leq τ < \infty$ 。边界条件为

\begin{array}{l} u_{i} n_{i} = 0, \frac{\partial θ}{\partial n} = k_{1} θ, \frac{\partial φ}{\partial n} = k_{2} φ, \\ (x, t) \in \partial Ω \times [0, τ] 。 \end{array}

（2）

初始条件为

\begin{array}{l} u_{i} (x, 0) = u_{i 0} (x), φ (x, 0) = φ_{0} (x), \\ θ (x, 0) = θ_{0} (x), x \in Ω \end{array}

。（3）

下文安排如下：首先得到一些有用的先验估计，接着借助这些先验估计，构建解的差所满足的微分不等式，通过积分该不等式得到需要的结构稳定性结果。有关双扩散扰动模型的结构稳定性的研究，目前尚无文献涉及。由于温度满足的方程与Brinkman，Forchheimer及Darcy类方程组不同，导致无法估计温度最大值。同时由于速度方程组不含拉普拉斯项，使得速度的梯度估计难度加大。所给的温度 $θ$ 与浓度扰动 $φ$ 的边界条件为Robin边界，此时 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 均为正常数，如何处理边界项是一大难点。本文通过其他估计较好地解决了这些问题。

1　先验估计

为得到结论，需要以下引理。

引理1 对于任意可微函数 $ω = ω (x, t),$ $(x, t) \in$ $Ω \times [0, τ]$ ，有估计

\int_{\partial Ω}^{} ω^{2} d s \leq [\frac{3}{m} + \frac{ε_{0} d^{2}}{m^{2}}] \int_{Ω}^{} ω^{2} d x + \frac{1}{ε_{0}} \int_{Ω}^{} ω_{, i} ω_{, i} d x,

（4）

其中， $ε_{0}$ 为任意大于零的常数。

证明对于任意函数 $ω = ω (x, t),$ $(x, t) \in$ $Ω \times [0, τ]$ ，由散度定理，有

\int_{\partial Ω}^{} ω^{2} x ∙ \vec{n} d S = \int_{Ω}^{} d i v (ω^{2} x) d x = 3 \int_{Ω}^{} ω^{2} d x + 2 \int_{Ω}^{} ω (x ∙ \nabla ω) d x 。

（5）

设 $m = \underset{\partial Ω}{m i n} x_{i} n_{i} > 0, d^{2} = \underset{Ω}{m a x} x_{i} x_{i}$ ，由于 $Ω$ 为有界单连通的星形区域，所以有

\int_{\partial Ω}^{} ω^{2} d S \leq \frac{3}{m} \int_{Ω}^{} ω^{2} d x + \frac{2}{m} \int_{Ω}^{} ω (x ∙ \nabla ω) d x 。

（6）

对式（6）利用Schwarz不等式，可得

\int_{\partial Ω}^{} ω^{2} d S \leq \frac{3}{m} \int_{Ω}^{} ω^{2} d x + \frac{ε_{0} d^{2}}{m^{2}} \int_{Ω}^{} ω^{2} d x + \frac{1}{ε_{0}} \int_{Ω}^{} {|\nabla ω|}^{2} d x 。

（7）

由式（7），即可得到式（4）。

引理2 对于速度函数 $u_{i}$ 的梯度，有估计

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x \leq 2 \int_{Ω}^{} u_{i, j} （ u_{i, j} - u_{j, i} ） d x + \\ 2 k_{0} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{0} d^{2}}{m^{2}}) \int_{Ω}^{} u_{i} u_{i} d x 。 \end{array}

（8）

证明对于梯度，有恒等式

2 \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x = 2 \int_{Ω}^{} u_{i, j} （ u_{i, j} - u_{j, i} ） d x + 2 \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{j, i} d x 。

（9）

由于 $\partial Ω$ 有界，故有

|\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{j, i} d x| \leq k_{0} \int_{\partial Ω}^{} u_{i} u_{i} d S,

（10）

其中， $k_{0}$ 为取决于 $\partial Ω$ 的高斯曲率且大于零的常数^［26］。联合式（4）、式（9）和式（10），并取 $ω = u_{i}, ε_{0} = 2 k_{0}$ ，可得结果。

引理3 对于速度函数 $u_{i}$ 、温度 $θ$ 、浓度扰动 $φ$ ，有估计

\int_{Ω}^{} u_{i} u_{i} d x + \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + \int_{Ω}^{} φ^{2} d x \leq n_{1} (t),

（11）

\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x d η \leq n_{2} (t),

（12）

\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} φ_{, i} φ_{, i} d x d η \leq n_{3} (t),

（13）

其中， $n_{1} (t), n_{2} (t)$ 与 $n_{3} (t)$ 均为正函数。

证明在式 $(1)$ 第1式两边同时乘以 $2 u_{i}$ 并在 $Ω$ 上积分，由散度定理和式（2），可得

\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} u_{i} u_{i} d x = 2 C \int_{Ω}^{} φ l_{i} u_{i} d x - 2 R \int_{Ω}^{} θ l_{i} u_{i} d x + 2 \int_{Ω}^{} π_{, i} u_{i} d x \leq 2 \int_{Ω}^{} u_{i} u_{i} d x + C^{2} \int_{Ω}^{} φ^{2} d x + R^{2} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x 。

（14）

在式 $(1)$ 第3式两边同时乘以 $2 θ$ 并在 $Ω$ 上积分，由散度定理，可得

\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x = 2 \int_{Ω}^{} u_{3} θ d x + 2 \int_{Ω}^{} θ ∆ θ d x - 2 \int_{Ω}^{} u_{i} θ_{, i} θ d x 。

（15）

对于式（15）右边第2项，由散度定理、式（2）和式（4），可得

\begin{array}{l} 2 \int_{Ω}^{} θ ∆ θ d x = 2 \int_{\partial Ω}^{} θ \frac{\partial θ}{\partial n} d S - 2 \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x = \\ 2 k_{1} \int_{\partial Ω}^{} θ^{2} d S - 2 \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x \leq \\ (\frac{3}{m} + \frac{2 d^{2} k_{1}}{m^{2}}) \int_{Ω}^{} θ^{2} d x - \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x 。 \end{array}

（16）

联合式（15）和式（16），可得

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x \leq \int_{Ω}^{} u_{i} u_{i} d x + \\ (\frac{3}{m} + \frac{2 d^{2} k_{1}}{m^{2}} + 1) \int_{Ω}^{} θ^{2} d x 。 \end{array}

（17）

在式 $(1)$ 第4式两边同时乘以 $2 φ$ 并在 $Ω$ 上积分，由散度定理和式（2），可得

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} φ^{2} d x = 2 \int_{Ω}^{} u_{3} φ d x + 2 \int_{Ω}^{} φ ∆ φ d x - \\ 2 L_{e} \int_{Ω}^{} u_{i} φ_{, i} φ d x \leq \int_{Ω}^{} u_{i} u_{i} d x + \\ (\frac{3}{m} + \frac{2 d^{2} k_{2}}{m^{2}} + 1) \int_{Ω}^{} φ^{2} d x - \int_{Ω}^{} φ_{, i} φ_{, i} d x, \end{array}

（18）

其中， $m = \underset{\partial Ω}{m i n} x_{i} n_{i} > 0, d^{2} = \underset{Ω}{m a x} x_{i} x_{i}$ 。

令

F_{1} (t) = \int_{Ω}^{} u_{i} u_{i} d x + \int_{Ω}^{} θ^{2} d x + \int_{Ω}^{} φ^{2} d x

，

m_{1} = m a x \{3 + \frac{1}{ε_{1}}, R^{2} + \frac{3}{m} + \frac{2 d^{2} k_{1}}{m^{2}} + 1, C^{2} + \frac{3}{m ε_{1}} + \frac{2 d^{2} k_{2}}{m^{2} ε_{1}} + \frac{1}{ε_{1}}\}

。

m_{2} = \int_{Ω}^{} u_{i 0} u_{i 0} d x + \int_{Ω}^{} θ_{0} θ_{0} d x + \int_{Ω}^{} φ_{0} φ_{0} d x,

则

F_{1} (t) \leq m_{2} + m_{1} \int_{0}^{t} F_{1} (η) d η 。

（19）

对于式（19），由Gronwall不等式，可得

\begin{matrix} F_{1} (t) \leq m_{1} m_{2} e^{m_{1} t} \int_{0}^{t} e^{- m_{1} η} d η = n_{1} (t) ， \\ n_{1} (t) = m_{2} (e^{m_{1} t} - 1) 。 \end{matrix}

（20）

将式（20）代入式（17），可得

\begin{array}{l} n_{2} (t) = \int_{Ω} θ_{0}^{2} d x + (\frac{3}{m} + \frac{2 d^{2} k_{1}}{m^{2}} + 1) \times \\ [\frac{m_{2}}{m_{1}} (e^{m_{1} t} - 1) - t] \end{array}

。（21）

将式（20）代入式（18），可得

\begin{array}{l} n_{2} (t) = ε_{1} \int_{Ω} ϕ_{0}^{2} d x + (\frac{3}{m} + \frac{2 d^{2} k_{2}}{m^{2}} + 1) \times \\ [\frac{m_{2}}{m_{1}} (e^{m_{1} t} - 1) - m_{2} t] \end{array}

。（22）

引理4 对于速度函数 $u_{i}$ 的梯度，有估计

\int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x \leq n_{5} (t),

（23）

其中， $n_{5} (t)$ 为正函数。

证明由式 $(1)$ 第1式，可得

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} u_{i, j} (u_{i, j} - u_{j, i}) d x = \\ 2 \int_{Ω}^{} (u_{i, j} - u_{j, i}) u_{i, j t} d x = \\ 2 \int_{Ω}^{} (u_{i, j} - u_{j, i}) π_{, i j} d x + \\ 2 C \int_{Ω}^{} (u_{i, j} - u_{j, i}) φ_{, j} k_{i} d x - \\ 2 R \int_{Ω}^{} (u_{i, j} - u_{j, i}) θ_{, j} k_{i} d x \leq 4 \int_{Ω}^{} u_{i, j} (u_{i, j} - u_{j, i}) d x + \\ C^{2} \int_{Ω}^{} φ_{, j} φ_{, j} d x + R^{2} \int_{Ω}^{} θ_{, j} θ_{, j} d x 。 \end{array}

（24）

令

F_{2} (t) = \int_{Ω}^{} u_{i, j} (u_{i, j} - u_{j, i}) d x,

m_{3} (t) = \int_{Ω}^{} u_{i, j} (x, 0) [u_{i, j} (x, 0) - u_{j, i} (x, 0)] + C^{2} n_{3} (t) + R^{2} n_{2} (t) d x,

则

F_{2} (t) \leq 4 \int_{0}^{t} F_{2} (η) d η + m_{3} (t) 。

（25）

由Gronwall不等式，可得

F_{2} (t) \leq 4 e^{4 t} \int_{0}^{t} m_{3} (η) e^{- 4 η} d η = n_{4} (t) 。

（26）

将式（26）和式（20）代入式（8），可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} u_{i, j} u_{i, j} d x \leq 2 n_{4} (t) + 2 k_{0} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{0} d^{2}}{m^{2}}) \times \\ n_{1} (t) = n_{5} (t) 。 \end{array}

（27）

引理5 对于速度函数 $u_{i}$ 、温度 $θ$ 、浓度扰动 $φ$ ，有估计

\int_{0}^{t} {(\int_{Ω}^{} {|u|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} d η \leq n_{6} (t)

，（28）

\int_{0}^{t} {(\int_{Ω}^{} θ^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} d η \leq n_{7} (t)

，（29）

\int_{0}^{t} {(\int_{Ω}^{} φ^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} d η \leq n_{8} (t)

，（30）

其中， $n_{6} (t), n_{7} (t)$ 与 $n_{8} (t)$ 均为正函数。

证明利用文献［27］的结果，有

{(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} \leq M (\frac{5}{4} \int_{Ω}^{} {|ω|}^{2} d x + \frac{3}{4} \int_{Ω}^{} {|\nabla ω|}^{2} d x),

（31）

其中 $, M$ 为大于零的常数。在式（31）中，令 $ω = u$ ，可得

\int_{0}^{t} {(\int_{Ω}^{} {|u|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} d η \leq M (\frac{5}{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {|u|}^{2} d x d η + \frac{3}{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {|\nabla u|}^{2} d x d η) \leq M [\frac{5}{4} \int_{0}^{t} n_{1} (η) d η + \frac{3}{4} \int_{0}^{t} n_{5} (η) d η] = n_{6} (t) 。

（32）

在式（31）中，令 $ω = θ$ ，可得

\int_{0}^{t} {(\int_{Ω}^{} θ^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} d η \leq M (\frac{5}{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} θ^{2} d x d η + \frac{3}{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} θ_{, i} θ_{, i} d x d η) \leq M [\frac{5}{4} \int_{0}^{t} n_{1} (η) d η + \frac{3}{4} n_{2} (t)] = n_{7} (t) 。

（33）

在式（31）中，令 $ω = φ$ ，可得

\int_{0}^{t} {(\int_{Ω}^{} φ^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} d η \leq M (\frac{5}{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} φ^{2} d x d η + \frac{3}{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} φ_{, i} φ_{, i} d x d η) \leq M [\frac{5}{4} \int_{0}^{t} n_{1} (η) d η + \frac{3}{4} n_{3} (t)] = n_{8} (t) 。

（34）

2　 $L_{e}$ 的连续依赖性

设 $(u_{i}, θ, φ, π)$ 为当 $L_{e} = L_{e_{1}}$ 时式（1）~式（3）的解， $(u_{i}^{*}, θ^{*}, φ^{*}, π^{*})$ 为当 $L_{e} = L_{e_{2}}$ 时式（1）~式（3）的解。假设 $ω_{i} = u_{i} - u_{i}^{*}$ ， $\hat{θ} = θ - θ^{*}$ ， $\hat{φ} = φ - φ^{*}, \hat{π} = π - π^{*}$ ， ${\hat{L}}_{e} = L_{e_{1}} - L_{e_{2}}$ ，则 $(ω_{i}, \hat{θ}, \hat{φ}, \hat{π})$ 满足

\{\begin{array}{l} \frac{\partial ω_{i}}{\partial t} = C \hat{φ} l_{i} - R \hat{θ} l_{i} + {\hat{π}}_{, i}, \\ \frac{\partial ω_{i}}{\partial x_{i}} = 0, \\ \begin{array}{l} \frac{\partial \hat{θ}}{\partial t} + ω_{i} θ_{, i} + u_{i}^{*} {\hat{θ}}_{, i} = ω_{3} + ∆ \hat{θ}, \\ \frac{\partial \hat{φ}}{\partial t} + {\hat{L}}_{e} u_{i} φ_{, i} + L_{e_{2}} (ω_{i} φ_{, i} + u_{i}^{*} {\hat{φ}}_{, i}) = ω_{3} + ∆ \hat{φ} 。 \end{array} \end{array}

（35）

边界条件为

\begin{array}{l} ω_{i} n_{i} = 0, \frac{\partial \hat{θ}}{\partial n} = k_{1} \hat{θ}, \frac{\partial \hat{φ}}{\partial n} = k_{2} \hat{φ}, \\ (x, t) \in \partial Ω \times [0, τ] 。 \end{array}

（36）

初始条件为

ω_{i} (x, 0) = 0, \hat{φ} (x, 0) = 0, \hat{θ} (x, 0) = 0, x \in Ω

。（37）

定理1 设 $(u_{i}, θ, φ, π)$ 为当 $L_{e} = L_{e_{1}}$ 时式（1）~式（3）的经典解， $(u_{i}^{*}, θ^{*}, φ^{*}, π^{*})$ 为当 $L_{e} = L_{e_{2}}$ 时式（1）~式（3）的经典解， $(ω_{i}, \hat{θ}, \hat{φ}, \hat{π})$ 为两解的差，当Lewis系数差 ${\hat{L}}_{e}$ 趋于0时，解 $(u_{i}, θ, φ, π)$ 收敛于解 $(u_{i}^{*}, θ^{*}, φ^{*}, π^{*})$ ，且两解的差 $(ω_{i}, \hat{θ}, \hat{φ}, \hat{π})$ 满足

\int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x + ε_{1} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x + \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i} ） d x \leq 4 {\hat{L}}_{e}^{2} m_{8} e^{m_{8} t} \int_{0}^{t} n_{6} (η) n_{8} （ η ） e^{- m_{8} η} d η,

（38）

其中， $m_{8}$ 为大于零的常数。

定理1可分解为以下5个引理进行证明。

引理6 对于速度差函数 $ω_{i}$ ，有估计

\int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x \leq 2 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + C^{2} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x d η + R^{2} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x d η 。

（39）

证明在式 $(35)$ 第1式两边同时乘以 $2 ω_{i}$ 并在 $Ω$ 上积分，由散度定理和式（36），可得

\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x = 2 C \int_{Ω}^{} \hat{φ} l_{i} ω_{i} d x - 2 R \int_{Ω}^{} \hat{θ} l_{i} ω_{i} d x + 2 \int_{Ω}^{} {\hat{π}}_{, i} ω_{i} d x \leq 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + C^{2} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x + R^{2} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x 。

（40）

引理6得证。

引理7 对于温度差函数 $\hat{θ}$ ，有估计

\int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}_{, i} {\hat{θ}}_{, i} d x d η \leq m_{5} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + 3 M n_{7 M} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x d η + m_{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x d η,

（41）

其中， $n_{7 M} = \underset{[0, τ]}{s u p} n_{7} (t), m_{4} = 2 k_{1} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{1} d^{2}}{m^{2}}) + 1,$ $m_{5} = \frac{M}{2} n_{7 M} [6 k_{0} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{0} d^{2}}{m^{2}}) + 5] + 1 。$

证明在式 $(35)$ 第3式两边同时乘以 $2 \hat{θ}$ 并在 $Ω$ 上积分，由散度定理，可得

\frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x = 2 \int_{Ω}^{} ω_{3} \hat{θ} d x + 2 \int_{Ω}^{} \hat{θ} ∆ \hat{θ} d x - 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} θ_{, i} \hat{θ} d x - 2 \int_{Ω}^{} u_{i}^{*} {\hat{θ}}_{, i} \hat{θ} d x 。

（42）

对于式（42）右边第2项，由散度定理和式（36），可得

\begin{array}{l} 2 \int_{Ω}^{} \hat{θ} ∆ \hat{θ} d x = 2 \int_{\partial Ω}^{} \hat{θ} \frac{\partial \hat{θ}}{\partial n} d S - 2 \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}_{, i} {\hat{θ}}_{, i} d x = \\ 2 k_{1} \int_{\partial Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d S - 2 \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}_{, i} {\hat{θ}}_{, i} d x \leq \\ 2 k_{1} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{1} d^{2}}{m^{2}}) \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x - \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}_{, i} {\hat{θ}}_{, i} d x 。 \end{array}

（43）

对于式（42）右边第3项，由散度定理和式（36），可得

- 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} θ_{, i} \hat{θ} d x = - 2 \int_{\partial Ω}^{} θ \hat{θ} ω_{i} n_{i} d s + 2 \int_{Ω}^{} ω_{i, i} θ \hat{θ} d x + 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} θ {\hat{θ}}_{, i} d x = 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} θ {\hat{θ}}_{, i} d x 。

（44）

对于式（42）右边第4项，由散度定理和式（36），可得

- 2 \int_{Ω}^{} u_{i}^{*} {\hat{θ}}_{, i} \hat{θ} d x = - 2 \int_{\partial Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} u_{i}^{*} n_{i} d S + 2 \int_{Ω}^{} u_{i}^{*} {\hat{θ}}_{, i} \hat{θ} d x + 2 \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} u_{i, i}^{*} d x = 0 。

（45）

联合式（42）~式（45），可得

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x \leq \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + [2 k_{1} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{1} d^{2}}{m^{2}}) + 1] \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x - \\ \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}_{, i} {\hat{θ}}_{, i} d x + 2 \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} θ^{2} d x \leq \\ \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + [2 k_{1} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{1} d^{2}}{m^{2}}) + 1] \times \\ \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x - \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}_{, i} {\hat{θ}}_{, i} d x + 2 {[\int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x]}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω}^{} θ^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} 。 \end{array}

（46）

对式（46）两边同时在 $[0, t]$ 上积分，可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}_{, i} {\hat{θ}}_{, i} d x d η \leq \\ \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + m_{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x d η + 2 {[\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {(ω_{i} ω_{i})}^{2} d x d η]}^{\frac{1}{2}} {(\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} θ^{4} d x d η)}^{\frac{1}{2}} \leq \\ \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + m_{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x d η + \\ 2 M (\frac{5}{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + \frac{3}{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} ω_{i, j} d x d η) n_{7} (t) \leq \\ \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + m_{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x d η + \frac{M}{2} n_{7 M} [6 k_{0} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{0} d^{2}}{m^{2}}) + 5] \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + 3 M n_{7 M} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x d η = m_{5} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + 3 M n_{7 M} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x d η + m_{4} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x d η 。 \end{array}

（47）

由于 $n_{7} (t)$ 为单调递增函数，所以 $n_{7 M} = s u p n_{7} (t) = n_{7} (τ)$ $, m_{4} = 2 k_{1} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{1} d^{2}}{m^{2}}) + 1, m_{5} = \frac{M}{2} n_{7 M} \times [6 k_{0} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{0} d^{2}}{m^{2}}) + 5] + 1 。$

引理8 对于浓度扰动差函数 $\hat{φ}$ ，有估计

ε_{1} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}_{, i} {\hat{φ}}_{, i} d x d η \leq 4 {\hat{L}}_{e}^{2} n_{6} (t) n_{8} (t) + m_{7} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + m_{6} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x d η + 6 L_{e_{2}}^{2} n_{8 M} M \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x d η,

（48）

其中， $n_{8 M} = \underset{[0, τ]}{s u p} n_{8} (t), m_{7} = L_{e_{2}}^{2} n_{8 M} M [6 k_{0} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{0} d^{2}}{m^{2}}) + 5] + 1 。$

证明对式 $(35)$ 第4式两边同时乘以 $2 \hat{φ}$ 并在 $Ω$ 上积分，由散度定理和式（36），可得

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x = 2 \int_{Ω}^{} ω_{3} \hat{φ} d x + 2 \int_{Ω}^{} \hat{φ} ∆ \hat{φ} d x - 2 {\hat{L}}_{e} \int_{Ω}^{} u_{i} φ_{, i} \hat{φ} d x - 2 L_{e_{2}} \int_{Ω}^{} ω_{i} φ_{, i} \hat{φ} d x - 2 L_{e_{2}} \int_{Ω}^{} u_{i}^{*} {\hat{φ}}_{, i} \hat{φ} d x = 2 \int_{Ω}^{} ω_{3} \hat{φ} d x + \\ 2 \int_{Ω}^{} \hat{φ} ∆ \hat{φ} d x + 2 {\hat{L}}_{e} \int_{Ω}^{} u_{i} φ {\hat{φ}}_{, i} d x + \\ 2 L_{e_{2}} \int_{Ω}^{} ω_{i} φ {\hat{φ}}_{, i} d x 。 \end{array}

（49）

对于式（49）右边第2项，由散度定理和式（36），可得

2 \int_{Ω}^{} \hat{φ} ∆ \hat{φ} d x = 2 \int_{\partial Ω}^{} \hat{φ} \frac{\partial \hat{φ}}{\partial n} d S - 2 \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}_{, i} {\hat{φ}}_{, i} d x = 2 k_{2} \int_{\partial Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d S - 2 \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}_{, i} {\hat{φ}}_{, i} d x \leq 2 k_{2} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{2} d^{2}}{m^{2}}) \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x - \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}_{, i} {\hat{φ}}_{, i} d x 。

（50）

联合式（49）和式（50），并由Hölder不等式，可得

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x \leq \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + m_{6} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x + 4 {\hat{L}}_{e}^{2} \int_{Ω}^{} u_{i} u_{i} φ^{2} d x + 4 L_{e_{2}}^{2} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} φ^{2} d x - \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}_{, i} {\hat{φ}}_{, i} d x \leq \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + m_{6} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x + 4 {\hat{L}}_{e}^{2} {(\int_{Ω}^{} {|u|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω}^{} φ^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} + 4 L_{e_{2}}^{2} {(\int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω}^{} φ^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} - \\ \frac{1}{2} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}_{, i} {\hat{φ}}_{, i} d x, \end{array}

（51）

其中， $m_{6} = 2 k_{2} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{2} d^{2}}{m^{2}}) + 1 。$

对式（51）两边同时在 $[0, t]$ 上积分，可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}_{, i} {\hat{φ}}_{, i} d x d η \leq \\ \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + m_{6} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x d η + 4 {\hat{L}}_{e}^{2} {(\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {|u|}^{4} d x d η)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} φ^{4} d x d η)}^{\frac{1}{2}} + \\ 4 L_{e_{2}}^{2} {(\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {|ω|}^{4} d x d η)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} φ^{4} d x d η)}^{\frac{1}{2}} \leq \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + m_{6} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x d η + 4 {\hat{L}}_{e}^{2} n_{6} (t) n_{8} (t) + L_{e_{2}}^{2} n_{8} (t) M \times \\ (5 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + 3 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} ω_{i, j} d x d η) \leq \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + m_{6} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x d η + 4 {\hat{L}}_{e}^{2} n_{6} (t) n_{8} (t) L_{e_{2}}^{2} n_{8 M} M \times \\ \{[6 k_{0} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{0} d^{2}}{m^{2}}) + 5] \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + 6 \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x d η\} = 4 {\hat{L}}_{e}^{2} n_{6} (t) n_{8} (t) + m_{7} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + m_{6} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x d η + 6 L_{e_{2}}^{2} n_{8 M} M \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x d η 。 \end{array}

（52）

由于 $n_{8} (t)$ 为单调递增函数，所以有

n_{8 M} = s u p n_{8} (t) =

n_{8} (τ),

m_{7} = L_{e_{2}}^{2} n_{8 M} M [6 k_{0} (\frac{3}{m} + \frac{2 k_{0} d^{2}}{m^{2}}) + 5] + 1 。

引理9 对于速度差函数 $ω_{i}$ ，有

\int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x = 2 C \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) {\hat{φ}}_{, j} k_{i} d x d η + 2 R \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) {\hat{θ}}_{, j} k_{i} d x d η 。

（53）

证明由式 $(35)$ 第1式，可知

\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x = \\ 2 \int_{Ω}^{} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) ω_{i, j t} d x = \\ 2 C \int_{Ω}^{} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) {\hat{φ}}_{, j} k_{i} d x - \\ 2 R \int_{Ω}^{} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) {\hat{θ}}_{, j} k_{i} d x 。 \end{array}

（54）

对式（54）两边同时在 $[0, t]$ 上积分，可得

\int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x = 2 C \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) {\hat{φ}}_{, j} k_{i} d x d η + 2 R \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) {\hat{θ}}_{, j} k_{i} d x d η 。

（55）

引理10 对于速度差函数 $ω_{i}$ 、温度差函数 $\hat{θ}$ 、浓度扰动差函数 $\hat{φ}$ ，有估计

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x + ε_{1} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x + \\ \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x \leq 4 {\hat{L}}_{e}^{2} m_{8} e^{m_{8} t} \int_{0}^{t} n_{6} (η) n_{8} (η) e^{- m_{8} η} d η 。 \end{array}

（56）

证明联合式（40）、式（41）、式（48）和式（53），可得

\begin{array}{l} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x + ε_{1} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x + \\ \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x \leq \\ (m_{5} + m_{7} + 2) \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + \\ (R^{2} + m_{4}) \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x d η + \\ (C^{2} + m_{6}) \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x d η + 4 {\hat{L}}_{e}^{2} n_{6} (t) n_{8} (t) + (3 M n_{7 M} + 6 L_{e_{2}}^{2} n_{8 M} M) \times \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x d η - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}_{, i} {\hat{φ}}_{, i} d x d η - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}_{, i} {\hat{θ}}_{, i} d x d η + 2 C \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) {\hat{φ}}_{, j} k_{i} d x d η + 2 R \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) {\hat{θ}}_{, j} k_{i} d x d η \leq \\ （ m_{5} + m_{7} + 2 ） \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x d η + \\ （ R^{2} + m_{4} ） \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x d η + \\ （ C^{2} + m_{6} ） \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x d η + 4 {\hat{L}}_{e}^{2} n_{6} (t) n_{8} (t) + （ 3 M n_{7 M} + 6 L_{e_{2}}^{2} n_{8 M} M + 4 C^{2} + 4 R^{2} ） \times \int_{0}^{t} \int_{Ω}^{} ω_{i, j} （ ω_{i, j} - ω_{j, i} ） d x d η 。 \end{array}

（57）

令

F_{3} (t) = \int_{Ω}^{} ω_{i} ω_{i} d x + \int_{Ω}^{} {\hat{θ}}^{2} d x + ε_{1} \int_{Ω}^{} {\hat{φ}}^{2} d x + \int_{Ω}^{} ω_{i, j} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) d x,

m_{8} = m a x \{m_{5} + m_{7} + 2, R^{2} + m_{4}, \frac{C^{2} + m_{6}}{ε_{1}}, 3 M n_{7 M} + 6 L_{e_{2}}^{2} n_{8 M} M + 4 C^{2} + 4 R^{2}\}

，

则有

F_{3} (t) \leq m_{8} \int_{0}^{t} F_{3} (η) d η + 4 {\hat{L}}_{e}^{2} n_{6} (t) n_{8} (t) 。

由Gronwall不等式，可得

F_{3} (t) \leq 4 {\hat{L}}_{e}^{2} m_{8} e^{m_{8} t} \int_{0}^{t} n_{6} (η) n_{8} (η) e^{- m_{8} η} d η 。

（58）

定理1得证。

http://dx.doi.org/10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.006

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Slip boundary conditions and through flow effects on double-diffusive convection in internally heated heterogeneous Brinkman porous media

［J］. Chinese Journal of Physics， 2018， 56（1）： 10-22. DOI：10.1016/j.cjph.2017.11.023

[本文引用: 1]

[24]

STRAUGHAN

Anisotropic inertia effect in microfluidic porous thermosolutal convection

［J］. Microfluidics and Nanofluidics， 2014， 16： 361-368. DOI：10.1007/s10404-013-1208-7

[本文引用: 1]

[25]

STRAUGHAN

Heated and salted below porous convection with generalized temperature and solute boundary conditions

［J］. Transport in Porous Media， 2020， 131： 617-631. DOI：10.1007/s11242-019-01359-y

[本文引用: 1]

[26]

WEATHERBURN

C E

. Differential Geometry of Three Dimensions［M］. London： Cambridge University Press， 1980.

[本文引用: 1]

[27]

LIN

C H

， PAYNE

L E

Continuous dependence on the Soret coefficient for double diffusive convection in Darcy flow

［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2008， 342（1）： 311-325. DOI：10. 1016/j.jmaa.2007.11.036

[本文引用: 1]

1997

... 结构稳定性是指模型本身的稳定性.传统的稳定性研究主要针对初始数据的连续依赖性，而实际上方程系数、方程组本身以及边界数据的变化对解的影响很大.文献［1］详细介绍了结构稳定性的本质.本文旨在通过对结构稳定性的研究帮助理解模型（或方程组）在物理中的适用性.在实际建模过程中，数据的测量和计算都不可避免存在误差，误差时刻存在，若一个微小的误差导致解急剧变化，说明方程组是不稳定的，用该方程组反映物理性质亦是不准确的.因此，结构稳定性的研究对物理建模至关重要. ...

1992

... 多孔介质在现实生活中广泛存在，很多物质都由多孔介质材料制作而成.对多孔介质中流体方程组解的性态研究已成为数学与力学领域的热点问题.已有结果主要集中在Brinkman，Darcy和Forchheimer方程组.NIELD等^［2］和STRAUGHAN^［3］对这些方程组进行了广泛讨论.PAYNE等^［4］讨论了Brinkman，Darcy，Forchheimer和其他多孔介质方程的Saint-Venant原则，主要研究了多孔介质中流体方程组的空间衰减估计结果.FRANCHI等^［5］、PAYNE等^［6］、LIN等^［7］研究了多孔介质中流体方程组的结构稳定性，近年来，取得了一些新结果^［8-21］.双扩散对流问题在现实生活中应用广泛，相关研究可见文献［22-23］.本文将继续研究这类双扩散对流问题，研究其解的稳定性问题，所讨论的方程组含速度、压力、温度以及浓度扰动.有关这类方程组的详细介绍可参见文献［3，24-25］. ...

2008

... ］.本文将继续研究这类双扩散对流问题，研究其解的稳定性问题，所讨论的方程组含速度、压力、温度以及浓度扰动.有关这类方程组的详细介绍可参见文献［3，24-25］. ...

Spatial decay in a double diffusive convection problem in Darcy flow

2007

Continuous dependence and decay for the Forchheimer equations

2003

Structural stability for the Darcy equations of flow in porous media

1998

Structural stability for a Brinkman fluid

2007

Structural stability for a Brinkman-Forchheimer type model with temperature-dependent solubility

2016

On continuous dependence of solutions of dynamic equations

2015

Exact controllability and continuous dependence of fractional neutral integro-differential equations with state-dependent delay

2017

Continuous dependence property of BSDE with constraints

2015

Structural stability for two convection models in a reacting fluid with magnetic field effect

2014

Continuous dependence for the nonhomogeneous Brinkman-Forchheimer equations in a semi-infinite pipe

2014

Structural stability for the Brinkman fluid interfacing with a Darcy fluid in an unbounded domain

2018

Continuous dependence for the Brinkman-Forchheimer fluid interfacing with a Darcy fluid in a bounded domain

2018

Continuous dependence for a thermal convection model with temperature-dependent solubility

2017

大尺度海洋大气动力学三维黏性原始方程对边界参数的连续依赖性

2019

大尺度海洋大气动力学三维黏性原始方程对边界参数的连续依赖性

2019

原始方程组对黏性系数的连续依赖性

2019

原始方程组对黏性系数的连续依赖性

2019

具有边界反应Brinkman-Forchheimer型多孔介质的结构稳定性

2019

具有边界反应Brinkman-Forchheimer型多孔介质的结构稳定性

2019

海洋动力学中二维黏性原始方程组解对热源的收敛性

2020

海洋动力学中二维黏性原始方程组解对热源的收敛性

2020

Structural stability for a thermal convection model with temperature-dependent solubility

2015

Linear and nonlinear stability of double-diffusive convection with the Soret effect

2018

Slip boundary conditions and through flow effects on double-diffusive convection in internally heated heterogeneous Brinkman porous media

2018

Anisotropic inertia effect in microfluidic porous thermosolutal convection

2014

Heated and salted below porous convection with generalized temperature and solute boundary conditions

2020

1980

... 其中，

k_{0}

为取决于

\partial Ω

的高斯曲率且大于零的常数^［26］.联合式（4）、式（9）和式（10），并取

ω = u_{i}, ε_{0} = 2 k_{0}

，可得结果. ...

Continuous dependence on the Soret coefficient for double diffusive convection in Darcy flow

2008

... 证明利用文献［27］的结果，有 ...

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